clasificación de isometrías en r2 y en r3jana/gal22010/clase19.pdf · 2010. 10. 28. ·...

isometrías en R2 isometrías de R3

Clasificación de isometrías en R2 y en R3

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

28 de octubre de 2010


teorema de clasificación


teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usual

T : R2 → R2 isometría⇔

1 T rotación de centro (0,0), o2 T simetría axial, con eje pasando por (0,0)




teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usualT : R2 → R2 isometría

⇔





teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usualT : R2 → R2 isometría⇔






1 T rotación de centro (0,0), o

2 T simetría axial, con eje pasando por (0,0)



demostración

T : R2 → R2 isometría

⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal

A =(

a11 a12a21 a22

)

⇒

a211 + a

221 = 1

a212 + a222 = 1

a11a12 + a21a22 = 0



demostración

T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal

⇒ columnas de A forman base ortonormal

A =(

a11 a12a21 a22

)

⇒

a211 + a

221 = 1

a212 + a222 = 1

a11a12 + a21a22 = 0



demostración

T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal

A =(

a11 a12a21 a22

)

⇒

a211 + a

221 = 1

a212 + a222 = 1

a11a12 + a21a22 = 0



demostración

(1) a211 + a

221 = 1

(2) a212 + a222 = 1

(3) a11a12 + a21a22 = 0

(1){

a11 = cos θa21 = sin θ

(2){

a12 = cosϕa22 = sinϕ

(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0

⇒ θ − ϕ = ±π2

⇒A =

(cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )

)



demostración

(1) a211 + a

221 = 1

(2) a212 + a222 = 1

(3) a11a12 + a21a22 = 0

(1){


(2){


(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0

⇒ cos(θ − ϕ) = 0

⇒ θ − ϕ = ±π2

⇒A =


)



demostración

(1) a211 + a

221 = 1

(2) a212 + a222 = 1

(3) a11a12 + a21a22 = 0

(1){


(2){


(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0

⇒ θ − ϕ = ±π2⇒

A =(

cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )

)



demostración

(1) a211 + a

221 = 1

(2) a212 + a222 = 1

(3) a11a12 + a21a22 = 0

(1){


(2){


(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0⇒ θ − ϕ = ±π2

⇒A =


)



demostración

(1) a211 + a

221 = 1

(2) a212 + a222 = 1

(3) a11a12 + a21a22 = 0

(1){


(2){


(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0⇒ θ − ϕ = ±π2⇒

A =(

cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )

)



demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(

cos θ cos(θ + π2 )sin θ sin(θ + π2 )

)

⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2

A =(

cos θsin θ

)

=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)(1 00 −1

)

⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x



demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2

A =(

cos θsin θ

)

=


)(1 00 −1

)




demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(


)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θ

caso ϕ = θ − π2

A =(

cos θsin θ

)

=


)(1 00 −1

)




demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(


)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2

A =(

cos θ cos(θ − π2 )sin θ sin(θ − π2 )

)

=


)(1 00 −1

)




demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(



A =(

cos θ sin θsin θ − cos θ

)

=


)(1 00 −1

)




demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(



A =(


)=


)(1 00 −1

)




demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(



A =(


)=


)(1 00 −1

)

⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ

⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x



demostración

caso ϕ = θ + π2

A =(



A =(


)=


)(1 00 −1

)




demostración

para concluir tenemos que probar⇐):

Si A rotación o simetría axial, entonces A isometría(ejercicio)



demostración

para concluir tenemos que probar⇐):Si A rotación o simetría axial, entonces A isometría

(ejercicio)



demostración

para concluir tenemos que probar⇐):Si A rotación o simetría axial, entonces A isometría(ejercicio)


observación

observación

observaciónT : R2 → R2 isometría

si T rotación, entonces det T = det A = 1si T simetría axial, entonces det T = det A = −1


observación

observación

observaciónT : R2 → R2 isometríasi T rotación, entonces det T = det A = 1

si T simetría axial, entonces det T = det A = −1


observación

observación

observaciónT : R2 → R2 isometríasi T rotación, entonces det T = det A = 1si T simetría axial, entonces det T = det A = −1


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy

)T isometría

(columnas forman base ortonormal)

χT (λ) = (1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169

= (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1

⇒ T simetría axial

eje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)

→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy

)

T isometría

(columnas forman base ortonormal)

χT (λ) = (1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169

= (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1



→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy

)T isometría (columnas forman base ortonormal)

χT (λ) = (1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169

= (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1



→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy

)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (

1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169

= (λ− 1)(λ+ 1)⇒ det T = −1



→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy


1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169 = (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1



→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy


1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169 = (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1

⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)

→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy


1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169 = (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1⇒ T simetría axial


→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy


1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169 = (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)

→ S1ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −

513y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy


1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169 = (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)→ S1

ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5

13y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy


1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169 = (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)→ S1ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −

513y = 0}

= [(−5,1)]


