CONCEPTOS SÍSMICOS DE LA INTERACCIÓN SUELO – ESTRUCTURA DE COMENTACIONES MONOLÍTICAS

Por: Dr. Leonardo Zeevaert+

INTRODUCCIÓN La compatibilidad de los desplazamientos de la interfase, entre estructura de cimentación y suelo, es importante en ele diseño de la Ingeniería de las Cimentaciones conocidas las fuerzas que actúan sobre la estructura de cimentación inducidas por la superestructura y reacciones del suelo, el ingeniero de cimentaciones podrá estimar los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes que actúan en los elementos que forman la cimentación para realizar un diseño justificado y económico.

En dinámica de suelos que presentan múltiples problemas relacionados con la interacción

suelo – estructura, como son: zapatas continuas de cimentaciones profundas con pilotes,

muros de retención y elementos subterráneos como pilas, ataguías, túneles, etc. En la

mayoría de los casos las estructuras de cimentaciones se construyen de concreto simple

o reforzado, por tanto, es importante conocer las propiedades dinámicas de esfuerzo-

deformación del concreto y del suelo. Además, es necesario conocer la estratigrafía y las

condiciones hidráulicas del lugar.

Una solución razonable de la interacción entre la estructura y el suelo es obtenerse

------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Profesor, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería, U.N.A.M.

UNIVERSIDAD DE MEDELLIN. 1er. Encuentro Nacional de Ingenieros de Estructuras y

Suelos, Medellín 6 al 9 de 1985.

solamente si se conocen las propiedades dinámicas reales de esfuerzo – deformación de

los dos materiales y si se establece la compatibilidad de deformación entre la estructura y

el suelo para las condiciones de movimiento óptimo.

CONSIDERACIONES SISMICAS

Durante la práctica profesional se ha podido comprobar que el buen comportamiento de

una estructura durante temblores de tierra fuerte, depende en alto grado de un diseño

adecuado de la cimentación tanto para cargas estáticas como para las sísmicas. Una

cimentación podrá haber sido diseñada y construida par trabajar satisfactoriamente con

cargas estáticas y, sin embargo, su comportamiento sísmico podría ser defectuoso,

afectándose la respuesta sísmica de la superestructura. La cimentación es el elemento que

transmite las fuerzas sísmicas a la superestructura, consecuentemente ésta será la

responsable en gran parte del comportamiento del edificio.

La respuesta sísmica de una cimentación es función de varios factores, a saber:

a. Características del sismo.

b. Características estratigráficas e hidráulicas y de resistencia del subsuelo

c. Propiedades y comportamiento dinámico del subsuelo

d. Posición del centro de masa del edificio

e. Flexibilidad del esqueleto estructural del edificio

f. Interacción entre el suelo y la estructura de cimentación

g. Magnitud de los esfuerzos de contacto

En la práctica profesional el subsuelo no se puede considerar homogéneo e isótopo,

generalmente está constituido por una serie de depósitos de sedimentos con propiedades

dinámicas variables que definen las propiedades de los diferentes estratos. Sin embargo,

desde un punto de vista práctico, se podrá considerar que cada estrato del subsuelo puede

ser representado por sus características geotécnicas medias, esto es: su geometría,

propiedades dinámicas, de resistencia y de esfuerzo – deformación. Las fórmulas de

cálculo basadas exclusivamente en propiedades del subsuelo considerado como un medio

homogéneo e isótopo no podrán proporcionar resultados cercanos a la realidad, más que

en casos muy particulares. La respuesta sísmica de la cimentación dependerá por tanto,

de las condiciones estratigráficas reales y de las propiedades dinámicas de los estratos

involucrados en el movimiento sísmico. Así también del nivel de esfuerzos a que será

sometido el subsuelo durante el fenómeno sísmico.

Conociendo las condiciones reales del subsuelo y procedimientos del cálculo afines a

las condiciones ambientales del lugar en cuestión, los resultados dependerán

fundamentalmente de la precisión con que se conozcan las propiedades estratigráficas y

dinámicas del subsuelo para un sismo de ciertas características predeterminadas. En estas

condiciones la respuesta sísmica de la cimentación podrá conocerse con precisión

práctica que permita analizar los esfuerzos y deformaciones de la cimentación y los

efectos que su comportamiento induce en la superestructura.

