Análisis no lineal Tiempo-

HistoriaEl análisis Tiempo-Historia, es un análisis paso a paso de la respuesta dinámica de una estructura a una carga especificada que puede variar con el tiempo. El análisis puede ser lineal o no lineal.

Nos vamos a enfocar al Análisis No lineal.

Temas avanzados

• Descripción general• No linealidad• Carga• Condiciones iniciales• Pasos Tiempo• Análisis modal no lineal Tiempo-Historia (FNA)• Análisis directa-Integración no lineal Tiempo-Historia.

Descripción general

El análisis Tiempo Historia se utiliza para determinar la respuesta

dinámica de la estructura a la carga arbitraria. Las ecuaciones de

equilibrio dinámico a resolver están dados por:

donde

K: Es la matriz de rigidez;

C: Es la matriz de amortiguamiento; M es la matriz de masa

diagonal;

u, ú y ü: Son los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de

la estructura

r: Es la carga aplicada. Si la carga incluye aceleración del terreno,

los desplazamientos, velocidades y aceleraciones son relativos a

este movimiento del suelo.

Hay varias opciones que determinan el tipo de su análisis Tiempo-Historia de a realizar:

- Linear vs no lineal.

Modal vs Integración directa.- Se trata de dos métodos de solución diferentes, cada uno con ventajas y desventajas. En circunstancias ideales, los dos métodos debe producir los mismos resultados para un problema dado.

- Transitorio vs Periódico: Análisis transitorio considera la carga aplicada como una evento único, con un principio y un final. El análisis periódico considera la carga repitiéndose indefinidamente, con todas las respuestas transitorias con amortiguamiento.

En un análisis no lineal, la rigidez, la amortiguación, y carga entodo puede depender de la desplazamientos, velocidades y tiempo.Esto requiere una solución iterativa para las ecuaciones demovimiento.

No linealidad

Los siguientes tipos de no linealidad están disponibles en SAP2000:

• No linealidad del Material

- Diferentes tipos de propiedades no lineales de elementos de

unión / Soporte

- La tensión y / o límites de compresión en los elementos Frame.

Articulaciones plásticas en los elementos FRAME

• La no linealidad geométrica

- Efectos P-delta

- Los efectos gran desplazamiento

Para los análisis Tiempo-Historia no lineal modal, sólo el

comportamiento no lineal de los elementos de enlace /

Soporte está incluido. Si los modos utilizados para este

análisis se calcularon utilizando la rigidez del extremo de

un análisis no lineal, todos los otros tipos de linealidades

están encerrados en el estado que tenían en el extremo de

que el análisis no lineal.

Carga.-

La aplicación de la carga no lineal para el análisis Tiempo-

Historia es idéntico al utilizado para el análisis lineal

Tiempo-Historia.

Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales describen el estado de la estructura al comienzo de untiempo-historia del caso. Estos incluiyen:• Desplazamientos y velocidades• Las fuerzas internas y tensiones• Variables de estado internas de elementos no lineales• Los valores de energía para la estructura• Las cargas externas

Las aceleraciones no se consideran las condicionesiniciales, pero se calcula a partir de laecuación de equilibrio.

Para análisis no lineales puede especificar las condiciones iniciales al comienzo de laanálisis. Usted tiene dos opciones:

Condiciones iniciales nulas: la estructura ha cero desplazamiento y velocidad, todos los elementos están sin tensión, y no hay ninguna suceso de deformación no lineal.

Continúe desde un previo análisis no lineal: los desplazamientos, velocidades,tensiones, cargas, energías, y los estados de sucesos no lineales, se llevan a cabo a partir del final de un análisis previo.

Hay algunas restricciones cuando continúan de un caso no lineal anterior.

Casos no lineales estáticos y de integración directa pueden ser relacionados en cualquier combinación, es decir, los dos tipos de análisis son compatibles el uno con el otro.

Los casos Modales Tiempo-Historia sólo puede continuar desde otros casos FNA, que utilizan modos de análisis modal del mismo caso.

