Guía: Segundo Examen Parcial de Cálculo I.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL ORIENTE ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GUÍA PARA EL SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO I. Noviembre de 2015 DERIVADAS ALGEBRAICAS. Usa la definicón de la derivada de una función para encontrar 𝑓´(𝑥) recuerda que

f '(x) = límw→x

f (w)− f (x)w− x

,

1. a) 𝑓(𝑥)  =  5, b) 𝑓(𝑥)  =  3𝑥  –  4, c) 𝑓(𝑥)  =  1 +  𝑥   −  2𝑥! , d) 𝑓(𝑥)  =  2𝑥!  +  3𝑥,

𝑒)  𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑥 > − !! , g)𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4, 𝑥 > 4. h) 𝑓(𝑥) = 𝑥!  − 12𝑥

2. En los ejercicios siguientes, usa la definición de la derivada para calcular la derivada de cada función

y haya la ecuación de la recta tangente en el punto dado.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥!,      (2,5) b) 𝑓 𝑥 =  𝑥! + 2𝑥 + 1, (−3.4) c) 𝑓 𝑥 = 𝑥!, (2,8) d) 𝑓 𝑥 = 𝑥  , 1,1 .

3. Con ayuda de la definición de la derivada de una función, prueba la regla de la función constante, es decir, Si 𝑓 𝑥 = 𝑐 , donde 𝑐 es una constante, para cualquier 𝑥  en el dominio de 𝑓, entonces 𝑓′(𝑥)  =  0.  ¿Qué significado geométrico tiene este resultado?

4. Aplica la definición de la derivada de una función y prueba la regla del múltiplo constante, a saber, Si

𝑘  es una constante y  𝑓 es una función derivable, entonces (𝑘𝑓)′(𝑥)  =  𝑘  𝑓′(𝑥). 5. Mediante la definición de derivada de una función obtén la derivada de la función g(x) = f (x).

no olvides usar tus productos notables. 6. Con base en el ejercicio 11 encuentra la derivada de las funciones siguientes:

a) y = x2 +1 b) y = 3x4 + 2x2 + 5 c) y = x3 +3x − 2 d) y = 2x6 + 4x2 +3x − 6 TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. 7. En los ejercicios a) a q) encuentra la derivada de la función a) 𝑓 𝑥 = (5𝑥 + 3)(𝑥! + 2𝑥) b) 𝑔 𝑥 = (𝑥! + 𝑥!)(𝑥 + 1)

c) ℎ 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥! + 1 !"" d) j(x) = x2 + 5x − 2

e) j(x) = 5x3 + 2x2 +3

f) m(x) = 9x+x9

!

"#

$

%&

12

g) k(x) = x2 + 2x −1x +1

h) f (x) = 1− x2 (x2 −1)

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i) j(x) = 1x +1

−1x −1

j) f (x) = 1

1− 1x

k) g(x) = 11x+ x

!

"#

$

%&2 l) h(x) =

x3 − 1x +1

x4 + 1x −1

m) y = x5

x9 n) y = x x o) y = x243 p) y = 3x - 2

x+ 5 x - 2

q) y = a+ bx − cx2

x

8. En los ejercicios a) a e), di si la afirmación es verdadera o falsa, siempre justificando tu respuesta.

a) Si 𝑦 =!!1 − 𝑥!, entonces y ' = 1

21− x2

b) Si 𝑦 =𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , entonces y' =𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 .  

c) Si 𝑦 = 𝑓 !, entonces dydx

= 2 f '(x) f (x).

d) La derivada de una función racional es una función racional. e) Si (𝑥 + 3)! es un factor de 𝑓, entonces 𝑓′  tiene un factor (𝑥 + 3)!.

9. Encuentra la derivada de la función

y = 2x −3 x

x2

de dos maneras: primer aplicando la regla del cociente y segundo simplificándola primero. ¿Concuerdan tus resultados?

10. Suponga que 𝑓(5)  = 1, 𝑓´(5) = 6,𝑔(5) = −3  𝑦  𝑔′(5) = 2. Encuentra los valores de:

(a) (𝑓𝑔)´(5), (b) !!´ 5   y (c) f( )!(5) .

