Conjunto

Los diversos polgonos en la imagen constituyen un conjunto. Al-gunos de los elementos del conjunto, adems de ser polgonos sonregulares. La coleccin de estos ltimoslos polgonos regularesen la imagen es otro conjunto, en particular, un subconjuntodel primero.

En matemticas, un conjunto es una coleccin de ele-mentos considerada en s misma como un objeto. Loselementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:personas, nmeros, colores, letras, guras, etc. Se diceque un elemento (o miembro) pertenece al conjunto siest denido como incluido de algn modo dentro de l.Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul,Ail, Violeta}

Un conjunto suele denirse mediante una propiedadque todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para losnmeros naturales, si se considera la propiedad de ser unnmero primo, el conjunto de los nmeros primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda denido nicamente por sus miem-bros y por nada ms. En particular, un conjunto puedeescribirse como una lista de elementos, pero cambiar elorden de dicha lista o aadir elementos repetidos no de-ne un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Vier-nes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Mir-coles}AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul,Ail, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo,Verde, Violeta, Ail, Azul}

Los conjuntos pueden ser nitos o innitos. El conjuntode los nmeros naturales es innito, pero el conjunto delos planetas en el Sistema Solar es nito (tiene ocho ele-mentos). Adems, los conjuntos pueden combinarse me-diante operaciones, de manera similar a las operacionescon nmeros.Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentidode que no es posible denirlos en trminos de nocionesms elementales, por lo que su estudio puede realizarsede manera informal, apelando a la intuicin y a la lgica.Por otro lado, son el concepto fundamental de la mate-mtica: mediante ellos puede formularse el resto de obje-tos matemticos, como los nmeros y las funciones, entreotros. Su estudio detallado requiere pues la introduccinde axiomas y conduce a la teora de conjuntos.

1 HistoriaEl concepto de conjunto como objeto abstracto no co-menz a emplearse en matemticas hasta el siglo XIX, amedida que se despejaban las dudas sobre la nocin deinnito.[1] Los trabajos de Bernard Bolzano y BernhardRiemann ya contenan ideas relacionadas con una vi-sin conjuntista de la matemtica. Las contribucionesde Richard Dedekind al lgebra estaban formuladas entrminos claramente conjuntistas, que an prevalecenen la matemtica moderna: relaciones de equivalencia,particiones, homomorsmos, etc., y l mismo explicitlas hiptesis y operaciones relativas a conjuntos que ne-cesit en su trabajo.La teora de conjuntos como disciplina independiente seatribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando consus investigaciones sobre conjuntos numricos, desarro-ll un estudio sobre los conjuntos innitos y sus propie-dades. La inuencia de Dedekind y Cantor empez a serdeterminante a nales del siglo XIX, en el proceso deaxiomatizacin de la matemtica, en el que todos losobjetos matemticos, como los nmeros, las funciones ylas diversas estructuras, fueron construidos con base enlos conjuntos.

2 DenicinUn conjunto es una coleccin bien denida de objetos,entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier co-sa: nmeros, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algu-

1

2 2 DEFINICIN

nos ejemplos son:

A es el conjunto de los nmeros naturales me-nores que 5.B es el conjunto de los colores verde, blanco yrojo.C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.D es el conjunto de los palos de la baraja fran-cesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras ma-ysculas. Los objetos que componen el conjunto se lla-man elementos o miembros. Se dice que pertenecen alconjunto y se denota mediante el smbolo :[n 1] la expre-sin a A se lee entonces como a est en A, a perte-nece a A, A contiene a a, etc. Para la nocin contrariase usa el smbolo . Por ejemplo:

3 A , Damarillo B, z C

2.1 Notacin

Relacin de pertenencia. El conjunto A es un conjunto depolgonos. En la imagen, algunas de las guras pertenecen a di-cho conjunto, pero otras no.

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En elejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa unadenicin intensiva o por comprensin, donde se especi-ca una propiedad que todos sus elementos poseen. Sinembargo, para los conjuntos B y C se usa una denicinextensiva, listando todos sus elementos explcitamente.Es habitual usar llaves para escribir los elementos de unconjunto, de modo que:

B = {verde, blanco, rojo}C = {a, e, i, o, u}

Esta notacin mediante llaves tambin se utiliza cuandolos conjuntos se especican de forma intensiva medianteuna propiedad:

A = {Nmeros naturales menores que 5}D = {Palos de la baraja francesa}

Otra notacin habitual para denotar por comprensin es:

A = {m : m es un nmero natural, y 1 m 5}D = {p : p es un palo de la baraja francesa}F = {n2 : n es un entero y 1 n 10},

En estas expresiones los dos puntos (:) signican talque. As, el conjunto F es el conjunto de los nmerosde la forma n2 tal que n es un nmero natural entre 1 y 10(ambos inclusive), o sea, el conjunto de los diez prime-ros cuadrados de nmeros naturales. En lugar de los dospuntos se utiliza tambin la barra vertical (|) u oblicua/ .

