Clase 14 - Resolución de Circuitos de CA

Prof. Juan Mauricio Matera

22 de mayo de 2019

Repaso

I Combinaciones equivalentes de inductancias realesI Combiación serie:

Leq =∑

kLk Req =

∑k

Rk

I Combinación paralelo

Leq = 1∑k L−1

kReq = 1∑

i R−1k

I Circuitos transitorios con más de una malla:I Situación inicial:

I las inductancias preservan su corrienteI los capacitores preservan su ∆V

I Situación estacionaria:I las inductancias tienen ∆V = 0 (como un cable).

I los capacitores tienen i = 0 como un interruptor abierto.

I Circuitos RLCI Dos tiempos característicos: τ = L

R y 1ω =√

LC .I La tensión y las corrientes satisfacen ecuaciones diferenciales

lineales de segundo ordenI El sistema es equivalente a un oscilador mecánico sujeto a roce.I Dos régimenes posibles:

I régimen oscilacilatorio amortiguado (ωτ > 1):

i(t) ∝ e−t/τ cos(ω̃t + φ) .

I régimen sobre-amortiguado (ωτ ≤ 1):

i(t) ∝ ae−t/τ̃+ + bae−t/τ̃− .

I Excitaciones periódicas con frecuencia cercana a ω/(2π)producen una respuesta resonante.

I Corriente AlternaI FEM Alterna

E(t) =√2Vef cos(2πft)

I Depende del tiempo en forma armónica.I Vef es el valor eficaz de E

I f es la frecuencia o número de ciclos por segundo.I En las expresiones suele aparecer la frecuencia angular

ω = 2πf .I Al conectar una FEM Alterna a un circuito RLC, la corriente

que circula por la FEM será también de la forma

i(t) =√2Ief cos(2πft + φ)

donde Ief es el valor eficaz de la corriente y φ es uncorrimiento de fase respecto a la tensión y f quedadeterminada por la FEM.

I Se define la Impedancia Z del circuito como el cocienteZ = Vef

Ief, de manera análoga a la resistencia.

I Por la Ley de Ohm, en una resistencia, Vef = RIef , φ = 0I Para un capacitor, Vef = XC Ief con XC = Z = 1

ωC lareactancia capacitiva y φ = π/2.

I En un inductor, por la Ley de Faraday Vef = XLIef conXL = Z = ωL la reactancia inductiva y φ = −π/2.

I En un circuito general, diremos que Z cos(φ) y Z sin(φ) son lascomponente resistiva y reactiva de la impedanciarespectivamente.

I En un circuito de CA, la potencia instantanea entregada porla fuente viene dada por P(t) = V (t)I(t).

I Se puede descomponer esta potencia instantanea en dostérminos P(t) = Preactiva(t) + Presistiva(t).

I Preactiva(t) = Vef Ief sin(φ)ω

d cos2 ωtdt es la componente reactiva.

I Está relacionada con la energía almacenada en los camposelectromagnéticos.

I Su signo cambia con el tiempoI Su valor promedio es cero.

I Presistiva(t) = Vef Ief cos(φ)2 cos2 ωt es la componente resistiva.

I Está relacionada con la energía disipada y con el trabajomecánico que realiza el circuito.

I Su signo es siempre positivo.I Su valor medio, al igual que el de la potencia total es〈Presistiva〉 = 〈P〉 = Vef Ief cos(φ)

I El factor cos(φ) se denomina Factor de Potencia.

I Para reducir pérdidas en el transporte de energía eléctrica sebuscaI Minimizar la Ief en el transporte.I Maximizar el Factor de Potencia.I Maximizar el valor de la tensión eficaz.

I Para optimizar la tensión en el transporte se utilizan losTransformadores de CA.I Consisten en dos solenoides acoplados magnéticamente.I La V (2)

ef en el solenoide secundario se relaciona con V (1)ef del

solenoide primario, conectado a la fuente según

V (2)ef = V (1)

efM12L1

= V (2)ef

N2N1

donde M12 es el coeficiente de inducción mutua entre lossolenoides, L1 es la autoinductancia del primario y N1,N2 sonel número de espiras en los solenoides primario y secundariorespectivamente.

