clase 9, 5 de mayo, cem - unamdepa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/f1_clase9_36717.pdf9 l i c u f u k ?...

En la presentación anterior se analizó la definición del trabajo como la integraldel producto entre el vector fuerza aplicada y el vector diferencial asociado con eldesplazamiento del objeto.

Así como el teorema trabajo-energía cinética:

En esta ocasión analizaremos la ley de conservación de la energía mecánica.

𝑊 = �⃗�⦁𝑑𝑟𝑟

𝑟0

𝑘

Conservación de energía mecánica

La ley de conservación de la energía mecánica refiere a la conversión de laenergía cinética que tiene un objeto en otra energía. En ese caso, la energíapotencial.

Para poder hablar de energía potencial se debe tener claro que este término nopuede asociarse directamente a un objeto, un objeto no tiene energía potencial,no es una característica asociable a un objeto, es un concepto que está asociadosiempre a dos objetos, es configuracional, es decir, la posición del objeto deestudio cambia con respecto a la posición del objeto referencia.

La energía potencial requiere de la interacción del objeto de estudio con susalrededores.

1


Para hablar de energía potencial es necesario definir el concepto fuerzaconservativa.

Para entender el concepto de fuerza conservativa recurriremos al concepto detrabajo en el cual debe satisfacerse dos condiciones:

• Si el trabajo total efectuado por una fuerza sobre un objeto en unatrayectoria cerrada (empieza en un punto A y regresa al mismo punto A), escero, entonces, la fuerza que efectúa el trabajo es una fuerza conservativa.

• Si el trabajo efectuado por una fuerza sobre un objeto desde el punto A• Si el trabajo efectuado por una fuerza sobre un objeto desde el punto Ahasta el punto B, es el mismo independientemente de la trayectoria seguida,entonces, la fuerza que efectúa el trabajo es una fuerza conservativa.

Dado lo anterior, podemos decir que cuando una fuerza conservativa actúa sobreun objeto, entonces, el trabajo que realiza dicha fuerza puede cambiarse por untérmino asociado a la energía potencial.

CUIDADO: Recuerda que el teorema de trabajo-energía cinética hace referenciaal trabajo total que se efectúa sobre un objeto; es decir, el trabajo que hacentodas las fuerzas pero la energía potencial es individual y depende de que cadafuerza sea conservativa. No todas las fuerzas pueden cambiarse por una energíapotencial.

2


Con la finalidad de ejemplificar el concepto fuerza conservativa, resolveremos unpar de situaciones en la que analizaremos la fuerza denominada peso.

Supongamos que lanzamos verticalmente hacia arriba un objeto de 0.5 kg conrapidez de 10.0 m/s. El objeto viajará hacia arriba, alcanzará su altura máxima yregresará a su punto de lanzamiento (trayectoria cerrada).

Para saber si el peso es una fuerza conservativa, entonces, determinaremos eltrabajo que realiza el peso desde el punto de lanzamiento hasta alcanzada laaltura máxima y, después, el trabajo desde la altura máxima hasta el punto delanzamiento.lanzamiento.

El peso es una fuerza constante cuya magnitud se obtiene del producto de lamasa del objeto por la magnitud de la aceleración de la gravedad.

Para determinar los límites de la integral colocaremos el origen del espacioeuclidiano en el punto de lanzamiento, y0 = 0 m, y haremos creciente, haciaarriba, el eje cartesiano y. Recurriremos a la ecuación de posición en la vertical ypara determinar la altura máxima.

3

|𝑤| = 𝑚𝑔 = (0.5)(9.81) = 4.905 N

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 − 9.81𝑡2

2


Como deseamos la altura máxima, esta condición se satisface cuando lacomponente de la velocidad vy es cero (punto de retorno). Derivando la ecuaciónde posición con respecto al tiempo y sustituyendo los valores de velocidad inicial,conoceremos el tiempo que tarda el objeto en llegar a su altura máxima

Al sustituir este tiempo en la ecuación de posición, obtenemos la altura máxima.

