complejos2

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM. 1

1. CONJUNTOS DE NUMEROS

1.2. NUMEROS COMPLEJOS

1.2.1. Definicion

Se llama numero complejo a cualquier expresion de la forma z = x+yi donde x e y son numeros realescualesquiera e i =

√−1 se llama unidad imaginaria. El conjunto de todos los numeros complejos serepresenta por:

C = {z = x + yi : x, y ∈ R}En la expresion z = x+yi, llamada forma binomica del complejo z, los numeros reales x e y se llaman,respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se representan por:

z = x + yi =⇒{

Re(z) = x

Im(z) = y

Dos numeros complejos son iguales sı y solo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias:

z = w ⇐⇒ Re(z) = Re(w) y Im(z) = Im(w)

1.2.2. Observaciones

• Cuando la parte imaginaria es cero, el numero complejo x+0i = x es un numero real y, como conse-cuencia, el conjunto de los numeros reales esta contenido en el conjunto de los numeros complejos:R ⊂ C.

• Cuando la parte real es cero, el numero complejo 0 + yi = yi se llama imaginario puro.

• En el conjunto de los numeros complejos existen las raıces cuadradas de los numeros negativos, porejemplo √−16 =

√16(−1) =

√16√−1 = 4i

y, en general,√−b =

√bi para todo b ≥ 0.

• Como consecuencia de lo anterior, en el conjunto de los numeros complejos todas las ecuaciones desegundo grado tienen solucion.

1.2.3. El plano complejo

Los numeros complejos tambien se pueden expresar como un par ordenado de numeros:

z = x + yi = (x, y)

Esta expresion del numero complejo, llamada forma cartesiana, permite identificar el conjunto de losnumeros complejos con el plano R2. Al plano cartesiano en el que se representan graficamente los numeroscomplejos, se llama plano complejo.

Oeje real

eje imaginario

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

x

y (x, y)

z = x + yi

El numero complejo z = x + yi se representa en el plano complejo por el vector que va del origen alpunto (x, y), que se llama afijo del numero complejo.


1.2.4. Operaciones elementales en forma binomica

Dados dos numeros complejos, z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i, su suma o diferencia es:

z1 ± z2 = (x1 + y1i)± (x2 + y2i) = (x1 ± x2) + (y1 ± y2)i

y, teniendo en cuenta que i2 = −1, su producto es:

z1z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i

Para obtener el cociente se multiplican numerador y denominador (no nulo) por la expresion conjugadadel denominador:

z1

z2=

x1 + y1i

x2 + y2i=

(x1 + y1i)(x2 − y2i)(x2 + y2i)(x2 − y2i)

=(x1x2 + y1y2) + (y1x2 − x1y2)i

x22 − y2

2i2

=x1x2 + y1y2

x22 + y2

2

+y1x2 − x1y2

x22 + y2

2

i

En particular, el inverso del numero complejo z = x + yi 6= 0 es:

1z

=1

x + yi=

x− yi

(x + yi)(x− yi)=

x− yi

x2 + y2=

x

x2 + y2− y

x2 + y2i

Teniendo en cuenta que:

i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = i2i = −i

la potencia n de i coincide con la potencia de exponente igual al resto de la division de n por 4:

in = i4c+r =(i4

)cir = 1cir = ir con r = 0, 1, 2, 3

Para hallar potencias (de exponente natural) se utiliza el binomio de Newton:

zn = (x + yi)n =n∑

k=0

(n

k

)xn−k(yi)k =

n∑

k=0

(n

k

)xn−kykik

sustituyendo ahora cada potencia de i por su valor y sumando.Estas operaciones en el conjunto de los numeros complejos tienen las mismas propiedades que en el

conjunto de los numeros reales.

