Clase 06 - Electrostática en presencia deconductores. Sistemas estacionarios.

Prof. Juan Mauricio Matera

27 de marzo de 2019

Repaso

Repaso de la clase anterior

I En ausencia de cargas externas, existe una relación linealentre los potenciales y las cargas en un sistema de conductores.

I Introducimos la noción de Capacidad de un conductor:

C = QV

donde Q es la carga del conductor y V su potencialelectrostático respecto a infinito.

I Para el caso de dos conductores, definimos la Capacidad como

C = Q∆V

donde Q es la carga transferida desde un conductor a otro, y∆V es la diferencia de potencial entre el conductor positivo yel conductor negativo.

I Definimos Condensador Eléctrico o Capacitor como undispositivo electrónico que almacena en su interior EnergíaPotencial Electrostática en forma localizada. El caso mássimple de estos consiste en un par de conductores aisladosentre sí, a los que llamamos armaduras.

I Para un capacitor plano, C ≈ ε0Sd , donde S es la superficie de

una de las armaduras y d la distancia entre estas.I Mostramos que la Energía Electrostática almacenada en un

capacitor iba como Upe = 12C(∆V )2.

I Discutimos el efecto mano y en general, cómo modifica lacapacidad de un sistema de conductores la inclusión de unnuevo conductor.

I Analizamos sistemas simples compuestos por capacitoresconectados inicialmente descargados.

I Combinación serie de condensadores:I Al someter a una diferencia de potencial a los

extremos, la carga de todos los capacitoresque componen la combinación son iguales.

I La capacidad equivalente del sistema vienedada por Ceq = 1∑

i1

Ci

con Ci las capacidadesde los condensadores que componen lacombinación.I Combinación paralelo de capacitores:

I Todos los capacitores están a la mismadiferencia de potencial.

I La capacidad equivalente del sistema vienedada por Ceq =

∑i Ci con Ci las capacidades

de los condensadores que componen lacombinación.

I Discutimos el efecto mano y en general, cómo modifica lacapacidad de un sistema de conductores la inclusión de unnuevo conductor.

I Analizamos sistemas simples compuestos por capacitoresconectados inicialmente descargados.

I Combinación serie de condensadores:I Al someter a una diferencia de potencial a los

extremos, la carga de todos los capacitoresque componen la combinación son iguales.

I La capacidad equivalente del sistema vienedada por Ceq = 1∑

i1

Ci

con Ci las capacidadesde los condensadores que componen lacombinación.

I Combinación paralelo de capacitores:I Todos los capacitores están a la misma

diferencia de potencial.I La capacidad equivalente del sistema viene

dada por Ceq =∑

i Ci con Ci las capacidadesde los condensadores que componen lacombinación.

I Discutimos el efecto mano y en general, cómo modifica lacapacidad de un sistema de conductores la inclusión de unnuevo conductor.

I Analizamos sistemas simples compuestos por capacitoresconectados inicialmente descargados.

I Combinación serie de condensadores:I Al someter a una diferencia de potencial a los

extremos, la carga de todos los capacitoresque componen la combinación son iguales.

I La capacidad equivalente del sistema vienedada por Ceq = 1∑

i1

Ci

con Ci las capacidadesde los condensadores que componen lacombinación.I Combinación paralelo de capacitores:

I Todos los capacitores están a la mismadiferencia de potencial.

I La capacidad equivalente del sistema vienedada por Ceq =

∑i Ci con Ci las capacidades

de los condensadores que componen lacombinación.

En ambos casos, la energía electrostática del capacitor equivalentees igual a la energía almacenada en sus componentes.

Upe =∑

i

QiVi2

Resolución del problema electrostático enpresencia de conductores

Plano ConductorI El problema de un plano conductor cargado en presencia de un

campo, puede descomponerse en el problema de un planoconductor neutro en presencia de ese campo, y de un planocargado en ausencia del campo.

I El primerproblema puederesolverse conayuda de la Leyde Gaussdebido a lasimetría dereflexiones quepresenta elsistema.

I La presencia delcampo externouniforme de unlado delconductor rompela simetría dereflexiónrespecto alplano.

I En ausencia de carga, la Ley de Gauss y las restantes simetrías implican que elcampo debe ser igual a ambos lados del conductor.

