1
Comunicaciones II
Ejemplos Tema 2Transmisión digital a través de canales AWGN
Javier Rodríguez Fonollosa y Margarita Cabrera Beán
29/09/2006 COM II T2-E2
Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales
• Cálculo exacto (símbolos equiprobables):
• Recordando el criterio MAP (Todos tienen la misma energía media):
• En receptores MAP la señal recibida condicionada a un símbolo se expresa como:
1 2
0000 ; ;
0 0
s
sM
s
EE
E
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s s s
{ }( ) { }( )2
0
0 2 2
2
ˆ argmin ln Pr argmax , ln Pr
argmin argmax , argmax
m mE Nm m mN
Tm m m
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
= − = =
m m
m m m
y s
s s
s s s
s s y s s
y s y s y s
( ) ( ) ( )210
/ 2 00
11 1 1 12| , ; ( | ) expL
NL NN
N fπ
−= + = − y sy s s n s I y s∼
2
29/09/2006 COM II T2-E3
Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales (II)
• Si el primer símbolo ha sido transmitido:
• La decisión se toma a partir del máximo de las correlaciones:
10
0
sE⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
s
( )( )
0
0
1 11 1 1 1 1 2
1 12
, = ; ,
, = ; 0, (para 1)s s
s s
NTs sE E
NTm m m m mE E
E y y N E
y y N m
β
β
= = + ∼
= = ≠
y s y s
y s y s ∼
( ) ( )
1 1
1 2
( )0 0
0 0
0 0
T T T Tm m m m
s Ls sE E Eβ β β
= + = + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y s s n s s s n s
argmax , argmaxm my=m ms s
y s
29/09/2006 COM II T2-E4
Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales (III)
• De esta forma la prob. de decisión correcta en el primer símbolo es:
1 1
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1 1argmax ,
2 1 3 1 1
1 2 1 1 2
1 1 2 1
1 Pr( | ) Pr( | ) ( | )
La región de integración se define por , ,
( , , , | )
( | ) ( | )
m
M
M
M
y y
M My y y
y y
y y y
e e f dy
y y y y y y
f y y y dy dy dy
f y f y f
∈ℜ ⇔ =
∞
=−∞ =−∞ =−∞
∞
=−∞ =−∞ =−∞
− = = =
< < <
=
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
smy s y s
s s y s
s
s s
1 1
1 2
1 2 1
1 1 2
2 1 2 1 1 1 1
1
2 1 2 1 1 1
( | )
( | ) ( | ) ( | )
1 ( | ) ( | )
M
M M
y y
M My y y
M
y y y
y dy dy dy
f y dy f y dy f y dy
f y dy f y dy
∞
=−∞ =−∞ =−∞
−∞ ∞
=−∞ =
=
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
s
s s s
s s
3
29/09/2006 COM II T2-E5
Probabilidad de Error de modulaciones M-Ortogonales (IV)
• Continuando resulta:
• La expresión exacta resulta demasiado complicada y se recurre a la cota de la unión.
( )
[ ] ( )
1 2 1
211 1
2
1 1
1
1 1 2 1 2 1 1 1
1 1
1 11 1 1 122
12
1 1022
1 Pr( | ) Pr( | ) 1 ( | ) ( | )
1 ( ) ( | ) 1 ( ) exp
1 ( ) exp 2 /
s
M
y y y
M My Ey y
y y
M
sx
e e f y dy f y dy
Q f y dy Q dy
Q x x E N dx
σ σπσ σ
π
−∞ ∞
=−∞ =
− −∞ ∞−
=−∞ =−∞
−∞
=−∞
⎡ ⎤− = = − =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
∫
s s s s
s
( ) ( ) ( )2
0 00
log2
( ) ( 1) ( 1) ( 1)MIN b bd E E MN NN
P e M Q M Q b M Q≤ − = − = −
29/09/2006 COM II T2-E6
Probabilidad de Error de modulaciones de fase• Supongamos una distribución de símbolos en el
espacio de la señal de dimensión L=2 en la que todos ellos tienen la misma energía.