CARACTERISTICAS DE LOS SISMOS(1)

Los sismos deberán identificarse por su Magnitud e Intensidad y elegir las características del sismo que se utilizará como base para poder efectuar un diseño los más apegado a la realidad cuando quiera llevarse a cabo una mejor visualización de los fenómenos involucrados, y los cuales deberán cumplir como mínimo con los códigos legales de diseño establecidos. Los códigos para las diferentes regiones sísmicas han sido elaborados con la intención de cubrir por medio de factores las peores condiciones que podrían presentarse y que por experiencia local han sido observadas en la región considerada. No siempre los códigos así aplicados proporcionan diseños seguros. El principal defecto es que el ingeniero de cimentaciones pierde contacto con la física elemental del problema dinámico. El código siendo una legislación deberá, sin embargo, respetarse como una condición mínima. Por toro lado, el ingeniero diseñador no deberá perder de vista cualesquiera de los aspectos físicos y ambientales que puedan afectar el diseño sísmico de la cimentación y superestructura.

La magnitud de una sismo se mide indirectamente por la cantidad de energía potencial

liberada en la zona focal y por tanto es independiente de la distancia. Sin embargo, a

determinada distancia la intensidad sísmica se mide por la aceleración registrada en los

acelerógrafos. El profesor Richter estableció la escala de magnitud sísmica que lleva su

nombre(2). La escala de Richter sirve para estimar la posible energía liberada en los focos

sísmicos y su apreciación de los efectos producidos en el lugar de observación deberá de

interpretarse cuidadosamente. Un grado más en la escala de Richter significa diez veces

más energía liberada en la zona focal.

En efecto, si una MR = 6.0 produce determinado nivel de daño en una región lejos del

foco, podría pensarse que la liberación del doble de energía correspondiente a MR = 6.3

producirá el doble de daños.

Para precisar mejor los efectos de determinada magnitud sísmica en el lugar de

observación se utilizan las escalas de “Intensidad Sísmica”. La intensidad sísmica

representa los efectos medios producidos en el lugar de observación. Estos pueden ser

medidos en fuerza, aceleración o por los daños producidos. De tal manera que, en una

región podrá establecerse lugares donde sean observadas las mismas intensidades

sísmicas para un sismo de cierta magnitud obteniéndose así las cartas isosísmicas.

Sin embargo, hay que aclarar que un lugar en particular a cierta distancia del epicentro

puede presentarse intensidades variables que dependerán de las condiciones geológicas –

estratigráficas del sitio, debido principalmente a la reflexión que sufren las ondas sísmicas.

La intensidad se tabula por escalas de grados sísmicos, como bien conocida escala

Modificada de Mercalli usada en América y Europa. Las escalas de intensidad han sido

también estudiadas en términos de la aceleración máxima en la superficie del suelo por

Cancani – Sieberg(1,2), y correlacionadas con la escala modificada de Mercalli la cual

corresponde en términos de aceleración a una escala geométrica. Así pues, la intensidad

de grado VII es doble del grado VI y el grado VIII es cuatro veces mayor. En términos de

aceleración aproximadamente: VI =25 ce/seg2, VII = 50 cm/seg2, y VIII =100 cm/seg2.

Desde el punto de vista de ingeniería sísmica de diseño, sin embargo, el conocimiento de

la intensidad sísmica máxima para le lugar de interés no es suficiente información para

efectuar un diseño apropiado de la cimentación y estructura de un edificio, ya que la

respuesta sísmica es función de las características dinámicas del subsuelo y del esqueleto

del edificio.

Se puede demostrar que las ondas de cuerpo principales que se producen en la zona de

generación sísmica corresponden(3,4)a: Ondas compresionales conocidas como ondas de

dilatación u ondas P, que requieren para su transmisión que el suelo sufra cambios de

volumen. Las ondas compresionales se desplazan con una velocidad vd en el sentido de

la compresión y dilatación. Las otras ondas de cuerpo importantes se transmiten sin

cambio de volumen y se conocen como ondas S, ondas equivolumétricas o de esfuerzo

cortante y producen distorsión en el suelo perpendicular a la dirección de translación con

velocidad vs. Así también debido a reflexiones sobre macizos rígidos podrá generarse

ondas superficiales conocidas como ondas Rayleigh.