1.2.5. Ejemplos

Calcula:

(a) (2− 3i)(1 + 2i)− (2− i)2 (b)(2− 3i)i

(1 + 2i)(3 + i)(c) i3215 (d) (1− 2i)5

1.2.6. Complejo conjugado

Se llama complejo conjugado de z = x + yi al numero complejo z = x− yi. Obviamente, de la propiadefinicion, se tiene que:

Re(z) = Re(z) y Im(z) = − Im(z)

y entonces:z = z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z ∈ R

Se verifican las siguientes propiedades:

1. La operacion de conjugacion es involutiva: z = z.

2. El conjugado permuta con las operaciones elementales:

z1 ± z2 = z1 ± z2 z1z2 = z1 z2 z1/z2 = z1/z2

3. Para cada z ∈ C:Re(z) =

z + z

2y Im(z) =

z − z

2i


1.2.7. Modulo de un numero complejo

Se llama modulo del numero complejo z = x + yi al numero real:

|z| = |x + yi| =√

x2 + y2

que coincide con la distancia que hay entre el origen y el afijo del numero complejo, ası como con lalongitud el vector que lo representa. Si se define la distancia entre dos numeros complejos como ladistancia entre sus afijos, entonces la distancia entre dos numeros complejos coincide con el modulo desu diferencia:

d (z1, z2) = |z1 − z2|

O´

´´

´´

´´

´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

x

y z = x + yi

|z|

O x

y

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡µz1

©©©©©©* z2

Á

Á

Á

Á

Á

|z1 − z2|

Se verifican las siguientes propiedades:

1. |z| ≥ 0, para todo z ∈ C.

2. |z| = 0 si y solo si z = 0.

3. |z| = |z| = |−z|.4. |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.5. zz = |z|2, o tambien: |z| = √

zz.

6. |z1z2| = |z1| |z2| y |z1/z2| = |z1| / |z2|.7. ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1|+ |z2|.

1.2.8. Argumento de un numero complejo

Se llama argumento del numero complejo z = x + yi 6= 0 a cualquier angulo θ que verifica:

cos θ =x

|z| y sin θ =y

|z|y se representa por arg(z). Cada numero complejo tiene infinitos argumentos, pero solo uno en la primeracircunferencia, θ ∈ [0, 2π), que se llama argumento principal y se representa por Arg(z).

O´

´´

´´

´´

´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

x

y z = x + yi

|z|

θ x

y

arg(z) = Arg(z) + 2kπ , k ∈ Z

El argumento principal θ de z = x + iy se puede determinar,a partir del signo de x e y, con la condicion:

tan θ = yx


1.2.9. Formas polar y trigonometrica de un numero complejo

Cada numero complejo z = x+yi queda definido unıvocamente por su modulo |z| y cualquier argumentoθ, pudiendose expresar en funcion de ellos en la llamada forma trigonometrica:

{cos θ = x

|z|sin θ = y

|z|=⇒

{x = |z| cos θ

y = |z| sin θ=⇒ z = |z| (cos θ + i sin θ)

La expresion simbolica z = |z|θ se llama forma polar del numero complejo.En forma polar o trigonometrica, es decir, en funcion del modulo y del argumento, dos numeros complejosson iguales sı y solo si tienen el mismo modulo y sus argumentos difieren en un numero entero decircunferencias:

|z|θ = |w|ϕ ⇐⇒ |z| = |w| y θ − ϕ = 2kπ , k ∈ Z

1.2.10. Ejemplos

1. Obten la forma polar y trigonometrica de los siguientes numeros complejos:

(a) z = 1+√

3i (b) z = 3−3i (c) z = a ∈ R (d) z = ai , a ∈ R

2. A partir del modulo y argumento de z, obten la forma polar y trigonometrica de −z, z y 1/z.

1.2.11. Operaciones elementales en forma polar o trigonometrica

Operando a partir de la forma trigonometrica, el producto y cociente de numeros complejos es:{

z1 = |z1| (cos θ1 + i sin θ1)z2 = |z2| (cos θ2 + i sin θ2)

=⇒{

z1z2 = |z1| |z2| [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]z1z2

= |z1||z2| [cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]

y, en particular, la potencia de numeros complejos es:

