aop conjuntos
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Ejercicios sobre propiedades de los conjuntosTRANSCRIPT
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZOF I M Esc. De Ingeniería Mecánica
ALGEBRA SUPERIOR - CONJUNTOS ANALORPE
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DIAGRAMA DE VENN DE UNA DIFERENCIA DE CONJUNTOSSean A y B dos conjuntos cualesquiera, su DIFERENCIA estará representada por el área rellenada de color claro:
LA DIFERENCIA A - B
Gráficamente esta área cubre la superficie que: pertenece al conjunto “A” ,pero no pertenece el conjunto “B”.
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Mientras que:
LA DIFERENCIA (B – A)
Nuevamente el área de color claro , que esta a la derecha, representar ladiferencia que no es mas que los elementos que: pertenecen al conjunto “ B ”,pero no pertenece el conjunto “ A ”.
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PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
1.- A - A A
2.- A - B B =
3.- (A - B ) ( B C ) =
4.- A B = ( A - B ) ( A B ) ( B – A )
5.- A - = A
6.- - A =
7.- Si A B entonces A – B =
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1.- A - A A
Esta propiedad se basa en lo siguiente.
A – A = Considerando que el conjunto vacio es subconjunto de
todo conjunto se tiene A
A
EXPLICACION: Si a cualquier conjuntose lo retira (resta todos suselementos), da como resultado unconjunto vacio.
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2.- A - B B =
Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4 }
A – B = { 1, 3, 5 } y cuando busco interseccion con B se tiene resultado conjunto vacio, por que entre los dos no hay ningunelemento comun
EXPLICACION: Entre los sectores café y amarillo no hay elementos comunes, porlo tanto su interseccion es el conjuntovacio
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3.- (A - B ) ( B C ) =
Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 1, 3, 5 } C = { 1, 5}
A – B = { 2, 4 } ( B C ) = { 1, 5 }
Al buscar la interseccion entre estos dos resultados no hay ningunelemento comun , resultado final conjunto vacio
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4.- A B = ( A - B ) ( A B ) ( B – A )
Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 8, 9 }
A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}
A – B = { 2, 4, 6, 7 } ( A B ) = { 1, 3, 5 } B – A = { 8, 9 }
(A – B) ( A B ) (B – A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 }
Al unir estos ultimos tresresultados se tienenuevamente el resultado dela union de los dosconjuntos
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5.- A - = A
Sea: A = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 }
A – = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 }
EXPLICACION: Si a cualquier conjuntono se lo retira ninguno de suselementos, da como resultado elmismo conjunto.
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6.- - A =
Sea: = { }
A = { 3, 6, 8, 10 }
- A = EXPLICACION: Si a un conjunto vacio, que no tiene elementos se lepretende retirar algun o algunoselementos no es posible por que elprimer conjunto no tiene elementos,entonces da resultado el conjuntovacio.