• La distancia mínima se maximiza mediante:
1s
Ms
1ℜ
( ) ( )1
21
2 22
1
1 1
1
2 22 1 2 cos( )
2 202
( ) ( | ) 1 ( | )
1 ( | )
cos( )1 exp
arctan sen( )s s
Mr E E rr
yy
M
P e P e s P e s
f dy
r y y y rdrd
y r
π
θ
πσ σπ
θθ
θ θ
∈ℜ
∞+ −
−
= = − =
= − =
⎡ ⎤= + =⎢ ⎥= = − − =⎢ ⎥= =⎣ ⎦
∫
∫ ∫
yy s
( )( )( )2
1
( 1)2
( 1)2
1
cos
sen
arctan
ms M
m ms M
yy
E
E
M
π
π
π
−
−
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
∈ℜ ⇔ <
s
y
sE
2s
4
29/09/2006 COM II T2-E7
Probabilidad de Error de modulaciones de fase (II)
• Expresión aproximada (no es una cota):
• Utilizando codificación Gray:
( )( ) ( )2
00
1 2
2 sen( ) 2 log
2 / 2
( ) ( | ) 2
2 2 sen( )
MIN
s bM
d
E E MN MN
P e P e s Q
Q Qπ
σ
π
= ≈ =
=
2 sen( )MIN s Md E π=( )2
0
2 log
2
2 sen( )log
bE MN MBER Q
Mπ≈
2s
1s
Ms
1ℜ
MINd
29/09/2006 COM II T2-E8
Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas)
• Se utiliza una distribución de símbolos en el espacio de la señal de dimensión L=2 donde los bits se distribuyen de forma independiente en cada dimensión:
• De esta forma en cada dimensión se tiene el equivalente a una modulación PAM de dimensión
( )222 ; 2 2b bb b M M′′ ′= = = =
M M′ =
1 1 2 2( ) [ ] ( ) [ ] ( )n
s t n t nT n t nTα ϕ α ϕ∞
=−∞
= − + −∑
2y
1yEjemplo con:
4 2 216 2 2 ; 44 2
M M Mb b
× ′= = = = =′= =
3d
d
5
29/09/2006 COM II T2-E9
Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas)(II)
• La expresión de los símbolos resulta:
1
2
4116
42
PAMmQAM
m PAMm
s yys
−−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
s
2y
1y1s 2s 3s 4s
00 01 11 1000
00
00
00
01
01
01
01
11
11
11
11
10
10
10
1000 00 00 00
01 01 01 01
11 11 11 11
10 10 10 10
1s 2s 3s 4s
00 01 11 10
4 2 216 2 2 ; 44 2
M M Mb b
× ′= = = = =′= =
29/09/2006 COM II T2-E10
Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas) (III)
• Cálculo de la energía por símbolo:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
16
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1
16 162 216 16 16
1 1
4 4 2 24 4
1 1
4 4 4 42 24 4
1 1 1 1
4 42 24 4
1 1
4
1Pr( )16
116
116
1 4 416
14
QAMQAM QAM QAM
m m msm m
PAM PAMm m
m m
PAM PAMm m
m m m m
PAM PAMm m
m m
PAMm
E
s s
s s
s s
s
−− − −
= =
− −
= =
− −
= = = =
− −
= =
−
= = =
= + =
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤
= + =⎢ ⎥⎣ ⎦
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
s s s
( ) 42
1 2
4 42 24
1 1
1 24
PAMPAM
m sm m
s E −−
= =
+ =∑ ∑
1
2
4116
42
PAMmQAM
m PAMm
s yys
−−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
s
6
29/09/2006 COM II T2-E11
Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas) (IV)
