UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE RECTORADO ACADEMICO

CABUDARE ESTADO LARA

INTEGRANTES: Yelimar Yepez

TUTOR: Domingo Mendez

BARQUISIMETO, ENERO DE 2013

CONJUNTOS

Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales

se llaman Elementos.

Se llama Conjunto Universal, el cual se denota por U, al conjunto

que contiene todos los elementos a considerar.

Ejemplo:

Considere el conjunto formado por todos los números naturales

menores que 6. En este caso se escribir el conjunto como A =

{1,2,3,4,5} y el conjunto de referencia o conjunto universal es N, el

conjunto formado por todos los números naturales.

Los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como

A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan

minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc.

Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en

un círculo, el cual es llamado Diagrama de Venn.

Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x є A, se

lee "x pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación se

escribe así: x є A la cual significa que x no está en A o no

pertenece a A.

Existen dos formas de determinar un conjunto:

Por Extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados

uno a uno.

Ejemplo: A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}

Por Comprensión: Cuando están dados como dominio de una

función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que

cumplen una condición dada.

Ejemplo: B = { x є R / x divide a 18}

(Los números reales divisores de 18)

Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo

cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un

elemento de B.

Simbólicamente lo expresaremos como:

A ⊂ B ⇔ ( ∀ x є U) ( x є A ⇒ x є B )

Ejemplo:

A conjunto formado por todos los Barquisimetanos; B conjunto

formado por todos los Venezolanos

Entonces, tenemos que todo elemento de A es también

elemento de B. Esta relación se simboliza por A B.

TEOREMA:

La relación de inclusión entre conjuntos es

Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.

Antisimétrica: A ⊂ B ^ B ⊂ A ⇒ A = B.

Transitiva: A ⊂ B ^ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

DEFINICION: Diremos que un conjunto A está incluido

propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B

si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.

Ejemplo:

Si A = { a,d,f,} y B = { a, b,c,d,e,f,h }

Entonces A es subconjunto propio de B.

DEFINICION:

Dado un conjunto A, el conjunto vacío ΦA es el conjunto:

ΦA = { x є A / x ≠ x } el ΦA no tiene elementos, ya que todo x

є A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es

subconjunto de todo conjunto A.

Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o

conjunto partes de A como (A) = { X / X ⊂ A}, es decir, es el

conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Ejemplo:

Si A = {x,y,z} entonces

(A) = {{Φ}, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}

CARACTERISTICAS:

La principal característica de este conjunto es que es un conjunto

de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.

Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de

(A), ya que si A tiene n elementos, entonces (A) tiene 2n

elementos.

El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la

relación de inclusión:

Teorema A ⊂ B Û (A) ⊂ (B)

REPRESENTACION TABULAR DEL CONJUNTO PRODUCTO

Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas

como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo :

Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación

tabular de AXB

Solución

AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}

Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son

iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.

El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos

son iguales.

Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ⇔ A ⊂ B ^ B ⊂ A

Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la

definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:

(x є A ⇔ x є B ) = ( x є A ⇒ x є B ) ^ ( x є B ⇒ x є A )

Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el

conjunto:

A U B = { x є U / x є A ^ X єB}

Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.

Ejemplo:

Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,

A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}

Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes

propiedades:

A U A = A

A U U = U

A U Φ = A

A U B = B U A

Ejemplo:

Sea A = {a,b,c,d,e}

B = {a,c,e,h,i,j,k}

La intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto

A I B ={a,c,e}

Sean A y B conjuntos, luego se cumple:

A I A = A , ∀ A

A I U = A , donde U es el conjunto universal

A I Φ = Φ

A I B = B I A

Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y

B como el siguiente conjunto:

A - B = { x Î U / x Î A Ù x Ï B}. Es decir, son todos los elementos

que están en A pero que no están en B.

Ejemplo:

Consideremos los conjuntos

A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}

Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}

PROPIEDADES:

Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:

(A U B) - C = (A - C) U (B - C)

(A I B) - C = (A - C) I (B - C)

(A D B) - C = (A - C) D (B - C)

A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)

(B - C) I A = (B I A) - (C I A)

Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el

conjunto C(B) = {x Î U/ x Ï B}.

Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a

B para llegar a ser igual a U.

Así podemos decir x Î C(B) Û x Ï B.

Ejemplo:

Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7}

entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}

TEOREMA:

Sean A y B dos conjuntos luego:

A - B = AI C(B)

C(C(A)) = A

A U C(A) = U

A I C(A) = f

C(U) = f

C(f ) = U

A Ì B Û C(B) Ì C(A)

(Leyes de De Morgan para conjuntos)

C(A U B) = C(A) I C(B)

C(A I B) = C(A) U C(B)

Ejemplo:

Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I

C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.

C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB)

C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}

Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que:

A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}

Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de

proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del

álgebra de conjuntos que veremos a continuación:

Leyes de Idempotencia

A U A = A ⋂ A = A

A

Leyes Asociativas

A U (B U C) = (A U B) U C

A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

Leyes Conmutativas

A U B = B U A

A ⋂ B = B ⋂ A

Leyes Distributivas

A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C) ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C)

A

Leyes de Identidad

A U Φ = A ⋂ Φ = Φ

A

Leyes de Dominación

A U U = U U: conjunto universal

A ⋂ U = A

Leyes de Complementación

A U C(A) = U

A ⋂ C(A) = ΦΦΦ) = U

C (C(A)) = A

C (U) =

C

Leyes de De Morgan

C(A U B) = C(A) ⋂ C (B) ⋂ B) = C(A) U C (B)

C(A)

Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o

producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ

B Ù b Î B}

Ejemplo:

Si A = {a,b} y B = {1,5,8}

entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}

mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}

Nótese que Ax B ¹ Bx A

TEOREMA:

Si A,B,C son tres conjuntos entonces:

A x B = F Û A = F Ú B = F

A x (B U C) = (A x B) U (A x C)

A x (B I C) = (A x B) I (A x C)

A x (B -C) = (A x B) - (A x C)

Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una

familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I,

representa un conjunto.

Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de

conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.

Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se

dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:

Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una

partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es

no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía

y la unión de todos los miembros da X.

Ejemplo:

Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} ,

entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para

algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden

contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.

Ejemplo:

El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el

conjunto de los números reales, de los números naturales son

ejemplos de conjuntos infinitos.

DEFINICION:

Sea A un conjunto finito. Se dice que:

El cardinal de A es 0 si A =Φ.

El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n

elementos.

Ejemplo:

Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6

TEOREMA:

Sean A y B dos conjuntos finitos, luego:

(B - A) = #B - #(A I B)

#(A U B) = #A + #B - #(A I B)

TEOREMA:

Si A; B y C son tres conjuntos finitos entonces

#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).

Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana

cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A

continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría

de cardinalidad de conjuntos.