APLICACIONES DE LA DERIVADA, VELOCIDAD, ACELERACIÓN. 11. Se lanza un cohete verticalmente hacia arriba. Su altura, dada en pies, sobre el suelo 𝑠 𝑡 a los

𝑡    segundos está dada por 𝑠(𝑡)  =  44𝑡  –  4.9𝑡!.

a) ¿Cuál es su velocidad inicial? b) ¿Cuál es su velocidad a los 3 segundos? c) ¿Cuál es su altura máxima? d) ¿Cuándo llega al suelo? e) ¿Con qué velocidad llega al suelo?

12. Un globo meteorológico se eleva verticalmente de manera que su altura 𝑠(𝑡) sobre el suelo durante

los primeros 10 segundos de su ascenso está dada por 𝑠(𝑡)  =   𝑡!  +  2𝑡   +  6 para 𝑠(𝑡) en unidades de distancia (metros) y 𝑡 en segundos.

a) Calcula la velocidad del globo para  𝑡   =  1, 𝑡   =  4    𝑦    𝑡   =  10.  b) Determina la velocidad del globo en el momento en que se encuentra a 54 metros del suelo.

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13. Una piedra se deja caer a un estanque y produce ondas de agua que forman círculos concéntricos. El radio de una onda es de 40  𝑡 centímetros a los 𝑡 segundos. Calcula la tasa de cambio con respecto a 𝑡  del área del círculo en 𝑡   =  1 seg. y 𝑡   =  3 seg.

14. Suponga que el pulso de una persona (en latidos/minuto) a los 𝑡  minutos de haber comenzado a

correr, está dado por 𝑃(𝑡)  =  2𝑡! −  𝑡   +  56, para 0   ≤ 𝑡   ≤ 7. Calcula la tasa de cambio de 𝑃(𝑡) con respecto a 𝑡 en 𝑡   =  2 y 𝑡   =  4.

APLICACIONES DE LA DERIVADA, RECTAS TANGENTES

15. La curva y = 11+ x2

se llama bruja de Agnesi. Encuentra una ecuación de la recta tangente a esta

curva en el punto (-1, ½).

16. En los incisos a) a f), encuentra una ecuación de la línea tangente a la gráfica de la función en el punto especificado.

a) 𝑦 = 𝑥! − 10𝑥 + 11 !, x = 3 b) y = xx +1!

"#

$

%&3

, x = 1. c) y = x25− x2

, x = 0.

d) ( ) ,1 102xy += x = 1. e) y = 2x (x + 2)2, x = 2. f) y = 6x −33

x, x = 2.

17. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑦   =  6𝑥!  − 𝑥!, en el punto

(1,5).

18. a) En qué puntos de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑥! la recta tangente corta al eje 𝑥 en el punto (1,0)?

b) ¿En qué puntos de esa misma gráfica la recta tangente es paralela a la recta dada por la ecuación 12𝑥   −  𝑦   =  16?

23. Demuestra que la recta con ecuación 𝑦 = −𝑥 es tangente a la curva 𝑦 = 𝑥! − 6𝑥! + 8𝑥. ¿Cuál

es el punto de tangencia? ¿Corta esa recta a la curva en otros puntos? 24. Encuentra las ecuaciones de las rectas normal y tangente a la gráfica de la función

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 4 𝑥,  en 𝑃(1,−2) 25. Calcula la abscisa de todos los puntos de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑥! − 𝑥! + 𝑥 − 2.  En los que

la recta tangente es perpendicular a la recta 4𝑥 + 2𝑦 = 5.   26. Una parábola es tangente a la línea 3𝑥   −  𝑦   +  6   =  0 en el punto (0,6) y pasa a través del

punto (1,0). Encuentra la ecuación de la parábola, suponiendo que es de la forma 𝑦   =  𝐴𝑥!  +  𝐵𝑥   +  𝐶, donde A, B y C representan constantes que debes determinar.

27. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función 𝑓(𝑥)  =  𝑥! que son

paralelas a la recta 16𝑥   −  3𝑦   +  17   =  0. 28. Si la línea 4𝑥   −  9𝑦   =  0 es tangente en el primer cuadrante a la gráfica de 𝑦   = 2𝑥!  +  𝑐

¿Cuál es el valor de c?.