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑣𝑦 … 𝑑

𝑑𝑡𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 − 9.81

𝑡 2

2= 𝑣0𝑦 − 9.81𝑡 … 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 9.81𝑡

0 = 10.0 − 9.81𝑡 … 𝑡 = 0.981 s

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 − 9.81𝑡2

2= 10.0(0.981) − 9.81

(0.981)2

2= 5.09

Conocidos los límites de la integral, podemos determinar el trabajo que realiza elpeso en la trayectoria descrita por el objeto desde su punto de lanzamiento hastaalcanzada la altura máxima, en donde el ángulo que forman el vector peso y eldesplazamiento es de 180.0 grados.

4

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 − 9.81𝑡2

2= 10.0(0.981) − 9.81

(0.981)2

2= 5.09 m

𝑊 = ∫ 𝑤⦁𝑑𝑟𝑟

𝑟0 … 𝑊 = ∫ |𝑤||𝑑𝑦|𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ |𝑑𝑦|

𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃|𝑦 − 𝑦𝑜 |

𝑊 = (4.905)|5.09 − 0|𝑐𝑜𝑠180.0 … 𝑊 = −25.0 J


Si podemos determinar el trabajo que realiza el peso para desplazar al objetodesde la altura máxima hasta el punto de lanzamiento, en donde el ángulo queforman el vector peso y el desplazamiento es cero grados.

Si sumamos ambos trabajos para considerar la trayectoria cerrada, observamosque el trabajo neto es cero joules. Con lo cual podemos pensar que el peso esuna fuerza conservativa.



𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ |𝑑𝑦|

𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃|𝑦 − 𝑦𝑜 |

𝑊 = (4.905)|0 − 5.09|𝑐𝑜𝑠0.0 … 𝑊 = 25.0 J

una fuerza conservativa.

Para confirmar nuestra sospecha sobre si el peso puede considerarse una fuerzaconservativa, analicemos ahora otra situación en la que se modifique latrayectoria de un objeto pero que en ambas se vaya de un punto A al punto B.

Con este fin, retomemos el ejercicio uno de la presentación anterior pero ahoraanalizaremos el trabajo que realiza el peso en el movimiento del objeto. En dichoejercicio se subía un objeto de 12.0 kg hasta una altura de 3.0 m siguiendo dostrayectorias, una de ellas vertical y la otra sobre un plano inclinado.

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En el caso de seguir la trayectoria vertical, el trabajo que realiza el peso será:

En el caso de que la trayectoria que sigue el objeto sea sobre la superficie delplano inclinado, es requerido retomar el diagrama de cuerpo libre paradeterminar el ángulo que forma el peso con el desplazamiento del objeto.



𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ |𝑑𝑦|

𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑚𝑔|𝑐𝑜𝑠𝜃|𝑦 − 𝑦𝑜 |

𝑊 = (12.0)(9.81)|3.0 − 0|𝑐𝑜𝑠180.0 … 𝑊 = −353.16 J

yDCL

𝑛 En el diagrama de cuerpo libre, el desplazamiento se situó

En este mismo ejercicio se determinó la magnitud del desplazamiento queexperimenta el objeto, Dx = 6.0 m, de forma que el trabajo que realiza la fuerza defricción en esta situación es:

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x

𝑛

𝑤 q

�⃗�

En el diagrama de cuerpo libre, el desplazamiento se situósobre el eje cartesiano x. Como el plano está inclinado30.0 grados, valor de q, podemos determinar que el peso yel desplazamiento forman un ángulo de 120.0 grados.


𝑟0 … 𝑊 = ∫ |𝑤||𝑑𝑥|𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

𝑥0 … 𝑊 = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ |𝑑𝑥|

𝑥

𝑥0 … 𝑊 = |𝑚𝑔|𝑐𝑜𝑠𝜃|𝑥 − 𝑥𝑜 |

𝑊 = (12.0)(9.81)|6.0 − 0|𝑐𝑜𝑠120.0 … 𝑊 = −353.16 J


Como puede observarse, independientemente de la trayectoria la fuerza pesorealiza el mismo trabajo en el proceso de llevar al objeto 3.0 m de altura, esdecir, el peso siempre realiza un trabajo de –353.16 J sin importar la trayectoriaque sufre el objeto de 12.0 kg.

Dado lo anterior podemos establecer que la fuerza peso es una fuerzaconservativa y se le puede asociar un término de energía potencial que serádenominada energía potencial gravitacional.