[|z| (cos θ + i sin θ)]n = |z|n (cosnθ + i sinnθ) (Formula de Moivre)

Las operaciones anteriores, usando la forma polar, son:

|z1|θ1|z2|θ2

= (|z1| |z2|)θ1+θ2

|z1|θ1

|z2|θ2

=( |z1||z2|

)

θ1−θ2

(|z|θ)n = (|z|n)nθ

1.2.12. Observaciones

• Del producto en forma trigonometrica se deduce que la suma de dos argumentos es un argumentodel producto. Sin embargo, al sumar los argumentos principales no siempre se obtiene el argumentoprincipal del producto, como se ilustra con el siguiente ejemplo:

{z1 = −i , Arg(z1) = 3π

2

z2 = −1 , Arg(z2) = π=⇒ z1z2 = i con Arg(z1z2) =

π

26= Arg(z1) + Arg(z2)

Por tanto, en general:

arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) pero Arg(z1z2) 6= Arg(z1) + Arg(z2)

Analogamente:

arg(

z1

z2

)= arg(z1)− arg(z2) pero Arg

(z1

z2

)6= Arg(z1)−Arg(z2)


• Al multiplicar un numero complejo por otro de modulo unidad se obtiene el numero complejoresultante de girar el primero, con centro en el origen, un angulo igual al argumento principal delsegundo:

|z|θ 1ϕ = |z|θ+ϕ

• De la formula de Moivre, en el caso particular |z| = 1, se obtienen formulas para obtener el seno ycoseno de nθ en funcion del seno y coseno de θ:

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ =⇒{

cosnθ = Re (cos θ + i sin θ)n

sinnθ = Im (cos θ + i sin θ)n

1.2.13. Ejemplos

1. Dos vertices consecutivos de un cuadrado son A(−2, 1) y B(3, 3). Sabiendo que el cuadrado esta ensemiplano y ≥ 0, halla sus otros dos vertices.

2. Expresa sin 4x y cos 4x en funcion de sinx y cosx.

1.2.14. Forma exponencial de un numero complejo

Las propiedades de las operaciones de los numeros complejos con respecto al modulo y argumento hacenque tenga sentido expresar los numeros complejos como:

z = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ

que se llama forma exponencial o forma de Euler.Propiedades de la forma exponencial:

1. Las operaciones producto, cociente y potencia se realizan en forma exponencial de forma natural:

(r1e

iθ1

)(r2e

iθ2

)= r1r2e

i(θ1+θ2) r1eiθ1

r2eiθ2=

r1

r2ei(θ1−θ2)

(reiθ

)n= rneinθ

2. Si z = reiθ entonces:

−z = rei(θ+π) z = re−iθ 1z

=1re−iθ

3. Los numeros complejos de modulo unidad son z = eiθ, donde θ ∈ R es uno de sus argumentos.

4. Para cualquier k ∈ Z:

ei2kπ = 1 y en consecuencia ei(θ+2kπ) = eiθ

5. Dos numeros complejos en forma exponencial son iguales si tienen el mismo modulo y sus argu-mentos difieren en un numero entero de circunferencias, es decir:

r1eiθ1 = r2e

iθ2 ⇐⇒{

r1 = r2

θ1 − θ2 = 2kπ , k ∈ Z

6. Usando la forma exponencial, el seno y el coseno de un angulo se pueden expresar en funcion denumeros complejos como sigue:

{eiθ = cos θ + i sin θ

e−iθ = cos θ − i sin θ=⇒ cos θ =

eiθ + e−iθ

2y sin θ =

eiθ − e−iθ

2i

1.2.15. Ejemplos

Si z = −√3 + i y w = 1 +√

3i, usa la forma exponencial para calcular: (a) zw; (b) zw ; y (c) z10.


