compendio fascicular cÁlculo diferencial e integral ii · servirá de base en el estudio de la...

COLEGIO DE BACHILLERES

SECRETARÍA ACADÉMICA

COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO

COMPENDIO FASCICULAR

CÁLCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL II p

FASCÍCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDA

FASCÍCULO 2. LA INTEGRAL INDEFINIDA

DIRECTORIO

Roberto Castañón Romo Director General Luis Miguel Samperio Sánchez Secretario Académico Héctor Robledo Galván Coordinador de Administración Escolar y del Sistema Abierto

Derechos reservados conforme a la Ley © 2004, COLEGIO DE BACHILLERES Prolongación Rancho Vista Hermosa núm. 105 Col. Ex Hacienda Coapa Delegación Coyoacán, CP 04920, México, D.F. ISBN 970 632 262-0

P R E S E N T A C I Ó N G E N E R A L

El Colegio de Bachilleres en respuesta a la inquietud de los estudiantes de contar con materiales impresos que faciliten y promuevan el aprendizaje de los diversos campos del saber, ofrece a través del Sistema de Enseñanza Abierta y a Distancia este compendio fascicular, resultado de la participación activa, responsable y comprometida del personal académico, que a partir del análisis conceptual, didáctico y editorial aportaron valiosas sugerencias para su enriquecimiento, y aunarse a la propuesta educativa de la Institución. Este compendio fascicular es producto de un primer esfuerzo académico del Colegio por ofrecer a todos sus estudiantes un material de calidad que apoye su proceso de enseñanza-aprendizaje, conformado por fascículos Por lo tanto, se invita a la comunidad educativa del Sistema de Enseñanza Abierta y a Distancia a compartir este esfuerzo y utilizar el presente material para mejorar su desempeño académico. DIRECCION GENERAL

PRESENTACIÓN DEL COMPENDIO FASCICULAR

Estudiante del Colegio de Bachilleres, te presentamos este compendio fascicular que servirá de base en el estudio de la asignatura “Cálculo Diferencial e Integral II” y funcionará como guía en tu proceso de Enseñanza – Aprendizaje. Este compendio fascicular tiene la característica particular de presentarte la información de manera accesible, propiciando nuevos conocimientos, habilidades y actitudes que te permitirán el acceso a la actividad académica, laboral y social. Cuenta con una presentación editorial integrada por fascículos, capítulos y temas que te permitirán avanzar ágilmente en el estudio y te llevarán de manera gradual a consolidar tu aprendizaje de esta asignatura. Lo anterior tiene como finalidad que puedas comprender el concepto fundamental del Cálculo Integral así como sus nociones básicas, es decir, que a partir del planteamiento de problemas en los que sea necesario calcular el área bajo la curva de la función, puedas obtener el modelo del problema y aplicar los métodos de integración para la solución de los mismos. Para lograr lo anterior, este material se apoya en la representación de gráficas de funciones y utilización de métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar los cambios.

1



E INTEGRAL II

FASCÍCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDA UNA VISIÓN ESTÁTICA

Autores: Guadalupe Xóchitl Chávez Pérez

Sergio Sánchez Carrillo

3

Í N D I C E

INTRODUCCIÓN 5

PROPÓSITO 9

CAPÍTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA 11

1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA 13 1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA 22 1.3 INTEGRAL DEFINIDA 37 1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 41 1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 44

RECAPITULACIÓN 48

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 49

AUTOEVALUACIÓN 51

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 53

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 54

5

I N T R O D U C C I Ó N

Desde épocas remotas el hombre se enfrentó al problema de la cantidad y la medida, sobre todo de medir longitudes, áreas y volúmenes. Cuando estas longitudes eran segmentos de rectas o una sucesión finita de dichos segmentos, el problema de medir su longitud no representaba gran dificultad.

Figura 1. Análogamente, cuando se quería medir áreas de polígonos, aunque fueran irregulares, el problema se resolvía dividiendo el polígono irregular en triángulos –esto demuestra que siempre lo podemos hacer, y calculada el área de cada triángulo, se decía que el problema estaba resuelto, ya que la suma de las áreas de dichos triángulos es el área buscada del polígono irregular.

Figura 2.

6

De la misma manera, nuestros antepasados podían calcular con extraordinaria exactitud el volumen de cuerpos cuyas fronteras (caras) fueran superficies planas (polígonos), como paralelepípedos, pirámides, etcétera.

Figura 3. Estos conocimientos se aplicaron de manera excepcional en la construcción de grandes obras que hoy nos sorprenden. Pero no solamente en la construcción se tiene dicho conocimiento sino también en muchas otras ramas del saber humano, como el conocimiento del movimiento de los astros. Sin embargo, calcular la longitud de una línea cuando ésta es curva, o encontrar el área de una región determinada por una curva cerrada o encontrar el volumen de un cuerpo cuya superficie ya no es plana sino curva, constituyó un verdadero reto en la antigüedad. Hoy en la actualidad, con el estudio del Cálculo Integral, ya no es gran problema, puesto que con su aplicación, tenemos la posibilidad de calcular el área de figuras irregulares como las siguientes:

Figura 4. El método para encontrar el área de estas figuras se conoce como método de exahución. Un problema famoso característico que ilustra la obtención del área en figuras irregulares es el de encontrar el área del círculo, esto es, aproximarnos al área del círculo por medio de una red de cuadrados cada vez más fina. Esto se consideró imposible, pues por muy fina que fuera la red siempre tendrían el problema del elemento.

7

Figura 5. ¿Qué significa que un círculo mida x metros cuadrados de área?, ¿Significa que podemos cubrir con x metros cuadrados la superficie del círculo? Para responder resuelve el siguiente ejemplo: Dibuja un círculo con un radio (r) de 20 cm. y calcula su área mediante la fórmula A = r2. Ahora dibuja un cuadrado de 35.449 cm. de lado y recórtalo. ¿Cuál es el área de este cuadrado? Después de recortar el cuadrado en partes iguales e irlas acomodando dentro del círculo, hasta llenarlo completamente, ¿qué sucede? Al principio podrás acomodar partes del cuadrado relativamente grandes, pero conforme avances observarás que tienes que ir cortando partes cada vez más pequeñas hasta quedar algunos huecos por llenar y pedazos del cuadrado por acomodar. ¿Qué pasa entonces? ¿Tienen o no el círculo y el cuadrado aproximadamente la misma área? ¿Tenían o no razón en la antigüedad respecto a la conclusión que llegaron? Este tipo de problemas y otros podrás resolver por medio del estudio de este fascículo. Definir el área para figuras geométricas en general, implica un proceso de límite, es por ello que a lo largo del contenido del fascículo obtendrás aproximaciones de los resultados de problemas que impliquen sumas infinitas, calcularás el área exacta bajo una curva para establecer la Integral Definida y concluirás con el Teorema Fundamental de Cálculo.

9

P R O P Ó S I T O

El problema básico de la derivación es: dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad, o bien, dada una curva, calcular su pendiente. El problema básico de la integración es el inverso: dada la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria, o bien, dada la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.

Hans Hahn (1897-1934)

El contenido de este fascículo pretende que al finalizar su estudio: ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMO LO APRENDERÁS? ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

A obtener el área bajo la gráfica de una función f(x) en un intervalo de valores a,b, estimar áreas por métodos numéricos, el concepto de integral definida, sus propiedades y relación con la derivada, además del Teorema Fundamental del Cálculo.

Por medio del desarrollo y solución de problemas en los que se requiera conocer el resultado acumulado de procesos de cambio y situaciones problemáticas en rectángulos.

Para resolver problemas cuya solución esté dada por el cálculo de integrales definidas.

11

CAPÍTULO 1 INTEGRAL DEFINIDA

Entre los precursores del Cálculo Integral está Arquímedes (287–212 a. C.), quien logró calcular el área de la superficie de un segmento parabólico mediante integraciones y descomponiendo una superficie plana en fajas rectangulares sumamente estrechas. Képler, quien descubrió la ley de las áreas con base en integraciones, también concibió a los sólidos como formados por un número sumamente grande de elementos infinitesimales, ya sean triángulos, rectángulos, discos o conos. Buenaventura Cavalieri (1598–1647), en su Geometría de los Indivisibles calculó la longitud de líneas, áreas de volúmenes, recurriendo a sumas; John Wallis (1616–1703) estableció cuadraturas y curvaturas con base en los descubrimientos de Cavalieri. Puesto que el concepto de integral se deriva de la suma, en un principio se le concibió como la suma de una infinidad de rectángulos con una dimensión infinitesimal. Después de que Barro (1669) descubrió que el problema de calcular el área con arreglo a curva es el inverso del cálculo de la pendiente de la tangente y que Newton y Leibniz reconocieron, a su vez, que la integración y la diferenciación son procesos inversos, se definió la integral de una función de cierta variable independiente por la diferencial de esta variable, como otra función cuya derivada era la función propuesta. Los trabajos de Newton relativos al cálculo son anteriores a los de Leibniz, pero el primero nada publicó en un principio, limitándose a exponer en sus cátedras los descubrimientos que había hecho; no así Leibniz, quien publicó una notación distinta a las de Newton, el cual basó su concepción en la noción de velocidad de partículas, considerando lo que él llamó crecimiento instantáneo, mientras que Leibniz partió del concepto de diferencias sumamente pequeñas.

12

El método de las fluxiones, que concibió Newton a los 20 años y redactó a los 23, se dio a conocer después de su muerte; pero insertó una breve nota que da a conocer este método en sus memorias, Philosophia Naturalis Principia Matemática, en donde utiliza este método, aplicado no sólo a problemas de Matemática pura, sino a fenómenos celestes. Leibniz, durante su primera estancia en París (1692), creó los procedimientos infinitesimales de indiscutible originalidad y admirable potencia, en que destaca la tendencia simbolizadora. Estudió el problema de las tangentes y su inverso. Respecto a la tangente y su inversa, Leibniz introdujo el nuevo signo de la integral, representando con y la misma cantidad que Cavalieri consideraba como suma de ordenadas y designaba por omn (omnia, o sea, la suma de todas las y). Al ver como en la operación indicada por el signo se eleva el grado, infirió que la

operación lo rebaja, y como esto suele suceder en la división, creó la notación dx , que

luego abandonó para adoptar dx, de cuyo significado sólo dio Leibniz esta explicación: diferencia entre dos x próximas. Son suyas las notaciones dx, dy/dx, lo mismo que la palabra derivada. Numerosos matemáticos completaron la obra iniciada por Newton y Leibniz. Deben citarse, entre ellos, a Jacobo Bernoulli (1654-1705), quien escribió una carta a Leibniz en 1687 para solicitarle esclareciera la comprensión del nuevo cálculo; pero como Leibniz estaba de viaje, la carta le llegó hasta 1690. La tardanza de la respuesta causó que Jacobo Bernoulli se dedicase a la tarea de penetrar los secretos del Cálculo Diferencial, tanto él como su hermano Juan (1667-1748) dieron muestras de aptitudes excepcionales para la investigación matemática, por lo que Leibniz declaró que ésta era tanto de ellos como suya. El barón Agustín Luis Cauchy (1789-1857) fue el primero en demostrar, de manera rigurosa y plenamente satisfactoria y con base en el método de los límites, la consistencia de sus principios fundamentales. A Jacobo Bernoulli se debe la denominación de Cálculo Integral, sugerida en 1690 y adoptada por Leibniz en 1696. La integración por sustitución fue aplicada por Jacobo Bernolli desde los primeros tiempos del cálculo y la expresión cambio de variable se encuentra en las obras de Cauchy. La integración por partes, consecuencia inmediata de la fórmula de la diferencial de un producto, se encuentra accidentalmente en Brook Taylor, pero la denominación se debe a Silvestre F. Lacroix (1765-1843).

La notación b

a

es de José Fourier (1768-1830) y se publicó por primera vez en la

Théorie analytique de la Chaleur, de 1822, innovación que se adoptó de inmediato y dio

a la expresión de la integral definida, la cual está representa como, b

a dx )x(F .

13

1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA A continuación te presentamos el cálculo del área bajo distintas funciones constantes, para que observes que la integral es la operación inversa de la derivada. Para contestar las preguntas que se formularon en la introducción, primero calcularemos áreas de rectángulos. Supongamos que tenemos la función constante ƒ(x) = 1.

Figura 6. Primero se calcula el área comprendida bajo esta función; entre las rectas x = 0, x = 1 y el eje X, se sabe que el área de un cuadrado es l 2, y como el lado mide 1, entonces el área es 1.

Figura 7. Ahora calculemos el área comprendida bajo la misma función; las rectas x = 0,x = 2 y el eje X.

14

Figura 8. Vemos en la figura 8 que se trata de un rectángulo, por lo tanto, el área es 2. Con los mismos datos, sólo variando la recta cuya ecuación al principio fue x = 1 y luego x = 2, ahora por x = 3, tenemos que el área del nuevo rectángulo es 3 y así sucesivamente.

Figura 9. El valor de la base de los rectángulos la denotaremos como x. Completa la tabla 1.

Tabla 1.

15

Se advierte que el cálculo del área nos lleva a obtener una nueva función A1(x); el valor del área A1(x) depende de x. La gráfica de la nueva función queda como sigue:

Figura 10.

Esta función es continua ya que sólo calculamos el valor del área para valores de x enteros positivos, pero también se puede calcular el valor para x en todos los reales

positivos; por ejemplo, si 21

x , entonces el área es 21 .

¿Cómo se llama la nueva función?

Ahora podemos pensar en calcular el área bajo la función identidad (anterior), la recta x = 1 y el eje X.

Figura 11.

Como se trata de un triángulo rectángulo, el área se obtiene mediante la fórmula

2 alturaxbase , mas como la base y la altura valen 1, entonces el área es

21 .

16

Al calcular el área bajo la función identidad, la recta x = 2 y eje X, análogamente nos queda un triángulo rectángulo cuya base y altura valen 2.

Figura 12. Por consiguiente, el área es 2. para comprenderlo mejor observa la tabla 2.

Tabla 2,

x ƒ(x) A1(x) A2(x)

1

1

1 21

2

1

2 24

3

1

3 29

4

1

4 2

16

5

1

5 2

25

6

1

6 2

36

7

1

7 2

49

8

1

8 2

64

9

1

9 281

10

1

10 2

100

17

La primera columna de la tabla 2 es el valor de x; la segunda son valores de la función constante, en este caso 1; la tercera es el valor de las áreas de la función constante conforme cambia el valor de x que da como resultado otra función llamada identidad, y la cuarta columna son los valores del área delimitada por la función identidad, el eje X y las rectas que van variando x = 1, x = 2,..., x = 10.

¿Qué se observa en los resultados de la última columna de la tabla 2?

¿Cuál es el área de la región comprendida debajo de la función identidad, el eje X y la

recta x = n cuando n es número real positivo?

Es 2

2n .

Podemos generalizar que para cualquier valor de x real positivo el área es 2

2x , lo que

nos conduce a otra función que es la mitad de la función cuadrática (figura 13).

Figura 13.

Deriva la función 2

)(2

2xxA .

¿Qué función obtuviste?

¿Tiene alguna relación con la función A1(x) = x?

18

Es la misma función y si ahora derivas A1(x) = x obtendrás la función constante 1, que es la función inicial.

¿Pasará siempre lo mismo con cualquier otra función constante? Para contestar veamos otro ejemplo.

Si 21)( xf , calculemos las áreas que se forman con esta función, el eje X, el eje Y y las

rectas x = 1, x = 2, x = 3,..., x = 10.

Figura 14. Pon los datos y los resultados de las áreas en los espacios vacíos de la tabla 3.

Tabla 3.

x ƒ(x) A1(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

19

Ahora podemos ver el área como una función que depende del valor de x, esto es,

xxA21)(1 , que es una función lineal. Su gráfica es:

Figura 15. En esta gráfica de nuevo podemos calcular el área comprendida entre la función

xxA21)(1 , el eje X y las rectas x = 1, x =2, x = 3,..., x = 10, respectivamente.

Figura 16.

Haz la gráfica de las áreas para x = 5 y x = 8.

20

Tabla 4.

x ƒ(x) A1(x) A2(x)

1 21

21

41

2 21

1

1

3 21

23

49

4 21

2

4

5 21

25

425

6 21

3

9

7 21

27

449

8 21

4

16

9 21

29

481

10 21

5

25

La tabla 4 muestra el valor de todos los cálculos de las áreas. De éstas, la columna 4

nos induce a otra función, 22 4

1)( xxA . Deriva esta función dos veces y observa el

resultado en cada caso.

¿El cálculo de las áreas parciales bajo las gráficas de las funciones cuadráticas nos conducirá a una función cúbica?

¿Cómo calcularemos áreas de regiones irregulares?

21

A C T I V I D A D D E R E G U L A C I Ó N

Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Sea f(x) = 3, calcula las áreas que se forman con esta función, el eje X, el eje Y y las

rectas x = 1, x = 2, x = 3,…, x = 10. 2. Escribe la función área como una función que depende del valor de “x” y construye su

gráfica. Llámale A1(x) = 3. ¿Qué forma tiene la gráfica? 4. Calcula las áreas que se forman con la función A1(x), el eje X, el eje Y y las rectas x =

1, x = 2, x = 3,…, x = 10. 5. ¿Los resultados anteriores nos inducen a otra función? Si es así, ¿Cuál es? 6. Deriva esta función dos veces y observa el resultado en cada caso.

E X P L I C A C I Ó N I N T E G R A D O R A

Con base en estos ejemplos podemos generalizar, es decir, cualquier función constante al calcular sus áreas parciales nos conduce a una función lineal de la cual también podemos ir calculando las áreas en relación con éstas, que nos lleva a una función cuadrática.

La integral es la operación inversa de la derivada, lo cual se advierte en los dos ejemplos analizados.

Llamaremos Integral Definida al valor del área bajo una curva en un intervalo.

22

1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA Se ha calculado el área bajo la gráfica de ciertas funciones elementales, de cierto modo sencillo, que son de tipo lineal, es decir, son rectas o segmentos de recta y el cálculo de las áreas se reduce a determinar el área de rectángulos o triángulos. Del cálculo del área con base en la gráfica de la función constante 1)( xf , resulta la función xxA )(1 . Y al calcular el área bajo la gráfica de la función xxA )(1 , obtenemos

la función 2

)(2

2xxA .

También vimos que si derivamos la función A2(x) con respecto a x, obtenemos la función A1(x) = x; es decir,

xxdx

xd

dxxdA

2

2 2 )(

2

2

Mas si derivamos la función A1(x) = x con respecto a x, obtenemos )(xf , esto es:

1 )(1

dxdx

dxxdA

Es decir, la función de donde partió el cálculo. Para calcular el área bajo la gráfica de una función que no sea necesariamente lineal, esto es, el área bajo la gráfica de una curva, usaremos el método de exahución, que sirve para determinar áreas de regiones que no sean de tipo poligonal, sino curvo, como el círculo. Para esto usaremos tres resultados elementales.

