càlculs de circuits de corrent altern monofàsic...un alternador elemental per poder fer càlculs...

Càlculs de circuits de correntaltern monofàsicSantiago Cerezo Salcedo, Miquel-Joan Pallarès Viña, Yolanda ParejoRomeroAdaptació de continguts: Santiago Cerezo Salcedo, Yolanda Parejo Romero

Electrotècnia

Electrotècnia Càlculs de circuits de corrent altern monofàsic

Índex

Introducció 5

Resultats d’aprenentatge 7

1 Introducció als circuits de corrent altern 91.1 Avantatges del CA enfront del CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Valors característics del corrent altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Ones periòdiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Conceptes bàsics en trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Corrent elèctric sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Generació d’una ona sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 Valors característics del corrent altern sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Càlcul de vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Coordenades d’un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Relacions entre els dos sistemes de coordenades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Operacions amb vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Comportament dels receptors elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Circuit amb resistència òhmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Circuit amb bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 Circuit amb condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Circuits RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.1 Circuits RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.2 Circuits RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.3 Circuits RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Potència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Càlculs i paràmetres en corrent altern 372.1 Factor de potència. Correcció del factor de potència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Acoblament en paral·lel dels receptors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Ressonància . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Eina per a la resolució de circuits: els nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.1 Representació d’un nombre complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 Operacions amb nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Circuits amb nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6 Tipus de làmpades. Utilització. Concepte d’eficiència energètica aplicat a les làmpades . . . . 46

2.6.1 Flux lluminós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.2 Rendiment lluminós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.3 Tipus de làmpades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7 Mesures de tensió i intensitats en línies monofàsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7.1 Mesures d’intensitats en línies monofàsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7.2 Mesures de tensió en línies monofàsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8 Mesures de potència activa i energia en línies monofàsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8.1 Mesures de potència activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Electrotècnia Càlculs de circuits de corrent altern monofàsic

2.8.2 Mesures d’energia en línies monofàsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.9 Càlcul de caigudes de tensió en línies monofàsiques de CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Electrotècnia 5 Càlculs de circuits de corrent altern monofàsic

Introducció

En aquesta unitat estudiarem un tipus de corrent altern. Aquest és el tipus decorrent que es fa servir per generar, transmetre i consumir quasi tota l’energiaelèctrica. Tant a escala domèstica com a escala industrial es disposa d’energiaelèctrica en forma alterna i sinusoïdal. En concret, aquesta unitat tracta del correntaltern monofàsic, que és el format habitual en habitatges i negocis petits. Elcorrent altern principalment ha resolt el problema de la transportació de l’energiaelèctrica, pel que fa a grans distàncies. Tot i que molts dispositius a escaladomèstica funcionen amb corrent continu, atès el baix consum que presenten,tenen un problema: el corrent altern s’ha de convertir en corrent continu. Quanparlem d’aparells de consum alt, i sobretot en l’àmbit industrial, els aparells estandissenyats perquè s’utilitzin directament amb corrent altern.

Per fer un seguiment correcte dels càlculs que es fan en treballar amb correntsalterns cal disposar de certs coneixements de trigonometria elemental. Aquestsconceptes s’introduiran abans d’emprar-los en les fórmules corresponents. Nohi hem de passar de llarg. No són gaire complicats i constitueixen una einafonamental per analitzar els circuits de corrent altern.

La unitat està dividida en dos apartats. L’apartat “Introducció als circuits decorrent altern” inclou la terminologia i les particularitzacions de l’electrotècniamés importants de les lleis de l’electricitat per al cas de sistemes de corrent altern.S’hi presenten les característiques bàsiques i la descripció del comportament delsdiferents components del corrent altern, i els paràmetres habituals dels circuits decorrent altern monofàsic.

En l’apartat “Càlculs i paràmetres en corrent altern” es mostren les metodologiesi les particularitats de càlcul en circuits de corrent altern. També hi ha unaintroducció al món de les làmpades, que constitueixen un grup de componentsmolt important en tota instal·lació electrotècnica.


Resultats d’aprenentatge

En finalitzar aquesta unitat l’alumne/a:

1. Realitza càlculs en circuits elèctrics de corrent alterna (CA) monofàsica,aplicant les tècniques més adequades.

• Identifica la forma de generar CA monofàsic.

• Identifica les característiques d’un senyal sinusoïdal.

• Reconeix els valors característics de la CA.

• Descriu les relacions entre tensió, intensitat i potència en circuits bàsics deCA amb resistències, amb bobines pures i amb condensadors purs.

• Calcula tensions, intensitats i potències en circuits de CA amb acoblamentsèrie de resistències, bobines i condensadors.

• Dibuixa els triangles d’impedàncies, tensions i potències en circuits de CAamb acoblament sèrie de resistències, bobines i condensadors.

• Calcula el factor de potència de circuits de CA.

• Mesura tensions, intensitats, potències i factors de potència, observant lesnormes de seguretat dels equips i de les persones.

• Relaciona el factor de potència amb el consum d’energia elèctrica.

• Identifica la manera de corregir el factor de potència d’una instal·lació.

• Calcula les potències, intensitat i factor de potència d’una instal·laciómonofàsica senzilla.

• Calcula caigudes de tensió en línies monofàsiques de CA.

• Descriu el concepte de ressonància, les seves característiques i aplicacions.

• Identifica les característiques, formes de connexió i simbologia d’aparellsde mesura de tensió, intensitat, potència i factor de potència (voltímetre,amperímetre, multímetre, fasímetre, wattímetre i pinça amperimètrica iwattimètrica).

• Realitza les tasques que cal fer individualment amb autosuficiència i segu-retat.


1. Introducció als circuits de corrent altern

En els primers moments de la utilització de l’electricitat com a forma d’energia,l’electricitat es produïa en forma de corrent continu amb unes màquines ano-menades dinamos. Aquestes màquines requerien intervencions de mantenimentfreqüents i el corrent continu s’havia de produir a prop del punt de consum, a causade les grans pèrdues que es produïen en el transport.

Aquesta situació va durar poc i les dinamos aviat es van substituir pels alternadors.Actualment, tota l’energia elèctrica es genera en forma de corrent altern.

En la generació i el transport de l’energia elèctrica es fa servir el correntaltern trifàsic, mentre que en el consum el corrent és monofàsic i trifàsic.

Figura 1.1. Un alternador elemental

Per poder fer càlculs de circuits de corrent altern cal haver assumit algunsconceptes bàsics, com les operacions amb vectors (saber sumar, restar, multiplicari dividir amb vectors) i alguns dels conceptes fonamentals de trigonometria (sinus,cosinus, tangent, etc.).

Una vegada adquirits els conceptes matemàtics, es veurà l’equivalència delsconceptes matemàtics en resistències, condensadors i bobines. D’aquesta manera,s’avançarà en la resolució dels circuits.

Per produir un corrent alterncal un camp magnètic fixproduït per un imant en elqual es fa girar un conductorelèctric en forma d’espiral.


Una ona és l’expressiógràfica d’una variació

periòdica representada enmagnitud i temps.

1.1 Avantatges del CA enfront del CC

El corrent altern té avantatges respecte del corrent continu pel que fa a la producció,el transport, la distribució i la utilització de l’energia elèctrica. El corrent continués un corrent elèctric que no canvia de sentit i, en general, s’assumeix que el seuvalor és constant. El corrent altern, en canvi, es caracteritza pel canvi periòdic devalor i sentit de les magnituds principals que el defineixen.

La forma més habitual de descriure un corrent altern serà mitjançant la forma dela funció matemàtica que descriu la variació de la tensió elèctrica (o la intensitatde corrent), si es coneix. El corrent altern més comú és el sinusoïdal, ja que prencom a model la funció matemàtica sinus. Aquesta forma en concret és la que és acausa del procés de generació del corrent elèctric, basat en una turbina giratòria.

1.2 Valors característics del corrent altern

Per poder treballar amb senyals de corrent altern sinusoïdal, primer hem de poderdir què és una ona periòdica i quins en són els valors característics. També hemde conèixer les regles principals de trigonometria.

El corrent altern és el corrent que es caracteritza pel canvi periòdic de valori sentit de les magnituds principals que el defineixen.

Les magnituds que defineixen un senyal sinusoïdal són les següents:

• Amplitud: és el valor màxim que pot assolir el senyal.

• Freqüència: és la velocitat de variació del senyal.

• Desfasament: és l’avançament (o retard) que un senyal té envers un altre.Evidentment, només es pot definir respecte a una referència coneguda.

1.2.1 Ones periòdiques

Si observem les ones de la figura 1.2, comprovarem que, al llarg del temps, el valores modifica i que es repeteix la mateixa forma. Cadascuna d’aquestes repeticionss’anomena cicle. Un aspecte important d’un cicle és la duració en segons, ques’anomena període (T). Així, hi ha ones molt curtes, que duren mil·lèsimes desegon, i d’altres de més llargues, que duren desenes de segons.

Hi ha una altra manera de mesurar aquesta durada en el temps: considerar elnombre de cicles que hi ha per segon, és a dir, la freqüència (f ). La unitat de


mesura de la freqüència és l’hertz (Hz), que indica la quantitat de cicles que esprodueixen en un segon.

Figura 1.2. Representació d’una ona periòdica

Les tensions i els corrents domèstics i industrials es representen amb ones periòdiques.

Tal com es desprèn dels conceptes que hem vist fins ara, com més curt és el període,més gran és el nombre de cops que es produeix en un segon, és a dir, més gran éstambé la freqüència:

F =1

T

Tal com es mostra en la taula 1.1, la freqüència i el període són magnitudsinversament proporcionals.

Taula 1.1. Període i freqüència

Període (T )en segons

Freqüència (f )en Hz

1 1

1/2 2

1/4 4

1/10 10

1/100 100

1.2.2 Conceptes bàsics en trigonometria

Si ens fixem en el triangle rectangle de la figura 1.2, veurem que els quocientsentre els costats del triangle defineixen les raons trigonomètriques del sinus, elcosinus i la tangent (vegeu la taula 1.2).