CUIDADO. La fuerza peso depende de dos factores, la perturbación gravitacionalque genera en el espacio la masa de la Tierra, denominada aceleración de laque genera en el espacio la masa de la Tierra, denominada aceleración de lagravedad, g, y la masa del objeto. No sólo depende del objeto, por lo tanto, nopodemos decir que el objeto tendrá energía potencial gravitacional.

Para determinar la expresión de la energía potencial gravitacional, recurriremosa la definición de trabajo y sustituiremos considerando que la dirección deldesplazamiento es contraria a la dirección del peso.

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𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑤|𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ |𝑑𝑦|

𝑦

𝑦0 … 𝑊 = |𝑚𝑔|𝑐𝑜𝑠𝜃|𝑦 − 𝑦𝑜 |

𝑊 = |𝑚𝑔||𝑦 − 𝑦𝑜 |𝑐𝑜𝑠180.0 … 𝑊 = −|𝑚𝑔||𝑦 − 𝑦𝑜 | … 𝑊 = −𝑚𝑔𝑦 + 𝑚𝑔𝑦𝑜


Si ahora definimos el término energía potencial gravitacional, Ug, como elproducto de la masa del objeto de estudio, la aceleración de la gravedad y el valorasociado con la vertical y, Ug = mgy, entonces:

El trabajo es el menos cambio de la energía potencial gravitacional.

Retomando el teorema trabajo-energía cinética, W = DEK, podemos sustituir eltrabajo para poner la ecuación en términos del cambio en la energía potencialgravitacional y el cambio en la energía cinética.

𝑊 = −𝑚𝑔𝑦 + 𝑚𝑔𝑦𝑜 … 𝑊 = −𝑈𝑔 + 𝑈𝑔0 … 𝑊 = −(𝑈𝑔 − 𝑈𝑔0

) … 𝑊 = −∆𝑈𝑔

gravitacional y el cambio en la energía cinética.

La ultima ecuación es justamente la expresión matemática de la ley deconservación de energía mecánica, en la cual la suma de la energía cinética y laenergía potencial gravitacional al inicio es igual a la suma de la energía cinética yla energía potencial gravitacional al final.

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𝑊 = ∆𝐸𝑘 … 𝑊 = 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0

𝑊 = ∆𝐸𝑘 = −∆𝑈𝑔

𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0= −(𝑈𝑔 − 𝑈𝑔0

) … 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0= −𝑈𝑔 + 𝑈𝑔0

… 𝐸𝑘 + 𝑈𝑔 = 𝐸𝑘0+ 𝑈𝑔0


Apliquemos la ley de conservación de la energía mecánica en algunas situacionesque ya han sido resueltas empleando las ecuaciones de cinemática y las leyes deNewton, para ejemplificar su utilidad.

Para resolver el ejercicio podríamos emplear nuestro conocimiento referente a

Ejercicio 1.

Un objeto es lanzado con rapidez de 50.0 m/s y dirección de 36.9 grados sobrela horizontal describiendo un movimiento proyectil. Determina la altura máximaque alcanza el proyectil.

Para resolver el ejercicio podríamos emplear nuestro conocimiento referente acinemática pero la intención es resolver el ejercicio empleando la ley deconservación de la energía mecánica.

Como la única fuerza que actúa sobre el objeto es el peso y existe un cambio enel valor de la vertical, componente cartesiana y, entonces podemos referir a uncambio en la energía potencial gravitacional.

Para determinar el cambio configuracional de la posición del objeto con respectoa la Tierra, cambio en la energía potencial gravitacional, diremos que en el puntode lanzamiento y0 será cero mientras que la posición final y representará laaltura máxima.

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En cuanto a la energía cinética, como el objeto tiene una rapidez al inicio delmovimiento y en la altura máxima, recuerda que la componente del vectorvelocidad en el eje cartesiano x es constante, bastará con conocer el valor de larapidez en cada punto para determinar su energía cinética.