1. El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura: a = bh .

2. Si tenemos una región conformada por un conjunto de rectángulos adyacentes que no se traslapan, entonces el área de la región es igual a la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos.

Figura 17.

23

3. Si una región R1 está completamente contenida en una región R2, entonces el área de R1 es menor o igual que el área de R2, es decir, área de R1 que área de R2.

Figura 18. Ahora calcularemos el valor del área bajo la gráfica de una parte de una parábola, aproximando el área de la región por medio de una sumatoria de áreas de rectángulos construidos de tal manera que se aproximen cada vez más al área de la región deseada. Sea R la región comprendida entre la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = 2, construyamos los rectángulos de la siguiente manera:

1. Dividimos el intervalo [0, 2] en 4 subintervalos de igual longitud.

42

402

x

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2, x3, x4} con:

00 x

42

420 01 xxx

44

42

42 12 xxx

46

42

44 23 xxx

48

42

46 34 xxx

que nos determinan los 4 subintervalos;

42,0 ,

44,

42 ,

46,

44 ,

48,

46 .

24

2. En cada subintervalo construimos un rectángulo con base igual a la longitud del

subintervalo 42

x y la altura igual al valor máximo que toma la función en dicho

subintervalo. Como la función es continua, entonces ésta alcanza su valor máximo en algún punto del intervalo cerrado [a, b]; además, como la función ƒ(x) = x2 es una función creciente, toma el valor máximo en el extremo derecho del subintervalo. ¿Por qué?

Figura 19. Estos rectángulos adyacentes así construidos forman un polígono rectangular circunscrito P, cuya área es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que lo conforman. El área de cada rectángulo es igual a:

42

42

42 )(

2

11 xfxxfA

42

44

44 )(

2

22 xfxxfA

42

46

46 )(

2

33 xfxxfA

42

48

48 )(

2

44 xfxxfA

25

El área del polígono rectangular P es:

42

48

42

46

42

44

42

42

2222

4321 AAAAP

Tras factorizar y asociar términos tenemos:

75.3 830 )30(

81 16941

648 4321

42 2222

3

PA

Como el polígono rectangular contiene a la región R, entonces tenemos que el área de R es que el área de P = 3.75.

Observa que 21

42x ; si los cálculos anteriores los hiciéramos con este valor,

¿cambiaría el resultado? Si dividimos el intervalo [0,2] en 8 subintervalos, con base en el mismo procedimiento tenemos:

82

802

x

que determina el conjunto de puntos

816,

814,

812,

810,

88,

86,

84,

82,0 y los subintervalos:

82,0 ,

84,

82 ,

86,

84 ,

88,

86 ,

810,

88 ,

812,

810 ,

814,

812 ,

816,

814 .

Nuestro conjunto de rectángulos lo construiremos con base en la longitud del intervalo y como altura el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x2 en cada subintervalo.

26

Figura 20.

Antes de continuar analicemos más de cerca nuestro procedimiento. Tenemos 82

x ,

donde 2 es la longitud del intervalo que estamos partiendo y 8 es el número de subintervalos que estamos tomando.

00 x

82

82001 xxx

822

82

82

12 xxx

823

82

82223 xxx

824

82

82334 xxx

825

82

82445 xxx

826

82

82556 xxx

27

827

82

826 67 xxx

828

82

827 78 xxx

El área de cada rectángulo formado es:

232

11 182

82

82 )(

xxfA

232

22 282

82

822 )(

xxfA

232

33 382

82

823 )(

xxfA

232

44 482

82

824 )(

xxfA

232

55 582

82

825 )(

xxfA

232

66 682

82

826 )(

xxfA

232

77 782

82

827 )(

xxfA

232

88 882

82

828 )(

xxfA

Por lo tanto, el área del nuevo polígono rectangular P será:

AP = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8. Factorizando y asociando términos tenemos:

1875.3 20482 87654321

82

3

322222222

3

PA

28

De esta expresión vemos que la suma de las áreas de los rectángulos construidos es igual a la longitud del subintervalo (x) elevado al cubo, multiplicada por la suma de los cuadrados de los ocho primeros números naturales. Si partimos ahora el intervalo [0,2] en n = 16 subintervalos tendremos:

162

x 9218.2 1496512

1 1615....321162 22222

3

PA

Si lo dividimos en n = 32 subintervalos tendremos:

322

x 7929.2 114404096

1 3231....321322 22222

3

PA

Si dividimos en n = 64 subintervalos tendremos:

642

x 7294.2 8944032768

1 6463....321642 22222

3

PA

De la operación anterior uno de los factores es la suma de los cuadrados de los 64 primeros números naturales. Como este proceso es muy laborioso, ¿qué ocurre al hacer la siguiente operación?

6

1)64(2)164(64 . Compara este resultado con el que ya teníamos. De aquí en adelante usaremos una operación similar para cada uno de los siguientes casos. Si dividimos en n = 128 subintervalos tendremos:

1282

x

6979.2 707264262144

1 128127....321128

2 222223

PA

29

Si dividimos n = 256 subintervalos tendremos:

2562

x

6823.2 56252162097152

1 256255....3212562 22222

3

PA


5122

x

6744.2 4487040016777216

1 512511....3215122 22222

3

PA


10242

x

6705.2 358438400134217728

1 10241023....3211024

2 222223

PA

Ahora calcularemos el área bajo la gráfica de la misma función ƒ(x) = x2, comprendida entre el eje X y la recta x = 3. Mediante el mismo procedimiento tendremos, para una partición en n = 4 subintervalos.

43

x 6562.12 64

27(30) 4

43213 432143

3

222232222

3

PA

Si n = 8 ; 83

x

7578.10 512

27(204) 8

8....213 8....2183

3

2223222

3

PA

30

Si n = 16; 163

x

8613.9 4096

27(1496) 16

16....213 16....21163

3

2223222

3

PA

Si n = 32; 323

x

4262.9 32

32....213 32....21323

3

2223222

3

PA

Si n = 64; 643

x

2120.9 64

64....213 64....21643

3

2223222

3

PA

Si n = 128; 128

3x

1057.9 128

128....213 128....21128

33

2223222

3

PA

Si n = 256; 2563

x

0528.9 256

256....213 256....212563

3

2223222

3

PA

Si n = 512; 5123

x

0263.9 512

512....213 512....215123

3

2223222

3

PA

31

Si n = 1024; 1024

3x

0131.9 1024

1024....213 1024....211024

33

2223222

3

PA

Al generalizar nuestro procedimiento, se observa que cuanto mayor es el número de subintervalos en que dividimos el intervalo inicial, menor es el área que resulta de sumar las áreas de los rectángulos construidos. Para explicarlo analicemos qué sucede en un subintervalo cualquiera, dada una participación. Tenemos:

Figura 21. Al duplicar en cada paso el número de subintervalos, significa que para la siguiente participación el intervalo [xk1,xk] lo dividimos en 2; y al construir los nuevos rectángulos eliminaremos una parte original. En la siguiente partición el intervalo queda dividido en 4 subintervalos, con lo cual al construir los nuevos rectángulos eliminamos otra parte del área original. Al dividir nuevamente el intervalo en 8 subintervalos y construir los rectángulos eliminamos otra parte del área original. Por lo tanto, para cada nueva partición del área del polígono rectangular construido se va reduciendo, ajustándose al área que deseamos calcular. Cuando el número de subintervalos es muy grande (n muy grande) entonces el área del polígono rectangular, así construido, es prácticamente igual al área bajo la gráfica de la función.

32

Si calculamos ahora el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = x2, el eje X y la recta x = b, tenemos:

Figura 22

1. Dividimos el intervalo [0, b] en n subintervalos nbx . Esto nos proporciona la

partición nxxx ,.....,, 10 con.

00 x

nb

nbxx 01

nb

nbxx 212

nb

nbxx 323

. . .

bnbn

nbxx nn

1

33

Y las áreas de los rectángulos son:

3

32

11 )( nb

nb

nbxxfA

3

32

2

22 2 2 )( nb

nb

nbxxfA

3

32

2

33 3 3 )( nb

nb

nbxxfA

. . .

3

32

2

n )( nb

nb

nbnxxfA nn

Sumando estas áreas y factorizando tenemos:

22223

3

321 ...321... nnbAAAAA n

3

22223 ...321

nnbA

Para determinar cada valor debemos establecer qué valor toma la cantidad entre paréntesis cuando n es muy grande.

Como recordarás de tus fascículos de primer semestre, 1 + 2 + 3 +...+ n = 2

1nn . De

acuerdo con esta expresión ¿habrá una expresión general que nos dé la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales?, es decir, 12 + 22 + 32 + ... + n2

= ?

¡Sí! Esta sumatoria es igual a: 6

121...321 2222

nnnn

Demuestra esta fórmula mediante el método de inducción matemática.

34

Sustituyendo la expresión anterior en la fórmula del área, tenemos:

33

6121

nnnnbA

Efectuando el producto y la división indicados nos queda:

23

61

21

31

nnbA

Cuando n es muy grande (n ), el segundo y tercer término dentro del paréntesis tienden a ser cero; por consiguiente:

3

3bA .

Si b = 1 ; 3333.031A ;

Si b = 2 ; 666.238A ;

Si b = 3 ; 00.9327

A .

Compara estos valores con los obtenidos anteriormente. Si b = x, entonces el área es una función de x, esto es,

Si la función es ƒ(x) = x2 ; entonces su área es 3

)(3xxA .

¿Qué obtienes si derivas la función A(x) con respecto de x?

Determinemos por medio del mismo procedimiento el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = x3, el eje X y la recta x = b.

1. Partimos el intervalo [0, b] en n subintervalos: nbx

35

Obtenemos la partición:

00 x

nb

nbxx 01

nb

nbxx 212

nb

nbxx 323

. . .

bnbn

nbxx nn

1

2. En cada subintervalo tomemos el valor máximo que alcanza la función ƒ(x) = x3.

Como esta función es creciente, el máximo lo alcanza en el extremo derecho de cada subintervalo. ¿Por qué? Construyamos el conjunto de rectángulos de base igual a la longitud del subintervalo y altura igual al valor máximo de la función en el subintervalo; por consiguiente, sus áreas son:

4

43

11 )( nb

nb

nbxxfA

4

43

3

22 2 2 )( nb

nb

nbxxfA

4

43

3

33 3 3 )( nb

nb

nbxxfA

. . .

4

43

3

n )( nb

nb

nbnxxfA nn

36

Sumando estas áreas y factorizando, tenemos:

nAAAAA ...321

4

43

4

43

4

43

4

4

...32nbn

nb

nb

nbA

4

33334 ...321

nnbA

Investiga hacia dónde tiende el valor de la cantidad que está entre paréntesis cuando n es muy grande (n ).

¿Hay una fórmula general que nos da la suma de los cubos de los n primeros números naturales 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ?


Practica el método que utilizamos para estudiar el área bajo la parábola en un caso más sencillo: 1. Calcula el área limitada por la función identidad f(x) = x, el eje de las abscisas (eje X)

y las rectas x = 0 (eje Y) y x = 20. ¿De qué figura geométrica se está pidiendo el área?

¿Podrías haber calculado el área bajo la curva más fácilmente?

37

1.3 INTEGRAL DEFINIDA Ahora calcularemos el área bajo la gráfica respecto de una función ƒ(x) cualquiera.

1. Sea ƒ(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b]

2. Tomemos una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual magnitud:

nabx

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2,...,xn} que conforman un conjunto de intervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],..., [xn1,x n]. Con x0 = a x1 = a + x x2 = x1 + x = a + 2∆x . . .

xn = xn-1 + x = bn

abna

3. Construyamos una serie de rectángulos cuya base sea igual a la longitud de los subintervalos y cuya altura sea igual al valor que toma la función en un punto cualquiera vk de cada subintervalo [xk1, xk].

Figura 23

38

Esta serie de rectángulos nos determina un polígono P cuya área será igual a la suma de las áreas de los rectángulos así construidos.

xvfA )( 11

xvfA )( 22

xvfA )( 33 . . .

xvfA nn )(

xvfxvfxvfxvfAAAAA nnp )(...)()()( ... 321321

4. Tomamos particiones con un número n cada vez más grande de subintervalos; es decir, que sumaremos las áreas de una infinidad de rectángulos con áreas infinitamente pequeñas ya que al incrementarse el número de subintervalos x tiende a ser muy pequeño.

Por lo tanto, si

nxvfxvfxvfxvflìm n )(...)()()( 321

Existe, entonces este límite será igual al área bajo la gráfica de la función ƒ en el intervalo [a, b] y a esta cantidad le llamaremos integral definida de la función ƒ en el

Intervalo [a,b]; la denotaremos por b

adxxf

)( , es decir,

0

)(...)()()( )(

321

xn

xvfxvfxvfxvflìmdxxfb

an

Al símbolo se le llama integral; a, b se conocen como límite inferior y superior

respectivamente.

39

La expresión b

adxxf

)( se lee, integral de “a” a “b” de la función ƒ(x).

Donde, dx es la diferencial de “x” y se considera una cantidad infinitamente pequeña. La diferencia es que x la usamos cuando tenemos sumas finitas y dx cuando tenemos sumas infinitas, es decir, límites. La función ƒ(x) pude tomar valores negativos, entonces ƒ(vk)x pueden ser cantidades negativas. Gráficamente esto nos induciría a que el rectángulo construido está por debajo del eje X y el área del rectángulo estaría multiplicando por –1. Esto nos lleva a la siguiente conversión: si la región bajo la gráfica está sobre el eje X

ƒ(x)>0 desde x = a hasta x = c, su área es c

adxxf

)( , que es un valor positivo, pero si la

región entre la gráfica y el eje X está por debajo de éste ƒ(x)<0 desde x = c hasta x = b,

el área estará dada por b

cdxxf

)( .

Figura 24.

40


Calcula el área de las siguientes funciones aplicando el “método de exhaución”. 1) 2)


Estamos andando sobre un camino que otros hicieron y que ha sido ya bastante suavizado, podemos incluso aspirar a sintetizar todo este trabajo en un par de ideas: 1. la integral es un método para definir el área de una figura mediante aproximaciones

sucesivas. 2. Las aproximaciones están dadas por medio de rectángulos con la base en el dominio

de la función y con altura determinada de tal manera que el área de cada rectángulo se asemeje lo más posible al área de la función correspondiente a la base del rectángulo.

41

1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A partir de la definición de la Integral Definida podemos establecer las siguientes propiedades. Sean ƒ(x) y g(x) funciones integrales en el intervalo [a,b].

1. 0)(

a

adxxf ; si f(a) existe

2. b

a

b

adxxfcdxxcf

)()(

La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

3. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

La integral de una suma (f + g) de funciones es igual a la suma de las integrales.

4. Sea c un punto entre a y b; a < c < b, entonces b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

)()()( .

Figura 25.

5. a

b

b

adxxfdxxf

)()( .

Si cambiamos los límites de la integral entonces el valor de la integral cambiará de signo.

42

Expresando los resultados obtenidos anteriormente en términos de la nueva terminología tenemos:

1. Si f(x) = 1 ; 0,b , bdxdxxfbb

0

0 )( .

2. Si f(x) = x , 2

)(2

0

0

bxdxdxxfbb

.

3. Si f(x) = x2 , 3

)(3

0

2

0

bdxxdxxfbb

.

4. Si f(x) = x3 , ? )(

0

3

0

bbdxxdxxf

Con base en estos resultados y de las propiedades de la integral podemos calcular la integral de la siguiente función: ƒ(x) = 3x2 2x + 4, sobre el intervalo [0,2].

12 848 )2(4222

323 423 )423( )(

0

2

0

2

0

232

0

2

0

22

bdxxdxdxxdxxxdxxf


Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Interpreta este resultado en cuanto al área bajo la curva, para esto construye la

gráfica de ƒ(x). 2. Determina el valor de la integral para la función ƒ(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7, sobre el

intervalo [0,3]. 3. ¿La integral de un producto es igual al producto de las integrales?

4. Piensa en la función f(x) = x = g(x), calcula 1

0 )( )( dxxgxf :

a) como un producto de integrales. b) multiplica antes las funciones y después calcula la integral.

Del inciso “a” y el “b”, ¿Se obtiene el mismo resultado?

43


Las propiedades de la integral definida nos sirven para facilitar el cálculo de ésta. Como recordarás se vieron 5 propiedades.

1. 0)(

a

adxxf ; si f(a) existe

2. b

a

b

adxxfcdxxcf

)()(

3. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

4. b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

)()()( si a < c < b

5. a

b

b

adxxfdxxf

)()( .

44

1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Como se advierte, encontrar el valor de una integral mediante sumas es bastante difícil; si la función es polinomial podríamos con dificultad determinar su integral; si la función es más compleja, como ƒ(x) = sen x ó ƒ(x) = x cos x, podríamos auxiliarnos de una computadora para encontrar las integrales de estas funciones. Sin embargo existe una relación entre el concepto de derivada y el de integral que nos permite determinar las integrales de una manera relativamente sencilla. Este método se basa en el teorema fundamental del cálculo. Consideremos una función ƒ(x) definida sobre el intervalo [a,b]. Si F(x) es una función tal

que )()( xfdx

xdF , entonces F(x) se dice que es una antiderivada o una primitiva de ƒ(x).

Sabemos que si ƒ(x) = c, entonces 0)(

dxdc

dxxdf , es decir, la derivada de una

constante es igual a cero, pero además el resultado inverso también es cierto:

Si 0)(

dxxdf , entonces f(x) = c

La definición de antiderivada y el resultado anterior nos lleva a que si ƒ(x) y g(x) son dos funciones tales que ƒ’(x) = g’(x), o bien ƒ’(x) – g’(x) = 0 equivalente a ƒ(x) – g(x)’ = 0, significa que ƒ(x) y g(x) difieren a los más en una constante, es decir, ƒ(x) = g(x) + c. Si ƒ(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función F(x) definida como

x

adxxfxF

)()( con x [a,b]

Figura 26.

45

Es una función continua y derivable, ya que:

)()()(

xfdx

dxxfd

dxxdF

x

a ;

es decir, F(x) es una antiderivada o función primitiva de ƒ(x),

F ’(x) = ƒ(x) . Esto concuerda con los resultados obtenidos en los cálculos que hemos hecho en este fascículo. Sea G(x) una antiderivada de la función ƒ(x), esto es,

G’(x) = ƒ(x) ,

Entonces como F(x) = x

adxxf

)( es tal que F ’(x) = ƒ(x) ,

tenemos F ’(x) = G’(x). Lo anterior implica que F(x) y G(x) son funciones que difieren a lo más de una constante, por lo tanto, F(x) = G(x) + C.

