clase_1_ii

UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES

MAESTRA EN COMERCIO Y NEGOCIOS

INTERNACIONALES FINANZAS - MERCADOS - EMPRESAS

Profesor: Lic. Carlos Emilio Martnez

02/07/2015

Lic. Carlos Emilio Martnez Pgina 2

Clase N 1 - Parte II - Unidad N 1

Contenidos

Tasa de inters Tasa de inters nominal Tasa de inters efectiva Tasas de inters equivalentes Inflacin y tasa real Inters simple Inters compuesto

Rentas financieras Clasificacin de Rentas financieras Valor actual de una renta financiera vencida, y tambin adelantada Valor final de una renta financiera vencida, y tambin adelantada

Bibliografa obligatoria

Clase virtual

Guillermo Lpez Dumrauf - Captulos I, II, y III Miner - Captulos 6 y 7

Carpeta de Matemticas Financieras UVQ Buzzi LeClech (Pginas 17 a 81)


Objetivos de la Clase N 1 - II

Con la clase de hoy damos inicio a la Unidad N1, cuyo objetivo fundamental es que ustedes se lleven los conceptos bsicos de las Matemticas de Operaciones Financieras, necesarios para poder entender una evaluacin econmica financiera, conceptos tales como Valor actual neto (VAN), Tasa interna de retorno (TIR), flujos de un Bono u Obligacin negociable, tasas de inters, etc.

El objetivo bsico de las Matemticas financieras es estudiar las variaciones de las sumas de dinero a travs del tiempo. Esos capitales financieros tienen dos formas posibles de desplazamiento en el tiempo:

Ley de Capitalizacin: En el transcurso del tiempo tendremos perodos de capitalizacin en los cuales se acreditarn intereses devengados por el capital invertido.

Ley de Actualizacin: Cuando determinamos cunto vale ahora (al da de hoy) un capital financiero recin disponible en el futuro. En consecuencia, estamos determinando el valor original de la inversin (su valor actual, o valor presente), partiendo del valor final (o valor futuro).


Tasa de inters

La tasa de inters es el rendimiento producido por la unidad de capital, en la unidad de tiempo. Cabe aclarar que el capital est referido al momento inicial de la operacin, y el inters al momento final.

En las operaciones financieras, los intereses se suman al capital al final de cada perodo de capitalizacin. Por lo tanto, la unidad de tiempo es el perodo al final del cual los intereses se capitalizan.

C1 = C + Intereses

C0

Donde:

C0 : Capital inicial en el momento 0 C1 : Capital final en el momento 1

De manera tal, que si los intereses se capitalizan anualmente, la unidad de tiempo es el ao, si capitaliza mensualmente, la unidad de tiempo es el mes.

Cualquiera puede ser la unidad de tiempo. As, puede referirse a un bimestre, semestre, semana, etc.


Tasa de inters nominal

La tasa nominal (i) forma parte de una convencin para realizar una operacin financiera. Es una tasa de referencia que fijan los Bancos para regular las operaciones financieras. En este sentido las entidades financieras tienen tasas activas (para prstamos y crditos) y tasas pasivas (para depsitos y ahorros). La tasa nominal es una tasa de inters simple. Las tasas nominales son tasas de contrato, aunque ese no sea el costo o precio de la operacin. No pueden tomarse decisiones de inversin con una Tasa nominal.

En la prctica, en una operacin se establece una tasa de inters anual, aunque los intereses se capitalicen o paguen en perodos menores al ao.

Ejemplos de tasas anunciadas en Pizarras de Bancos:

Tasa nominal anual (TNA) con capitalizacin mensual (30 das). Tasa nominal anual (TNA) con capitalizacin bimestral (60 das). Tasa nominal anual (TNA) con capitalizacin trimestral (90 das). Tasa nominal anual (TNA) con capitalizacin semestral (180 das).


Tasa de inters proporcional o tasa sub-peridica o tasa efectiva de ese perodo

La tasa proporcional es la que corresponde aplicar a un sub-perodo que designamos como m, y resulta de dividir a la tasa nominal por el nmero de sub-perodos (m) que se tiene enunciado para la tasa.

aoTNAxd

alproporcionTasa =_

Ejemplos

Calcular la tasa proporcional de una Tasa nominal anual (TNA) del 12 %, con capitalizacin bimestral.

Convencin: Ao 360 das / Mes 30 das

%202,0612,0

3606012,0

_ ====

xalproporcionTasa

Convencin : Ao 365 das / Mes 30 das

%97,101973,0365

6012,0_ ===

xalproporcionTasa


Tasa de inters efectiva

La tasa de inters nominal no es una tasa con la que se pueden medir rendimientos, y en consecuencia, para conocer con precisin el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de inters nominales sean pasadas a tasas efectivas.

Una tasa de inters nominal no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, ni la frecuencia con la cual capitaliza el inters. La tasa nominal es una tasa de contrato.

Una tasa efectiva es aquella a la que efectivamente est colocado el capital. La capitalizacin del inters en determinado nmero de veces por ao, da como resultado una tasa efectiva mayor que la tasa de inters nominal pautada.

Una forma simple de ilustrar las diferencias entre las tasas nominales y efectivas de inters es a travs de un ejemplo, calculando el valor futuro de $ 100 dentro de un ao operando con ambas tasas. Consideremos que un Banco paga el 14% de inters anual:

C0 = Valor actual = 100 $ C1 C2

0 6 12 Meses


Por lo tanto, el valor futuro (C2) de $ 100 utilizando la tasa de inters del 14% anual ser:

C2 = C0 + ( C0 x i )

C2 = C0 x ( 1 + i )

C2 = 100 x (1 + 0.14) = $ 114

Sea ahora que el Banco pague intereses semestralmente, el valor futuro incluir el inters sobre el inters ganado durante el primer perodo (de 0 a 1), y la tasa de inters ser del 14% anual capitalizado semestralmente, que es una tasa del 7 % de inters (tasa proporcional, de dos semestres en el ao), y luego ser otro 7% (de 1 a 2) sobre el capital y el inters cobrado entre 0 y 1, cumplindose a final de los 12 meses:

C1 = Valor final en 1 = 100 x (1 + 0.07) = $ 107.00

C2 = Valor final en 2 = 107 x (1 + 0.07) = $ 114.49

Como podemos ver, el inters ganado en el total del ao es $ 14.49 en lugar de $ 14.00. Luego, la tasa efectiva anual es de 14.49%.


