Matemática Financiera “CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2015” Jorge Luis Baquero Guerra

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA SEDE VILLANUEVAFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS

PROGRAMA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESASASIGNATURA MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICA FINANCIERA. Es una herramienta que permite realizar una infinidad de análisis financieros, tales como determinar el costo de una inversión financiera, definir el mejor plan para adquirir una deuda, calcular el costo de capital, evaluar financieramente la factibilidad de un proyecto o plan de negocio, entre otras.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. Manifiesta Meza (2001), que el dinero es un bien económico que tiene la capacidad intrínseca de generar más dinero o riqueza. Es evidente, para que la inversión sea atractiva para el inversionista debe producir una utilidad, de no ser así, éste preferiría tener el dinero guardado sin correr riesgo alguno. El inversionista espera que al comprometer su capital, éste le proporcione una tasa razonable de retorno, que debe ser superior a la tasa que ofrecen los bancos, corporaciones o cualquier otra inversión libre de riesgo.

Además de la tasa de retorno del capital se debe tener en cuenta la Inflación, la cual se define como el aumento general de los precios de los productos de la canasta familiar. Éste hecho implica que el poder adquisitivo de la moneda disminuye con el paso del tiempo, ya que el mismo producto costará cada año más cantidad de dinero, o sea que un peso de hoy vale más que un peso de mañana, el dinero se desvaloriza a través del tiempo a una tasa de interés inflacionaria, por lo que el prestatario después de un plazo pagará una cantidad de dinero mayor que lo prestado al prestamista.

El concepto de valor del dinero en el tiempo hace cuestionarse sobre si es lo mismo recibir $200.000 hoy que recibirlo dentro de 3 años. La lógica indica que no es lo mismo, precisamente porque la inflación desvaloriza el dinero con el paso del tiempo disminuyendo su valor adquisitivo. O sea, que dentro de 3 años se reciben los mismos $200.000 aunque con un menor poder de compra de bienes y servicios. En una economía inflacionaria como la colombiana donde los precios de los productos y servicios suben permanentemente, el poder adquisitivo del dinero también disminuye constantemente.

Por lo antes expuesto, se puede decir que una misma cantidad de dinero colocada en distintas fechas, desde el punto de vista financiero, es un valor diferente. Así cuando se dice que hoy se paga una cuota de $100.000 y dentro de 5 meses se cancela otra por $100.000, no se puede decir que se cancelaron $200.000. Porque

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los primeros $100.000 estuvieron ganando interés durante 5 meses, lo que genera mayor valor según la tasa de interés. Al hacer esta consideración se viola el principio del valor del dinero en el tiempo, ya que no se pueden o no se deben sumar valores ubicados en diferentes fechas.

EQUIVALENCIA. Dos cantidades de dinero ubicadas en diferentes puntos de tiempo son equivalentes si al trasladarlas al mismo punto se hacen iguales en magnitud. Significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico. Por ejemplo $100.000 hoy son equivalentes a $120.000 dentro de un año con relación a una tasa del 20% anual.

INTERÉS. Se define como la medida del incremento del dinero en un tiempo determinado. Precio que se paga por el uso del dinero en el Tiempo. Renta o ganancia del capital financiero que se obtiene por cobrar o pagar los depósitos bancarios, de algún proyecto o de alguna deuda. Se dice que el interés es el precio del capital. También se define como el precio que pagan los agentes económicos por usar fondos ajenos; o en otras palabras, es un arriendo pagado por un dinero tomado en préstamo durante un tiempo determinado. Se expresa como un porcentaje del monto prestado por unidades de tiempo, que puede ser un mes, dos meses, 180 días, un año…

Se pueden mencionar dos razones fundamentales que explican la existencia del interés:a. El prestamista (oferente de fondos) realiza un sacrificio cuando presta dinero al posponer su consumo. El interés representa una compensación por este sacrificio. 

b. El prestatario (demandante de fondos) obtiene un beneficio por el uso del préstamo, que empleará para el consumo o para realizar una Inversión.

Si se presta una cantidad de dinero hoy, ahora (P) y después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor (F), la variación o diferencia del valor del dinero de (P) a (F) se Llama Interés (I) o Valor del dinero en el tiempo y se representa por la fórmula  

Ejemplo.