La freqüència estàndard...

... que s’usa per distribuirenergia elèctrica és de 50 Hz enel cas d’Europa i de 60 Hz en elcas d’Amèrica i el Japó.


Taula 1.2. Raons trigonomètriques a partir dels quocients entre els costats d’un triangle

Raótrigonomètrica

Símbol fórmula

Sinus d’alfa sinα a

c= sinα

Cosinus d’alfa cosα b

c= cosα

Tangent d’alfa tanα a

b= tanα

Figura 1.3. Triangle rectangle amb costats a i b, hipote-nusa c i angle α

La taula 1.3 recull els diversos valors de les funcions trigonomètriques d’algunsdels angles d’una circumferència.

Taula 1.3. Valors de funcions trigonomètriques

Angle α sinα cosα tanα

0 0 1 0

45 0,7071 0,7071 1

90 1 0 ∞

135 0,7071 -0,7071 -1

180 0 -1 0

270 -1 0 ∞

Exercici

Amb la calculadora podeu obtenir les raons trigonomètriques de tots els angles d’unacircumferència. La taula següent en recull uns quants a tall d’exemple. Mireu que la vostracalculadora estigui en graus (DEG a la pantalla) i comproveu els valors d’angles comunsde la taula.

Taula 1.4.

Raótrigonomètrica

Símbol fórmula

Sinus d’alfa sinα a

c= sinα

Cosinus d’alfa cosα b

c= cosα

Tangent d’alfa tanα a

b= tanα


Quan una ona de tensió sinusoïdal es posa en un circuit lineal (com una estufa ouna bombeta), hi passa un corrent també sinusoïdal de la mateixa freqüència, peròdesplaçada un angle α respecte de la tensió (es diu desfasada un angle α).

Com que la freqüència de totes les magnituds elèctriques és la mateixa que la delgenerador, es pot treure del càlcul i només cal concentrar-se en la magnitud del’ona i en l’angle de desfasament. És a dir, cal considerar l’ona associada a unamagnitud i a un angle.

Una magnitud i un angle constitueixen un vector. Per això, una ona de tensióo corrent sinusoïdal es pot simbolitzar, si es vol, per mitjà del vector que hicorrespon. Aquesta substitució comporta certs avantatges en el càlcul. Caldir que el càlcul amb vectors, però, és més senzill que el càlcul amb funcionstrigonomètriques.

1.2.3 Corrent elèctric sinusoïdal

De totes les ones periòdiques, les més importants són les ones sinusoïdals. Tenenunes propietats que les fan molt útils i fàcils de fer servir.

Ateses les propietats de les ones periòdiques sinusoïdals, tota la generació ila distribució d’energia elèctrica es fa en forma de tensió sinusoïdal.

Les propietats més destacables de les ones sinusoïdals són les següents:

• El caràcter perfectament definit de la funció sinusoïdal.

• El fet que la major part d’operacions matemàtiques amb funcions sinusoï-dals donen com a resultat funcions sinusoïdals.

• El fet que qualsevol altre tipus d’ones es poden descompondre en sumes defuncions sinusoïdals.

• Les ones sinusoïdals es poden generar amb facilitat i transformar per adaptar-les al consum.

• Les ones sinusoïdals permeten transportar grans quantitats d’energia demanera molt eficient i a grans distàncies.

1.2.4 Generació d’una ona sinusoïdal

En la figura 1.4 podem veure com es genera una ona sinusoïdal. En cada instant,el valor de la funció equival al valor de la projecció del vector R sobre l’eix Y.


Una circumferència...

... té 360 graus i 2 · π radians.Encara que s’utilitzen totes duesdivisions, la unitat internacional

és el radian: la unitat d’angle plaque correspon a un arc de

circumferència de longitud igualal radi.

Figura 1.4. Generació d’una ona sinusoïdal

L’expressió matemàtica d’una ona sinusoïdal és la següent:

v = Vmx · sin (ω · t)

Aquí, v és el valor de la funció en l’instant actual i Vmàx és el valor màxim de lafunció. ω és la pulsació o velocitat angular del radi r expressada en radians persegon, és a dir, l’angle recorregut per unitat de temps.

Si quan es dóna una volta sencera (2·π rad) es tarda un temps T (període), lavelocitat angular serà la següent:

ω =2 · πT

= 2 · π · f

Aquí, T és el període de temps expressat en segons.

Com es pot veure, el producte dóna un angle expressat en radians. La correspon-dència entre graus i radians és la següent:

2 · π rad = 360

Exemple de càlcul de valors instantanis

Es disposa d’una tensió sinusoïdal de valor màxim 400 V. Si la pulsació val ω = 314 rad/s,el valor de la tensió per a cadascun dels temps següents serà el que es mostra en la taula1.5.

Per comprovar els càlculs, recordeu que heu de posar la calculadora en radians (en moltescalculadores científiques cal clicar a la tecla [MODE] seguida de la tecla [5], cosa quefa aparèixer l’indicador RAD en la pantalla). Busqueu en les instruccions de la vostracalculadora la manera de posar angles en radians i intenteu reproduir les operacions dela taula.

Taula 1.5. Valors instantanis

Temps Argument del sinus Funció sinus Tensió instantània

t (s) ω·t (rad) sinω·t Vmàx·sinω·t (V)

0 314·0 = 0 sin0 = 0 400·0 = 0

5·10-3 314·5·10-3 = 1,57 sin1,57 = 1 400·1 = 400

15·10-3 314·15·10-3 = 4,71 sin4,71 = -1 400·(-1) = -400


1.2.5 Valors característics del corrent altern sinusoïdal

Atès que el valor de la tensió varia constantment, hi ha prop de sis valors d’unaona sinusoïdal característics d’aquesta tensió (vegeu la figura 1.5).

Figura 1.5. Valors d’una ona sinusoïdal

Com a exemple de cada apartat, es farà servir la funció de tensió següent:

v = 400 · sin (314 · t)

Aquí, v és el valor instantani, és a dir, el valor de la tensió en cada instant de temps.Per exemple, per a t = 4 ms = 4 · 10-3 s, la tensió té el valor següent:

v = 400 · sin (314 · 0, 004) = 380, 34

• Vmàx és el valor màxim, és a dir, el valor més gran de tots els instantanis,que indica la cresta de l’ona. En el nostre cas, Vmàx = 400 V.

• Vef o Veff és el valor eficaç, és a dir, el valor de corrent continu que pro-dueix el mateix efecte Joule (escalfament) que el corrent altern considerat.Normalment una ona es dóna amb el seu valor eficaç. En el cas d’onessinusoïdals, es dóna la relació següent:

Vef =Vmax√

2

En el nostre exemple,

Vef =400√2= 282, 84 V

• Vmitjà és el valor mitjà. En un cicle sencer d’una funció sinusoïdal, com quela meitat dels valors són positius i l’altra meitat són negatius, el valor mitjàés 0.

Un cicle és la part mínimad’una ona que es repeteixindefinidament.


Un vector...

... és un segment orientat enl’espai. En electricitat només es

fa servir un plànol definit perdues magnituds elèctriques o unamagnitud elèctrica i el temps (V -I, V - t, I - t, etc.), de manera quenomés hi ha vectors en un pla, és

a dir, els vectors només tenendues dimensions.

El mòdul és la longitud delvector i l’argument, l’angle

entre el vector i l’eixhoritzontal.

En electricitat...

... es consideren com a positiusels angles que parteixen de l’eix

X positiu i giren en sentit contrarial de les agulles del rellotge (des

de l’eix X positiu cap a dalt).

• f és la freqüència, és a dir, el nombre de vegades que es repeteix un cicle enun segon. Per exemple, com que se sap que

ω = 2 · π · f

es té que

f =w

2 · π=

314

2 · π= 50 Hz

• T és el període, és a dir, el temps que dura un cicle i coincideix amb lainversa de la freqüència. En el nostre exemple,

T =1

f=

1

50= 0, 020 s = 20 ms

1.3 Càlcul de vectors

Els vectors es fan servir en electricitat per substituir funcions trigonomètriquesd’ones sinusoïdals i simplificar-ne el càlcul. Per exemple, es pot substituir la sumade dues funcions sinusoïdals (que és una operació relativament difícil) per la sumade dos vectors (operació molt senzilla). Per això és important familiaritzar-se ambel concepte de vector i amb algunes de les operacions més comunes entre vectors.Tot seguit es repassaran els conceptes més elementals del càlcul de vectors.

1.3.1 Coordenades d’un vector

Imaginem un pla i un origen de coordenades X-Y . Per indicar la posició dequalsevol punt del pla respecte de l’origen es fan servir vectors. Aquesta posició(i el vector corresponent) es pot indicar de dues maneres diferents (vegeu la figura1.6):

• Mitjançant coordenades polars: es dóna la distància en línia recta respectede l’origen (mòdul r) i l’angle que forma amb l’eix X (angle α).

• Mitjançant coordenades rectangulars: es dóna la distància X i la distànciaY que s’ha de recórrer per arribar al punt corresponent.

En el cas de la figura 1.6, el mòdul és la longitud de r i l’argument, l’angle α.

En coordenades polars, un vector queda definit amb el mòdul (r) i l’argument oangle (α). En coordenades rectangulars, un vector queda definit per les longitudsde les seves projeccions a i b sobre els eixos coordinats X-Y. Així a és la projeccióde r en la direcció de l’eix X i b és la projecció de r en la direcció de l’eix Y.


Figura 1.6. El vector i les coordenades polars i rectangu-lars que té.

Les coordenades rectangulars es donen amb un parell de números. Per distingir lacoordenada en l’eix Y s’hi afegeix el sufix j. Així, per exemple, el vector a = (3 +4j) vol dir que X = 3 i Y = 4. És a dir: Xa = 3 i Ya = 4.