• Cálculo de energía de bit:
• Recordando la BER para 4-PAM:
• Puesto que los 4 bits de 16-QAM se reparten en dos 4-PAM de 2 bits:
( )0
44 34 5
bEPAMNBER Q−
16 41
4 41 1
16 4
2
1 2 14 4 2
QAM PAMm m
M QAM PAM PAMm m m
s
QAM PAMb b bs s
E E
E E E E E E
− −
− − −− −
′
=
= = = = =
s
s
( )0
416 4 4 4 34 5
1 12 2
bEQAM PAM PAM PAMNBER BER BER BER Q− − − −= + =
29/09/2006 COM II T2-E12
Probabilidad de Error de M-QAM (cuadradas) (V)
• Relación entre las energías de símbolo y bit
• Cálculo de la BER. Vimos que el el caso de PAM con codificación Gray:
• La expresión de la BER para cada componente coincide con la BER total
( )( ) ( ) ( )
22 2
2 0 2 0
2 2
0 2 02
6 log62 2 2 2log log1 1
3log 3log1 4 11 log 1log
4 1
M PAMb b
b b
E EMbM MM M N M M NM M
E EM MMM N M M NM M M
BER Q Q
Q Q
′−′ ′′′ ′− −
′ ′ ′ ′′ ′− −
−− −
⎛ ⎞≈ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= = −
1 1 1
1 1
1
2
2
1 2 1
M QAM M PAM M PAM M PAMm m m m
M QAM M PAM M PAMm m m
M PAMM QAM mm M PAM s s s
m
M QAM M PAMb b bs s
sE E E E
s
E E E E E Eb b b
′ ′ ′− − − −
′ ′− − −
′−−
′−
′− −′
⎛ ⎞= ⇒ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
= = = = =′
s
s
s
7
29/09/2006 COM II T2-E13
Control 23/11/01: Sistema de transmisión en el que la varianza del ruido depende del símbolo
• Primer caso: L=1
– 1) Regla de decisión MAP
21 1 1 02 2
22 2 2 12 2
2 21 0
( ) [ ] ( ) ; [ ] ; 1/ 22
[ ] | | | ( , )
[ ] | | | ( , )
2
k
d d
d d
ds t k t kT k p
k s s s N
k s s s N
α ϕ α
β σ
β σ
σ σ
∞
=−∞
= − = ± =
= = − + −
= = +
=
∑y y
y y
∼
∼
( )( )( )( )
( )( ) ( )( )
21
21 0
21
22 1
2 21 1
2 20 10 1
/ 21 122
/ 21 122
/ 2 / 211 1 1 12 22 2
2
expargmax ( | )Pr( ) argmax ( | )
exp
exp exp
m m
y d
m m my ds s
y d y d
f s s f sπσ σ
πσ σ
πσ πσσ σ
+
−
+ −
⎧ −⎪= = ⎨
⎪ −⎩
>− −
<
y y
ss
29/09/2006 COM II T2-E14
Control 23/11/01 (II)
– 2) Cálculo de los umbrales para: 2 2 20 12 dσ σ= =
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
/ 2 / 212
/ 2 / 2122
2 2 24 4
2 24
1
2
exp 2 exp
ln 2
ln 2 2
3 ln 2 0
Ecuación de segundo grado 0.14113.1411
d dd d
d dd d
d d
d
d d d
d d
dd
γ γ
γ γ
γ γ γ γ
γ γ
γγ
+ −
+ −
− = −
− = −
− + + = − − +
− + − =
= −=
8
29/09/2006 COM II T2-E15
Control 23/11/01 (III)
Representación gráfica e interpretación de la probabilidad de error:
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
0
2
4
6
8
10
12
x 10-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
0
2
4
6
8
10
12
x 10-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1ℜ 1ℜ2ℜ 2ℜ 1ℜ
1
2
0.14113.1411
dd
γγ= −=
2s1s
d