I Con esta información, podemos usar la Ley de Gauss para determinar lascorrespondientes densidades de carga.

Pares de Planos Conductores Cargados.I Cuando dos conductores próximos

están cargados con cargas iguales yopuestas, las cargas tienden aconcentrarse en la superficie común, demanera de cerrar sus líneas de campodentro del espacio contenido entreesas superficies.

I Para el caso de dos planos conductorescargados con cargas iguales y opuestas,esto se sigue de la Ley de Gauss y lacondición de equilibrioelectrostático

I Para el caso de planos no coincidentes,podemos verlo en términos de equilibriode fuerzas: Toda carga fuera del áreacomún siente una fuerza, debida al otroplano, que la atrae a esa superficiecomún.

I Consecuencia: la Capacidad del sistema de dos planos paralelosdependerá de la superficie común S ′ y no de la superficie total delconductor 2S:

C = ε0S ′d

I Aplicación: condensadores variables.

En un capacitor variable, cadaarmadura está formada por unconjunto de “cuchillas” conectadasentre sí. El área común viene dadapor el número de cuchillas N,multiplicado por el área total S decada cuchilla, y por el ángulo relativoφ entre ellas:

C(φ) = N ε0Sd

φ

π

La energía potencial electrostática almacenada variable será

U = N ε0S2d V 2φ

π

I Consecuencia: la Capacidad del sistema de dos planos paralelosdependerá de la superficie común S ′ y no de la superficie total delconductor 2S:

C = ε0S ′d

I Aplicación: condensadores variables.

En un capacitor variable, cadaarmadura está formada por unconjunto de “cuchillas” conectadasentre sí. El área común viene dadapor el número de cuchillas N,multiplicado por el área total S decada cuchilla, y por el ángulo relativoφ entre ellas:

C(φ) = N ε0Sd

φ

π

La energía potencial electrostática almacenada variable será

U = N ε0S2d V 2φ

π

Carga puntual frente a un plano conductorI Podemos atacar este

problema usando la nociónde líneas de campo:I Cerca de la carga, las

líneas son radiales yequiespaciadas.

I Las líneas entranperpendiculares a lasuperficie del conductor.

I Las líneas sólo se cortansobre la carga.

I el exceso de carga sedesparramaráuniformemente aambos lados delconductor. Al serinfinito es como siestuviera conectado atierra

I Otra alternativa es asociar al conductorun potencial electrostático elegidode tal manera que cancele al de lacarga sobre la superficie. Si del lado dela carga Q, esta produce un campoVQ(r) = Q

4πε0|~r−~r0| , definimos el campodel plano como

Vplano(~r) =

−Q4πε0|~r−~r0| ~r · z < 0−Q

4πε0|~r+~r0| ~r · z > 0

I Verificamos directamente que sobre elplano ~r · z = 0,V (~r) = VQ(~r) + Vplano(~r) = 0.

I El campo electrostático puedecalcularse como ~E = −∇V (~r), y secomportará como el campo de undipolo de momento dipolar ~p = 2Q~d ,lo que era predicho por las líneas decampo eléctrico.

I Este método de resolución se conocecomo Método de las imágenes.

Movimiento de Partículas cargadas

Partícula cargada en un medio viscoso : El Experimento deMillikan

I Consideremos una partícula de masa m,liberada en el seno de un fluído viscoso. Poracción de la gravedad, la partículainicialmente en reposo comenzará a caer. Sinembargo, al empezar a moverse, la interaccióncon las moléculas del fluído da origen a unafuerza viscosa ~Fvisc = −k~v , donde ~v es lavelocidad instantanea.

I Como resultado, la velocidad de la partículaalcanzara rápidamente una velocidad límite,proporcional al peso, e inversamenteproporcional a la viscosidad del medio.

I Alcanzada la velocidad límite, la energíapotencial gravitatoria que pierde la partículaes disipada, por acción de la fuerza ~Fvis encalor, que es transferido a la partícula y alfluído.

Origen Microscópico de la Fuerza Viscosa (Física I)I El origen microscópico de la fuerza viscosa proviene de las

colisiones al azar que sufre la gota con las partículas del fluído.I Las colisiones individuales pueden considerarse elásticas, y su

número será proporcional a la densidad de partículas que forma elfluído.

