1

Comunicaciones II

Ejemplos Tema 2Transmisión digital a través de canales AWGN

Javier Rodríguez Fonollosa y Margarita Cabrera Beán

29/09/2006 COM II T2-E2

Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales

• Cálculo exacto (símbolos equiprobables):

• Recordando el criterio MAP (Todos tienen la misma energía media):

• En receptores MAP la señal recibida condicionada a un símbolo se expresa como:

1 2

0000 ; ;

0 0

s

sM

s

EE

E

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

s s s

{ }( ) { }( )2

0

0 2 2

2

ˆ argmin ln Pr argmax , ln Pr

argmin argmax , argmax

m mE Nm m mN

Tm m m

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= − = =

m m

m m m

y s

s s

s s s

s s y s s

y s y s y s

( ) ( ) ( )210

/ 2 00

11 1 1 12| , ; ( | ) expL

NL NN

N fπ

−= + = − y sy s s n s I y s∼

2

29/09/2006 COM II T2-E3

Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales (II)

• Si el primer símbolo ha sido transmitido:

• La decisión se toma a partir del máximo de las correlaciones:

10

0

sE⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

s

( )( )

0

0

1 11 1 1 1 1 2

1 12

, = ; ,

, = ; 0, (para 1)s s

s s

NTs sE E

NTm m m m mE E

E y y N E

y y N m

β

β

= = + ∼

= = ≠

y s y s

y s y s ∼

( ) ( )

1 1

1 2

( )0 0

0 0

0 0

T T T Tm m m m

s Ls sE E Eβ β β

= + = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y s s n s s s n s

argmax , argmaxm my=m ms s

y s

29/09/2006 COM II T2-E4

Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales (III)

• De esta forma la prob. de decisión correcta en el primer símbolo es:

1 1

1 1

1 2

1 1

1 2

1 1 1argmax ,

2 1 3 1 1

1 2 1 1 2

1 1 2 1

1 Pr( | ) Pr( | ) ( | )

La región de integración se define por , ,

( , , , | )

( | ) ( | )

m

M

M

M

y y

M My y y

y y

y y y

e e f dy

y y y y y y

f y y y dy dy dy

f y f y f

∈ℜ ⇔ =

∞

=−∞ =−∞ =−∞

∞

=−∞ =−∞ =−∞

− = = =

< < <

=

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

smy s y s

s s y s

s

s s

1 1

1 2

1 2 1

1 1 2

2 1 2 1 1 1 1

1

2 1 2 1 1 1

( | )

( | ) ( | ) ( | )

1 ( | ) ( | )

M

M M

y y

M My y y

M

y y y

y dy dy dy

f y dy f y dy f y dy

f y dy f y dy

∞

=−∞ =−∞ =−∞

−∞ ∞

=−∞ =

=

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

s

s s s

s s

3

29/09/2006 COM II T2-E5

Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales (IV)

• Continuando resulta:

• La expresión exacta resulta demasiado complicada y se recurre a la cota de la unión.

( )

[ ] ( )

1 2 1

211 1

2

1 1

1

1 1 2 1 2 1 1 1

1 1

1 11 1 1 122

12

1 1022

1 Pr( | ) Pr( | ) 1 ( | ) ( | )

1 ( ) ( | ) 1 ( ) exp

1 ( ) exp 2 /

s

M

y y y

M My Ey y

y y

M

sx

e e f y dy f y dy

Q f y dy Q dy

Q x x E N dx

σ σπσ σ

π

−∞ ∞

=−∞ =

− −∞ ∞−

=−∞ =−∞

−∞

=−∞

⎡ ⎤− = = − =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫

s s s s

s

( ) ( ) ( )2

0 00

log2

( ) ( 1) ( 1) ( 1)MIN b bd E E MN NN

P e M Q M Q b M Q≤ − = − = −

29/09/2006 COM II T2-E6

Probabilidad de Error de modulaciones de fase• Supongamos una distribución de símbolos en el

espacio de la señal de dimensión L=2 en la que todos ellos tienen la misma energía.

