Conjuntos

Luis OviedoCI:21.142.082

SAIA A

Que es un conjunto?

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por Georg Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica, así como la misma ontología.

¿Qué es un elemento?

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un conjunto.

Por ejemplo, par los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto. Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, por que ellos son alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son números impares.

Formas de determinar un conjunto

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:

{Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}.

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

Subconjuntos:

Relación de inclusión:Sean A y B conjuntos cualesquiera. A está incluido en B , o bien A es un subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A lo es también de B . Esto se simboliza así:

Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:

1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A.

2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B.

3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C.

Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: {*}

Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.

Conjunto de números impares múltiplos de 2.

Conjunto Potencia: Se llama así al conjunto que esta formado

por todos los subconjuntos que se forman de un conjunto dado. Se

simboliza por P su notación P(A), se lee potencia del conjunto A.

Igualdad de Conjuntos:Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un número natural.

Unión de conjuntos: La unión de conjunto A y B es el conjunto

formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, se

simboliza por:

AUB, y se lee “A” unión “B” .

Propiedades: Los más importantes son:

1) A U B = B U A (conmutativa)

2) A U A = A (Idempotencia)

3) A U Ø = A

4) A U U = U; U: universo

Intersección (∩): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al

conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es

decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B.

Propiedades:

i) A ∩ B = B ∩ A

ii) A ∩ A = A

iii) A ∩ Ø = Ø

iv) A ∩ U = A; U: universo

Diferencia (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al

conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es

decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen

exclusivamente a A.

Ej.: Sean los conjuntos:

A = {1, 2, 3, 6}

B = {2, 4, 6, 7, 8}

C = {4, 7, 8}

⇒ A - B = {1, 3}

B - C = {2, 6}

A - C = {1, 2, 3, 6}

Propiedades:

i) A - A = Ø

ii) A - Ø = A

iii) Ø - A = Ø

iv) A - B = B – A ⇔ A = B

Complemento de un conjunto:

Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a

todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo.

El álgebra de conjuntos se encarga de definir las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar a los conjuntos. Podemos decir que un conjunto es una agrupación, variedad, clase o colección de objetos que se denominan elementos del conjunto.

* Leyes de Idempotencia

* A U A = A I A = A

* A

* Leyes Asociativas

* A U (BUC) = (AUB) U C

* A I (BIC) = (AIB) I C

* Leyes Conmutativas

* A U B = B U A

* A I B = B I A

* Leyes Distributivas

* A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C)

* A

* Leyes de Identidad

* A U f = A I f = f

* A

*Leyes de Dominación

*A U U = U U: conjunto universal

*A I U = A

*Leyes de Complementación

*A U C(A) = U

*A I C(A) = f f f) = U

*C (C(A)) = A

*C (U) =

*C (

*Leyes de De Morgan

*C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)

*C(A

Producto cartesiano de dos conjuntos:Se llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), tales que a A y b B

Propiedades del producto cartesiano:

1. El producto cartesiano de un conjunto. Cualquiera por el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío. Ax{ } = { }

es evidente, ya que el conjunto vacío carece de elementos, luego no se pueden formar pares con los del otro conjunto A.

2. Propiedad distributiva respecto de la unión. Se expresa: A(BUC) = (AxB)U(AxC)

Propiedad distributiva respecto de la intersección: Ax(BnC) = ((AxB)n(AxC))

Operaciones Generalizadas:

Sea {A1,A2,...,An} una familia finita de conjuntos, en este caso podemos formar la unión e intersección de dicha familia

Sea A = {Ai}i∈I una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto A. Diremos que A es una partición de A si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

(a) A = ¿ ∪ Ai donde Ai ≠ ∅, para todo i∈I

i∈I

(b) Ai∩Aj = ∅, para todo i,j∈I con i ≠ j

Ejemplo: Sea, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = {5, 6, 7}, A3 = {4, 5, 7, 9}, A4 = {8, 9, 10}, A5 = {1,2,3,6,8,10}. Los conjuntos P1 = {A1, A2, A4} y P2 = {A3, A5} son particiones de A. El conjunto {A1, A3, A4} no es una parición de A puesto que 4 Î A1 A3. 

Cardinalidad de un conjunto:

La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.

Ejemplos:

W  =  { $, %, &, /, ª  }      El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 (  #  =  5 )

Q = A,B,C el conjunto Q esta formado por 3 elementos # Q =  3

K = A el conjunto K tiene un elemento   # K= 1