29/09/2006 COM II T2-E16
Control 23/11/01 (IV)
– Diseño resultante:
– 3) Cálculo de la probabilidad de error:
( )tt −ϕϕ
kTtt dk +=
( ) [ ]kyty k =
Detector MAP
2/ˆ ó 2/ˆ
21
21
dyydy−=⇒<<
+=⇒<<αγγ
αγγα̂( )tt −ϕϕ
kTtt dk +=
( ) [ ]kyty k =
Detector MAP
2/ˆ ó 2/ˆ
21
21
dyydy−=⇒<<
+=⇒<<αγγ
αγγα̂
[ ]
1 11 22 2
1 11 2 1 1 2 2 22 2
( ) ( | ) ( | )
( | ) ( | ) ( | )
BER P e P e s P e s
P y s P y s P y sγ γ γ γ
= = + =
= < < + < + <
9
29/09/2006 COM II T2-E17
Control 23/11/01 (V)
– Cálculo de la probabilidad de error
– Aproximándolo por los dos términos más significativos:
( )( ) ( )( ) ( )( )dydydy dydydy ∫∫∫+∞
−
∞−
−+ −+−+−2
21
21
21
2
20
22
1
22/
21
22/
21
22/
20
exp2
121exp
21
21exp
21
21
γσ
γ
σσ
γ
γ πσπσπσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
1
2
1
1
0
2
0
121 2/2/2/2/
σγ
σγ
σγ
σγ dQdQdQdQ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ddQ
ddQ
ddQ
ddQ 26411.22641.0641.3359.0
21
=
=
≅BER ( ) ( )( )905.0359.021 QQ + ( )1841.03594.02
1 += =0.2717
29/09/2006 COM II T2-E18
Control 23/11/01 (VI)
– 4) Comparación con la BER resultante de situar un único umbral en el origen:
( ) ( )
1 1 10 1 22 2 2
0 1
12
/ 2 / 2(0 | ) ( 0 | )
0,5 0,7071 0,2737 (inferior al 2%)
d dBER P y s P y s Q Q
Q Q
γ σ σ=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= < + < = + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤= + =⎣ ⎦
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
d1411.01 −=γ 01 −=γ d1411.01 −=γ 01 −=γ
1A
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
d1411.01 −=γ 01 −=γ d1411.01 −=γ 01 −=γ
1A
10
29/09/2006 COM II T2-E19
Control 23/11/01 (VII)
• Segundo caso: L=21 2
1 1 2 22 2
2 21 0
1 1 1 1 2 2 2 22 21 1
20
3 3 3 3 20
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ;
| |
0 0| | , ; | | ,
0 0
0| | ,
0
d
m dn
m m m
s t n t nT n t nT
s
N N
N
αα ϕ α ϕ
α
σ σσ σ
σσ
∞
=−∞
±⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ±⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ s
y s s n
y s s n s s y s s n s s
y s s n s s
∼ ∼
∼21
4 4 4 4 20
0 ; | | ,
0N
σσ
⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y s s n s s∼
(1,1)
(1,0)(0,0)
(0,1)
d/2
S1
S4S3
S2
29/09/2006 COM II T2-E20
Control 23/11/01 (VIII)
• Ante la dificultad de su cálculo se proporciona:
Que determina la partición
argmax ( | )Pr( )m
m m i if = ⇔ ∈ℜs
y s s s yS1S2
S3 S4
-4d 0 +4d
+4d
0
-4d
y1
y2
S3 S3
S3
S4
S2
argmax ( | )Pr( )m
m mfs
y s s
El cuadrado cuyo máximo viene dado por S1, se halla delimitado por los puntos: (-0.14d, -0.14d), (-0.14d, +3.14d), (+3.14d, -0.14d), (+3.14d, +3.14d).