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y) =( 12

13 −5

13− 513 −

1213

)(xy


1213 − λ)(−

1213 − λ)−

25169 = (λ− 1)(λ+ 1)

⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)→ S1ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −

513y = 0} = [(−5,1)]


isometrías de R3

T : R3 → R3 isometría

⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥

⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal


isometrías de R3

T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormal

χT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥



isometrías de R3

T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real

⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥



isometrías de R3

T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χT

sea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥



isometrías de R3

T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1

tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥



isometrías de R3

T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥



isometrías de R3

B(T )B =

±1 a b0 c d0 e f

matriz ortogonal

⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es

E =(

c de f

)T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2

hay 4 casos:


isometrías de R3

B(T )B =

±1 a b0 c d0 e f

matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario

⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es

E =(

c de f


hay 4 casos:


isometrías de R3

B(T )B =

±1 0 00 c d0 e f

matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario

⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es

E =(

c de f


hay 4 casos:


isometrías de R3

B(T )B =

±1 0 00 c d0 e f

matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es

E =(

c de f


hay 4 casos:


isometrías de R3

B(T )B =

±1 0 00 c d0 e f


E =(

c de f

)

T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2

hay 4 casos:


isometrías de R3

B(T )B =

±1 0 00 c d0 e f


E =(

c de f

)T en este s.e.v. también es una isometría

E es una isometría de R2

hay 4 casos:


isometrías de R3

B(T )B =

±1 0 00 c d0 e f


E =(

c de f


hay 4 casos:


isometrías de R3

(I)

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

(II) 1 0 00 cos θ sin θ

0 sin θ − cos θ

(III)

−1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

(IV) −1 0 00 cos θ sin θ

0 sin θ − cos θ

caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]


isometrías de R3

(I)



0 sin θ − cos θ

(III)



0 sin θ − cos θ

caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)

⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]


isometrías de R3

(I)



0 sin θ − cos θ

(III)



0 sin θ − cos θ

caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1

caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]


isometrías de R3

(I)



0 sin θ − cos θ

(III)



0 sin θ − cos θ

caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)

simetría que deja fijo el eje [v1]


isometrías de R3

(I)



0 sin θ − cos θ

(III)



0 sin θ − cos θ

caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]


resumen

isometrías de R3

matriz asociada det T tr (T ) Acción


1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u


resumen

isometrías de R3

matriz asociada det T tr (T ) Acción 1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u


resumen

isometrías de R3


1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u 1 0 00 1 0

0 0 −1

-1 1 simetría respectodel plano S1


resumen

isometrías de R3



0 0 −1

-1 1 simetría respectodel plano S1 −1 0 00 cos θ − sin θ

0 sin θ cos θ

-1 −1 + 2 cos θ rotación alr.[u] seguido desimetría resp.[u]⊥


resumen

isometrías de R3



0 0 −1

-1 1 simetría respectodel plano S1 −1 0 00 cos θ − sin θ

0 sin θ cos θ

-1 −1 + 2 cos θ rotación alr.[u] seguido desimetría resp.[u]⊥ −1 0 00 −1 0

0 0 1

1 -1 simetría axial


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−

45x −

35z)

T isometría:

{(35 ,0,−45), (0,1,0), (−

45 ,0,−

35)} ortonormal

C(T )C =

35 0 −450 1 0−45 0 −

35

matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1

⇒ T simetría resp. plano S1

ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}

= [(1,0,2)]⊥


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−

45x −

35z)

T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−

45 ,0,−

35)} ortonormal

C(T )C =

35 0 −450 1 0−45 0 −

35



ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}

= [(1,0,2)]⊥


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−

45x −

35z)

T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−

45 ,0,−

35)} ortonormal

C(T )C =

35 0 −450 1 0−45 0 −

35

matriz asociada en la basecanónica

det T = −1, tr T = 1


ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}

= [(1,0,2)]⊥


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−

45x −

35z)

T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−

45 ,0,−

35)} ortonormal

C(T )C =

35 0 −450 1 0−45 0 −

35


⇒ T simetría resp. plano S1ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −

45z = 0}

= [(1,0,2)]⊥


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−

45x −

35z)

T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−

45 ,0,−

35)} ortonormal

C(T )C =

35 0 −450 1 0−45 0 −

35

matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1⇒ T simetría resp. plano S1

ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}

= [(1,0,2)]⊥


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−

45x −

35z)

T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−

45 ,0,−

35)} ortonormal

C(T )C =

35 0 −450 1 0−45 0 −

35

matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1⇒ T simetría resp. plano S1ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −

45z = 0}

= [(1,0,2)]⊥


ejemplo

ejemplo

ejemplo

T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−

45x −

35z)

T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−

45 ,0,−

35)} ortonormal

C(T )C =

35 0 −450 1 0−45 0 −

35

matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1⇒ T simetría resp. plano S1ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −

45z = 0} = [(1,0,2)]

⊥

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