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Álgebra Manuel Hervás Curso 2011-2012

1

CLASE SOBRE APLICACIONES LINEALES

1. INTRODUCCIÓN

El problema que se va a abordar es la forma de RELACIONAR los

elementos de dos espacios vectoriales, mediante expresiones matemáticas.

Estos conceptos se utilizan en diversas ramas de la ciencia como el

procesado de imágenes, las gráficas por ordenador, los circuitos

electrónicos, la vibración de cuerpos elásticos, la mecánica cuántica, las

cadenas de Markov y los estudios de Fractales.

Brevemente se revisa el CONCEPTO DE APLICACIÓN.

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se dice que se ha definido una

aplicación de A en B si todos los elementos de A tienen imagen en B y

además una SOLA imagen.

: ! / ( )f A B x A y B y f x

1 2 1 2( ) ( )f x f x x x

Al conjunto A se denomina Conjunto Inicial y al conjunto B, Conjunto Final.

A Los elementos x A (del conjunto A) se les denominan

ANTECEDENTES y los elementos de B que se obtienen mediante la

aplicación f son las IMÁGENES.

El subconjunto de B que posee las imágenes de los elementos de A, se

denomina conjunto IMAGEN. Se representa por

Im / , ( ) ( )f y B x A y f x f A .

Puede haber elementos de B que no tengan antecedente en A y también

pueden existir elementos de B que tengan varios antecedentes en A.

Ejemplo: Sea los conjuntos 1, 1, 2 y 1, 3, 4A B . Se define la

aplicación :f A B 2! ( ) ,x A y f x x y B “tiene por

cuadrado”. Los antecedentes son todos los elementos de A. Las imágenes

están en el conjunto Imagen Im 1, 4f .

Se observa que el elemento 3 B no tiene antecedente en A por que no es

cuadrado de ninguno de los elementos del conjunto A. y el elemento 1 B

tiene dos antecedentes en A 1,1 cuyo cuadrado es 1.


2

TIPO DE APLICACIÓN

Una Aplicación puede ser

SOBREYECTIVA: Todos los elementos de B tienen al menos un antecedente en A.

/ ( )y B x A y f x

INYECTIVA: A elementos distintos del conjunto A corresponden imágenes distintas del conjunto B.

1 2 1 2( ) ( )f x f x x x

BIYECTIVA: Es una aplicación que al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva. Es decir todo elemento de B tiene un y sólo un antecedente en el conjunto A.

! / ( )y B x A y f x

No son aplicaciones

a) 2: 1 0f R R x R x x ya que esta ecuación no tiene

solución real.

b) 2: 0f R R x R x y x ya que esta ecuación tiene dos

raíces reales 2 0y x y x . Para evitar las dos imágenes, en

estos casos, se dice que existe la rama + que sí sería aplicación y

respectivamente la rama – que también lo sería.

c) En el ejemplo usado al definir la aplicación, si cambiamos el conjunto

inicial: 1, 1, 2,3 y 1, 3, 4A B la correspondencia “tiene por

cuadrado” no es aplicación porque el elemento 3 A no tiene imagen en

el conjunto B ya que entre sus elementos no se encuentra el 9.


3

2. DEFINICIÓN DE APLICACIÓN LINEAL

Sea E y F dos k-ev (definidos sobre el mismo cuerpo K) con elementos

neutros respectivos 0E E y 0F F . De dimensiones

dim( ) , dim( )E n F m

:f E F es una APLICACIÓN LINEAL de E en F o también

Homomorfismo de espacios vectoriales, si verifica dos condiciones

1. , ( ) ( ) ( )x y E f x y f x f y La aplicación f conserva la SUMA.

2. , ( ) ( )x E K f x f x La aplicación f conserva el

PRODUCTO POR ESCALAR.