Cuando se continúa desde casos anteriores, todas las cargas aplicadas especificada para el presente análisis de casos son incrementales, es decir, que se añaden a las cargas que actúan al preparado en el extremo del caso anterior.

Historia del Análisis Modal no lineal (FNA)

El método de análisis No lineal Tiempo Historia es utilizado en SAP2000 es una extensión de el rápido análisis no lineal (FNA) método desarrollado por Wilson (Ibrahimbegovic y Wilson, 1989; Wilson, 1993). El método es extremadamente eficiente y está diseñado para ser utilizado para los sistemas estructurales que son principalmente elásticos lineales, peroque tienen un número limitado de elementos pre definidos no lineales. Para el método FNA, todo se vuelve no lineal y restringidos.

donde KL, es la matriz de rigidez de los elementoslineales elásticos (todos los elementos excepto lasuniones / apoyo),C es la matriz de amortiguamiento proporcional,M es la masa diagonal matrizrN es el vector de fuerzas de los grados de libertad nolineales en los elementos unión / apoyo;u, ú y ü son los desplazamientos relativos,velocidades, aceleraciones con respecto al suelo, yr es el vector de cargas aplicadas.

Unión / Apoyo rigidez efectivaPara los fines del análisis, una rigidez efectiva lineal se define para cada grado de libertad de los elementos no lineales. La rigidez efectiva en los grados de libertad no lineales es arbitraria, pero generalmente varía entre cero y la máxima rigidez no lineal de ese grado de libertad.La ecuación de equilibrio, entonces se puede reescribir como:

Amortiguamiento modal El amortiguamiento modal se define como el cociente

de amortiguamiento crítico para cada modo. Elamortiguamiento crítico es la menor cantidad deamortiguamiento que produce que un sistema vuelva asu posición de equilibrio sin oscilar.

Nota importante:

Para el análisis modal lineal, el amortiguamiento linealeficaz para los elementos de conexión / Soportetambién se utiliza. Sin embargo, no se utiliza para elanálisis modal no lineal

Casos de Análisis del Amortiguamiento Modal

Para cada caso de análisis modal no lineal, es posibleespecificar las relaciones de amortiguamiento modal queson:

1. Constante para todos los modos2. linealmente interpolada por período o frecuencia. Se

especifica el factor de amortiguamiento en una serie depuntos de frecuencia o período. Entre los puntosespecíficos de la amortiguación se interpola linealmente.Fuera del rango especificado, el coeficiente deamortiguamiento es constante en el valor dado por elpunto más cercano especificado.

3. Masa y la rigidez proporcional. Esto imita laamortiguación proporcional utilizado para la integracióndirecta, excepto que el valor de amortiguación no se lepermite exceder a la unidad.

También es importante señalar que la suposición deamortiguamiento modal se realiza con respecto a la matrizde rigidez total, K, que incluye la rigidez efectiva de loselementos no lineales. Si el amortiguamiento modal no escero se utilizará, la rigidez efectiva especifica para estoselementos . La rigidez efectiva se debe seleccionar de talmanera que los modos para los cuales los valores reales deamortiguación se encuentren especificados.

En general, se recomienda que, la rigidez inicial delelemento de ser utilizado como la rigidez efectiva o larigidez secante que son obtenidos de ensayos en el valoresperado del desplazamiento máximo utilizarse.Inicialmente al abrir espacios y gancho en los elementos ytodos los elementos amortiguadores en general seespecifican con rigidez efectiva cero .

Amortiguación modal compuestos de los Materiales

Si hay relaciones modales de amortiguamiento, quehan sido especificadas para los materiales seconvierten automáticamente a compuestos deamortiguamiento modal. Cualquier acoplamientocruzado entre los modos se ignora. Estos valores deamortiguación modal-será generalmente diferentepara cada modo, dependiendo de la cantidad dedeformación en cada modo esto hace que loselementos compuestos de los materiales seandiferentes.

