LECCIONES DE TOPOLOGIAManagua, Enero de 2008Prof. Marta Macho Stadler2Marta Macho StadlerDepartamento de Matem aticasFacultad de Ciencia y TecnologaUniversidad del Pas VascoEuskal Herriko UnibertsitateaBarrio Sarriena s/n, 48940 Leioae-mail: marta.macho@ehu.eshttp://www.ehu.es/ mtwmastmTlf: +34-946015352 Fax: +34-946012516Portada: La banda de M obiusc _Jean-Pierre Petit, http://www.jp-petit.comLas aventuras de Anselmo Lanturlu. El Topologic onhttp://www.savoir-sans-frontieres.com/Indice generalIntroducci on 51. Repaso de algunos conceptos matem aticos 11.1. Un poco de L ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Smbolos y conectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Los objetos del razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Condiciones necesarias y sucientes. . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Los m etodos de demostraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Funciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Propiedades de los n umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Nociones sobre cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162. Espacios m etricos 232.1. Denici on de espacio m etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1. Denici on de distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2. Distancia entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Bolas abiertas y cerradas. Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2. Topologa inducida por una m etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1. Clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3334Indice general2.4.2. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.3. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Subespacios de un espacio m etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Di ametro de un conjunto. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . 392.7. Conjuntos densos y espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413. Continuidad en espacios m etricos 573.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Aplicaciones continuas y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3. Extensiones de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4. Aplicaciones uniformemente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664. Convergencia en espacios m etricos 754.1. Denici on de sucesi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4. Espacios m etricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5. Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845. Conexi on en espacios m etricos 915.1. Espacios y conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3. Espacios totalmente disconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.4. Conexi on en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5. Conexi on y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.6. Conexi on por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986. Compacidad en espacios m etricos 1056.1. Espacios y conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2. Compacidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3. Compacidad secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4. Compacidad en espacios eucldeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Indice general 57. Espacios vectoriales normados 1197.1. Normas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.1.1. M etrica denida por una norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.1.2. Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.1.3. Aplicaciones lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.1.4. Espacios de Hilbert y de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.2.1. Convergencia simple y uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.2.2. Algunos teoremas importantes en An alisis Real . . . . . . . . . . 128Bibliografa 1316Indice generalIntroducci onEntre lo que veo y digo,entre lo que digo y callo,entre lo que callo y sue no,entre lo que sue no y olvido,la poesa.Decir: hacerOctavio Paz (1914-1998)La Topologa estudia aquellas propiedades de los espacios que permanecen inaltera-bles al someterlas a deformaciones continuas, es decir, a distorsiones que ni rompen nipegan algo que no lo estaba previamente.Por ejemplo, el car acter circular de una circunferencia no es una propiedad topol ogica:se pueden pegar las extremidades de una cuerda para hacer una circunferencia, y sin cortarni despegar, deformar esta gura en un cuadrado, una elipse, etc. Pero, la cualidad de notener extremidades permanece constante durante estas transformaciones.Se suele bromear, comentando que las personas que se dedican al estudio de la to-pologa no distinguen la rosquilla de la taza de caf e:, como se muestra en la gura dedebajo: en efecto, hemos pasado de la rosquilla a la taza sin realizar ni roturas ni cortes: ha sidouna transformaci on topol ogica.78 Introducci onLa topologa es pues matem atica cualitativa, matem atica sin n umeros: trata de pro-piedades cualitativas intrnsecas de los espacios, que son independientes de su tama no,posici on y forma.Losespaciosm etricos son los primeros ejemplos de espacios topol ogicos, los queprimero surgieron en el estudio cualitativo de espacios: generalizan las propiedades delos espacios eucldeos, donde sabemos medir la distancia entre dos puntos dados.En este texto, se trata de dar una introducci on a la Topologa, a trav es de la teora deespacios m etricos: aunque son un caso especialmente sencillo de espacios topol ogicos,se hace una revisi on de sus propiedades topol ogicas m as importantes, intentando dar unavisi on m as topol ogica que m etrica en los enunciados y las demostraciones.El curso est a organizado en siete captulos.El primero de ellos recopila aquellos preliminares sobre teora de conjuntos y l ogicamatem atica que son necesarios para una buena comprensi on del texto.Los siguientes cinco captulos estudian las propiedades m as importantes de espaciosm etricos: s olo est an demostrados aquellos enunciados cuya prueba no es trivial, se hanincluido una gran cantidad de ejemplos y cada captulo naliza con una amplia colecci onde ejercicios, donde los m as complicados est an marcados con el smbolo .El ultimo captulo se dedica al estudio de espacios normados y espacios de funciones,especialmente destacados en an alisis real y complejo.La bibliografa indicada se reere en su mayora a textos sobre espacios m etricos,aunque aparecen tambi en algunos libros dedicados a los espacios topol ogicos en general,donde se puede continuar el estudio iniciado en este curso.Managua, enero de 2008Repaso de algunos conceptosmatem aticosY aqu estoy yo, brotado entre las ruinas,mordiendo solo todas las tristezas,como si el llanto fuera una semillay yo el unico surco de la tierra.Barrio sin luzPablo Neruda (1904-1973)1.1. Un poco de L ogicaLa L ogica es una herramienta b asica en Matem aticas; damos aqu un repaso de algu-nos conceptos fundamentales.1.1.1. Smbolos y conectoresEn Matem aticas, es fundamental la utilizaci on de smbolos y conectores que sirvenpara modicar o combinar sentencias.Denici on 1.1. Los siguientes smbolos se llaman cuanticadores:1) el cuanticador universal: (para todo);2) el cuanticador existencial: (existe).Denici on 1.2. Tambi en es esencial el uso de los conectores:1) la negaci on: no;2) la conjunci on: (y);12 Captulo 1. Repaso de algunos conceptos matem aticos3) la disyunci on: (o);4) la implicaci on: =(si , entonces);5) la doble implicaci on: (si y s olo si o equivale).El manejo es sencillo, pero es preciso tener cuidado al utilizarlos. Por ejemplo, si PyQ son propiedades relativas a los elementos de un conjuntoX, para expresar quexcumple P, se escribir a P(x). Y entonces:Proposici on 1.1. P(x) Q(x), signica una de las tres posibilidades (mutuamente ex-cluyentes) siguientes:(i) P(x) y Q(x);(ii) P(x) y no-Q(x);(iii) no-P(x) y Q(x).Proposici on 1.2. C omo se niega una proposici on?1) no-(x X, P(x)) es lo mismo que decir que (x X: no-P(x)).2) no-(x X: P(x)) equivale a (x X, no-P(x)).3) no(x X, P(x) Q(x)) es lo mismo que decir que (x X: no-P(x) ono-Q(x)).4) no-(x X: P(x) =Q(x)) es equivalente a (x X, P(x) ,=Q(x)).En general, cuando aparecen varios cuanticadores en un enunciado, el orden en elque se escriben no importa, siempre que los cuanticadores involucrados sean del mismotipo:1) (x, y, P(x, y)) es lo mismo que decir que (y, x, P(x, y)).2) (x, y: P(x, y)) es equivalente a (yy: P(x, y)) .Pero, hay que tener cuidado cuando se ven involucrados cuanticadores de distinto tipo:3) (x, y: P(x, y)) ,= (y: x, P(x, y)).Ejemplo 1.1. Si X= N y P(x, y) es x y. La primera expresi on de 3) se lee comoque todo n umero natural posee otro mayor (que es cierta); la segunda signica que existeun n umero natural mayor que todos los dem as (que es falsa).1.1. Un poco de L ogica 3El cuanticador existencial y el conector disyunci on se pueden intercambiar, as comoel cuanticador universal y el conector conjunci on:1) (x, P(x)) y (y, Q(y)) es lo mismo que decir que (x, y, P(x) Q(y)).2) (x : P(x)) o (y: Q(y)) es equivalente a (x, y: P(x) Q(y)).Pero, no se pueden utilizar indistintamente:3) el cuanticador universal y el conector conjunci on:(x, P(x) Q(x)) ,= (x, P(x))) (x : Q(x)).Ejemplo 1.2. Si X= N, P(x) es ser par y Q(x) es ser impar. La primera expresi onse lee como que un n umero natural es par o impar (que es verdadera) y la segunda diceque todo n umero natural es par o todo n umero natural es impar (que es falsa).4) el cuanticador existencial y el conector disyunci on:(x : P(x)) (x : Q(x)) ,= (x : P(x) Q(x)).Ejemplo 1.3. Si X= N, P(x) es ser par y Q(x) es ser impar. La primera expresi onse lee como que existe un n umero natural par y existe un n umero natural impar (que escierta), y la segunda signica que existe un n umero natural a la vez par e impar (que esfalsa).1.1.2. Los objetos del razonamientoDenir una teora matem atica es establecer las reglas del juego sobre los objetos ma-nipulados. En Matem aticas, estas reglas se llaman axiomas.Denici on 1.3. Un axioma es todo enunciado que:1) sirve de fundamento para la construcci on de una teora;2) se admite como cierto y no es pues objeto de discusi on.Cuando un unico axioma no basta para denir una teora, se pide adem as:3) que los diferentes axiomas usados no se contradigan y sean independientes los unosde los otros.Ejemplos 1.1. Algunos ejemplos de axiomas son los siguientes:1) axioma de Euclides: dos rectas paralelas del plano eucldeo no se cortan; es la base dela Geometra Eucldea;4 Captulo 1. Repaso de algunos conceptos matem aticos2) axioma de elecci on: dado un conjunto X, existe una funci on de elecci on (ver la de-nici on 1.18), f : T(X) X, que asigna a todo A no vaco, f(A) = a A,que se llama punto distinguido;3) lema de Zorn: sea un conjunto parcialmente ordenado (X, ) (ver la denici on 1.31),tal que todo conjunto bien ordenado (ver la denici on 1.33) admite una cota supe-rior; entonces (X, ) posee un elemento maximal (ver la denici on 1.32);4) axioma de Zermelo: todo conjunto puede ser bien ordenado.Observaci on 1.1. 2), 3) y 4) son formulaciones equivalentes del mismo axioma.Denici on 1.4. Una denici on es una proposici on que sirve para explicar o introducir unanueva noci on.Una vez conocidos los axiomas y algunas deniciones, el juego puede comenzar, pues-to que las reglas ya se han planteado.Denici on 1.5. Un teorema es un enunciado que se deduce:1) directamente de los axiomas,2) de los axiomas y los teoremas precedentes, ycon las reglas de deducci on que se llaman demostraciones, que aseguran su validez.Denici on 1.6. A veces, se da unicamente el nombre de teorema a los verdaderamenteimportantes, a los que han pasado a la historia con un nombre, o a los que precisan unademostraci on muy larga, dejando el nombre de proposici on al resto.Denici on 1.7. Un lema es una proposici on preliminar a la demostraci on de un teorema.Denici on 1.8. Un corolario es una proposici on que se deduce inmediatamente de unteorema, por una demostraci on, sino inmediata, cuando menos corta y f acil.1.1.3. Condiciones necesarias y sucientesDenici on 1.9. (La implicaci on) Sea Xun conjunto. Sean P(x) y Q(x) dos f ormulasmatem aticas, deniendo los conjuntos A= x X: P(x) y B= x X: Q(x)respectivamente. Si A B, todo elemento vericando la f ormula P, cumple tambi en Q.En este caso, se dice que P implica Q, y se escribe P = Q. Se dice tambi en que P esuna condici on suciente de Q. En efecto, para obtener Q, basta con conocer P. Se dicetambi en que Q es una condici on necesaria de P.1.1. Un poco de L ogica 5Denici on 1.10. (La equivalencia)Sea X un conjunto. Sean P(x) y Q(x) dos f ormulasmatem aticas, deniendo los conjuntos A= x X: P(x) y B= x X: Q(x)respectivamente. Si A=B, todo elemento vericando la f ormula P, cumple tambi en Qy todo elemento vericando la f ormula Qcumple a su vez P. En este caso, se dice que Pes equivalente a Q, y se escribe P Q. Como A = B es id entico a A B y B A,la equivalencia P Q signica las dos implicaciones: P =Q y Q =P.Es decir, las dos propiedades equivalentesP yQ caracterizan el mismo conjunto.Observar que en tal caso P es una condici on necesaria y suciente de Q.1.1.4. Los m etodos de demostraci onHay muchos m etodos de demostraci on, entre los cuales los m as importantes son:(i) M etodo de la hip otesis auxiliar: para probar que P =Q, se supone P cierta.Esta forma de razonamiento, la m as directa, es tambi en la m as conocida. De manerapr acticaconsisteendemostrarelteoremaP=Q,dondePeslahip otesisyQlaconclusi on o tesis, suponiendo que se verica P (la hip otesis es cierta) y ayud andose delos axiomas y de los otros teoremas de la teora demostrados anteriormente.(ii) Disjunci on de los casos: para probar queP=Q, se descomponeP en laforma P1 Pn, y se prueba que para cada i 1, . . . , n, es Pi= Q.Es decir, se descompone el conjunto A= x X: P(x) en una uni on disjunta desubconjuntos A1, , An. Si B= x X: Q(x), se prueba que para cada 1 i n,se tiene Ai B. Y como A = A1 An, se tendr a A B.Ejemplo 1.4. Probar que si n N, entonces n(n + 1) es par.Demostraci on: Distinguimos dos posibilidades: si n es par, existe k N, tal que n = 2k,y entonces n(n + 1)=2k(2k + 1). Si n es impar, existe k N, tal que n=2k + 1, yentonces n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(2k + 1)(k + 1), que es claramente par.(iii) M etodo de contraposici on: para probar que P = Q, se demuestra el contra-recproco no-Q = no-P.Es un primer m etodo de prueba indirecta. Descansa sobre el hecho de que la inclusi onA B es equivalente a decir que los conjuntos complementarios (ver la denici on 1.133)) verican la inclusi on Bc Ac.Ejemplo 1.5. Probar que si n N es tal que n2es par, entonces n es par.Demostraci on: Si n N es impar, entonces n2es impar.6 Captulo 1. Repaso de algunos conceptos matem aticos(iv) Demostraci on por reducci on al absurdo: para probar un enunciado P, se su-pone su negaci on no-P, y se busca una contradicci on en la teora en la que se trabaja.Como se admite evidentemente que esta teora no admite contradicciones, la suposi-ci on no-P ser a falsa, lo cual es equivalente a decir que P es cierta. A qu e contradicci onse debe llegar? A contradecir un axioma, un teorema anteriormente probado o la suposi-ci on no-P.De modo similar, para probar que P=Q razonando por reducci on al absurdo, seadmite lo contrario, es decir, que no-(P =Q), o lo que es equivalente, Py no-Q. Y sebusca entonces encontrar una contradicci on.(v) El contraejemplo: para probar que una f ormula matem atica P es cierta sobre unconjunto X, hay que probar que todos los elementos de X la verican. Pero, se sabe quela negaci on de (x X, P(x)) es (x X, no-P(x)). As, para probar que esta f ormulaes falsa, basta con encontrar un elemento de X que no verique P. Esto es lo que se llamadar un contraejemplo, lo que permite probar que una conjetura es falsa.Ejemplo 1.6. Si x R, es cierto que si x x2, entonces es x 1?Demostraci on: La respuesta es falsa, tomando x = 2.(vi) La demostraci on por recurrencia: este tipo de demostraci on est a ligada a ladenici on del conjunto de los enteros naturales. Es una t ecnica util para probar que unapropiedad P(n) es cierta para todos los enteros naturalesn, o para los que son igualeso superiores a un cierto n0. Sean n0 un entero natural y P(n) una f ormula del lenguajematem aticoquedependedeunenteron. ParaprobarqueP(n)severicaparacadan n0, basta con probar que:1) P(n0) es cierta,2) demostrar, bajo la hip otesis de que P(n) se verica para n n0, n0 + 1, . . . k, queP(k + 1) es cierta.La primera etapa se trata de una simple vericaci on, el segundo paso descrito es, dehecho, el objeto de una demostraci on.Ejemplo 1.7. Probar que para cada n N, 1 + +n =n(n+1)2.Demostraci on: Paran=1, es cierto que1=1(1+1)2. Si la propiedad se verica paran 1, . . . , k, entonces: 1+2++k+(k+1)=(1+2++k)+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=(k+2)(k+1)2.1.2. Teora de conjuntos 7Hay una forma d ebil de la demostraci on por recurrencia: para probar queP(n) severica para cada n n0, basta con probar que:1) P(n0) es cierta,2) demostrar, bajo la hip otesis de que P(k) se verica parak>n0, que P(k + 1) escierta.Observar que, en este caso, para probar que P(k + 1) se verica, nos apoyamos s olosobre la hip otesis de que P(k) es cierta.1.2. Teora de conjuntosDenici on 1.11. Un conjunto es una colecci on de objetos, llamados elementos o puntos.Son conjuntos importantes en Matem aticas N, Z, Q, R,.Si x es un elemento de X, se denota por x X. An alogamente, x/ X denota la nopertenencia de x al conjunto X. El conjunto vaco es el conjunto sin elementos.Se puede denir un conjunto:1) por extensi on, nombrando todos sus elementos: por ejemplo, el conjunto de los n ume-ros naturales pares es 2, 4, 6, 8,;2) a trav es de una propiedad P v alida en un universo U, que servir a para caracterizarlox U : P(x). Por ejemplo, el conjunto de los n umeros naturales pares se puedeexpresar por x N : x es m ultiplo de 2.Denici on 1.12. Dados A, B X, se dice que A est a contenido en B, A B, si paracada x A, es x B. Y A es igual a B, A = B, si A B y B A.Denici on 1.13. Si A, B X, se denen:1) la intersecci on deA yB, porA B= x X: x A x B. Claramente,A B A, B. A y B se dicen disjuntos si A B= ;2) la uni on de A y B, por A B= x X: x A x B. Es decir x A B, sise verica una (y s olo una) de las condiciones siguientes:(i) x A y x B,(ii) x A y x , B,(iii) x , A y x B.8 Captulo 1. Repaso de algunos conceptos matem aticosClaramente, A, B A B;3) el complementario de A en X, por X A= x X:x ,A. Si no hay duda derespecto a que conjunto se est a tomando el complementario, se suele denotar porAc;4) la diferencia de A y B, por A B= A Bc= x X: x A x , B.Proposici on 1.3. Las anteriores operaciones verican las siguientes propiedades:1) leyes idempotentes: A A = A = A A;2) leyes asociativas: (A B) C= A (B C) y (A B) C= A (B C);3) leyes conmutativas: A B= B A y A B= B A;4) leyes distributivas: A(BC) = (AB)(AC) y A(BC) = (AB)(AC);5) identidades: A X= A = A , A X= X y A = ;6) propiedades del complementario: A Ac= X, A Ac= , (Ac)c= A y Xc= ;7) leyes de De Morgan: (A B)c= Ac Bcy (A B)c= Ac Bc.Denici on 1.14. Se llama partes de X o conjunto potencia de X al conjunto de todos lossubconjuntos de X, y se denota por T(X) o 2X. Es decir, A X si y s olo si A T(X).Denici on 1.15. AB= (a, b) : a A b B es el producto cartesiano de A porB. Sus elementos son pares ordenados.Claramente,AB ,=BA. YAB= , si y s olo siA= oB= . Dos paresordenados (a1, b1), (a2, b2) AB, son iguales (a1, b1) = (a2, b2) si y s olo si a1= a2 yb1= b2. Luego, (a1, b1) ,= (a2, b2) si y s olo si a1 ,= a2 o b1 ,= b2.En general, dada una familia nita de conjuntos A1, , An, se dene su productocartesiano porn