Como F(a) = 0)(

a

adxxf (primera propiedad de la integral), entonces

0 = F(a) = G(a) + C; por lo tanto, G(a) + C = 0; C = –G(a); es decir, el valor de la constante C es igual a menos el valor que toma la función primitiva en el punto “a” y:

F(b) = )()()(

aGbGdxxf

b

a .

Si G(x) es una función primitiva de ƒ(x), entonces

b

aaGbGdxxf

)()()(

A este resultado, el teorema fundamental del cálculo, llegaron Newton y Leibniz.

46

Este teorema nos facilita el cálculo de la integral de muchas otras funciones, como lo podrás comprobar en los siguientes fascículos. En particular como

nn

n

xn

xndxnxd

)1( 11 11

1

Esto es, )1(

1

nx n

es antiderivada de xn, por lo tanto, tenemos:

)1()1(

)1(

111

na

nb

nxdxx

nnb

a

nb

a

n

que es congruente con los resultados obtenidos y que nos permite calcular integrales de funciones tales como ƒ(x) = 5x6 – 7x4 + 2x2 – 5, en el intervalo [2,3].

3

2

3

2

246 )5275( )( dxxxxdxxf

3

2

3

2

23

2

43

2

6 5275 dxdxxdxxdxx

3

2

121416

512

214

716

5

xxxx

3

2

357

53

25

77

5

xxxx

)2(5

3)2(2

5)2(7

7)2(5)3(5

3)3(2

5)3(7

7)3(5 357357

1033.218.4442.9115182.34014.1562

89.1282

47


Calcula la integral de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

1. ƒ(x) = 4x2 – 5x + 2 ; [–4,5]

2. ƒ(x) = 3x3 – 2x ; [–3,3]

3. ƒ(x) = 2x4 – 7x2 + 2 ; [–4,4]

4. ƒ(x) = 5x4 – 3x3 + 2x2 – 5x ; [1,2]

5. ƒ(x) = 6x6 – 4x4 + 2x3 – 3x ; [–1,1]


La integral de funciones polinomiales se puede obtener por medio del Teorema Fundamental de Cálculo, mediante la aplicación de la siguiente propiedad.

)1()1(

)1(

111

na

nb

nxdxx

nnb

a

nb

a

n

48

R E C A P I T U L A C I Ó N

El siguiente esquema te proporcionará los elementos necesarios para elaborar una Recapitulación.

Área bajo la gráfica de una recta

Área bajo la gráfica de una curva

Integral Definida

Área bajo la gráfica de una curva

49

A C T I V I D A D E S D E C O N S O L I D A C I Ó N

1. Calcula el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = 2 sobre el eje X, entre el eje Y y las rectas x = 1, x = 2, x = 3,..., x = 10.

2. Calcula por el método de exahución el área bajo la gráfica de la función ƒ(x) = 25 – x2; sobre el eje X, entre el eje Y y la recta x = 4. Para construir los rectángulos toma el valor mínimo de la función en cada subintervalo.

3. Calcula por medio del método de exahución el área de la región determinada por la gráfica de la función ƒ(x) = x3; el eje X y las rectas x = –2 y x = 2.

Figura 26.

50

En los siguientes ejercicios utiliza las propiedades de la integral, el Teorema

Fundamental del Cálculo y el resultado

b

a

b

a

nn

nxdxx

1

1

para determinar el valor de la

integral que se te pide.

4. Sea ƒ(x) = 3x2 – 2x + 1 ; [0,5]

5. Sea ƒ(x) = 4x5 – 6x3 + 3x ; [–2,2]

6. Sea ƒ(x) = x7 + 8x4 3x2 + 5 ; [–1,2]

7. Sean ƒ(x) = 3x – 2 y g(x) = 2x 3 ; )()(5

0 dxxgxf

8. Sea

42 20 )(

2

xsibxsixxf calcula el área bajo la función ƒ(x), sobre el eje X

y la recta y = 4.

Figura 27.

51

A U T O E V A L U A C I Ó N

Con la intención de corroborar tu aprovechamiento se te proporcionan algunas respuestas a las Actividades de consolidación.

1. Ya que ƒ(x) = 2 es una función constante, ¿puedes tomar el extremo derecho de cada subintervalo para tener la altura de los rectángulos? ¿Cuál es la altura de éstos?, ¿cuál es su base?, ¿sucede lo mismo para las rectas x = 2, x = 3,..., x = 10? Abreviando el desarrollo:

Para x = 1 el área es A1 = 2 u2

x = 2 el área es A2 = 4 u2 x = 3 el área es A3 = 6 u2 . . . x = 10 el área es A10 = 20 u2.

2. ¿Se llegará al mismo resultado si tomamos los máximos de la función en cada uno de los subintervalos?

3. Como ƒ(x) = x3 toma valores negativos en el intervalo [2,0]; el valor de la integral será negativo. Además, por la simetría de la gráfica, el área por arriba del eje X es igual al área por abajo del eje X. Entonces, ¿Cuál es el valor de la integral? ¿Cómo puede determinarse el área verdadera? ¿cuál es la propiedad de la integral que te permite lograr esto?

Después de haber realizado tu desarrollo, conforme a lo anterior, compara tú resultado con: Área = 8 u2.

52

4. 105 u2

5. 0

6. 40

1077 u2

7. 2

75 u2

8. 3

32 u2

53

A C T I V I D A D E S D E G E N E R A L I Z A C I Ó N

Se recomienda visitar el Museo de las Ciencias “Universum”, donde encontrarás diferentes apoyos para la comprensión analítica de las cuestiones básicas de las Matemáticas. También te sugerimos ver la película con ganas de triunfar (que se proyecta en varios planteles del Colegio de Bachilleres) para tener actitud crítica y reflexiva en cuestiones relacionadas con el cálculo.

54

B I B L I O G R A F Í A C O N S U L T A D A

ANFOSSI, A. Y Fores Meyer M. A. Cálculo Diferencial e Integral, 9ª. Ed. Progreso,

México, 1954. BOSCH, Guerra, Hernández y Oteyza. Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones

Cultural, México, 1995. CRUSE, A.B. y Lehman M. “Introducción a la Integral”, en Lecciones de Cálculo 2. Fondo

Educativo Interamericano, México, 1982. GÓMEZ, José Luis. Introducción al Cálculo Diferencial e Integral, 2ª. Ed. Limusa, México,

1987. HOCKETT, Shirley O. y Sternstein Martín. Cálculo por objetivos y aplicaciones. CECSA,

México, 1985. LARSON, Hostetler. Cálculo y Geometría Analítica. McGraw-Hill, México, 1986. SALAS, S.L. y Hille E. Cálculos de una y varias variables, 2ª. Ed. Reverté, España,

1982. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamérica, México, 1979. WENZELBURGER, E. Cálculo Integral. Módulo introductorio. Universidad

Iberoamericana, México, 1985. Revista del Seminario de Enseñanza y Titulación, año II, núm. 6, diciembre de 1985.



E INTEGRAL II

FASCÍCULO 2. LA INTEGRAL INDEFINIDA

Autores: Luisa Guerrero Chávez

Alejandro Jesús López Argüelles

Alberto Luque Luna

María del Carmen Santoveña

Delgado

Mauro Enrique Vázquez Muñoz

Miguel Ángel Villagómez Aragón

3

Í N D I C E

INTRODUCCIÓN 7

CAPÍTULO 1. INTEGRAL INDEFINIDA 9

PROPÓSITO 11

1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA 16

1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA 20

1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 25

1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE 30

1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL 37 INDEFINIDA Y DEFINIDA

1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE 40

INTEGRALES INDEFINIDAS

RECAPITULACIÓN 47

ACTIVIDADES INTEGRALES 48

AUTOEVALUACIÓN 49

4

CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 51

PROPÓSITO 53

2.1 CAMBIO DE VARIABLE 57

2.2 INTEGRACIÓN POR PARTES 62

2.3 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES 68 RACIONALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

2.3.1 DENOMINADOR FORMADO POR UNA FUNCIÓN LINEAL

68

2.3.2 DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES LINEALES DE PRIMER GRADO QUE NO SE REPITEN

71

2.3.3 DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES DE SEGUNDO GRADO QUE NO SE REPITEN

75

RECAPITULACIÓN 81


AUTOEVALUACIÓN 83

ANEXO 84 CAPÍTULO 3. APLICACIONES DEL CÁLCULO

INTEGRAL 87

PROPÓSITO 89

3.1 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y 92 ÁREA BAJO LA CURVA

3.2 INTEGRAL DE LA RAZÓN DE CAMBIO 100

INSTANTÁNEA

3.3 ÁREA BAJO LA CURVA 112

3.4 ÁREA ENTRE CURVAS: UTILIDADES 119

3.5 CÁLCULO E INTERPRETACIÓN DE LA 131 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

5

RECAPITULACIÓN 138


AUTOEVALUACIÓN 140

RECAPITULACIÓN GENERAL 141

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 142

AUTOEVALUACIÓN 144

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 146

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 151

7

I N T R O D U C C I Ó N

Este Fascículo consta de tres capítulos: En el capítulo 1. Integral Indefinida, se plantea desde lo que es el concepto de integral, pasando por lo que es la determinación de la constante, así como la comparación entre integral definida (Fascículo 1) e integral indefinida, sin olvidar, por supuesto, algunos ejemplos básicos de integrales indefinidas. Una de las mejores maneras de aprender el Cálculo es a base de resolver ejercicios y/o problemas, y que mejor para el logro del objetivo que aventurarnos en el capítulo 2 referente a las Técnicas de Integración. Por último, para reforzar lo aprendido del capítulo 1 y 2, se presentan en el capítulo 3 una serie de problemas muy interesantes de las aplicaciones del Cálculo Integral en el campo de la Física, Biología, Ingeniería, Economía y Medicina.

9

C A P Í T U L O 1

INTEGRAL INDEFINIDA 1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA 1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

11

P R O P Ó S I T O

El cálculo diferencial y el cálculo integral son procesos inversos cuyo análisis de relación se alcanza con el contenido del presente fascículo, el cual pretende que al concluir su estudio: ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMO LO APRENDERÁS? ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

El Teorema Fundamental del Cálculo y a resolver integrales indefinidas y definidas.

Mediante la relación existente entre ambas integrales y el procedimiento de evaluación y solución de dichas integrales

Para evaluar una integral definida (área bajo una curva) de funciones elementales y para determinar el valor de la constante de integración que se indica explícitamente en cada integral indefinida.

13

CAPÍTULO 1 LA INTEGRAL INDEFINIDA

A continuación te presentamos un ejemplo que te ayudará a comprender el concepto de la integral indefinida. Durante un recorrido en autobús, un estudiante observó que el velocímetro marcaba 15 km/h y que este trayecto se hizo en una hora; al llegar a una parte de subidas y curvas la velocidad era de 40 km/h, y al salir de éstas la velocidad era de 60 km/h. Al circular en la autopista, la velocidad era de 90 km/h. Con estos datos el observador hizo la siguiente gráfica.

Figura 1.

14

Esta gráfica representa los cambios de velocidad en un intervalo de tiempo, pero no dice cuántos kilómetros son, ya que son resultados acumulados de razones de cambio, mas al tomar la suma de los productos de las razones de cambio multiplicados por el intervalo el resultado obtenido será la suma total de los procesos de cambio. Por consiguiente, para obtener la distancia total se tiene: 15 km/h(1h) + 40 km/h(1h) + 60 km/h(1h) + 90 km/h(1h); Entonces la distancia resulta: 15 km + 40 km + 60 km + 90 km = 205 km. La figura 2 representa la distancia total recorrida en 4 h.

Figura 2. De acuerdo con las gráficas se puede establecer que obtener la distancia que recorre el autobús implica sumar o integrar esas razones de cambio simbólicamente, por lo tanto, svdt función desplazamiento

función velocidad O inversamente, si es la distancia o desplazamiento lo que se tiene y deseas obtener la

velocidad, debes derivar la función desplazamiento vdtds

.

15

Lo anterior es una explicación que te ayudará a entender el porqué de ciertas funciones continuas; por ejemplo: (1) ƒ(x) = x2, cuya gráfica es: (2) ƒ(x) = x2 + 2, cuya gráfica es: (3) ƒ(x) = x2 – 2, cuya gráfica es: Al derivar obtienes otra función: ƒ’1(x) = 2x, ƒ’2(x) = 2x y ƒ3(x) = 2x , que al integrarlas se regresa a las funciones (1), (2) y (3).

x

y

0

y

x 0

y

x 0

16

1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA A lo largo de tu formación académica has observado que en Matemáticas existen operaciones y funciones inversas, algunos ejemplos se especifican en la siguiente tabla:

Respecto a la derivada y la antiderivada, se manejarán como procesos inversos. En los conceptos estudiados en Cálculo Diferencial hay uno que plantea el siguiente problema: dada una función, encontrar su derivada, que en Cálculo Integral estudiaremos como el problema inverso: dada la derivada de una función, hallar la función original o primitiva. Supongamos que deseamos encontrar una función F(x) que tiene como derivada a:

xdx

xdF 3)(

2

Se diría que:

3)( xxF porque 23

3)( xdx

dxdx

xdF

o podemos decir que:

4)( 31 xxF porque 21 3

)(x

dxxdF

17

Las gráficas serían:

Figura 3. De acuerdo con lo anterior, si llamamos a la función F(x) antiderivada o primitiva, decimos que x3 es antiderivada o primitiva de 3x2. La derivación y la antiderivación, que se consideran procesos inversos, podemos esquematizarlas como sigue: De acuerdo con el esquema, F(x) es una antiderivada o primitiva de ƒ(x) en un lugar de la antiderivada o primitiva de ƒ(x). ¿Por qué?

Una antiderivada o primitiva de ƒ(x) = 2x es F(x) = x2, puesto que xdx

xdF 2)(

Incluso podemos decir que F1(x) = x2 – 1 y F2(x) = x2 + 10 son antiderivadas o primitivas

de ƒ(x) = 2x, puesto que )()()( 21 xf

dxxdF

dxxdF

ƒ(x) es una función que da una razón de cambio.

Integrando la razón de cambio se obtienen sus efectos acumulados, F(x).

Derivando los efectos cumulados se obtiene la razón de cambio original, ƒ(x).

Derivación Integración

18

Si F(x) es un antiderivada (primitiva) de una función ƒ(x), entonces G(x) = F(x) + C también lo es. Aquí C representa una constante (valor independiente de x) y G(x) es otra función cualquiera. ¿Por qué G(x) también es una antiderivada o primitiva? Si suponemos que G(x) es una antiderivada o primitiva entonces concluimos que:

)()( xfdx

xdG

Hemos dicho que G(x) = F(x) + C, más si derivamos se tendrá:

)(0)()()()( xfdx

xdFdxdC

dxxdF

dxCxdF

dxxdG

Por lo tanto, )()( xfdx

xdG . Por consiguiente, G(x) es una antiderivada o función primitiva

de ƒ(x). De esto concluimos que la antiderivada (o primitiva) de ƒ(x) debe tener la forma G(x) = F(x) + C, es decir, dos antiderivadas de la misma función pueden diferir cuando más en una constante. En adelante se hará referencia a F(x) + C como la antiderivada de ƒ(x). Además, F(x) + C representa un conjunto de funciones del cual cada miembro tiene por derivada a ƒ(x), y C tendrá valores diferentes.


¿Cuál es la operación inversa de la integración?

19


Función Primitiva F(x). Es la función que se obtiene al integrar la función original f(x).

Así,

Si F(x) es una función primitiva de f(x)

La derivada de F(x), será la función original )()( xfdx

xFd

entonces

20

1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA Si F(x) y G(x) son antiderivadas o primitivas de ƒ(x) que difieren cuando más en una constante, podemos decir que al derivar la función primitiva obtendremos la función original, esto es:

F’(x) = ƒ(x), O bien

)()( xfdx

xdF

Lo anterior puede expresarse como:

dF(x) = ƒ(x)dx o

dF(x) = F’(x)dx La operación para encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior se llama antiderivación o integración, y se representa por , que es una sigma mayúscula

estilizada. Así, podemos representar la solución como

dxxf )( = F(x) + C,

donde dxxf )( se lee como la integral o antiderivada de ƒ(x) respecto a x.

De acuerdo con la simbología:

ƒ(x) es el integrando

es el signo de integral

ƒ(x)dx es el elemento de integración

C es la constante de integración

21

Recuerda que F1(x) = x2 1 y F2(x) = x2 + 10 son dos antiderivadas o primitivas de la función ƒ(x) = 2x, pero ¿son las únicas? Para responder, de la función ƒ(x) = x obtengamos sus antiderivadas o primitivas.

antiderivada de x es 22x porque la derivada de

22x es x

antiderivada de x es 122

x porque la derivada de 122

x es x



x es x



x es x



x es x

¿Hay otras antiderivadas o primitivas de la función ƒ(x) = x ?

¿Podrías demostrar que hay otras expresiones antiderivadas de x ? Haz el ejercicio anterior con base en la derivación como comprobación. Nos referimos a:

Una antiderivada de x es 822

x , porque xxdxdx

dxd 0 8

2

2

Para los ejemplos anteriores se debe entender que aunque la función ƒ(x) = x tiene un número infinito de antiderivadas o primitivas, hay una parte de todas ellas que permanece:

22x

Así podemos escribir todas las antiderivadas o primitivas de x con base en la siguiente notación.

Antiderivada de x es Cx

22

,

donde C es un número que llamaremos constante de integración.

22

La ecuación anterior se expresa en forma simbólica como:

Cxxdx22

que es la antiderivada o integral indefinida.

Es decir, para indicar una antiderivada o primitiva o integral indefinida de una función general ƒ(x) es común encontrarla con la siguiente simbología:

CxFdxxf )()( , llamada integral indefinida de la función ƒ(x).

Pero, ¿por qué una función puede tener un número infinito de antiderivadas? Se darán dos respuestas: una analítica y otra geométrica. La primera es simple, pues la hemos estado usando: por ejemplo, recuerda que habíamos mencionado a:

722

x y 1122

x

como algunas de las antiderivadas de la función ƒ(x) = x. Esto se comprueba derivando ambas fórmulas, como ya se había indicado. De éstos dos ejemplos se deduce que podemos añadir una constante arbitraria de integración porque la derivada de la constante es cero. Cualquiera que sea el valor de la constante, no tiene efecto al calcular la derivada. La respuesta geométrica está en razón de la interpretación de la derivada como una pendiente. La figura 4 muestra tres diferentes curvas, cada una de las cuales tiene la misma derivada, mostrada en la figura 5. Así, la antiderivada de x representa una familia

de funciones, todas de la forma Cx

22

.

23

Figura 4.

Figura 5.

24


Traza la gráfica de la función 22

)(2

xxf (utiliza el eje de coordenadas de la figura 4).