Como vimos antes, la aplicacin de tasas proporcionales en la capitalizacin sub-peridica produce una modificacin de la tasa nominal enunciada. A la tasa de inters que resulte finalmente, la llamaremos tasa de inters efectiva; y podemos definirla como aquella tasa que aplicada a un rgimen de capitalizacin peridica (rgimen compuesto que veremos en ms en profundidad en prximas clases) produce, para un mismo capital y en el mismo tiempo, un monto igual al que se obtiene utilizando tasas proporcionales en la capitalizacin sub-peridica.

A la tasa efectiva la simbolizamos con i. Esta definicin nos permitir, por equivalencias de tasas e igualando los montos sealados, obtener la Tasa efectiva anual (ver ms abajo Equivalencias de tasa de inters).

Vale aclarar, que una tasa proporcional puede ser una tasa efectiva si estamos analizando cul es el resultado de una operacin en ese subperodo considerado.

Por todo lo dicho, una tasa efectiva es el rendimiento que efectivamente produce el capital invertido, desde la fecha de colocacin, hasta el vencimiento de la operacin.


Equivalencias de Tasas de inters

Si tenemos dos tasas i e im relativas a los perodos t y tm, diremos que estas tasas son equivalentes si para un mismo plazo de duracin, resulta indiferente colocar el capital a la tasa i, que a la tasa im.

Dos tasas de inters son equivalentes cuando corresponden a operaciones financieras equivalentes. En consecuencia, para que las tasas de inters sean equivalentes deben cumplir dos requisitos:

Las tasas de inters deben referirse a distintas unidades de tiempo. Al cabo de un mismo tiempo o perodo, con ambas tasas de inters

se deben producir el mismo monto final.

Seguidamente, y manteniendo la lgica de razonamiento que se debe producir el mismo capital final con cualquiera de las dos tasas de inters, y utilizando el concepto de Inters compuesto (que veremos en prximas clases), la Tasa Efectiva Anual (TEA), es aquella tasa de inters que capitalizada 1 sola vez, produce el mismo capital final que una tasa proporcional im capitalizada m veces en el ao.

1 capitalizacin en el ao

C0 x ( 1 + i )1= C0 x ( 1+ im )m

m capitalizaciones en el ao

Tasa proporcional


mimTEA )1()1( +=+

( )[ ] 11 += mimTEA

Por equivalencias de tasas, se puede llegar a plantear el caso que se tenga una tasa de inters del 20 % perodo 200 das anticipado, y se necesite calcular una tasa de inters nominal vencida con perodo 150 das.

En este caso, la tasa con perodo 200 das anticipada se representar por ia, donde :

)1(_ iaia

vencidai

=

%2525,0)20,01(20,0

_ ==

=vencidai

Se debe tener en cuenta que si un perodo tiene 200 das entonces habr en 1 ao 365 / 200 perodos o capitalizaciones, en igual forma, si un perodo tiene 150 das en un ao habr 365 / 150 perodos o capitalizaciones, por lo tanto se puede plantear la siguiente expresin por equivalencias de tasas de inters :

150365

200365

)1()25,01( i+=+


Despejando la tasa de inters del lado derecho de la ecuacin anterior, se tendr:

i = 18.2177 % para un perodo 150 das.

Para calcular la tasa nominal correspondiente, se cumplir que :

i nominal = i * m

Entonces reemplazando valores se obtendr:

i nominal = 18.2177 * (365/150) = 44,33 %

NOTA: SALVO QUE SE ESPECIFIQUE TAXATIVAMENTE QUE SE TRATA DE UNA TASA ADELANTADA,

TRABAJAREMOS CON TASAS DE INTERS VENCIDAS.


Modelo de Fisher Inflacin Tasa de inters real

La inflacin es el movimiento ascendente del nivel medio de precios. La inflacin significa reduccin del valor del dinero, y como resultado de la reduccin del valor del dinero, se requiere ms dinero para los mismos bienes.

Desarrollemos el concepto de tasa de inters real. En primer lugar, se debe entender que, considerando el efecto de la inflacin en una operacin financiera, el resultado en trminos de poder adquisitivo del dinero cambia; y como la utilidad del dinero es la de adquirir otros bienes, nos interesa la capacidad real de dinero que disponemos para comprar bienes. En este sentido Fisher define:

C1

C0

C1 = C0 x ( 1 + i )

C1 = C0 x ( 1 + ) x ( 1 + ir )

Ajuste por inflacin Capitalizacin real en el tiempo t


i = tasa de inters nominal o tasa aparente

ir = tasa de inters real

= tasa de inflacin

Por lo tanto, llegamos a que:

( 1 + i ) = ( 1 + ) x ( 1 + ir )

Se puede observar que en el caso que no haya habido inflacin en la economa, es decir que = 0, entonces i = ir.

En consecuencia:

)1()1()1(

pi+

+=+

iir

Esta ecuacin nos dice que la tasa de inters real ser el resultado del efecto de la tasa de inters nominal sobre cada unidad monetaria, descontado el efecto producido por la tasa de inflacin.


Rgimen financiero de Inters Simple

La caracterstica del rgimen financiero de inters simple es que el clculo del inters se efecta nicamente sobre el capital inicial. Los intereses producidos al final de cada perodo se retiran (no se capitalizan), quedando de este modo el capital inicial constante hasta la finalizacin de la operacin (la fecha en que haya sido convenido su reembolso).