i=1Ai=A1An= (a1, , an): ai Ai, i 1, , n. SiAi= A para cada i 1, , n, el producto cartesiano se denota por An.Proposici on 1.4. El producto cartesiano verica las siguientes propiedades:1) A (B C) = (A B) (A C);2) A (B C) = (A B) (A C);3) si C ,= y A C= B C, entonces A = B;1.3. Funciones y sus propiedades 94) A (B C) = (A B) (A C);5) (A B) (C D) = (A C) (B D);6) (A B)c= (AcBc) (AcB) (A Bc);7) si B C, entonces A B A C;8) (A B) (C D) = (A D) (C B);9) si A, B, C y D son conjuntos no vacos, entonces AB C D si y s olo si A Cy B D.Denici on 1.16. Sea I ,= un conjunto de ndices. Se considera una familia de conjuntosAi:i I, y se dice que esta familia est a indicada por I. Los conjuntos Ai no tienenporque ser diferentes.Denici on 1.17. Dada una familia indicada Ai: i I, con Ai X, se dene:1) la intersecci on generalizada

iIAi= x X: i I, x Ai, y2) la uni on generalizada_iIAi= x X: i I tal que x Ai.Si el conjunto de ndices I es nito, estas deniciones coinciden con las dadas en ladenici on 1.13. Se cumplen tambi en en este caso las propiedades distributivas, las leyesde De Morgan_

iIAi_c=_iIAci y__iIAi_c=

iIAci, etc.1.3. Funciones y sus propiedadesDenici on 1.18. Dados dos conjuntos X e Y , una aplicaci on o funci on f :XY , esuna correspondencia que asocia a cadax X, un elemento y s olo uno deY , que sedenota por f(x).Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de aplicaciones son:1) la aplicaci on identidad, 1X :XX, denida por 1X(x) = x;2) la aplicaci on inclusi on: si A X, iA:AX, se dene por iA(x) = x;3) la aplicaci on constante, cy0:XY , denida por cy0(x) = y0, donde y0 es un puntojo de Y ;10 Captulo 1. Repaso de algunos conceptos matem aticos4) la i- esima proyecci on coordenada, pi:A1 AnAi, denida por la igualdadpi((a1, , an)) = ai;5) la inyecci on diagonal, d:XXn, denida por d(x) = (x, , x);6) la funci on caracterstica de un conjunto: si A X, A:X0, 1, denida porA(x) =_0 si x , A1 si x A7) dada f :XYy A X, la restricci on de fa A, f[A:AY , est a denida porf[A(a) = f(a);8) si g :AYy A X, entonces f :XYes una extensi on de g a X, si f[A= g;una aplicaci on puede tener varias extensiones;9) si f :AYy g :BYson dos aplicaciones, donde A B= X y f(x) = g(x),para cada x A B, se puede denir la combinada de fy g, como la aplicaci onh:XYdenida porh(x) =_f(x) si x Ag(x) si x BDenici on 1.19. Dada una aplicaci on f :XY , X se llama el dominio de f e Yes sucodominio. El grafo de fes el conjunto Gf= (x, f(x)): x X XY , que enmuchas ocasiones se identica con f.Denici on 1.20. Dos aplicaciones f :XYy g :ZWson iguales, cuando coin-ciden sus dominios (X= Z), sus codominios (Y= W) y f(x) = g(x), para cada x X.Por ejemplo, si f :XYes una aplicaci on y A X, f y f[A no son iguales.Denici on 1.21. Dada f :XY , f(A)= y Y : a A tal que f(a)=y es laimagen directa de A. f(X) se llama rango de la aplicaci on.Denici on 1.22. Si B Y , f1(B) = x X: f(x) B es su imagen recproca.Proposici on 1.5. Dada f :XY , se verica:1) f() = , f(X) Yy si A ,= , entonces f(A) ,= ;2) si A1, A2 X, y A1 A2, entonces f(A1) f(A2);3) Si Ai X para i I, f(_iIAi) =_iIf(Ai) y f(

iIAi)

iIf(Ai);1.3. Funciones y sus propiedades 114) siA1, A2 X,f(A1) f(A2) f(A1 A2) y en particularf(X) f(A2) f(X A2) (entre Y f(A2) y f(X A2) no hay en general ninguna relaci on);5) f1() = , y puede existir , = B Y , tal que f1(B) = ;6) f1(Y ) = X;7) si B1, B2 Yy B1 B2, entonces f1(B1) f1(B2);8) si Bi Ypara i I, f1(

iIBi) =

iIf1(Bi) y f1(_iIBi) =_iIf1(Bi);9) Si B1, B2 Y , f1(B1B2) = f1(B1)f1(B2), y en particular, f1(Y B2) =X f1(B2);10) si A X, A f1(f(A));11) si B Y , f(f1(B)) = f(X) B B;12) si A X y B Y , f(A f1(B)) = f(A) B.Denici on 1.23. Dadas f :XYy g :Y Z, se dene la composici on de g y f, porg f :XZ, donde (g f)(x) = g(f(x)), para cada x X.Proposici on 1.6. Sean f :XY , g :Y Z y h:ZWaplicaciones, entonces:1) la composici on de funciones es asociativa: h (g f) = (h g) f;2) f 1X= f y 1Y g= g;3) si C Z, es (g f)1(C) = f1(g1(C));4) si f :XYy g :Y X, en general, f g ,= g f.Denici on 1.24. Se dice quef :XYes sobreyectiva, sif(X)=Y , es decir, paracada y Y , existe x X, tal que f(x)=y. Y es inyectiva, si dados x1 ,=x2 en X, esf(x1) ,= f(x2) (o equivalentemente, si f(x1) = f(x2), entonces x1= x2).Proposici on 1.7. Sea f :XY , entonces:1) B= f(f1(B)) para cada B Y , si y s olo si f es sobreyectiva;2) Y f(A) f(X A) para cada A X si y s olo si f es sobreyectiva;3) si g, h:Y Z y f es sobreyectiva, entonces g f= h f implica que h = g;4) si g :Y X y f g= 1Y, entonces f es sobreyectiva;12 Captulo 1. Repaso de algunos conceptos matem aticos5) A = f1(f(A)) para cada A X, si y s olo si f es inyectiva;6) f(

