Conectivos lgicosEn el captulo dos aprendimos que los conectivos lgicos: conjuncin, disyuncin, condicional y bicondiconal, son usados de manera cotidiana en el lenguaje natural.

En esta leccin estudiaremos la relacin que estos conectivos lgicos tienen con el lenguaje y desde esta perspectiva le daremos sentido y pertinencia a la leccin con nuestros diferentes programas acadmicos.

La conjuncin corresponde en el lenguaje natural con la y, analicemos su sentido desde la perspectiva del lenguaje natural:

Cuando Juan afirma que estudia y trabaja, podemos concluir que Juan hace las dos actividades, no necesariamente en el mismo espacio y tiempo, pero es estudiante trabajador.

Cuando podemos afirmar que la proposicinJuan estudia y trabaja es falsa?

Cuando Juan estudie y no trabaje o cuando Juan trabaje pero no estudie o cuando Juan ni trabaje ni estudie.

Si denominamos las proposiciones simples p y q de la siguiente manera:

p = Juan estudiaq = Juan trabaja

La proposicin compuesta "Juan estudia y trabaja" tendr el siguiente equivalente en lenguaje simblico: p^q

Luego, si Juan estudia es una proposicin falsa, la proposicin compuesta p^q ser falsa. y si Juan trabaja es una proposicin falsa, la proposicin compuesta p^q tambin ser falsa. Es decir que las dos proposiciones simples deben ser verdaderas para que la proposicin compuesta sea verdadera.

Podemos representar todos estos casos posibles mediante una tabla que denominaremos tabla de verdad:pq p^qFF FFV FVF FVV V

DisyuncinEl conectivo lgico de la disyuncin tiene su equivalente en el lenguaje natural en la o:

Partamos de suponer que para llegar a San Andrs, hay dos caminos, uno por el aire y el otro por el mar. Luego podemos construir la proposicin compuesta "a San Andres se llega por aire o por mar", luego, las proposiciones simples sern:

p = a San Andrs se llega por aireq = a San Andrs se llega por mar

Cuando ser falsa la proposicin compuesta p v q? esta proposicin lgica ser falsa nicamente cuando a San Andrs no se pueda llegar ni por aire ni por mar, es decir, siempre que cualquiera los dos caminos sea vlido la frase ser verdadera.

La representacin mediante la tabla de verdad ser la siguiente:

pq pvqVF VVV VFF FFV V

CondicionalEl conectivo lgico condicional tiene su equivalente en el lenguaje natural en el Si... entonces:

Partamos de un ejemplo:

"Cuando llueve en la maana hace fro en la tarde", para identificar el conectivo lgico presente en esta proposicin compuesta, conviene reescribir la proposicin como sigue:

"Si llueve en la maana entonces hace fro en la tarde"

Cuando ser falsa esta proposicin lgica?

Las proposiciones simples sern:

p = llueve en la maanaq = hace fro en la tarde

Cuando ser falsa la proposicin compuesta p --> q? esta proposicin lgica ser falsa cuando llueva en la maana y no haga fro en la tarde:

Es interesante resaltar que hacer fro en la tarde no es condicin necesaria para que llueva en la maana, es decir, que si no llueve, igualmente puede hacer fro, ya que la frase no expresa nada en este sentido.

La representacin mediante la tabla de verdad ser la siguiente:

pq p-->qVV VVF FFV VFF V

BicondicionalEl conectivo lgico bicondicional tiene su equivalente en el lenguaje natural en el Si y slo si:

Partamos de un ejemplo inspirado en el artculo 17 de la Ley 434 de 1998:

"El nico camino posible para la paz es la inversin social", para identificar el conectivo lgico presente en esta proposicin compuesta, conviene reescribir la proposicin como sigue:

"hay paz, Si y slo si hay inversin social"

Cuando ser falsa esta proposicin lgica?

Las proposiciones simples sern:

p = hay pazq = hay inversin social

Cuando ser falsa la proposicin compuesta p q? esta proposicin lgica ser falsa cuando una proposicin lgica se cumpla sin que se de la otra:

Es decir, si encontramos que hay paz sin inversin social, entonces la frase ser falsa.

Y si encontramos que hay inversin social y tampoco hay paz, la frase tambin ser falsa.

La representacin mediante la tabla de verdad ser la siguiente:

pq pqVV VVF FFV FFF V

Resumen de ConectivosComo te habrs dado cuenta, el orden de la tabla de verdad no afecta los resultados que de sta se obtienen, lo importante es que en la tabla se encuentren presentes todas las combinaciones posibles de los diferentes valores de verdad.

Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposicin compuesta:

"La voluntad que obra por deber es buena, es virtuosa y, por tanto, digna de ser feliz" Adaptacin de Kant.

Esta proposicin compuesta debe ser transformada para encontrar los conectivos lgicos como:

"Si la voluntad obra por deber, entonces es buena y es virtuosa, y si la voluntad es buena y es virtuosa, entonces es digna de ser feliz"

Ahora declaremos las proposiciones simples:

p = La voluntad obra por deberq = La voluntad es buenar = La voluntad es virtuosas = La voluntad es digna de ser feliz

La representacin en lenguaje simblico de la proposicin compuesta ser:[p --> (q ^ r)]^[(q ^ r) --> s ]Esta es una proposicin compuesta de cuatro variables, luego, la tabla de verdad tendr 24 (16) combinaciones posibles entre los diferentes valores de verdad de las proposiciones:

Proposicin directa, contraria, reciproca y contrarreciprocaEntre las variaciones de la proposicin condicional encontramos cuatro proposiciones:Implicacin directa: p--> q

Implicacin contraria: p ( q )

Implicacin recproca: q p

Implicacin contrarrecproca: q ( p )

Por ejemplo, dadas las proposiciones p = el animal es un perro q = el animal tiene cuatro patas

Las proposiciones directa, contraria, recproca y contrarrecproca sern:

Implicacin directa: si el animal es un perro, entonces tiene cuatro patas

Implicacin contraria: si el animal no es un perro, entonces no tiene cuatro patas

Implicacin recproca: si el animal tiene cuatro patas, entonces es un perro

Implicacin contrarrecproca: Si el animal no tiene cuatro patas, entonces el animal no es un perro

Si te detienes un momento y lees con atencin encontrars que las proposiciones contraria y recproca no son equivalentes de la proposicin directa, mientras que la proposicin directa si ser equivalente a su proposicin contrarrecproca.

Como lo aprendimos en el texto anterior una proposicin condicional tiene varias variaciones de la proposicin directa p entonces q, de las cuales una es equivalente.

Dada la proposicin directa p entonces q, donde p = este cuerpo celeste es un planeta, q = este cuerpo celeste orbita al rededor del sol.

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Si orbita al rededor del sol, no es un cuerpo celeste

Si orbita al rededor del Sol, es un planeta

Si no orbita al rededor del sol, no es un planeta

Si no es un planeta, no orbita al rededor del sol

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Analiza con atencin la siguiente tabla de verdad e identifica el nmero de errores, si los hay, en la columna sealada por la flecha:

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En la columna sealada hay tres errores o ms

En la columna sealada hay un error

En la columna sealada no hay errores

En la columna sealada hay dos errores

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