con el sistema de numeración arábigo o
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Con el Sistema de Numeración Arábigo o Decimal se pueden representar infinitos números reales. Para ello, se utilizan diez cifras o dígitos numéricos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 (diez son los dedos de las manos). También se usan los signos más (+) y menos (-) para representar a los números positivos y negativos, respectivamente, y un punto (.) o una coma (,) para separar la parte entera de la parte fraccionaria.
Numero real = parte entera , parte fraccionaria
Ejemplo 1: Los números 5,6 y -502,12 representan a los números "cinco con seis" y "menos quinientos dos coma doce".
5,6 = 5 + 0,6
-502,12 = -500 - 2 - 0,1 - 0,02
Una de las características más importantes del Sistema Decimal es que es un sistema de numeración posicional.
Sistemas de numeración posicional
En un sistema de numeración posicional, cada cifra representa a un valor relativo diferente, dependiendo de su valor absoluto y de su posición en una secuencia de dígitos. Esta característica le convierte en un sistema de numeración adecuado para realizar operaciones matemáticas por escrito, tales como: la suma, la resta, la multiplicación o la división.
Ejemplo 2: En el Sistema Decimal, el número entero "cuatrocientos cuarenta y cuatro" se representa como 444. Empezando por la izquierda, el primer 4 representa al "cuatrocientos" (400), el segundo 4 representa al "cuarenta" (40) y el último 4 representa al "cuatro" (4). En este caso, las tres cifras tienen como valor absoluto: el 4, y como valores relativos: el 400, el 40 y el 4.
444 = 400 + 40 + 4
Un sistema de numeración posicional se caracteriza por su base, que viene determinada por el número de dígitos que utiliza.
Ejemplo 3: La bases de los Sistemas Decimal, Binario, Octal y Hexadecimal son 10, 2, 8 y 16, debido a que usan diez, dos, ocho y dieciséis cifras, respectivamente. En la siguiente tabla se muestran los dígitos de cada uno de estos sistemas de numeración.
Figura. Dígitos de los sitemas de numeración de base 2, 8, 10 y 16.
Los signos hexadecimales A, B, C, D, E y F equivalen, respectivamente, a los números 10, 11, 12, 13, 14 y 15 en base 10.
En cualquier sistema de numeración posicional, una secuencia de dígitos se puede representar, formalmente, de la siguiente manera:
Nb = ap-1 ap-2 ... a1 a0 , a-1 a-2 ... a-q+1 a-q
siendo (N) el número o secuencia de signos, (b) la base, (p) el número de dígitos de la parte entera, (q) el número de dígitos de la parte fraccionaria, (ai) las cifras del número e (i) la posición de cada cifra con respecto a la coma (,). Cumpliéndose que para todo dígito a,
0 <= a <= b-1
y para toda posición i,
-q <= i <= p-1
Ejemplo 4: En el Sistema Decimal, el número real 4305,86 se puede expresar como
4305,8610
siendo el número N = 4305,86, la base b = 10, el número de dígitos de la parte entera p = 4, el número de dígitos de la parte fraccionaria q = 2 y las cifras a3 = 4, a2 = 3, a1 = 0, a0 = 5, a-1 = 8 y a-2 = 6. Cumpliéndose que para todo dígito a,
0 <= a <= 9
y para toda posición i,
-2 <= i <= 3
Ejemplo 5: En el Sistema Binario, el número 11010,001 se puede enunciar como
11010,0012
siendo el número N = 11010,001, la base b = 2, el número de dígitos de la parte entera p = 5, el número de dígitos de la parte fraccionaria q = 3 y las cifras a4 = 1, a3 = 1, a2 = 0, a1 = 1, a0 = 0, a-1 = 0, a-2 = 0 y a-3
= 1. Cumpliéndose que para todo dígito a,
0 <= a <= 1
y para toda posición i,
-3 <= i <= 4
Otra característica importante de los sistemas de numeración posicional es que con n dígitos se pueden representar bn números diferentes.
Ejemplo 6: Con tres dígitos, en el Sistema Decimal se pueden representar 103 números enteros positivos distintos, es decir, mil números: del 00010 al 99910, ambos inclusive.
Ejemplo 7: Con tres dígitos, en los Sistemas Binario, Octal y Hexadecimal se pueden representar 23, 83 y 163 números distintos, respectivamente, es decir, 8, 512 y 4096 números, que van desde el 0002 hasta el 1112, desde el 0008 hasta el 7778 y desde el 00016 hasta el FFF16.