Matemticamente, el inters simple est definido como el producto del capital inicial, la tasa de inters y el tiempo:

I = C x i x t (1)

Como podemos ver en la ecuacin (1), el inters simple es proporcional al capital invertido, a la tasa de inters y al tiempo.

Ejemplo

Si queremos calcular el inters generado por un capital de $100.000 colocado durante 6 meses al 5% mensual, se cumple que :

C = $100.000 i = 0,05 mensual t = 6 meses

I = C x i x t

I = $ 100.000 x 0,05 x 6

I = $ 30.000


La tasa de inters de la operacin y el tiempo deben estar expresados en forma homognea. Es decir, si la tasa de inters es anual, el tiempo deber estar expresado en aos; si la tasa es mensual, la expresin del tiempo debe referirse en trminos de meses; etc. En consecuencia, si el tiempo estuviese expresado en unidades diferentes a las referidas por la tasa de inters, como paso previo en el clculo deberemos pasar la expresin del tiempo al perodo en el que est expresada la tasa de inters.

Ejemplos

1) Un Banco paga el 3% anual a sus Cajas de Ahorros, y los intereses se abonan trimestralmente el 31 de marzo, 30 de junio, 30 de septiembre y 31 de diciembre. Una persona abre una cuenta de ahorro, mediante un depsito de $ 600 el 1 de Enero. Determinar cunto recibir por concepto de intereses el 31 de marzo. Tenemos:

C = 600 i = 0,03 anual t = 3 meses = 3/12 aos, o de ao

I = C x i x t

I = $ 600 x 0,03 x

I = $ 4,50


2) Sean Letras del Banco Central (bonos de corto plazo) a 7 das, que pagan tasas de inters del 15 % anual. Si se desea realizar una inversin de $100.000, calcular el inters ganado en 7 das.

Vamos a tener que expresar el tiempo en cantidad de das por ao

C = $100.000 i = 0,15 t = 7/365 aos (365 das es el ao civil)

I = C x i x t

I = $100.000 x 0,15 x (7/365)

I = $ 287.67

Utilizando 360 das (ao comercial):

I = $ 100.000 x 0,15 x (7/360)

I = $ 291.66

En consecuencia, si llamamos t* al nmero de meses de duracin de la operacin financiera, tendremos t = t*/12 y en la frmula calcularemos:

I = C x i x t*/12

Si la duracin se expresa en das, tendremos t = t**/365 siendo t** nmero de das:

I = C x i x t**/365 (ao civil)

I = C x i x t**/360 (ao comercial)


Valor final o Capital final

El monto o capital final en el rgimen financiero de inters simple es el capital inicial depositado, ms los intereses pagados:

C1 = C0 + I

De la frmula (1) reemplazamos los Intereses (I):

C1 = C0 + ( C0 x i x t )

Es una funcin lineal del tipo : y = a + b x X

C1 = C0 x ( 1+ i x t )

Obteniendo lo que se denomina :La ley de capitalizacin del inters simple :

C1 = C0 x ( 1+ i x t ) (2)


Ejemplo

Una persona solicita un prstamo de $10.000, a pagar en 6 meses, a una tasa de inters del 12% anual. Qu monto deber pagar al final de la operacin ?

C = $ 10.000 i = 0,12 anual t = aos

C1 = C0 x (1 + i x t )

C1 = $ 10.000 x (1+ 0,12. (1/2))

C1 = $ 10.000 x (1,06)

C1 = $ 10.600

Este problema tambin puede resolverse obteniendo primero el inters simple, y sumndole luego al capital inicial.

Observen que de la ecuacin (2), pueden obtenerse expresiones matemticas para el resto de las variables :

Tiempo Tasa de inters Monto


Valor actual o Valor presente

Sabemos que para obtener el monto sobre un capital invertido a inters simple utilizamos la ecuacin (2). Ahora si conocemos el monto final, y queremos determinar el capital inicial que lo produjo (su valor actual o valor presente), debemos despejar C0 de la ecuacin (2) :

C1 = C0 x (1 + i x t )

C0 = C1 / (1 + i x t )

C0 = C1 x ( 1 + i x t) -1

En consecuencia:

).1(1

0 tiCC+

= (3)

La ecuacin (3) se denomina:Ley de actualizacin del inters simple


Ejemplo

Sea un inters del 10 % anual, Cul es el valor actual o valor presente de $10.000 pagaderos dentro de un ao?

C1 = $ 10.000 i = 0,10 anual t = 1 ao

C1 = C0 x (1 + i x t )

C0 = C1 / (1 + i x t )

C0 = $ 10.000 / (1 + 0.10 x 1 )

C0 = $ 9090.90

Si invertimos $9090.90 al 10 % anual, acumularemos $10.000 al final del ao.

Es decir :

C1 = C0 x (1 + i x t )

C1 = $ 9090.90 x (1 + 0.10 x 1 )

C1 = $ 10.000

En este caso estamos descontando un capital con un vencimiento futuro. Cuando se utiliza la frmula de inters simple para determinar el valor actual, la diferencia entre el monto y el valor actual se denomina Descuento simple.


Descuento simple

El Descuento simple es un procedimiento inverso al de capitalizacin. Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo vencimiento queremos adelantar.

Los intereses sern d si stos son cobrados por adelantado, e i si son cobrados a su vencimiento.

Dependiendo del capital considerado para el clculo de los intereses, existen dos modalidades de descuento:

Descuento comercial o Descuento bancario Descuento racional o Descuento matemtico

Descuento comercial

Las operaciones financieras de descuento nos permiten convertir en disponible hoy una cantidad de dinero que recin tendramos disponible dentro de cierto tiempo. Supongamos que una persona solicita un Prstamo de $ 100 a pagar en un ao, en donde el Prestamista aplica una Tasa de descuento del 6 % anual. Es decir, el Prestamista cobra por adelantado el 6 % de $ 100, y le entregando a la persona que solicita el Prstamo el valor de $ 94.