1.2.16. Raıces enesimas de numeros complejos

Se llama raız enesima de z a cualquier numero complejo cuya potencia enesima es z. Cualquier numerocomplejo no nulo tiene exactamente n raıces enesimas distintas que se hallan recurriendo a la formaexponencial:

z = reiθ =⇒ n√

z =n√

reiθ = n√

rei θ+2kπn = n

√rei( θ

n+ 2π

nk) = wk , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1

Se puede observar que:

• Todas las raıces enesimas tienen el mismo modulo: |wk| = n√

r.

• La diferencia entre los argumentos de cada dos raıces consecutivas es constante: wk − wk−1 = 2πn .

• Los afijos de las n raıces enesimas de un numero complejo no nulo son los vertices de un polıgonoregular de n lados centrado en el origen.

1.2.17. Ejemplos

Halla las siguientes raıces de numeros complejos: (a) 3√−i; (b) 4

√16; y (c)

√−4i.

1.2.18. Conjuntos geometricos en forma compleja

La identificacion del plano complejo C con el cartesiano R2 permite expresar muchos conjuntos del planoen forma compleja que es, en muchos casos, mas sencilla. Algunos ejemplos son los siguientes:

• Circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0| = r.

• Interior de la circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0| < r.

• Exterior de la circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0| > r.

• Mediatriz del segmento de extremos z1 y z2: |z − z1| = |z − z2|.• Elipse con focos en z1 y z2: |z − z1|+ |z − z2| = k, con k > |z1 − z2|.• Hiperbola con focos en z1 y z2: ||z − z1| − |z − z2|| = k, con 0 < k < |z1 − z2|.

La ecuacion cartesiana del conjunto se puede obtener sustituyendo z = x + iy y operando.

1.2.19. Polinomios. Teorema fundamental del algebra

Un polinomio de grado n es cualquier expresion de la forma:

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + . . . + a2z

2 + a1z + a0 , con an 6= 0

donde ai ∈ C, 0 ≤ i ≤ n, se llaman coeficientes.Se llama raız del polinomio a cualquier valor de z que lo anula, es decir:

z = z0 es raız de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z0) = 0 ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)Pn−1(z)

Mientras el polinomio cociente se anule en z0, se puede seguir dividiendo por z − z0, y se dice que:

z = z0 es raız con multiplicidad m de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)mPn−m(z) y Pn−m(z0) 6= 0

Tambien se llaman raıces simples a las de multiplicidad 1, dobles a las de multiplicidad 2, y ası sucesiva-mente.

El teorema fundamental del algebra afirma que, si cada raız se cuenta tantas veces como indicasu multiplicidad, todo polinomio de grado n tiene exactamente n raıces reales o complejas, es decir, que:

Pn(z) = an (z − z1)m1 . . . (z − zp)

mp , conp∑

i=1

mi = n

En particular:


• Si los coeficientes son todos reales, cuando hay una raız compleja tambien esta su conjugada con lamisma multiplicidad.

• Todo polinomio de coeficientes reales y grado impar tiene, al menos, una raız real.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas:

(a) i−221 (b)2i(3 + i) + (1− i)(2 + i)

i3(1 + 2i)(c)

100∑

k=0

ik (d)√

5 + 12i

2. Resuelve en C la ecuacion:z

2 + i+

3z − i

2− i= 3.

3. Halla x, y ∈ R para que:3 + xi

1 + 2i= y + 2i.

4. Halla a ∈ R para que:∣∣∣∣a + 2i

1− i

∣∣∣∣ = 2.

5. Prueba que si |z| = 2 entonces:∣∣∣∣

1z4 − 4z2 + 3

∣∣∣∣ ≤13.

6. Prueba que, para cualquier z ∈ C, se cumple: |Re z|+ |Im z| ≤ |z| √2.

7. Calcula: (a) (1 + i)20; (b) (√

3− i)30.

8. Halla la suma y el producto de las raıces enesimas de la unidad.

9. Halla todos los complejos z ∈ C tales que z3 − |z|2 = 0.

10. Halla el lugar geometrico de todos los numeros complejos de la forma:

z =a− i

1 + i, a ∈ R

Encuentra, si existen, los que se encuentran sobre la recta x + 2y − 1 = 0.