Integral Indefinida.

Se llama integral indefinida de la función f(x) al conjunto de todas las primitivas de f(x).

A la integral indefinida se le nota por la expresión: CxFdxxf )()(

25

1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN En la figura 4 se observa que la constante C de la antiderivada puede tomar diferentes valores, que dependen de la función original Recuerda que en Cálculo Diferencial se daban, por ejemplo, las siguientes funciones:

421)( 2 xxf

1021)( 2 xxf

121)( 2 xxf ,

que al derivarlas obtenías:

ƒ’(x) = x

ƒ’(x) = x

ƒ’(x) = x

¿Qué pasaba con los valores 4, 10 y 1? Estos valores, que si bien valen cero en la función derivada, son de gran importancia en Cálculo Integral, si queremos obtener las funciones originales a partir de las funciones derivadas. Para entender lo anterior, además del término constante de integración; pasaremos a las funciones planteadas en el principio del capítulo, esto es: ƒ(x) = x2 (1) ƒ(x) = x2 + 2 (2) ƒ(x) = x2 – 2 (3) Analizando veremos que: En la función (1) la constante no existe, por lo tanto, es cero.

En la función (2) la constante vale 2.

En la función (3) la constante vale – 2.

26

Para un mejor análisis recurramos al aspecto gráfico, esto es, hacer la gráfica de cada función (figura 6), Tabularemos la primera función y tú harás las restantes. ƒ(x) = y = x2 y = x2 o ƒ(x) = x2

Figura 6. Obsérvese la posición sobre los ejes x y y de cada una de las gráficas, ¿qué diferencias y similitudes hay? Para una mejor comprensión de lo que es Cálculo Diferencial e Integral hagamos lo siguiente:

Al derivar la función (1) tendremos xdx

dx 22 (1’)


xd 222

(2’)


xd 222

(3’)

Estas derivadas tienen la misma expresión matemática, aun cuando prevengan de diferente función; mas si recurrimos al proceso inverso, es decir, integramos la función derivada, entonces:

27

Se integra la función (1’)

Cxxdx 22 , porque xdx

dx 22 .



dx 22 .



dx 22 .

Como la integración es un proceso inverso de la derivación se infiere que al integrar las funciones (1’), (2’) y (3’) tendríamos las funciones (1), (2) y (3); sin embargo, en los resultados de la integración no se cumple, ¿por qué?, ¿Qué hace falta para obtener las funciones (1), (2) y (3)? Se debe agregar a la integral indefinida una constante, C que al calcularse podremos determinar las funciones (1), (2) y (3), respectivamente. Por lo tanto, lo correcto es escribir la integración de la siguiente forma:

Cxxdx 22 , donde C = 0

Cxxdx 22 , donde C = 2

Cxxdx 22 , donde C = 2 Se advierte que el valor de C es fácil inferirlo porque ya conocíamos las funciones (1), (2) y (3); sin embargo, no ocurre así en todos los casos, pues las más veces debemos indicar la constante, C, cuando efectuamos una integral indefinida. En otros casos se nos dan algunas condiciones iniciales de la función para determinar el valor de C. Antes de determinar el valor de la constante es importante ver en forma gráfica la relación entre la integración y diferenciación. Para esto vemos el siguiente ejemplo. De la función (1), ƒ(x) = x2 sabemos que su gráfica es una parábola cuyo vértice es el origen y concavidad hacia arriba; al obtener la derivada resulta otra función que es de primer grado (una recta). Este proceso se estudió en Cálculo Diferencial (Figura 7a), pero en Cálculo Integral se tiene el proceso inverso, porque a la función derivada hay que aplicarle el proceso de integración (Figura 7b).

28

Figura 7a.


Analiza la siguiente figura.

Figura 7b. Al aplicarle la integración a la función f(x) = 2x, ¿Puedes inferir que gráfica obtendrás correspondiente a la función integrada?

29


Cuadro en donde se indica el por qué una integral indefinida tiene siempre una constante.

30

1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN Se ha visto que evaluar una integral indefinida implica que hay una constante de integración C, la cual, al evaluarla, obtendremos la función original. Si retomamos las funciones ƒ(x) = x2, ƒ(x) = x2 + 2 y ƒ(x) = x2 – 2, de manera general podemos indicar que

y = ƒ(x) = x2 + C representa una familia de parábolas y cada valor de C corresponde a una de ellas; por ejemplo: y = x2 + 2 y = x2 – 2 y = x2 – 3 y = x2 + C ó y = x2 – C y = x2 + 1/4 y = x2 + 10 y = x2 – 1/16 Se observa que C toma diferentes valores, incluso cero, y toma la forma y = x2. A continuación se indican ciertas condiciones iniciales para determinar el valor de la constante C. Si queremos que una de las parábolas descritas por la ecuación y = x2 + C pase por el punto P(2,1), al sustituir tendremos: y = x2 + C si P(2,1) que es condición de la función

1 = 22 + C

1 = 4 + C

C = 1 – 4

C = 3. Entonces se estará hablando de la parábola y = x2 – 3. Veamos otro ejemplo:

31

Si y = x2 + C y uno de sus puntos es P(1,3) tendremos: y = x2 + C

3 = 12 + C

3 = 1 + C

C = 2, Y la parábola será y = x2 + 2 Adicionalmente, calcula la constante de y = x2 + C si queremos que los siguientes puntos pertenezcan a las parábolas. Comprueba lo anterior trazando las parábolas. P(3,1)

P(4,3)

P(3,2)

P(3,4)

P(2,5)

P(3,2) Cuando se conoce la constante de integración, podemos llegar a la función primitiva que dio origen a la derivada. Veamos cómo determinar la constante de integración a partir de otro enfoque. Para ello recuerda lo estudiado en el Fascículo 1, de Cálculo Diferencial e Integral II, donde se indica que debes:

x

adxxfxA

)()( si 0)( xf en xa,

o bien,

)( )(

xAdxxf

x

a si 0)( xf en xa,

es decir, en estas circunstancias la integral definida representa geométricamente el área bajo la curva ƒ(x) cuando x varía en [a, x].

32

En este fascículo se llegó a la expresión de integral indefinida como:

)()( xFdxxf .

De estas dos expresiones se deduce que las integrales de la misma función difieren únicamente en una constante, ya que A(x) y F(x) son dos integrales de ƒ(x):

A(x) = F(x) + C ; Por lo tanto, el siguiente paso es determinar el valor de C, consideremos el área sombreada bajo ƒ(x) entre las líneas verticales sobre (a,0) y (x,0) de la figura 8.

Figura 8. Aquí A(a) = 0 es el área del segmento con extremos en (a,0) y (a,ƒ(a)).

Usando A(x) = F(x) + C y cuando x = a:

A(a) = F(a) + C;

pero A(a) = 0

0 = F(a) + C C = F(a)

De la ecuación anterior recuerda que: A(x) es el área bajo la curva ƒ(x) en el intervalo [a,x]

F(x) es la integral indefinida dxxf )(

F(a) es F(x) evaluada en a.

33

Encontremos ahora el área bajo la curva y = x2 desde 0 hasta x (figura 9).

Figura 9.

Como sabemos )(3

32 xFCxdxx

A(x) = F(x) – F(0);

Pero CxxF 3

)(3

y CF 3

0)0(3

;

Por lo tanto, al sustituir en A(x),

CCxxA

30

3)(

33

3

)(3xxA .

Observa que la constante, C, se elimina al encontrarse la expresión F(x) – F(a); así, podemos omitir sencillamente C, como en el siguiente ejemplo: ¿Puedes encontrar el área bajo la curva y = 2x2, entre los puntos (2,0) y (3,0) de la figura 10?

34

Figura 10.

Solución A(x) = F(3) – F(2),

Donde F(x) = dxx 22 = 3

2 3x

Así, F(3) = 18332 3

y F(2) = 3

16322 3

Al sustituir en la primera expresión, el área es:

A(x) =338

31618 .

Se concluye que si se pide el área limitada por la curva ƒ(x) cuyo intervalo es [a,b] (figura 11), podemos encontrarla con:

b

adxxfA

)(

o bien

A = F(b) – F(a), siempre que F’(x) = ƒ(x) ó F(x) = dxxf )( . La última expresión de A indica que el área también puede encontrarse en términos de la integral indefinida.

x

f(x)

1 2 3 4 0

35

Figura 11. De acuerdo con lo anterior tenemos la relación

)()( )(

aFbFdxxf

b

a , si dxxfxF )()( .

En consecuencia, la integral definida puede expresarse en términos de una integral indefinida evaluada en los límites.

¿Te es familiar este resultado? Por supuesto que si, la formalidad de estos ejemplos es lo que se analiza en el Teorema Fundamental de Cálculo del Fascículo 1.


Calcula el área bajo la curva y = x2 entre los puntos (1,0) y (2,0).

36


37

1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA Es importante establecer la relación entre integrales indefinidas y definidas, ya que son muy diferentes aun cuando existe una relación estrecha entre ellas.

La integral definida b

adxxf

)( se define en términos del límite de una suma:

Suma [ƒ(x) x] o bien [ƒ(x) x]. La integral definida es un número (frecuentemente en dimensiones como cm2 o m2) que se aproxima por términos de sumas cuyo número de rectángulo se hace infinito y el ancho de la base de los mismos se aproxima a cero. La integral indefinida dxxf )( es una función cuya derivada es ƒ(x).

Como ejemplo de distinción entre la integral definida e indefinida tenemos:

20

23

2

223

0

3

0

2

xxdx

3

0 29 xdx

cuya gráfica se muestra en la figura 12.

Figura 12.

38

En cuanto a la integral indefinida

Cxdxx2

2

,

La gráfica correspondiente es la figura 13, que es una familia específica de funciones donde la diferencia entre cada una es la constante.

Figura 13.


Resuelve y evalúa las siguientes integrales:

1. dxx 3 4. 3

1

3 dqq

2. 2

1

3 dxx 5. dyy

3. dpp 6. dxx 1

39


40

1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS De la siguiente serie de funciones obtener su antiderivada o primitiva para observar y deducir su comportamiento.

1. Antiderivada de 1 = x 4. Antiderivada de 44

3xx

2. Antiderivada de 22xx 5. Antiderivada de

55

4xx

3. Antiderivada de 33

2xx

¿Puedes dar el patrón de éstas fórmulas? Hay una fórmula para una antiderivada de cualquier función de la forma xn, que siempre es una constante multiplicada por xn+1. Entonces, cuando derivamos ésta función llegamos a otra función cuyo exponente es uno menos que el de la función original. Por lo tanto, si antiderivamos una función, llegamos a una nueva función cuyo exponente es más uno que la función original. Esto nos lleva a las siguientes fórmulas:

41

Por lo tanto, antiderivada de Cnxx

nn

11

. Por ejemplo, si n = 3, antiderivada de

413

4133 xxx

.

Que está de acuerdo con el resultado de la tabla. Si n = 7, entonces de acuerdo con la fórmula antiderivada de:

817817

7xxx

Para comprobar la fórmula general de antiderivada o función primitiva basta con derivar la siguiente función:

11

nxy

n

de la cual resulta:

nn

xn

xny 1

1 '11

que es la función con la cual empezamos y muestra que la fórmula general es correcta. La integral de las funciones ƒ(x) = 1 y ƒ(x) = x permite ver el comportamiento de la integral definida con el de la integral indefinida o antiderivada.

Figura 14.

El área bajo una curva en un intervalo cerrado se calcula por medio de la integral definida.

b

axf )( Área

42

Respecto a la figura 14 tenemos ƒ(x) = 1 y el área de un rectángulo es bh (base por altura), por lo tanto:

b

abhdxxf

)(

1

0 1)1)(1(dx , que es el área del rectángulo A1

2

0 2)1)(2(dx , que es el área del rectángulo A2

nx

nn xxdx

0 )1)(( , que es el área del rectángulo n–simo

De esta integral definida resulta el área del n–simo rectángulo. Para la misma función la integral indefinida es:

Cxdx

En el caso de la integral indefinida para la misma función el resultado no es un número, es una familia de funciones de la forma x + C.

Figura 15.

El área está definida por:

b

adxxf

)( área

43

En este caso ƒ(x) = x, y el área 2

bh (área de un triángulo).

Por lo tanto,

b

a

bhdxxf

2 )(

1

0 21

2)1)(1( dxx

2

0 24

2)2)(2( dxx

nx nnn xxxxdx

0

2

22))((

.

De la integral definida resulta un valor numérico, que en este caso representa el área del triángulo n-simo. Para la integral indefinida de la función ƒ(x) = x se tiene:

Cxxdx22

Que representa una familia de funciones Cx

22

donde C es el valor que caracteriza a

una de esas funciones. En los siguientes ejercicios obtendremos la integral indefinida.

1. ƒ(x) = x4 4. ƒ(x) = x

2. ƒ(x) = 1 5. ƒ(x) = x3

3. ƒ(x) = cos x 6. ƒ(x) = sen x Como la integral indefinida es equivalente de antiderivada podemos indicar como:

1. Antiderivada de x4 4. Antiderivada de x

2. Antiderivada de 1 5. Antiderivada de x3

3. Antiderivada de cos x 6. Antiderivada de sen x

44

Si lo anterior lo indicamos con una simbología más adecuada, de hecho lo que nos pide es:

1. dxx 4 4. xdx

2. dx 5. dxx 3

3. dxx cos 6. dxsenx

Para resolver las integrales recuerda que debemos encontrar una función F(x) tal que:

)()( xfdx

xdF .

A fin de resolver la integral 1 podemos hacer uso de la tabla de antiderivadas, por lo tanto:

Cxxdxx

514514

4

Con objeto de comprobar que es correcto hacemos:

4455

05

5 5

5

xxCdxdx

dxdCx

dxd

.

Entonces:

Cxdxx 55

4 .

La integral indefinida de la función 3 es:

Csenxdxx cos ,

Porque

xxCdxdsenx

dxdCsenx

dxd cos 0cos

45


Obtén la integral indefinida de los ejercicios 2, 4, 5 y 6 La dificultad para encontrar la integral indefinida de una función se resuelve particularmente para cada función, ya que no hay un método general para resolverla. No obstante, en ciertos casos es sencillo encontrarla, mediante las derivadas de las funciones. En las siguientes propiedades de la integral indefinida se indican dos fórmulas que pertenecen a la tabla de integrales inmediatas que estudiarás más adelante. Es fácil comprobar que las igualdades indicadas son válidas mediante la derivación, es decir, se puede verificar que la derivada del segundo miembro es igual al integrando. Las propiedades generales de las integrales indefinidas pueden también deducirse de las propiedades homólogas de las derivadas.

1. La integral de una suma es igual a la suma de las integrales.

dxxgdxxfdxxgxf )()( )()( .

2. La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función.

dxxfkdxxfk )( )( .

3. La integral de una potencia es igual a la potencia más uno entre la potencia más uno.

Cnxdxx

nn

1

1 , si n 1.

46


47


48

A C T I V I D A D E S I N T E G R A L E S

Realiza los siguientes ejercicios: 1. Sea la función y = x4

a) Grafica la función.

b) Obtén la derivada

c) Grafica la función derivada

49


A continuación se presenta la solución de las actividades integrales, compara tus respuestas y si tuviste alguna duda regresa al capítulo o bien consulta a tu asesor de contenido.

51

C A P Í T U L O 2

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 2.1 CAMBIO DE VARIABLE 2.2 INTEGRACIÓN POR PARTES 2.3 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES 2.3.1 Denominador Formado por una Función Lineal

2.3.2 Denominador Formado por Factores Lineales de Primer Grado que no se Repiten

2.3.3 Denominador Formado por Factores de Segundo Grado que no se

Repiten

53

P R O P Ó S I T O

Existe una gran variedad de integrales que se tiene que transformar a un patrón establecido y de ésta forma resolverlas, para ello el contenido de este fascículo pretende que al concluir su estudio: ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMO LO APRENDERÁS? ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

A conocer y aplicar las técnicas de integración más sencillas.

Mediante la aplicación de conocimientos algebraicos, geométricos y analíticos.

Para evaluar integrales que no se obtienen de forma común en los problemas de Ingeniería, Física, Química, Biología, Economía, Administración, Finanzas y Computación entre otras áreas del conocimiento.

55

CAPÍTULO 2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

La integración es un procedimiento esencialmente de ensayo que facilita el cálculo de cada integral que se presente. Ésta debe compararse con las distintas integrales elementales ordinarias; si coinciden plenamente con alguna de ellas se conoce el resultado, pero si existen diferencias se deberá recurrir a las técnicas de integración. Como muchas integrales indefinidas es imposible encontrarlas directamente, debemos buscar la forma de arreglarlas o presentarlas a las que ya conocemos, con base en procesos matemáticos que requieran la aplicación adecuada de las propiedades básicas que forman la estructura de la Matemática. Dos principios permiten ampliar el alcance de la integración:

Considerar que cada regla de integración es un patrón o modelo.

Las reglas de derivación pueden suministrar una pauta para el patrón o modelo.

Ejemplo: la integral de una potencia cuya base es x corresponde a

Cnxdxx

nn

11

,

donde n es un número real diferente de – 1, que es un patrón o modelo. La integral dxx 5 se asemeja al patrón, por lo tanto, n d , donde puede

corresponder a una expresión diferente de x. Si la base de la potencia es diferente de x podemos utilizar una nueva variable, u, para expresar el integrando como una potencia de la nueva variable.

56

Ejemplo: dxx 42 , que es similar al patrón dxx n .

Expresamos la base x + 2 como una nueva variable u, tal que u = x + 2; observa que du = dx, por lo tanto, (x + 2)4 dx = duu 4 . Después de integrar sustituimos u por la

expresión original en términos de x:

Cxdxx52 2

54 .

57

2.1 CAMBIO DE VARIABLE Analizaremos varios ejemplos para comprender el cambio de variable: Encontrar dxxx 212 .

Para comparar con el modelo dxx n se debe recordar que:

2/122 11 xx .

Ahora la expresión queda dxxx

2/1212 , o bien, dxxx 21 2/12 . De esta manera

vemos que se asemeja al patrón. Si consideramos u = 1 + x2, du será du = 2x dx, pero el exponente es ½ porque corresponde a la n del modelo. Como 2x dx es parte de la expresión original, al cambiar la variable queda:

duudxxx 2/12/12 12

Esta expresión puede integrarse como:

CuCuduu 2/32/3

2/132

2/3

Al regresar a la variable original llegamos a:

CxCxdxxx 322/322 132 1

32 12

Halla dxx 53 .

Primero expresa el radical como una potencia: 53 x ____________________________. Compara con el modelo dxx n .

58

Si u = 3x + 5, el exponente es ½ y du = ___________________________________________. Como du es el triple de dx, por lo tanto, dx será la tercera parte de du.

