ECUACIÓN Y FUNCIONES

Clasificación de funciones reales Las funciones reales son aquellas que cumplen las siguientes condiciones:

a) El dominio es un conjunto de los Números Reales. b) El dominio es un subconjunto de los Números Reales.

o Función constante

Sea ; Decimos que f es una FUNCIÓN CONSTANTE, si a cada valor real le asigna un valor fijo K; en símbolos:

Plano Cartesiano

Operación Entre Funciones A partir de dos funciones definidas en los números reales podemos hallar nuevas funciones. Sean las funciones reales y . Una función se puede operar con otras funciones de las siguientes maneras:

Suma de funciones: f g x f x g x

La suma es otra función, cuyo resultado se obtiene sumando los términos semejantes de las funciones dadas.

‐3     ‐2     ‐1     0         1      2      3     4 

R 

R 

 

* 

* 

* 

‐2 

‐1 

0 

* 

* 

* 

* 

* 

K

R R 

 

 

Ejemplo: Sean y . Hallar f g x

f g x f x g x

Diferencia de funciones: xgxfxgf La diferencia otra función, cuyo resultado se obtiene restando los términos semejantes de las funciones dadas. Ejemplo: Sean y . Hallar f g x

xgxfxgf

Producto de funciones: xgxfxgf Ejemplo: Sean y . Hallar f g x

xgxfxgf

Cociente de funciones: 0;)(

)(

xg

xg

xfx

g

f

Ejemplo: Sean y . Hallar /f g x

0;

xgxg

xfxgf

Por lo que;

 

 

Composición de funciones: f g x f g x ; xg compuesto xf

g f x g f x ; xf compuesto xg

El dominio es el conjunto de valores de x para los que tengan sentido la operación realizada. Ejemplo: Sean y .

Determinar f g x

Ahora, determinar g f x

Función Lineal

Un par ordenado (x,y) de números reales tiene a x como primer elemento y a y como segundo elemento. El primer elemento se llama abscisa y el segundo elemento ordenado. Ejemplo: Graficar los siguientes pares ordenados y

8 

4 

3 7

Y 

X

 

 

Distancia entre dos puntos

Los puntos 11 , yx , 22 , yx y 12 , yx determinan un triángulo rectángulo en el cual las

longitudes de sus catetos están dados por 121 xxd y 122 yyd . Así aplicando el

teorema de Pitágoras se tiene 2122

12 yyxxd

Ejemplo: Calcular la distancia entre los siguientes pares ordenados y

Por tanto, reemplazando se obtiene:

2122

12 yyxxd

Punto Medio La fórmula del punto medio M de un segmento recto en el plano, es análoga a la fórmula obtenida para el punto medio de un intervalo (a,b).

2

,2

2121 yyxxM

X 

d1

dd2

X2,Y2

X2,Y1X1,Y1

Y2 

Y1 

X1 X2

Y 

M

d1

X 

d2

X2,Y2

X1,Y1

Y2 

Y1 

X1 X2

Y 

 

 

Ejemplo: Calcular el punto medio entre los siguientes pares ordenados

y Por tanto, reemplazando se obtiene:

2

,2

2121 yyxxM

Pendiente de La Recta La pendiente de una recta es el cociente entre las unidades de cambio vertical y las unidades de cambio horizontal de dos puntos cualesquiera. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 11 , yx y 22 , yx es:

1212

12 , xxxx

yy

x

ym

5X 

6 M(5,6)

C(7,8)

L(3,4)

8 

4 

3 7

Y 

x 

P2

X1 X2X 

m  y

P1

Y2

Y1

Y 

 

 

La inclinación de la recta depende de su pendiente de la siguiente manera:

a) Una recta con pendiente m>0, sube de izquierda a derecha. b) Una recta con pendiente m<0, baja de izquierda a derecha. c) Una recta con pendiente m=0, es horizontal. d) Una recta con pendiente indefinida, es vertical.

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los pares ordenados y

Remplazando se obtiene:

1212

12 , xxxx

yy

x

ym

Ecuación de La Recta Conociendo La Pendiente y Un Punto Intercepto La ecuación punto pendiente es de la forma 11 xxmyy con pendiente m y pasa por el

punto 11 , yx . Ejemplo Calcular la ecuación de la recta que pasa entre el par ordenado y que tiene por pendiente De la información tenemos que: , ,

 

4 

m = 1

3

Y

X

 

 

Por tanto al reemplazar la ecuación tenemos que;

11 xxmyy

La ecuación de la recta es:

Ecuación de La Recta Conociendo La Pendiente y El Punto de Corte Con El Eje Coordenado de las Ordenadas (Y)

La ecuación pendiente-intercepto es de la forma bmxy con pendiente m e intersección con el eje y en el punto (0,b). Ejemplo Calcular la ecuación de la recta que pasa entre el par ordenado K= (0,2) y que tiene por pendiente De la información tenemos que: m=1 y el punto es x=0 y y=2 Por tanto, al remplazar la ecuación tenemos:

11 xxmyy

012 xy xy 2 2 xy

La ecuación de la recta es: 2 xy

Y

X

m = 1

K(0,2)

 

 

Comparación de Posición Entre Funciones Lineales

o Rectas paralelas La pendiente de una recta nos permite saber cuando dos rectas son paralelas. Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Es decir que 21 mm .

o Rectas perpendiculares La pendiente de una recta también nos permite saber cuando dos rectas son perpendiculares. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes

cumplen la relación 2

1

1

mm

(X3,Y1) 

Y 

X

(X3,Y2) 

Y1 

Y2 

L1

L2

(X2,0) (X1,0)  (X3,0) 

1 2 

Y

X 

L1

(X3,Y1) 

(X3,Y2) 

Y1 

Y2 

L2

(X1,0)  (X3,0) 1