Resolución de Circuitos de Corriente Alterna

Resolución de circuitos de corriente alternaConsideremos el circuito I Las ecuaciones de Kirchhoff

siguen valiendo, peroI Involucra una ecuación

diferencial más complicada!I Hipótesis: todas las

corrientes son de la formaIk(t) = Ik,0 cos(ωt + φk), ypor lo tanto,

I todas las tensiones son de laformaVm(t) = Vm,0 cos(ωt + φm).

I Veremos luego que con estahipótesis el problema sereduce a un problemaalgebráico (como en circuitosestacionarios).

I Empecemos con un circuitomás simple. . .

Circuito RC serieConsideremos el circuito I E(t) = V0 cos(ωt)

I Proponemosi(t) = I0 cos(ωt + φ)

I entonces, en la resistenciaVR = i(t)R =I0R cos(ωt + φ)

I y en el capacitor,i(t) = C dVC

dt , proponiendoVC (t) = V0,C cos(ωt + φC ),

I0 cos(ωt + φ) = CV0,Cddt cos(ωt + φC )

= −ωCV0,C sin(ωt + φC )

= ωCV0,C cos(ωt + (φC + π

2 ))

⇒ V0,C = I0ωC , φC = φ− π

2

I La ecuación para la malla resulta entoncesE(t)− VC (t)− VR(t) = 0

V0 cos(ωt)− I0ωC cos(ωt + φC )− I0R cos(ωt + φ) = 0

V0 cos(ωt)− I0ωC cos(ωt + φC )− I0R cos(ωt + φ) = 0

* Recordando ahora que

cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b) ,

(V0 −

I0ωC cos(φC )− I0R cos(φ)

)cos(ωt)+(

− I0ωC sin(φC )− I0R sin(φ)

)sin(ωt) = 0

donde ambos paréntesis deben anularsesimultaneamente:

I0ωC cos(φ) = I0R sin(φ)

tan(φ) = 1ωRC

V0 = − I0ωC sin(φ) + I0R cos(φ)

= I0Z

Z = R√1 + tan(φ)2 =

√R2 + 1

(ωC)2

I φ = arctan((ωRC)−1) es la diferencia de fase.

V0 cos(ωt)− I0ωC cos(ωt + φC )− I0R cos(ωt + φ) = 0

* Recordando ahora que

cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b) ,

(V0 −

I0ωC cos(φC )− I0R cos(φ)

)cos(ωt)+(

− I0ωC sin(φC )− I0R sin(φ)

)sin(ωt) = 0

donde ambos paréntesis deben anularsesimultaneamente:

I0ωC cos(φ) = I0R sin(φ)

tan(φ) = 1ωRC

V0 = − I0ωC sin(φ) + I0R cos(φ)

= I0Z

Z = R√1 + tan(φ)2 =

√R2 + 1

(ωC)2

I φ = arctan((ωRC)−1) es la diferencia de fase.

Interpretación geométrica: Fasores

I El álgebra se habría simplificado mucho si notábamos que unacantidad ψ(t) = A cos(ωt + φ) puede interpretarse como laproyección horizontal de un vector en el plano, de magnitudA, que rota con velocidad ω y que inicialmente formaba unángulo φ respecto a la horizontal.

I A este objeto geométrico lo llamamos Fasor.I La derivada actúa sobre los fasores multiplicándolos por el

factor ω, y adelantándolos π/2.

Relación entre fasores

I En general, en un componentelineal, o en una rama de uncircuito, los fasores tensión ycorriente forman un ángulo φ yla relación entre el módulo delfasor tensión V y el fasorcorriente I viene dada por laimpedancia Z = |V|

|I|I Si la corriente adelanta a la

tensión decimos que elcomponente es capacitivo

I Si la tensión adelanta a lacorriente, decimos que elcomponente es inductivo

I En general, el caracter delcomponente dependerá de lafrecuencia de alimentación.