• La distancia mínima se maximiza mediante:

1s

Ms

1ℜ

( ) ( )1

21

2 22

1

1 1

1

2 22 1 2 cos( )

2 202

( ) ( | ) 1 ( | )

1 ( | )

cos( )1 exp

arctan sen( )s s

Mr E E rr

yy

M

P e P e s P e s

f dy

r y y y rdrd

y r

π

θ

πσ σπ

θθ

θ θ

∈ℜ

∞+ −

−

= = − =

= − =

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥= = − − =⎢ ⎥= =⎣ ⎦

∫

∫ ∫

yy s

( )( )( )2

1

( 1)2

( 1)2

1

cos

sen

arctan

ms M

m ms M

yy

E

E

M

π

π

π

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

∈ℜ ⇔ <

s

y

sE

2s

4

29/09/2006 COM II T2-E7

Probabilidad de Error de modulaciones de fase (II)

• Expresión aproximada (no es una cota):

• Utilizando codificación Gray:

( )( ) ( )2

00

1 2

2 sen( ) 2 log

2 / 2

( ) ( | ) 2

2 2 sen( )

MIN

s bM

d

E E MN MN

P e P e s Q

Q Qπ

σ

π

= ≈ =

=

2 sen( )MIN s Md E π=( )2

0

2 log

2

2 sen( )log

bE MN MBER Q

Mπ≈

2s

1s

Ms

1ℜ

MINd

29/09/2006 COM II T2-E8

Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas)

• Se utiliza una distribución de símbolos en el espacio de la señal de dimensión L=2 donde los bits se distribuyen de forma independiente en cada dimensión:

• De esta forma en cada dimensión se tiene el equivalente a una modulación PAM de dimensión

( )222 ; 2 2b bb b M M′′ ′= = = =

M M′ =

1 1 2 2( ) [ ] ( ) [ ] ( )n

s t n t nT n t nTα ϕ α ϕ∞

=−∞

= − + −∑

2y

1yEjemplo con:

4 2 216 2 2 ; 44 2

M M Mb b

× ′= = = = =′= =

3d

d

5

29/09/2006 COM II T2-E9

Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas)(II)

• La expresión de los símbolos resulta:

1

2

4116

42

PAMmQAM

m PAMm

s yys

−−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

s

2y

1y1s 2s 3s 4s

00 01 11 1000

00

00

00

01

01

01

01

11

11

11

11

10

10

10

1000 00 00 00

01 01 01 01

11 11 11 11

10 10 10 10

1s 2s 3s 4s

00 01 11 10

4 2 216 2 2 ; 44 2

M M Mb b

× ′= = = = =′= =

29/09/2006 COM II T2-E10

Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas) (III)

• Cálculo de la energía por símbolo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

16

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1

16 162 216 16 16

1 1

4 4 2 24 4

1 1

4 4 4 42 24 4

1 1 1 1

4 42 24 4

1 1

4

1Pr( )16

116

116

1 4 416

14

QAMQAM QAM QAM

m m msm m

PAM PAMm m

m m

PAM PAMm m

m m m m

PAM PAMm m

m m

PAMm

E

s s

s s

s s

s

−− − −

= =

− −

= =

− −

= = = =

− −

= =

−

= = =

= + =

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= + =⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

s s s

( ) 42

1 2

4 42 24

1 1

1 24

PAMPAM

m sm m

s E −−

= =

+ =∑ ∑

1

2

4116

42

PAMmQAM

m PAMm

s yys

−−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

s

6

29/09/2006 COM II T2-E11

Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas) (IV)

• Cálculo de energía de bit:

• Recordando la BER para 4-PAM:

• Puesto que los 4 bits de 16-QAM se reparten en dos 4-PAM de 2 bits:

( )0

44 34 5

bEPAMNBER Q−

16 41

4 41 1

16 4

2

1 2 14 4 2

QAM PAMm m

M QAM PAM PAMm m m

s

QAM PAMb b bs s

E E

E E E E E E

− −

− − −− −

′

=

= = = = =

s

s

( )0

416 4 4 4 34 5

1 12 2

bEQAM PAM PAM PAMNBER BER BER BER Q− − − −= + =

29/09/2006 COM II T2-E12

Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas) (V)