En consecuencia, duuduu 2/12/131

3; y tienes _________________________________.

Simplificando y sustituyendo u por su equivalente la integral queda:

CxCxdxx 32/3 53

92 53

92 53 .

Encontrar dxx 3/583 .

Esta integral se acerca al modelo: ________________________________________________. ¿Cuál sería el valor de u y du? ___________________________________________________. ¿Cuál sería la integral una vez hecho el cambio de variable? ________________________. Al simplificar se obtiene: ________________________________________________________. Al cambiar u por su equivalente se tiene dxx 3/583 __________________________.

¿Cómo calcularías dxsenx x cos5 ? ____________________________________________.

Primero se debe encontrar la diferencial de u = cos x _______________________________. Así, sen x dx = du y duudxsenx 55 x cos .

Ahora se tiene la integral adecuada al patrón establecido, por lo tanto: ________________. Comprender el método implica ejecutarlo mentalmente, en caso contrario, seguir el algoritmo u = cos x; n = 5; du = sen x dx, que forma parte de la expresión original.

59

De acuerdo con el patrón, se tiene Cuduu66

5 ; regresando a la variable

original:

dxsenx x cos5 = _____________________________________________________________.

El método de cambio de variable para integrales indefinidas es una herramienta valiosa siempre que se reconozca que el integrando es de la forma dxxfxf )(' )( ó

dxxfkxf )(' )( , donde k es un número real.

Reconocer esta forma de integración es directamente proporcional al número de ejercicios resueltos. Haz los siguientes ejercicios considerando los ejemplos anteriores. Encontrar dxxxdxxx 67 67 3 23 2 .

Observa que el integrando contiene a x dx. Cambiar la expresión mediante un equivalente que no utilice el radical: _______________. En esta expresión, u = _____________; n = _____________; du = _____________. Aparece un factor diferente de 1 en el integrando, por lo tanto, hay que multiplicar por su inversa para compensar. Con esto hemos encontrado la semejanza con el patrón. Escribe la integral con el cambio de variable: ______________________________________. Comparar con el patrón y realizarla _______________________________________________. Al sustituir se tiene: ____________________________________________________________. Al hacer operaciones, la integral queda:

Cxdxxx 3/423 2 67

161 67

60

Encontrar

7552

2 xxdxx .

Si u = x2 + 5x + 7; du = (2x + 5) dx, entonces:

duuudu

2/12/1

,

que es la forma similar al patrón. Al aplicar la fórmula y regresar a la variable original, el resultado debe ser:

Cxxxxdxx

752

7552

22

.

El patrón es una integral elemental ordinaria; sin embargo, habrá casos en que después de ensayar distintos mecanismos algebraicos será imposible valerse del cambio de variable, porque la integral no corresponde a un patrón establecido, momento en que se deben aplicar otras técnicas de integración.

El cambio de variable se da cuando nos encontramos con integrales similares a las integrales elementales ordinarias como los que aparecen en el Apéndice, mas si se está familiarizando con la técnica, el cambio de variable se puede hacer mentalmente.


Resolver la integral dxx 32 , aplicando el método por cambio de variable.

61


El método por cambio de variable consiste en identificar la variable “u”, para que a partir de ésta, se obtenga la diferencial de u “du” y así asociar la integral duu a un patrón ya

conocido.

62

2.2 INTEGRACIÓN POR PARTES Para Leibniz, uno de los iniciadores del Cálculo, la derivada de un producto era el producto de las derivadas, conclusión engañosa y con frecuencia mal utilizada por quienes se inician en el estudio del Cálculo Integral. Lo correcto es la integración por partes, basada en la fórmula de la diferencial de un producto de funciones.

d (uv) = u dv + v du. Mediante la integración de ambos miembros de esta expresión tenemos:

duvdvuuvd )( .

Como Cuvuvd )( (comparar con la lista de integrales del Apéndice)

Cduvdvuuv

Esta expresión la podemos representar como:

Cduvuvdvu

que se conoce como integración por partes. Esta fórmula establece que hallar dvu es

determinar duv . Su utilidad radica en que, si la selección de u y dv son apropiadas, la

integración de v du se facilitará más que la de u dv. Es decir, el cálculo de dvu se

realiza en dos partes, una con dv y otra con duv .

La selección de dv debe ser tal que pueda obtenerse v por la integración directa. La aplicación de la fórmula para la integración por partes comienza con una integración seguida por una derivación como se muestra enseguida:

Cduvuvdvu

Paso 1 integrar Paso 2 obtener la diferencial

El último paso es evaluar duv .

No existen normas generales para elegir de entre u y dv, pero sí se recomienda:

63

a) Descomponer en factores de tal manera que dx sea siempre una parte de dv.

b) dv debe tener una integración inmediata.

¿Cuándo podremos aplicar el método de integración por partes? Se debe considerar que este método permite hacerlo para aquellos integrandos que incluyan productos de funciones polinomiales con trigonometría o logaritmos. Los siguientes ejercicios ayudarán a comprender esta técnica, y el tener a la mano una tabla de integrales agilizará la búsqueda de un patrón (el apéndice contiene una lista de integrales elementales ordinarias). Evaluar dxxx sen .

Primero se debe elegir u, dv, aunque debes tener presente que la integración es un carácter de ensayo; si no se logra encontrar la integral, cambia la elección después de analizar las recomendaciones sugeridas. Elegir que factor se debe designar como dv y determinar si la integración es posible mediante la lista de integrales elementales del Anexo. Como sen x dx tiene una integral directa, Cxdxsenx cos , elegimos: dv = sen x dx u = x v = cos x dx du = dx Sustituyendo en la fórmula de integración por partes tenemos:

dxxCxxdxsenxx )cos()cos( 1 .

Efectuando los productos:

1 coscos Cdxxxxdxsenxx ; pero 2 cos Csenxdxx ,

por lo tanto, Csenxxxdxsenxx cos . Así, C = C1 + C2. Recuerda que al hacer una integración se obtiene una constante de integración. La primera integración se realiza cuando obtenemos v a partir de dv.

64

Encontrar dxxx sec 2 .

Se puede elegir dv = sec2x dx , pues tiene la facultad de integrarse directamente, lo cual se confirma al consultar el Apéndice; por lo tanto, v = _______, si u = x ; entonces du = _______, mediante la fórmula de integración por partes.

duvuvdvu

Sustituyendo los resultados en la fórmula de integración por partes:

dxxCxxdxxx tantan sec 12

Al consultar el Anexo: 2secln tan Cxdxx ;

por consiguiente, Cxxxdxxx seclntan sec 2

Encontrar dxxx cos .

El resultado a que se debe llegar es:

Cxsenxxdxxx cos cos

Recuerda que C = C1 + C2. Habrás realizado una elección correcta cuando llegues fácilmente a una solución, en caso contrario, tu segunda integral, v du, es más complicada que la original, u dv. En ocasiones, una integral particular requiere aplicaciones repetidas de la integración por partes; por ejemplo:

65

Evaluar dxex x 2 .

La expresión que puede integrarse en forma directa es ex dx, por lo tanto:

dv = ex dx u = x2

v = ex du = 2xdx

Sustituyendo en duvuvdvu tenemos:

dxxeCexdxxeexdxex xxxxx 2 2 1222

Esta última integral, dxxe x , comprende un producto y vuelve a integrarse por partes: dv = ex dx u = x

v = ex du = dx Sustituyendo:

dxeexdxxe xxx , pero xx edxe , por lo tanto Ceexdxxe xxx .

Reuniendo las integrales:

Ceexexeexedxex xxxxxxx 2 2 2 x 222

Evaluar dzez z 23 . Descomponiendo en factores a z3 tenemos:

dzezz z 22 .

Seleccionando u y dv.

dzzedv z 2 u = z2

12

21 Cev z du = 2zdz

66

Aplicando la fórmula de integración por partes:

dzzeezdzzez zzz 2

21

21 222 22

Al realizar operaciones y factorizar 2

21

ze tenemos:

Czedzzez zz 121 22 22

Evaluar 2

3

1 xdxx

Descomponiendo en factores a x3

dxxxx 12/1

22

.

Seleccionando u y dv:

dv = (1 – x2)1/2 x dx u = x2

v = (1 – x2)1/2 + C1 du = 2x dx Aplicando la fórmula de integración por partes:

dxxxxxx

dxx 2 11 1

2/122/1222

3.

Al realizar operaciones en la expresión tenemos:

Cxxx

dxx

321

1

22

2

3.

67

Resumiendo:

duvvudvu

Fórmula para la integración por partes. Expresa la integral u dv en términos de otra integral, v du. Es necesario la selección apropiada de u y dv para que la segunda integral sea más fácil de integrar que la primera.

La práctica es la forma de adquirir seguridad en el manejo de la integración por partes. Esta requiere determinación, paciencia, estrategia y sobre todo, mucho empeño.


Si aplicas el método de integración por partes, ¿Cuál es la función que obtienes al resolver dxex x 2 ?


La integración por partes es uno de los métodos más recurrentes cuando se tiene un producto de funciones. La fórmula para éste método es:

duvvudvu

La utilidad de este método radica cuando se hace la elección correcta de “u” y “dv”.

68

2.3 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

Gran cantidad de problemas de Física, Química o de Matemáticas se pueden representar con expresiones que contienen integrales de funciones racionales, cuya notación general es:

)( )(xQdxxP ,

Que no pueden calcularse mediante los métodos conocidos. El procedimiento a seguir es descomponer la función racional en fracciones parciales.

Recuerda que la función racional es el cociente de dos polinomios, )()(

xQxP . Esta función

puede ser propia si el grado del numerador, P(x), es menor que el grado de denominador, Q(x); en caso contrario, se llama impropia. En ésta el numerador puede representarse como la suma de un polinomio más una función racional propia. La integración del polinomio no representa dificultad alguna, lo difícil es hallar las primitivas de funciones racionales propias, las cuales pueden expresarse mediante funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas. La mayoría de las integrales racionales pueden reducirse a la forma d / , cuya integral corresponde a un logaritmo natural. Los ejemplos que estudiaremos son de los casos más representativos. 2.3.1 DENOMINADOR FORMADO POR UNA FUNCIÓN LINEAL

Encontrar dx

xx

1

Efectuaremos la división hasta que el grado del residuo sea menor que el denominador:

111

1

xxx

Por lo tanto:

1

111

1 xdxdxdx

xdx

xx .

69

Usando las fórmulas del Anexo para calcular las integrales obtenemos:

Cxxdxx

x

1ln 1

Calcular las integrales b) y c) con base en a).

a) Hallar dx

xx

32

.

Divide x2 entre x – 3:

393

x

x

La integral se descompone en:

dx

xdxx

393

La primera integral es directa y no tiene dificultad.

12

32

3 Cxxdxx

La segunda,

dx

x 39 ,

Se acerca al patrón vdv y vemos que puede calcularse como

23ln 9 3

9 Cxxdx

En consecuencia:

Cxxxdxxx

3ln 93

2

322

,

donde: C = C1 + C2 .

70

b) Calcular dx

xx

2.

¿Cuál es el primer paso para calcular la integral? __________________________________. ¿Cuál es el resultado de la división? ______________________________________________. ¿Cómo se descompone la integral? ______________________________________________. ¿Cuál es el resultado de la primera integral? ______________________________________. ¿Cómo se resuelve la segunda integral? __________________________________________.

Escribe el resultado de dx

xx

2 _______________________________________________.

¿Coincide con Cxxdxx

x

2ln 2 2

? ____________________________________.

c) Encontrar dx

xx

52

.

¿El resultado de la división es? __________________________________________________. La integral se expresa como: ____________________________________________________. Completando el algoritmo obtienes:

C5xln 25x52

x dx5x

x 22

Con fracciones racionales más complejas se deberá reducir a una expresión mixta mediante la división. Para integrarla se descompone en fracciones parciales más simples, lo cual es posible siempre que el denominador pueda integrarse en factores primos. Hay diferentes formas para descomponer los factores del denominador, mas en este fascículo sólo estudiaremos dos.

71

2.3.2 DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES LINEALES DE PRIMER GRADO QUE NO SE REPITEN

Encontrar

xxxdxx2

3223

.

Como 2x + 3 no es la derivada de x3 + x2 – 2x, debemos recurrir a este método. Consideramos el integrando, del cual factorizamos su denominador (recuerda los métodos de factorización estudiados en primer semestre); en este caso x es factor de los tres términos del denominador, por consiguiente, podemos expresar el denominador como x (x2 + x – 2) y, a su vez, x2 + x – 2 se factoriza como (x + 2) (x – 1), en consecuencia, la factorización es x (x + 2) (x – 1). Observamos que los factores son lineales y no se repiten. A continuación se descompone la función racional en una suma de otras más simples. Se debe tener en cuenta que a cada factor no repetido de primer grado corresponde una

fracción parcial de la forma ax

A

, siendo A una constante diferente de cero, y x – a

factor denominador. Para comprobar la igualdad se debe considerar el número de factores encontrados en el denominador, el cual tiene que corresponder al número de constantes que debemos conocer.

21

2132

xC

xB

xA

xxxx

El método más breve para obtener los valores de A, B y C es el siguiente: Multiplicamos la igualdad (1) por x (x – 1) (x + 2), producto que suponemos diferente de cero. Simplificando queda:

2x + 3 = A(x – 1) (x + 2) + B(x + 2)x + C(x – 1)x

2x + 3 = A(x2 + x – 2) + B(x2 + 2x) + C(x2 – x). Puesto que esta ecuación es una identidad, al factorizar el segundo término de la expresión igualamos los coeficientes correspondientes a las mismas potencias de x en los dos miembros y obtenemos tres ecuaciones que se pueden resolver por determinantes. Agrupando el segundo término de la expresión tenemos:

2x + 3 = (A + B + C)x2 + (A + 2B – C)x – 2A .

72

Igualando los coeficientes: A + B + C = 0 A + 2B – C = 2

2A = 3 Resolviendo el sistema obtenemos:

23

A , 35

B y 61

C .

Con estos valores nuestra expresión resultante es:

261

135

23

2132

xxxxxxx

Verificar la igualdad mediante la suma de fracciones para comprobar si los valores de A, B y C son correctos. La integral se descompone en una suma de tres integrales que calculamos con base en el Anexo.

261

135

23

2132

xdx

xdx

xdxdx

xxxx

Cxxx 2ln 61 1ln

35 ln

23

Evaluar

1 2

2xdxx .

Los factores del denominador son (x + 1) (x – 1), y el integrando es:

11 2

xxdxx .

El número de constantes a determinar es equivalente al número de factores encontrados en el denominador del integrando. En este caso son dos (A, B). Quitando el símbolo de integración iniciamos el método empleado en el ejemplo anterior. El integrando se descompone en:

11

11

2

xB

xA

xxx

73

Al obtener los valores de A y B, se tiene que 23

A y 21

B .

Sustituyendo los valores de A y B en la expresión del integrando, tenemos:

12

112

3 11

2

xxxxx

Tras comprobar la igualdad podemos integrar:

Cxxxdx

xdx

xxdxx 1ln

21 1ln

23

121

123

11 2

Calcular:

xxxdxx

23 24

23 .

1. Considera el integrando como una función racional. El denominador es de grado

3; por lo tanto, al factorizarlo se tienen tres factores y se deben determinar tres constantes.

2. Factorizar el denominador _______________________________________________.

3. Con el denominador factorizado igualar la función racional con las constantes

por determinar. Escribir la igualdad ________________________________________.

4. Efectuar la suma de la parte derecha de la igualdad, eliminar denominadores, hacer operaciones y simplificar. Anota los resultados ________________________.

5. Con base en el ejemplo anterior, considerar la ecuación como una identidad y

encontrar el sistema correspondiente ______________________________________.

6. Resolver el sistema y encontrar los valores de:

A =______

B = ______

C = ______

Anotar los valores obtenidos en la expresión:

12

23

2423

xxxxxxx

74

Ahora ya se puede integrar:

12

23

12

23

23 24

23 xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xxxdxx .

El resultado es:

Cxxxxxx

dxx

1ln 22ln 3ln

23 24

23

Calcular

xxxdxx

2 1

23 .

Anotar la función racional sin la integral _______________________________________. Factorizar el denominador ______________________________________ y determinar las constantes necesarias. Recuerda que el número de constantes por determinar es igual al grado del denominador que a su vez corresponde al número de factores por encontrar. ¿Cuántas constantes se deben determinar? ___________________________________. Determinar la igualdad con las constantes necesarias: eliminar denominadores. La expresión es: _______________________________________________________________ ___________________________________________________________________________.

Encontrar el sistema que permita encontrar los valores de: A =______

B = ______

C = ______ Sustituir estos valores en la identidad e integrar. ¿Qué expresión se debe integrar? ____________________________________________. El resultado es:

Cxxxxxx

dxx

1ln

322ln

61ln

21

2 1

23

75

2.3.3 DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES DE SEGUNDO GRADO QUE NO SE REPITEN.

Hasta ahora hemos visto integraciones donde el denominador de la función racional se descompone en factores lineales que no se repiten. Teóricamente, es posible escribir cualquier expresión racional:

)()(

xQxP

Como una suma de expresiones racionales cuyos denominadores son polinomios de grado no mayor que dos. Si P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es menor o igual que el de Q(x), entonces se sigue el teorema de Álgebra que se expresa como:

kFFFxQxP

...)()(

21 ,

donde cada F1 corresponde a una fracción parcial que tiene una de las dos formas siguientes:

baxA

ó cbax

DCx

2

donde A, B y C son constantes no simultáneamente nulas. La integración de estas fracciones es similar a la realizada. Para comprenderlo desarrollemos un ejemplo:

Evaluar xx

dx4

43

El denominador, x3 + 4x, se puede factorizar encontrando su factor común, x (x2 + 4), por lo tanto:

4 42xxdx es nuestra integral

Al aplicar el algoritmo a la expresión

4

44

22

xCBx

xA

xx

y quitando denominadores queda:

4 = A(x2 + 4) + (Bx + C) x.

76

Se efectúan operaciones:

4 = Ax2 + 4A + Bx2 + Cx Se agrupan términos semejantes:

4 = (A + B)x2 + Cx + 4A. Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de x y tenemos:

A + B = 0 C = 0

4A = 4; Por lo tanto, A = 1. Sustituyendo en A + B = 0, queda 1 + B = 0; B = 1 y C = 0, de manera que:

41

44

22

xx

xxx

Integramos:

4 ln

4

4 4

222 xdxxx

xdxx

xdx

xxdx

Esta segunda integral se puede resolver mediante cambio de variable.

Cxx

xxdx

4ln

21ln

4 4

23

Encontrar

dxxxxx

1121

2

2.

Para trabajar con la función racional primero se elimina la integral.