I Para algunos valores de lafrecuencia, el circuito nopresentará componentesreactivas: decimos entonces quese encuentra en resonancia.

Método de los fasores

Método de los fasoresI Sobre cada rama,

I Construir un fasor corriente I, de magnitud proporcional a lacorriente de la rama.

I Construir los fasores tensión Vk para cada elemento sobre larama.

I Construir el fasor Vtotal como suma de todos los fasores tensiónen la rama.

I Encontrar el ángulo de fase (orientado) entre Vtotal e I parala rama.

I Encontrar la impedancia Z para la rama, como el cocienteZ = |Vtotal|/|I|.

I Sobre cada par de nodos donde convergen dos o más ramas,I Construir el fasor tensión entre los nodos.I Construir los fasores corriente Ik para cada rama,I Construir el fasor corriente total Itotal como la suma

vectorial de todos los fasores corriente.I Encontrar el ángulo de fase (orientado) entre Vtotal e I para

el par de nodos.I Encontrar la impedancia Z para el par de nodos, como el

cociente Z = |Vtotal|/|I|.

Ejemplo: El circuito RC serie versión fasores

I Recuperamos los mismos resultados que de la resolucióndirecta de la Ec. de mallas.

Ejemplo: El circuito RL serie versión fasores

Ejemplo: El circuito RLC serie versión fasores

I La tensión eficaz en la resistencia viene dada porVR = R√

R2+(XL−XC )2 VI Por lo tanto, VR es máxima si XL = XC , lo que ocurre siω2 = ω2

0 = 1LC .

I En esa situación, decimos que el circuito está en resonancia.I En tal caso, la potencia media absorbida en la resistencia

toma su valor máximo:

Pres = I2R = V 2

Z 2(ω)R → Pmax = V 2

RI En general, la potencia absorbida por la resistencia en función

de la frecuencia tiene la forma

P(ω) = Pmax

1 +(ω2− 1

ω20

ωR/L

)2

por lo que sólo absorbe energía si se lo excita con frecuenciasen el intervalo ω0 ± R

L .I Por este motivo, estos circuitos se emplean como

sintonizadores.

Ejemplo: El circuito RLC paralelo versión fasores

I La corriente eficaz entregada por la fuente viene dada porI = V

√R−2 + (X−1

L − X−1C )2

I Por lo tanto, I es mínima si XL = XC , lo que ocurre siω2 = ω2

0 = 1LC .

I En esa situación, decimos que el circuito está en resonancia.

El método de las impedancias complejas

Los fasores como Números complejosI Un número complejo es cualquier número de la forma

z = x + iy con x , y números reales y i2 = −1.I Decimos que x e y son las partes real e imaginaria de z .I El módulo de un número complejo z viene dado por|z | =

√x2 + y2

I La suma de dos números complejos z1 = x1 + iy1 yz2 = x2 + iy2 viene dada por z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2),por lo que se comportan como vectores en R2

I Se define la exponencial de un número complejo z = x + iycomo ex+iy = ex (cos(y) + i sin(y)), que verificaI ez1+z2 = ez1ez2

I dezt

t = zezt para todo t real.I i = e iπ/2

I Todo número complejo admite la descomposición polarz = reiφ con r = |z |.

I El producto de dos números complejos z1 = r1eiφ1 yz2 = r2eiφ2 viene dado por z1 = r1r2ei(φ1+φ2).

Los fasores como Números complejos

I Podemos identificar al fasor Z de magnitud |Z|, velocidadangular ω y orientación inicial φ con el número complejoz(t) = |Z|eiωt+φ.

I La proyección horizontal del fasor Z viene dada por la partereal z .

I La derivada de Z respecto de t es el fasor asociado al númerocomplejo dz

dt = iωz , que es un fasor rotado +π/2 respecto a Zy de magnitud ω veces la de Z.