iIAi) =

iIf(Ai) para cada familia indicada de conjuntos Ai XiI si y s olosi f es inyectiva;7) si f es sobreyectiva, entonces para cada A X es Y f(A) = f(X A) si y s olosi f es inyectiva;8) si g, h:ZX y f es inyectiva, entonces f g= f h implica que h = g;9) si g :Y X y g f= 1X, entonces f es inyectiva.Denici on 1.25. f :XYes biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. En talcaso, lacorrespondenciadenidapor f1:Y X, dondef1(y) =xsi ys olosif(x) = y, es una funci on.Proposici on 1.8. Sea f :XY , entonces:1) si f es biyectiva, entonces f1tambi en lo es;2) si f es biyectiva, entonces f1 f= 1X, f f1= 1Yy (f1)1= f;3) si g :Y X y g f= 1X y f g= 1Y, entonces f es biyectiva y g= f1;4) si f :XYy g :Y Z son biyectivas, entonces g f lo es y adem as (g f)1=f1 g1.1.4. Relaciones binariasDenici on 1.26. Dado un conjunto X, una relaci on binaria es R X X. Rse llama:1) reexiva, si para cada x X, es (x, x) R;2) sim etrica, si dado (x, y) R, entonces (y, x) R;3) antisim etrica, si (x, y) R e (y, x) R implica que x = y;4) transitiva, si dados (x, y), (y, z) R, entonces (x, z) R.Denici on 1.27. Una relaci on de equivalencia es una relaci on binaria reexiva, sim etricay transitiva. Se suele denotar por xRy en vez de (x, y) R.Denici on 1.28. Dada R una relaci on de equivalencia, se llama clase dex al conjunto[x]= y X:xRy. El conjunto cociente X/R, es el conjunto de todas las clases deequivalencia.1.4. Relaciones binarias 13Proposici on 1.9. Algunas propiedades son:1) x [x] (x se llama representante de su clase), luego [x] ,= ;2) xRy si y s olo si [x] = [y];3) [x] ,= [y] si y s olo si [x] [y] = .Denici on 1.29. Una partici on de X es una familia T= Pi:i I de subconjuntosno vacos de X, tales que:(i) X=_iIPi, y(ii) si Pi ,= Pj, entonces Pi Pj= .Lema 1.10. Es equivalente dar una partici on deXque una relaci on de equivalenciasobre el.Denici on 1.30. Existe una aplicaci on can onica, p:XX/R, que asigna a cada ele-mento x su clase de equivalencia p(x) = [x]. Se llama aplicaci on cociente y es sobreyecti-va. Una vez dada la aplicaci on cociente, cada clase de equivalencia en X es precisamentep1(p(x)).Denici on 1.31. Una relaci on sobre X es un orden parcial si es una relaci on reexiva,antisim etrica y transitiva. Se dice tambi en que Xest a parcialmente ordenado. El ordense llama total, si dos elementos cualesquiera de X son comparables por esta relaci on.Denici on 1.32. Si X est a parcialmente ordenado por , entonces:(i) a X se llama elemento m aximo de X, si para cada x X, es x a;(ii) a X es un elemento maximal de X, si a , x para cada x ,= a;(iii) a X se llama elemento mnimo de X, si para cada x X, es x a,(iv) a X es un elemento minimal de X, si x , a para cada x ,= a.Ejemplo 1.8. SiX= a, b, c con el orden parciala b ya c, entoncesb es unelemento maximal de X, pero no un m aximo.Denici on 1.33. Un conjunto parcialmente ordenado en el cual todoA Xno vacoposee un elemento mnimo, se llama conjunto bien ordenado. Por ejemplo, (Z, ) noest a bien ordenado.14 Captulo 1. Repaso de algunos conceptos matem aticos1.5. Propiedades de los n umeros reales(R, ) es un conjunto totalmente ordenado, donde denota el orden usual en R.Denici on 1.34. Si A R, se tiene:1) si u R es tal que a u para cada a A, se dice que u es una cota superior de A;2) la menor de las cotas superiores de A (es decir, u es cota superior de A y para cada zcota superior de A es z u) es el supremo de A, y se denota sup(A);3) si l R es tal que a l para cada a A, se dice que l es una cota inferior de A;4) la mayor de las cotas inferiores de A (es decir, l es cota inferior de A y para cada zcota inferior de A es z l) es el nmo de A, y se denota nf(A).Teorema 1.11. (Axioma de la cota superior) Si A R est a acotado superiormente (esdecir, existe M R, tal que M a, para cada a A), existe el supremo de A. Y en talcaso, s = sup(A) si y s olo si:(i) para cada a A, es a s, y(ii) para todo > 0, existe a A tal que a> s .Del axioma anterior, se deduce que:Corolario 1.12. SiA R est a acotado inferiormente (es decir, existem R, tal quem a, para cada a A), existe el nmo de A. Y entonces, i =nf(A) si y s olo si:(i) para cada a A, es a i, y(ii) para todo > 0, existe a A tal que a< i +.R es arquimediano, es decir, el conjunto N no est a acotado superiormente. De aqu sededucen la siguientes propiedades:Teorema 1.13. (Propiedad arquimediana) Paratodox >0, existenN, talque0 2Estudiarsi fesinyectivaosobreyectiva. ycalcularf((1, 3)), f([2, 2]), f1((0, 1)),f1([4, 4]). Si g : RReslaaplicaci ong(x) =[x[, determinar f gycalcular(f g)1((2, 5]).20.- Probar que la aplicaci on f : R 2R 1, denida por: f(x)=x+2x2es bi-yectiva y calcular f1.21.- Calcular f(Ai) y f1(Bi) (i 1, 2), para f : RR, donde:(i) f(x) = x2, A1= (0, 2), B1= (0, 4) y B2= (1, 0);(ii) f(x) = x4, A1= (0, 2), A2= , B1= (0, 16] y B2= (1, 0];(iii) f(x) =1x (para x > 0), A1= N, B1= x R : x > 2 y B2= N;(iv) f(x) = x33x, A1= [0, ), B1= (0, 2) y B2= 2.22.- Dados x, y R, utilizando el car acter arquimediano de R, probar:(i) si x > 0 e y> 0, existe n N, tal que nx > y;(ii) si x > 0, existe n N, tal que 0 0, existe n N, tal que n 1 x < n.Espacios m etricosSilencioSe oye el pulso del mundo como nunca p alidoLa tierra acaba de alumbrar un arbol.AltazorVicente Huidobro (1893-1948)2.1. Denici on de espacio m etrico2.1.1. Denici on de distanciaUn espacio m etrico es un conjunto en donde se introduce la noci on de distancia entresus elementos. Se intenta generalizar lo que sucede en el plano o el espacio: aqu cono-cemos perfectamente lo que es la distancia entre dos puntos. El problema, siendo Xunconjunto abstracto, es denir lo que se entiende por distancia entre dos de sus elementos,cuya naturaleza especca desconocemos. Para abstraer el concepto de distancia, hay quecaptar lo esencial de dicho concepto, lo que da lugar a la siguiente denici on:Denici on 2.1. Dado un conjunto X ,= , una m etrica o distancia sobre X es una funci ond:X XR, vericando:(i) positividad: para cada x, y X, es d(x, y) 0,(ii) propiedad id entica: dados x, y X, d(x, y) = 0 si y s olo si x = y,(iii) simetra: para cada x, y X, d(x, y) = d(y, x),(iv) desigualdad triangular: para cada x, y, z X, d(x, z) d(x, y) + d(y, z).La expresi ond(x, y) se lee como distancia dex ay, y el par(X, d) se denominaespacio m etrico.Sobre un mismo conjunto pueden denirse distintas m etricas, que dan lugar a diferen-tes espacios m etricos.2324 Captulo 2. Espacios m etricosDenici on 2.2. En la denici on 2.1, si se debilita la condici on (ii) reemplaz andola por(ii)* para cada x X, d(x, x) = 0,estamos contemplando la posibilidad de que existan x ,= y en X con d(x, y) = 0. Enton-ces d recibe el nombre de pseudom etrica.Ejemplos 2.1. Los primeros ejemplos de espacios m etricos son:1) (X, d) donded(x, y) =_0 si x = y1 si x ,= yes la m etrica discreta sobre X.2) El par (R, du), donde du(x, y)= [x y[, se llama la recta real y du es la distanciausual o eucldea.3) Sean(X1, d1), ...,(Xn, dn) una familia nita de espacios m etricos. Vamos a denirlo que se denomina el espacio m etrico producto, de tres maneras diferentes. SeanX=X1Xnyx=(x1, . . . , xn), y =(y1, . . . , yn) X. Tenemos tresdistancias sobre X:a) D1:X XR denida por D1(x, y) = maxdi(xi, yi) : 1 i n;b) D2:X XR denida por D2(x, y) =n

i=1di(xi, yi);c) D3:X XRdenidapor D3(x, y) =n

i=1d2i(xi, yi), esladistanciaeucldea. La unica propiedad de m etrica no inmediata es la desigualdad trian-gular, que en este caso recibe el nombre de desigualdad de Minkowski.Para demostrar la desigualdad triangular en el ultimo ejemplo, es preciso probar algu-nos resultados previos:Lema 2.1. (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Dadas dos familias de n umeros realesaini=1, bini=1, es:n

i=1(aibi) _n

i=1a2i_n

i=1b2i.2.1. Denici on de espacio m etrico 25Demostraci on: Suponemos quen

i=1a2i ,=0 ,=n

i=1b2i; en caso contrario, para todo i seraai= 0 = bi, y la desigualdad sera trivial. Sean , R, entonces:0 n

i=1(aibi)2=n

i=1_2a2i+ 2b2i 2aibi_,es decir,2n

i=1aibi 2n

i=1a2i+2n

i=1b2i.Tomando =_n

i=1b2iy =_n

i=1a2i, queda probado el resultado.Lema 2.2. (Desigualdad de Minkowski)En las condiciones del lema 2.1, es_n

i=1(ai +bi)2_n

i=1a2i+_n

i=1b2iDemostraci on: Lo que se desea probar equivale a demostrar quen

i=1(ai +bi)2n

i=1a2i+n

i=1b2i+ 2_n

i=1a2i_n

i=1b2i,es decir, simplicandon

i=1(aibi) _n

i=1a2i_n

i=1b2i,que es el lema 2.1.Como consecuencia de todo esto, se verica la desigualdad triangular del ejemplo 2.13c), que equivale a probar que_n

i=1d2i(xi, zi) _n

i=1d2i(xi, yi) +_n

i=1d2i(yi, zi),y para ello basta con tomar ai= di(xi, yi) y bi= di(yi, zi) en la desigualdad de Minkows-ki y utilizar la desigualdad triangular para las m etricas di, 1 i n.Las tres m etricas del ejemplo 2.1 3) est an muy relacionadas, y para comprobarlo espreciso dar antes la siguiente denici on:26 Captulo 2. Espacios m etricosDenici on 2.3. Sea X un conjunto no vaco y d1, d2 dos m etricas sobre X. Se dice qued1 es m etricamente equivalente a d2, si existen , 0 tales que 0 < < y para cadax, y X esd1(x, y) d2(x, y) d1(x, y).Lema 2.3. La anterior relaci on es una relaci on de equivalencia sobre el conjunto detodas las m etricas sobre X.Este lema permite hablar sencillamente de m etricas m etricamente equivalentes sobreX, y se dice que (X, d1) y (X, d2) son espacios m etricamente equivalentes.Proposici on 2.4. Las m etricas D1, D2 y D3 del ejemplo 2.1 3) son m etricamente equiva-lentes, y cualquiera de los tres espacios (X, Dk) (1 k 3) se llama espacio m etricoproducto de la familia (Xi, di) : 1 i n.Demostraci on: D1(x, y) D2(x, y). Y D2(x, y) nD1(x, y). Luego D1 y D2 son m etri-camente equivalentes. Por otro lado,D1(x, y) D3(x, y). YD3(x, y) nD1(x, y).Luego D1 y D3 son m etricamente equivalentes. Por tratarse de una relaci on de equivalen-cia, se deduce que D2 y D3 son tambi en m etricamente equivalentes.Ejemplos 2.2. En particular, sobre Rnpuede denirse la m etrica producto inducida por lausual sobre la recta (denotamos los puntos por x = (x1, . . . , xn), y= (y1, . . . , yn) Rn):a) la m etrica del m aximo D1= dmax: RnRnR denida pordmax(x, y) = max[xiyi[ : 1 i n;b) la m etrica de la suma D2= dsum: RnRnRdada por dsum(x, y) =n