Solución iterativa Las ecuaciones no lineales modales se resuelven iterativamente

en cada paso de tiempo. El programa supone que los ladosderechos de las ecuaciones varían linealmente durante unintervalo de tiempo, de forma cerrada para resolver estasecuaciones de integración en cada iteración. Las iteraciones sellevan a cabo hasta que converge la solución. Si la convergenciano puede ser alcanzada, el programa divide el paso de tiempo enpequeños pasos secundarios y lo intenta de nuevo.

En general, el uso de los valores por defecto se recomienda ya queesto va a resolver la mayoría de los problemas. Si la convergenciano puede ser alcanzada, se obtienen resultados imprecisos, o lasolución llevará demasiado tiempo, el cambio de estosparámetros de control puede ayudar. Sin embargo, primero debeverificar que las cargas razonables y vínculos apropiados se hanespecificado, y que los modos apropiados han sido obtenidos,utilizando preferentemente el método de vectores Ritz.

Los parámetros que están disponibles para el control de la iteración paso a paso son:

1. La fuerza de tolerancia relativa de conversión, ftol

2. La energía de tolerancia relativa de conversión, Etol

3. El máximo tamaño permitido subetapa, dtmax

4. La subetapa mínimo tamaño permitido, dtmin

5. El número máximo de iteraciones permitidas por la fuerza subpasos pequeños itmax

6. El número máximo de iteraciones permitidas por la fuerza subpasos grandes, itmin

7. El factor de conver gencia, cf

Estos parámetros se utilizan en la iteración paso a paso .

Verificación de la Fuerza de Convergencia

Cada paso de tiempo dt de longitud se divide ensubetapas como sea necesario para lograr laconvergencia. En cada subetapa, la solución se iterahasta que el cambio en el lado derecho de lasecuaciones modales, expresado como una fracción dela parte derecha, se hace menor que la fuerza detolerancia, ftol. Si esto no se produce en el número deiteraciones por cometidos, el tamaño de la subetapa seredujo a la mitad y la iteración se intentó de nuevo.

El valor por defecto es ftol 10^-5. Debe satisfacer ftol>0.

Comprobación de la Energía de convergencia

Si la convergencia fuerza se produce en el númeropermitido de iteraciones, el trabajo realizado por lasfuerzas no lineales se compara con el trabajo realizadopor todos los términos de otra fuerza en las ecuacionesde equilibrio modal. Si la diferencia, expresada comouna fracción del trabajo total realizado, es mayor quela energía de tolerancia relativa, etol, el tamaño de lasubetapa se redujo a la mitad y la iteración se intentade nuevo.

Esta comprobación lineal de energía esencialmente mide cuán cerca es la variación de la fuerza lineal sobre el paso del tiempo.

Es particularmente útil para detectar cambios repentinos en el comportamiento no lineal, tales como la apertura y cierre de los ganchos o la aparición de la fluencia o deslizamiento. Establecer etol mayor que la unidad hace que esta comprobación de energía se apague.

El valor por defecto es etol 10^-5. Debe satisfacer etol > 0.

Máximas y Mínimas Tamaños subetapas Si la subetapa cumple los criterios de convergencia tanto de la fuerza

y energía, los resultados de la subetapa son aceptadas, por consiguiente se intenta utilizar el doble de la longitud de la subetapa anterior. El tamaño de la subetapa nunca se incrementa más allá dtmax

Cuando el tamaño de la subetapa se redujo a la mitad a causa de incumplimiento de cualquiera de los dos criterios de la fuerza o energía de convergencia, el tamaño de la subetapa resultante nunca se encuentra a menos de dtmin.

si el tamaño de la subetapa no es ya dtmin el resultado de los pasos de tiempo restante se ponen a cero y un mensaje de advertencia se emite.

El valor por defecto dtmax es dt. El valor por defecto dtmin es dtmax· 10^-9. Deben cumplir 0 < dtmin dtmax dt.

Número máximo de iteraciones

El número máximo de iteraciones permitidas para laiteración fuerza varía entre itmin y itmax. El númeroreal permitido para una subetapa dado se eligeautomacamente por el programa para lograr unequilibrio entre la iteración y subiteración . El númerode iteración permitido tiende a ser mayor parasubiteración más pequeña.

Los valores predeterminados para itmin y itmax son 2y 100, respectivamente. Deben cumplir 2 itmin yitmax.