Los fasores como Números complejos

I Podemos identificar al fasor Z de magnitud |Z|, velocidadangular ω y orientación inicial φ con el número complejoz(t) = |Z|eiωt+φ.

I La proyección horizontal del fasor Z viene dada por la partereal z .

I La derivada de Z respecto de t es el fasor asociado al númerocomplejo dz

dt = iωz , que es un fasor rotado +π/2 respecto a Zy de magnitud ω veces la de Z.

Ventajas

I Remplazando en las ecuaciones de Kirchhoff todas las tensionesVm(t) por magnitudes complejas V0,keiωt y las corrientes Ir porI0,r eiωt , y factorizando eiωt recuperamos un conjunto deecuaciones algebráicas (a valores complejos)

I Los parámetros Z y φ asociados a una rama o a un par denodos pueden resumirse en la impedancia compleja Z = Zeiφ

Impedancias complejas

I Para una resistencia, ZR = RI Para un inductor ideal, ZL = iωL = iXLI Para un capacitor ideal, ZL = −i

ωC = −iXCI Para una rama (combinación serie), Z =

∑k Zk

I Para un par de nodos donde convergen dos o más ramas(combinación paralelo), Z = 1∑

k Z−1k

Recordemos que

Z−1 = 1x + iy = 1

x + iyx − iyx − iy = x − iy

x2 + y2

ó, en términos de su descomposición polar,

Z−1 = 1reiφ = e−iφ

r

Impedancias complejas

I Para una resistencia, ZR = RI Para un inductor ideal, ZL = iωL = iXLI Para un capacitor ideal, ZL = −i

ωC = −iXCI Para una rama (combinación serie), Z =

∑k Zk

I Para un par de nodos donde convergen dos o más ramas(combinación paralelo), Z = 1∑

k Z−1k

Recordemos que

Z−1 = 1x + iy = 1

x + iyx − iyx − iy = x − iy

x2 + y2

ó, en términos de su descomposición polar,

Z−1 = 1reiφ = e−iφ

r

Potencia media y factor de potencia

Podemos calcular la Potencia media como la parte real delproducto de las tensiones y corrientes complejas:

<(VI) = <(|V||I|eiφ)= |V||I|<(eiφ)= |V||I| cos(φ)= Vef Ief cos(φ) = Pmedia

donde usamos que eiφ = cos(φ) + i sin(φ) y que <(az) = a<(z) si aes R

Ejemplo : El circuito RLC serie

E(t)−VL(t)−VC (t)− i(t)R = 0

i(t) = C dVCdt ⇒ I = iωCVC

VL(t) = L didt ⇒ VL = iLωI

V = VL + VC + IR

= iωLI + 1iωC I + IR

= (R + i(ωL− 1ωC ))I

⇒ Z = R + i(ωL− 1ωC )⇒

|Z | =√

R2 +(ωL− 1

ωC

)2

tan(φ) = =(Z)<(Z) = ωL− 1

ωCR

Ejemplo : Circuito con un transformador

que se reducen a

V1 = Z1I1 + iMωI2Z2I2 = V2 = −iMωI1

Z1 = R1 + iωL1

Z2 = R + R2 + iωL2

o despejando,

I1 = V1Z1 + M2ω2/Z2

y I2 = V2Z2

V2 = −iMωI1 = −iMω

Z1

V1

1 + M2ω2Z1Z2

I1 = V1Z1 + M2ω2/Z2

y I2 = V2Z2

V2 = −iMωI1 = −iMω

Z1

V1

1 + M2ω2Z1Z2

I Si R1 � L1ω yZ2Z1� M2ω2

Z21

,V2V1≈ −M

L1.

I I1I2 =V1V2

Z2Z1+M2ω2/Z2

=V2V1

I La Potencia Media consumida en (2)

P2 = Re(V2I2) = Re(−iMωI1I2) = Re((iMωI2)I1) = P1

la Potencia Media consumida por el último término en (1).