Teorema Fundamental de la Numeración
El Teorema Fundamental de la Numeración (TFN) establece que en cualquier sistema de numeración posicional todos los números pueden expresarse mediante la siguiente suma de productos:
Nb = ap-1∙bp-1 + ap-2∙bp-2 + ... + a1∙b1 + a0∙b0 + a-1∙b-1 + a-2∙b-2 + ... + a-q+1∙b-q+1 + a-q∙b-q
es decir,
Figura. Fórmula del Teorema Fundamental de la Numeración.
Ejemplo 8: Aplicando el TFN, el número real 4305,86, en base 10, se puede expresar como:
4305,8610 = 4∙103 + 3∙102 + 0∙101 + 5∙100 + 8∙10-1 + 6∙10-2
4305,8610 = 4∙1000 + 3∙100 + 0∙10 + 5∙1 + 8∙0,1 + 6∙0,01
4305,8610 = 4000 + 300 + 0 + 5 + 0,8 + 0,06
En la secuencia de dígitos ap-1 ap-2 ... a1 a0 , a-1 a-2 ... a-q+1 a-q cada cifra tiene un peso diferente a las demás. El peso de un dígito viene determinado por su posición respecto a la coma (,) decimal. Cuanto más a la izquierda se encuentra un dígito, más peso tiene, es decir, más significativo es. Por tanto, el dígito más significativo o de mayor peso es ap-1 y el menos significativo o de menor peso es a-q. Esto es así porque el peso de ap-1 es bp-1 y el peso de a-q es b-q. Ejemplo 9: En la secuencia de dígitos 4305,86, en base 10, el signo más significativo es el 4, que representa al 4000, ya que su peso es 103, y el menos significativo es el 6, que representa al 0,06, ya que su peso es 10-2.
En resumen, el TFN dice que en cualquier sistema de numeración posicional de base b, un número N representa a la suma acumulada de los productos de sus dígitos ap-1, ap-2, ..., a1, a0, a-1, a-2, ..., a-q+1 y a-q por sus respectivos pesos bp-1, bp-2, ..., b1, b0, b-1, b-2, ..., b-q+1 y b-q.
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Sistema de Numeración decimal
Símbolos del Sistema de Numeración Decimal
En la mayoría de las actividades que desarrolla el hombre necesariamente debe llegar a establecer un resultado o expresión numérica.
En la ingeniería, en la arquitectura, en la medicina, en la química, etc, las magnitudes deban expresarse en forma concreta.
Los símbolos numéricos que hoy se utilizan fueron introducidos por los matemáticas árabes, quienes los habrían tomado de los hindúes.
Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración son los siguientes:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
A estos símbolos básicos indoarábicos se les llama también dígitos.
Características principales del Sistema de Numeración Decimal
En un numeral, cada dígito tiene un valor relativo y un valor posicional.
La base del sistema decimal es diez. Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden
inmediatamente superior.
En un numeral, cada posición es diez veces mayor que la que está inmediatamente a su derecha
Valor posicional
El valor de los dígitos según su posición en un numeral, hasta la centena de millón, aparece en el cuadro siguiente:
9ª
Posición
8 ª
Posición
7ª
Posición
6ª
Posición
5ª
Posición
4ª
Posición
3ª
Posición
2ª
Posición
1ª
Posición
centenas
de millón
decena
s
de millón
unidades
de milló
n
centenas
de mil
decena
s
de mil
unidades
de mil
centenas
decena
s
unidades
CMi DMi UMi CM DM UM C D U
Diez unidades forman una decena.Diez decenas forman una centena.Diez centenas forman una unidad de mil.Diez unidades de mil forman una decena de mil.Diez decenas de mil forman una centena de mil. Diez centenas de mil forman una unidad de millón.Diez unidades de millón forman una decena de millón.Diez decenas de millón forman una centena de millón.
En el numeral 222 el mismo dígito tiene distintos valores de acuerdo con cada posición que ocupa en el numeral 222.