Ejemplos que no son aplicación lineal

La aplicación 2: ( )f R R f x x NO es aplicación lineal ya que no se

conserva la suma

2 2 2

2 2

( ) ( ) 2

( ) ( )

f x y x y x y xy

f x f y x y

NO es aplicación lineal 2 2: ( , ) ( ,1)f R R f x y x porque no se

conserva el producto por escalar

2( , ) 2 ,2 2 ,1

2 , 2 ,1 2 ,2

f x y f x y x

f x y x x

Estas dos condiciones se suelen condensar en una SÓLA que expresa: La

imagen de una combinación lineal de dos vectores de E es también una

combinación lineal de sus imágenes.

, , , ( ) ( ) ( )K x y E f x y f x f y

Habitualmente evitaremos escribir el punto para expresar la ley de

composición externa: Producto de escalar por vector.

Ejemplos:

1. La proyección de un vector del espacio geométrico sobre el plano XY es

una aplicación lineal.

3 3: ( , , ) ( , ,0)f R R f x y z x y . En efecto 3, , ,R u v R

Sean 1 1 1 1 2 2 2 2( , , ) , ( , , )u x y z u x y z dos vectores de 3R

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) , ,f x y z x y z f x x y y z z


4

1 2 1 2 1 1 2 2, ,0 ( , ,0) ( , ,0)x x y y x y x y

1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , )f x y z f x y z

2. La traslación en el plano geométrico NO es aplicación lineal.

2 2: ( , ) 1, 1f R R f x y x y Traslación a (1,1)

Sean 1 1 1 2 2 2( , ) , ( , )u x y u x y dos vectores de

2R

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ,f u u f x y x y f x x y y

1 2 2 2( 1, 1)x x x y

Por otra parte 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( 1, 1) ( 1, 1)f u f u x y x y

1 2 1 2( 2, 2)x x y y

La imagen de la suma NO es suma de imágenes.

3. En la geometría vectorial de dimensión 2 y 3 son aplicaciones lineales:

Simetrías

Rotaciones

Homotecias

Proyecciones 4. En el Análisis son aplicaciones lineales:

Derivación

Integración

Transformaciones integrales o Transformada de Fourier o Transformada de Laplace

3. TIPO DE APLICACIONES LINEALES

1. Si :f E F es INYECTIVA es un MONOMORFISMO.

2. Si :f E F es SOBREYECTIVA es un EPIMORFISMO.

3. Si :f E F es BIYECTIVA es un ISOMORFISMO.

4. Si E F es un ENDOMORFISMO.

5. Un endomorfismo biyectivo es un AUTOMORFISMO.


5

6. Si F K , :f E K es una FORMA LINEAL. Siendo K el cuerpo

de escalares que es espacio vectorial.

Algunos ejemplos:

La IDENTIDAD ( )Ex E id x x es Automorfismo.

El Endomorfismo NULO 0( ) 0Ex E f x

4. ESPACIO VECTORIAL DE LAS APLICACIONES LINEALES

El conjunto de las aplicaciones lineales de dos espacios vectoriales

( , )L E F con las operaciones

, ( )( ) ( ) ( )

, ( )( ) ( )

f g L f g x f x g x

f L K f x f x

se comprueba que tiene estructura de espacio vectorial de dimensión m n .

En particular el espacio vectorial de las Formas Lineales se denomina

Espacio Dual.

5. EXPRESIÓN MATRICIAL

Sea E y F dos k-ev de dimensiones respectivas dim( )E n y

dim( )F m . Con bases 1 2, , ,E nB e e e , 1 2, , ,F mB

Se considera la aplicación lineal :f E F .

Las imágenes de los vectores de la base de E:

1 1 2 2

1

( ) ; 1..m

j j j mj m ij i

i

f e a a a a j n

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

( )

( )

( )

m m

m m

n n n mn m

f e a a a

f e a a a

f e a a a

Un vector cualquiera de E: 1 1 2 2 n nu E u x e x e x e .

Su imagen es un vector de F: 1 1 2 2( ) m mf u y y y .