i=1[xiyi[;c) la distancia eucldea D3= du: RnRnRdenida por du(x, y) =n

i=1[xiyi[2.El par (Rn, du) se llama espacio eucldeo de dimensi on n.dsum(x, y), du(x, y) y dos ejemplos de dmax(x, y)2.1. Denici on de espacio m etrico 27Proposici on 2.5. Sean (X, d) un espacio m etrico y x, y, z, w X. Entonces[d(x, z) d(y, w)[ d(x, y) + d(z, w).En particular, es [d(x, z) d(y, z)[ d(x, y).Demostraci on: Aplicando dos veces consecutivas la desigualdad triangular, se tiene qued(x, z) d(x, y)+d(y, w)+d(z, w),luegod(x, z) d(y, w) d(x, y)+d(z, w).Delmismomodo, d(y, w) d(y, x)+d(x, z)+d(w, z),luegod(y, w) d(x, z) d(y, x) + d(w, z).2.1.2. Distancia entre conjuntosDados (X, d), , =A X y x X, la familia de n umeros reales d(x, y):y Aest a acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, existe nfd(x, y) : y A 0, se denotapor d(x, A) y se llama distancia de x a A.Ejemplo 2.1. Si x A, es claro que d(x, A) = 0. El recproco no es cierto: en (R, du), siA = (0, 1) y x = 0, es x , A, pero du(A, x) = 0.Proposici on 2.6. Sean un espacio m etrico (X, d), , =A X y x0, y0 X. Entonces,es [d(x0, A) d(y0, A)[ d(x0, y0).Demostraci on: ParacadaxAesd(x0, x) d(x0, y0)+d(y0, x), porlotantoesd(x0, A) d(x0, y0) + d(y0, x) para cada x A. As, d(x0, A) d(x0, y0) es una cotainferior de la familia d(y0, x) : x A, con lo que d(x0, A) d(x0, y0) d(y0, A). Demodo similar se demuestra la desigualdad d(y0, A) d(x0, y0) d(x0, A), con lo que seobtiene el resultado deseado.Dados (X, d) y , = A, B X, la familia de n umeros reales d(a, b) : a A, b Best a acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, existe nfd(a, b) : a A, b B 0, sedenota por d(A, B) y se llama distancia de A a B.Ejemplo 2.2. SiA B ,= , es claro qued(A, B) =0. El recproco no es cierto: en(R, du), los conjuntos A = (0, 1) y B= (1, 0) son disjuntos, pero du(A, B) = 0.Proposici on 2.7. Dados (X, d) y ,=A, B X, d(A, B)= nfd(A, y): y B=nfd(x, B) : x A.Demostraci on: Sea x A. Para cada y B es d(A, B) d(x, y). Luego d(A, B) es cotainferior de la familia d(x, y) : y B, y as d(A, B) d(x, B). Luego, para cada x Aes d(A, B) d(x, B), con lo que d(A, B) es cota inferior de la familia d(x, B) : x A,y entoncesd(A, B) nfd(x, B) : x A. Por la denici on ded(A, B), para cada28 Captulo 2. Espacios m etricos > 0, existe x A, y B tal que d(A, B)+ > d(x, y). Como d(x, B) d(x, y),es d(x, B)0. Como nfd(x, B): x A d(x, B),concluimos que para cada >0 es nfd(x, B) : x A 0. Se llama:1) bola abierta de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = y X: d(x, y) < r;2) bola cerrada de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = y X: d(x, y) r;3) esfera de centro x y radio r, al conjunto S(x, r) = y X: d(x, y) = r.Ejemplos 2.3. Damos algunos ejemplos de bolas en algunos espacios m etricos:(i) en (X, d), donde d es la m etrica discreta, B(x, 1) = x, B(x, 2) = X, B(x, 1) = X,B(x,12) = x, S(x, 1) = X x y S(x, 2) = ;(ii) en (R, du), B(x, r) = (xr, x+r), B(x, r) = [xr, x+r] y S(x, r) = xr, x+r;(iii) en (Rn, dmax), la bola B(x, r) = (x1 r, x1 + r)(xn r, xn + r), el cubode dimensi on n, centrado en x y arista 2r;(iv) en (Rn, dsum), la bola B(x, r) es el cubo de dimensi on n centrado en x, de arista 2ry girado;(v) en (Rn, du), B(x, r) es la bola abierta de dimensi on n, centrada en x y de radio r.2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 29Se verican las siguientes propiedades:Proposici on 2.9. En un espacio m etrico (X, d), se cumple:(i) para cada x X y r > 0, es B(x, r) ,= , = B(x, r); pero S(x, r) puede ser vaca;(ii) si 0 < r s, es B(x, r) B(x, s), B(x, r) B(x, s), B(x, r) B(x, s) (si r < s)y S(x, r) S(x, s) = si s ,= r;(iii) B(x, r) S(x, r) = B(x, r) y B(x, r) S(x, r) = ;(iv) la intersecci on nita de bolas abiertas de un mismo centro (respectivamente, ce-rradas) es la bola abierta (respectivamente, cerrada) del mismo centro y radio elmnimo de los radios. La intersecci on arbitraria de bolas no tiene porque ser unabola.Ejemplo 2.3. En (R, du),

nNB_0,1n_=

nN_1n,1n_= 0, que no es una bola.Teorema 2.10. (Propiedad de Hausdorff)En un espacio m etrico (X, d), dos puntos dis-tintos se pueden separar por bolas abiertas disjuntas.Demostraci on: Sean x ,=y. Entonces d(x, y)=r>0. Las bolas B(x,r2) y B(y,r2) sonobviamente disjuntas.2.3. Conjuntos abiertos y cerrados2.3.1. Conjuntos abiertosDenici on 2.6. En (X, d), un subconjunto A se dice abierto, si para cada a A, existera> 0 (que depende s olo de a) tal que B(a, ra) A.Teorema 2.11. En un espacio m etrico (X, d), los conjuntos X y son abiertos.Teorema 2.12. En un espacio m etrico (X, d), para cada x X y r> 0, la bola B(x, r)es un conjunto abierto.Demostraci on: Sea y B(x, r) y s = d(x, y) < r; es B(y, r s) B(x, r).Ejemplos 2.4. Algunos ejemplos de conjuntos abiertos son:(i) En (R, du), los intervalos abiertos son conjuntos abiertos;30 Captulo 2. Espacios m etricos(ii) En (X, d), con d la m etrica discreta, cualquier conjunto es abierto.Teorema 2.13. En (X, d), sea AiiI una familia de conjuntos abiertos. Entonces(i)_iIAi es abierto;(ii) si I es nito, entonces

iIAi es abierto.Demostraci on: (i) Si x _iIAi, existe i I tal que x Ai. Como Ai es abierto, existerx> 0 tal que B(x, rx) Ai _iIAi.(ii) Si x

iIAi, para cada i Ies x Ai. Para todo i I, existe ri>0 tal queB(x, ri) Ai. Si r = mnr1, . . . , rn, es B(x, r)

iIAi.Observaci on 2.1. En el teorema 2.13 (ii), el conjunto de ndices debe de ser nito: enefecto, en(R, du), si se tomaI =N y la familia de abiertosAn=(1n,1n), entonces

nNAn= 0, que no es abierto.Teorema 2.14. En (X, d), A es abierto si y s olo si es uni on de bolas abiertas.Demostraci on: Por los teoremas 2.12 y 2.13, la uni on de bolas abiertas es un conjun-to abierto. Y recprocamente, si A es abierto, para cadaa A existera>0 tal queB(a, ra) A. Es obvio que A =_aAB(a, ra).Observaci on 2.2. No todo abierto es una bola abierta, por ejemplo, en (R, du), A = R esabierto y no es una bola abierta.2.3.2. Topologa inducida por una m etricaDenici on 2.7. Sean un conjunto X y una familia P(X) vericando:1) , X ,2) si AiiI , entonces_iIAi ,2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 313) si A1, . . . , An , entonces A1 An .Se dice que es una topologa sobre X y el par (X, ) se llama espacio topol ogico.Como consecuencia de los teoremas 2.11 y 2.13, se obtiene:Proposici on 2.15. En (X, d), la familia d= U X:U es abierto es una topologasobre X, llamada topologa m etrica.Ejemplos 2.5. Algunos ejemplos de topologas son:(i) En (Rn, du), du se denomina la topologa eucldea;(ii) en (X, d), con d la m etrica discreta, d= T(X) se llama la topologa discreta.Denici on 2.8. Un espacio topol ogico (X, ) se llama metrizable, si existe una m etrica dsobre X tal que d= .Observaci on 2.3. Cualquierespaciotopol ogiconoesmetrizable: (R, ), donde =, R(latopologaindiscreta)noesmetrizable, puesnosecumplelapropiedaddeHausdorff.Denici on 2.9. Dos m etricasd1 yd2 sobreXse llaman topol ogicamente equivalentes,si inducen la misma topologa sobreX, y en tal caso se dice que (X, d1) y(X, d2) sonespacios m etricos topol ogicamente equivalentes.Lema 2.16. La relaci on ser topol ogicamente equivalentes es una relaci on de equiva-lencia en el conjunto de todas las m etricas sobre X.Lema 2.17. Con las notaciones obvias,(X, d1) y(X, d2) son topol ogicamente equiva-lentes si y s olo si para cada x Xy r>0, existen s1, s2>0 tales que Bd2(x, s2) Bd1(x, r) y Bd1(x, s1) Bd2(x, r).Lema 2.18. Si (X, d1) y (X, d2) son m etricamente equivalentes, tambi en son topol ogica-mente equivalentes.Ejemplo 2.4. El recproco no es cierto: sobre N, las m etricas discreta y usual son to-pol ogicamente equivalentes (ambas inducen la topologa discreta), pero no son m etrica-mente equivalentes.Observaci on 2.4. Cualquier propiedad enunciada para espacios m etricos en t erminos deconjuntos abiertos puede reformularse tambi en para espacios topol ogicos: en este cursosetrataprecisamentededarunrepasodelosconceptostopol ogicosm asimportantesrestringi endonos al caso particular de los espacios metrizables.32 Captulo 2. Espacios m etricos2.3.3. Conjuntos cerradosDenici on 2.10. Dados(X, d) yA X,x Xes un punto de acumulaci on deA (opunto lmite), si para cada r > 0 es (B(x, r) x) A ,= .Denici on 2.11. Sean (X, d) y A X. El derivado de A, At, es el conjunto de los puntosde acumulaci on de A. Si x A At, se dice que x es un punto aislado.Denici on 2.12. Sean (X, d) y A X. A se llama cerrado si At A.Ejemplos 2.6. Algunos ejemplos de puntos de acumulaci on son:(i) en (R, du), (0, )t= [0, ),_1n: n N_t= 0, Nt= y Qt= R;(ii) en (X, d), con d la m etrica discreta, para cada A X es At= .Lema 2.19. Sean (X, d) y A X. Si x At, entonces para cada r> 0, la intersecci on(B(x, r) x) A tiene innitos puntos.Demostraci on: Supongamos que parar >0 es(B(x, r) x) A= x1, . . . , xn.Sir0=mnd(x, xk) : 1 k n, entonces(B(x, r0) x) A= , contra lahip otesis.Corolario 2.20. En (X, d), si A X es nito, entonces es cerrado.Demostraci on: En este caso, es claramente At= .Teorema 2.21. En (X, d), A es cerrado si y s olo si X A es abierto.Demostraci on: Si Aes cerrado, sea x XA. Como At Ay x , A, es x , At. Luego,existe rx> 0 tal que (B(x, rx) x) A = , es decir, B(x, rx) x XA, y porlo tanto X A es abierto. Recprocamente, si X A es abierto y x At, supongamosque x , A. Existe rx> 0 tal que B(x, rx) X A, es decir, (B(x, rx) x) A = ,contra la hip otesis.De los teoremas 2.11 y 2.21, se deduce:Teorema 2.22. En (X, d), X y son conjuntos cerrados.Teorema 2.23. En(X, d), para cadax Xyr >0, la bolaB(x, r) es un conjuntocerrado.Demostraci on:BastaconprobarqueX B(x, r)esabierto:seayX B(x, r),entonces d(x, y) > r. Para r1= d(x, y) r, es B(y, r1) X B(x, r).2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 33Ejemplos 2.7. Algunos ejemplos de conjuntos cerrados son:(i) En (R, du), los puntos y los intervalos del tipo [a, b] son cerrados;(ii) En (X, d), con d la m etrica discreta, todo A X es cerrado.Usando el teorema 2.21, se deducen las propiedades duales del teorema 2.13:Teorema 2.24. En (X, d), sea AiiI una familia de conjuntos cerrados. Entonces(i)

iIAi es cerrado;(ii) si I es nito, entonces_iIAi es cerrado.Observaci on 2.5. En 2.24 (ii), el conjunto de ndices debe de ser nito: en efecto, en(R, du), si se toma I= N y la familia de cerrados An= [1n, 1], entonces_nNAn= (0, 1],que no es cerrado.Corolario 2.25. En (X, d), para cada x Xy r>0, la esfera S(x, r) es un conjuntocerrado.Demostraci on: Es una consecuencia de la igualdad S(x, r) = B(x, r) B(x, r).2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto2.4.1. Clausura de un conjuntoDenici on 2.13. En (X, d), si A X, la clausura de A es el conjunto A=A At. Six A, se dice que es un punto adherente de A.Teorema 2.26. En (X, d), A X es cerrado si y s olo si A = A.Observaci on 2.6. En particular, X= X y = .Teorema 2.27. En (X, d), x A si y s olo si para cada r > 0 es B(x, r) A ,= .Demostraci on:SeaxA. Si xA, lacondici onsecumpletrivialmente. Encasocontrario, debe ser x At y entonces (B(x, r) x)A ,= , y se concluye el resultado.Recprocamente, si para cada r > 0 es B(x, r) A ,= , pueden suceder dos cosas:34 Captulo 2. Espacios m etricos(i) si x A, es x A;(ii) si x ,A, es (B(x, r) x) A=B(x, r) A ,= para cada r>0, con lo quex At A.Teorema 2.28. En (X, d), si A, B X se verica:(i) si A B, es A B, es decir, la clausura preserva las inclusiones;(ii) A es cerrado.Demostraci on: Veamos (ii), y para ello basta con ver que A A. Sea x A, es decir,para cada r>0 es B(x, r) A ,= . Sea xr B(x, r) A y sr=r d(x, xr)>0.Comoxr A esB(xr, sr) A ,= . Claramente, esB(xr, sr) B(x, r), con lo queB(x, r) A ,= , y se deduce que x A.Teorema 2.29. (Caracterizaci on de la clausura)En (X, d), se cumple:(i) si Fes cerrado y A F, es A F;(ii) A =