2 2 2
2 centenas
2 decenas
2 unidades
Como 1 decena = 10 unidades1 centena = 100 unidades
Entonces, los valores del dígito 2, según su posición en el numeral son los siguientes:
2 2 2
2 x 100 unidades = 200 unidades
2 x 10 unidades = 20 unidades
2 unidades
Forma exponencial de escribir un Numeral
Los valores posicionales de los dígitos en un numeral se pueden expresar en potencias de 10.Potencias de 10
1 = = 100 La potencia 100 es 1 10 = 10 = 101
100 = 10 x 10 = 102
1.000 = 10 x 10 x 10 = 103
10.000 = 10 x10 x 10 x 10 = 104
100.000 = 10 x10 x 10 x 10 x 10 = 105
1.000.000 = 10 x10 x10 x 10 x 10 x 10 = 106
10.000.000 = 10 x10 x10 x10 x 10 x 10 x 10 = 107
Para cada dígito en el numeral 853.416.027 se puede establecer lo siguiente: 853.416.027
7 x 100 unidades2 x 101 unidades0 x 102 unidades6 x 103 unidades1 x 104 unidades4 x 105 unidades3 x 106 unidades5 x 107 unidades8 x 108 unidades
Así, el desarrollo exponencial del numeral 853.416.027 es:
(8 x 108) + (5 x 107) + (3 x 106) + (4 x 105) + (1 x 104) + (6 x 103) + (0 x 102) + (2 x 101) + (7 x 100)
A la inversa, a partir del desarrollo exponencial se puede establecer el respectivo numeral.
En efecto, el numeral correspondiente al desarrollo exponencial:
(3x105)+(2x1041 +(6x103)+(1 x 102)+(5x101)+(4x100) es = 326.154
puesto que:3 x 105 = 3 x 100.000 = 300.0002 x 104 = 2 x 10.000 = 20.0006 x 103 = 6 x 1.000 = 6.0001 x 102 = 1 x 100 = 1005 x 101 = 5 x 10 = 50
4 x 100 = 4 x 1 = 4 326.154
Numeración RomanaLa numeración romana es e! sistema de representación de los numerales empleados por los romanos
Símbolos de la Numeración Romanala numeración romana se representa a través de los siguientes símbolos:I =1 C=100V =5 D=500X =10 M=1.000L=50
En la numeración romana no existe símbolo para el dígito cero.Reglas para la representación de los numerales romanos
Un mismo símbolo no se puede repetir más de tres veces.Los símbolos V y L no se repiten. Los símbolos que se repiten se suman entre sí.Los símbolos que van a la derecha de otro mayor se suman.Un símbolo que va a la izquierda de uno mayor que él se restaSólo los símbolos I, X y C se restan a otros mayores.
Equivalencia de decenas son numerales romanos vales romanos 10 = X 40 = XL 70 = LXX 20 = XX 50 = L 80 = LXXX 30 = XXX 60 = LX 90 = XC
Diagrama para representar un numeral romano formado por decenas
Ejemplos:
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
LV = 50 + 5 = 55
IC = 100 - 1 = 99
CM = 1.000 - 100 = 900Aplicación del diagrama
Representar el numeral 12 en numerales romanos
12 = 1 decena + 2 unidadesEntonces:1° Escribir las decenas X2°¿El dígito de las unidades es cero? NoA la derecha escribir las unidades XIIRepresentar el numeral 30 en numeles romanos30 = 3 decenas + 0 unidadEntonces:1° Escribir las decenas XXX2° ¿El dígito de las unidades es cero? síRepresentación concluida 30 = XXX
Algunos Subconjuntos de IN
Números pares son los múltiplos de 2 o que son divisibles por 2.
P={x E IN /x=2n,n E IN}
Ejemplo:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ..., 2n, ...}
Números impares son aquellos que están formados por la adición de un número par y el uno.
I={x E IN/x=2n +1,n E IN}
Ejemplo:
I = {1, 3, 5, 7, 9, ..., (2n + 1), ...}
Antecesor y Sucesor de un Número NaturalExcluyendo el cero, el antecesor de un número natural es aquel que está inmediatamente a su izquierda en la recta numérica.
Por ejemplo:
El número que está inmediatamente a la izquierda del 1, en la recta numérica, es el 0, luego, el antecesor de 1 es 0.
___________________________________ | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7
antecesor de 1
De igual forma se tiene que:
el antecesor de 3 es 2el antecesor de 6 es 5el antecesor de 10 es 9El sucesor de un número natural es aquel que está inmediatamente
Por Eejemplo:El número que está inmediatamente a la derecha del 0, en la recta nu mérica, es el 1. Luego, el sucesor de 0 es 1.
___________________________________ | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7sucesor de 0De igual forma se tiene que:
- el sucesor de 2 es 3 - el sucesor de 5 es 6 - el sucesor de 12 es 13
Adición de Números Naturales
Al unir dos conjuntos disjuntos se obtiene un tercer conjunto cuyo cardinal se denomina suma.