Con el análisis anterior podemos sustituir en la ecuación de la ley deconservación de la energía mecánica:

𝐸𝑘 + 𝑈𝑔 = 𝐸𝑘0+ 𝑈𝑔0

… 𝑚|𝑣|2

2+ 𝑚𝑔𝑦 =

𝑚|𝑣0|2

2+ 𝑚𝑔𝑦0

𝑚(50.0𝑐𝑜𝑠36.9)2

2+ 𝑚(9.81)𝑦 =

𝑚(50.0)2

2+ 𝑚(9.81)(0)

El término 50.0cos36.9 hacer referencia a la componente del vector velocidad enel eje cartesiano x. Si eliminamos el término de la masa por estar presente encada elemento de la ecuación y despejamos el valor de y, encontraremos la alturamáxima.

De esta forma hemos determinado que el objeto alcanza un altura máxima de45.9 m con respecto al punto de lanzamiento.

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𝑚(50.0𝑐𝑜𝑠36.9)2

2+ 𝑚(9.81)𝑦 =

𝑚(50.0)2

2+ 𝑚(9.81)(0)

𝑚 (50.0𝑐𝑜𝑠 36.9)2

2+ 𝑚(9.81)𝑦 =

𝑚 (50.0)2

2+ 𝑚(9.81)(0) … (50.0𝑐𝑜𝑠 36.9)2

2+ (9.81)𝑦 =

(50.0)2

2

𝑦 =(50.0)2

2(9.81)−

(50.0𝑐𝑜𝑠36.9)2

2(9.81)= 81.5 m


Ejercicio 2.

Un sistema pendular, longitud pendular de 1.0 m y masa m, secoloca de forma que la cuerda hace un ángulo q de 40.0 gradoscon respecto a la vertical y se libera del reposo. Determina larapidez máxima que puede alcanzar el péndulo.

q

Para resolver el ejercicio mediante la ley de conservación de la energía mecánicaes requerido analizar primero las fuerzas que actúan sobre el sistema, que eneste caso son el peso y la tensión, para saber cuáles efectúan trabajo.

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En el análisis de las fuerzas que realizan trabajo en el péndulo sería naturalpensar que la fuerza de tensión efectúa trabajo, pero la realidad es que la tensiónes una fuerza que siempre se mantiene tangente a la trayectoria circular delpéndulo, es decir, el vector desplazamiento y la fuerza de tensión hacen unángulo de 90.0 grados y como el trabajo es el resultado del producto punto entreestos dos vectores, entonces, el trabajo de la fuerza de tensión siempre será cerojoule. Así que la única fuerza que realiza trabajo sobre el sistema pendular es elpeso.

Dado lo anterior podemos emplear la ley de conservación de la energía mecánica.


Como ha sido discutido, para determinar la energía potencial gravitacional esrequerido colocar un punto que sirva de referencia. Este punto debe ser colocadoen la vertical ya que en esta dirección actúa el peso. Para facilitar el cálculo,asociaremos un valor de cero al punto mínimo de la trayectoria que describe elpéndulo.

q

Punto de referencia, y = 0 m.Punto de lanzamiento.

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Si se observa la representación gráfica del péndulo, veremos que este inicia sumovimiento en un valor diferente de cero en la vertical, es decir, yo representarála “altura”, con respecto a nuestro punto cero en la vertical, desde la que seliberó el péndulo.

La ventaja de definir que en el punto mínimo de la trayectoria del péndulo elvalor de la vertical es cero metro, es que la energía potencial gravitacionalasociada a ese será cero joule, es decir, en este punto únicamente existiráenergía cinética (ya que el péndulo se está moviendo). Esto nos permitirádeterminar la rapidez máxima del péndulo.


Para determinar el valor de la “altura” desde la que fue liberado el péndulo,recurriremos al teorema de Pitágoras en donde la hipotenusa del triángulorectángulo será la longitud pendular.

CA = (Longitud pendular) cosq

CA = (1.0)cos40.0 … CA = 0.766 mq q CA

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Como la longitud pendular es 1.0 m y este valor es el máximo posible en lavertical, entonces, la “altura” desde la que fue liberado el péndulo se puedeobtenerse de restar a la longitud pendular el valor del CA.

“Altura” = y0 = Longitud pendular – CA

“Altura” = y0 = 1.0 - 0.766 = 0.234 mq CA

“Altura”


Con el valor de la “altura”, y0, podemos aplicar la ley de conservación de laenergía mecánica para determinar la rapidez máxima.