Fcerrado: A F, es decir, A es el menor cerrado en (X, d) que contienea A.Demostraci on: (i) Si A F, por el teorema 2.28 (i), es A F, y como Fes cerrado, sededuce que A F.(ii) Si Fes cerrado y A F, es A F, luego A

Fcerrado: A F. Adem as,A es cerrado y contiene a A, luego A

Fcerrado: A F.Teorema 2.30. En (X, d), si A, B X se verica:(i) A B= A B;(ii) A B A B.Demostraci on: (i) Como A, B A B, por el teorema 2.28 (i) es A, B A B. Porotro lado, A B A B (que es cerrado) y A B es el menor cerrado que contiene aA B, luego A B A B.(ii) Como A B A, B, por el teorema 2.28 (i) es A B A, B.Observaci on 2.7. En 2.30 (ii), la igualdad no es cierta en general: en (R, du), si A = (0, 1)y B= (1, 2), es A B= y A B= 1.2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 35Ejemplos 2.8. Algunos ejemplos de clausuras son:(i) en (R, du), Q = R, R Q = R, N = N;(ii) en (X, d), con d la m etrica discreta, todo A X, es A = A.Todoespaciom etricoesnormal, esdecir, separacerradosdisjuntospormediodeabiertos (es una generalizaci on del teorema 2.10) en el siguiente sentido:Proposici on 2.31. En (X, d), si A, B X son cerrados disjuntos, existen abiertos dis-juntos U y V , tales que A U y B V .Demostraci on: Para cadaa A, esa ,B y existera>0 tal queB(a, ra) B= .Del mismo modo, para todob B, esb X A, por lo que existesb>0 tal queB(b, sb) A = . Basta con tomar U=_aAB_a, ra3_y V=_bBB_b, sb3_.Observaci on 2.8. En las condiciones de la proposici on 2.31, observar que U X V ,con lo que U X V X B, y por lo tanto es A U U X B.Todo espacio m etrico es regular, es decir, separa puntos de cerrados a trav es de abier-tos en el siguiente sentido:Corolario 2.32. En (X, d), si A Xes cerrado y x ,A existen conjuntos abiertos ydisjuntos U y V , tales que x U y A V .Demostraci on: Basta con aplicar la proposici on 2.31 al caso de los cerrados disjuntos A yx.2.4.2. Interior de un conjuntoDenici on 2.14. En(X, d), siA X,x A, se llama punto interior deA si existerx>0 tal que B(x, rx) A. El conjunto de los puntos interiores de A se llama interiorde A y se denota porA. Es claro queA A.Teorema 2.33. En (X, d), si A X, se cumple:(i) X A = .. X A;(ii) XA= X A.36 Captulo 2. Espacios m etricosDemostraci on: (i) Si x ,A, existe r>0 tal que B(x, r) A= , es decir, B(x, r) X A, con lo que x .. X A.(ii) Si x ,A, para cada r > 0 es B(x, r) , A, es decir, B(x, r) (X A) ,= , luegox X A.Teorema 2.34. En (X, d), A X es abierto si y s olo siA= A.Demostraci on:A es abierto si y s olo siX A es cerrado, es decir,X A=X A,equivalentementeA= A, por 2.33 (ii).Observaci on 2.9. En particular,X= X y= .Usando la dualidad con la clausura dada por el teorema 2.33 y el teorema 2.28, sedemuestra f acilmente:Teorema 2.35. En (X, d), si A, B X se verica:(i) si A B, esAB;(ii)A es abierto.Teorema 2.36. (Caracterizaci on del interior)En (X, d) se cumple:(i) si U es abierto y U A, es U A;(ii)A=

U abierto: U A, es decir,A es el mayor abierto contenido en A.Demostraci on: (i) Si U es abierto y est a contenido en A, por el teorema 2.35 (i) esUA,y U=U por ser abierto.(ii) Como todo abierto contenido en Aest a tambi en contenido en su interior, se vericaqueA U abierto: U A. Y comoA es abierto contenido en A, es uno de los queparticipan en la uni on, por lo queA

U abierto: U A.Usando la dualidad con la clausura dada por el teorema 2.33 y las propiedades delteorema 2.30, se deduce que:2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 37Teorema 2.37. En (X, d), si A, B X se verica:(i)A B= .. A B;(ii)A B .. A B.Observaci on 2.10. En 2.37 (ii), la igualdad no es cierta en general: en(R, du), siA=[0, 1] y B= [1, 2], es .. A B= (0, 2) yA B= (0, 2) 1.2.4.3. Frontera de un conjuntoDenici on 2.15. En (X, d), si A X, x X se llama punto frontera de A si para cadar > 0 es B(x, r) A ,= , = B(x, r) (X A). El conjunto de los puntos frontera de Ase llama frontera de A y se denota por fr(A).Ejemplos 2.9. Algunos ejemplos de fronteras son:(i) en (R, du), fr((a, b]) = a, b, fr(Q) = R, fr(N) = N;(ii) en (X, d), con d la m etrica discreta, todo A X, es fr(A) = .Teorema 2.38. En (X, d), para A X es fr(A) = A X A = AA.Corolario 2.39. En (X, d), si A X, se cumple:(i) fr(A) es un conjunto cerrado;(ii) fr(A) = fr(X A);(iii) fr(A) fr(A) y fr(A) fr(A);(iv) fr(X) = fr() = .Demostraci on: (iii) fr(A) = A X A = A X A = A .. X A A X A =fr(A). Del mismo modo, fr(A) =AXA =AX A =AX A AX A =fr(A).Observaci on 2.11. En (iii) no se da en general la igualdad: en(R, du), esfr(Q) =R,pero fr(Q) = fr() = = fr(Q) = fr(R).38 Captulo 2. Espacios m etricosTeorema 2.40. En (X, d), si A X se verica:(i) A es abierto si y s olo si A fr(A) = ;(ii) A es cerrado si y s olo si fr(A) A.Demostraci on: (i) Si A es abierto, es A=A y A fr(A)=A (A A)= . Recpro-camente, si A fr(A)= , es A X A= , con lo que A X X A=A y sededuce que A es abierto.(ii) Se deduce usando (i) y por dualidad.El siguiente teorema nos permite dar una clara interpretaci on del interior, la clausuray la frontera de un conjunto:Teorema 2.41. En (X, d), si A X se verica:(i)A= A fr(A) = A fr(A);(ii) A = A fr(A) =A fr(A).2.5. Subespacios de un espacio m etricoDado (X, d) y A X no vaco, la restricci on de la m etrica d a AA, dA:A AR,es una distancia sobre A, que se denota por dA. Se dice tambi en que el par (A, dA) es unsubespacio de (X, d).Es importante distinguir entre los espacios m etricos (X, d) y (A, dA), intentando daruna relaci on entre los abiertos de ambos espacios:Lema 2.42. En(X, d), siA Xyx A, parar >0 la bola en el subespacio esBA(x, r) = B(x, r) A.Observaci on 2.12. En (X, d), con las notaciones obvias, si A X y x A, para r> 0es BA(x, r) = B(x, r) A y SA(x, r) = S(x, r) A.Teorema 2.43. En (X, d), sean B A X, entonces:(i) B es abierto en (A, dA) si y s olo si existe U abierto en (X, d) tal que B= U A;(ii) B es cerrado en (A, dA) si y s olo si existe Fcerrado en (X, d) tal que B= F A.Observaci on 2.13. Puede suceder que B A X sea abierto (respectivamente, cerra-do) en (A, dA) y no lo sea en (X, d). Por ejemplo, en (R, du), para A = [0, 1):2.6. Di ametro de un conjunto. Conjuntos acotados 39(i) [0,12) es abierto en (A, dA), pero no lo es en (R, du);(ii) [12, 1) es cerrado en (A, dA), pero no lo es en (R, du).Pero se cumple la propiedad:Teorema 2.44. Sea (X, d) y A X, entonces:(i) todo subconjunto deA que es abierto en(A, dA) es tambi en abierto en(X, d) si ys olo si A es abierto en (X, d);(ii) todo subconjunto de A que es cerrado en (A, dA) es tambi en cerrado en (X, d) si ys olo si A es cerrado en (X, d).2.6. Di ametro de un conjunto. Conjuntos acotadosDenici on 2.16. Sean un espacio m etrico (X, d) y A X. El di ametro de Aes el n umero(A) = supd(x, y) : x, y A si este supremo existe y es innito en caso contrario. Pordenici on, () = 0.Observaci on 2.14. (A) est a denido si la familia de n umeros reales d(x, y) : x, y Aest a acotada superiormente.Denici on 2.17. En (X, d), un conjunto A X se llama acotado si (A) R.Ejemplos 2.10. Algunos ejemplos de conjuntos acotados son:(i) en (R, du), A est a acotado si lo est a superior e inferiormente;(ii) en (X, d), con d la m etrica discreta, todo A X est a acotado, ya que si A tiene m asde un punto, es (A) = 1.Observaci on 2.15. Si (A)=r, no tienen porque existir dos puntos x, y A tales qued(x, y) = r. Por ejemplo, en (R, du), ((0, 1)) = 1, pero los puntos en (0, 1) distan entreellos menos que 1.Teorema 2.45. En (X, d), si A, B X son no vacos, se cumple:(i) si A B, es (A) (B);(ii) si (A) = 0, entonces A se reduce a un punto;(iii) (B(x, r)) (B(x, r)) 2r.40 Captulo 2. Espacios m etricosDemostraci on: (i) Si A o B no est an acotados, es inmediato. Supongamos entonces queambos conjuntos est an acotados, entonces d(x, y):x, y A d(x, y):x, y B,y se deduce la propiedad. Aunque la inclusi on sea propia, puede darse la igualdad: en(R, du), ((0, 1)) = 1 = ([0, 1]).(iii) Si a, b B(x, r), es d(a, b) d(a, x) + d(x, b) < 2r. As, 2r es cota superior dela familia d(a, b) : a, b B(x, r), y por lo tanto, (B(x, r)) 2r. Para la bola cerrada,se hace de manera similar. La igualdad no se verica en general: para (R, d) donde d esla m etrica discreta, es (B(x, 1))=00 tal que [xn[ Kpara cadan N). Probar que la igualdadd(xn, yn) = supnN[xnyn[ dene una m etrica en oA.9.- Sean R A ,= y B(A) = f :AR: K>0: x A, [f(x)[ K elconjunto de las funciones acotadas sobre A. Probar que la funci on d: B(A) B(A)Rdada por d(f, g) = supxA[f(x) g(x)[, es una m etrica en B(A).10.- Sea X= f :[0, 1] R, f continua. Probar que las siguientes aplicaciones sondistancias en X: d1(x, y) =_10[f(x) g(x)[dx y d2(x, y) =supx[0,1][f(x) g(x)[.Si Y = f :[0, 1] R, f integrables en el sentido de Riemann,esd1unadistanciasobre Y ?11.-Seconsideralarectarealampliada R=R . Sealaaplicaci onf : R[1, 1]denidaporf(x) =x1+[x[si x R, f() =1yf() =1.Probar que la aplicaci on d(x, y) = [f(x) f(y)[ es una distancia sobre R.2.8. Ejercicios 4312.- Probar que las siguientes aplicaciones son m etricas. En los espacios m etricos obteni-dos, caracterizar las bolas, el interior, la clausura y la frontera:(i) d: R2R2R donde para x = (x1, x2), y= (y1, y2) R2,d(x, y) =_[x2y2[ si x1= y1[x1y1[ +[x2[ +[y2[ si x1 ,= y1(ii) d: R RR donde para x, y R,d(x, y) =_[x y[ si sg(x) = sg(y)[x +y[ + 1 si sg(x) ,= sg(y)(donde 0 se considera con signo positivo),(iii) d: R RR donde para x, y R,d(x, y) =_x +y si x ,= y, x > 0, y> 0[x y[ en otro caso(iv) d:[0, ) [0, )R donde para x, y [0, ),d(x, y) =_x +y si x ,= y0 si x = y(v) d:[0, 1] [0, 1] R donde para x, y [0, 1],d(x, y) =_2 x y si x ,= y0 si x = y(vi) d: R RR donde para x, y R y a R,d(x, y) =_ [x + a[ +[y +a[ si x ,= y0 si x = y(vii) d: R2R2R donde para x = (x1, x2), y= (y1, y2) R2,d(x, y) =_ _(x1y1)2+ (x2y2)2si x21 +x22= y21 + y22_x21 +x22 +_y21 + y22si x21 +x22 ,= y21 + y22(viii) d: N NR donde para x, y N,d(x, y) =_1 +1x+ysi x ,= y0 si x = y44 Captulo 2. Espacios m etricos(ix) d:[0, ) [0, )R donde para x, y [0, ),d(x, y) =_m axx, y si x ,= y0 si x = y(x) d: R2R2R donde para x = (x1, x2), y= (y1, y2) R2,d(x, y) =_ _(x1y1)2+ (x2y2)2si x1y2= y1x2_x21 +x22 +_y21 +y22si x1y2 ,= y1x213.- Probar que hay exactamente dos isometras de (R, du) en (R, du), que dejan jo unpunto dado a R.14.- Probar que estas funciones son isometras entre los espacios eucldeos dados:(i) si a Rn, la traslaci on de vector a, ta: RnRn, dada por ta(x) = a + x,;(ii) si R, la rotaci on elemental de angulo , r: R2R2, dada porr(x1, x2) = (x1 cos() x2 sin(), x1 sin() + x2 cos());(iii) la aplicaci on antipodal, a: RnRn, dada por a(x) = x.15.- En el espacio m etrico (X, d), para a X y r > 0, probar las propiedades siguientes:(i) B(a, r) =