2.2 Igualdad de conjuntos

Conjunto de personas. El conjunto de personas mostrado en laimagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarsemediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden delas personas en A es irrelevante.

Un conjunto est totalmente determinado por sus elemen-tos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismoconjunto puede especicarse de muchas maneras distin-tas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, elconjunto A de los nmeros naturales menores que 5 es elmismo conjunto que A, el conjunto de los nmeros 1, 2,3 y 4. Tambin:

B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la ban-dera de Mxico}C = {a, e, i, o, u} = {vocales del espaol}D = {Palos de la baraja francesa} = {, , ,}

2.5 Conjuntos disjuntos 3

El orden en el que se precisan los elementos tampoco setiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blan-co}C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}

Adems, un conjunto no puede tener elementos repeti-dos, ya que un objeto solo puede o bien ser un elementode dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, porejemplo:

{1, 2} = {1, 2, 1}

En ausencia de alguna caracterstica adicional que dis-tinga los 1 repetidos, lo nico que puede decirse delconjunto de la derecha es que 1 es uno de sus elemen-tos.

2.3 Conjunto vacoEl conjunto que no contiene ningn elemento se llama elconjunto vaco y se denota por o simplemente {}. Exis-te un nico conjunto vaco, ya que lo nico que distinguea un conjunto son sus elementos.

2.4 Subconjuntos

Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular unsubconjunto propio).

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto quecontiene algunos de los elementos de B (o quiz todos):Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A B y se dice que A est contenido en B. Tambin puedeescribirse B A, y decirse que B es un superconjuntode A y tambin B contiene a A o B incluye a A.Todo conjunto A es un subconjunto de s mismo, ya quesiempre se cumple que cada elemento de A es a su vezun elemento de A. Es habitual establecer una distincin

ms na mediante el concepto de subconjunto propio:Aes un subconjunto propio de B si es un subconjunto de Bpero no es igual a B. Se denota como A B, es decir: A B pero A B (y equivalentemente, para un superconjuntopropio, B A).[n 2]

Ejemplos.

El conjunto de todos los hombres es un sub-conjunto propio del conjunto de todas las per-sonas.{1, 3} {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}

2.5 Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningnelemento en comn. Por ejemplo, los conjuntos de losnmeros racionales y los nmeros irracionales son dis-juntos: no hay ningn nmero que sea a la vez racional eirracional. La interseccin de dos conjuntos disjuntos esel conjunto vaco.

3 CardinalidadLos conjuntos pueden ser nitos o innitos. En el casode un conjunto nito se pueden contar los elementos delconjunto:El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. As, en losejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro nmeros),|B| = 3 (tres colores) y |F | = 10 (diez cuadrados). El nicoconjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vaco .En un conjunto innito no hay un nmero nito de ele-mentos. Es el caso por ejemplo de los nmeros naturales:N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe unamanera de com-parar conjuntos innitos entre s, y se obtiene que existenconjuntos innitos ms grandes que otros. El nme-ro de elementos de un conjunto innito es un nmerotransnito.

4 Operaciones con conjuntosOperaciones con conjuntos

Unin

4 7 REFERENCIAS

Interseccin

Diferencia

Complemento

Diferencia simtrica

Existen varias operaciones bsicas que pueden realizarsepara, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nue-vos conjuntos:

Unin: (smbolo ) La unin de dos conjuntos A yB, que se representa como A B, es el conjunto detodos los elementos que pertenecen al menos a unode los conjuntos A y B.

Interseccin: (smbolo ) La interseccin de dosconjuntos A y B es el conjunto A B de los ele-mentos comunes a A y B.

Diferencia: (smbolo \) La diferencia del conjuntoA con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminarde A cualquier elemento que est en B.

Complemento: El complemento de un conjunto Aes el conjunto A que contiene todos los elementosque no pertenecen aA, respecto a un conjuntoU quelo contiene.

Diferencia simtrica: (smbolo ) La diferencia si-mtrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A B con todos los elementos que pertenecen, o bien aA, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano: (smbolo ) El producto car-tesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A Bde todos los pares ordenados (a, b) formados con unprimer elemento a perteneciente a A, y un segundoelemento b perteneciente a B.

Ejemplos

{1, a, 0} {2, b} = {2, b, 1, a, 0} {5, z, } {, a} = {} {5, z, } \ {, a} = {5, z} {, 5} {8, #, } = {5, #, 8} {1, a, 0} {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0,2), (0, b)}

5 Vase tambin Axiomas de Zermelo-Fraenkel Relacin matemtica Correspondencia matemtica Conjunto de Borel Diagrama de Venn Estructura algebraica Funcin matemtica Georg Cantor Morsmo Teora de conjuntos

6 Notas[1] Este smbolo lo introdujo Peano. Vid Matemtica Moder-

na de Andr Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su l-gebra Elemental (pg.1 y pg.2) habla de: La notacin dePeano x X.