1. Se depositan en una cuenta de ahorros $1.300.000 y después de 4 meses la cuenta de ahorro tiene un saldo de $1.395.000. ¿Cuánto fue el valor de los intereses? I= F – P I= 1.395.000 – 1.300.000 I= $95.000

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I= F – P P = F – I F = P + I

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El dinero sufrió una variación de 95.000 al cabo de los cuatro meses

2. María le manifestó a Pedro su hermano, que tenía $1.000.000 y en un mes quería comprar un computador DELL, pero le faltaban $ 80.000. Pedro le dijo que estaba buscando precisamente un millón de pesos al 10% con interés simple, para cubrir un sobregiro en el banco. Le propuso a maría que se lo prestara y en un mes le devolvía lo que le costaba el computador. María aceptó ¿Cuánto fue el valor del computador? ¿Cuánto fue el valor de los intereses? ¿Pedro pagó intereses al 10%? F = I + P F= 80.000 + 1.000.000 F= $1.080.000

3. Antonio le prestó una cantidad de dinero a Juan conviniendo con él, que la suma total que debe entregar al final del tiempo convenido es de $560.000 Juan le entregó $45.000 de intereses más el capital que le había prestado. ¿De cuánto fue la cuantía prestada P = F - I P= 560.000 - 45.000 P= $515.000

TASA DE INTERÉS. Es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero". La tasa de interés (i) es un indicador expresado como porcentaje que mide el valor de los intereses. También se define como la relación entre lo que se recibe de intereses y la cantidad prestada o valor presente (P). Su fórmula es

Ejemplo.

1. Nina prestó a Karina $1.200.000 y después de tres meses Karina le entregó a Nina la suma de $1.275.000 ¿Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.P = 1.200.000 F = 1.275.000 Luego I= F – P I= 1.275.000 – 1.200.000 I= $75.000

i=IP i=

75.0001.200.000 i= 0,0625 i= 0,0625(100) i= 6,25%

2. Carlos depositó en Davivienda $250.000 durante un mes al 3% mensual ¿Cuánto ganó de intereses? I= P(i) I= (250.000)(0,03) I=$7.500

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i=IP P=

Ii I= P(i)

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3. El banco me depositó en la cuenta de ahorro $25.000 por concepto de intereses y la tasa sobre la cual mide los intereses es de 2,5% mensual. ¿Cuánto dinero tenía en la cuenta de ahorro al momento de calcular el banco los intereses?

P=Ii P=

25.0000,025 P= 1.000.000

Existen muchas tasas de Interés, que corresponden a préstamos de diferentes plazos y riesgos. El interés real es igual al interés nominal menos la tasa de inflación, vale decir, el beneficio neto que obtiene el prestamista por los fondos que da en préstamo. El interés nominal es igual al interés real, más la tasa de Inflación. Cuando no existe Inflación, ambos son iguales.

Periodo de interés: es la unidad de tiempo de la tasa de interés (el periodo más utilizado para fijar una tasa de interés es de un año, la cual equivale a la tasa nominal)

TASA DE INTERÉS NOMINAL. Es la tasa que se pacta en una operación financiera y generalmente se expresa como tasa anual. Equivale a la tasa de interés del periodo multiplicado por el número de periodos. Así una tasa del 2% mensual significa una tasa nominal del 24% (2% * 12 meses = 24% anual con capitalización mensual.

El interés nominal no considera el valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo si se habla de la tasa del 36% nominal, con capitalización trimestral, esto indica que el interés se reconoce, se liquida, se causa, se capitaliza cada tres meses y que en un año existen cuatro periodos de capitalización, de liquidación.0,36/4 = 0,09 trimestral

La tasa del 36% anual con capitalización mensual quiere decir que en el año se capitaliza 12 veces, en cada mes se paga el 0,36/12 = 0,03 = 3% mensual

La tasa del periodo de capitalización i = Tasa Nominal

Número de periododecapitalización

DATOS IMPORTANTES

Por el sólo hecho que transcurra el tiempo el dinero cambia de valor, medido a través de su poder adquisitivoValores contemplados en diferentes fechas no se pueden sumarLa variación del dinero en un tiempo determinado se llama valor del dinero en el tiempoEl valor del dinero en el tiempo se mide por medio de los interesesLa tasa de interés mide el valor de los intereses

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Valores diferentes ubicados en diferentes fechas son equivalentes si producen el mismo efecto económico en una fecha determinada.El concepto de equivalencia es relativo ya que depende de las expectativas de rendimiento de cada inversionista

SÍMBOLOS QUE SE UTILIZARÁN EN MATEMÁTICAS FINANCIERASP = Valor presente F = Valor futuro I = Interés i = Tasa de interésN = Número de periodos de interés A = Anualidad

TASA DE INTERÉS EFECTIVA. Corresponde a la tasa de interés que realmente se paga. Cuando se pacta una tasa de interés en una operación financiera(tasa nominal) y el periodo de capitalización es menor que el tiempo en que está expresada la tasa nominal, la tasa que realmente se paga (tasa efectiva) es mayor que la tasa nominal.