De las ecuaciones de movimiento de las ondas de cuerpo se deduce que:

1. la velocidad de las ondas P; ρµλ 2+

=dv (1)

2. la velocidad de las ondas S; ρµ

=sv (2)

La teoría de elasticidad el valor λ queda definido por:

)21)(1( υυ

υ−+

=E

λ (3)

Se observa que la velocidad de las ondas P es función de la relación de Poisson y tiene una

velocidad mayor que las ondas S, estas últimas que pueden investigarse directamente

conociendo únicamente el módulo de rigidez del suelo µ y la masa unitaria ρ. Para un

suelo saturado donde el cambio de volumen no puede verificarse en forma instantánea el

valor de vd tiende a ser varias veces mayor que vs. Por lo anterior se puede también deducir

que las deformaciones sísmicas ocasionadas por las ondas S son de mayor importancia.

Para calcular la respuesta sísmica en un determinado lugar se hace necesario conocer la

historia de aceleración del sismo, la cual se determina registrando el movimiento sísmico

por medio de acelerógrafos. En la Fig. 1 se muestra un acelerograma registrado en Mayo

11, 1962 para la parte central de la ciudad de México, en donde se observa que la

aceleración máxima am del suelo alcanza un orden de 38 cm/seg2.

Se puede demostrar que la respuesta sísmica máxima para el lugar en cuestión puede

determinarse por medio de la integral de Duhamel:

(4) [ ]max

t

dt

v dteaR ∫ −•= −−

0

)( )(sen)( 0 ττωτ τςω

El valor de RV representa la integración de los impulsos transmitidos por la aceleración a

(τ) en la base de una estructura equivalente de un grado de libertad con frecuencia circular

libre ω0 y amortiguada ωd = ω0 (1 - ς ), en donde ς20 0 representa la fracción de

amortiguamiento crítico de dicha estructura.

Para el diseño sísmico de la estructura al ingeniero le interesa fundamentalmente la fuerza

de inercia que se genera en el centro de la masa, esto es:

Vm = M · Ra (5)

El valor de Ra = ω0 Rv, se conoce como la respuesta de pseudo – aceleración y la relación

Ra vs. T el espectro de pseudo – aceleración. Por medio de acelerograma de la Fig. 1 y la

expresión (4) se obtuvieron los espectros de respuesta de aceleración que muestra la Fig.

2 para diferentes amortiguamientos críticos y para el centro de la Ciudad de México. Para

una estructura rígida donde T≈ 0 la aceleración será la de la superficie del suelo obtenida

como la máxima del acelerograma. Nótese que a medida que la estructura se hace más

flexible aumenta hasta llegar a un valor máximo después del cual declina hasta hacerse

pequeña.

El significado físico del espectro de respuesta se puede visualizar suponiendo Fig. 3, una

serie de edificios en la zona de estudio, representados por péndulos con períodos T

diferentes y representativos del modo fundamental de vibrar de los edificios. Supongamos

períodos que varían desde T = 0 hasta T = 4 seg. Ahora imaginemos que en la interfase

con el suelo firme se producen trenes de ondas de esfuerzo cortante con velocidad de

translación Vs pero con diferentes períodos y longitudes de onda de tal manera que

i

is T

LTL

TLv ==== .....

2

2

1

1 (6)

El suelo se puede considerar como un vibrador, por tanto tendrá una serie de períodos de vibración libre dependiendo de las condiciones estratigráficas y de sus propiedades dinámicas. Se encontrará que existirá un período máximo de vibración o fundamental el cual puede ser excitado por la perturbación sísmica más fácilmente que los armónicos más altos y el cual puede producir falla en el subsuelo cuando este es de baja resistencia.

Cuando el período fundamental del suelo Ts1 sea aproximadamente coincidente con alguno

de los períodos de los péndulos representativos de los edificios, dicho péndulo estará en

resonancia produciéndose en su centro de masa una amplificación de la aceleración con

respecto a la aceleración máxima de la superficie del suelo. La aceleración de la

superficie del suelo será tomada únicamente por el péndulo de alta rigidez: Tn = 0. Así

pues los picos en el espectro de respuesta de pseudo - aceleración serán representativos

de las amplificaciones producidas cuando las longitudes de las ondas sean compatibles con

la estratigrafía del subsuelo y, por tanto, se induzcan períodos cercanos a los períodos

fundamentales de las estructuras. El período fundamental Ts1 del subsuelo resulta el más

importante de considerar ya que origina la respuesta máxima y consecuentemente la

amplificación máxima para determinado amortiguamiento crítico, y por tanto, puede servir

como base para formular un espectro práctico de diseño(6).