• Relación entre las energías de símbolo y bit

• Cálculo de la BER. Vimos que el el caso de PAM con codificación Gray:

• La expresión de la BER para cada componente coincide con la BER total

( )( ) ( ) ( )

22 2

2 0 2 0

2 2

0 2 02

6 log62 2 2 2log log1 1

3log 3log1 4 11 log 1log

4 1

M PAMb b

b b

E EMbM MM M N M M NM M

E EM MMM N M M NM M M

BER Q Q

Q Q

′−′ ′′′ ′− −

′ ′ ′ ′′ ′− −

−− −

⎛ ⎞≈ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = −

1 1 1

1 1

1

2

2

1 2 1

M QAM M PAM M PAM M PAMm m m m

M QAM M PAM M PAMm m m

M PAMM QAM mm M PAM s s s

m

M QAM M PAMb b bs s

sE E E E

s

E E E E E Eb b b

′ ′ ′− − − −

′ ′− − −

′−−

′−

′− −′

⎛ ⎞= ⇒ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = = =′

s

s

s

7

29/09/2006 COM II T2-E13

Control 23/11/01: Sistema de transmisión en el que la varianza del ruido depende del símbolo

• Primer caso: L=1

– 1) Regla de decisión MAP

21 1 1 02 2

22 2 2 12 2

2 21 0

( ) [ ] ( ) ; [ ] ; 1/ 22

[ ] | | | ( , )

[ ] | | | ( , )

2

k

d d

d d

ds t k t kT k p

k s s s N

k s s s N

α ϕ α

β σ

β σ

σ σ

∞

=−∞

= − = ± =

= = − + −

= = +

=

∑y y

y y

∼

∼

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

21

21 0

21

22 1

2 21 1

2 20 10 1

/ 21 122

/ 21 122

/ 2 / 211 1 1 12 22 2

2

expargmax ( | )Pr( ) argmax ( | )

exp

exp exp

m m

y d

m m my ds s

y d y d

f s s f sπσ σ

πσ σ

πσ πσσ σ

+

−

+ −

⎧ −⎪= = ⎨

⎪ −⎩

>− −

<

y y

ss

29/09/2006 COM II T2-E14

Control 23/11/01 (II)

– 2) Cálculo de los umbrales para: 2 2 20 12 dσ σ= =

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

/ 2 / 212

/ 2 / 2122

2 2 24 4

2 24

1

2

exp 2 exp

ln 2

ln 2 2

3 ln 2 0

Ecuación de segundo grado 0.14113.1411

d dd d

d dd d

d d

d

d d d

d d

dd

γ γ

γ γ

γ γ γ γ

γ γ

γγ

+ −

+ −

− = −

− = −

− + + = − − +

− + − =

= −=

8

29/09/2006 COM II T2-E15

Control 23/11/01 (III)

Representación gráfica e interpretación de la probabilidad de error:

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

0

2

4

6

8

10

12

x 10-4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

0

2

4

6

8

10

12

x 10-4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1ℜ 1ℜ2ℜ 2ℜ 1ℜ

1

2

0.14113.1411

dd

γγ= −=

2s1s

d

29/09/2006 COM II T2-E16

Control 23/11/01 (IV)

– Diseño resultante:

– 3) Cálculo de la probabilidad de error:

( )tt −ϕϕ

kTtt dk +=

( ) [ ]kyty k =

Detector MAP

2/ˆ ó 2/ˆ

21

21

dyydy−=⇒<<

+=⇒<<αγγ

αγγα̂( )tt −ϕϕ

kTtt dk +=

( ) [ ]kyty k =

Detector MAP

2/ˆ ó 2/ˆ

21

21

dyydy−=⇒<<

+=⇒<<αγγ

αγγα̂

[ ]

1 11 22 2

1 11 2 1 1 2 2 22 2

( ) ( | ) ( | )