Los siguientes son conjuntos disjuntos:
A = {1,3,5} B = {2,4}
# A=3 # B = 2
Al unir los conjuntos disjuntos se obtiene:
# A + B = # {A U B}
3 + 2 = 5
suma
Los términos de la adición se llaman sumandos y el resultado se llama suma o total: 25 } sumando 25 + 31 = 56 + 31 sumando Total -------- 56
Para resolver una suma de números naturales se debe ordenar los sumandos de tal modo que siempre sumen cifras del mismo orden:
unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc.
Asociatividada, b,c E IN(a + b) + c = a + ( b + c)
Si se agrupan los sumandos de distintas maneras, la suma no cambia.(38 + 15) + 20 = 38 + (15 + 20) 53 + 20 = 38 + 35 73 = 73
Conmutatividada,b E IN
a + b = b + aSi se cambia el orden de los sumandos; .lá suma no,varia.18 + 3 = 3 + 18 21 = 21
Elemento neutroa E IN
a + 0 = aEl elemento neutro es cero. `25 + 0 = 25
Regularidada, b,c E IN .. ,[a + c = b + c]=>[a = b]
Si: a dos números naturales iguales se le sumán números naturales iguales las sumas son iguales.[a + 5 = b + 5]=> [a = b]
Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de dos números naturales,excluyendo el cero, es igual a la cardinalidad del producto
cartesiano delos conjuntos que ellos representan.
Diagrama general de la multiplicación en IN
Con factores más de un dígito
División de Números Naturales Términos de la divisiónComparada con la multiplicación, la división es la operación inversa.Dividir un número a (dividendo) por otro número b (divisor), consiste en dividendoencontrar un número c (cuociente) tal que multiplicado por el divisor dé el divisordividendo.
[a : b = c]<=> ra [a = b • c]
La división está resuelta en IN sólo si el cuociente es un número natural y I residuoel resto es cero.
Diagrama de la división en IN
PotenciaciónLa siguiente multiplicación tiene sus factores iguales:
5•5•5
Una multiplicación de factores iguales se llama potencia. En una potencia se distinguen la base y el exponente.
La base es el factor que se repite y el exponente es el número que indica las veces que se repite la base como factor.
En la multiplicación 3 • 3 • 3 • 3, la base es 3 y el exponente es 4:
Exponenete34 base
Si se tiene la potencia 23 , su desarrollo es: 2 • 2 • 2 y el valor nurriérico es 8.
Todas las potencias que tienen como base 10 se llaman potencias de 10. Algunas potencias de 10 son:
101 =10 104 = 10.000102 = 100 105 = 100.000103 = 1.000 106 = 1.000.000
- Potencia de cero es aquella cuyo exponente es igual a cero: 20 50
El resultado de una potencia cero de base distinta de cero es igual a 1.
20 = 1 50 = 1
- Potencia de exponente unidad es aquella potencia cuyo exponente es 1
31 71
Una potencia de exponente unidad es igual a la base
31 = 3 71 = 7
Factorización8 • 3 = 24
factor fator Producto
los términos de una multiplicación son: factores y producto.
El producto de una multiplicación puede obtenerse con diferentes pares de factores
8 x 3 = 24
6 x 4 = 24
1 • 24 = 24
Para cada número es posible determinar el conjunto de factores.
Por ejemplo:
Factores de 2 = {1, 2}
Factores de 3 = {1, 3}
Factores de 4 = {1, 2, 4}
Factores de 8 = {1, 2, 4, 8}
- Número primo
Es aquel que tiene solamente dos factores desiguales, el 1 y el propio número.
Ejemplos:
5 = {1, 5} 7 = {1, 7}
Reglas de la divisibilidad
Para saber si la división entre números naturales es exacta, no necesariamente habrá que resolverla.
Se pueden aplicar determinadas reglas prácticas de divisibilidad para este propósito.
- Divisibilidad por 2
Son divisibles por 2 todos los números cuyo último dígito es cero o par.
Por ejemplo:
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
- Divisibilidad por 3
Son divisibles por 3 todos los números cuya suma de sus dígitos es un múltiplo de 3
Por ejemplo:360 = 3 + 6 + 0 = 9
Como 9 es múltiplo de 3, el número 360 es divisible por 3.
Por el contrario:148 = 1 + 4 + 8 = 13
Como 13 no es múltiplo de 3, 148 no es divisible por 3.