11
29/09/2006 COM II T2-E21
Control 23/11/01 (IX)
• Cálculo de la prob. de error exacta condicionada a s2:
S1S2
S3 S4
-4d 0 +4d
+4d
0
-4d
y1
y2
S3 S3
S3
S4
S2
2 3 4 2 1 2
2 2 2 2
1 2 2
( | ) ( | ) ( | )( 3,14 | ) ( 0,14 | )( 0,14 3,14 ; 0,14 3,14 | )
P e P PP y d P y dP d y d d y d
= ∈ℜ ℜ + ∈ℜ == > + < − ++ − < < − < <
s y s y ss s
s
∪
20
2 2 2 2 21
0| | ,
0N
σσ
⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
y s s n s s∼
29/09/2006 COM II T2-E22
Control 23/11/01 (X)
• Resulta:
• Considerando
2 3 4 2 1 2( | ) ( | ) ( | )P e P P= ∈ℜ ℜ + ∈ℜ =s y s y s∪
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
110011
64.064.2164.336.064.064.2σσσσσσ
dQdQdQdQdQdQ
22 201 0 0 ; ;
2 4 2s
bE NdE Nσ σ= = = =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0000
535184.0277.376.55NEQ
NEQ
NEQ
NEQ bbbb
≈
12
29/09/2006 COM II T2-E23
Control 23/11/01 (XI)
• Cálculo de la prob. de error aproximada condicionada a s2:
2
1 2 2 2 1 2 2
0 1 0 1
( | )( 0 | ) ( 0 | ) ( 0; 0 | )
/ 2 / 2 / 2 / 2
P eP y P y P y y
d d d dQ Q Q Qσ σ σ σ
== > + < − > < =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ss s s
20
2 2 2 2 21
0| | ,
0N
σσ
⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
y s s n s s∼
(1,1)
(1,0)(0,0)
(0,1)
d/2
S1
S4S3
S2
29/09/2006 COM II T2-E24
Control 23/11/01 (XII)
• Considerando
Resulta
• Tabla resumen
22 201 0 0 ; ;
2 4 2s
bE NdE Nσ σ= = = =
0 0
2 b bE EBER Q Q
N N⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(Argumento Q) MAP Sub-óptimoPérdida de
0NEb
en lineal
Pérdida de 0N
Eb
en dBMayor área
0.51840N
Eb
0NEb ( )5185.0log10 10
-2.8 dB
Menor área3.277
0NEb 2
0NEb ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2277.3log10 10
+2.14 dB
13
29/09/2006 COM II T2-E25
Ejercicio 4 (Colección de problemas)
• Transmisión del mismo bit mediante los dos elementos de la base (redundancia) con bits equiprobables:
( ) 11 1 1 2
1
1( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ;
1Caso ruido gaussiano:
mn
s t n t nT n t nTα
α ϕ α ϕα
∞
=−∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠∑ s
( ) ( ) ( )( )
2 21 2
2 0 0
/ 2 2 200 1 2
0 0
0 01 1 1 1 2 2 2 2
( 1) ( 1)11
1
( 1) ( 1)12
|
1 0 1 0| | , ; | | ,
0 1 0 12 2
( | ) exp( | ) exp
( | ) expm
L
m m
y yN N
m NN y yN N
N NN N
ff
f
π
π
π
− + −
−
+ + +
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎧ = −⎪= − ⇒ ⎨⎪ = −⎩
y s
y s s n
y s s n s s y s s n s s
y sy s
y s
∼ ∼
29/09/2006 COM II T2-E26
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (II)
• Cálculo de las regiones de decisión:
1s
2s
1ℜ
2ℜ
( ) ( )2 2 2 21 2 1 2
0 0 0 0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 11 2
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
1 2
( | ) ( | ) exp exp
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2
0
y y y yN N N Nf f
y y y yy y y y
y y
π π− + − + + += ⇒ − = −
− + − = + + +− − = +
+ =
y s y s
1y
2y
1 2 0y y+ =
d
1
Comparándolo con el caso sin redundancia(equivalente a considerar tan sólo una dimensión):
/ 2 2( )
/ 2 1( )
dBER P e Q Q
dBER P e Q Q
σ σ
σ σ
⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
11−
1−
1
14
29/09/2006 COM II T2-E27
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (III)
• Expresando la probabilidad de error en función de le energía por bit:
1s
2s
1ℜ
2ℜ
1y
2y
1 2 0y y+ =
d2
1
11
0
Sin redundancia
42/ 2
b s
b
dE E
EdBER Q Q
Nσ
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 0
0
; 4 2
2/ 2( )
s b
b
NdE E
EdBER P e Q QN
σ
σ
= = =
⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11−
1−
1
29/09/2006 COM II T2-E28
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (IV)
• Sin embargo en el problema el ruido es Laplaciano y se nos proporciona la función densidad de probabilidad en el espacio de la señal para cada componente:
• Además se indica que son independientes entre si. Se pide en primer lugar la función densidad de probabilidad del vector de ruido n:
1 2
1
2
1 2
11
1 1( ) ; ( )2 2
my
f e f eβ β
ββ
β β− −
⎛ ⎞⎛ ⎞= + = ± + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
s n
( )1 21 21 1 1 2
1 1 1( ) ( , ) ( ) ( ) 2 2 4
f f f f e e e β ββ ββ β β β − +− −= = = =n
15
29/09/2006 COM II T2-E29
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (V)
• A continuación se pide la función densidad de probabilidad de la señal recibida y condicionada a cada uno de los posibles símbolos transmitidos:
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 1
11 1
2 1 11
12 2
1 122
, 1 1
1|
1 1( | )1 4|1 1( | )
41( ) ( , )4
y y
y y
f e
f ef f e β β
β β
ββ
ββ
β β
− − + −
− + + +
− +
⎫⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪=⎪− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪= + = + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ =
⎪= = ⎪
⎪⎭
y
y
n
y s s n
y sy s s n
y sn
29/09/2006 COM II T2-E30
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (VI)
• En el apartado c) se pide una demostración vista en la teoría (definición del criterio MAP).