Un vector es pot donar amb coordenades rectangulars (a + bj) o ambcoordenades polars

r∠α

.

Per a les coordenades polars es fa servir, en canvi, la forma següent:

Modul∠argument

Per exemple, el vector

50∠20

representa un vector que té un mòdul de 50 i un argument de 20°.

1.3.2 Relacions entre els dos sistemes de coordenades

Atès que hi ha dues maneres de donar la mateixa informació (coordenadesrectangulars i coordenades polars), hi ha d’haver una relació entre elles. Es potpassar d’un sistema a l’altre. Observeu les fórmules que es fan servir per efectuaraquest pas.

Per passar d’un sistema de coordenades rectangulars (a + bj) a un de coorde-nades polars (r∠α), es pot fer el següent:

r =√

(a2 + b2)

α = arctanb

a

Per passar d’un sistema de coordenades polars (r∠α) a un sistema coordenadesrectangulars (a + bj), es pot fer el següent:

Algunes calculadores...

... tenen funcions de canvi decoordenades. Llegiu lesinstruccions de la vostracalculadora si les voleu utilitzar,encara que aquí usarem lesfórmules trigonomètriquesdonades.


a = r · cosα

b = r · sinα

Cal saber passar d’un sistema de coordenades a l’altre perquè per a cadatipus d’operació se n’ha d’usar un de determinat.

Exemple de canvi de sistema de coordenades rectangulars a polars

Un vector V té per coordenades rectangulars a = 4 i b = 3, V = (4 + 3j). Determineu-ne lescoordenades polars.

Solució:

r =√

(a2 + b2) =√

(42 + 32) = 5

α = arctanb

a= arctan

3

4= 36, 86

I ara es pot posar el següent:

5∠36.86

Exercici de canvi de sistema de coordenades polars a rectangulars

Un vector ve donat per les seves coordenades polars: r = 20, α = 40°. Determineu-ne lescoordenades rectangulars.

Solució:

a = r · cosα = 20 · cos 40 = 15, 32

b = r · sinα = 20 · sin 40 = 12, 86

I ara podem dir que el vector és:

15, 32 + j12, 85

1.3.3 Operacions amb vectors

Amb els vectors es poden fer tot tipus d’operacions, com amb els números. Lesmés importants són la suma i la resta, la multiplicació i la divisió.

La suma i la resta de vectors. Per sumar (o restar) dos vectors A i B, cal posar lesseves coordenades en forma rectangular i sumar (o restar) les seves componentsx i y (vegeu la figura 1.7). Les components del vector suma S són les següents:

Sx = Ax+Bx

Sy = Ay +By


Figura 1.7. Suma de dos vectors amb les seves components rectangu-lars

El producte de vectors. Per multiplicar dos vectors A i B, cal posar-los en formade coordenades polars, multiplicar els mòduls i sumar els arguments. Lescomponents del vector producte P (vegeu la figura 1.8) són les següents:

Pr = Ar ·Br

Pα = Aα+Bα

Figura 1.8. Producte de dos vectors amb les seves components polars

Exemple de producte de dos vectors

Siguin els vectors A = 50∠45 i B = 10∠25

A ·B = 50 · 10∠45+25 = 500∠70

Exemple de producte de dos vectors

Siguin els vectors A = 50∠45 i B = 10∠−25


El desfasament...

... és l’angle que es forma entredues magnituds periòdiques.

Aquest angle de desfasament faque un dels senyals vagi

“endarrerit” en el temps respectede l’altre.

A ·B = 50 · 10∠45+(−25) = 500∠20

La divisió de vectors. Per dividir dos vectors A i B, cal posar-los en forma polar,dividir els mòduls i restar els arguments (vegeu la figura 1.9). Les componentsdel vector divisió D són les següents:

Dr =Ar

Br

Dα = Aα−Bα

Exemple de divisió de dos vectors

Siguin els vectors A = 50∠45 i B = 10∠25

A

B=

50∠45

10∠25= 5∠20

Exemple de divisió de dos vectors

Siguin els vectors A = 50∠45 i B = 10∠−25

A

B=

50∠45

10∠−25= 5∠70

Per sumar o restar dos vectors cal tenir-los en forma rectangular, mentre queper multiplicar-los o dividir-los s’han de posar en forma polar.

Figura 1.9. Divisió de dos vectors amb les seves components polars

1.4 Comportament dels receptors elementals

Entre els receptors de corrent elèctric que es poden construir es produeixen diver-sos efectes que es poden modelitzar amb tres components clarament diferenciats.Són els efectes a causa de resistències, bobines i condensadors. En la taula 1.6


es recull el comportament de cada receptor.

Taula 1.6. Comportament dels receptors

Component Efecte que modelitza

Resistència Producció de calor per escalfament

Bobina Emmagatzematge d’energia en forma de campsmagnètics

Condensador Emmagatzematge d’energia en forma de campselèctrics

En general, es diu que la llei d’Ohm es continua complint, però ara la impedànciaque ofereixen bobines i condensadors depèn de la freqüència del corrent. Amés, aquestes components introdueixen desfasaments entre la tensió aplicada iel corrent que hi circula. Tot això ho veurem quan estudiem cada component perseparat i serà la base per entendre, més endavant, els circuits en què tindrem mésd’una component connectada a una font de tensió.

1.4.1 Circuit amb resistència òhmica

Quan el circuit només té resistència es diu que és un resistiu òhmic pur (vegeula figura 1.10). Si aquesta resistència es connecta a una font de tensió de correntaltern, s’estableix una intensitat també alterna, de la mateixa freqüència i en faseamb la tensió.

Una resistència es comporta igual en corrent continu que en corrent altern.

Figura 1.10. Circuit amb resistència òhmica

Les relacions que s’estableixen són les següents:

I =V

R(A)

P = V · I(W)

P = R · I2(W)

Aquí, V i I són els valors eficaços de tensió i intensitat.


En una resistència, la tensióen borns i el corrent estan

en fase i només esconsumeix potència activa.

Exemple de càlcul de corrents i potències en circuits resistius

Calculeu el corrent que circula per una resistència de 40 Ω si hi connectem una tensióalterna sinusoïdal de 240 V, i la potència que es consumirà en aquesta resistència.

Solució

El corrent que s’hi establirà tindrà un valor de:

I =V

R=

240

40= 6 A

La potència es pot calcular amb qualsevol de les dues fórmules donades:

P = V · I = 240 · 6 = 1.440W

P = R · I2 = 40 · 62 = 1.440W

Una tensió alterna sinusoïdal de freqüència f aplicada sobre una resistènciapura fa passar una intensitat de valor

I =V

R(A)

en fase amb la tensió, i consumeix una potència donada perP = V · I(W)

o béP = R · I2(W)

Es diu que la resistència és un nombre real (és com un vector d’angle 0) perquèno introdueix desfasament entre la tensió i el corrent. És a dir, si la tensió té unangle α, el corrent està en el mateix angle. Per això la resistència es representacom un vector a 0°.

En la figura 1.11 es mostra el diagrama vectorial que representa la tensió, laresistència i la intensitat d’un circuit òhmic pur.

Figura 1.11. Vectors en un circuit òhmic

1.4.2 Circuit amb bobina

El valor d’una bobina es dóna en henrys (H). Com que és una unitat molt gran, esfan servir submúltiples. El més emprat és el mil·lihenry, mH = 10-3 H.

Una bobina ofereix una dificultat al pas del corrent elèctric altern que depèn de lafreqüència de la tensió aplicada. A més a més, produeix un desfasament de 90°


entre la tensió aplicada i el corrent absorbit. Per això rep el nom de reactànciainductiva (XL) (vegeu la figura 1.12).

Figura 1.12. Circuit inductiu pur i la representació cartesiana de la tensió i la intensitatendarrerida 90°

La reactància inductiva d’una bobina depèn de la freqüència de la tensióaplicada i té l’expressió següent: XL = L · 2 · π · f. Es mesura en Ω.

En la figura 1.13 es mostren els valor de la reactància inductiva, la tensió i elcorrent elèctric en un circuit inductiu pur en forma vectorial.

Figura 1.13. Vectors en un circuit inductiu pur

Una bobina produeix un endarreriment de 90° del corrent respecte de la tensió.Això vol dir que la reactància inductiva és un vector que està avançat 90° respectede l’eix X (és a dir, és sobre la part positiva de l’eix Y ).

Una bobina, en corrent altern, té una reactància inductiva XL = L · 2 · π · favançada 90° (sobre l’eix Y positiu), endarrereix el corrent 90° respecte de latensió, consumeix potència reactiva i, en canvi, no consumeix potència activa.

Exemple de càlcul de corrents en circuits inductius

Una bobina de 0,2 H està connectada a una font de tensió de 100 V i 50 Hz. Per calcular-neel corrent, primerament calcularem la reactància inductiva en la freqüència donada:

XL = L · 2 · π · f = 0, 2 · 2 · π · 50 = 62, 8318 Ω

Observem com, en posar la XL a 90°, el corrent queda a -90°, és a dir, endarrerit 90°respecte de la tensió, que estava a 0° (vegeu la figura 1.14).

En una bobina, la intensitatestà endarrerida 90°respecte de la tensió. Unabobina ideal nomésconsumeix potènciareactiva.


Figura 1.14. Vectors de l’exemple

En la figura 1.14 es mostra la tensió aplicada a la bobina i la intensitat que hi passa(endarrerida 90º respecte de la tensió). Observeu que la potència és positiva quanV i I són positives o negatives al mateix temps. En canvi, el signe de la potència estorna negatiu quan la tensió i la intensitat tenen signes diferents (l’una és positivai l’altra negativa).

Figura 1.15. Potència en un circuit inductiu

Tal com es mostra en la figura 1.15, el valor mitjà de la potència que absorbeixuna bobina de la xarxa és 0. Aquest resultat es pot obtenir igualment emprant lafórmula donada per trobar les potències.