112

1121

22

2

xCBx

xA

xxxx

Con base en los ejemplos anteriores anotar los pasos a seguir para llegar a la siguiente expresión:

x2 + x + 1 = (A + 2B)x2 + (B + 2C)x + (A + C).

77

Estos dos polinomios son idénticos si las potencias de x tiene los mismos coeficientes, es decir:

A + 2B = 1 B + 2C = 1 A + C = 1.

Estas tres ecuaciones se resuelven por determinantes. Los valores son:

53

A , 51

B , 52

C .

La fracción queda expresada como:

12

123

51

1121

22

2

xx

xxxxx

Al integrar:

1

21

12

351

1121

222

2

xdx

xdxx

xdxdx

xxxx .

Las dos primeras integrales se resuelven por cambio de variables y la tercera se compara con la lista de integrales del Anexo:

Primera integral: 12 3xdx

u = 2x + 1; du = 2dx y dxdu

2;

por lo tanto, uudu ln

21

21

; 112ln23

123 Cx

xdx

Segunda integral: 1

2xdxx ;

hacemos u = x2 + 1

du = 2x dx

dxxdu 2

.

Al sustituir uudu ln

21

21

, se obtiene: 22

21ln

21

1 Cx

xdxx

.

78

La tercera integral: dx

x

12

2

Se compara con la lista de integrales elementales del Anexo.

Cav

aavdv 1

22tan1

31

2tan2

12 Cxdx

x.

Regresando a las variables originales tenemos:

Cxxxdx

xxxx

12

2

2

tan2 1ln21 12ln

23

51

1121

Donde: C = C1 + C2 + C3 . Al multiplicar los coeficientes la expresión final es

Cxxx 12 tan521ln

10112ln

103

Con base en este procedimiento haz el siguiente ejemplo:

Evaluar

4 4

4 4

23 xxdxx

xxdxx

Eliminar la integral para empezar el algoritmo y señalar las constantes por determinar. Recuerda que el número de constantes corresponde al grado de denominador y éste es el exponente máximo del denominador; por consiguiente,

4

44

22

xCBx

xA

xxx .

Para que exista la identidad, los coeficientes de ambos términos de la igualdad deben coincidir; así, A + B = 0, pues no existe x2 ; C = 1 que es el coeficiente de x y 4 = 4A. De acuerdo con estos valores: A_______, B_______, C_______. Al sustituir estos valores e integrar la expresión:

4

4

4 4

222 xdxx

xdx

xdx

xxdxx .

79

Cada una de estas integrales se acomoda a los patrones ya estudiados en este fascículo. El resultado es:

Cxxxxx

dxx

2tan

214ln

21ln

4 4 12

2.

Listar los pasos a seguir para este tipo de integración y resolver las siguientes integrales:

a)

dxxx

xx1

1342

2

b)

1 112

2 xxdxx

Los resultados que debes obtener son:

a) Cx

xx 1ln21ln6 .

b) Cx

xx 111ln9ln9 .

La integración de funciones racionales por fracciones racionales requiere un procedimiento basado en los algoritmos de la división de polinomios y de los distintos tipos de factorización estudiados en Matemáticas I. En los dos últimos casos presentados, factores lineales sin repetición y factores cuadráticos sin repetición, los procedimientos de solución son similares.

80


Integrar dx

xx

12

2.


Una integral de una función racional se expresa: dxxQxP

)()( .

Donde P(x) y Q(x) son funciones polinomiales. – Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), se llama integral propia y el método

de integración consiste en escribir )()(

xQxP como la suma de fracciones parciales.

– Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), se llama integral impropia. En este

caso se divide el numerador entre el denominador hasta que so obtenga una integral propia, para así resolver la integral como propia.

81


82


Coloca los números 1, 2, 3 en los paréntesis según la técnica de integración adecuada para resolver la integral.

a) ( )

dx1x

x 1. Cambio de variable.

b) ( ) dx x 1x2 273 2. Integración por partes.

c) ( ) dx x3 cos 3 3. Fracciones parciales

83


A continuación se presenta la solución de las actividades integrales, compara tus respuestas y si tuviste alguna duda regresa al capítulo o bien consulta a tu asesor de contenido. a) (2) b) (1) c) (1)

84

A N E X O

Fórmulas de integración de formas elementales ordinarias

1. dwdvdudwdvdu

2. dvaadv

3. Cvdv

4.

Cnvdvv

nn

1

1

5. Cvvdv ln

6. Ca

advav

v

ln

7. Cedve vv

8. Cvdvsenv cos

9. Csenvdvv cos

10. Cvdvv tan sec 2

11. Cvdvv cot csc 2

85

12. Cvasenavavdvva 1

22222

22

13. Cvvvaavvdvav 222

2222 ln22

14.

C

avav

aavdv ln

21

22 22 av

15.

C

vava

avadv ln

21

22 22 av

16. Cvdvvv sec tan sec

17. Cvdvvv csc cot csc

18. Cvdvv cosln tan ó Cvdvv secln tan

19. Csenvdvv ln cot

20. Cvvdvv tansecln sec

21. Cvvdvv cotcscln csc

22.

Cav

aavdv 1

22tan1

23.

Cavsen

va

dv 1

22

24.

Cavvav

dv 22

22ln

25.

Cav

aavv

dv 1

22sec1

87

C A P Í T U L O 3

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL 3.1 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y ÁREA BAJO LA

CURVA 3.2 INTEGRAL DE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA 3.3 ÁREA BAJO LA CURVA 3.4 ÁREA ENTRE CURVAS: UTILIDADES 3.5 CÁLCULO E INTERPRETACIÓN DE LA CONSTANTE DE

INTEGRACIÓN

89

P R O P Ó S I T O

El contenido de este fascículo pretende que al concluir su estudio: ¿QUÉ APRENDERÁS? ¿CÓMO LO APRENDERÁS? ¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

A aplicar los conocimientos tanto de la integral indefinida como de la definida.

Mediante la utilización de algunas técnicas de integración en la resolución de diferentes problemas de aplicación real generados por fenómenos dinámicos.

Para mayor comprensión del cálculo integral y su aplicación en las diferentes ramas de la Ciencia.

91

CAPÍTULO 3 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

Analiza las siguientes preguntas.

¿Sabías que existe un método para evaluar la temperatura en lugares extremadamente fríos?

¿Cómo se puede saber la cantidad dosificada de insulina

para un diabético en diferentes periodos?

¿Cómo calcularías la energía que consume un sistema de clima artificial?

¿Sabías que se puede pronosticar el número total de bacterias de cierto cultivo para un instante determinado?

El estudio de este fascículo te permitirá conocer las diversas aplicaciones que tiene el Cálculo Integral y además, contestar estas interrogantes y muchas otras de la misma índole que se puedan presentar.

92

3.1 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y ÁREA BAJO LA CURVA En el Polo Norte se registra semanalmente la temperatura del ambiente al mediodía, durante un año. Las lecturas obtenidas fueron las siguientes:

Semana Núm.

Temperatura T(°C)

Semana Núm.

Temperatura T(°C)

1 3.4 27 3.6 2 6.7 28 7.3 3 9.8 29 11.0 4 12.7 30 14.8 5 15.3 31 18.6 6 17.7 32 22.3 7 19.7 33 25.9 8 21.5 34 29.4 9 23.0 35 32.7 10 24.2 36 35.7 11 25.0 37 38.5 12 25.5 38 40.9 13 25.7 39 42.8 14 25.5 40 44.9 15 25.0 41 45.3 16 24.2 42 45.7 17 23.0 43 45.4 18 21.5 44 44.4 19 19.7 45 42.5 20 17.7 46 39.7 21 15.3 47 36.0 22 12.7 48 31.3 23 9.8 49 25.4 24 6.7 50 18.2 25 3.4 51 9.8 26 0.0 52 0.0

93

La gráfica de barras para las primeras 26 semanas es:

Figura 1. La gráfica de barras para las siguientes 26 semanas es:

Figura 2.

94

¿Cómo obtendrías la temperatura promedio durante las primeras 26 semanas? Es como si en lugar de tener 26 barras de alturas diferentes (Figura 1) tuvieras solamente una, de altura constante (Figura 3).

Figura 3.

Ésta no es tan alta como la barra más alta (13) ni tan baja como la más baja (26). Esto se debe a que las barras altas ceden pequeñas porciones a las barras pequeñas, de modo que la altura entre todas se iguala. Esto es, se está obteniendo el promedio de la altura de las 26 barras. Además, el área que representan las 26 barras debe ser igual a la que representa la barra única de 26 semanas de ancho. Para obtener el promedio de un número dado de datos deben sumarse todos ellos y posteriormente dividirse entre el número de datos. Así, la suma de la altura de las barras es 434.7°C, y al dividir este valor entre el número de datos (26) se obtiene el promedio de temperatura durante las primeras 26 semanas, es decir:

72.1626

7.434 ºC

Para calcular el área de la barra ancha, de altura cuyo valor es 16.72°C, se multiplica la longitud de la base (26) por la altura (16.72); por consiguiente, el área es de 434.7°C x semana.

Figura 4.

95

Si se desea determinar la prueba hay que calcular la suma de las áreas de las 26 primeras barras multiplicando la altura de cada barra por la longitud de la base, cuyo valor en este problema siempre es de 1; por último se efectúa la suma de áreas. El resultado que se obtiene es de 434.7°C x semana. Es el mismo procedimiento para calcular la temperatura promedio de las siguientes 26 semanas. Su promedio es de – 28.91°C(figura 5).

Figura 5.

Para calcular el área se multiplica –28.91 por 26; por lo tanto, el área es de 751.6 [°C x semana], mismo resultado que la suma de las áreas de las 26 barras consideradas. La temperatura promedio de las 52 semanas se obtiene mediante la suma de las dos áreas, que se divide entre el número de semanas como sigue:

Csemana

semanaxC º 1.6 52

)6.751(7.434 º

Con la relación funcional entre la temperatura y el tiempo transcurrido se determinan los fenómenos en estudio y se predicen futuros comportamientos; sin embargo, las más veces es complicado porque es necesario aplicar diversos conocimientos sobre funciones y comparar muchas de ellas hasta obtener la que mejor se ajuste a los datos registrados. La función o modelo matemático, cuya gráfica pase por los 52 puntos de la figura 6, aunque sea cercanamente, tiene la forma siguiente:

96

Figura 6.

Después de probar diversas funciones, la que mejor se ajusta a ella es: ƒ(t) = 0.0001(t – 13)4 – 0.169(t – 13)2 + 25.7, Donde t es el número de semanas, el cual queda comprendido en el intervalo 0 t 52, y ƒ(t) expresa la temperatura en grados Celsius (°C). Para comprender qué significa la integral definida de la función ƒ(t) veamos un ejemplo:

52

0 )( dttf

Al calcular la función:

52

0

2452

0 7.2513169.0130001.0 )( dtttdttf

52

0

3552

0 7.25

313169.0

5130001.0 )(

tttdttf

52

0 3552

0 7.251305633.01300002.0 )( tttdttf

semanaxCdttf º 886.316 )(52

0

97

Este valor es el mismo que se obtiene al sumar las áreas de las 52 barras, o cuando se suman las áreas de las dos barras anchas; por consiguiente:

434.7 + (751.6) = 316.886 °C x semana La integral definida es el área bajo la curva o bien el total acumulado de las temperaturas si el tiempo transcurrido entre una y otra lectura es de una semana.

Definición

El área bajo la curva ƒ(t), desde que t forma el valor de a hasta que t toma el valor de b, es la siguiente integral definida:

b

adttfA

)(

La figura ilustra los límites de integración, donde b – a es la longitud de la base.

Para obtener la temperatura promedio de las 52 semanas se divide el área bajo la curva o el total acumulado de temperaturas entre el número de semanas o entre la longitud de la base del área considerada, b – a, o sea, 52 – 0. Así:

Temperatura promedio anual

semanasemanaxC º

5288.316 .

Las semanas pueden cancelarse y únicamente queda °C.

Temperatura promedio anual = 6.1°C, que es el mismo valor calculado por medio de los diagramas de barras.

f(t)

a b

b a

t

A

98

En conclusión, el valor promedio de una función, f , se define matemáticamente como:

b

adttf

abf

)( 1

Donde b

adttf

)( es la suma total de valores o el área bajo la curva, y b – a la longitud de

la base del área considerada. Dado que la función ƒ(t) es sólo una aproximación a la gráfica que se obtuvo con el registro de datos, el área bajo la curva calculada por medio de la integral definida podría tener un valor diferente que el calculado mediante las barras. Lo mismo puede suceder al calcular el valor promedio de la función, puesto que únicamente se divide el valor de la integral definida entre la longitud del intervalo.


Analiza la siguiente tabla.

t 0 1 2 3 4 5 G(t) 80 83.38 88.25 91.97 92.96 92.25

En la tabla anterior, G(t) indica el ingreso nacional bruto en mmd de la compañía Anadac y t es el tiempo en años desde la fecha de su pronóstico. ¿Puedes decir cuál es el promedio de los datos representados?

99


El valor promedio de una serie de datos se obtiene sumando todos ellos y después se dividen entre el número de datos. Así, de acuerdo al ejemplo presentado en este apartado, se tiene que la temperatura promedio en el Polo Norte, es:

CT

1.652

)8.9()2.18(....8.97.64.3

Que es el mismo valor que se obtiene al emplear la fórmula del valor promedio de una función:

b

adttf

abf

)(1

dtttf 7.25)13(169.0)13(0001.0521 52

0

24

Cf 1.6

100

3.2 INTEGRAL DE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA Para controlar el organismo de un diabético existe la implantación de una cápsula que proporciona insulina, lenta y continuamente, a la corriente sanguínea. Al medir la cantidad de insulina administrada al paciente se registró lo siguiente:

tiempo (días)

Dosis acumulada (cm3)

tiempo (días)

Dosis acumulada (cm3)

0 0.00 31 26.04 1 0.10 32 26.74 2 0.36 33 27.41 3 0.78 34 28.05 4 1.33 35 28.66 5 1.99 36 29.26 6 2.73 37 29.82 7 3.56 38 30.37 8 4.45 39 30.89 9 5.38 40 31.38 10 6.36 41 31.86 11 7.37 42 32.31 12 8.39 43 32.75 13 9.44 44 33.16 14 10.49 45 33.55 15 11.54 46 33.93 16 12.58 47 34.29 17 13.62 48 34.63 18 14.65 49 34.96 19 15.66 50 35.27 20 16.66 51 35.56 21 17.64 52 35.84 22 18.59 53 36.11 23 19.52 54 36.36 24 20.43 55 36.60 25 21.31 56 36.83 26 22.17 57 37.05 27 23.00 58 37.25 28 23.80 59 37.44 29 24.57 60 37.62 30 25.32

101

Para hallar la razón de cambio promedio (RCP) entre dos puntos, A y B, se divide el incremento de la función, ƒ(b) – ƒ(a), entre el incremento de la variable independiente, b – a.

abafbfRCP

)()(

Donde: ƒ(a) – ƒ(b) son los valores de la función evaluada en t = a y t = b, respectivamente. La figura 7 ayuda a recordar este concepto.

Figura 7. La razón de cambio promedio entre t = 0 y t = 1 se obtiene como sigue:

01)0()1( 1

ffRCP ;

Como ƒ(1) = 0.1 y ƒ(0) = 0 ; entonces

dìacmRCP

3

1 0101.0 1.0 1 RCP

dìacm 3

102


Determinar los datos que faltan en la siguiente tabla.

Intervalo b a ƒ(b) – ƒ(a) RCP cm3/día 1 1 0.10 0.10 2 1 0.26 0.26 3 1 0.42 0.42 4 1 0.55 0.55 5 1 6

60 1 0.18 0.18 La gráfica de barras de la razón de cambio promedio, tiene la siguiente forma:

Figura 8.

103

La suma de las áreas de todas las barras se obtiene al multiplicar a la altura de cada barra RCP por la longitud de la base, que en este caso es de un día; posteriormente se suman todos los productos:

6.37601

1

RCP cm3 de insulina,

Donde:

6011RCP es la suma de las áreas de todos los rectángulos, desde el 1. hasta el

60. día. Esta suma representa el total de insulina suministrada al paciente al 60. día. Encontrar el área de todos los rectángulos comprendidos desde el inicio del suministro de insulina hasta el 30. día. Se puede hacer de tres maneras: Primera

3011RCP

Encontrar la suma de las áreas de todos los rectángulos hasta el 30. día. El valor por buscar es:

301

3

1 32.25 dìacmRCP

Donde, significa suma y

301

suma de las áreas de todos los rectángulos

comprendidos desde el inicio del tratamiento, que corresponde al 1. rectángulo, hasta el día 30, que corresponde al 30. rectángulo. Segunda El mismo valor del área se puede encontrar al sumar las siguientes áreas parciales.

101

13011

1301

1

RCPRCPRCP

301

1 6.36 18.96 RCP

o bien, día

cmRCP3

3011 32.25

de insulina.

104

Tercera Encontraremos el mismo valor del área con la suma de áreas parciales.

201

13021

1301

1 RCPRCPRCP

301

1 6.661 8.66 RCP

o bien,

díacmRCP

3

3011 32.25

de insulina.

Como hay gran cantidad de combinaciones con las que obtendrías el mismo resultado, se puede verificar que

abab

RCPRCPRCP1

1)1(

11

1

Donde:

3011RCP es el total de insulina suministrada al paciente, desde el 1. hasta el

30. día. La figura 9 representa los valores de la razón de cambio promedio encontrados.

Figura 9.

105

Encontrar la función que pase, aunque sea cerca, por todos los puntos de la gráfica es bastante laborioso, aunque la que más se aproxima a la gráfica anterior es:

ƒ(t) = 0.2te –0.07t cm3/día, que representa la función de cambio instantáneo, ƒ(t), con la que se suministra la insulina en términos de tiempo, t. La gráfica de la función de la razón de cambio instantáneo es continua, y puede obtenerse al unir todos los puntos de la gráfica de la razón de cambio promedio (figura 10).

Figura 10. Recuerda que el área bajo la curva puede calcularse por medio de una integral definida de la función en cuestión, que para este caso representa la función de la razón de cambio instantáneo. Por lo tanto, para calcular el total de insulina suministrada desde que inicia el tratamiento hasta el 60. día se debe evaluar la integral definida de la función de la razón de cambio instantáneo.

Cantidad total

60

0

07.02.0 dtte t

Utilicemos el método de integración por partes para evaluar la integral definida. La fórmula es: ,vduuvudv

0 60

106

y como: Cantidad total

60

0

07.00.2 dtte t

Se escoge: u = t y dv = e-0.07t dt ; entonces, du = dt y dv . Al aplicar la fórmula de integración por partes resulta:

Cantidad total = 60

0

07.0070

07.01

07.012.0

dteet tt ,

o

Cantidad total = 60

0

07007.0

07.01

07.02.0

dteet tt ,

o bien,

Cantidad total = 60

0

07007.0 07.007.01

07.02.0

dteet tt ,

o también

Cantidad total =

60

0

07.02

07.0

07.01

07.02.0

tt eet ,

Al sustituir los límites de integración resulta:

Cantidad total =

)0(070

2)0(07.0)60(07.0

2)60(07.0

07.01

07.00

07.01

07.0602.0 eeee .