DIFERENCIA ENTRE PERIODO DE PAGO Y PERIODO DE CAPITALIZACIÓN. El periodo de pago es la frecuencia de las entradas o pagos dentro del intervalo de un año. Se asocia con los pesos y con el número de periodosEl periodo de capitalización es el periodo en el cual los intereses se suman al monto del antiguo capital. Se asocia con la tasa de interés.

6. FLUJO DE CAJA. Es el registro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo de la operación financiera, adoptando señalar los ingresos con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.

Ejemplos.

1. Claudia depositó hoy en su cuenta de ahorro $5.000.000 y después de siete meses retira $5.125.000. Construye el flujo de caja

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Ingreso

Egreso

0 2 3 4 5 6 71

$5.125.00

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2. Frankin compra un vehículo por $25.000.000 y se compromete a pagarlo de la siguiente manera: Una cuota inicial de $7.000.000 y el saldo en 5 cuotas iguales en los meses 2, 4, 6, 8, 10 por un valor de $4.000.000 cada una. Construir el flujo de caja.

VALOR PRESENTE (P). También se llama valor actual, es aquel que corresponde a un bien, una inversión, cantidad de dinero o un valor en un instante considerado como presente. El valor presente puede darse en el interés simple y en el interés compuesto. Muchas veces nos interesa conocer, a cuanto equivale hoy una suma de dinero que vamos a recibir o cancelar en un tiempo futuro determinado.

Para ilustrar el concepto de Valor Presente, supongamos que se recibirán $1.000 después de un año. Si el Costo de oportunidad de los fondos es 8%, la pregunta es: ¿qué suma de Dinero de hoy llegará a ser igual a $1.000 después de un año con un Interés de 8%?

Para encontrar el valor presente (P) se divide el valor final o futuro entre la tasa de interés, operación que se conoce como actualización o Descuento, de la siguiente forma: P = $1.000 /1.08 = $ 934,58

De manera similar, el valor presente de $1.000 que se recibirán dentro de dos años al 7% es igual a: $1.000 /(1.07)2 = $ 873,44

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$5.000.000

25.000.000

7.000.000 4.000.0004.000.0004.000.0004.000.0004.000.000

n = 10 meses

2 4 10860

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Generalizando la fórmula, el valor presente (P) de un Capital futuro (F), que se

recibirá al final del año n, a una tasa de interés i, es igual a: P = =F

(1+i)n a interés

compuesto

El concepto de valor presente permite apreciar las diferencias que existen por el hecho de poder disponer de un Capital en distintos momentos del Tiempo, actualizados con diferentes tasas de descuento. Es así que el valor presente varía en forma inversa el período de Tiempo en que se recibirán las sumas de Dinero, y también en forma inversa a la tasa de Interés utilizada en el descuento.

RENTABILIDAD. Beneficio que se obtiene de una Inversión o en la gestión de una Empresa. Es importante señalar que no existe una medida única de Rentabilidad. En la Evaluación de Proyectos de inversión las dos medidas de rentabilidad más importantes son el Valor Presente Neto (VPN) y la Tasa Interna de Retorno (TIR).

INVERSIÓN. Es aquella parte de la producción que no se destina al Consumo inmediato sino a la producción de nuevos Bienes De Consumo o de nuevos bienes de Capital.

AMORTIZAR (Amortización) Saldar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos, los cuales pueden ser iguales o variables en valor a intervalos de tiempos iguales o variables

SALDO INSOLUTO. Saldo que queda por pagar después de realizar un abono a la deuda. Significa lo no pagado

VALOR. Aquella cualidad que poseen los Bienes que los hace deseables, por su capacidad para satisfacer las necesidades humanas. En otras palabras, los Bienes tienen Valor en la medida que proporcionan Utilidad o satisfacción a su poseedor.