1.4.3 Circuit amb condensador

Un condensador ofereix una dificultat al pas del corrent elèctric que depèn de lafreqüència de la tensió aplicada. A més a més, produeix un desfasament de 90°entre la tensió aplicada i el corrent absorbit. Per això rep el nom de reactànciacapacitiva (XC).

El valor d’un condensador s’expressa en farads (F), però atès que és una unitatmolt gran, se’n fan servir els submúltiples (vegeu la taula 1.7).


Taula 1.7 (continuació)

Submúltiple Símbol Equivalència

Taula 1.7. Els submúltiples del farad més utilitzats

Submúltiple Símbol Equivalència

Microfarad µF 1 µF = 10-6 F

Nanofarad nF 1 nF = 10-9 F

Picofarad pF 1 pF = 10-12 F

En la figura 1.16 es mostra un circuit capacitiu i la representació cartesiana de latensió i la intensitat avançada 90°.

Figura 1.16. Circuit capacitiu pur

En la figura 1.17 es mostren els mateixos valors però de forma vectorial. Si esposa la tensió a 0°, la XC està a -90° i la intensitat avança 90° respecte de la tensió.

Figura 1.17. Vectors en un circuit capacitiu pur

La reactància capacitiva d’un condensador depèn de la freqüència de la tensióaplicada i té l’expressió següent:

XC =1

C · 2 · π · f

Un condensador produeix un avançament de 90° del corrent respecte dela tensió. Això vol dir que la reactància capacitiva és un vector que estàendarrerit 90° respecte de l’eix X (és a dir, és sobre la part negativa del’eix Y ).

En els borns d’uncondensador, el corrent estàavançat 90° respecte de latensió. Un condensadorideal només entregapotència reactiva.

Un circuit amb...

... bobina es diu que és inductiu(una bobina també es coneix coma autoinducció). Un circuit ambun condensador es diu que éscapacitiu. Es diu que un circuitamb una resistència és resistiu.


Exemple: calcular el corrent d’un condensador de 100 µF

Per calcular el corrent d’un condensador de 100 µF que està connectat a una font de tensióde 100 V i 50 Hz, primerament s’ha de calcular la reactància capacitiva en la freqüènciadonada:

XC =1

C · 2 · π · f=

1

100 · 10−6 · 2 · π · 50= 31, 83 Ω

Com què està endarrerida 90°, la posarem en forma de vector (vegeu la figura 1.18). Araes pot calcular el corrent (suposarem que la tensió està a 0°). Observem com, en posarla XC a -90°, el corrent ens queda a +90°, és a dir, avançat 90° respecte de la tensió queestava a 0°. En la figura 1.18 es poden veure els vectors de l’exemple resolt.

Figura 1.18. Representació vectorial de les magnituds de l’exempled’un condensador de 100 µF

Un condensador, en corrent altern, té una reactància capacitiva que valXC =

1

C · 2 · π · fendarrerida 90° (sobre l’eix Y negatiu) i el corrent avança 90° respecte de latensió, entrega potència reactiva i no consumeix potència activa.

1.5 Circuits RLC

Si es combinen els tres elements passius per excel·lència, les resistències, elscondensadors i els inductors, es poden dissenyar les tres estructures habituals detipus RLC, que són les següents:

• Circuits RL

• Circuits RC

• Circuits RLC

Tot i que el procés de càlcul de cadascun dels circuits sempre és el mateix, valla pena veure’ls per separat per tal d’observar amb deteniment les propietatsespecífiques de cadascuna de les tres configuracions: en el circuit RL es produeixun endarreriment del corrent respecte a la tensió, perquè la bobina pot respondreimmediatament als canvis de tensió, però no als de corrent; en el circuit RC esprodueix un efecte anàleg però contrari, de manera que s’observa un avançament


del corrent respecte de la tensió perquè el condensador no pot respondre immedi-atament als canvis de tensió elèctrica, i en els circuits RLC es produeix un efecteinteressant, ja que el circuit presenta un mínim d’impedància a una freqüència queés funció dels valors de L i C.

1.5.1 Circuits RL

Una bobina és un fil conductor enrotllat sobre una base aïllant. Aquest fil té unacerta resistència òhmica, és a dir, que una bobina real sempre anirà acompanyadad’una petita resistència. De vegades, aquesta resistència és tan petita que el seuvalor es pot negligir (considerar que és pràcticament 0), però no sempre és així.

A part de la pròpia resistència interna, una bobina pot estar en sèrie amb unacomponent de resistència i formar el que es coneix com un circuit RL, com el quees mostra en la figura 1.19, en aquest cas un circuit d’una bobina i una resistènciaen sèrie.

Si es connecta un generador de corrent altern a un circuit RL, hi passa unaintensitat i hi ha unes caigudes de tensió en cada component, i també potènciesactiva, reactiva i aparent consumides. Resoldre aquest circuit és trobar totesaquestes intensitats, caigudes de tensió i potències.

Figura 1.19. Circuit RL

En la figura 1.19 es mostra un circuit RL i les formes d’ona de la tensió i laintensitat que hi passa. Com que el circuit té una resistència i una bobina, laimpedància total té un angle positiu, però inferior a 90º i, per tant, la intensitatestà endarrerida respecte de la tensió aquest mateix angle.

Per a la representació per mitjà de vectors:

• Una resistència es representa amb un vector sobre l’eix X, que té de mòdulel valor de la R i l’angle 0 (R∠0).

• Una reactància inductiva es representa com un vector sobre l’eix Y positiu,que té de mòdul el valor de la XL i un angle de +90° (XL∠90).

Com que totes dues components estan en sèrie, cal sumar els dos vectors. Lacomposició en sèrie o en paral·lel de resistències i reactàncies rep el nomd’impedància (Z).

Impedància...

... és un nom genèric per indicarla dificultat al pas del correntelèctric altern de components dediferents tipus. És a dir, és lacombinació d’una o mésreactàncies i d’una o mésresistències. La impedància potser inductiva o capacitiva segonsquè predomini.


Figura 1.20. Triangle d’impedàncies en un circuit RL

En el cas d’una reactància inductiva i una resistència en sèrie, la impedància totalval el que es pot observar en la figura 1.20. En forma rectangular:

Z = R+ j ·XL

En forma polar, el mòdul de Z:

Z =√

(R2 +X2L)

i l’angle de Z:

α = arctan

(XL

R

)Amb la qual cosa es pot posar que, en forma polar:

Z = Z∠α

Figura 1.21. Diagrama de tensions en un circuit RL

Les tensions prenen valors calculables. Segons la figura 1.21, les potències valenel següent:

• Potència aparent: S = V · I [VA]

• Potència activa: P = V · I · cosα [W]


• Potència reactiva: Q = V · I · sinα [VAr]

Es pot comprovar en la figura 1.22, en què es mostra el diagrama o triangle depotències.

Figura 1.22. Triangle de potències

Figura 1.23. Simulació d’un circuit RL

Exemple de càlculs en circuits RL

La figura 1.23 mostra una simulació amb un programa de càlcul de circuits. La font alternaés de 100 V (RMS és la sigla anglesa de valor eficaç), 141,42 V és el valor màxim i lafreqüència és de 50 Hz. Per calcular les intensitats, les tensions i les potències del circuitRL de la figura 1.23, es comença per calcular la impedància de la bobina:

XL = 100 · 10−3 · 2 · π · 50 = 31, 41 Ω

Després es calcula la impedància total, en forma rectangular:

Z = 100 + 31, 41j

En forma polar, el mòdul de Z :

Z =√

(1002 + 31, 412) = 104, 81

i l’angle de Z :

α = arctan31, 41

100= 17, 44

Aleshores, es pot escriure que, en forma polar

Z = Z∠α = 104, 81∠17,44

Observeu que el corrent està endarrerit un angle α igual al de la impedància.

RMS

De l’anglès root mean square,que significa mitjanaquadràtica, perquè es calculaelevant al quadrat els termes quehi intervenen, en termes desenyals s’atribueix al valoreficaç.


Les reactàncies capacitivestenen signe negatiu, al

contrari de les reactànciesinductives.

I =V

Z=

100∠0

104, 81∠17,44= 0, 95∠−17,44 A

• Potència activa: V · I · cosα [W] = 100 · 0, 95 · cos(17, 44) = 91, 02W

• Potència reactiva: Q = V · I · sinα [VAr] = 100 · 0, 95 · sin(17, 44) = 28, 47 VAr

1.5.2 Circuits RC

En la figura 1.24 es pot veure un circuit d’un condensador i una resistència ensèrie. Es pot apreciar com la intensitat està avançada respecte de la tensió unangle inferior a 90°.

Figura 1.24. Circuit RC en corrent altern

Per a la representació amb vectors:

• Una resistència es representa amb un vector sobre l’eix X (valor, R i angle0°).

• Una reactància capacitiva es representa amb un vector sobre l’eix Ynegatiu (valor, el de la XC i angle de -90°).

Com que totes dues components estan en sèrie, hem de sumar els dos vectors percalcular la impedància. En el cas d’una reactància capacitiva i una resistència ensèrie, la impedància total val, en forma rectangular:

Z = R− j ·XC

En forma polar, el mòdul de Z:

Z =√

R2 +X2C

I l’angle de Z:

α = arctan

(−XC

R

)Aleshores, es pot escriure que, en forma polar:

Z = Z∠α


Resoldre aquest circuit és trobar totes les intensitats, les caigudes de tensió i lespotències consumides, com es pot observar en la figura 1.25.

Figura 1.25. Triangle d’impedàncies d’un circuit RC

Observem que ara, en ser ZC negativa, l’angle α és negatiu. Veiem també que elcorrent està avançat un angle α igual al de la impedància.

Les tensions tenen el valor que s’indica en la figura 1.26.

Figura 1.26. Diagrama de tensions d’un circuit RC

I les potències (vegeu la figura 1.27):

• Potència aparent: S = V · I [VA]

• Potència activa: P = V · I · cosα [W]

• Potència reactiva: Q = V · I · sinα [VAr]

Figura 1.27. Diagrama de potències d’un circuit RC

En un circuit RC, laresistència consumeixpotència activa i elcondensador lliura potènciareactiva.