( | ) ( | ) ( | )

BER P e P e s P e s

P y s P y s P y sγ γ γ γ

= = + =

= < < + < + <

9

29/09/2006 COM II T2-E17

Control 23/11/01 (V)

– Cálculo de la probabilidad de error

– Aproximándolo por los dos términos más significativos:

( )( ) ( )( ) ( )( )dydydy dydydy ∫∫∫+∞

−

∞−

−+ −+−+−2

21

21

21

2

20

22

1

22/

21

22/

21

22/

20

exp2

121exp

21

21exp

21

21

γσ

γ

σσ

γ

γ πσπσπσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

1

2

1

1

0

2

0

121 2/2/2/2/

σγ

σγ

σγ

σγ dQdQdQdQ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ddQ

ddQ

ddQ

ddQ 26411.22641.0641.3359.0

21

=

=

≅BER ( ) ( )( )905.0359.021 QQ + ( )1841.03594.02

1 += =0.2717

29/09/2006 COM II T2-E18

Control 23/11/01 (VI)

– 4) Comparación con la BER resultante de situar un único umbral en el origen:

( ) ( )

1 1 10 1 22 2 2

0 1

12

/ 2 / 2(0 | ) ( 0 | )

0,5 0,7071 0,2737 (inferior al 2%)

d dBER P y s P y s Q Q

Q Q

γ σ σ=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= < + < = + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

d1411.01 −=γ 01 −=γ d1411.01 −=γ 01 −=γ

1A

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

d1411.01 −=γ 01 −=γ d1411.01 −=γ 01 −=γ

1A

10

29/09/2006 COM II T2-E19

Control 23/11/01 (VII)

• Segundo caso: L=21 2

1 1 2 22 2

2 21 0

1 1 1 1 2 2 2 22 21 1

20

3 3 3 3 20

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ;

| |

0 0| | , ; | | ,

0 0

0| | ,

0

d

m dn

m m m

s t n t nT n t nT

s

N N

N

αα ϕ α ϕ

α

σ σσ σ

σσ

∞

=−∞

±⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ±⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ s

y s s n

y s s n s s y s s n s s

y s s n s s

∼ ∼

∼21

4 4 4 4 20

0 ; | | ,

0N

σσ

⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y s s n s s∼

(1,1)

(1,0)(0,0)

(0,1)

d/2

S1

S4S3

S2

29/09/2006 COM II T2-E20

Control 23/11/01 (VIII)

• Ante la dificultad de su cálculo se proporciona:

Que determina la partición

argmax ( | )Pr( )m

m m i if = ⇔ ∈ℜs

y s s s yS1S2

S3 S4

-4d 0 +4d

+4d

0

-4d

y1

y2

S3 S3

S3

S4

S2

argmax ( | )Pr( )m

m mfs

y s s

El cuadrado cuyo máximo viene dado por S1, se halla delimitado por los puntos: (-0.14d, -0.14d), (-0.14d, +3.14d), (+3.14d, -0.14d), (+3.14d, +3.14d).

11

29/09/2006 COM II T2-E21

Control 23/11/01 (IX)

• Cálculo de la prob. de error exacta condicionada a s2:

S1S2

S3 S4

-4d 0 +4d

+4d

0

-4d

y1

y2

S3 S3

S3

S4

S2

2 3 4 2 1 2

2 2 2 2

1 2 2

( | ) ( | ) ( | )( 3,14 | ) ( 0,14 | )( 0,14 3,14 ; 0,14 3,14 | )

P e P PP y d P y dP d y d d y d

= ∈ℜ ℜ + ∈ℜ == > + < − ++ − < < − < <

s y s y ss s

s

∪

20

2 2 2 2 21

0| | ,

0N

σσ

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

y s s n s s∼

29/09/2006 COM II T2-E22

Control 23/11/01 (X)

• Resulta:

• Considerando

2 3 4 2 1 2( | ) ( | ) ( | )P e P P= ∈ℜ ℜ + ∈ℜ =s y s y s∪

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

110011

64.064.2164.336.064.064.2σσσσσσ

dQdQdQdQdQdQ

22 201 0 0 ; ;