s>rB(a, s) =

nNB_a, r +1n_;(ii) a =

s>0B(a, s) =

nNB_a,1n_;(iii) B(a, r) =_s 0 y V (A, r) =_xAB(x, r). Se pide probar:(i) V (A B, r) V (A, r) V (B, r),(ii) si s < r, V (A, s) V (A, r),(iii) V (A B, r) = V (A, r) V (B, r).(iv) d(a, A) =nfr > 0 : a V (A, r),(v) A =

nNV_A,1n_. Concluir que d(a, A) = 0 si y s olo si a A.18.- Sean (X, d) un espacio m etrico y R una relaci on de equivalencia sobre Xveri-cando:a) para cada x X, el conjunto Cx= y X: xRy es cerrado en X,b) si [x] ,= [y] X/R, todo representante a [x], verica que d(a, Cy) = d(Cx, Cy).Para [x], [y] X/R, se dene ([x], [y]) = d(Cx, Cy). Se pide:(i) probar quees un distancia enX/R. Se dice que(X/R, ) es el espacio m etricocociente de (X, d) por R;46 Captulo 2. Espacios m etricos(ii) sea p:XX/Rla proyecci on can onica. Probar que para cada x, y X, se cumplela desigualdad (p(x), p(y)) d(x, y). Hallar p(B(a, r)), si a X;(iii) si A es abierto en (X, d), probar que p(A) es abierto en (X/R, ). Demostrar queB X/R es abierto en (X/R, ), si y s olo si p1(B) es abierto en (X, d);(iv) probar queB X/R es cerrado en(X/R, ), si y s olo sip1(B) es cerrado en(X, d);(v) sea (X, d) = (R, du) y la relaci on sobre R dada por (xRy si y s olo si x y 2Z) :1) demostrar que se cumplen a) y b);2)probarqueexisteuncerradoAen(R, du), tal quep(A)noescerradoen(R/R, );3)sealaaplicaci onf : R/RS1= (x, y) R2: x2+y2= 1denidaporf([x]) = (cos(x), sin(x)). Probar que f est a bien denida y es biyectiva; cu ales la distancia0 obtenida sobre S1al transportar porf? Probar que0 esequivalente a la distancia inducida por la distancia eucldea de R2.19.- Sea el espacio m etrico(X, d),a Xy ,=A X. Sid(a, A)=2, probar queexiste r > 0 tal que d(x, A) > 1, si x B(a, r).20.- Sea (X, d) un espacio m etrico y A, B X. Probar:(i) si A es abierto, para cada B X, A B= si y s olo si A B= ;(ii) si A es abierto, probar que para cada B X, es AB A B y A B= A B;(iii) probar que A es abierto si y s olo si para cada B X, es A B A B.21.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Para cada subconjunto Ade X, denimos (A) =Ay (A) =A. Se pide:(i) si A es abierto (respectivamente, cerrado), probar que A (A) (respectivamente,(A) A);(ii) probar que para cada A X, es ((A)) = (A) y ((A)) = (A);(iii) encontrar conjuntosA en(R, du) tales que sean distintos los conjuntosA,A,A,(A), (A), (A) y (A);(iv) si A, B son abiertos disjuntos, entonces (A) y (B) son tambi en disjuntos.2.8. Ejercicios 4722.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Dados A, B y AiiI subconjuntos de X, probar:(i) ..

iIAi

iIAi y_iIAi .. _iIAi;(ii) si A B entonces At Bt. Adem as, (A B)t At Bt, (A B)t=At Bt,(At)t At (es decir, At es cerrado), (

iIAi)t

iIAti y_iIAti (_iIAi)t;(iii)_iIAi _iIAi,

iIAi

iIAi, A B A B y (A)t= At.23.- Sea (X, d) un espacio m etrico y AiiIuna familia de conjuntos en X tales queexiste un > 0 tal que si i ,= j, entonces d(Ai, Aj) . Probar que_iIAi=_iIAi.24.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Una familia CiiI de subconjuntos de X se llamalocalmente nita si para cada x X, existe rx>0 tal que B(x, rx) Ci ,= s olo paraun n umero nito de i I. Se pide:(i) probar que B(0, n) : n N no es localmente nita en(R, du), pero si lo es lafamilia de sus complementarios;(ii) dar una familia de conjuntos abiertos localmente nita en (R, du) cuya uni on sea R;(iii) si CiiIes una familia localmente nita, probar que cada punto de Xpertenecea lo m as a un n umero nito de conjuntos Ci (es decir, la familia es puntualmentenita). Probar que no toda familia puntualmente nita es localmente nita;(iv) si la familia CiiIes localmente nita, probar que_iICi=_iICi. Concluir deaqu, que la reuni on localmente nita de cerrados es cerrada.25.- En (X, d), probar:(i) si A X, A =

nN_xAB(x,1n);(ii) todo cerrado puede expresarse como una intersecci on numerable de abiertos;(iii) todo abierto puede escribirse como una reuni on numerable de cerrados.48 Captulo 2. Espacios m etricos26.- Dado un espacio m etrico (X, d) y A, B X no vacos, probar:(i) d(A, B) = d(A, B).(ii) A = B si y s olo si para cada x X, es d(x, A) = d(x, B).27.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Probar:(i) si A no posee puntos aislados, entonces A tampoco los posee;(ii) si X no posee puntos aislados, tampoco tendr an puntos aislados los abiertos de X.28.- Sea X un conjunto numerable. Probar que puede denirse sobre el una m etrica, talque ninguno de sus puntos sea aislado.29.- Sea (X, d) un espacio m etrico, donde X posee m as de un punto; pueden ser y Xlos unicos abiertos?30.- Sean los espacios m etricos (X1, d1), , (Xn, dn). Consideremos su producto carte-siano X= X1 Xn y d = dmax la m etrica del m aximo sobre el. Probar:(i)A1

An= .. A1 An y A1 An= A1 An;(ii) A1An es abierto en (X, d) si y s olo si Ai es abierto en (Xi, di) para cadai I (an alogamente para cerrados).31.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Se pide:(i) si x ,=y X, probar que existen Uy Vabiertos disjuntos en X, tales que x U,y Vy U V= ;(ii) sean A y B conjuntos cerrados y disjuntos en X. Probar que existen abiertos U y Vdisjuntos en X, tales que A U y B V.32.- Sea (X, d) y la diagonal en el espacio m etrico producto (XX, D). Si el puntox = (x1, x2) , , probar que D(x, ) > 0.33.-Unespaciom etrico(X, d)sellamaultram etrico, siparacadax, y, zX, severica la desigualdad d(x, y) m axd(x, z), d(z, y). Demostrar:(i) si d(x, z) ,= d(y, z), entonces d(x, y) = maxd(x, z), d(z, y);(ii) B(a, r) y B(a, r) son abiertos y cerrados a la vez;(iii) si y B(x, r), entonces B(x, r) = B(y, r); se tiene un resultado an alogo para lasbolas cerradas?2.8. Ejercicios 49(iv) siB(x, r) yB(y, s) se cortan, entonces una de estas bolas contiene a la otra (lomismo para bolas cerradas);(v) si B(x, r) y B(y, r) son distintas y est an contenidas en B(z, r), su distancia es r;(vi) si d es la m etrica discreta, probar que (X, d) es un espacio ultram etrico.34.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Se pide:(i) sea ,=A X. Si (X, d) es separable, probar queA es separable (es decir, elsubespacio m etrico (A, dA) es separable);(ii) si A es separable, probar que A es separable;(iii) si A1, , An son separables, entonces A1 An es separable.35.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Sea A X tal que para cada a A, existe a> 0 talque B(a, a) A es contable. Si (X, d) es separable, probar que A es contable.36.- Sea (X, d) un espacio m etrico separable y , = A X. Se pide:(i) probar que el conjunto de los puntos aislados de A es contable;(ii) si At= , probar que A es contable;(iii) si A es discreto en X, probar que A es contable.37.- Se dice que (X, d) posee la propiedad de intersecci on contable, si dada cualquierfamilia FiiIde cerrados, tal que