6

1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2( ) ( )m m m mx a a a x a a a

1 1 2 2( )n n n mn mx a a a 1 1 2 2 m my y y

Igualando coordenadas resulta la EXPRESIÓN MATRICIAL

1 2

11 12 11 1

21 22 22 2

1 2( ) ( ) ( )n

n

n

m m mnm nf e f e f e

a a ay xa a ay x

a a ay x

; ,

1.. 1..

i m n j

i m j n

y A x

1 1 2 2

1

n

i ij j i i i n n

j

y a x a x a x a x

OBSERVACIONES

1. Para obtener la imagen de un vector de E, basta con realizar el producto

de dos matrices. Una es la matriz mnA que define la aplicación lineal y la

otra es una matriz columna en la que figuran las coordenadas del vector de

E, respecto a la base EB .

2. Conviene saber que el número de filas de la matriz mnA coincide con la

dimensión del espacio final F, dim(F) = m. El número de columnas coincide

con la dimensión del espacio inicial E, dim(E) = n.

3. Las columnas de la matriz mnA , asociada a la aplicación lineal son las

imágenes de los vectores de la base de E , EB .

4. Si las dimensiones de los espacios vectoriales son iguales

dim( ) dim( )E F n , la matriz nA es cuadrada de orden n. Si la

aplicación lineal es un isomorfismo la matriz nA es regular y existe su

inversa 1A.

5. Dado un vector de F para obtener su antecedente basta resolver un

sistema lineal de ecuaciones. Habrá solución si el vector elegido pertenece

al conjunto Imagen en otro caso el sistema resulta incompatible.

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nf u f x e x e x e x f e x f e x f e


7

6. IMAGEN Y NÚCLEO

IMAGEN El subespacio imagen se expresa:

Im / , ( )f y F x E f x y .

Este subespacio se engendra mediante las columnas de la matriz A , ya

que éstas son las imágenes de los vectores de la base de E . Se verifica

que Im f F

Si el rango de la matriz A es ( )rg A r una base del subespacio Imagen

estará formado por las r columnas de A que sean linealmente

independientes.

dim(Im )f r

NUCLEO

El núcleo de un homomorfismo está compuesto por aquellos vectores de E

cuya imagen es el 0F F . Se expresa:

ker / ( ) 0Ff u E f u

Se verifica que (0 ) 0E Ff . En efecto

( 0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) 0E E E Fx E f x f x f f x f

Además ( ) ( )f x f x

( ) / ( ) 0

( ) ( ) ( ) (0 ) 0 ( ) ( )

E

E F

x E x E x x

f x x f x f x f f x f x

Si el rango de la matriz A es ( )rg A r . Para obtener una base del núcleo

se parte de un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo de m

ecuaciones con n incógnitas que siempre admite la solución trivial (0,...,0) ,

es decir el vector nulo.

1 1 2 2 0 1...i i i n na x a x a x i m

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

0

0

0

n

n

m m mn n

a a a x

a a a x

a a a x


8

Al ser r el número de filas de la matriz A linealmente independientes, resultan sólo r ecuaciones libres con n incógnitas, es decir un sistema indeterminado que son las ecuaciones implícitas del núcleo. Dado que hay n r incógnitas libres se puede afirmar que la dimensión del núcleo es

dim(ker )f n r

Por tanto se pueden despejar r incógnitas en función de las n r restantes, obteniendo así unas ecuaciones paramétricas del núcleo con n r parámetros, de modo que al dar valores adecuados a los parámetros

se puede obtener una base del núcleo.

En el caso ker 0 dim(ker ) 0r n f f . La aplicación es Inyectiva,

la única solución del sistema es la trivial.

Se verifica dim(ker ) dim(Im ) dim( )n r r n

f f E

Ejemplo: Sea el endomorfismo 2 2:f R R referido a la base 1 2,B e e

Definido 1 1

2 2

1 1

1 1

y x

y x

Obtener el Núcleo y la Imagen.

Solución

Como el ( ) 1rg A se verifica que dim(ker ) 2 1 1f n r .