BENEFICIO. Es la Ganancia o exceso de los Ingresos sobre los Gastos, producidos en el curso de una operación, durante un periodo de Tiempo determinado o al final de la vida de una Empresa. Lo contrario justo al beneficio son las pérdidas.

COSTO. Es la medida de lo que se debe dar o sacrificar para obtener o producir algo. Es el conjunto de esfuerzos y Recursos que se han invertido para producir un satisfactor; es lo que se sacrifica por haber elegido cierta alternativa. En

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una Empresa es el Valor de los insumos y Factores Productivos requeridos en la producción.

DINERO. Medio de cambio (pago) de aceptación generalizada: vale decir, es cualquier cosa aceptada por todas las personas en pago de Bienes y servicios. Las funciones más importantes del dinero son las de medio de cambio, Depósito de Valor y unidad de cuenta.

El dinero en su Función de medio de cambio facilita el Intercambio, o sea, evita la principal dificultad del trueque que es la doble coincidencia de voluntades para realizar una transacción. Para ser un medio de cambio eficiente debe poseer algunas características: ser divisible, fácilmente transportable, de fácil aceptación y difícil de falsificar.

CAPITAL. Es uno de los factores de la producción y comprende el conjunto de los Bienes materiales que habiendo sido creados por el hombre, son utilizados para producir otros Bienes o servicios. Dos características importantes del capital son que su creación involucra un costo, porque es necesario utilizar recursos que podrían destinarse al consumo; y la aplicación delcapital al proceso de producción incrementa la productividad de los otros factores productivos, tales como el trabajo y la tierra.

MERCADO. Tiene varios significados como son "trato entre un comprador y un vendedor"; también se llama Mercado al "lugar donde se efectúan numerosas transacciones". Conjunto de transacciones que se realizan entre los compradores y vendedores de un Bien o servicio; vale decir, es el punto de encuentro entre los agentes económicos que actúan como oferentes y demandantes de Bienes y servicios.

PRECIO. Cantidad de dinero que se paga por una cosa en virtud de un contrato de compraventa. Representa la relación de intercambio de un bien por otro. En otras palabras, es la medida del valor de cambio de los bienes y servicios. Así por ejemplo, si la gente está dispuesta a cambiar una camioneta por dos autos, el precio de la camioneta son dos autos.

OFERTA. Cantidad máxima de bienes o servicios que un productor está dispuesto a vender en el mercado a un precio dado, por unidad de tiempo.

DEMANDA. Cantidad máxima de un bien o servicio que un individuo o grupo de ellos está dispuesto a adquirir a un determinado precio, por unidad de tiempo..

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BIENES. Son objetos útiles, provechosos o agradables que proporcionan a quienes los consumen un cierto valor de uso o utilidad. Los bienes económicos, más específicamente, son objetos que se producen para su intercambio en el Mercado, es decir, son mercancías.

NECESIDAD. Toda cosa que requiere o desea un consumidor para la conservación de la vida y cuya provisión causa satisfacción.

RECURSOS. Conjunto de capacidades humanas, elementos naturales y bienes de Capital, escasos en relación a su Demanda, que se utilizan casi siempre conjuntamente para producir Bienes y servicios. Los Recursos Naturales son aquéllos que provienen directamente de la Tierra y de sus características específicas en un lugar o una zona determinada.

COMERCIO. El intercambio de bienes y servicios ya sea realizado directamente, bajo la forma de trueque, o indirectamente, por medio del dinero. La tendencia a cambiar bienes diferentes responde a un criterio de maximización de utilidad que se desarrolla en los seres humanos desde sus más tempranos orígenes. El comercio, puede decirse, es la expresión más o menos consolidada y estable de esta tendencia natural al intercambio.

COSTO DE OPORTUNIDAD. Beneficio que se puede obtener de una inversión a la cual se renunció por destinar el capital a otra inversión. Ejemplo, si se tienen dos alternativas de inversión, La alternativa A, que renta un 3% mensual por $1000, y la alternativa B que renta un 4% mensual por $1000. Si se escoge la alternativa B, se puede decir que el costo de oportunidad de esa alternativa es 3%, debido a que se renunció a obtener $30, por buscar $40 en la alternativa B.

INTERÉS SIMPLE. Es aquel en el cual los intereses devengados en un periodo no ganan intereses en los periodos siguientes, independientemente de que se paguen o no.

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