Llamemos la amplificación de la aceleración por fa = Ra /am y dibujemos en escalas log –

logarítmicas el espectro de respuesta de aceleración en términos de fa vs. T0 /Ts1, en donde

T0 es el período equivalente de la estructura y su cimentación como si fuese de un grado

de libertad. El dibujo se efectuará de tal manera que represente la envolvente de todos los

picos en el rango, desde T0 /Ts1 pequeño, hasta T0 / Ts1 = 3. Por consiguiente el valor

T0 / Ts1 = 1 representará la coincidencia del período equivalente T0 con el subsuelo Ts1 y

por tanto se obtendrá la respuesta máxima fa, Fig. 4.

De la anterior discusión se ve la importancia de poder conocer el período fundamental del

subsuelo. También son importante otros modos de vibración de los sedimentos suaves

como es el caso de la Ciudad de México. El uso del espectro de respuesta sísmica que

muestra la Fig. 4 es como sigue; imaginemos que el subsuelo tiene un período dominante

de Ts1 = 1.0 seg., Una estructura tiene un período fundamental de T0 =2.0 seg., por

consiguiente T0 / Ts1 = 2.0 y de la Fig. 4 se obtiene fa = 2.0 para un amortiguamiento de

ς0 =5%. De donde la fuerza de inercia en el centro de masa de la estructura será :

Vm = 2 (Mam).

Si hm es la altura d equivalente del centro de masa desde la interfase del suelo con la

cimentación del péndulo equivalente, el momento de volteo será:

0T = 2hm (M · am) (7)

y la fuerza cortante en la base: VB = Vm (8)

PERIODO FUNDAMENTAL DEL SUELO

En párrafos anteriores se mencionó la importancia de conocer las propiedades dinámicas

del suelo, para lo cual es necesario investigar cada uno de los estratos que lo forman hasta

alcanzar la base firme.

De la experiencia se conoce que en sedimentos no consolidados y saturados los efectos

más importantes de movimiento sísmico son los producidos por las ondas de esfuerzo

cortante con velocidad

ρµ

=sv (9)

en donde µ es la rigidez del suelo σ módulo de elasticidad el cortante, y ρ la masa unitaria.

El valor de µ puede ser determinado en probetas de suelo inalterado representativas de

cada uno de los estratos del subsuelo. La determinación de µ se puede efectuar por medio

del “Péndulo de Torsión Libre” diseñado por el autor(5). La probeta inalterada

representativa de cada estrato del subsuelo se coloca en una cámara triaxial a un esfuerzo

de confinamiento σc equivalente al esfuerzo efectivo octaédrico al cual dicho material se

encontraba sujeto a la profundidad de donde la muestra inalterada fue extraída, Fig. 5.

Si el material se encuentra saturado se permite la consolidación total del suelo y luego se

hace vibrar la nuestra libremente, obteniéndose la respuesta elástica. Con los resultados

obtenidos se calcula la rigidez del suelo µ y la fracción del amortiguamiento crítico ςs son

representativos de cada estrato Fig. 6.

Con los valores de µ y la masa unitaria del suelo se calcula la velocidad Vs de la onda

cortante por la (9), de donde podrá calcularse aproximadamente el período fundamental

del suelo. Sea Vs1, ρi y di la velocidad de la onda, masa unitaria, y espesor respectivamente

del estrato i. El tiempo que la onda tardaría en atravesar dicho estrato es

si

ii vdt =∆ (10)

La onda recorre de la base firme a la superficie del suelo donde es reflejada hacia la base

firme en un tiempo de ¼ del período fundamental, así también la distorsión total del suelo

en la superficie representará la amplitud del movimiento, Fig. 7 por consiguiente:

Ts1 = 4 ∑ (11) n

si

i

vd

1

las distorsiones relativas y esfuerzos cortantes en el subsuelo producidas por cierta

aceleración sísmica en la superficie pueden calcularse por medio de expresiones

paramétricas del movimiento para el caso de ondas, tanto compresionales como de

esfuerzo cortante que viajan desde el estrato firme hacia la superficie, (3).