La ecuación implícita del núcleo es 1 2 0x x

Las ecuaciones paramétricas del núcleo son 1

2

x

x

Una base del núcleo es ker

1

1fB

1 2u e e

Una base del subespacio imagen: Im

1

1fB

1 2v e e

que es una columna de la matriz A . dim(Im ) 1f r

7. PROPIEDADES

1. El NUCLEO es un subespacio vectorial de E.

Se utiliza el Criterio de subespacio vectorial

, ,K u v kerf Comprobar que u v kerf


9

( ) ( ) 0Ff u f v ya que ambos vectores son del núcleo

( ) ( ) ( ) 0 0 0F F Ff u v f u f v

Luego u v kerf por tanto es subespacio vectorial.

Además se verifica que (0 ) 0 0 kerE F Ef f .

2. LA IMAGEN es un subespacio vectorial de F.

Se utiliza el Criterio de subespacio vectorial

, K , , Im Comprobar que Imu v f u v f

, Im , / ( ) , ( )u v f x y E u f x v f y

( ) ( ) ( ) Imu v f x f y f x y u v f

ya que x y E es su antecedente.

3. Una aplicación f es INYECTIVA si y sólo si ker 0Ef

Directo: f es inyectiva ker 0Ef

Partir de que f es inyectiva y comprobar que ker 0Ef

Si f es inyectiva se verifica:( ) ( )

ker ( ) (0 ) 0E E

f x f y x y

x f f x f x

Luego el núcleo SOLO tiene el vector 0E

Recíproco: Si ker 0Ef f es inyectiva

Partir de que el núcleo solo tiene el vector 0E y comprobar que la aplicación

es inyectiva. Es decir ( ) ( )f x f y x y

Sean dos vectores ,x y E con imágenes ( ), ( )f x f y F . Si se verifica

( ) ( ) ( ) ( ) 0Ff x f y f x f y ( ) 0Ff x y

Si ( ) 0 ker 0F Ef x y x y f x y x y dado que en el

núcleo sólo está el vector 0E .


10

4. Dos K-ev son ISOMORFOS dim( ) dim( )E F

Directo: :f E F es Isomorfismo dim( ) dim( )E F n

Por ser Isomorfismo la aplicación es biyectiva, por tanto inyectiva y

sobreyectiva.

Si se verifica dim( )E n . Hay que comprobar que dim( )F n .

Si f es inyectiva dim(ker ) 0f n r n r

Si f es sobreyectiva Im dim(Im ) dim( )f F f r n F n . Por

tanto ambos espacios vectoriales tienen la misma dimensión.

Recíproco: Si dim( ) dim( )E F n Existe una aplicación lineal f que es

un isomorfismo.

Para probar que f es isomorfismo hay que demostrar que es una aplicación

inyectiva y sobreyectiva y por tanto biyectiva.

Sea 1 2, , ,E nB e e e una base de E y 1 2, , ,F nB una base de

F. Se considera la aplicación lineal :f E F definida por

1 1 2 2 n nu E u e e e ; 1 1 2 2( ) n nf u .

1. La aplicación así definida es sobreyectiva porque

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nf u f e e f e f e

Luego 1 1( ) , , ( )n nf e f e . Es decir las imágenes de los vectores de

la base de E forman una base de F: Im f F .

2. La aplicación así definida es inyectiva porque si se verifica:

( ) 0 0F Ef u u ; 1 1( ) 0n n Ff u

1 1 10 0n n F n por ser i una base de F. Si

( ) 0Ff u u kerf , y como 1 1 2 2 0n n Eu e e e u ya

que son nulos los i por tanto ker 0Ef f es inyectiva.

NOTA: Se considera la aplicación lineal ,1: nf E M que asocia a cada

vector de E una matriz columna, en la que sus elementos son las

coordenadas del vector. Se trata de un Isomorfismo que posibilita trabajar

con matrices en vez de vectores.