Recuerda que la posición final en la vertical se considera cero metro pues ahícolocamos nuestro punto de referencia, y = 0 m. Además, como el péndulo selibera del reposo, su rapidez inicial es 0 m/s y, con ello, la energía cinética seráde cero joule al inicio del movimiento.


… 𝑚|𝑣|2

2+ 𝑚𝑔𝑦 =

𝑚|𝑣0|2

2+ 𝑚𝑔𝑦0

𝑚|�⃗�|2

2+ 𝑚(9.81)(0) =

𝑚(0)2

2+ 𝑚(9.81)(0.234)

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Como todos los elementos de la ecuación tienen a la masa, esta puede sereliminada para, posteriormente, despejar la rapidez final, que será la rapidezmáxima que adquiere el péndulo.

𝑚|�⃗�|2

2+ 𝑚(9.81)(0) =

𝑚(0)2

2+ 𝑚(9.81)(0.234)

𝑚|𝑣|2

2= 𝑚(9.81)(0.234) …

|𝑣|2

2= (9.81)(0.234)

|�⃗�| = 2(9.81)(0.234) = 2.14 m/s


Ejercicio 3.

Empleando el sistema pendular anterior, determina el ángulo que forma elpéndulo con la vertical cuando la rapidez es la mitad de la rapidez máxima.

Para resolver el ejercicio emplearemos el valor de la rapidez máxima que seencontró en el ejercicio anterior, = 2.14 m/s.

Como el ejercicio solicita la mitad de la rapidez máxima, entonces, la solución seencontrará cuando la rapidez del péndulo es 1.07 m/s.

|�⃗�|

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En este punto es importante analizar que cuando el péndulo tiene una rapidezde 1.07 m/s aún no ha llegado al punto de referencia en el que y = 0 m, por lotanto, el valor de y en el punto asociado con la mitad de la rapidez máxima serádiferente de cero, es decir, a la mitad de la rapidez máxima el péndulo tiene un“altura” asociada con respecto a nuestro punto de referencia de cero metro.

Para determinar el valor de y asociado a la mitad de la rapidez máxima puedeprocederse de dos formas. En la primera de ellas se inicia analizando desde laenergía potencial gravitacional inicial, es decir, desde que se liberó el péndulo delreposo. En la segunda de ellas, se considera la energía cinética máxima quealcanza el péndulo.

Conservación de energía mecánica Para corroborar que el cálculo de y es independiente de la situación elegida,resolveremos por ambas consideraciones.

• Primera situación. (Considerando la energía potencial gravitacional inicial).

En este caso, al inicio se tendrá energía potencial gravitacional que se convierteen un nuevo término de energía potencial gravitacional y energía cinética, estosúltimos asociados al punto de mitad de la rapidez máxima.


… 𝑚|𝑣|2

2+ 𝑚𝑔𝑦 =

𝑚 |𝑣0|2

2+ 𝑚𝑔𝑦0

𝑚 (1.07)2

2+ 𝑚(9.81)(𝑦) =

𝑚 (0)2

2+ 𝑚(9.81)(0.234) … 𝑦 = (0.234) −

(1.07)2

2(9.81)= 0.176 m

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• Segunda situación. (Considerando la energía cinética máxima).

En este caso, al inicio se tendrá energía potencial gravitacional y energíacinética, asociados al punto de mitad de la rapidez máxima, y al final existirásolamente energía cinética.

El valor de y asociado con la mitad de la rapidez máxima es el mismo.

𝐸 + 𝑈 = 𝐸 + 𝑈 + 𝑚𝑔𝑦 = + 𝑚𝑔𝑦

𝑚 (1.07)2

2+ 𝑚(9.81)(𝑦) =

𝑚 (0)2

2+ 𝑚(9.81)(0.234) … 𝑦 = (0.234) −

(1.07)2

2(9.81)= 0.176 m


… 𝑚|𝑣|2

2+ 𝑚𝑔𝑦 =

𝑚 |𝑣0|2

2+ 𝑚𝑔𝑦0

𝑚 (1.07)2

2+ 𝑚(9.81)(𝑦) =

𝑚 (2.14)2

2+ 𝑚(9.81)(0) … 𝑦 =

(2.14)2

2(9.81)−

(1.07)2

2(9.81)= 0.176 m

Conservación de energía mecánica Una vez que hemos determinado el valor de y, “altura” referente al puntoasociado con la mitad de la rapidez máxima, podemos recurrir al teorema dePitágoras.