RESPUESTA SISMICA DE LA CIMENTACION

Supongamos una estructura y su cimentación representada esquemáticamente como

muestra la Fig. 8. La fuerza de inercia máxima durante el movimiento sísmico es:

Vm = (δx + δθ + δn) ω02 · M (12)

por otro lado la fuerza de restitución en el centro de masa es

V&m = kn δn (13)

En donde

++= 11

20 nn

x

nKM

δδ

δδ

ωθ (14)

las otras fuerzas de restitución serán: por la rotación de la cimentación (Kθ · θ) y Kx δx por

desplazamiento horizontal.

La amplitud del equilibrio dinámico requiere : Kθ · θ = Kn δn h m, además Kn δn = Kx δx esto

es

2m

N

n

hKK

θ

θ

δδ

= y x

n

n

x

KK

=δδ (15)

sustituyendo en (14)

xn

m

KM

KM

KMh

++=θω

2

20

1 (16)

por otro lado se encuentra que para δn = δx = 0 la frecuencia circular por rotación es:

= K2θω θ/ Mhm

2, para δθ = δx = 0 la frecuencia circular de la superestructura ω = K2n n /M y

para δθ = δn = 0; ω = K2x x /M substituyendo estos valores en (16):

22220

1111

xn ωωωω θ

++= (17)

o bien ya que Tπ2

=ω

2222

0 xn TTTT ++= θ (18)

en donde Tn es el período de la estructura. De donde se deduce que el período

equivalente acoplado de la estructura y su cimentación puede ser obtenido por la (18). El

período de rotación Tθ es función de la masa total del edificio y de las propiedades

dinámicas y estratigráficas del subsuelo. Esto es:

θθ π

KMhT m2= (19)

El problema consistiría en determinar el módulo de cimentación por rotación Kθ para

calcular Tθ y el de translación Kx para determinar Tx, y utilizando la (18) calcular T0.

Conociendo Ts1 del subsuelo y por tanto T0/ Ts1 y el amortiguamiento crítico equivalente

del sistema estructura cimentación ς0, se entra al espectro normalizado de respuesta de

seudo – aceleración y se determina fa, por consiguiente

a) la fuerza en ele centro de masa

Vm = fa Mam (20)

b) el momento de volteo

OT =fa (Mam) · hm (21)

La expresión (18) es también válida para los períodos amortiguados cuando ς0 < 20%, de

donde se puede escribir:

2222

0 xdnddd TTTT ++= θ (22)

Sea ς0 el amortiguamiento crítico equivalente del sistema estructura – cimentación, ςθ el

amortiguamiento crítico de la cimentación, ςx el de translación y ςn el de la superestructura,

por tanto

)1( 20

20

20 ς−= dTT

)1( 222θθθ ς−= dTT

)1( 222nndn TT ς−=

)1( 222xxdx TT ς−= (23)

sustituyendo en (22) y efectuando operaciones algebraicas se obtiene

222222222

22222220 )1)(1()1)(1()1)(1( θθθ

θθ

ςςςςςςςςς

ςTTT

TTT

xnnxxn

xxnn

−−+−−+−−++

= (24)

Por consiguiente, conociendo los valores Tθ, ςθ, Tn, ςn, Tx, ςx, se podrá calcular de (22) y

(24) los valores del período T0 y amortiguamiento crítico equivalente τ0, respectivamente.

Los amortiguamientos de las estructuras se encuentran en rangos de ςn = 2% a 5% y para

las cimentaciones aproximadamente:

En sedimentos ςθ , ςx

Muy suaves 20 % - 15%

Suaves 15% - 12%

Rígidos 12% - 8%

Muy rígidos 8% - 6%

Duros 5%

INTERACCION SISMICA

Para el cálculo de Kθ se procede como sigue: supongamos una cimentación como la que

se indica en la Fig. 9 de planta rectangular formada por un sistema de vigas cortas y dos

vigas longitudinales donde las cortas apoyan, y que en conjunto con la losa inferior de

reacción y la losa superior sobre las vigas forman en conjunto un cajón rígido capaz de

tomar el momento de volteo sísmico y trabajar en forma continua a la flexión, fuerzas

cortantes y torsión.