• Cálculo de las regiones de decisión:
{ } ( )( ) { } ( ) { }
( ) { }en donde el la función de máxi
|
m
ˆ argmax Pr | argmax Pr argmax | Pr
| a verosimilitud (ML) y
es la probabilidad "a priori" de cada símbolo
Pr
mm m m m
m m
m
ff
f
f
⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦m m m
yy
s s sy
y
y ss s y s y s s
y
y s s
s
( ) ( )
( ) ( )
11 2 1 2
2
1
2
1
2
1 1 1 11 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1( | ) ( | )4 4
1 1 1 1
1 1 1 1
y y y yf e e f
y y y y
y y y y
− − + − − + + +>= =
<
>− − + − − + + +
<
<− + − + + +
>
s
y ys
s
s
s
s
y s y s
16
29/09/2006 COM II T2-E31
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (VII)
• Representación de las regiones: 1
2
1 2 1 21 1 1 1y y y y<
− + − + + +>
s
s
1s
2s
1ℜ
2ℜ
1y
2y
11−
1−
1
Indiferente
Indiferente
29/09/2006 COM II T2-E32
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (VIII)
• Deducción de la región indiferente:
( )( )( )( )
1
2
1
2
1
2
1 1 1
2 2 21
1 1 12
2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 11 1 11
1 1 111
Para el caso:
la condición:
equival
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0
e a:
y y yy y yy
y y yyy y y
y y y y
y y y y
⎧ ⎫− = − = −⎪ ⎪− = − − = − +> ⎫ ⎪ ⎪⇒⎬ ⎨ ⎬+ = + = +< − ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = − + = − −⎩ ⎭
≤− + − + + +
≥
≤− − + + − −
≥
≤≥
s
s
s
s
s
s
1s
2s
1ℜ
2ℜ
1y
2y
11−
1−
1
Indiferente
Indiferente
17
29/09/2006 COM II T2-E33
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (IX)
• Se propone simplificar la división de regiones a la expresada por las ecuaciones:
1 1 2
2 1 2
: ( ) 0: ( ) 0
R y yR y y
+ >+ <
1s
2s
1ℜ
2ℜ1y
2y
11−
1−
1
Indiferente
Indiferente
1s
2s
1ℜ
2ℜ1y
2y
11−
1−
1
29/09/2006 COM II T2-E34
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (X)
• Puesto que la nueva regla de decisión es igualmente óptima se define la variable de decisión:
• En ausencia de ruido:
• El umbral se sitúa en 0 y por tanto:
1 2r y y= +
1 2
1 1 21 1 2
r y y+ =⎧
= + = ⎨− − = −⎩
y
2− 2
2s 1s
01
1 1 2 2 1 220
( ) Pr( ) ( | ) Pr( ) ( | ) ( | ) ( | )BER P e P e P e f r dr f r dr∞
−∞
⎡ ⎤= = + = +⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫s s s s s s
18
29/09/2006 COM II T2-E35
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XI)
• Cálculo de la función densidad de probabilidad condicionada:– Hemos visto:
– Por tanto:
– Como es habitual una vez se condiciona al símbolo transmitido, la única componente aleatoria de y es la componente de ruido, suma de las componentes de ruido originales. Además (tal y como se indica en el enunciado) dado que las componentes originales de ruido son independientes:
1 2 1 22r y y β β= + = ± + + r
2− 2
2s 1s
1 1 2