iJFi ,= para cada subconjunto contableJdeI,entonces

iIFi ,= . Probar que un espacio m etrico (X, d) es separable si y s olo si poseela propiedad de intersecci on contable.38.- Si (X, d) es separable, probar toda familia de abiertos dos a dos disjuntos es contable.39.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Si A, B X, A es abierto y B es denso en X, probarque A = A B.40.-Probarquelaseparabilidadenespaciosm etricosseconservabajoequivalenciasm etricas y topol ogicas y bajo isometras.41.- Sea X= f :[0, 1] R, f continua. Se consideran las distancias d1 y d2 deni-das en el ejercicio 10. Con las notaciones obvias, se pide:(i) sea f(x) = 2 para cada x [0, 1]. Calcular Bd2(f, 1);50 Captulo 2. Espacios m etricos(ii) sean r > 0 y g X denida por:g(x) =_4 4xrsi 0 x r22 sir2 x 1Probar que g Bd1(f, r), pero g , Bd2(f, 1);(iii) Deducir que d1 y d2 no son topol ogicamente equivalentes. Sin embargo, d1 d2.42.- Dado (X, d), probar que X es una reuni on contable de conjuntos acotados.43.- Probar que dos bolas abiertas (respectivamente, cerradas) del mismo radio son isom etri-cas en (Rn, du).44.- Sea(X, d) un espacio m etrico y , =A X. Se considera el subespacio m etrico(A, dA). Si B A, probar:(i) BA= B A, donde BAdenota la clausura de B en (A, dA);(ii)BBAyBA= (X A B) A, dondeBAdenota el interior de B en (A, dA);(iii) siB A es cerrado en(A, dA), probar queBes cerrado en(X, d) si y s olo siB A.45.- Sea (X, d) un espacio m etrico y A, B X tales que X= A B. Sea C A B.Probar que C es abierto en (X, d) si y s olo si lo es en (A, dA) y en (B, dB).46.- Sea (X, d) un espacio m etrico y A, B X tales que X=A B=AB. Probarque para cada C X, es C= C AA C BB.47.- Sea (X, d) un espacio m etrico y A, B X, probar:(i) si fr(A) fr(B) = , entoncesA B= .. A B,(ii) si fr(A) fr(B) = , entonces A B= A B,(iii) si fr(A) fr(B) = , entonces fr(A B) = (A fr(B)) (fr(A) B),(iv) fr(A B) fr(A) fr(B),(v) si A B= , entonces fr(A B) = fr(A) fr(B),(vi) fr(A) = si y s olo si A es abierto y cerrado a la vez,2.8. Ejercicios 51(vii) si A y B son abiertos, entonces:(Afr(B))(Bfr(A)) fr(AB) (Afr(B))(fr(A)B)(fr(A)fr(B)).48.- Sea (X, d) un espacio m etrico y A X abierto (respectivamente, cerrado). Probar:(i) .. fr(A)= ,(ii)A .. X A es denso en X,(iii) buscar un ejemplo en el que el conjunto de (ii) no sea denso,(iv) probar que las condiciones (i) y (ii) son equivalentes.49.- Sea(X, d) un espacio m etrico, A Xya X, tales queA B(a, r) ,= y(A) < r. Probar que A B(a, 2r).50.- Sean (X, d) un espacio m etrico acotado y (X) la familia de los cerrados no vacosde X. Dados A, B (X), se dene:(A, B) = maxsupaAd(a, B), supbBd(A, b).Probar que dene una m etrica sobre(X). (A, B) se conoce como la distancia deHausdorff entreA yB. Probar que existe una isometra entre(X, d) y un subespaciocerrado de ((X), ).51.- Probar que la acotaci on en espacios m etricos se conserva bajo isometras y equiva-lencias m etricas, pero no bajo equivalencias topol ogicas.52.- Sea (X, d) y A X. Probar:(i) (A) = (A), luego, A es acotado si y s olo si A lo es;(ii) puede decirse lo mismo deA y A?53.- Probar que todo cerrado de (Rn, du), se puede escribir como la frontera de alg unsubconjunto de Rn.54.- Sea A un conjunto no vaco y acotado superiormente en (R, du), se pide:(i) probar que si sup(A) , A, entonces sup(A) At.(ii) si A es abierto en (R, du), entonces sup(A) , A.52 Captulo 2. Espacios m etricos55.- En el espacio m etrico (R, du), calcular el interior, el derivado, la clausura y la fron-tera de los siguientes conjuntos:_nN(1n + 1,1n), 0 0, (x1, x2) : x1=1n, n N, 0 x2 1,(x1, x2) : x2= x1, donde R.58.- Sea (R2, du) y A= (x1, x2): [x1[0, existe= (a, ) > 0 tal que para cada x X vericando d(x, a) < , es (f(x), f(a)) < .Observaci on 3.1. Si (X, d)=(Y, )=(R, du), esta denici on es precisamente la usualde continuidad del An alisis Real.Lema 3.1. fes continua en a X si y s olo si para cada >0, existe =(a, )>0tal que f (BX(a, )) BY (f(a), ).Lema 3.2. f es continua en a X si y s olo si para cada > 0, f1(BY (f(a), )) es unabierto que contiene a a.Denici on 3.2. Se dice que f es continua en X (o simplemente continua), si es continuaen a para cada a X.Ejemplos 3.1. Algunos ejemplos de funciones continuas son los siguientes:(i) si f :(X, d)(Y, ) es constante, es continua;(ii) 1X :(X, d)(X, d) es continua;5758 Captulo 3. Continuidad en espacios m etricos(iii) si el espacio (X, d) es discreto para cualquier otro espacio m etrico (Y, ) y cualquierfunci on f, es f :(X, d)(Y, ) continua.Observaci on 3.2. f :(X, d)(Y, ) no es continua en a X si verica cualquiera delas dos condiciones equivalentes siguientes:(i) existe 0>0, tal que para cada >0 existe x Xtal que d(x, a) 0;(ii) existe 0> 0, tal que para cada > 0 es f (BX(a, )) , BY (f(a), 0).Teorema 3.3. f :(X, d)(Y, ) es continua si y s olo si para cada Vabierto en (Y, ),f1(V ) es abierto en (X, d).Demostraci on: Si Vabierto en (Y, ) y a f1(V ), como f es continua en a, para cada>0, existe=(a, )>0 tal quef (BX(a, )) BY (f(a), ). LuegoBX(a, ) f1(BY (f(a), )). Comof(a)V yV esabiertoen(Y, ), existea>0talqueBY (f(a), a) V . As, BX(a, ) f1(BY (f(a), )) f1(V ), y queda probadoque f1(V ) es abierto en (X, d). Y recprocamente, por el lema 3.2, para cada a X y > 0, el conjunto f1(BY (f(a), )) es abierto en (X, d). Como a f1(BY (f(a), )),debe existir>0 tal queBX(a, ) f1(BY (f(a), )), con lo que queda probada lacontinuidad de la funci on.Observaci on 3.3. Las funciones continuas no transforman abiertos en abiertos: la funci onf :(N, du)(R, du) dada por f(n)=n es continua, pero f(N)= N no es abierto en(R, du).Por dualidad entre abiertos y cerrados, puede probarse la siguiente propiedad:Teorema 3.4. f :(X, d)(Y, ) es continua si y s olo si para cada F cerrado en (Y, ),f1(F) es cerrado en (X, d).Observaci on 3.4. Las funciones continuas no transforman cerrados en cerrados: la fun-ci on f :(Q, du)(R, du) dada por f(x) = x es continua, pero f(Q) = Qno es cerradoen (R, du).Teorema 3.5. f :(X, d)(Y, ) es continua si y s olo si para cada subconjunto A Xes f(AX) f(A)Y.Demostraci on: Como f(A)Yes cerrado en (Y, ), el teorema 3.4 garantiza que f1_f(A)Y_es cerrado en (X, d). Como A f1_f(A)Y_, la inclusi on pasa a la clausura, es decir,AX f1_f(A)Y_, y se deduce que f(AX) f(A)Y. Recprocamente, sea Fcerrado3.2. Aplicaciones continuas y subespacios 59en (Y, ); la hip otesis garantiza que f(f1(F)X) f(f1(F))YFY=F. Tomandoim agenes recprocas, se deduce que f1(F)X f1(F), y por el teorema 3.4, se deducela continuidad de f.Observaci on 3.5. La igualdad no es cierta en general en el teorema 3.5: en efecto, lafunci on f :(Q, du)(R, du) dada por f(x) = x es continua, y f(QQ) = f(Q) = Q QR= R.Teorema 3.6. Sean f :(X, d)(Y, ) y g :(Y, )(Z, ) aplicaciones entre espaciosm etricos. Entonces:(i) si f es continua en a y g lo es en f(a), entonces g f es continua en a;(ii) si f es continua en X y g lo es en Y , entonces g f es continua en X.Denici on 3.3. f :(X, d)(Y, ) es un homeomorsmo si es biyectiva, continua y f1es tambi en continua. Se dice que (X, d) es homeomorfo a (Y, ).Lema 3.7. La relaci on ser homeomorfo es una relaci on de equivalencia sobre la fami-lia de todos los espacios m etricos.Observaci on 3.6. Una aplicaci on biyectiva y continua entre dos espacios m etricos notiene porque ser un homeomorsmo: como N y Q son numerables, existe una funci onbiyectiva f : NQ. La funci on f :(N, du)(Q, du) es biyectiva y continua (ya que(N, du) es un espacio discreto), pero f1:(Q, du)(N, du) no es continua, ya que 0es abierto en (N, du), pero f10 no es abierto en (Q, du).Proposici on 3.8. La composici on de homeomorsmos es un homeomorsmo.Proposici on 3.9. Los espacios(X, d1) y(X, d2) son topol ogicamente equivalentes si ys olo si 1X :(X, d1)(X, d2) es un homeomorsmo.Lema 3.10. Toda isometra es un homeomorsmo.3.2. Aplicaciones continuas y subespaciosProposici on 3.11. Sea(X, d)unespaciom etricoyA X. Laaplicaci oninclusi oniA:(A, dA)(X, d) es continua.Teorema 3.12. Sea f :(X, d)(Y, ) continua. Entonces, para cada A X, su res-tricci on a A, f[A:(A, dA)(Y, ), es tambi en continua.60 Captulo 3. Continuidad en espacios m etricosDemostraci on: Basta con tener en cuenta que fA= f iA.El recproco s olo es parcialmente cierto:Teorema 3.13. Seanf :(X, d)(Y, ) yA X, tal quef[A:(A, dA)(Y, ) escontinua. Entonces, f es continua enA.Demostraci on: Seaa A, es decir, existea>0 tal queBX(a, a) A. Comof[Aes continua ena, para cada >0, existe =(a, ) >0 tal quef[A (BA(a, )) BY (f(a), ). Si se toma = (a, ) a, es BA(a, ) = BX(a, ) A = BX(a, ), conlo que para cada > 0, existe 0 < = (a, ) a tal que f (BX(a, )) BY (f(a), ),y se obtiene el resultado deseado.Observaci on 3.7. En las condiciones anteriores, f no tiene porque ser continua en A: seala funci on caracterstica [0,1]:(R, du)(R, du). La funci on es continua en (0, 1), perono en [0, 1]. Sin embargo, la restricci on [0,1][[0,1]:(R, du)(R, du) es continua, al seruna funci on constante.Teorema 3.14. Sea f :(X, d)(Y, ) continua, entonces f :(X, d)(f(X), f(X))es tambi en continua.Denici on 3.4. Una aplicaci on continuaf :(X, d)(Y, ) es un embebimiento si lafunci on f :(X, d)(f(X), f(X)) es un homeomorsmo. As, (X, d) puede pensarsecomo un subespacio de (Y, ), y se dice que est a embebido en (Y, ).Observaci on 3.8. Dos espacios m etricos pueden estar embebidos uno dentro del otro,sin ser homeomorfos: por ejemplo(R, du) se puede embeber en([0, 1], du), puesto que(R, du) es homeomorfo a ((0, 1), du) (ver el ejercicio 30, del apartado 3.5) y la inclusi oni :((0, 1), du)([0, 1], du) es claramente un embebimiento. Por otro lado, la inclusi onnatural j :([0, 1], du)(R, du) es un embebimiento. Sin embargo, (R, du) y ([0, 1], du)no son espacios homeomorfos.Teorema 3.15. (Principio de prolongaci on de identidades)Sean f, g :(X, d)(Y, )continuas y D X denso. Si f[D= g[D, entonces f= g.Demostraci on: Supongamos quef,=g, es decir, existea Xtal quef(a) ,=g(a)(a , D). Para ra= (f(a), g(a)), es BY (f(a),ra2 ) BY (g(a),ra2 ) = . Como f y g soncontinuas en a, para =ra2existe =(a, )>0 tal que f (BX(a, )) BY (f(a),ra2 )y g (BX(a, )) BY (g(a),ra2 ). As, f (BX(a, )) g (BX(a, )) = . Como D es densoen X, sabemos que BX(a, ) D ,= , de donde existe d BX(a, ) con f(d) = g(d), locual es imposible.3.3. Extensiones de funciones continuas 61Ejemplo 3.1. Sean f, g :(R, du)(R, du), dondef =1 y g=Q. Para el denso Q,es f[Q=g[Q y f ,=g; como fes continua al ser una funci on constante, el teorema 3.15garantiza que g no puede ser continua.Teorema 3.16. Sean (X, d) e (Y, ) espacios m etricos y supongamos que existe un densoD Xy una aplicaci on continua f :(D, dD)(Y, ). Entonces, fposee una exten-si on continua a X, F :(X, d)(Y, ).Observaci on 3.9. La demostraci on se dar a tras el teorema 4.14.3.3. Extensiones de funciones continuasTodo espacio m etrico es completamente regular, es decir, separa puntos de cerrados atrav es de funciones continuas en el siguiente sentido:Proposici on 3.17. En (X, d), si A X es cerrado y x ,A existe una funci on continuaf :(X, d)([0, 1], du) tal que f(x) ,= 0 y f(A) = 0.Demostraci on: La funci ong :(X, d)(R, du) denida porg(y) =d(y, A) es conti-nua (proposici on 3.26), y basta con tomar f(y)=d(y,A)d(y,A)+1, que cumple las propiedadespedidas.En el corolario 2.32 habamos demostrado que todo espacio m etrico es regular; pode-mos dar otra prueba bas andonos en el anterior resultado:Corolario 3.18. En (X, d), si A Xes cerrado y x ,A existen conjuntos abiertos ydisjuntos U y V , tales que x U y A V .Demostraci on: Si f :(X, d)([0, 1], du) es la funci on dada en la proposici on 3.17, bastacon tomar U= f1((, 1]) y V= f1([0, )), donde 2 = f(x).El siguiente resultado es esencial para la prueba del teorema 3.20:Lema 3.19. Sea (X, d) un espacio m etrico y D un conjunto denso en ([0, 1], du). Supon-gamos que para cada t D existe un abierto Ut tal que X=_tDUt y si s < t, entonces esUs Ut. La funci on f :(X, d)([0, 1], du) denida por f(x)= nft D:x Utes entonces continua.Demostraci on: Observemos en primer lugar que:(i) si x Ut es f(x) t,62 Captulo 3. Continuidad en espacios m etricos(ii) si f(x) < t, es necesariamente x Ut, y(iii) si f(x) > t, entonces x , Ut.Para estudiar la continuidad en x X, distinguimos tres posibilidades:1) Si f(x)=0, es x Ut para cada t D. Por la densidad de D, para >0 existet D tal que t< . Entonces x Ut y por (i) es f(Ut) [0, t] [0, ).2) Si f(x) = 1, es x , Ut para cada t D1 por (iii). Por la densidad de D, para > 0 existe t D tal que t> 1 . Entonces x X Ut y f(X Ut) (1 , 1]pues como x , Ut es f(x) t> 1 seg un (ii).3) Sif(x) (0, 1), por la densidad deD, para>0 existent1, t2 D tales quef(x) < t1< f(x) < t2< f(x) + . Entonces es x Ut2 Ut1 y aplicando (i) y (ii)se deduce que f(Ut2 Ut1) (f(x) , f(x) + ).En espacios m etricos es f acil probar que es posible separar cerrados disjuntos me-diante funciones continuas (ver en el ejercicio 45 del apartado 3.5 una demostraci on pu-ramente m etrica). En el teorema siguiente, vamos a dar una prueba topol ogica basada enla normalidad en espacios m etricos (ver la proposici on 2.31) de este resultado: aunque esm as complicada, esta demostraci on es v alida para espacios topol ogicos en general y deall su inter es.Teorema 3.20. (Lema de Urysohn) En(X, d), siA, B Xson cerrados disjuntos,existe una funci on continua (llamada funci on de Urysohn) f :(X, d)([0, 1], du) talque f(A) = 0 y f(B) = 1.Demostraci on: Vamos a hacer la prueba por inducci on sobre el conjunto de los n umerosdi adicos D (ver el ejercicio 64 en el apartado 2.8). Por la proposici on 2.31, existeU1/2abierto, tal que A U1/2 U1/2 X B. Ahora, A, X U1/2 y U1/2, B son dospares de cerrados disjuntos, por lo que existen U1/4 y U3/4 abiertos tales queA U1/4 U1/4 U1/2 U1/2 U3/4 U3/4 X B.Supongamos que, aplicando reiteradamente la proposici on 2.31, hemos construido la fa-milia de abiertos_Uk/2n: k = 1, . . . , 2n1_vericandoA U1/2n U1/2n Uk/2n Uk/2n U2n1/2n U2n1/2n X B.Basta con construirUk/2n+1 parak impar (parak=2m,Uk/2n+1 =Um/2nya est a de-nido). ComoA yX U1/2nson cerrados disjuntos, existe un abiertoU1/2n+1 tal queA U1/2n+1 U1/2n+1 U1/2n.AlserU2n1/2nyBcerradosdisjuntos,existeunabiertoU2n+11/2n+1, tal queU2n1/2n U2n+11/2n+1 U2n+11/2n+1 X B.Ynalmente, si k es impar, 1 n es [f(x)