El momento OT de volteo incluido por la fuerza de inercia en el centro de masa se puede

dividir en dos: el momento que toman los muros de retención OTW y la fracción del

momento de volteo que toma la base de la cimentación OTB de tal manera que:

OT = OTW + OTB (25)

Así también por definición

OT = θKθ

OTW = θKθW

OTB = θKθB

En donde θ es la amplitud sísmica por rotación ó cabeceo de la caja rígida de la

cimentación, por consiguiente :

Kθ = KθW + KθB (26)

El problema consistirá en valuar los módulos de cimentaciones KθW y KθB. Para calcular el

valor de Kθ, consideremos a la caja de cimentación en el giro máximo θ, Fig. 10.

El muro de la caja de cimentación gira en un plano presionando sobre el suelo en sentido

horizontal. Lo anterior origina un empuje uniforme (p) en el suelo de contacto con el

muro. Suponiendo un módulo dinámico medio Me en sentido horizontal, se puede

demostrar que el desplazamiento horizontal δz a una altura (z) de la base es

aproximadamente como sigue:

δz =& (Meq) · Z (27)

de donde θ = (Mep), pero por definición KθW = OTW /θ, luego:

pMO

Ke

TWW ⋅=θ (28)

además, de Fig. 11 se obtiene que OTW = pd2 /2 y conociendo la rigidez del suelo:

µυ)1(21+

=eM (29)

Sustituyendo los valores dados en (28) se obtiene que:

KθW ≈ (1 + υ ) µd2 (30)

Se hace notar de la (30) que el valor de KθW es una función importante del empotramiento

del cajón de cimentación en el suelo.

Para el cálculo del módulo de cimentación de la base KθB se produce como sigue: se

divide la superficie de apoyo en fajas transversales de igual área a y tantas como se haga

necesario para obtener precisión práctica (4). Supongamos seis fajas para ilustrar el

procedimiento. Carguemos una faja, Fig. 11, con una carga unitaria ∆qi = +1 y calculemos

la influencia que dicha carga unitaria induce en ele subsuelo al centro de los estratos

considerados, en este caso, cuatro y debajo de cada una de las bandas. Las compresiones

dinámicas volumétricas se designan por α para cada estrato. Por consiguiente, se acuerdo

con la Fig. 11 se pueden encontrar los desplazamientos verticales

NjiI

Nd

jiδ al centro de las

bandas que dicha carga unitaria produce en los puntos 1 a 6 cuando esta se aplica

sucesivamente en cada una de las bandas consideradas. En forma matricial estos valores

se calculan como sigue:

1jδ = [ ⋅ ]TNjI 1

Ndα

2jδ = [ ⋅ ]TNjI 2

Ndα (31)

jiδ = [ ⋅ ]TNjiI

Ndα

en donde:

[ ]TNjiI , matriz transpuesta de la influencia de j debido a la carga unitaria

aplicada en la banda i. Ndα , matriz columna de las compresiones de los estratos de A a N en

condiciones dinámicas

jiδ , desplazamiento vertical en puntos j debido a una carga unitaria

vertical en la banda i.

Sin embargo para condiciones dinámicas los valores de las deformaciones volumétricas

de los estratos α se calculan con la rigidez dinámica µ del suelo, esto es Nd

µυ

α)1(2 +

=d

d (32)

Con los valores de (32) se forma la ecuación matricial sísmica de desplazamientos verticales. La que llamamos “EMAS”, esto es: ecuación matricial de desplazamientos sísmicos(4). Considerando que el fenómeno máximo se representa para la amplitud del giro θ, de la cimentación y con ayuda de la Fig. 12, se puede escribir la siguiente ecuación matricial:

[ ] iiji xq

⋅=

∆ −1δθ

(33)

Solucionando el sistema de ecuaciones simultáneas que representa la ecuación matricial

(33) se determinan los valores (∆qi/θ). El momento de volteo será:

∑ ⋅

∆⋅= i

iTB xa

qO

θθ (34)

El módulo de cimentación por rotación queda definido por Kθ = OTB /θ, de donde resulta:

ii

B xq

aK ⋅

∆⋅= ∑

6

1 θθ (35)