Para emplear el teorema de Pitágoras y determinar el ángulo que forma elpéndulo con la vertical, primero requerimos el valor del cateto adyacente.

Como la longitud pendular es 1.0 m y este valor es el máximo posible en lavertical, entonces, el cateto adyacente será la longitud pendular menos la“altura” asociado con la mitad de la rapidez máxima.

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CA = Longitud pendular – “Altura” … CA = 1.0 – 0.176 = 0.824 m

Finalmente, como la longitud pendular representa la hipotenusa del triángulorectángulo podemos calcular el ángulo que forma el péndulo con la verticalempleando el cateto adyacente que acabamos de determinar.

CA = (Longitud pendular) cosq … q = cos–1 (CA/Longitud pendular)

q = cos–1 (0.824/1.0) = 34.5 grados


Ejercicio 4.

Una bola de 4.0 kg se coloca en el borde de un semicírculo deradio 2.0 m y se libera del reposo. Determina la magnitud de lafuerza normal en el punto más bajo de la trayectoria circular.

En esta ocasión para resolver el ejercicio mediante la ley de conservación de laenergía mecánica es requerido analizar primero las fuerzas que actúan sobre elsistema, que en este caso son el peso y la fuerza normal, para saber cuálesefectúan trabajo.

R

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En el análisis de las fuerzas que realizan trabajo en la bola que se desliza por elinterior del semicírculo sería natural pensar que la fuerza normal efectúatrabajo, pero la realidad es que la fuerza normal es una fuerza que siempre semantiene tangente a la trayectoria de la bola, es decir, el vector desplazamiento yla fuerza normal hacen un ángulo de 90.0 grados y como el trabajo es elresultado del producto punto entre estos dos vectores, entonces, el trabajo de lafuerza normal siempre será cero joule. Así que la única fuerza que realiza trabajosobre la bola es el peso.

Esto nos mete en un ligero conflicto pues pareciera que la ley de conservación dela energía mecánica no nos sirve para resolver el ejercicio.

Conservación de energía mecánica Como hemos analizado, la ley de conservación de energía mecánica no nospermite determinar la magnitud de la fuerza normal, así que recurriremos aldiagrama de cuerpo libre en el punto más bajo de la trayectoria circular pararesolver el ejercicio.

∑ 𝐹𝑟 : |𝑛| − |𝑤| = 𝑚𝑎𝑅 … |𝑛| = |𝑤| + 𝑚𝑎𝑅 … |𝑛| = 𝑚𝑔 + 𝑚|𝑣|2

𝑅

Rr

𝑤

𝑛 Del diagrama de cuerpo libre podemos despejar la magnitudde la fuerza normal; sin embargo, para determinar su valornos hace falta el valor de la rapidez en el punto más bajo dela trayectoria, la cual está asociada con la aceleración radial.

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Por lo tanto, recurriremos a la ley de conservación de energía mecánica paradeterminar la rapidez de la bola cuando esta llega al punto más bajo de latrayectoria circular.

Nuevamente para determinar la energía potencial gravitacional, requerimos deun punto de referencia. Considerando que el punto más bajo de la trayectoriaserá nuestro punto de referencia, y = 0 m, podemos determinar que el valor de y0

coincidirá con el valor del radio o la “altura” desde la que se liberó la bola.

∑ 𝐹𝑟 : |𝑛| − |𝑤| = 𝑚𝑎𝑅 |𝑛| = |𝑤| + 𝑚𝑎𝑅 |𝑛| = 𝑚𝑔 + 𝑚|𝑣|2

𝑅

Conservación de energía mecánica De esta forma, al resolver con la ley de conservación de energía mecánicaconsiderando que la bola se liberó del reposo al inicio, tenemos:

Ahora podemos sustituir este valor de rapidez en la suma de fuerzas en el eje


… 𝑚|𝑣|2

2+ 𝑚𝑔𝑦 =

𝑚 |𝑣0|2

2+ 𝑚𝑔𝑦0

(4.0)|�⃗�|2

2+ (4.0)(9.81)(0) =

(4.0)(0)2

2+ (4.0)(9.81)(2.0)

|�⃗�| =2(4.0)(9.81)(2.0)

4.0= 6.26 m/s

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Ahora podemos sustituir este valor de rapidez en la suma de fuerzas en el ejeradial para determinar la magnitud de la fuerza normal.

|�⃗�| = 𝑚𝑔 + 𝑚|𝑣|2

𝑅 … |𝑛| = (4.0)(9.81) + (4.0)

(6.26)2

2.0= 117.6 N

Conservación de energía mecánica Ejercicio 5.