Como podemos ver, el clculo del descuento se efecta de igual manera que el Inters simple, pero con una diferencia fundamental, y que es que toma como base el Capital Final o Valor Final. En consecuencia :

Dc = C1 x d x t (4)

Siendo:

C0 = C1 D

C0 = C1 ( C1 x d x t )


C0 = C1 x ( 1 ( d x t ) )

C1 = C0 / ( 1 ( d x t ) )

[ ]).(10

1 tdC

C

= (5)

Descuento racional

El descuento simple racional o descuento racional consiste en descontar utilizando tasas de inters vencidas proporcionales. Es decir, es el resultado de revertir el proceso de capitalizacin simple, partiendo del capital final, para obtener luego de varios perodos de descuento, el valor actual descontado.

El capital inicial obtenido mediante un descuento simple racional :

).....1( 123210 iiiiiiC

Cnnn

n

+++++++=

).1(0 inC

C n+

= (6)

El rendimiento adelantado correspondiente al descuento simple racional, ser :

nCCd 01 =

(7)

Siendo:


+== ).1(0 in

CCCCD nnnr

Dr = Cn .d (8)

Tambin se puede plantear tomando la ley financiera de descuento racional definida de la siguiente forma, considerando a n = t ;Cn = C1 :

Dr = ( C1 * i * t ) / (1 + i * t)

).1()..( 1

titiC

Dr+

= (9)

Donde:

" Dr " es el descuento o los intereses que hay que pagar.

" C1 " es el capital final del documento.

" i" es la tasa de inters vencida que se aplica.

" t " es el tiempo que dura la inversin.

Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:

C0 = C1 - Dr

C0 = C1 - (( C1 * i * t ) / (1 + i * t))

C0 = C1 * ( 1 - ( i * t ) / (1 + i * t))

C0 = C1 * ( ( 1 + i * t - i * t ) / (1 + i * t))

C0 = C1 / (1 + i * t)


).1(1

0 tiCC+

= (10)

En el caso del Descuento racional los intereses se calculan sobre la suma que realmente debe percibirse, que es el Valor actual. En el Descuento comercial, los intereses se estn calculando sobre un Valor terico, que no representa el verdadero valor de origen o Capital original de la operacin. Esto explica por qu se utiliza ms en la prctica el descuento Comercial del lado de un Prestamista, pues la diferencia entre el Descuento comercial y el Descuento racional, va derecho al bolsillo del Prestamista.

Observaciones importantes:

La tasa de descuento d tambin recibe el nombre de tasa adelantada, debido a que se calcula con base en el monto futuro, en lugar del valor actual. Es una tasa adelantada, ya que los intereses se calculan al comienzo de la inversin.

La tasa de inters i es una tasa de inters vencida, puesto que los intereses se calculan sobre la inversin una vez que la operacin finaliza.


Relacin entre la tasa de inters y la tasa de descuento

Anteriormente, partamos de una igualdad de tasas ( i = d ) y veamos como el monto del descuento pagado con descuento comercial era superior al del descuento racional. Esto nos permite intuir que el costo financiero real del descuento comercial es mayor al del racional. Dada esta situacin, determinaremos la relacin entre la tasa de inters y la tasa de descuento, que nos permitir medir el costo financiero real de las operaciones de descuento comercial.

Partiendo de un ejemplo:

C1 = $ 100 d = 0,06 anual t = 1 ao

C0 = $ 100 x ( 1 (0,06 x 1))

C0 = $ 94

Observamos que el prestamista nos otorg por adelantado $94 y nosotros deberemos devolverle $ 100 en un ao. Nos podemos preguntar entonces, a qu tasa deberamos colocar esos $94 para poder restituir los $100 al cabo de un ao?

$ 94 x ( 1 + i x 1 ) = $ 100


i = $ 100 / $ 94 1

i = 0,0638> d = 0,06

Esta diferencia nos refleja la inconveniencia de pagar intereses con tasas adelantadas, ya que estamos pagando intereses sobre sumas de dinero que no hemos recibido en prstamo.

Si el tipo de inters (i) utilizado en el descuento racional coincide en nmero con el tipo de descuento (d) aplicado para el descuento comercial, el resultado no es el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el clculo de intereses; razn por la cual el descuento comercial ser mayor al descuento racional (DC > DR), como ya hemos visto.

Para hacer comparaciones, es decir, buscar una relacin entre tasas de inters y de descuento en que nos resulte indiferente una modalidad u otra; es necesario encontrar una tasa de descuento equivalente a la tasa de inters, para lo cual deber cumplirse:

DC = DR

Si se utilizara la tasa de inters para un capital de $ 1 cuyos intereses son pagaderos al final de la operacin en el plazo de un perodo se transforma en:

0 1

$ 1 $ (1+i)


Si la operacin se efecta con tasa de descuento a inters simple, el valor nominal que tenemos en el momento final se convierte en un valor actual al comienzo igual a:

0 1

$ (1 d) $ 1

Relacionando los valores del comienzo y del final de la operacin:

1)1(

)1(1 i

d+

=

1)1(1

=

di

)1(11

ddi

+=

)1( ddi

=

Por otro lado, se puede plantear:

)1(1)1(

id

+=


)1(11

id

+=

)1(11

iid+

+=

)1( iid+

=

En consecuencia, la relacin matemtica entre la tasa de descuento y la tasa de inters, que nos permite conocer el verdadero costo financiero de las operaciones en las cuales nos descuentan los intereses de antemano son:

[ ]).(1 tddi

= (11)

).1( inid

+=

(12)

Estas expresiones nos permiten calcular la tasa de inters vencida, a partir de la tasa de inters adelantada, reflejando el costo financiero real de la operacin, y viceversa.