La determinación aproximada de Kx se evalúa considerando la compresión que sufre el

suelo contra el muro de la caja de cimentación al empuje sísmico de la masa del suelo,

Fig. 13. Esto es

(δx)z = M x (σx)z (36) La fuerza máxima que se genera contra el muro

∫=d

x

zxx dz

MF

0

)(δ (37)

Considerando que el desplazamiento diferencial sísmico es aproximadamente

(δx)z dx0δ

=& · z y si Mx se considera como un valor medio entre 0 y d, se obtiene

dM

Fx

xx 2

0δ= (38)

de donde

xx M

dK2

= (39)

La frecuencia circular y período del movimiento horizontal serán respectivamente

MK x

x =2ω y

xx K

MT π2= (40)

Conociendo los valores

Kn , τn , Tn del esqueleto estructural

Kθ , τθ , Tθ

del suelo

Kx , τx , Tx

Se calculan los valores de T0 por la (18) y el amortiguamiento crítico equivalente ς0 por la

(24), correspondientes al sistema acoplado de cimentación–estructura y se entra al espectro

de diseño sísmico, Fig. 4 con la relación T0/Ts y ς0, y se determina el factor de

amplificación de la aceleración en el centro de masa del edificio.

El momento de volteo será

0T =fa (Mam)hm – 21 pd2 –

32 Fxd (41)

y la fuerza cortante en la base

VB = fa (Mam) – pd - Fx (42)

La amplitud que gira la cimentación

θ

θKOT= (43)

En donde Kθ = KθW + KθB

El incremento de reacciones por la acción sísmica en la interfase de la estructura de la

cimentación con el suelo se calcula por

θθ

⋅

∆=∆ i

iq

q (44)

Las reacciones sísmicas así obtenidas se suman a las estáticas antes determinadas, Fig. 14.

Se examina si las reacciones máximas en las orillas d la cimentación no sobre pasan la

resistencia admisible del suelo, de lo contrario será necesario reducir la masa del edificio,

ampliar la base de cimentación, o llevar a cabo un ajuste en ambos para lograr la

estabilidad dinámica de la cimentación.

REFERENCIAS

(1) Zeevaert, L. (1964). Características de los Temblores en Ingeniería Sísmica. Sociedad

de Ingeniería Sísmica.

(2) Richter, Ch. F (1958) Elementary Seismology W.H Freeman Company

(3) Zeevaret, L. (1982) Fundations Engineering for Difficult Subsoil Conditions. Second

Editon. FEDISOC. Chapter XII. Van Nostrand Reinhold.

(4) Zeevaert, L. (1980) Interacción suelo – Estructura de Cimentaciones para Cargas

Estáticas y Sísmicas, Limusa, México, D. F.

(5) Zeevaert. L. (1982) Teoría y práctica del Péndulo de Torsión , (FTP) División de

Estudios de Posgrado , Facultad de Ingeniería, UNAM.

(6) Biot, M.A., (1943) Analytical and Experimental Methods in Engineering Seismilogy,

ASCE Vol. 108pp. 365 – 384.

FIG. 1. ACELEROGRAMA CIUDAD DE MEXICO, MAYO 11, 1962

2. ESPECTRO DE SEUDO – ACELERACIÓN, MAYO 11, 1962 CIUDAD DE

MEXICO.

3. PÉNDULOS DE DEFERENTES PERIODOS

4. ESPECTRO ENVOLVENTE DE DISEÑO SISMICO

5. PENDULO DE TORSION LIBRE

6. PERFIL DEL MODULO DINAMICO DE ELASTICIDAD AL CORTANTE

7. PERIODO DEL SUELO POR VELOCIDADES

8. DESPLAZAMIENTO Y GIRO DE LA ESTRUCTURA Y LA CIMENTACION

9. PLANTA DE CIMENTACION

10. EMPUJE SISMICO SOBRE LOS MUROS DE LA CAJA DE CIMENTACION

11. DESPLAZAMIENTOS VERTICALES

12. GIRO DE LA CIMENTACION

13. COMPRESION DEL SUELO CONTRA EL MURO DE LA CAJA DE

CIMENTACION

14. DISTRIBUCION DE REACCIONES ESTATICAS Y SISMICAS EN LA BASE DE

LA CIMENTACION