Una objeto se lanza con rapidez inicial de 5.0 m/s desde la parte baja de unasuperficie inclinada 50.0 grados sobre la horizontal. Si el objeto viaja haciaarriba por la superficie, que no presenta fricción, determina la distancia querecorre el objeto sobre la superficie justo antes de detenerse.

En esta ocasión para resolver el ejercicio mediante la ley de conservación de laenergía mecánica es requerido analizar primero las fuerzas que actúan sobre elsistema, que en este caso son el peso y la fuerza normal para saber cuálesefectúan trabajo.

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efectúan trabajo.

Nuevamente, la fuerza normal es una fuerza que se mantiene perpendicular a latrayectoria del objeto, así que la única fuerza que realiza trabajo sobre el sistemaes el peso, el cual será cambiado por el término de energía potencialgravitacional.

Para determinar la energía potencial gravitacional es requerido colocar un puntoque sirva de referencia. Este punto se colocará justo en el punto de lanzamiento,es decir, en la parte baja del plano inclinado el valor será y0 = 0 m. Por lo tanto,la energía potencial gravitacional valdrá cero joule pero la energía cinética serámáxima y asociada con la rapidez de lanzamiento.


Por otra parte, en el punto final de nuestro análisis, cuando el objeto se detiene yha recorrido lo máximo sobre la superficie en su viaje de ascenso, toda la energíacinética que tenía el objeto se ha convertido en energía potencial gravitacionalcon respecto a nuestro punto de referencia.

De esta forma, el balance de energía será:

Al sustituir en la ecuación anterior los valores conocidos podemos determinar elvalor de y asociado con la energía potencial gravitacional al final, la “altura” quealcanza el objeto.

𝑈𝑔 = 𝐸𝑘0

𝑈𝑔 = 𝐸𝑘0 … 𝑚𝑔𝑦 =

𝑚 |𝑣0|2

2

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Si recurrimos a un triángulo rectángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras,podemos conocer la distancia que se recorre sobre la superficie.

y = Distancia senq ... Distancia = y/senq

Distancia = (1.27)/sen50.0

Distancia = 1.66 mq

y

𝑈𝑔 = 𝐸𝑘0 … 𝑚𝑔𝑦 =

𝑚 |𝑣0|2

2

𝑚(9.81)𝑦 =𝑚 (5.0)2

2 … 𝑦 =

(5.0)2

2(9.81)= 1.27 m

Ejercicios para resolver.

1) Un objeto de 10.0 kg se lanza verticalmente hacia arriba con rapidez de25.0 m/s. Determina la rapidez del objeto a la mitad de su altura máxima.

2) Un objeto de 2.0 kg se lanza, describiendo un movimiento proyectil con rapidezde 15.0 m/s y ángulo de 20.0 grados sobre la horizontal. Determina la alturaalcanzada cuando el proyectil tiene la mitad de su energía cinética máxima.

3) Un objeto se lanza verticalmente hacia abajo con rapidez de 3.0 m/s desde unaaltura de 20.0 m. Determina la rapidez del objeto cuando este ha recorrido unaaltura de 20.0 m. Determina la rapidez del objeto cuando este ha recorrido unadistancia de 15.0 m.

4) Un sistema pendular, longitud pendular de 1.5 m y masa m, se coloca de formaque la cuerda hace un ángulo de 60.0 grados con respecto a la vertical y selibera del reposo. Determina la rapidez del objeto cuando el sistema pendularforma un ángulo de 25.0 grados con la vertical.

5) Un objeto de 2.0 kg se desliza por una superficie inclinada 25.0 grados sobre lahorizontal, que no presenta fricción. Determina el cambio en la energía cinéticadel objeto cuando este ha recorrido una distancia de 1.5 m por la superficieinclinada. 23

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