11

8. CAMBIO DE BASE

Utilizando las fórmulas de cambio de base en espacios vectoriales: En E:

1...

( ) ( )i ii n

u e P

; En F: 1...

( ) ( )i ii m

v Q

. y P Q son las matrices de cambio de

base en cada espacio vectorial. Las coordenadas se relacionan: En E:

Antiguas Nuevas

'x P x ; En F: Antiguas Nuevas

'y Q y

Expresión matricial: y A x , tras el cambio ' ' 'y A x

Sustituyendo y y x en la expresión matricial resulta:

1' ' ' 'y A x Q y A P x y Q A P x

Por tanto

1

' ' '

' '

y A x

y Q A P x

1'A Q A P que es la fórmula

que relaciona las matrices A y A’ de la aplicación lineal asociadas a las

respectivas bases de E y F.

Ejercicio de cambio de Base

Dada la aplicación lineal 3 2:f R R definida por su expresión:

1

1

2

2

3

1 3 5

2 4 6

xy

xy

x

referida a las respectivas bases canónicas: 1 2 3, ,e e e y 1 2,

Efectuar el cambio de base:

1 2 3 1 2 3

1 1 2

( ) ( ) 1 1 3

0 1 1

u u u e e e

; 1 2 1 2

1 1( ) ( )

1 2v v

SOLUCIÓN

Se utiliza la fórmula deducida anteriormente 1'A Q A P , siendo


12

1 3 5

2 4 6A

;

1 1 2

1 1 3

0 1 1

P

; 1 1

1 2Q

Se obtiene 1

2 1

1 1Q

y al aplicar la fórmula anterior

1

2 1

1 1Q

1 3 5

2 4 6A

1 1 2

1 1 3

0 1 1P

=

'

14 10 54

10 7 38A

Comprobación:

1

4( )

6f u

que al expresarlo en la base nueva resulta

1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 6 4(2 ) 6( ) 14 10f u v v v v v v

que es la primera columna de la matriz A’ de la aplicación lineal.

Análogamente para los demás vectores de la nueva base.

2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 4 3(2 ) 4( ) 10 7f u v v v v v v

3 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 16 22 16(2 ) 22( ) 54 38f u v v v v v v

9. APLICACIÓN COMPUESTA

Dados tres K-ev , ,E F G . Se consideran las aplicaciones lineales:

: , :f E F g F G . Sean A la matriz asociada a f y B la matriz

asociada a g . Se considera la aplicación compuesta h g f definida

:: ,

f g

h E Gh E G E F G

; ( ) ( ( ))h x g f x .

La matriz asociada a h es B A .

La composición de aplicaciones tiene la propiedad asociativa pero en

general no tiene la propiedad conmutativa.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Se dan los R-ev: 3( )P x espacio vectorial de los polinomios de coeficientes

reales de grado menor o igual a 3. 2M espacio vectorial de las matrices

cuadradas de orden 2.


13

Se considera la aplicación lineal 3 2: ( )f P x M definida

3 2( )0

a b df ax bx cx d

b c

1. Definir las bases canónicas de 3( )P x y

2M .

2. Expresión matricial asociada a las bases canónicas.

3. Ecuaciones implícitas del subespacio de 2M : Im f

4. Base del subespacio de 3( )P x : ker f

5. Hallar la matriz de la Aplicación Lineal si cambia la base de 3( )P x .

3

2 3

( )' 2 , , 1, 1P xB x x x

SOLUCIÓN

1. Las base canónicas de 3( )P x y 2M son respectivamente

3

3 2

( ) , , ,1P xB x x x ; 2

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1MB

2. Para hallar la matriz de la aplicación lineal hay que obtener las

imágenes de los vectores de la base canónica de E.

3 21 0 0 1 0 0 0 1

( ) , ( ) , ( ) , (1)0 0 1 0 1 0 0 0

f x f x f x f

1 1

2 2

3 3

4 4

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1;

0 1 1 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

y x

y xA

y x

y x

3. Una base del subespacio imagen se forma con las columnas de la

matriz que son linealmente independientes.