La funció arctg (arctangento arctan) és la inversa de la

funció tg (tangent o tan).

En un circuit RLC, laresistència consumeix

potència activa, la bobinaconsumeix potència reactiva

i el condensador lliurapotència reactiva.

Figura 1.28. Simulació d’un circuit RC

Exemple de càlculs en circuits RC

Per calcular la impedància del circuit RC, segons la simulació que es mostra en la figura1.28, amb una font de corrent altern de 100 VRMS i una freqüència de 50 Hz, cal començarper calcular la impedància del condensador:

XC =1

100 · 10−6 · 2 · π · 50= 31, 83 Ω

Després cal calcular la impedància total. En forma rectangular,

Z = 100− j · 31, 83

Ara podem calcular corrent i potència al circuit. Primer, l’angle del desfasament i laimpedància en polars:

α = arctan−31, 83

100= −17, 65

|Z| =√

1002 + 31, 832 = 104, 94 → Z = 104, 94∠−17,65

I ara:

I =V

Z=

100∠0

104, 94∠−17,65= 0, 953∠17,65 A

P = V · I · cosα = 100 · 0, 953 · cos(17, 65) = 90, 81W

Q = V · I · sinα = 100 · 0, 953 · sin(17, 65) = 28, 90 VAr

1.5.3 Circuits RLC

En un circuit RLC sèrie hi ha connectats una resistència, un condensador i unabobina en sèrie. Anàlogament en els circuits RC i RL, la resolució mitjançantvectors és la millor eina. En aquest cas, en dibuixar els vectors de les reactànciesus adonareu que, com que tenen la mateixa direcció i sentits oposats, l’un anul·laràl’altre, de manera que nomes hi quedarà la component predominant.


En un circuit RLC, la reactància total és la diferència de reactànciesXL −XC

i la impedància total, en forma rectangular, seràZT = R+ j · (XL −XC)

Figura 1.29. Simulació d’un circuit RLC

Exemple de càlculs en circuits RLC

Calculeu les intensitats, les caigudes de tensió i les potències que es produeixen en uncircuit RLC en sèrie connectat a una font de corrent altern de 100 V i una freqüència de71,176 Hz. Les components passives són R = 100 Ω, L = 50 mH, C = 100 µF. En la figura?? podeu veure el circuit amb els valors de les components. S’hi han afegit tres voltímetres iun amperímetre per tal de mesurar les tensions en cada component i la intensitat del circuit.

Comencem per calcular la impedància del condensador:

XC =1

100 · 10−6 · 2 · π · 71, 176= 22, 36 Ω

Després calculem la impedància de la bobina:

XL = 50 · 10−3 · 2 · π · 71, 176 = 22, 36 Ω

La suma de la reactància de la bobina i el condensador val el següent:

X = XL −XC = 22, 36− 22, 36 = 0 Ω

Aquest és el resultat en l’eix de les Y. En l’eix de les X tenim el valor de la resistència (100Ω). En forma rectangular, la impedància total és:

Z = R+ j ·X = 100 + j · 0 = 100 Ω

En aquest cas el circuit estaria funcionant a la freqüència de ressonància.

Observeu que en ser un circuit predominantment capacitiu -la impedància delcondensador és superior a la de la bobina- el corrent està avançat respecte de latensió i a l’inrevés: en un circuit predominantment inductiu -la impedància de la


bobina és superior a la del condensador- el corrent està endarrerit respecte a latensió.

1.6 Potència

En general, en termes vectorials, si es té una tensió V amb un angle α (Vα) i uncorrent I amb un angle β (Iβ), es defineix una potència aparent S com el productevectorial

S = V × I?

Aquí, I* és el vector conjugat del corrent (angle β canviat de signe). Operativa-ment, es pot calcular així:

S = VRMS · IRMS(∠α−∠β)

És a dir, el valor eficaç de la tensió, amb el seu angle, multiplicat pel valor eficaçdel corrent amb l’angle canviat de signe.

Aquesta potència es diu aparent perquè no és la potència realment consumida,però és un valor important perquè és la potència que circula per la línia elèctrica(part de la potència S es consumeix i part torna a la línia).

Com es pot veure en la figura 1.30, la potència té una freqüència doble respecte dela tensió i el corrent. Hi ha una part de la potència que és negativa (que es retorna ala xarxa) i una part que és positiva (que es consumeix realment). El valor mitjà dela potència consumida és superior a 0, si α és diferent de 90°. Això passa sempresi en el circuit hi ha alguna resistència.

Figura 1.30. Potència sinusoïdal

Observem que la potència aparent és un vector que pot estar donat per les sevescoordenades polars o rectangulars. En cas que estigui donat per les coordenadespolars (Sα-β = Sϕ), S representa el valor de la potència aparent i l’angle α-β, elfactor de potència. Si està donat per les coordenades rectangulars (S = P + Qj),S representa igualment la potència aparent, P la potència activa consumida i Qla potència reactiva.


Si representem la potència (Sα-β = Sϕ) en un sistema X-Y, veurem el significat deles seves components rectangulars.

Figura 1.31. Potència aparent, potència activa i potènciareactiva

Per completar la figura 1.31, en la taula 1.8 s’especifiquen la denominació i lesunitats de cada potència.

Taula 1.8. Potències vectorials

Símbol Denominació Significat Unitats

S Potència Aparent Potència que circula perla línia

Voltampers (VA)

P Potència Activa Potència consumida queconsumeix el circuit

Watts (W)

Q Potència Reactiva Potència absorbida ientregada a la xarxa

Voltampers reactius(VAr)

Exemple de càlcul de potències

Per calcular les potències que consumeix un circuit, al qual hi ha connectada una tensióde 100 V amb un angle 0° i absorbeix una intensitat de 4 A amb un angle de 40°, s’ha decalcular la potència aparent amb la fórmula donada:

S = V · I∗ = 100∠0 · 4∠−40 = 400∠−40 VA

Observem que s’ha fet servir el corrent amb l’angle canviat de signe. Ara cal trobar lescomponents d’aquesta potència aparent:

• Potència activa: P = 400 · cos−40 = 306, 42W

• Potència reactiva: Q = 400 · sin−40 = −257, 12 VAr

Això vol dir que el circuit consumeix realment 306,42 W, uns altres 257,12 els absorbeix iels retorna a la xarxa en diferents moments i en total la xarxa transporta 400 VA. Notem queen cap cas les potències activa i reactiva sumades donen la potència aparent: cal efectuaruna suma vectorial.


2. Càlculs i paràmetres en corrent altern

Per resoldre, planificar i manipular sistemes de corrent altern es fan servir lesnormes i les lleis universals de l’electricitat, amb les particularitzacions obliga-tòries del corrent altern enfront del comportament dels circuits i els sistemes encorrent continu. En concret, revesteixen especial importància conceptes com laressonància i el factor de potència. Tot això és degut al fet que, immersos ensenyals i alimentacions en altern, és a dir, amb l’aparició de la freqüència com aparàmetre representatiu d’un senyal, els condensadors i les bobines es comportencom a impedàncies, el valor de les quals depèn de la freqüència.

2.1 Factor de potència. Correcció del factor de potència

El factor de potència d’un circuit de corrent altern és la relació entre la potènciaactiva (P) i la potència aparent (S). També es pot definir com el cosinus del’angle que formen els fasors de la intensitat i la tensió.

El factor de potència es calcula així:cosϕ =

P

S

Triangle de potències

Cal tenir en compte les conclusions següents, que són importants:

• Un factor de potència baix comparat amb un altre d’alt origina, per a unamateixa potència, una demanda d’intensitat més gran, la qual cosa implicala necessitat d’utilitzar cables amb una secció més gran.

• La potència aparent és més gran com més baix és el factor de potència, laqual cosa origina una major dimensió dels generadors.

Totes dues conclusions condueixen a una instal·lació alimentadora de cost méselevat, fet que no resulta pràctic a les companyies elèctriques, ja que la despesaés més gran per a un factor de potència baix. Per questa raó, les companyiessubministradores penalitzen l’existència d’un factor de potència baix i obliguena millorar-lo o imposen costos addicionals. Aquesta pràctica és coneguda com amillora o correcció del factor de potència i es fa mitjançant la connexió per mitjàde commutadors, en general automàtics, de bancs de condensadors o d’inductors.

Per exemple, l’efecte inductiu de les càrregues de motors es pot corregir localmentmitjançant la connexió de condensadors. De vegades es poden instal·lar motorssíncrons, mitjançant els quals es pot injectar potència capacitiva o reactiva i nomésvariar el corrent d’excitació del motor.

Fasor

El fasor és el vector emprat perrepresentar magnitudselèctriques alternes escalars quevarien sinusoïdalment amb eltemps, i que es pot tractar comun nombre complex, la part realdel qual és igual a la magnitudque representa.


Les pèrdues d’energia en les línies de transport d’energia elèctrica augmentena mesura que creix la intensitat. Tal com s’ha comprovat, com més baix és elfactor de potència d’una càrrega, més corrent fa falta per aconseguir la mateixaquantitat d’energia útil. Per tant, les companyies subministradores d’electricitat,per aconseguir una major eficiència de la seva xarxa, requereixen que els usuaris,especialment els que utilitzen grans potències, mantinguin els factors de potènciade les seves respectives càrregues dins d’uns límits especificats. En cas contrari,estan obligades a abonar pagaments addicionals per l’energia reactiva.

La millora del factor de potència s’ha de fer d’una manera acurada a fi demantenir-lo al més alt possible. Per aquesta raó, en casos de grans variacionsen la composició de la càrrega és preferible que la correcció es faci per mitjansautomàtics.