Rgimen financiero de inters compuesto

La caracterstica fundamental del rgimen de inters compuesto es que los intereses del primer perodo se calculan sobre el capital, y los de los perodos siguientes sobre los montos acumulados. Los intereses peridicos se capitalizan. En consecuencia, el inters compuesto no es otra cosa que el inters simple aplicado sucesivamente a un capital que crece a medida que se obtienen las acreditaciones del inters simple.

Ejemplo

Un capital de $1.000 a una tasa de inters simple del 9% rinde $90 por ao. En tres aos el inters simple es $270. Sin embargo, si se suma al capital el inters a medida que ste va producindose, la inversin aumenta con mayor rapidez, y a esta forma de acumulacin de los intereses es a lo que se conoce como inters compuesto. Al final del tercer ao el inters compuesto obtenido por el capital inicial ser de $ 295,02, en comparacin con los $ 270 que se recibiran durante el mismo perodo si se trabajara sobre la base del inters simple. La diferencia de $ 25,02 es el inters generado por el propio inters.

Con este ejemplo podemos demostrar que el inters compuesto es slo una aplicacin reiterada del inters simple.

En trminos generales podemos escribir:

C1 = C0 . (1+i) t

El inters obtenido ser la diferencia entre el monto final y el valor inicial del capital. En este caso tenemos:

I = C1 C0

I = C0.(1+i)t C0


I = C0.[(1+i)t 1]

Podemos derivar las siguientes frmulas:

Capital inicial:

C1 = C0. (1+i) t

tiCC )1(

10+

=

Tiempo:

C1 = C0. (1+i) t

log C1 = log C0 + t.log (1+i)

log C1 - t.log (1+i) = log C0

log C1 - log C0 = t.log (1+i)

t = (log C1 - log C0) / log (1+i)

)1log()0log1(log

iCC

t+

=

Tasa:

(log C1 - log C0) / t = log (1+i)

antilog[(log C1 - log C0) / t] = (1+i)

i = antilog [(log C1 - log C0) / t]1


1)0log1(loglog

=

t

CCantii

Otra alternativa para expresar la tasa de inters es:

C1 = C0. (1+i) t

101

= t

CCi

Ejemplos

1) En diciembre de 2012 se efectu una inversin de $ 200.000 a una TNA del 20 % capitalizable trimestralmente. Cunto podr retirarse en diciembre de 2013?

C0 = 200.000 i = 0,20 x 90 / 360 = 0,05 t = 4

C1 = C0. (1+i) t

C1 = 200.000.(1+0,05)4

C1 = 200.000.(1,05) 4

C1 = $ 24.3101,25

Aplicando logaritmos:

log C1 = log C0 + t.log (1+i)

log C1 = log 200.000 + 4.log 1,05

log C1 = 5,301029996 + 4.0,021189


log C1 = 5,301029996 + 0,084756

log C1 = 5,385785996

C1 = antilog 5,385785996

C1 = 10 5,385785996

C1 = $ 24.3101,25

2) A qu inters fue invertido un capital de $ 500.000 pesos para convertirse en $ 625.000 al cabo 4 aos?

C1 = C0. (1+i) t

101

= t

CCi

1000.500$000.625$

4=i

i = ($ 625.000 / $ 500.000)1/4 -1

i = 0,057371263

i = 5,74 %

Podemos afirmar que en el rgimen financiero de inters compuesto:

(1+i)t Factor de capitalizacin 1/(1+i)t Factor de actualizacin


Recordando que:

C0 = C1 / ( 1+i ) t

C0 = C1 .( 1+i ) - t

Capitalizacin sub-peridica y la tasa efectiva de inters

Ahora podemos entender mejor conceptos que se han visto en la Clase N1. En los desarrollos que hemos realizado, hemos asumido que el perodo expresado por la tasa de inters coincida con el perodo de capitalizacin de intereses. Es decir, que dentro de cada perodo haba una sola capitalizacin de intereses. A continuacin desarrollaremos el concepto de capitalizacin subperidica y sus implicancias en el rgimen de inters compuesto.

En la prctica es usual que la tasa est expresada por perodo, y los intereses se capitalicen por sub-perodos, es decir un cierto nmero de veces dentro del perodo expresado por la tasa. Dicho de otro modo, en la capitalizacin subperidica hay ms de una capitalizacin de intereses por perodo. Por ejemplo, podemos tener una tasa de inters anual, capitalizada por trimestres, una tasa capitalizada mensualmente; etc.

Ejemplos

1) Si calculamos el monto que produce un capital de $ 10.000 en 1 ao al 12% anual de inters, estaramos frente a un caso de capitalizacin peridica. Tendramos una operacin financiera con una tasa anual y con una capitalizacin de intereses que se producir tambin al cabo de un ao. C0 = $ 10.000 i = 0.12

C1 = $10.000.(1+ 0,12)1


C1 = $ 11.200

2) Si la capitalizacin fuese trimestral, esto implicara que al cabo de un ao se habrn producido cuatro capitalizaciones (usando convencin de Ao 360 das y Mes de 30 das). En este caso, utilizar una tasa proporcional significa tomar en cada subperodo una tasa igual a la anual dividida por el nmero de sub-perodos comprendidos en el ao.

Llamando m al nmero de subperodos (m = 360/90 = 4)

Tasa proporcional = 0,12/4 = 0,03

C1 = $ 10.000.(1+ 0,03)4

C1 = $ 11.255,08

Se puede observar que el monto obtenido al capitalizar sub-peridicamente los intereses es superior al que obtenemos en el caso de capitalizacin peridica. La razn es que los intereses devengados durante el primer subperodo, al capitalizarse sobre el final del mismo, comienzan tambin a generar intereses junto al capital inicial.