Al efectuar los productos indicados queda:

Cantidad total = 0.2 0816.204006.3853.12 ,

0 60

0 60

0 60

0 60

0 60

0 60

0 60

107

o bien,

Cantidad total = 0.2 [188.168], o también Cantidad total = 37.634 cm3 de insulina suministrados durante los primeros 60 días.

Como se puede encontrar una equivalencia aproximada entre la suma de las áreas y la integral definida, por consiguiente:

60

0 601

1 RCP (función de la razón de cambio instantáneo) dt .

Ahora calcularemos el total de insulina suministrada hasta el 30. día con base en integrales definidas. Primera Encontramos el total de insulina suministrada hasta el 30. día.

Cantidad total = 30

0 (función de la razón de cambio instantáneo) dt .

Al sustituir la función queda:

Cantidad total =

30

0

07.02.0 dtte t .

Esta integración se realizó para evaluar el total de insulina suministrada hasta el 60º. día con la excepción de que los límites de integración son diferentes. Así:

Cantidad total =

30

0

07.02

07.0

07.01

07.02.0

tt eet ,

o

Cantidad total =

)0(070

2)0(07.0)30(07.0

2)30(07.0

07.01

07.00

07.01

07.0302.0 eeee ,

0 60

0 60

0 30

0 30

0 30

0 30

108

o bien, Cantidad total = 0.2 0816.20409911.244813.52 , o también, Cantidad total = 0.2 [126.6092], Cantidad total = 25.32 cm3 de insulina suministrado durante los primeros 30 días. Este valor también lo calculamos al sumar las áreas de todos los rectángulos hasta el 30. día. También aquí puedes encontrar la equivalencia aproximada entre la sumas de las áreas y la integral definida; por consiguiente,

30

0 301

1 RCP (función de la razón de cambio instantáneo) dt .

Segunda La misma cantidad de insulina se puede encontrar al sumar las siguientes cantidades:

Cantidad total = 30

01 (función de la razón de cambio instantáneo) dt +

01


Al sustituir la función de la razón de cambio instantáneo tenemos:

Cantidad total =

30

01

07.02.0 dtte t +

10

0

07.02.0 dtte t

Al evaluar las integrales se obtiene Cantidad total = 18.962 + 6.359. Cantidad total = 25.321 cm3 de insulina suministrados durante los primeros 30 días.

0 30

0 30

0 30

0 30

0 30

0 30

0 30

109

La equivalencia aproximada entre la suma de las áreas y la integral definida es:

30

01 301

1 RCP (función de la razón de cambio instantáneo) dt +

01


donde la expresión 10

0 (función de la razón de cambio instantáneo) dt representa la

insulina suministrada al paciente hasta el 10. día, de ahí que se pueda utilizar la siguiente equivalencia:

10

0 (función de la razón de cambio instantáneo) dt = Acum10.

El valor aproximado de esta integral lo puedes encontrar en tu registro de datos para el 10. día. Entonces, la equivalencia aproximada entre la suma de las áreas de la integral definida se determina como:

30

10 10301

1 )( AcumdttfRCP ,

donde: ƒ(t) representa la función de la razón de cambio instantáneo.

Acum10 representa el valor acumulado de insulina hasta el 10. día. Tercera Encontramos la misma cantidad de insulina con la suma siguiente:

Cantidad total = 30

20

20

0 )( )( dttfdttf

Recuerda que ƒ(t) es la función de la razón de cambio instantáneo. Además, como el valor de la integral

20

0 )( dttf

representa la cantidad acumulada de insulina hasta el 20. día, entonces,

Cantidad total = 30

20 20 )( Acumdttf .

0 30

0 30

110

Al evaluar las integrales se obtiene Cantidad total = 8.86 + 16.66 Cantidad total = 25.322 cm3 de insulina suministrados durante los primeros 30 días. Como hay gran cantidad de combinaciones con las que se podría obtener el mismo resultado, se puede verificar que:

Cantidad total = b

a aAcumdttf

)( desde a hasta b,

donde: ƒ(t) es la función de la razón de cambio instantáneo.

Acum a representa el valor acumulado justamente hasta el instante t = a. Se observa que, la integral de la razón de cambio instantáneo representa, exclusivamente, un incremento, que en este problema es el aumento de insulina y no la cantidad total de insulina suministrada. Matemáticamente puede representarse como:

b

a badttf

)(

donde: ƒ(t) representa la función de la razón de cambio instantáneo. representa el incremento obtenido desde el instante t = a hasta el instante t = b.

0 30

0 30

a b

a b

111


El total de insulina suministrada está representada por la suma de la razón de cambio promedio.

601

3 62.3718.0....66.055.042.026.010.0 cmRCPI

Cuyo valor será muy aproximado al obtener por medio de la integral de la razón de cambio instantánea:

60

0

070

634.37 2.0 )( dtetdttf tb

a

Entonces hay una equivalencia aproximada entre la suma de la razón de cambio promedio y la integral definida:

601

60

0 a)instantáne cambo de razó la de (función dtRCP

Para obtener la cantidad total de insulina en términos de una integral, será:

b

aaAcumdttfI

)( desde a hasta b.

Donde Acuma representa el valor acumulado hasta el instante t = a.

112

3.3 ÁREA BAJO LA CURVA Algunos desiertos del norte del país se caracterizan porque durante el día son demasiado calientes y durante la noche muy fríos. Para mantener constante la temperatura en su casa, los habitantes de esa región tienen instalado un sistema automático de clima artificial, el cual suministra calor durante la noche y frío durante el día; así, se equilibra la temperatura interior con la del exterior. Supongamos que se elabora un registro de datos, se encuentra la razón de cambio promedio de todos los pares y datos consecutivos, se grafica la razón de cambio promedio y se obtiene una función que pase lo más cercanamente posible por todos los puntos de la gráfica. Esta función se llama razón de cambio instantáneo. La función ƒ(t) que describe la velocidad o razón del cambio instantáneo con que el sistema de clima artificial suministra calor o frío es

ƒ(t) = 200 cos 5012

t cientos de BTU/h,

donde: t está dada en horas para t [0,24] está dado en radianes. La unidad de medida es el BTU (British Thermal Unit: Unidad Térmica Británica). Completa la siguiente tabla, sustituyendo cada valor de “t” en la función f(t) y evaluando dicha función.

t 0 2 4 6.965 9 12 15 17.035 19 24 ƒ(t) 223.2 0 91.42 91.42 0 101.76

Recuerda que se están utilizando radianes y no grados; por lo tanto, debes usar calculadora.

113

La gráfica de la función es:

Figura 11. Los intervalos de t para los que el sistema de clima artificial calienta son: 0 t < 6.965 (muy temprano por la mañana) 17.035 < t ≤ 24 (después del atardecer). El intervalo durante el cual el sistema de clima artificial enfría es 6.965 < t < 17.035. Las regiones sombreadas en la figura 12 muestran el total de energía suministrada para calentar.

Figura 12.

114

En la figura 13 se muestra la cantidad de energía que gasta el sistema para enfriar.

Figura 13. La cantidad de energía que gasta el sistema de clima artificial se observa en la figura 14.

Figura 14. Esto se debe a que el sistema de clima artificial consume energía eléctrica tanto para calentar la habitación como para enfriarla.

115

Al calcular la energía que el sistema emplea para calentar se debe recordar que la integral definida de la función de la razón de cambio instantáneo representa el área bajo la curva comprendida en el intervalo definido por los límites de integración. Definición

El área bajo la curva representa la energía total que consume el sistema de clima artificial, ya sea para calentar o para enfriar. Esto último puedes verificarlo multiplicando las unidades de la base (horas) por las unidades de altura (cientos de BTU/h).

base x altura = horas x hora

BTUdeciento

Al simplificar las horas, queda: base x altura = cientos de BTU, que son las unidades de energía. De acuerdo con esto, debes evaluar la integral de la función de razón de cambio instantáneo para obtener la energía que consume el sistema de clima artificial, ya sea para calentar o enfriar. Mas si se quiere obtener la energía que consume el sistema para calentar, debemos observar las regiones que se encuentran por encima del eje X, a fin de determinar los límites de integración y sumar las áreas de ambas regiones. Por lo tanto:

Energía para calentar = dttdtt 5012

cos200 5012

cos20024

035.17

965.6

0

=

24

035.17

965.6

0

5012

)200(125012

)200(12

ttsenttsen

=

0965.650

12)0(

12)965.6()200(12

sensen + ...

=

035.172450

12)035.17(

12)24()200(12

sensen

= [763.94(0.968 0) + 348.25] + [763.94(0 + 0.968) + 50(6.965)]

= 2 175.48 cientos de BTU para calentar.

116

El mismo razonamiento se aplica para calcular la energía que consume el sistema para enfriar, es decir, con base en la región que se encuentra por debajo del eje X se determinan los límites de integración y posteriormente se resuelve la integral.

Energía para enfriar = dtt 5012

cos200035.17

965.6

= 035.17

965.6 50

12 sen)200(12

tt

= 965.6035.175012

965.6(12

)035.17()200(12

sensen

= 763.94 (0.968 – 0.968) + 50(10.07)

= 763.94 (1.936) + 503.5

= 1478.98 + 503.5

= 975.48 cientos de BTU para enfriar.

El signo negativo indica que la región se encuentra por debajo del eje X, mientras que un signo positivo señalaría que se ubica por encima del eje X. El cálculo de la energía que gasta el sistema de clima artificial se determina mediante la suma de ambos valores, sin considerar su signo, puesto que el sistema gasta energía para calentar y enfriar. Así: Energía total gastada = 1 087.74 + 975.48 + 1 087.74

= 3 150.96 cientos de BTU. De lo anterior se concluye que el sistema de clima artificial en ciertas ocasiones calienta y en otras enfría la casa, pero

¿Cuál es el efecto neto del sistema de clima artificial al cabo de las 24 horas?

¿Calienta más de lo que enfría la casa? Hay dos formas para encontrar el resultado:

117

Una de ellas es obteniendo la integral de 0 a 24.

Efecto neto =

24

0 50

12 cos200 dtt

= 24

0

5012

)200(12

ttsen

= )024(5012

)0(12

)24()200(12

sensen

= 1200 cientos de BTU. Como el signo es positivo, el efecto neto del sistema es que calentó la casa en vez de enfriarla. La otra manera es sumando las integrales correspondientes a las regiones sombreadas.

Efecto neto = A1 – A2 + A3 = 695.6

0

035.17

965.6

24

035.17 )()()( dttfdttfdttf

= 1087.74 – 975.48 + 1087.74 = 1200 cientos de BTU, que es el mismo valor calculado por medio de la integral de 0 a 24 Dado que la integral definida representa el área bajo la curva, o bien, el efecto total de una función la razón de cambio instantáneo y, como las unidades de esa área se obtienen al multiplicar las unidades del eje horizontal por las del eje vertical, lo mismo que cuando se multiplica la base por la altura, su cálculo ofrece muchas combinaciones y, por consiguiente, de aplicaciones en diferentes ramas del conocimiento.

118


Resolver el siguiente problema. En una isla del Pacífico Sur, la temperatura varía regularmente de acuerdo con la

ecuación ttdtdT 2 sen 60

365 2 sen

31

, donde T es la temperatura en °F y t el

tiempo en días. Buscar la ecuación de la temperatura real (sugerencia: integrar dtdT ).


La función que describe la velocidad o razón de cambio instantánea con el que un sistema de clima artificial suministra calor o frío, es:

50 12

cos 200 )( ttf

Por lo tanto, para calcular el efecto neto de consumo de energía tanto para enfriar como para calentar el ambiente, es:

24

0 50

12 cos 200 dtt

Dicha integral definida, representa a la vez el área bajo la curva de la función f(t).

119

3.4 ÁREA ENTRE CURVAS: UTILIDADES Para calcular las utilidades o ganancias de una empresa se deben considerar dos factores fundamentales: los ingresos y los costos. Los ingresos representan el dinero total que entra en la empresa, mientras que los costos representan el total de dinero que sale de la misma. De modo que, si por un lado entra dinero y por otro sale, la diferencia de lo que entra menos lo que sale son las utilidades. Así.

U = I C, Donde:

U : utilidades I : ingresos C : costos Supongamos que una empresa decide patrocinar durante un año a popular cantante. Durante los primeros meses los ingresos aumentaban y los costos disminuían con el transcurso del tiempo. Al término del séptimo mes la situación se revirtió: los ingresos disminuían y los costos aumentaban considerablemente. Los empresarios decidieron realizar un estudio económico a fin de pronosticar el momento más propicio para cancelar los contratos y dar por terminado el negocio. El estudio económico consistió en el registro de datos, primero de ingresos y después de costos, se determinó la razón de cambio promedio de todos los pares de datos consecutivos y se obtuvo la gráfica de los valores calculados. Posteriormente se obtuvo la función que más se aproximaba a la gráfica realizada (razón de cambio instantáneo). Con lo anterior se determinó que la tasa de ingresos mensuales que percibía la empresa estaba representada por la función.

I(t) = 5)6(61 2 t cientos de millones de dólares/mes,

mientras que la tasa de costos mensuales estaba representada por la función

C(t) = 5.05(41 )2

t cientos de millones de dólares/mes

Ahora veamos las diferentes situaciones que se le presentaron a la empresa durante el estudio.

120

Una de ellas es el cálculo de los ingresos durante los primeros cuatro meses de patrocinio. Como la función I(t) representa una razón de cambio instantáneo, si aplicamos la fórmula del problema anterior.

b

a badttf

)(

obtendremos el incremento de los ingresos desde el instante t = 0 hasta el instante t = 4, así:

4

0 40)( dttf

Como se trata de un incremento,

40 , a partir de t = 0, entonces se está obteniendo la

cantidad total del ingreso; antes de t = 0 no había nada más; por consiguiente, los ingresos totales, I, cuando el tiempo está definido en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4 se calculan mediante la integral.

40

I =

4

0

2 5)6(61 t ;

o sea,

40

I = 4

0

3 5)6()3(6

1

tt ,

que es

40

I = )04(5)60()64(181 33 ,

o también

40

I = 20)2168(181

.

Por lo tanto,

40I = 8.444 cientos de millones de dólares (CMD)

121

Los costos totales durante los primeros cuatro meses de patrocinio se obtienen del mismo modo, es decir, también se calcula una integral. Así:

40

C = dtt 5.0)5(414

0

2

,

o sea,

40

C = 4

0

3 5.0)5()3(4

1

tt ,

que es

40

C = )04(5.0)50()54(121 33 ,

o también

40

C = 2)1251(121

.

Por lo tanto,

40C = 12.333 (CMD).

Para calcular las utilidades de la empresa en ese mismo período se debe recordar que:

U = I – C, Donde:

U : utilidades I : ingresos C : costos Entonces las utilidades serán:

404040 CIU ,

o sea, 333.12444.8

40

U ,

o bien, 888.3

40

U CMD

122

Como las utilidades calculadas son negativas, en los primeros cuatro meses se registraron solamente pérdidas. Veamos otro procedimiento Si primero se restan las funciones I(t) y C(t) y después se integra la diferencia obtenida, la integral sería:

4

0 40)( dtCIU

o sea,

dtttU 5.0)5(41 5)6(

614

0 '

22

40

;

así 888.3

40

U CMD,

que representa el mismo valor calculado. Este procedimiento consiste en obtener el área entre dos funciones de t, f y g. Primero se calcula el área bajo la función f (figura 15).

Figura 15.

Después se calcula el área bajo la función g (figura 16).

123

Figura 16. Se restan ambas áreas (figura 17).

Figura 17.

124

Así, si se aplica el cálculo para encontrar dichas áreas se obtienen las siguientes expresiones:

Área bajo la función f = b

adtf

Área bajo la función b

adtgg

Área entre ƒ y g = b

a

b

adtgdtf

.

La última expresión también se puede escribir como:

Área entre ƒ y g = b

adtgf

)(

Al graficar las funciones C(t) e I(t) sobre el mismo plano cartesiano se obtiene la figura 18. El valor de las abscisas, o de los puntos de intersección 2.15 y 8.649 se encontró mediante calculadora. Puedes aproximarte a los mismos valores por medio del método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas.

Figura 18 Únicamente hemos calculado las áreas bajo la curva C(t) e I(t) de 0 a 4 meses, y la diferencia I(t) – C(t), en el mismo periodo.

125

Otra forma para calcular las utilidades de 0 a 4 meses es calculando las utilidades, U = I – C, de 0 a 2.15 meses (figura 18) y las utilidades para 2.15 a 4 meses. Observa que cuando t = 2.15, se tiene el instante en el cual las dos curvas se intersectan, entonces:

15.2015.2015.20 CIU

Al aplicar la forma simplificada, puesto que son los mismos límites de integración, se obtiene:

dtttU 5.0)5(415)6(

6115.2

0

22

15.20

,

o bien,

56.992.115.20

U ,

o también

64.715.20

U CMD.

La figura 19 ilustra este cálculo. La región sombreada representa más costos que ingresos, 7.64 CMD, siendo ésta el significado del signo negativo.

Figura 19

126

Para el siguiente periodo.

415.2415.2415.2 CIU ,

resulta que:

dtttU 5.0)5(415)6(

614

15.2

22

415.2

,

o bien,

77.252.6415.2

U ,

o también

75.3415.2

U CMD.

La figura 20 representa este cálculo.

Figura 20 La región sombreada representa más ingresos que costos, 3.75 CMD.

127

Para calcular las utilidades de 0 a 4 meses se deben sumar las dos utilidades calculadas anteriormente, es decir,

415.215.2040 UUU ,

o sea,

75.364.740

U ,

o bien,

89.340

U CMD.

Llenar por medio de la forma simplificada los espacios en blanco de la siguiente tabla. t(meses) 1 2 4* 5 6 7 8 9 10 12 U(CMD)

Recuerda que la forma para hallar el área entre dos curvas es: b

adtgfA

)( .

En nuestro problema sería

b

abadtCIU

)( .