Figura 2.1. Exemple de factor de potència

Exemple de la importància pràctica del factor de potència

Per entendre la importància pràctica del cosϕ, imaginem un motor monofàsic de 1.000 Wa 220 V amb un cosϕ = 0,6. Aquestes dades ens indiquen que el motor desenvolupa unapotència mecànica equivalent als 1.000 W de potència activa, subministrats per la xarxaelèctrica. Per altra banda, el factor de potència està bastant per sota de la unitat, la qualcosa ens mostra la presència d’una potència reactiva elevada, causada per l’efecte del’autoinducció dels bobinatges.

Cal dir que la potència reactiva no es transforma en treball útil del motor, sinó quesimplement serveix per generar el camp electromagnètic i després es retorna al generador.Aquest canvi constant d’energia reactiva del generador al motor, i a l’inrevés, fa que lacompanyia subministradora d’energia elèctrica hagi de proporcionar una potència aparentper a la xarxa molt superior a la que consumeix realment (vegeu la figura 2.1 pel que fa alfactor de potència d’aquest motor).

S =P

cosϕ=

1.000

0, 6= 1.667 VA

Q = S · sinϕ = 1.667 · 0, 8 = 1.334 VAr

I =P

V · cosϕ=

1000

220 · 0, 6= 7, 6 A

De les dades obtingudes es dedueix que el motor produeix un consum de 1.000 W, perònecessita un subministrament de 1.667 VA a la línia per funcionar. Si mitjançant algunmètode es pogués millorar el factor de potència, per exemple a 0,95, s’obtindrien els valorsque es mostren en la figura 2.2.


Figura 2.2. Triangle de potències modificat

S =P

cosϕ=

1.000

0, 95= 1.053 VA

Q = S · sinϕ = 1.053 · 0, 31 = 326 VAr

I =P

V · cosϕ=

1.000

220 · 0, 95= 4, 8 A

Si el factor de potència s’apropa a la unitat s’obtindrà una reduccióconsiderable del corrent i també de les potències aparent i reactiva.

2.2 Acoblament en paral·lel dels receptors

La característica fonamental en els sistemes als quals es connecten els receptors enparal·lel és que aquests estan alimentats a la mateixa tensió. La figura 2.3 mostraun circuit en què s’ha connectat una branca RC en paral·lel a una branca RL.

Figura 2.3. Acoblament en paral·lel de receptors en CA

Per resoldre aquest circuit, el diagrama vectorial agafa com a referència la tensió V,que es la mateixa per a totes dues branques, i es calculen per separat les intensitatsI1 i I2. La intensitat total serà la suma (vectorial) de totes dues. Podem observarel diagrama vectorial en la figura 2.4.


Ressonància

En un circuit en ressonància,l’energia reactiva que consumeixla bobina la lliura íntegrament el

condensador. La resistènciaconsumeix potència activa.

Figura 2.4. Diagrama vectorial de tensions i corrents

I1 =V

Z1

I2 =V

Z2

La resolució d’aquest tipus de circuits es complica molt més quan s’hi interconnec-ten receptors de forma mixta, per aquesta raó s’utilitzen els nombres complexos.

2.3 Ressonància

Un cas especial del circuit RLC es dóna quan la impedància de la bobina ésidèntica a la del condensador (XL = XC).

Com que aquestes impedàncies són de sentit contrari, s’anul·len entre elles il’única limitació al corrent que passa pel circuit és la resistència en sèrie. Ésun cas especial que cal estudiar, perquè en aquestes condicions es poden produirintensitats i tensions molt grans, les quals poden sobrepassar els valors nominalsd’alguns components del circuit.

Això pot ocórrer, per exemple, quan es posen bateries de condensadors percompensar la potència reactiva en consums elevats, normalment industrials. Enaquest cas tenim els condensadors de les bateries en sèrie amb la resistència i lareactància inductiva de la línia d’alimentació.

La condició de ressonància és la següent:XL = XC

I on la freqüència de ressonància es calcula com:f =

1

2 · π ·√LC

Exemple de circuit RLC ressonant

Calcularem les intensitats, les caigudes de tensió i les potències que es produeixen en uncircuit RLC en sèrie connectat a una font de corrent altern de 100 V, amb una freqüènciade 71,176 Hz i amb aquests valors per als components passius: R = 100 Ω, L = 50 mH, C


= 100 µF.

Cal començar per calcular la impedància del condensador:

XC =1

100 · 10−6 · 2 · π · 71, 176= 22, 36 Ω

Després s’ha de calcular la impedància de la bobina:

XL = 50 · 10−3 · 2 · π · 71, 176 = 22, 36 Ω

La suma de la reactància de la bobina i el condensador té aquest valor:

XL −XC = 22, 36− 22, 36 = 0

En aquest cas,

Z = R = 100 Ω

El corrent, ja que la reactància total del circuit és 0, seria

I =V

R=

100

100= 1 A

I les tensions serien, en el cas de la bobina:

V = XL · I = 22, 36 · 1 = 22, 36 V

i en el cas del condensador:

V = XC · I = 22, 36 · 1 = 22, 36 V

Tingueu en compte que com que les reactàncies del condensador i la bobina són –a l’horadel càlcul de la impedància total del circuit– de signe contrari, aquestes tensions són designe diferent i s’anul·len.

En aquest cas les tensions són normals, però si la resistència del circuit, en lloc de 100 Ω,fos d’1 Ω el corrent del circuit seria de 100 A i les tensions a la bobina i el condensadorserien de 2.236 V. El disseny del circuit ha d’estar preparat per a eventualitats d’aquestamena.

Que l’angle sigui 0 vol dir que no es consumeix potència reactiva i que tota la potència ésactiva, és a dir,

P = 100 · cos 0 = 100W

Q = 100 · sin 0 = 0

Exemple de càlcul de freqüència de ressonància

En un circuit RLC sèrie, amb R = 50 Ω, L = 47 mH i C = 125 µF, quina serà la freqüènciade ressonància?

f =1

2 · π ·√L · C

=1

2 · π ·√47 · 10−3 · 125 · 10−6

= 65, 6 Hz

2.4 Eina per a la resolució de circuits: els nombres complexos

La utilització de nombres complexos permet resoldre, sense dificultat, circuitsen què hi hagi combinacions de receptors en sèrie i en paral·lel. Els nombrescomplexos poden representar un vector en un sistema cartesià. Com que totes lesmagnituds en corrent altern es poden traçar com a nombres complexos, els circuits


de corrent altern es poden resoldre aplicant-hi els mateixos mètodes que en el casdel corrent continu. En lloc de fer servir nombres reals, es faran servir nombrescomplexos.

Els nombres complexos, com ara a + jb, consten d’una part real (a) i d’una partimaginària (b). La j que distingeix les dues parts del nombre complex és la unitatimaginària:

j =√−1

Figura 2.5. Representació vectorial de nombres complexos

Tal com es pot veure en la figura 2.5, els nombres reals positius es representena la dreta de l’eix X, mentre que els nombres reals negatius es representen al’esquerra del mateix eix. De la mateixa manera, els nombres imaginaris positiuses representen a la part superior de l’eix Y, mentre que els nombres imaginarisnegatius es representen a la part inferior del mateix eix.

2.4.1 Representació d’un nombre complex

Un nombre complex es pot representar de manera algebraica o també de manerapolar:

• La representació en forma algebraica és Z = a + jb, en què a és la partreal i b és la part imaginària

• La representació argumental o polar és Z = m∠ϕ, en què m és el mòduli ϕ és l’angle o argument

Per obtenir el mòdul i l’angle s’utilitzen les fórmules següents:


m =√a2 + b2

ϕ = arctanb

a

Figura 2.6. Circuit en sèrie

Exemple previ de tractament de circuits amb nombres complexos

Quan es té un circuit en sèrie, com el que apareix en la figura 2.6, i se’n vol determinar laimpedància en forma complexa, es pot fer mitjançant:

• La seva representació en forma algebraica (Z = a + jb = 5 + j10), en què R = 5 és la partreal i XL = j10 és la part imaginària positiva

• La seva representació argumental o polar Z = m∠ϕ, en què m és el mòdul i ϕ és l’angle oargument

En aquest circuit s’obtenen aquests resultats:

m =√52 + 102 = 11, 18

ϕ = arctan10

5= 63, 4

Z = 11, 18∠63,4Ω

2.4.2 Operacions amb nombres complexos

Les operacions amb nombres complexos que estudiarem tot seguit són la suma,el producte i el quocient. En teoria, es pot fer qualsevol operació amb nombrescomplexos, però amb les quatre operacions elementals en tindrem prou per cobrirles nostres necessitats en electrotècnia.

S’ha de tenir en compte que per fer cadascuna de les operacions, els nombreshauran d’estar en el format correcte a fi de facilitar l’operació (això no vol dir queno es pugui fer d’una altra manera, sinó que de la manera indicada es triga menys):

• Per a les sumes i les restes els operands hauran d’estar en forma algebraica(en forma de binomi part real i part imaginària).

• Per als productes i els quocients els operands hauran d’estar en forma polar(en forma de mòdul i argument).


Nombre complex conjugat

Un nombre complex conjugat ésun nombre que té la mateixa partreal i la part imaginària canviada

de signe. Així, el nombrecomplex conjugat de 3 + j6 serà

3 - j6.

Suma de nombres complexos

De la suma de dos nombres complexos s’obté un altre nombre complex, que téuna part real (suma de les dues parts reals) i una part imaginària (suma de les duesparts imaginàries).

La forma algebraica és l’única manera pràctica de poder fer sumes i restes.