3) Si la capitalizacin hubiese sido mensual m = 360/30 = 12

Tasa proporcional = 0,12/12 = 0,01

C1 = $ 10.000.(1+ 0,01)12

C1 = $ 11268,25

En base a esto, podemos dar una definicin alternativa de tasa proporcional, que es aquella que, capitalizada en forma sub-peridica produce al final del plazo de la inversin un monto superior al que se obtiene si se capitaliza con la tasa nominal peridica.


Si el capital es colocado al 12% anual con capitalizacin semestral, obtenemos:

0 6 meses 1 ao

$10.000 $10.600 $ 11.236

Inters ganado Inters ganado

$ 600 $ 636

Puede observarse que el rendimiento efectivo anual en la unidad de tiempo (ao) fue 0,1236 y no 0,12 como lo expresa la tasa nominal anual. Esta diferencia surge de haber utilizado la tasa proporcional del 0,06. Esta tasa del 0,06 es equivalente a la de 0,1236, dado que ambas, capitalizadas en diferentes perodos, producen iguales montos. Da lo mismo capitalizar semestralmente al 6% que anualmente al 12,36%, y esta tasa es la TEA o tasa efectiva anual.

Observen que la tasa de inters efectiva, es la tasa que capitalizada una sola vez en el perodo nos da un monto igual al que se obtiene capitalizando sub-peridicamente con la tasa proporcional a la nominal. Esta es justamente la definicin de la TEA.


Para formalizar los desarrollos anteriores, la frmula del inters compuesto, con capitalizacin subperidica ser la siguiente:

C1 = C0.( 1 + im/m ) m.t

tm

m

m

iCC.

1.01

+=

im = Tasa de inters nominal (12% en nuestro ejemplo).

im/ m = Tasa de inters correspondiente al sub-perodo m.

Es muy importante tener presente que una tasa nominal de inters del 16% anual capitalizable mensualmente, tiene una tasa proporcional mensual, considerando un ao de 360 das:

i12 = im / 12

i12 = 0,16 / 12

i12 = 0,01330

Pero si consideramos el ao de 365 das:

i12 = ( im . 30 das ) / 365 das

i12 = ( 0,16 . 30 das ) / 365 das

i12 = 0,01315

Si queremos expresar el rgimen financiero de inters compuesto en funcin de la tasa efectiva de inters:


n

m

m

iCC

+= 1.01

Donde:

n = nmero total de perodos de capitalizacin en que se divide el plazo total de la operacin. En el caso del ejemplo de capitalizacin semestral con un depsito a un ao de plazo, m = 2 y t = 1, con lo que n = 2.

Rgimen financiero de inters compuesto a tasa de inters variable

En caso de que la tasa de inters sea variable, el monto final puede calcularse obteniendo el monto parcial cada vez que se presente un cambio en la tasa, y de este modo, nos encontraremos con una serie sucesiva de problemas de inters compuesto, en donde el monto al finalizar una etapa pasa a ser el capital inicial al comienzo de la siguiente.

Ejemplo

Un capital de $1.000 produce un rendimiento del 8% capitalizable trimestralmente durante 4 aos, y luego de un 10% capitalizable semestralmente durante dos aos ms. Calcular el monto final.

Primero calculamos el monto al final de 4 aos (seran 16 sub-perodos):

C1 = 1000.(1,02)16

C1 = 1000.1,3727857

C1 = $ 1.372,79

Luego aplicamos el 10% capitalizable semestralmente para los 2 aos restantes:

C final = 1372,79.(1,05)4


C final = 1372,79.1,215506

C final = $ 1.668,63

Se podra haber resuelto directamente:

C1 = 1000.(1,02)16.(1,05)4

C final = 1000.1,3727857.1,215506 >>>>>> C final = $ 1.668,63

Rgimen financiero de descuento compuesto

El descuento simple es aplicable, dadas sus restricciones matemticas, a operaciones de corto plazo. En las operaciones de largo plazo, los descuentos suelen efectuarse aplicando rgimen de descuento compuesto.

Al igual que en el descuento simple, el descuento compuesto se paga al inicio de la operacin. La principal diferencia es que el clculo se efecta sobre el saldo final del perodo anterior. Consiste en aplicar un descuento peridico a una determinada tasa de descuento, durante una cantidad de perodos (n) sobre el valor descontado del perodo anterior, con el objetivo de obtener finalmente un valor actual, o valor descontado.

El capital inicial obtenido mediante un descuento compuesto de n perodos ser:

)1).(1).(1().........1).(1).(1.(0 12321 ddddddCC nnnn =

Si las tasas y los perodos de capitalizacin permanecen constantes, entonces la frmula puede expresarse como:

)1().........1).(1).(1.(0 ddddCC n =

C0 = Cn.(1 d)n


Tambin puede llegar a escribirse como:

D = Cn C0 = Cn [Cn.(1 d)n]

D = Cn . [1 (1 d)n]

Ejemplo

Se quiere calcular el valor actual de un documento que vence dentro de 9 meses, descontado al 2% mensual con tasa de descuento, cuyo valor nominal es $ 10.000. Calcular segn:

a) Descuento compuesto b) Descuento simple Cn = $ 10.000 n = 9 meses d = 0,02 mensual

a)

C0 = Cn.(1 d)n

C0 = $10.000.(1 0,02)9

C0 = $10.000 . 0,989

C0 = $ 8.337,47

D = C1 C0

D = $10.000 $8.337,47

D = $ 1.662,52


En este ejemplo, descontar $10.000 al 2% mensual con tasa de descuento compuesto, significa que en el primer mes aplicamos el 2% a los $10.000, en el segundo mes, aplicamos el 2% sobre el saldo al final del perodo anterior, y as sucesivamente. El descuento se va reduciendo en cada perodo, ya que la tasa se aplica sobre los saldos del perodo anterior, que son cada vez menores.

b)

Si efecturamos la misma operacin anterior bajo un descuento comercial simple, obtendramos:

C0 = Cn.(1 d.n)

C0 = $10.000 . (1- 0.02.9)

C0 = $ 8.200

D = C1 C0

D = $10.000 $8.200

D = $ 1.800

Se puede observar que el valor actual en el descuento compuesto es mayor que el valor actual en el descuento comercial simple. Por lo tanto, el descuento compuesto es menor que el descuento comercial, y esto tiene que ver con la aplicacin de la tasa sobre saldos que van disminuyendo en cada perodo.