[2] Tambin se utiliza la notacin A B y B A, pero segnel autor esto puede denotar subconjunto, A B y B A; osubconjunto propio, A B y B A. Vase Subconjunto.

7 Referencias[1] Esta seccin est basada en Ferreirs, J. The early deve-

lopment of set theory. En Edward N. Zalta. The StanfordEncyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition) (en ingls).Archivado desde el original el 30 de julio de 2011. Con-sultado el 15 de diciembre de 2011.

5[2] Vase Cantor, Georg (2006) [1872-1899]. Fundamentospara una teora general de conjuntos. Escritos y correspon-dencia selecta. Edicin de Jos Ferreirs. Crtica. p. 137.ISBN 84-8432-695-0.

7.1 Bibliografa Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian(1996). What is Mathematics? An Elementary Ap-proach to Ideas and Methods (en ingls). OxfordUniversity Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplementodel captulo II.

Ivorra, Carlos, Lgica y teora de conjuntos, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf, consultado el18 de abril de 2011.

Jech, Thomas. Set Theory. En Edward N. Zal-ta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring2009 Edition) (en ingls). Consultado el 22 de abrilde 2011.

Lipschutz, Seymour (1991). Teora de conjuntos ytemas anes. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Nachbin, Leopoldo : lgebra elemental (1986) Ro-chester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edi-cin de la OEA, traducida al espaol por Csar E.Silva.

8 Bibliografa adicional Halmos, Paul R. : Teora intuitiva de conjuntos(1965) Compaa editorial Continental S.A. Mxi-co 22, D.F. primera edicin en espaol.

9 Enlaces externos

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Weisstein, Eric W. Set. En Weisstein, Eric W.MathWorld (en ingls). Wolfram Research.

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6 10 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

10 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias10.1 Texto

Conjunto Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto?oldid=83245188 Colaboradores: AstroNomo, Piolinfax, Moriel, Pilaf, Robbot,Aloriel, Interwiki, Vargenau, Porao, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Unf, Alhen, Aeoris, Yrbot, ALE!,.Sergio, Echani, Wewe, Eskimbot, Baneld, Gtz, Jos., Tomatejc, Demiannnn, Juan Marquez, Kn, Aleator, BOTpolicia, CEM-bot,JMCC1, Chabacano, Marianov, Davius, Rastrojo, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Thijs!bot, Alvaro qc, Escarbot, IrwinSantos, PhJ, Arcibel,Dogor, Gusgus, Cgb, Mpeinadopa, JAnDbot, Chien, TXiKiBoT, HiTe, Linkedark, Humberto, Netito777, Rei-bot, Fixertool, Plux, Loku,MarisaLR, VolkovBot, Technopat, Galandil, Matdrodes, Synthebot, DJ Nietzsche, Yayoloco, AlleborgoBot, Muro Bot, SieBot, BOTarate,Mel 23, WikiBotas, Mafores, PipepBot, Tirithel, Dnu72, HUB, Farisori, Eduardosalg, Leonpolanco, Botito777, Serser, Atila rey, Bodhi-sattvaBot, Aipni-Lovrij, Osado, Juana Banana, Camilo, UA31, Abajo estaba el pez, AVBOT, Ellinik, David0811, MarcoAurelio, Ialad,Diegusjaimes, MelancholieBot, Andreasmperu, Luckas-bot, Nallimbot, Jotterbot, Vic Fede, Albert0013, Luis Felipe Schenone, ArthurBot,Argentinoo, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Daniel unam, Ricardogpn, Mctpyt, Kismalac, Igna, Botarel, Hprmedina, Lipedia, TobeBot, Al-bertobsd, AnselmiJuan, PatruBOT, KamikazeBot, Dinamik-bot, Humbefa, Olivares86, Nachosan, Jorge c2010, Foundling, GrouchoBot,The crazy01, Axvolution, EmausBot, Savh, AVIADOR, Jaucafo, Sergio Andres Segovia, Maestro de matemticas, Jcaraballo, Yormile-nio, Tesla91, Waka Waka, Rafamarley, Xerox 5B, MerlIwBot, Julio grillo, UAwiki, Gins90, Sittsam, Cyberdelic, Acratta, Harpagornis,LlamaAl, Helmy oved, Legobot, Nelsonores3rd, Balles2601, Ereretani, Anthonyko, JacobRodrigues, Elizayandy, Danisora, Ineditable,Jarould, Egis57, BenjaBot, (- -)ZZZ Dormido, Lqremzo y Annimos: 270

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