La suma de nombres complexos es fa d’aquesta manera:

(5 + j10) + (3− j12) = (5 + 3) + j(10− 12) = 8− j2

Producte de nombres complexos

A l’hora de fer el producte de dos nombres complexos es pot fer de maneraalgebraica o polar. Pel que fa a la forma algebraica, el resultat s’obté a partirde l’aplicació de les regles habituals de l’àlgebra, juntament amb les regles delsnombres imaginaris. Després es multipliquen els dos binomis. S’ha de tenir encompte el següent:

j2 =(√

−1)2

= −1

El producte de nombres complexos es fa d’aquesta manera:

(4 + j5) · (3 + j2) = 4 · 3 + 4 · j2 + j5 · 3 + j5 · j2 =

= 12 + j8 + 15j − 10 = 2 + j23

Quant a la forma polar, el resultat s’obté a partir de la multiplicació dels mòdulsi la suma dels arguments. Fixem-nos en l’exemple següent:

3∠15 · 4∠30 = 12∠45

Quocient de nombres complexos

Com en el cas del producte, hi ha dues maneres de calcular un quocient:l’algebraica i la polar. Per fer-ho de manera algebraica, el resultat s’obtémultiplicant el numerador i el denominador pel nombre conjugat deldenominador. D’aquesta manera s’aconsegueix transformar aquest últimnombre en un nombre real. Llavors es podrà fer la divisió directament.

El quocient de dos nombres complexos es calcula d’aquesta manera:

4 + j5

2 + j3=

(2− j3) · (4 + j5)

(2− j3) · (2 + j3)=

23− j2

22 + 32=

23− j2

13= 1, 77− j0, 15

En forma polar, el resultat és un altre nombre complex, el mòdul del qual s’obtédel quocient dels mòduls i l’angle per mitjà de la resta dels angles. Per exemple:


20∠80

5∠60=

(20

5

)∠(80−60)

= 4∠20

2.5 Circuits amb nombres complexos

La impedància Z d’un circuit s’escriu com un nombre imaginari, que técom a part real el valor òhmic de la resistència R i com a part imaginàriael valor de la reactància X. És positiva per a les inductàncies i negativa pera les capacitives.

Valors complexos de la impedànciad’un circuit

Com que la impedància és un nombre complex que es pot expressar de manerapolar i de manera algebraica, tant si és en sèrie com en paral·lel, les operacionsseran les següents:

• Sèrie: es farà tal com s’indica en la figura 2.7.

• Paral·lel: es farà tal com es veu en la figura 2.8.

Figura 2.7. Impedàncies en sèrie

Figura 2.8. Impedàncies en paral·lel

Figura 2.9. Exemple de circuit RLC


L’electroluminescència...

... és l’emissió de llum quepresenten certs sòlids quan són

excitats per un camp elèctric.

La luminotècnia...

... és la tècnica que consisteix ail·luminar artificialment un espai

des d’un punt de vista més omenys artístic.

Exemple de càlcul d’un circuit amb nombres complexos

Calcularem, en el cas del circuit sèrie RLC sèrie de la figura 2.9, quins són la impedància,la intensitat, l’angle de desfasament i les potències.

La impedància equivalent en forma algebraica seria la següent:

Z = 10 + j20− j35 = 10− j15

Aleshores es passa la impedància a la forma polar:

Z =√102 + 152 = 18

ϕ = arctan−15

10= −56, 3

Segons la llei d’Ohm:

I =V

Z

I =100

18∠−56,3=

(100

18

)∠0−(−56,3)

= 5, 56∠56,3

El corrent està avançat 56,3°.

Les potències són les següents:

• Potència activa: P = V · I · cosϕ = 100 · 5, 56 · cos(−56, 3) = 308, 49W

• Potència reactiva: Q = V · I · sinϕ = 100 · 5, 56 · sin(−56, 3) = −462, 57 VAr

• Potència aparent: S = V · I = 100 · 5, 56 = 556 VA

2.6 Tipus de làmpades. Utilització. Concepte d’eficiència energèticaaplicat a les làmpades

Quan es parla de magnituds lluminoses fonamentals s’ha de parlar de doscomponents bàsics que han de ser objectes d’una avaluació: la font de llum il’objecte o l’estança que s’ha d’il·luminar.

La llum és una de les múltiples manifestacions de l’energia i, en concret,es pot definir com l’energia produïda per una gamma de radiacionselectromagnètiques que la fan ser, en molts casos, perceptible a l’ull humà.

Per exemple, no és el mateix il·luminar una estança de la qual es farà un úsdeterminat, com treballar a casa, que il·luminar una cuina o un safareig. En aquestscasos, el temps que passem a cada lloc de l’habitatge és diferent, igual que lautilitat que tenen.

En luminotècnia hi ha unes magnituds i unes unitats de mesura fonamentals perentendre després un càlcul correcte d’il·luminació en un habitatge o un taller.Aquestes magnituds són les següents:


• Flux lluminós o potència lluminosa

• Rendiment lluminós

• Quantitat de llum

• Intensitat lluminosa

• Il·luminació

• Luminància

Per parlar en termes d’electrotècnia, tot seguit ens centrarem en el flux lluminós iel rendiment.

2.6.1 Flux lluminós

Flux lluminós

El flux lluminós és la magnitud més important per fer càlculs lumínics. Tota lapotència elèctrica que produeix una làmpada no es transforma en flux lluminós:hi ha unes pèrdues que s’han de tenir en compte, que són per calor i per flux nolluminós.

El flux lluminós és l’energia radiant d’una font de llum que afecta lasensibilitat de l’ull durant un segon de temps. El flux lluminós es representaper la lletra grega Φ i la unitat de mesura és el lumen (lm), que com a unitatde potència correspon a 1/680 W emesos a una longitud d’ona de 555 nm.

2.6.2 Rendiment lluminós

El rendiment lluminós és una característica en el si de la luminotècnia que indicaquina quantitat de potència elèctrica és transformada en flux lluminós.

El rendiment lluminós indica el flux que emet una font de llum per cadaunitat de potència elèctrica que consumeix per produir llum.

El rendiment lluminós es representa per la lletra grega eta η i la unitat és el lumenper watt (lm/W).

La fórmula que expressa el rendiment lluminós és la següent:

η =Φ

P

A on:


Hi ha dos tipus delàmpades halògenes...

... les làmpades de casquetsceràmics i les de doble

embolcall. Aquestes últimestambé disposen de casquet i, per

tant, es poden adaptar alsportalàmpades convencionals.

• Φ és el flux lluminós expressat en lúmens (lm)

• P és la potència elèctrica expressada en watts (W)

2.6.3 Tipus de làmpades

Una làmpada és una font artificial construïda amb la finalitat de produir llum. Ambaquesta llum produïda n’hi ha d’haver prou per il·luminar artificialment un objecte,una persona o un espai. Hi ha diversos tipus de làmpades que responen a diferentsnecessitats d’il·luminació artificial.

Un criteri que no és ben bé una classificació de la lluminària, sinó de la fabricacióde làmpades que es fan servir en un habitatge, podria ser:

• Làmpades de llum incandescent

• Làmpades luminescents

• Làmpades de LED

Làmpades de llum incandescent

Les làmpades incandescents són les fonts que produeixen llum a partir de laincandescència de cossos sòlids en ser travessats per un corrent elèctric. Elprincipi de funcionament es basa en l’emissió de radiacions visibles a l’ull humà,a causa de l’augment de temperatura que experimenta un fil conductor molt primi de resistència elevada quan hi passa un corrent elèctric. Les làmpades de tungstèproporcionen una temperatura de color entre els 2.500 i els 2.900 kelvins, és a dir,produeixen una llum vermellosa.

Les fonts de llum principals que funcionen mitjançant el procediment d’incan-descència són les làmpades d’incandescència i les làmpades halògenes. Lacaracterística bàsica de les làmpades d’incandescència és que l’energia consumidaes transforma majoritàriament en calor, per la qual cosa el seu rendiment lluminósés molt baix. Un exemple d’aquest tipus de làmpades són les bombetes per aenllumenat domèstic. Malgrat aquest desavantatge, cal destacar l’enorme qualitatque tenen aquestes bombetes a l’hora d’emetre un espectre continu, tenen unareproducció cromàtica molt bona.

Les làmpades halògenes són fonts de llum incandescents amb filament, gene-ralment de tungstè, que en l’interior contenen una atmosfera gasosa formadaper gas inert i per un halogen o un halogenur metàl·lic, com el iode, el cloro el brom. L’halogen permet reparar automàticament la pèrdua de partículesdel tungstè i aconsegueix minimitzar els efectes del despreniment. D’aquestamanera s’aconsegueixen temperatures més elevades amb dimensiones més petites,augmenta l’eficàcia lluminosa i la vida mitjana de la làmpada també és més gran.


Làmpades luminescents

Les fonts de llum luminescent són les fonts en què la llum produïda s’obté per ex-citació d’un gas sotmès a descàrregues elèctriques entre dos elèctrodes. El principide funcionament per aconseguir llum mitjançant luminescència s’aconsegueix enestablir un corrent elèctric entre dos elèctrodes, situats en l’interior d’un tub plede gas o vapor ionitzat.

La diferència de potencial entre els dos elèctrodes provoca un flux d’electrons enl’interior del tub que, en xocar amb els àtoms de gas que conté el tub o l’ampolla,desplacen de les seves òrbites els electrons del gas ionitzat i absorbeixen energia.Al cap d’uns instants, els electrons desplaçats tornen a la seva posició inicial ialliberen l’energia presa amb anterioritat en forma de radiacions, principalmentultraviolades.

Hi ha diversos tipus de làmpades segons el gas utilitzat i la pressió de l’ampolla.Cadascuna té les seves pròpies característiques lluminoses. Tenint en compteaquests dos criteris, les làmpades luminescents es poden classificar en làmpadesfluorescents, làmpades de vapor de mercuri –per exemple, les bombetes de llumvisible i ultraviolada emprades en l’enllumenat d’un hivernacle per afavorir elcreixement de les plantes– i halogenurs metàl·lics –làmpades de descàrrega d’ungas noble que produeix vapor de metall quan es volatilitza a causa de l’efectetèrmic de la descàrrega– i làmpades de vapor de sodi.