I Si la gota está en reposo respecto al fluído, estas colisiones seproducen uniformemente en todas la direcciones, resultando en unafuerza nula en promedio.

I Cuando la gota se mueve, las colisiones con las partículas convelocidades opuestas a la de la gota serán más intensas que conaquellas con velocidad paralela. Como resultado, la fuerza promedioserá proporcional a la velocidad de la gota, y con sentido opuesto.

I Si bien las condiciones individuales son elásticas, el efecto neto detodas las colisiones es disipar la energía de la gota en forma de caloren el fluído.

I Si es el fluído el que se mueve y la gota está en reposo, latransferencia de energía se invierte: la gota ahora es arrastrada porel fluído a expensas de la energía de este último.

I El modelo es aplicable incluso si en vez de una gota consideramos unapartícula de dimensiones semejantes a las de las partículas del fluído.

I Para una gota esférica la ley de Stokes predice k = 6πηr , con η el coeficientede viscosidad del aire y r el radio de la gota. La resultante de fuerzas será

~R = ~P + ~Fe + ~Fempuje + ~Fvisc = (−mg − q∆Vd

+ maireg − 6πrηv)z

I r ≈ 0, 3µm: radio de la gota.I m = ρaceite × 4

3πr3: masa de la gotaI maire = ρaire × 4

3πr3: masa de la gotaI q: carga de la gotaI η ≈ 1.9× 10−4: viscocidad del aire.I g : aceleración de la gravedad.I v velocidad de la gota de aceite.I ∆V : Diferencia de potencial aplicado.I En ausencia de campo, la gota cae con

velocidad límite v0 = 2g(ρaceite−ρaire )r2

9η, de

donde r2 = 9ηv02g(ρaceite−ρaire )

I En presencia del potencial, la velocidad límite se anula si43π(ρaceite − ρaire)r3g = q∆V0/d

I Conocido el radio de la gota, su carga puede determinarse a partir del valor dela diferencia de potencial ∆V0 que anula su velocidad límite

I En su experimento, Millikan encontró que la carga de las gotas observadas eransiempre mútiplos enteros de una cierta cantidad: la carga del electrón.

I Para una gota esférica la ley de Stokes predice k = 6πηr , con η el coeficientede viscosidad del aire y r el radio de la gota. La resultante de fuerzas será

~R = ~P + ~Fe + ~Fempuje + ~Fvisc = (−mg − q∆Vd

+ maireg − 6πrηv)z

I r ≈ 0, 3µm: radio de la gota.I m = ρaceite × 4

3πr3: masa de la gotaI maire = ρaire × 4

3πr3: masa de la gotaI q: carga de la gotaI η ≈ 1.9× 10−4: viscocidad del aire.I g : aceleración de la gravedad.I v velocidad de la gota de aceite.I ∆V : Diferencia de potencial aplicado.I En ausencia de campo, la gota cae con

velocidad límite v0 = 2g(ρaceite−ρaire )r2

9η, de

donde r2 = 9ηv02g(ρaceite−ρaire )

I En presencia del potencial, la velocidad límite se anula si43π(ρaceite − ρaire)r3g = q∆V0/d

I Conocido el radio de la gota, su carga puede determinarse a partir del valor dela diferencia de potencial ∆V0 que anula su velocidad límite

I En su experimento, Millikan encontró que la carga de las gotas observadas eransiempre mútiplos enteros de una cierta cantidad: la carga del electrón.

Corriente y densidad de corriente eléctrica

I Una corriente eléctrica es el resultado delmovimiento colectivo de un conjunto departículas cargadas.

I En clases anteriores vimos que unacantidad adecuada para describir elmovimiento colectivo de partículas era sudensidad de flujo. La densidad de flujode partículas es una magnitud vectorialque se relacionaba con la densidad y lavelocidad media de esas partículas:

~jp(~x , t) = n(~x)~vmedia(~x , t)

donde np(~x , t) es la densidad de partículas entorno a ~x y ~vp,media(~x , t)es la velocidad promedio de esas partículas en un cierto instante t.