Im

1 0 0

0 1 0, ,

0 1 1

0 0 0

fB

; Ecuaciones Paramétricas

1

2

3

4 0

y

y

y

y

Al eliminar los tres parámetros entre las cuatro ecuaciones

paramétricas, resulta una Ecuación Implícita del subespacio Im f


14

4 0y

La dimensión del subespacio imagen es el rango de la matriz A. Por

tanto se verifica que dim(Im ) 3f r

4. Las ecuaciones implícitas de ker f , se obtienen al igualar al vector

20M

las ecuaciones de la aplicación lineal.

dim(ker ) 4 3 1f n r

Implícitas

1

2 4

2 3

0

0

0

x

x x

x x

Paramétricas

1

2

ker

3

4( )

0 0

1

1

1

f

p x

x

x aB

x a

x a

2( ) ker ; ( ) 1p x f p x x x . 2

0 0( 1)

0 0f x x

5. P es la matriz de cambio de base en 3( )P x :

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

2 0 1 1

P

Habiendo escrito por columnas las coordenadas de los vectores de la base

nueva 3

2 3

( )' 2 , , 1, 1P xB x x x expresados los vectores en la base

canónica de 3( )P x .

La matriz de cambio de base en 2M : 1Q I Q I

Por tanto 1'A Q A P I A P A P

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 2 1

0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 0

A P


15

0 0 0 1

2 0 2 1'

0 1 1 0

0 0 0 0

A

También podría obtenerse la matriz A’ mediante las imágenes de los

vectores de la nueva base que son las columnas de A’.

2 30 2 0 0 0 2 1 1

(2) , ( ) , ( 1) , ( 1)0 0 1 0 1 0 0 0

f f x f x f x


16

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

1. SIMETRÍA DE EJE X

INYECTIVA

SOBREYECTIVA

' ' 1 0

' ' 0 1

1 0 0Im ; ker ; ker 0

0 1 0

x x x x

y y y y

xf f f

y

Por tanto es Biyectiva

2. SIMETRÍA DE EJE Y

INYECTIVA

SOBREYECTIVA

' ' 1 0

' ' 0 1

1 0 0Im ; ker ; ker 0

0 1 0

x x x x

y y y y

xf f f

y


3. SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN

INYECTIVA

SOBREYECTIVA

' ' 1 0

' ' 0 1

1 0 0Im ; ker ; ker 0

0 1 0

x x x x

y y y y

xf f f

y


4. HOMOTECIA DE CENTRO EL ORIGEN Y RAZÓN K

INYECTIVA

SOBREYECTIVA

' ' 0

' ' 0

0 0Im ; ker ; ker 0

0 0

x kx x k x

y ky y k y

k xf f f

k y


5. TRASLACIÓN: NO ES APLICACIÓN LINEAL, ES APLICACIÓN AFIN.

' '

' '

Guía: vector que se suma a todos los vectores

x a x x a x

y b y y b y

a

b


17

EJERCICIO ROTACIÓN

Obtener la matriz de la rotación 2 2:R R R , siendo R la rotación de ángulo

en sentido anti horario.

SOLUCIÓN

cos( )

( )

x r

y rsen

' cos( )

' ( )

x r

y rsen

' cos( )cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( )

' ( )cos( ) cos( ) ( ) ( ) cos( )

x r rsen sen x ysen

x rsen r sen xsen y

' cos( ) ( )

' ( ) cos( )

x sen x

y sen y

Como 2 2

cos( ) ( )cos ( ) ( ) 1

( ) cos( )

sensen

sen

; ker 0f en

consecuencia la aplicación es inyectiva y al ser sobreyectiva resulta

biyectiva y por tanto existe matriz inversa.

1cos( ) ( )

( ) cos( )

senA

sen

En particular para 2

.

' 0 1

' 1 0

x x

y y

;

0 1 '

1 0 '

x x

y y

P(x,y)

P(x’,y’)

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