Relacin entre Tasa de descuento y Tasa de inters

Al igual que en el rgimen simple, en el compuesto tambin existe una relacin entre la tasa de descuento y la tasa de inters.

1 / ( 1 - d )t = ( 1 + i )t / 1

Si extraemos la raz t en ambos miembros:

1 / ( 1 - d )= ( 1+ i )/ 1

Y de esta igualdad podemos deducir matemticamente que:

i = d / ( 1 - d )

)1( ddi

=

d = i / ( 1 + i )

)1( iid+

=

Como pueden observar, en el rgimen compuesto la relacin entre d e i es constante, y a diferencia del rgimen simple, no depende del tiempo.


Ejemplos

1) Si d = 0,09, cul es la tasa de inters equivalente?

i = d / (1 d )

i = 0,09 / (1- 0,09)

i = 0,0989

2) Valuar $1 al 10 % nominal anual de descuento, con actualizacin semestral de intereses.

Para analizar cmo funciona la actualizacin sub-peridica y sus efectos sobre el rendimiento real de la operacin, podemos separar la operacin en dos pasos, por lo que podemos plantear:

Al cabo del primer semestre, el valor actual es:

C1 = C2 . (1 dm / m) t

C1 = $ 1 . (1-(0,10 / 2))1

C1 = $ 1 . 0,95

C1 = $ 0,95


El valor actual al segundo semestre ser:

C0 = C1 . (1 dm / m) t

C0 =$0,95 . (1-(0,10 / 2))1

C0 = $ 0,95 . (1-0,05)

C0 = $ 0,95 . 0,95

C0 = $ 0,9025

Si analizamos el resultado anterior, podemos observar que la tasa de descuento finalmente aplicada no es el 10% anual, ya que se cumple:

D = $ 1 $ 0,9025

D = $ 0,0975

Por lo tanto, podemos decir que la tasa efectiva de la operacin es del 9.025 %. Observar que la tasa efectiva de descuento es menor que la tasa nominal de descuento del 10 %.

En consecuencia, la frmula del inters compuesto, con actualizacin sub-peridica ser la siguiente:

C0 = Cn.( 1 - dm / m ) m.t

tm

mn

m

dCC.

1.0

=


Rgimen financiero de capitalizacin continua

Se define una tasa de inters continuo i % como aquella cuyo periodo de capitalizacin es lo ms pequeo posible. En trminos matemticos, esto quiere decir que el nmero de periodos de capitalizacin durante el tiempo de la operacin financiera crece indefinidamente. A diferencia del inters discreto que hemos visto, en el inters continuo la tasa se presenta siempre en forma nominal.

Vamos a determinar la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro por una inversin nica con inters continuo. Si hoy invertimos una cantidad C0, a una tasa de inters continuo del i % capitalizable continuamente durante n aos, vamos a determinar el valor futuro o total acumulado Cf, al final de ese tiempo.

Cf = C0. (1+i/m)m.t

Si hacemos que m tienda a infinito, el nmero de veces que se capitaliza es extremadamente grande, y por consiguiente el periodo de capitalizacin es casi INSTANTNEO, en cuyo caso:

= 0. lim 1 +

.

= 0. .

Tambin se cumple:

0 = . .


Las formulas relacionan el valor presente y el valor futuro de un pago nico con inters continuo.

Ejemplo

Calcular el valor futuro de $ 12.000 dentro de tres aos a una tasa anual del 10% si invertimos con capitalizacin CONTINUA.

= 0. .

= $12.000. ,.

Cf = $ 16.198,31


Rentas Financieras

Se denomina renta financiera a toda sucesin de pagos o depsitos que tiene lugar a iguales intervalos de tiempo. En general, todo conjunto de pagos o depsitos de igual denominacin, a efectuarse en perodos de tiempo equidistantes y fijos, constituye una renta financiera.

Uno de los aspectos ms importantes en el tema de las rentas es el que surge de relacionar el momento de iniciacin de los pagos con el momento de la valuacin. El momento de valuacin es el momento en el cual se determina el valor de cada uno de los pagos, y para esto capitalizaremos el valor de los pagos si los mismos estn antes del momento de valuacin, o los actualizaremos si los mismos tuvieron lugar despus del momento de valuacin.

Clasificacin de las Rentas financieras

Segn su duracin

Rentas ciertas: Son aquellas cuyos pagos comienzan y terminan en fechas determinadas. En estos casos se conoce exactamente la duracin, que depende slo del transcurso del tiempo y de ningn otro evento.

Rentas contingentes: Se refiere a aquellas en las cuales el plazo de pago depende de un evento cuya ocurrencia no puede determinarse en forma cierta, como por ejemplo ocurren en los Seguros de vida, Seguros de retiro, etc.


Segn la relacin entre la frecuencia de los pagos y la frecuencia de capitalizacin

Rentas peridicas: la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalizacin.

Rentas fraccionarias o subperidicas: no hay coincidencia entre ambas frecuencias.

De acuerdo al momento en que se hace cada pago

Rentas adelantadas o anticipadas: cada pago se efecta al principio del perodo.

Rentas ordinarias o vencidas: cada pago se efecta al final del perodo.

Segn la duracin

Rentas temporarias: su duracin es finita, la renta cuenta con un nmero limitado de perodos.

Rentas perpetuas: su duracin es ilimitada, el nmero de perodos de la renta es infinito.