Factor de Convergencia

bajo el descanso de la iteración fuerza puede serutilizado por el ajuste del factor de convergencia, cf, aun valor menor que la unidad.

Los valores más pequeños aumentan la estabilidad dela iteración, pero requieren más iteraciones para lograrla convergencia.

. Si cf es mayor que la unidad puede reducir el númerode iteraciones necesarias para ciertos tipos deproblemas, pero puede causar inestabilidad en laiteración y no se recomienda.

El valor por defecto cf es 1. Debe satisfacer cf> 0.

Periodo Estático Normalmente todos los modos se tratan como dinámica. La

respuesta de un modo dinámico tiene dos partes: • respuesta forzada, que es directamente proporcional a la carga

modal • Respuesta transitoria, que es oscilatorio, y que depende de los

desplazamientos y las velocidades de la estructura al comienzodel paso de tiempo

Opcionalmente, puede especificar que los modos de altafrecuencia (período corto) se trata como estática, de modo quesiga la carga sin ninguna respuesta transitoria. Esto se realizaespecificando un periodo estático, tstat de tal manera que todoslos modos con períodos de menos de tstat se consideran modosestáticos. El valor predeterminado para tstat es cero, lo quesignifica que todos los modos se considera que son dinámicos.

Aunque tstat puede ser utilizado para cualquier historia de tiempo no lineal de análisis, es el mas usado para análisis estático. Si los parámetros de iteración por defecto no funcionan para este tipo de análisis, se puede probar con los siguientes parámetros como punto de partida:

• tstat mayor que el período más largo de la estructura • itmax = itmin 1000 • dtmax DTmin = dt = • ftol 10^ -6 • cf = 0,1 Esto provoca que todos los modos al ser tratados como estática,

utilise la iteración en lugar de subiteración para encontrar una solución. La elección de los parámetros para lograr la convergencia es muy dependiente del problema, y se debe experimentar para encontrar los mejores valores a utilizar para cada modelo diferente.

Análisis Directa de Integración no lineal

Este análisis está disponible en SAP2000. con las siguientes ventajas:

Amortiguación completa que las parejas de los modos se pueden considerar Los problemas de propagación de impacto y de onda que podría surgir un gran

número de modos puede ser resuelto de manera más eficiente por integración directa

• Todos los tipos de no lineales disponible en SAP2000 se pueden incluir en un análisis de la integración directa no lineal.

Los resultados directos de integración son extremadamente sensibles al tamaño de paso de tiempo de una manera que no es cierto para superposición modal. Siempre se debe trabajar en el análisis de la integración directa con la disminución de intervalos de tiempo hasta que el tamaño de tamaño de paso es tan pequeño que resultados ya no son afectados por ella.

Parámetros de tiempo de integración

. Se aplican las mismas consideraciones como para elanálisis lineal. (Revisar pag 117)

Si el análisis no lineal tiene problemas deconvergencia, es posible que desee utilizar el métodoHHT con alfa = -1 / 3 para obtener una solucióninicial, a continuación, se vuelve a ejecutar el análisiscon la disminución del tamaño de paso de tiempo yvalores alfa para obtener resultados más precisos.

La No linealidad Todo material no lineal que se ha definido en el modelo, se

considera en una relación de integración directa no lineal en el tiempo de ciclo de análisis.

La no linealidad geométrica que se debe tener en cuenta:

• Ninguno

• Efectos delta P

• Efectos de grandes desplazamientos

Si se va a proseguir a partir de un análisis no lineal anterior, se recomienda seleccionar los mismos parámetros geométricos no lineales para el caso actual como en el caso anterior. (page307)

Condiciones iniciales Usted puede continuar una relación de integración no

lineal directa en el tiempo de ciclo de análisis a partirde un análisis estático no lineal u otra integracióndirecta en tiempo de ciclo de análisis no lineal.

Se recomienda que seleccione los mismos parámetrosgeométricos no linealidad para el caso actual como enel caso anterior.

Amortiguación El análisis de la amortiguación de la estructura es

modelada utilizando una matriz de amortiguacióncompleta.