11. ¿Que curva o conjunto geometrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades?

(a) |z − 1 + 2i| = 3 (b) |z − i| < |z + i| (c) 0 < |z − 1| < 2 (d) |z − 2|+ |z + 2| = 6

Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana.

12. Sabiendo que 1 + i es solucion de z4 − 4z3 + 5z2 − 2z − 2 = 0, calcula todas sus raıces.

CUESTIONES

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

(a) Los numeros reales no son complejos.

(b) Los numeros complejos de modulo 1 son menores que los numeros complejos de modulo 2.

(c) El inverso de un numero real es complejo.


(d) Si |z| < |w| entonces z < w.

(e) Las raıces enesimas de un numero complejo tienen todas el mismo modulo.

(f) Las raıces de la ecuacion z5 + 2i = 0 son los vertices de un pentagono regular.

(g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una raız real.

2. Demuestra que, para cualesquiera z, w ∈ C, se cumple que:

|z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + 2 |w|2

3. Demuestra que |z − 1| < |z + 1| si y solo si Re(z) > 0.

4. ¿Es cierto que las raıces cubicas de la unidad se pueden expresar como 1, w y w2? ¿Quien es w?

5. Justifica que existe w tal que las raıces enesimas de la unidad son: 1, w, w2, ..., wn−1.

6. Justifica que las raıces enesimas de un numero complejo forman una progresion geometrica. ¿Cualesson el primer termino y la razon?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas:

(a) i2723 (c) (2− 3i)(1 + i)− (1 + 2i)2 (e)1 + i

(1− i)2(g) (2− i)5

(b) i−1 (d) (3− 2i)(1 + 3i)(2− i) (f)i + i2 + i3 + i4 + i5

1 + i(h)

(1 + i)3

(1− i)3

2. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones:

(a) 1 + i + i2 + . . . + i57 (b) (1 + 2i)4 (c) (3− 2i)5

3. Resuelve en C las ecuaciones: (a)3− i

z= 4 + 2i; (b) x2 + 2x + 5 = 0.

4. Halla, en cada caso, el valor de a ∈ R para que el numero complejo z = a+3i1+i

(a) Sea imaginario puro.

(b) Sea un numero real.

(c) Este sobre la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.

5. Encuentra dos numeros complejos tales que su suma es un numero real, su diferencia y cocientesean imaginarios puros, y su producto sea igual a 2.

6. Halla z ∈ C si z + w = 2 + 3i y w = 3 + i.

7. Prueba que si |z| < 1 entonces:∣∣Re(1− z + z2)

∣∣ < 3 y∣∣Im(1− z + z2)

∣∣ < 2.

8. Expresa en forma polar y en forma exponencial los siguientes numeros complejos:

3 + 3i − 1 +√

3i − 1 − 2i − 2− 2√

3i

9. Halla, usando la formula de Moivre, sin 3x y cos 5x en funcion de sinx y cosx.

10. Dos vertices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) y A(4, 1). Halla sus otros dos vertices. ¿Esunico?


11. Halla los vertices de un hexagono regular.

12. Halla las siguientes raıces:

(a) 3√

1 (b) 3√

i (c) 4√−1 (d)

√1− i (e) 3

√1 + i (f)

6

√1−

√3i

13. Encuentra las soluciones de la ecuacion z3 + 8 = 0 que caen dentro del recinto del plano complejodefinido por |z + 1| < 2.

14. ¿Que curva o conjunto geometrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades?

(a) |z − i| = |z + i| (b) |z − 1| = 2 (c) |z − i|+ |z + i| = 4 (d) ||z − 2| − |z + 2|| = 2

Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana.

15. Sabiendo que z = i es solucion de z7 + z5 − z2 − 1 = 0, calcula todas sus raıces.

16. Estudia si la ecuacion ax5 + bx4 + cx3 − ix2 − i = 0, con a, b, c ∈ R, tiene soluciones reales.

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