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7.- Si A B Entonces A- B = A
Sea: A = { a, b, c, d, e, f } B = { b, e, f, g, h }
Operando tengo: A B = { b, e, f } A -B = { a, c, d }
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Ejercicio 4.- Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,}
A = { 1, 2, 3, 4} B = { 1, 4, 13, 14} C = { 2, 8} D = { 10, 11, 12}
Hallar:
a) A B
b) A C
c) B D
d) D C
e) A c
f) A c B
g) A c B c
h) (A B ) c
i) A c B c
j) ( A B ) c
k) ( A C ) c
l) ( A B ) - D
ll) (A B ) - D
m) ( A B ) ( B A )
n) ( A B) - ( A B )
o) (A – B ) ( B – A )
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SOLUCION:
a) A B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 1, 4, 13, 14 }
Utilizando el diagrama de Venn se tiene
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b) A C = { 1, 2, 3, 4, 8 }
A = { 1, 2, 3, 4 } C = { 2, 8 }
Utilizando el diagrama de Venn se tiene
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c) B D = { 1, 4, 10, 11, 12, 13, 14 }
B = { 1, 4, 13, 14 } D = { 10, 11, 12 }
Utilizando el diagrama de Venn se tiene
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d) D C = { 2, 8, 10, 11, 12 }
D = { 10, 11, 12 } C = { 2, 8 }
Utilizando el diagrama de Venn se tiene
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e) A c = { 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } A = { 1, 2, 3, 4 }
Utilizando el diagrama de Venn se tiene
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f) A c B = { 1, 4, 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } B = { 1, 4, 13,14}
Utilizando el diagrama de Venn se tiene
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g) A c B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
Utilizando el diagrama de Venn se tiene
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h) ( A B ) c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
Entonces : ( A B ) c Sera igual U – (A B = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
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i) A c B c = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }
A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }
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j) ( A B ) c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 }
Si : A B = { 1, 4 }
( A B ) c = U – ( A B ) = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 }
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k) ( A C ) c = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 }
Si : A C = { 1, 2, 3, 4, 8 }
( A C ) c = U - ( A C ) = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 }
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l) ( A B ) – D = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
Si : A B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
D = { 10, 11, 12 }
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l l) (A B ) - D = { 1, 4 }
Si : A B = { 1, 4 }
D = { 10, 11, 12 }
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m) (A - B ) ( B – A ) = { 2, 3, 13, 14 }
Si : A - B = { 2, 3 } B – A = { 13, 14 }
Cuando consideramos 2 conjuntos, y se tiene la diferencia de estos en losdos sentidos, en forma de union se da lugar a un resultado que se lo conocecon el nombre de Diferencia Simetrica
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n) ( A B) - ( A B ) = { 2, 3, 13, 14 }
Si : A B = { 1, 2, 3,4, 13, 14 }
A B = { 1, 4 }
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o) ( A - B) ( B - A ) = { } Conjunto Vacio
Donde: A - B = { 2, 3 }
B - A = { 13, 14 }
De los 180 Profesores que tiene una Universidad, 135 tienen su Doctorado, 145 sonInvestigadores, de los Doctores 114 son Investigadores, entonces cual de los siguientesenunciados son verdaderos
A = {x/x son Doctores}
B = {x/x son Investigadores}
Para desarrollar tomemoslos sectores que se representa con letrasminusculas
a + b = 135 son doctores
b +c = 145 son Investigadres
b = 114 son doct. e Invest
d = ? No son doctores Tampoco Investigadores
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SOLUCION: En primer lugar partimos del total de profesores, tenemos un numero de Doctores(135), otro de investigadores (145), y un grupo que son a la vez doctores einvestigadores (114), a partir de este ultimo dato: se tendra el numero de solodoctores y solo investigadores, mientras que al sumar tanto doctores comoinvestigadores y restando del Universo se tiene el numero de profesores que no sonInvestigadores ni doctores.
A = 135 (Doctores) A = a + b pero: b = 114 a = A – b a = 135 – 114 = 21
Entonces se dice que a = 21 corresponde a profesores solo doctores(sector amarillo)
B = 145 (Investigadores) B = b + c pero: b = 114 c = B – b c = 145 – 114 = 31
Entonces se dice que c = 31 corresponde a profesores solo Investigadores(sector verde)
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Al sumar los sectores ( a + b + c ) = 21 + 114 + 31 = 166 Corresponde a profesorescon preparacion a nivel de doctores e investigadores. Aplicando algebra de conjuntos tenemos:
( A – B ) ( A B ) ( B - A ) = 21 + 114 + 31 = 166
Para determinar el numero de profesores que no son: ni Doctores pero tampoco estan en investigacion sera: U – ( A B ) = 180 – 166 = 14 ( solo profesores) = d
Si: 180 = a + b + c + d, entonces d = 180 - (a + b + c)
Tambien se tiene que: d = (A B ) c = U - (A B ) = 14 profesores ( sector lila)
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Una vez realizado los calculos se tiene la siguiente solucion con el Diagrama de Venn
a = solo doctores
c= solo Investigadores
d = Profesores, no doctores, tampoco Investigadores
b = doctores e investigadores
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