2 4 2s

bE NdE Nσ σ= = = =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0000

535184.0277.376.55NEQ

NEQ

NEQ

NEQ bbbb

≈

12

29/09/2006 COM II T2-E23

Control 23/11/01 (XI)

• Cálculo de la prob. de error aproximada condicionada a s2:

2

1 2 2 2 1 2 2

0 1 0 1

( | )( 0 | ) ( 0 | ) ( 0; 0 | )

/ 2 / 2 / 2 / 2

P eP y P y P y y

d d d dQ Q Q Qσ σ σ σ

== > + < − > < =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ss s s

20

2 2 2 2 21

0| | ,

0N

σσ

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

y s s n s s∼

(1,1)

(1,0)(0,0)

(0,1)

d/2

S1

S4S3

S2

29/09/2006 COM II T2-E24

Control 23/11/01 (XII)

• Considerando

Resulta

• Tabla resumen

22 201 0 0 ; ;

2 4 2s

bE NdE Nσ σ= = = =

0 0

2 b bE EBER Q Q

N N⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Argumento Q) MAP Sub-óptimoPérdida de

0NEb

en lineal

Pérdida de 0N

Eb

en dBMayor área

0.51840N

Eb

0NEb ( )5185.0log10 10

-2.8 dB

Menor área3.277

0NEb 2

0NEb ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2277.3log10 10

+2.14 dB

13

29/09/2006 COM II T2-E25

Ejercicio 4 (Colección de problemas)

• Transmisión del mismo bit mediante los dos elementos de la base (redundancia) con bits equiprobables:

( ) 11 1 1 2

1

1( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ;

1Caso ruido gaussiano:

mn

s t n t nT n t nTα

α ϕ α ϕα

∞

=−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∑ s

( ) ( ) ( )( )

2 21 2

2 0 0

/ 2 2 200 1 2

0 0

0 01 1 1 1 2 2 2 2

( 1) ( 1)11

1

( 1) ( 1)12

|

1 0 1 0| | , ; | | ,

0 1 0 12 2

( | ) exp( | ) exp

( | ) expm

L

m m

y yN N

m NN y yN N

N NN N

ff

f

π

π

π

− + −

−

+ + +

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎧ = −⎪= − ⇒ ⎨⎪ = −⎩

y s

y s s n

y s s n s s y s s n s s

y sy s

y s

∼ ∼

29/09/2006 COM II T2-E26

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (II)

• Cálculo de las regiones de decisión:

1s

2s

1ℜ

2ℜ

( ) ( )2 2 2 21 2 1 2

0 0 0 0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 11 2

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2

1 2

( | ) ( | ) exp exp

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2

0

y y y yN N N Nf f

y y y yy y y y

y y

π π− + − + + += ⇒ − = −

− + − = + + +− − = +

+ =

y s y s

1y

2y

1 2 0y y+ =

d

1

Comparándolo con el caso sin redundancia(equivalente a considerar tan sólo una dimensión):

/ 2 2( )

/ 2 1( )

dBER P e Q Q

dBER P e Q Q

σ σ

σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

11−

1−

1

14

29/09/2006 COM II T2-E27

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (III)

• Expresando la probabilidad de error en función de le energía por bit:

1s

2s

1ℜ

2ℜ

1y

2y

1 2 0y y+ =

d2

1

11

0

Sin redundancia

42/ 2

b s

b

dE E

EdBER Q Q

Nσ

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 0

0

; 4 2

2/ 2( )

s b

b

NdE E

EdBER P e Q QN

σ

σ

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11−

1−

1

29/09/2006 COM II T2-E28

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (IV)

• Sin embargo en el problema el ruido es Laplaciano y se nos proporciona la función densidad de probabilidad en el espacio de la señal para cada componente:

• Además se indica que son independientes entre si. Se pide en primer lugar la función densidad de probabilidad del vector de ruido n:

1 2

1

2

1 2

11

1 1( ) ; ( )2 2

my

f e f eβ β

ββ

β β− −

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = ± + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

s n

( )1 21 21 1 1 2

1 1 1( ) ( , ) ( ) ( ) 2 2 4

f f f f e e e β ββ ββ β β β − +− −= = = =n

15

29/09/2006 COM II T2-E29

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (V)

• A continuación se pide la función densidad de probabilidad de la señal recibida y condicionada a cada uno de los posibles símbolos transmitidos:

( )

( )

( )

1 2

1 2

1 2

1 1

11 1

2 1 11

12 2

1 122

, 1 1

1|

1 1( | )1 4|1 1( | )

41( ) ( , )4

y y

y y

f e

f ef f e β β

β β

ββ

ββ

β β

− − + −

− + + +

− +

⎫⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪=⎪− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪= + = + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ =

⎪= = ⎪

⎪⎭

y

y

n

y s s n

y sy s s n

y sn

29/09/2006 COM II T2-E30

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (VI)

• En el apartado c) se pide una demostración vista en la teoría (definición del criterio MAP).

• Cálculo de las regiones de decisión:

{ } ( )( ) { } ( ) { }

( ) { }en donde el la función de máxi

|

m

ˆ argmax Pr | argmax Pr argmax | Pr

| a verosimilitud (ML) y

es la probabilidad "a priori" de cada símbolo

Pr

mm m m m

m m

m

ff

f

f

⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦m m m

yy

s s sy

y

y ss s y s y s s

y

y s s

s

( ) ( )

( ) ( )

11 2 1 2

2

1

2

1

2

1 1 1 11 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1( | ) ( | )4 4

1 1 1 1

1 1 1 1

y y y yf e e f

y y y y

y y y y

− − + − − + + +>= =

<

>− − + − − + + +

<

<− + − + + +

>

s

y ys

s

s

s

s

y s y s

16

29/09/2006 COM II T2-E31

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (VII)

• Representación de las regiones: 1

2

1 2 1 21 1 1 1y y y y<

− + − + + +>

s

s

1s

2s

1ℜ

2ℜ

1y

2y

11−

1−

1

Indiferente

Indiferente

29/09/2006 COM II T2-E32

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (VIII)

• Deducción de la región indiferente:

( )( )( )( )

1

2

1

2

1

2

1 1 1

2 2 21

1 1 12

2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 11 1 11

1 1 111

Para el caso:

la condición:

equival

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0

e a:

y y yy y yy

y y yyy y y

y y y y

y y y y

⎧ ⎫− = − = −⎪ ⎪− = − − = − +> ⎫ ⎪ ⎪⇒⎬ ⎨ ⎬+ = + = +< − ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = − + = − −⎩ ⎭

≤− + − + + +

≥

≤− − + + − −

≥

≤≥

s

s

s

s

s

s

1s

2s

1ℜ

2ℜ

1y

2y

11−

1−

1

Indiferente

Indiferente

17

29/09/2006 COM II T2-E33

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (IX)

• Se propone simplificar la división de regiones a la expresada por las ecuaciones:

1 1 2

2 1 2

: ( ) 0: ( ) 0

R y yR y y

+ >+ <

1s

2s

1ℜ

2ℜ1y

2y

11−

1−

1

Indiferente

Indiferente

1s

2s

1ℜ

2ℜ1y

2y

11−

1−

1

29/09/2006 COM II T2-E34

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (X)

• Puesto que la nueva regla de decisión es igualmente óptima se define la variable de decisión:

• En ausencia de ruido:

• El umbral se sitúa en 0 y por tanto:

1 2r y y= +

1 2

1 1 21 1 2

r y y+ =⎧

= + = ⎨− − = −⎩

y

2− 2

2s 1s

01

1 1 2 2 1 220

( ) Pr( ) ( | ) Pr( ) ( | ) ( | ) ( | )BER P e P e P e f r dr f r dr∞

−∞

⎡ ⎤= = + = +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫s s s s s s

18

29/09/2006 COM II T2-E35

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XI)

• Cálculo de la función densidad de probabilidad condicionada:– Hemos visto:

– Por tanto:

– Como es habitual una vez se condiciona al símbolo transmitido, la única componente aleatoria de y es la componente de ruido, suma de las componentes de ruido originales. Además (tal y como se indica en el enunciado) dado que las componentes originales de ruido son independientes:

1 2 1 22r y y β β= + = ± + + r

2− 2

2s 1s

1 1 2

2 1 2

| 2 2| 2 2r

rβ β ββ β β

= + + = += − + + = − +

ss

1 2

1 1( ) ( ) ( ) 2 2

f f f e eβ ββ β ββ β β − −= ∗ = ∗

29/09/2006 COM II T2-E36

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XII)

• Cálculo de la convolución:

• Considerando que la autoconvolución es par:

1 2

0 0 0

0 0

( 1)21 12 2 4

1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 4

14

14

14

x x

x xx x

x x x x x x

f f f e e e e dx

e e dx e e dx

e e e dx e e e dx e e e dx

e e e e e

β β ββ β β

β β

β

β β β β

β

ββ β β β β

β β β

β

∞− − − − −

−∞

∞ ∞− − − +− −

>

∞ ∞− − − − − − −

+− − − −

= ∗ = ∗ = =

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( 1)4( )f eβ β

β β + −=

19

29/09/2006 COM II T2-E37

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XIII)

• Cálculo de la función densidad de probabilidad condicionada:– Hemos visto:

r

2− 2

2s 1s

( 2 1) ( / 2 1)2 / 21 1 2 1 4 4

( 2 1) ( / 2 1)2 / 22 1 2 2 4 4

| 2 2 ; ( | )

| 2 2 ; ( | )

r r dr r d

r r dr r d

r f r e e

r f r e e

β β β

β β β

− + − +− − − −

+ + + +− + − +

= + + = + = =

= − + + = − + = =

s s

s s

( 1)4( )f eβ β

β β + −=

[ ]1 2 2 20

( / 2 1) / 2 / 2/ 2 24 40

1( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )2

r d r d dd

P e P e s P e s P e s f r dr

e dr e

∞

∞ + + − + −+

= + = = =

= =

∫

∫

s

d

29/09/2006 COM II T2-E38

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XIV)

• Cálculo en el caso de no utilizar diversidad– En este caso:

y

1− 1

2s 1s

1

1

1 / 21 11 1 2 2

/ 212 2 2

| 1 ; ( | )

| 1 ; ( | )

y y d

y d

y f y e e

y f y e

β

β

− − − −

− +

= + = =

= − + =

s s

s s

12( )f e β

β β −=

[ ]

1 1

1 2 2 20

/ 2 / 2120

1( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )2

12

y d d

P e P e s P e s P e s f y dy

e dy e

∞

∞ − + −

= + = = =

= =

∫

∫

s

1d

20

29/09/2006 COM II T2-E39

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XV)

• Comparación entre ambos casos:

y

1− 1

2s 1s

1 / 2 11

1 1( ) 0.18392 2

dP e e e− −= = ≈

1d

r

2− 2

2s 1sd

/ 2 2/ 2 24( ) 0.1353ddP e e e− −+= = ≈

29/09/2006 COM II T2-E40

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XVI)

• Comparación entre ambos casos normalizando con respecto a la energía por bit :

– Cuando no se transmite con redundancia:

– Cuando se utiliza redundancia se dobla la energía por bit:

y

bE− bE

2s 1s1d

r

2 bE

2s 1sd

1

2/ 21

1 11 1( )

4 2 2bEd

bd

E P e e e−−= ⇒ = =

22 2 2/ 2/ 2 2

4 4( )8

b bE Eddb

dE P e e e+ −−+= ⇒ = =

2 bE−

Con redundancia Sin redundancia

21

29/09/2006 COM II T2-E41

Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XVII)

• Representación gráfica de la prob de error normalizada

2 2 24( ) b bE EP e BER e+ −= =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Con redundancia

Sin redundancia

BER

bE

Cruce

1 11( )2

bEP e BER e−= =