2 1 2
| 2 2| 2 2r
rβ β ββ β β
= + + = += − + + = − +
ss
1 2
1 1( ) ( ) ( ) 2 2
f f f e eβ ββ β ββ β β − −= ∗ = ∗
29/09/2006 COM II T2-E36
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XII)
• Cálculo de la convolución:
• Considerando que la autoconvolución es par:
1 2
0 0 0
0 0
( 1)21 12 2 4
1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 4
14
14
14
x x
x xx x
x x x x x x
f f f e e e e dx
e e dx e e dx
e e e dx e e e dx e e e dx
e e e e e
β β ββ β β
β β
β
β β β β
β
ββ β β β β
β β β
β
∞− − − − −
−∞
∞ ∞− − − +− −
>
∞ ∞− − − − − − −
+− − − −
= ∗ = ∗ = =
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( 1)4( )f eβ β
β β + −=
19
29/09/2006 COM II T2-E37
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XIII)
• Cálculo de la función densidad de probabilidad condicionada:– Hemos visto:
r
2− 2
2s 1s
( 2 1) ( / 2 1)2 / 21 1 2 1 4 4
( 2 1) ( / 2 1)2 / 22 1 2 2 4 4
| 2 2 ; ( | )
| 2 2 ; ( | )
r r dr r d
r r dr r d
r f r e e
r f r e e
β β β
β β β
− + − +− − − −
+ + + +− + − +
= + + = + = =
= − + + = − + = =
s s
s s
( 1)4( )f eβ β
β β + −=
[ ]1 2 2 20
( / 2 1) / 2 / 2/ 2 24 40
1( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )2
r d r d dd
P e P e s P e s P e s f r dr
e dr e
∞
∞ + + − + −+
= + = = =
= =
∫
∫
s
d
29/09/2006 COM II T2-E38
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XIV)
• Cálculo en el caso de no utilizar diversidad– En este caso:
y
1− 1
2s 1s
1
1
1 / 21 11 1 2 2
/ 212 2 2
| 1 ; ( | )
| 1 ; ( | )
y y d
y d
y f y e e
y f y e
β
β
− − − −
− +
= + = =
= − + =
s s
s s
12( )f e β
β β −=
[ ]
1 1
1 2 2 20
/ 2 / 2120
1( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )2
12
y d d
P e P e s P e s P e s f y dy
e dy e
∞
∞ − + −
= + = = =
= =
∫
∫
s
1d
20
29/09/2006 COM II T2-E39
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XV)
• Comparación entre ambos casos:
y
1− 1
2s 1s
1 / 2 11
1 1( ) 0.18392 2
dP e e e− −= = ≈
1d
r
2− 2
2s 1sd
/ 2 2/ 2 24( ) 0.1353ddP e e e− −+= = ≈
29/09/2006 COM II T2-E40
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XVI)
• Comparación entre ambos casos normalizando con respecto a la energía por bit :
– Cuando no se transmite con redundancia:
– Cuando se utiliza redundancia se dobla la energía por bit:
y
bE− bE
2s 1s1d
r
2 bE
2s 1sd
1
2/ 21
1 11 1( )
4 2 2bEd
bd
E P e e e−−= ⇒ = =
22 2 2/ 2/ 2 2
4 4( )8
b bE Eddb
dE P e e e+ −−+= ⇒ = =
2 bE−
Con redundancia Sin redundancia
21
29/09/2006 COM II T2-E41
Ejercicio 4 (Colección de problemas) (XVII)
• Representación gráfica de la prob de error normalizada
2 2 24( ) b bE EP e BER e+ −= =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Con redundancia
Sin redundancia
BER
bE
Cruce
1 11( )2
bEP e BER e−= =