- Divisibilidad por 6
Todos los números que son ;divisibles por 2 y 3,,también son divisibles por 6.
Por ejemplo: 144
Es divisible por 2 porque el último dígito es par (4).
Es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3:
1 + 4 + 4 = 9 9 es múltipo de 3
144 es divisible por 6, puesto que es divisible por 2 y 3 a la vez.
- Divisibilidad por 4
Son divisibles por 4 todos'los números terminados en dos,;ceros o cuyos dos últimos dígitos, forman un número múltiplo de 4.
Por ejemplo:
1.500 es divisible por 4 porque termina en dos ceros.
128 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos (28) forman un número múltiplo de 4.
- Divisibilidad por 5
Son divisibles por 5 todos los números cuyo último dígito es cero o cinco.
Por ejemplo:
120 es divisible por 5 porque el último dígito es cero.
135 es divisible por 5 porque el último dígito es 5.
Divisibilidad por 9
Son divisibles por 9 todos los números cuya.suma de sus dígitos es un múltiplo de 9
Por ejemplo:
567 es divisible por 9 ya que 5 + 6 + 7 = 18 y 18 es múltiplo de 9
Divisibilidad por 10 Son divisibles por 10 todos los números terminados en cero.
Por ejemplo:
20, 30, 100, 1.300, son divisibles por 10 ya que terminan en cero.
Tabla de números primos menores de 300
2 3
5
711
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
2 2 2 2 2 2
69
71
77
81
83
93
Números compuestos
Es aquel que tiene más de dos factores. Por ejemplo, el 12 es compuesto, porque se puede descomponer
en más de dos factores.
12 = 1 • 1212 = 4 • 312 = 6 • 2
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de númerosprimos:
21 = 7 • 3
En este caso el 7 y el 3 son factores primos.
Un número natural se ha factorizado en forma completa cuando está ex presado como producto de números primos.
- Forma abreviada para factorizar
Dividir el número por el menor número primo por el cual sea divisible yasí sucesivamente cada cuociente se va dividiendo por un número primohasta obtener cuociente 1.
Los factores son todos los números primos usados como divisores. 1
Ejemplos:
Factorizar 48:48 : 224 : 2 12 : 2 6 : 2 3 : 3 1
Luego,48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 = 24 • 3
Factorizar 136136 : 2 68 : 2 34 : 2 17 : 17 1
Luego, 136 = 2 • 2 • 2 • 17 = 23 • 17
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
Conjuntos Numéricos y Propiedades
Los números naturales son los números que utilizamos para contar, estos son: {1,2,3,4,5,6,7,8, … }. Los puntos suspensivos indican que los números continuan de esa forma, sin terminar nunca.
Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si restamos 5 – 5 , nesecitamos otro número que represente el resultado. Ese número es cero. Entonces tenemos otro conjunto númerico que en adición a incluir los números naturales incluye el cero. Este conjunto es el conjunto de los números cardinales {0,1,2,3,4,5,6,7,8,…}.
En el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se refieren a númemros menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}.
Si sumamos, restamos y multiplicampos enteros siempre se obtiene otro número entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales. Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir de la
forma donde b es diferente de cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros son números racionales. Otros ejemplos de números racionales son:
Existe otro conjunto de números que que son los números irracionales, estos son números que no son racionales, esto es, que no se pueden expresar de la
forma donde b es diferente de cero. Ejemplos: √2 = 1.414213562… es un número irracional y π = 3.14157…
Luego el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto de los números reales.
El siguiente diagrama ilustra los diferentes conjuntos numéricos que estaremos utilizando en este curso.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Para todo número real a, b y c:
Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
a · b = b · a
Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5
2 x 4 = 4 x 2
Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4
5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a
Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a
Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
Inverso Aditivo: a + (-a) = 0
Ejemplo: 6 + (-6) = 0
Inverso Multiplicativo:
Ejemplos:
Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
Ejercicios:
Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:
Número/Conjunto numérico
Natural
Cardinal
Entero
Racional
Irracional
Real11 -7 0 ¾ 0.272727… 7.25 2.7985413… 1½
Identifica la propiedad en cada enunciado:
1. 7 + 5 = 5 + 7 ____________________________________________
2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ____________________________________
3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) _____________________________________
4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ______________________________________
5. 7 x 1 = 7 __________________________________________________
6. 11 + 0 = 11 ________________________________________________
7. 9 + -9 = 0 _________________________________________________
8. 2 x ½ = 1 __________________________________________________