Làmpades de LED

Les fonts lumíniques de LED es basen en díodes emissors de llum de granpotència, els anomenats LED d’alta lluminositat. Gràcies a la davallada de preusque han patit aquest dispositius, han pogut irrompre en el mercat general (tantindustrial com domèstic) com a alternativa excel·lent als altres sistemes existents.A més, l’eficiència energètica i el consum reduït que presenten enfront dels llumsd’incandescència els fan molt útils.

Rendiment lluminós

Com ja sabem, el rendiment lluminós d’una font de llum és la relació entre el fluxlluminós emès i la potència consumida per la font. Així, per exemple, en el casd’una làmpada incandescent de 40 W, el rendiment lluminós η és d’11 lm/W i eld’una làmpada fluorescent de la mateixa intensitat és 80 lm/W.

2.7 Mesures de tensió i intensitats en línies monofàsiques

Per efectuar les mesures de la tensió i les intensitats en línies monofàsiquesd’alterna es fa servir un voltímetre o un amperímetre. A l’hora de fer les lectures


Transformadors estàndard

Es fabriquen transformadors deles intensitats primàries següents:

5, 10, 15, 25, 30, 40, 50, 60, 75,100, 125, 150, 175, 200, 250,300, 400, 500, 600, 750, 800,

1000, 1200, 1500, 2000, 2500,3000, 4000 i 5000, totes elles en

A.

de la tensió i les intensitats es començarà sempre per la mesura de les intensitatsi després, la de la tensió.

2.7.1 Mesures d’intensitats en línies monofàsiques

Polímetre

La mesura de la intensitat es fa mitjançant un amperímetre, que es connecta ensèrie al circuit del qual es vol mesurar el corrent (vegeu la figura 2.10).

Figura 2.10. Mesura d’intensitat amb amperímetre

A l’hora de mesurar un corrent altern és indiferent la polaritat de connexió.Recordeu, però, que a l’hora de mesurar la intensitat, si el corrent és continu, calconnectar l’amperímetre en funció de la polaritat del circuit. Si no us donaràun resultat negatiu a la pantalla. Quan el corrent que es vol mesurar és moltelevat, no es fàcil trobar un aparell adequat que permeti mesurar-lo directament.En aquests casos, per a corrent altern s’utilitzen els transformadors d’intensitat.En la figura 2.11 es mostra un circuit en què s’ha connectat un transformadord’intensitat a la línia amb l’objectiu de mesurar el corrent elevat que hi passa.

Figura 2.11. Mesura d’intensitat amb un transformador

El transformador d’intensitat consta de dos circuits:

• El primari es connecta a la línia de què es vol mesurar el corrent.

• El secundari es connecta entre els extrems de l’amperímetre.

El transformador d’intensitat aconsegueix que pel circuit secundari, al qual esconnecta l’amperímetre, circuli un corrent reduït i sempre proporcional al corrent


del circuit primari, connectat amb el circuit que es vol mesurar. D’aquesta manera,s’aconsegueix reduir considerablement el corrent per l’amperímetre, tot i quecal, com és palès, conèixer la proporció en la reducció del corrent per poderinterpretar després la mesura de l’amperímetre. Per aquest motiu, els fabricantsde transformadors proporcionen una característica, coneguda com a relació detransformació, que indica la relació entre el corrent primari I1 i el secundari I2:

m =I1I2

A la placa de característiques dels transformadors d’intensitat apareixen elsvalors de la intensitat nominal del primari i del secundari. Així, per exemple,la característica 100/5 ens indica que quan passa una intensitat de 100 Apel primari, només passa una intensitat de 5 A pel secundari connectat al’amperímetre.

2.7.2 Mesures de tensió en línies monofàsiques

Per mesurar la tensió es fa servir el voltímetre, un aparell que es connecta entreels extrems de la tensió que es vol mesurar (vegeu la figura 2.12). Un mitjà perampliar el límit de mesura d’un voltímetre consisteix a utilitzar resistències ensèrie o transformadors.

Figura 2.12. Mesurar la tensió amb voltímetre

Quan es tracta de mesurar tensions elevades en corrents alterns només es podenfer servir transformadors.

La figura 2.13 mostra un transformador de tensió connectat a la línia, ambl’objectiu de mesurar la tensió elevada que hi ha. El transformador de tensióconsta de dos circuits: el primari, que es connecta entre els extrems de la líniaen què es vol mesurar la tensió, i el secundari, que es connecta entre els extremsdel voltímetre.

Tensions nominals

Tal com passava amb elstransformadors d’intensitat, a laplaca de característiques delstransformadors de tensióapareixen els valors de la tensiónominal del primari i delsecundari.


Si la característica és5.500/110 V, per exemple,

indica que quan s’aplica unatensió de 5.500 V en el

primari, en el secundari, alqual està connectat el

voltímetre, apareixen només110 V.

Figura 2.13. Esquema de connexió d’un transformador detensió

El transformador de tensió aconsegueix que en el circuit secundari, al qual esconnecta el voltímetre, hi hagi una tensió més reduïda i sempre proporcional ala que està sotmès el primari, que també està connectat al circuit a mesurar (elsecundari). D’aquesta manera, s’aconsegueix reduir considerablement la tensióque s’aplica al voltímetre. Per poder fer mesures posteriorment al voltímetre, calsaber la proporció de la reducció de tensió. Els fabricants dels transformadorsproporcionen la relació de transformació, que indica la relació entre la tensió quehi ha en el primari V 1 i en el secundari V 2:

m =V1

V2

2.8 Mesures de potència activa i energia en línies monofàsiques

La mesura de potència en les línies monofàsiques es pot fer mitjançant wattíme-tres monofàsics, connectats de tal manera que s’aconsegueix mesurar la potènciaactiva de la càrrega.

El wattímetre és un aparell per mesurar la potència elèctrica consumida enun circuit.

2.8.1 Mesures de potència activa

La pinça amperimètrica del wattímetre es connecta en sèrie amb el conductor de lafase i en mesurarà el corrent. El voltímetre, que es connecta entre fase i el neutre,mesura la tensió de fase (figura 2.14).


Figura 2.14. Esquema de connexió de mesures de potènciaen línies monofàsiques

El wattímetre indica la potència en la fase.

La potència activa del sistema serà la potència indicada a la lectura del wattímetre.

2.8.2 Mesures d’energia en línies monofàsiques

El mesurament de l’energia elèctrica es fa mitjançant comptadors d’energia,aparells que mesuren el producte de la potència pel temps.

E = P · t

Per aquest motiu fan servir un sistema similar al d’un wattímetre, que mitjançantun circuit voltimètric i un altre d’amperimètric permet mesurar la potència. Pertal d’enregistrar el valor del producte P · t, incorporen un sistema de rellotgeria.El resultat gairebé sempre s’expressa en kilowatts hora (kWh).

2.9 Càlcul de caigudes de tensió en línies monofàsiques de CA

En les línies monofàsiques hi ha una caiguda de tensió en cadascun dels conduc-tors.

La caiguda de tensió entre fases serà:

∆V = RL · IF · cosϕ

A on:

• ∆V és la caiguda de tensió expressada en V

• RL és la resistència de la línia en Ω

• IF és el corrent eficaç en la línia expressat en A

• cosϕ és el factor de potència (FP) de la càrrega


En la secció “Annexos”del web del mòdul

trobareu disponible lataula sobre gruixos de

cables inclosa en laITC-BT 19 del REBT.

La secció S del conductor es dedueix a partir de l’expressió de la resistència enfunció de la resistivitat, tenint en compte que la longitud total de cable és el doblede la longitud de la línia (un cable d’anada i un de tornada):

RL = ρ · 2 · LS

Aleshores, si es substitueix l’expressió anterior en la primera i s’opera, dóna elresultat següent:

S =ρ · 2 · L · IF · cosϕ

∆V

A on:

• S és la secció del conductor, expressada en mm2

• ρ és la resistivitat de la línia, expressada en Ω·mm2/m

• L és la longitud de la línia, expressada en m

• IF és el corrent eficaç en la línia, expressat en A

• cosϕ és el factor de potència (FP) de la càrrega

• ∆V és la caiguda de tensió expressada en V

A l’hora de triar el calibre dels cables, s’ha d’agafar la secció de gruix immediata-ment superior al valor obtingut en la fórmula, segons la taula inclosa en la ITC-BT19 del REBT, que indica que pel cable només podrà passar un màxim de correntdeterminat en funció de les característiques i de la secció. Cal comprovar queel corrent màxim en la instal·lació sigui inferior al corrent màxim permès en elscables triats. Si no, caldrà triar uns cables amb una secció superior que garanteixinque el corrent quedi per sota del màxim permès.

Exemple de càlcul de la secció recomanable de cable

Si una línia és a 230 V i alimenta un local que posseeix una longitud de 75 m, quina ésla secció més recomanable si es demana que la caiguda de tensió no superi el 2% del’alimentació?

Per esbrinar-ho, heu de tenir en compte aquests dades:

• Característiques dels cables: 1 conductor unipolar i 1 de neutre de PVC en un tub encastata l’obra; Corrent de línia IF = 48 A

• Factor de potència: cosϕ = 0, 85

• Resistivitat del coure: ρ = 0, 0178 Ω ·mm2/m

Solució

D’entrada, cal calcular la caiguda màxima permesa de tensió en volts:

∆V = 230 · 0, 02 = 4, 6 V

Aleshores, podeu passar a calcular la secció, tenint en compte el corrent amb el factor depotència:


S =ρ · 2 · L · IF · cosϕ

∆V=

=0, 0178 · 2 · 75 · 48 · 0, 85

4, 6= 23, 68 mm2

De la taula inclosa en la ITC-BT 19 del REBT es desprèn que la secció comercial decable serà de 25 mm2. El corrent màxim permès en cables d’aquesta secció i d’aquestescaracterístiques és de 77 A. Com que aquest valor és superior als 48 A que teniu en lavostra instal·lació, la secció triada és adequada.

càlculs de circuits de corrent altern monofàsic...un alternador elemental per poder fer càlculs...

Documents