Al utilizar a = 0 y b = t meses, deberás obtener una tabla como la siguiente. t(meses) 1 2 4* 5 6 7 8 9 10 12 U(CMD) 5.64 3.89* 0.14 8.36 11.25 9

(*) Valor ya calculado

128

De acuerdo con la tabla anterior, para que la empresa comenzara a obtener ganancias, debieron transcurrir cinco meses, puesto que hasta ese momento los ingresos superaban los costos totales, de ahí que el signo de las utilidades totales sea positivo: + 0.14 CMD. Asimismo se puede apreciar en la tabla que debieron transcurrir nueve meses para que la empresa obtuviera el mayor beneficio. Ni antes ni después. Para los empresarios esto significaba estimar un comportamiento futuro, es decir, pronosticar la situación económica de su empresa a corto plazo. Realizar este análisis es fundamental para la toma de decisiones, sobre todo por el apoyo que brinda el manejo de las computadoras, pues así no se corren riesgos innecesarios y puede aumentarse la productividad tanto en los negocios como en otras esferas del saber.

129


Otro de los problemas en donde se muestran las aplicaciones del Cálculo es en las utilidades de una empresa.

Utilidades = Ingresos – Costos

Función que representa la tasa de ingresos mensuales

I(t) = 5.0)6(61 2 t

Función que representa la tasa de costos mensuales

C(t) = 5.0)5(41 2 t

La cantidad total de ingresos en los primeros 4 meses se obtiene de evaluar

I = 444.8 5.0)6(614

0

2

tdt (CMD)

La cantidad total de los costos en los mismos 4 meses resulta de evaluar

C = 333.12 5.0)5(414

0

2

tdt (CMD)

U = I – C

U = 8.444 – 12.333

U = -3.888 CMD

En los primeros 4 meses se registraron solamente pérdidas

130

Otro procedimiento para llegar a los mismos resultados es al resolver la integral:

4

0 )( 888.3 )( CMDdtCIU , cuya interpretación gráfica representa el área entre

las funciones I(t) y C(t) para el intervalo de 4 meses.

U = AT = –7.64 + 3.75 = –3.89 (CMD)

131

3.5 CÁLCULO E INTERPRETACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Existen bacterias patógenas (causan enfermedades) y bacterias inofensivas que tienen importante función en diversos procesos industriales, sin olvidar aquéllas que destacan por su importancia en el equilibrio del mundo viviente y por su aplicación en la medicina. Al registrar cada hora el número aproximado de bacterias que contiene cierto cultivo y, posteriormente calcular la razón de cambio promedio para pares de datos consecutivos, con el fin de graficar los valores encontrados y obtener la función que más se aproxime a la curva trazada, la función que resulta es:

tetf 2 1000)( , Donde: t: medida en horas ƒ(t): número de bacterias/horas. Como ƒ(t) representa la función de la razón de cambio instantáneo, al calcular su integral definida se obtiene el incremento de la población en el periodo definido por los límites de la integración; pero si en lugar de evaluar la integral definida de la función de la razón de cambio instantáneo se calcula una integral indefinida, se obtiene una función que representa el valor de la variable en cualquier instante, t. Con base en la función de la razón de cambio instantáneo ƒ(t) = 1000 e2t bacterias/horas llenar los espacios en blanco de la siguiente tabla:

t (horas)

f(t)

0.0 1000.0 0.1 0.2 1491.8 0.3 0.4 2225.5 0.5 0.6 3320.1 0.7 0.8 4953.0 0.9 1.0 7389.1

bacterias horas

132

La gráfica para todos los puntos de la tabla tiene la siguiente forma:

Figura 21 Ahora determinaremos la integral indefinida de la función de la razón de cambio instantáneo para obtener la función de la población, P(t), que nos proporcionará la cantidad de bacterias en el tiempo, t. Se tiene que:

,)()( dttftP

entonces,

etP 1000)( 2t dt;

Como 1000 es un valor constante se puede colocar fuera de la integral, en consecuencia:

etP 1000)( 2t dt .

Al completar la integral queda:

etP2

1000)( 2t (2) dt,

133

y al evaluar dicha integral se obtiene:

CetP t 2 500)( , Donde:

P(t) representa la función de la población (cantidad de bacterias).

C es la constante de integración, cuyo valor depende de las condiciones específicas del problema. Establezcamos las condiciones del problema a partir de la función de la población:

CetP t 2 500)( , Si se considera que la constante de integración vale cero, entonces,

tetP 2 500)( .


Para la función tetP 2 500)( , llenar los espacios en blanco de la siguiente tabla:

t (horas) P(t) (bacterias) 0.0 0.1 610.7 0.2 0.3 911.1 0.4 0.5 1359.1 0.6 0.7 2027.6 0.8 0.9 3024.8 1.0

134

La gráfica de estos puntos es la siguiente:

Figura 22 Si se considera que la constante de integración toma otros valores además de cero, entonces:

Figura 23.

135

La función CetP t 2 500)( representa una familia de curvas porque la constante de integración puede tomar distintos valores; sin embargo, solamente una de estas curvas es la que caracteriza a nuestra población de bacterias porque es la única que corresponde a las condiciones del problema, que pueden determinarse de la siguiente manera: se observa una muestra de cultivo a través del microscopio y se estima la cantidad de bacterias, a la vez que se determina el instante en que se hizo la observación: Supongamos que en el instante t = 0.6 (horas) se observó la muestra a través del microscopio y se estimó una población de 6660 bacterias. Cuando el instante de observación corresponde a cero horas, se dice que la cantidad de bacterias en ese instante es la condición inicial del experimento. Busquemos las coordenadas (0.6, 6660) en alguna gráfica de la familia de curvas.

Figura 24 De acuerdo con la figura 24, la curva que satisface las condiciones del problema es la que tiene por constante de integración C = 5000. En conclusión:

El valor de la constante de integración, C, puede determinarse solamente si se conoce el valor de la integral, P(t), para un determinado valor de la variable, t.

136

Para determinar analíticamente el valor de la constante de integración, C, se parte de la función de la población:

CetP t 2 500)( . Se sustituye tanto el valor estimado de la población, P(t), como el instante, t, en que fue obtenido. Por lo tanto:

CetP t 2 500)( , se convierte en

Ce )6.0(2 5006660 , igual que

C )32.3(5006660 , o bien

C 16606660 , o también

C16606660 . Al simplificar resulta:

C = 5000 bacterias.


Determinar el valor de la constante C (número de bacterias) para las coordenadas (0.5,7000) correspondientes a la función CetP t 2 500)( . Nota. Recuerda que e = 2.7182

137


La función P(t) = 500 e2t + C, representa una familia de curvas porque la constante de integración puede tomar distintos valores. Si se establecen las condiciones del problema, se puede determinar C.

f(t) = 1000 e2t

función que representa el número e incremento de bacterias que contiene cierto cultivo

La integral definida de f(t)

Se obtiene el incremento de la población de bacterias en el período definido por los límites

La integral indefinida de f(t)

dtetf t2 1000)(

Se obtiene una función que representa la cantidad de bacterias en el tiempo t.

P(t) = 500 e2t + C

Si se calcula

138


Registrar la variable a Intervalos regulares de tiempo

Calcular la razón de cambio promedio de todos los pares de datos consecutivos

Graficar la razón de cambio promedio

Realizar un diagrama de barras

Obtener la función que más se aproxime a la gráfica: función de la razón de cambio instantáneo

Obtener el área bajo la curva, (valor total de la variable)

Integrar la función para encontrar el valor total de la variable (área bajo la curva)

Determinar una variable fenómeno

Por este camino es imposible obtener pronósticos confiables

Por este camino se pueden obtener pronósticos más confiables

139


1. Con base en ƒ(t) = 0.0001 (t – 13)4 – 0.169 (t – 13)2 + 25.7 ºC, encontrar la

temperatura promedio, )(tf , para los siguientes intervalos:

Intervalo (semanas) 026 2652 013 1326 ƒ(t) (ºC)

2. A partir de ƒ(t) = 0.2e0.07t cm3/día calcular la cantidad de insulina suministrada al

paciente.

Intervalo (días)

cm3 de insulina

010 1020 2030 3040 4050 5060

140


A continuación se presenta la solución de las actividades integrales, compara tus respuestas y si tuviste alguna duda regresa al capítulo o bien consulta a tu asesor de contenido. 1.

Intervalo (semanas) 026 2652 013 1326 ƒ(t) (ºC) 16.75 28.95 16.75 16.75

2.

Intervalo (días)

cm3 de insulina

010 6.3594 1020 10.3005 2030 8.662 3040 6.0627 4050 3.8852 5060 2.3637

37.6335

141

R E C A P I T U L A C I Ó N G E N E R A L

INTEGRACIÓN Y APLICACIONES

INTEGRAL INDEFINIDA TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA

CONCEPTO DE

INTEGRAL INDEFINIDA DETERMINACIÓN DE

LA CONSTANTE COMPARACIÓN ENTRE

INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA

ALGUNOS CASOS

BÁSICOS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

CAMBIO DE VARIABLE INTEGRACIÓN POR PARTES INTEGRACIÓN DE

FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES:

-DENOMINADOR FORMADO POR UNA FUNCIÓN LINEAL -DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES LINEALES (DE 1° GRADO) QUE NO SE REPITEN - DENOMINADOR FORMADO POR FACTORES DE 2° GRADO QUE NO SE REPITEN

VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y ÁREA BAJO LA CURVA

INTEGRAL DE LA RAZÓN DE

CAMBIO INSTANTÁNEO ÁREA BAJO LA CURVA ÁREA ENTRE CURVAS:

UTILIDADES CÁLCULO E INTERPRETACIÓN

DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

142

A C T I V I D A D E S D E C O N S O L I D A C I Ó N

En este apartado podrás poner en práctica los conocimientos que has adquirido a lo largo del contenido del fascículo. Lee con atención lo que se te pide antes de resolver los siguientes ejercicios. 1. Responde el siguiente ejercicio.

Sea la función y = f(x) = x3

a) Integra la función derivada.

b) Grafica el resultado del inciso anterior para cuando C =1, C = 0 y C = –2.

2. Coloca los números 1, 2 y 3 en los paréntesis según la técnica de integración

adecuada para resolver la integral respectiva.

a) ( )

dxx25

x2

1. Cambio de variable.

b) ( ) dx3x sen x 2. Integración por partes

c) ( ) dx x3x2x)9x13x4(

23

2

3. Fracciones parciales

d) ( ) dxx2xx)2x3x5(

23

2

143

3. Responde lo siguiente:

a) A partir de ƒ(t) = 200 cos 12

t 50 cientos de BTU/hora, llenar los espacios en

blanco de las siguientes tablas:

t 1 6 8 11 13 18 23 ƒ(t)

Intervalo (meses

*Energía para

calentar

* Energía para

enfriar

*Efecto neto

12 – 24 0 12 3 21

(*) Cientos de BTU.

b) A partir de I(t) = 5)6(61 2 t CMD/mes y de 5.0)5(

41)( 2 ttC CMD/mes,

completar la siguiente tabla:

Intervalo (meses)

*ingresos totales

I(t)

*Costos totales

C(t)

*Utilidades totales

U(t) 1 – 3 3 – 8 8 – 10

* En CMD.

c) A partir de ƒ(t) = 1000 e2t bacterias/hora llenar la siguiente tabla:

Intervalo (horas)

Aumento de la población (bacterias)

Población total (bacterias)

3 – 6 4 – 6 5 – 6

Verificar que 6

3

6

4

6

5 )5()()4()()3()( PdttfPdttfPdttf .

Calcular la constante de integración si se observó a través del microscopio una población de 200000 bacterias al cabo de: 1 hora, 2 horas y 3 horas (tres condiciones específicas).

144


En este apartado podrás comparar tus resultados con los que te presentamos a continuación, asimismo podrás identificar los aciertos y errores obtenidos en las actividades de consolidación. 1. a) Familia de curvas polinomiales de grado 3.

b) La integración es el proceso inverso de la derivación, ya que esto se observa gráficamente; además, se puede tener un número infinito de antiderivadas.

2. a) (1)

b) (2)

c) (3)

d) (3) 3.

a) t 1 6 8 11 13 18 23

ƒ(t) 243.2 50 50 143.2 143.2 50 243.2

Intervalo (meses

*Energía para

calentar

* Energía para

enfriar

*Efecto neto

12 – 24 1087.94 487.94 600.00 0 12 1087.94 487.94 600.00 3 21 795.5 975.89 180.38

(*) Cientos de BTU.

145

b) Intervalo (meses)

*ingresos totales

I(t)

*Costos totales

C(t)

*Utilidades totales

U(t) 1 – 3 4.5 5.6 1.1 3 – 8 23.06 5.42 17.64 8 – 10 6.89 9.16 2.28

* En CMD. c)

Intervalo (horas)

Aumento de la población (bacterias)

Población total (bacterias)

3 – 6 81175679 81450000 4 – 6 79886918 81450000 5 – 6 70364155 81450000

1 (horas) 1 2 3 C (bacterias) 196305 172701 1714

C = constante de integración

146

A C T I V I D A D E S D E G E N E R A L I Z A C I Ó N

Para complementar lo aprendido en este fascículo te recomendamos visitar el Museo “Universum” de Ciudad Universitaria, donde encontrarás aplicaciones y conceptos del Cálculo Diferencial e Integral. Haz una lista de las integrales indefinidas con base en diferentes libros de Cálculo. Pon a germinar unas cuantas semillas de frijol. Para tal efecto introduce algodón en un frasco de vidrio de boca ancha y coloca, separadas por el algodón, las semillas de frijol; posteriormente vacía un poco de agua en el interior del frasco. A los pocos días de iniciado el experimento observa el crecimiento de una de las semillas anotando su altura día con día en una tabla:

día 1 2 3 4 5 6 7 ... altura (cm)

Calcula la razón de cambio promedio de todos los pares de datos consecutivos y grafica los valores de la razón de cambio promedio en una hoja de papel milimétrico para obtener una gráfica como la siguiente:

Figura 25

147

La función que representa esta gráfica anterior es función de la razón de cambio instantáneo, y el área bajo la curva representa la altura total de la planta hasta el día en que se efectúo el último registro. Para calcular el área bajo la curva puedes utilizar el método de barras. Sobre la gráfica anterior dibuja, de izquierda a derecha, barras del mismo ancho cuya altura sea el valor de función en los puntos medios de los intervalos.

Figura 26 Para mejorar la precisión del cálculo del área, puedes aumentar el número de barras disminuyendo el ancho de las mismas.

Figura 27

148

El área bajo la curva se obtiene al sumar el área de todos los rectángulos, obtén esta suma y verifica que el resultado es la altura de tu planta. Para obtener el efecto total de una función que representa un fenómeno dinámico (integral definida o el área bajo la curva) que se encuentre representando gráficamente como el experimento anterior, puedes aplicar el procedimiento (exclusivo para calcular integrales definidas) que se basa en el siguiente razonamiento: El área bajo la curva es proporcional al peso del papel limitado por la misma curva, el eje horizontal y los límites de integración. Entonces, si pesamos el papel bajo la curva, tendremos un indicativo del área buscada. Para obtener el valor numérico del área, es necesario tener una medida que sea considerada como unidad, (un pequeño rectángulo) y posteriormente se divide el peso bajo la curva entre el peso del rectángulo y se multiplica el resultado por el valor que represente dicho rectángulo, es decir, por su área. Procedimiento 1. Sobre papel milimétrico grafica la función. No olvides indicar los límites de integración.

Figura 28 2. Delimita el área sombreada y pésala.

Peso del ejemplo: 7.2 g.

Figura 29

149

3. Recorta un pequeño rectángulo de dimensiones conocidas.

Figura 30 En este caso, el área del rectángulo (base x altura) es A = (6 $/h) (2h), o sea, A = $12. No olvides multiplicar las unidades de los ejes coordenados 4. Pesa al pequeño rectángulo. Para este ejemplo es de 1.8 g.

Figura 31

5. Ahora divide el peso bajo la curva entre el peso del rectángulo. En nuestro caso sería:

48.12.7

gg .

150

6. Multiplica el resultado por el área del rectángulo. 4($12) = $48. No olvides las unidades ($). El resultado representa la integral definida de la función dada. Para mejorar la precisión de tus cálculos utiliza una balanza analítica del laboratorio de física, recorta y pesa papel aluminio en lugar de papel milimétrico, el cual solamente servirá como plantilla después de dibujar sobre él la gráfica. Prueba con funciones sencillas.

dxxa )1( )6

2 .

6

4

2 )1( ) dxxb .

6

3 )2( ) dxxc .

151

B I B L I O G R A F Í A C O N S U L T A D A

BAUM, Alan M. et. al.: Cálculo Aplicado. Limusa, México, 1992. BOSCH, Guerra. et. al.: Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones Cultural, México,

1987. DEL GRANDE, D.: Introducción al Cálculo Elemental. Harla, México, 1976. FLORES, M. y Luque A.: Cálculo Diferencial. Fascículo I. Colegio de Bachilleres, México,

1994. FRANK, A.: Cálculo Diferencial e Integral. (Serie Schaum). McGraw-Hill, México, 1994. GOLDSTEIN, Larry J. et. al.: Cálculo y sus Aplicaciones. Prentice-Hall

Hispanoamericana, México, 1990. GRANVILLE, W. A..: Cálculo Diferencial e Integral. Limusa, México, 1993. JONSON, R. E. et. al.: Cálculo con Geometría Analítica. CECSA, México, 1987. KLEPPNER, D. R.: Curso rápido de Cálculo Diferencial e Integral. Limusa, México, 1975. LEITHOLD, L.: El Cálculo con Geometría Analítica. Harla, México, 1982. LUQUE A. y Flores M.: Cálculo Diferencial. Fascículo III. Colegio de Bachilleres, México,

1994.

152

METT, C. L. et al.: Cálculo con Aplicaciones. Limusa, México, 1991. PHILLIPS, H. B.: Elementos de Cálculo Infinitesimal. UTHEA, México, 1960. PURCELL, E. J.: Cálculo Diferencia Integral. Prentice Hall, México, 1989. SWOKOWSKI, E. W.: Introducción al Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1979. ZILL, Dennis G. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica, México,

1987.

DIRECTORIO

Dr. Roberto Castañón Romo Director General

Mtro. Luis Miguel Samperio Sánchez

Secretario Académico

Lic. Filiberto Aguayo Chuc Coordinador Sectorial Norte

Lic. Rafael Torres Jiménez

Coordinador Sectorial Centro

Biol. Elideé Echeverría Valencia Coordinadora Sectorial Sur

Dr. Héctor Robledo Galván

Coordinador de Administración Escolar y del Sistema Abierto

Lic.José Noel Pablo Tenorio Director de Asuntos Jurídicos

Mtro. Jorge González Isassi Director de Servicios Académicos

C.P. Juan Antonio Rosas Mejía Director de Programación

Lic. Miguel Ángel Báez López Director de Planeación Académica

M.A. Roberto Paz Neri Director Administrativo

Lic. Manuel Tello Acosta Director de Recursos Financieros

Lic. Pablo Salcedo Castro

Unidad de Producción Editorial

compendio fascicular cÁlculo diferencial e integral ii · servirá de base en el estudio de la...

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