De acuerdo al momento en que se realiza el primer pago

Rentas inmediatas: el primer pago se realiza en el primer perodo.

Rentas diferidas: el primer pago se realiza luego de un cierto nmero de perodos.

De acuerdo con el valor de las cuotas

Rentas constantes: todas las cuotas o pagos tienen igual valor.

Rentas variables en progresin aritmtica: los pagos varan (crecen o decrecen) segn una progresin aritmtica.

Rentas variables en progresin geomtrica: los pagos varan (crecen o decrecen) segn una progresin geomtrica.


Valor actual de una Renta financiera

El Valor actual o Valor presente de una renta es la suma de los valores actuales de cada uno los pagos de la renta.

a ( 1, n , i ) = Renta temporaria de una cuota de $1, con tasa de inters i y una duracin de n perodos.

1: Indica el perodo en el cual se inician los pagos. En este caso la renta es vencida, el primer pago se hace al final del primer perodo.

a ( 0, n , i )

0: Pagos se efectan al principio de cada perodo y por lo tanto los pagos comienzan en el momento 0.

Valor actual de una Renta financiera de pagos vencidos

a (1, n , i ) = [ (1 + i ) n 1 ] / [ i. (1 + i ) n ]

Factor de actualizacin de serie uniforme de $1


Entonces podemos escribir:

iiiina

n

n

.)1(1)1(),,1(

+

+=

o

iiina

n+=

)1(1),,1(

Factor de actualizacin de una serie uniforme de $ 1 Renta temporaria inmediata vencida.

Para una serie uniforme de pagos igual a $ C, tendremos:

Valor actual = VA = C . a( 1, n, i)

Pueden encontrarlo tambin como:

VA = V ( 1 , n , i ) = C . a( 1, n , i )


Por lo tanto, siendo:

inaCVA ;;1.=

Tendremos finalmente que:

+

+=

iiiCVA

n

n

.)1(1)1(

.

o

+=

iiCVA

n)1(1.

Ejemplos

1) Calcular el valor presente o el valor actual de una renta temporaria, inmediata y vencida, sabiendo que se depositan 10 cuotas vencidas anuales de $ 1.000 al 5 % de inters anual.

n = 10 i = 0,05 C = $ 1.000

El problema puede resolverse matemticamente utilizando la expresin:

VA = C . a(1,10, 0.05)

+

+=

iiiCVA

n

n

.)1(1)1(

.


+

+=

05,0.)05,01(1)05,01(

.1000$10

nVA

VA = $ 7.721,73 (Pago vencido)

Resolucin con Excel:

Utilizando la funcin financiera VA (valor actual), devuelve el valor presente de una serie de pagos futuros.

Ir el icono fx en la Barra de herramientas Buscar las Funciones Financieras A la derecha aparece un grupo de funciones entre las que figura VA (Valor actual) Hacer doble clic y se les abrir un cuadro para que ingresen los datos:

Tasa, Nper (nmero de perodos) Pago (deben ingresar el nmero en negativo) Vf (valor futuro, en este ejemplo no se utiliza) Tipo, en el cual debern cargar 1 para pagos al comienzo del perodo

(adelantados), o 0 para pagos al final del perodo (exactamente al revs que en nuestra notacin)

Una vez cargados los datos obtendrn el valor de la renta. En nuestro ejemplo, obtendrn:

VA = $ 7.721,73 (Pago vencido)

Para un pago inmediato adelantado = VA = $ 8.107,82


2) Cul es la cuota bimestral vencida necesaria para poder constituir una renta temporaria inmediata de valor presente de $100.000, sabiendo que durante tres aos se pagan dichas cuotas al 4% bimestral.

n = 18 bimestres i = 0,04

De la expresin:

VA = C. a( 1, n , i )

C = V ( 1 , n , i ) / a( 1, n, i )

C = V ( 1 , n , i ) . a( 1, n, i ) -1

C = $ 100.000 . ( (1 - vn) / i) 1

C = $ 100.000 . ( (1 v18) / 0,04) 1

C = $ 100.000 . 0,0789933

C = $ 7.899,33

Tambin podemos escribirlo como:

+

+=

iiiCVA

n

n

.)1(1)1(

.

+

+=

iiiVAC

n

n

.)1(1)1(


33,899.7$

04,0.)04,01(1)04,01(

000.100$

18

18=

+

+=C

Resolucin en Excel: Mediante la Funcin Financiera PAGO

Valor actual de una Renta financiera inmediata adelantada

Podemos escribir:

)1.(.)1(1)1(),,0( i

iiiina

n

n

+

+

+=

o

)1.()1(1),,0( ii

iinan

+

+=

Para una serie uniforme de pagos igual a $ C: Valor presente de una Renta adelantada

VA = V ( 0, n, i ) = C . a( 0, n, i )

)1.(.)1(1)1(

. iii

iCVAn

n

+

+

+=

o


)1.()1(1. ii

iCVAn

+

+=

Valor final de una Renta financiera

Valor final de una renta constante de pagos vencidos

Podemos escribir:

iiinS

n 1)1(),,1( +=

Para un flujo o cuota de $ C:

Vf ( 1, n, i ) = C . S( 1, n, i )

Es decir:

+=

iiCVf

n 1)1(.

Valor de la cuota peridica de una renta constante de pagos vencidos:

+

=

ii

VFCn 1)1(

Nmero de perodos de una renta constante de pagos vencidos:


)1ln(

1.ln

iC

iVF

n+

+

=

Valor final de una renta constante de pagos adelantados

)1.(1)1(.),,0( iiiCinSVf

n

+

+==


Esto es todo para la Clase N 1. Les reitero la importancia de ir leyendo la bibliografa.

Cualquier duda, me escriben a: [email protected]

Saludos cordiales,

Lic. Carlos Emilio Martnez

Ver ejercicios propuestos para trabajar en el Foro de actividades N1.

clase_1_ii

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