A diferencia de amortiguamiento modal, esto permiteque el acoplamiento entre los modos seanconsiderados.

Nota importante: Para la integración directa lineal enel ciclo de análisis, el amortiguamiento lineal eficacespara los elementos de conexión / Soporte también seutiliza. Sin embargo, no se utiliza para el análisis nolineal

Amortiguación proporcional a partir del caso de análisis

La matriz de amortiguamiento se calcula como unacombinación lineal de la matriz de rigidez reducido por uncoeficiente especificado, y la matriz de masa a escala por unsegundo coeficiente que especifique que :

Pueden calcularse mediante la especificación de fraccionesequivalentes de amortiguamiento modal críticos en dosperíodos o frecuencias diferentes.

La rigidez de amortiguación es linealmente proporcional ala frecuencia. Se relaciona con las deformaciones de laestructura. L rigidez de amortiguación amortiguaciónexcesivamente puede amortiguar las componentes de altafrecuencia.

La Rigidez-proporcional de amortiguación utiliza larigidez actual, tangente de la estructura en cada paso detiempo. Así, un elemento de rendimiento tendrá menosamortiguación que uno que sea elástica. Del mismo modo,un elemento hueco sólo tendrá proporcionales de rigidezde amortiguación cuando el gancho se cierra.

La Masa de amortiguación proporcional es linealmenteproporcional a período. Se relaciona con el movimiento dela estructura, como si la estructura se mueve a través de unfluido viscoso . El exceso de esta masa puede amortiguarlos componentes de periodo largo.

Amortiguación proporcional de los Materiales

Puede especificar los coeficientes de amortiguamiento de la rigidez y la masa proporcional para materiales particulares. Por ejemplo, es posible que desee utilizar coeficientes mayores para los materiales del suelo que para el acero o el hormigón.

Solución iterativa Las ecuaciones no lineales se resuelven iterativamente

en cada paso de tiempo. Esto puede requerir volver aformar y re-solucionar las matrices de la rigidez y laamortiguación. Las iteraciones se llevan a cabo hastaque converge la solución. Si la convergencia no puedeser alcanzado, el programa divide el paso de tiempo enpequeños pasos secundarios y lo intenta de nuevo.

Varios parámetros están disponibles para controlar elproceso de iteración y subiteración. Estos se describena continuación.

Máximo Subpaso Tamaño El análisis siempre se parará en cada paso de tiempo de

salida, y en cada paso de tiempo, donde una de lasentradas en el historial de tiempo de funciones sedefine. Es posible, además, establecer un límitesuperior en el tamaño de paso usado para laintegración.

El programa automáticamente puede utilizar inclusosubetapas más pequeñas si es necesario para lograr laconvergencia cuando se repite.

Tamaño mínimo Subpaso Cuando la iteración no lineal no puede converger en el

número máximo especificado de iteraciones, elprograma automáticamente reduce el tamaño y lointenta de nuevo.

Se puede limitar el tamaño mas pequeño de lasubetapa dentro del programa pero si el programatrata de reducir el tamaño de paso por debajo de estelímite, se detendrá el análisis e indican que laconvergencia había fracasado.

Iteraciones máximas por Paso La iteración se utiliza para asegurarse de que el

equilibrio se alcanza en cada etapa del análisis. Sepuede controlar el número de iteraciones permitidasen un paso antes de que el programa intenta utilizar unsubpaso más pequeño. El valor por defecto de 10funciona bien en muchas situaciones.

Tolerancia de Iteración de Convergencia

La iteración se utiliza para asegurarse de que el equilibriose alcanza en cada etapa del análisis. Se puede establecer latolerancia de convergencia relativa que se utiliza paracomparar la magnitud del error de la fuerza con lamagnitud de la fuerza que actúa sobre la estructura.

Puede que tenga que utilizar valores significativamentemenores de tolerancia de convergencia para obtenerbuenos resultados para los grandes problemas de losdesplazamientos para otro tipo de no linealidad.

Trate de disminuir los valores hasta que se obtengaresultados consistentes.