kn=1fn(x)[ = [

n=k+1fn(x)[

n=k+1rn< /3, por laconvergencia de la serie;(ii) como cada funci on fn es continua en x, existe un abierto Ux tal que para cada y Uxes [

nn=1fn(x)

nn=1fn(y)[ < /3.As, [f(x) f(y)[ = [

nn=1(fn(x) fn(y)) +

n=n+1fn(x) n=n+1fn(y)[ [

nn=1(fn(x) fn(y))[ +[

n=n+1fn(x)[ +[

n=n+1fn(y)[ < , luego f es continua.Teorema 3.22. (Teorema de extensi on de Tietze) Sean un espacio m etrico (X, d), A Xcerrado y f :(A, dA)([1, 1], du) una funci on continua. Existe una funci on continuaF :(X, d)([1, 1], du) tal que F[A= f: se dice que F extiende a f.64 Captulo 3. Continuidad en espacios m etricosDemostraci on: Sea f :(A, dA)([1, 1], du) una funci on continua. Dividimos el inter-valo[1, 1] en tres partes iguales de amplitud2/3 y denotamosA1=f1([1/3, 1]) yB1=f1([1, 1/3]), que son dos cerrados disjuntos (en(A, dA), luego en(X, d)).Aplicando el teorema 3.20, existe una funci on continua f1:(X, d)([1/3, 1/3], du)tal que f1(A1) = 1/3 y f1(B1) = 1/3.Tenemos la funci on continuag1= f f1:(A, dA)([2/3, 2/3], du): dividimos[2/3, 2/3] en tres intervalos de amplitud (2/3)2y consideramos A2= g11([2/9, 2/3]) yB2=g11([2/3, 2/9]), que son dos cerrados disjuntos. Aplicando el teorema 3.20,existeunafunci oncontinuaf2:(X, d)([2/9, 2/9], du)tal quef2(A2) =2/9yf2(B2) =2/9. Lafunci ong2= f f1f2:(A, dA)([(2/3)2, (2/3)2], du)escontinua y se vuelve a reiterar el proceso.Continuando de este modo, se obtiene una sucesi on de funciones gkkN, tales que(i) gk:(A, dA)([(2/3)k, (2/3)k], du) es continua,(ii)Ak+1=g1k([2k/3k+1, 2k/3k]) yBk+1=g1k([2k/3k, 2k/3k+1]) son cerradosdisjuntos,(iii) existe fk+1:(X, d)([2k/3k+1, 2k/3k+1], du) una funci on de Urysohn asociadaa estos cerrados, tal que fk+1(Ak) = 2k/3k+1y fk+1(Bk) = 2k/3k+1,(iv) sobre A es gk= f (f1 + +fk).La funci on F :(X, d)([1, 1], du) dada por F(x)=

n=1fn(x) est a bien denida,es continua ([fn(x)[ 2n1/3ny se aplica el lema 3.21) y F[A= f.Corolario 3.23. (Teorema de extensi on de Tietze, segunda versi on)Seanunespaciom etrico(X, d),A Xcerrado yf :(A, dA)(R, du) una funci on continua. Existeuna funci on continua F :(X, d)(R, du) que extiende a f.Demostraci on: Sea h:(R, du)((1, 1), du) un homeomorsmo. Se puede aplicar elteorema 3.22 a la funci on continua h f :(A, dA)([1, 1], du), por lo que existe unaextensi on deh f,G:(X, d)([1, 1], du). SeaB=G1(1, 1); claramenteAyB son cerrados disjuntos, y aplicando el teorema 3.20 existeg :(X, d)([0, 1], du)continua tal que g(B) = 0 y g(A) = 1. La funci on F= h1 g.G:(X, d)(R, du) escontinua y extiende a f.3.4. Aplicaciones uniformemente continuasDenici on 3.5.f :(X, d)(Y, ) es uniformemente continua, si para cada > 0, existe= () > 0 tal que para cada x, y X vericando d(x, y) < , es (f(x), f(y)) < .3.4. Aplicaciones uniformemente continuas 65Teorema 3.24. Si f :(X, d)(Y, ) es uniformemente continua, es continua.Observaci on 3.11. El recproco no es cierto: sea la funci onf :((0, 1], du)(R, du)denida por f(x) =1x. Entonces:(i) fes continua en (0, 1]: para a (0, 1] y >0, existe .Teorema 3.25. La composici on de aplicaciones uniformemente continuas, es uniforme-mente continua.Observaci on 3.12. La continuidad es una propiedad que se expresa en t erminos de abier-tos. Esto no es verdad para la continuidad uniforme, donde la denici on ( ) juega unpapel esencial: la continuidad uniforme es una propiedad adaptada a espacios m etricos,mientras que la continuidad es una noci on asociada a espacios topol ogicos.Proposici on3.26. Lafuncionesf, g :(X, d)(R, du)dadasporf(x) =d(x, a)yg(x) = d(x, A) son uniformemente continuas, para a A y A X.Demostraci on: Para >0, basta con tomar = y si d(x, y)0, xy=1, escerrado en (R2, du).7.- Sea f :(X, d)(Y, ). Probar que son equivalentes:(i) f es continua,(ii) para cada B Y , f1(BY) .. f1(B)X,(iii) para cada B Y , f1(B)X f1(BY).8.- Seaf :(X, d)(Y, ) una aplicaci on continua y sobreyectiva. Probar que siD esdenso en (X, d), entonces f(D) es denso en (Y, ). Si Fes denso en (Y, ), es f1(F)denso en (X, d)?9.- Seaf :(X, d)(R, du). Probar quefes continua en(X, d) si y s olo si para cada R, los conjuntosA= x X: f(x) sonabiertos en (X, d).10.- Sea (X, d) y A X. Probar que la funci on caracterstica de A es continua en x si ys olo si x , fr(A). Bajo que condiciones es A continua?11.- Seanf, g :(R, du)(R, du) continuas. Probar queh:(R2, du)(R2, du), de-nida por h(x, y) = (f(x), g(y)), es continua.12.- Sean A y B cerrados, no vacos y disjuntos en un espacio m etrico (X, d). Se pide:(i) probar que existen abiertos disjuntos U y Vtales que A U y B V ;(ii) encontrar una funci on f :(X, d)(R, du) continua, tal que f(A) = 0 y f(B) = 1.13.- Sean f, g :(X, d)(Y, ) continuas y a X. Probar:(i) si f(a) ,=g(a), probar que existe r>0, tal que f(BX(a, r)) g(BX(a, r))= ; enparticular, si x BX(a, r), entonces f(x) ,= g(x);(ii) supongamos que para cadar >0, existexr BX(a, r) tal quef(xr) =g(xr).Probar que f(a)=g(a). Concluir que si f, g :(R, du)(R, du) son continuas yf[Q= g[Q, entonces f= g.14.- Seanf, g :(X, d)(R, du) continuas ya X, tal quef(a)0 tal que para cada x, y BX(a, r), es f(x)0 y a ,BX(x, s),existe r > 0 tal que BX(a, r) BX(x, s) = .68 Captulo 3. Continuidad en espacios m etricos15.- Sean f :(X, d)(Y, ) continua, B Yy A = x X: (f(x), Y B) > 0.Probar que para cada x A, es d(x, X A) > 0.16.- Estudiar la continuidad de f, g :(X, du)(R, du), donde X= 0 1nnN y(i) f(0) = 0 y f(1n) = n,(ii) g(0) = 0 yg_1n_=_1nsi n es par1nsi n es impar17.- Sea f : RR denida por:f(x) =_x si x 2x2si x > 2Estudiar la continuidad en los siguientes casos: f :(R, du)(R, d), f :(R, d)(R, ),y f :(R, )(R, du), donde d es la m etrica discreta y (x, y) = 2[x y[.18.- Sean las m etricas sobre R, dadas por:d1(x, y) =_[x y[ si sg(x) = sg(y)[x + y[ + 1 si sg(x) ,= sg(y)d2(x, y) =_x + y si x ,= y, x > 0, y> 0[x y[ en otro casoEstudiar la continuidad de las funciones: 1R:(R, d1)(R, du), 1R:(R, du)(R, d1),1R:(R, d2)(R, du) y 1R:(R, du)(R, d2). Hacer el mismo ejercicio para f= 0y g(x) =x2 1.19.- Sean A y B cerrados en (X, d), y los conjuntos C= x X: d(x, A) < d(x, B),D = x X: d(x, A) > d(x, B) y E= x X: d(x, A) = d(x, B). Probar:(i) C y D son abiertos y E es cerrado en (X, d);(ii) hallar C, D y E, si (X, d) = (R2, du) y A y B son dos rectas (respectivamente, doscircunferencias exteriores).20.- Probar que una biyecci on de (R, du) en (R, du) es continua si y s olo si es mon otona.21.- Sean (X, d) un espacio m etrico, f :(X, d)(R, du) una aplicaci on continua y elconjunto abierto U= x X: f(x) > 0. Probar que para cada x fr(U), es f(x) = 0.3.5. Ejercicios 6922.- Sea f :(Rn, du)(Rm, du) una funci on. Para cada a Rn, se llama oscilaci onde f en a al n umero real (f, a) =nf(f(B(a, ))) : > 0. Se pide probar:(i) f es continua en a si y s olo si (f, a) = 0;(ii) para cada > 0, el conjunto A= x Rn: (f, x) es cerrado en Rn;(iii) calcular (g, x), para x R y la funci on g : RR denida porg(x) =_0 si x Qx si x , Q23.- Sea A un convexo no vaco de Rn. Una aplicaci on f :(A, du)(R, du) se llamaconvexa, si para cada x, y A y t [0, 1], es f(tx +(1 t)y) tf(x) +(1 t)f(y). Sepide probar:(i) si fes convexa en A, entonces f(m

i=1tiai) m

i=1tif(ai), donde ti 0,m

i=1ti=1 yai A;(ii) si A es abierto convexo, toda funci on convexa sobre A es continua sobre A;(iii) dar un ejemplo en donde se pruebe que (ii) no es cierto en general si A no es abierto.24.- Probar que las bolas abiertas en el espacio eucldeo de dimensi on n son homeomorfasentre s y a su vez a (Rn, du).25.- Sea f :(Rn, du)(Rm, du) una aplicaci on lineal, es decir, si a, b Rny t, s R,esf(sa + tb) =sf(a) + tf(b). Si |x|=du(x, 0) es la norma dex, probar que sonequivalentes:(i) f es continua,(ii) f es continua en 0;(iii) existe c > 0 tal que |f(x)| c|x|, para cada x Rn;(iv) existe c > 0 tal que |f(x) f(y)| c|x y|, para cada x, y Rn.26.- Seaf :(X, d)(Y, ) biyectiva. Probar quefes un homeomorsmo si y s olo sipara cada A X, se tiene f(AX) = f(A)Y.27.- Sea f :(X, d)(Y, ) un homeomorsmo y A X, tal que A At= . Probarque f(A) f(A)t= .70 Captulo 3. Continuidad en espacios m etricos28.-Sealafunci onf :(X, d)(Y, )yDlam etricasobreXdadaporD(x, y) =d(x, y)+(f(x), f(y)). Probar que si f es continua en X, entonces la aplicaci on identidad1X :(X, D)(X, d) es un homeomorsmo.29.- Dada f :(X, d)(Y, ), el grafo de fes Gf= (x, f(x)) XY : x X.Sobre X Yse dene la m etrica producto dmax. Probar:(i) si f es continua, entonces Gf es cerrado en (X Y, dmax). El recproco es falso;(ii) sea p la restricci on a Gfde la proyecci on p1:(X Y, dmax)(X, d). Probar quep es biyectiva y continua. Probar que f es continua si y s olo si p es un homeomor-smo.30.- Sea f :(R, du)((1, 1), du), donde f(x) =x1+[x[. Probar que f es un homeomor-smo. Concluir que cualquier intervalo abierto (con la m etrica de subespacio inducida porla usual) es homeomorfo a la recta real.31.- Sea f :(X, d)(Y, ) un homeomorsmo. Estudiar si las siguientes propiedadesson verdaderas o falsas:(i) X es acotado si y s olo si Ylo es,(ii) U X es abierto en (X, d) si y s olo si f(U) es abierto en (Y, ),(iii) F X es cerrado en (X, d) si y s olo si f(F) es cerrado en (Y, ),(iv) A X es numerable si y s olo si f(A) lo es,(v) D X es denso en (X, d) si y s olo si f(D) es denso en (Y, ),(vi) si A X, x AXsi y s olo si f(x) .. f(A)Y,(vii) si A X, x At si y s olo si f(x) (f(A))t,(viii) si A X, x AXsi y s olo si f(x