I La corriente de partículas a través de una cierta superficie S seráel número de partículas por unidad de tiempo que la atraviesan, yviene dada por la integral de flujo Ip,S =

∫S~jp · d~S.

I Una corriente eléctrica es el resultado delmovimiento colectivo de un conjunto departículas cargadas.

I En clases anteriores vimos que unacantidad adecuada para describir elmovimiento colectivo de partículas era sudensidad de flujo. La densidad de flujode partículas es una magnitud vectorialque se relacionaba con la densidad y lavelocidad media de esas partículas:

~jp(~x , t) = n(~x)~vmedia(~x , t)

donde np(~x , t) es la densidad de partículas entorno a ~x y ~vp,media(~x , t)es la velocidad promedio de esas partículas en un cierto instante t.

I La corriente de partículas a través de una cierta superficie S seráel número de partículas por unidad de tiempo que la atraviesan, yviene dada por la integral de flujo Ip,S =

∫S~jp · d~S.

I Si las partículas tienen todas carga q, decimos que cadapartícula es un portador de carga, y llamaremos al vector

~j(~x) = q~jp

el vector densidad de corriente (de carga) eléctrica.I Si un sistema está compuesto por diferentes tipos de

portadores de carga con cargas qi ,

~j(~x) =∑

iqi~jpi

I Dada una superficie S, la corriente (de carga) eléctrica através de ella viene dada por I =

∫S~j · d~S.

I Por el principio de conservación de la carga eléctrica, si Ses una superficie cerrada que encierra un volumen V, la cargaQV contenida en este satisface la ecuación de continuidad:

dQVdt + IS = 0

I Si las partículas forman un haz, diremos que la corrienteeléctrica que lleva el haz es el flujo de ~j a través de cualquiersuperficie abierta que corte al haz (una vez): I =

∫S~j · d~S

I La Corriente Eléctrica es una magnitud fundamental delSistema Internacional de Unidades, y se mide en Ampere([A] = [C]

[s] ).

Corrientes en soluciones de electrolitosI Un electrolito es una substancia química que se compone de

iones de cargas opuestas q y −q.I Al disolverse en un fluído (solvente), parte de las moléculas se

electrolizan: los iones que la componen se separan y se muevencomo partículas independientes en el seno de ese fluído.

I Las colisiones entre los iones y las moléculas del fluído puedenmodelarse en promedio como una fuerza viscosa: si el fluído estáen reposo, los iones sufrirán una fuerza promedio proporcional a suvelocidad, y de sentido opuesto.

I En presencia de un campo externo, cada tipo de iones seránacelerados por la fuerza electrica, hasta alcanzar una velocidad límite,proporcional a la fuerza eléctrica:

~vmedia,± = ±u±q~Edonde u± son las movilidades de los iones en el fluído.

I El movimiento colectivo de los iones dá origen a una densidad decorriente eléctrica,~j = qn+~v+ + (−q)n−(~v−) = q2(u+n+ + u−n−)~E = σ~E donde n±son las concentraciones de los iones, σ es la conductividad de lasolución.

Corrientes en conductoresI De manera semejante, en el modelo de Drude, un conductor es

modelado como una red de iones positivos a través de la que semueven un cierto número de electrones libres en la llamada bandade conducción.

I Cada átomo del metal aporta un cierto número de electrones a labanda de conducción.

I Podemos modelar a los electrones libres como un fluído que puedemoverse a través de la red de iones.

I Al moverse, el fluído electrónico interactúa con la red a través deuna fuerza promedio de tipo viscosa: ~Fe−red = −~ve/ue donde ~v esla velocidad promedio de los electrones y ue su movilidad.

I En presencia de un campo eléctrico, la velocidad de arrastre de loselectrones será ~ve = ue(−e~E ), con e la carga del electrón.

I La densidad de corriente correspondiente será

~j = ne(−e)~ve = nee2ue~E = σ~E ,

con σ = nee2ue la conductividad eléctrica del metal. Estaidentidad es conocida como la Ley de Ohm microscópica.

I Nótese que en equilibrio, ~j = 0 con lo que recuperamos ~E =~j/σ = 0.

Corriente en un cable conductorConsideramos un alambre conductor de sección A, ylongitud L, sujeto a una diferencia de potencial ∆Ventre sus extremos.I En su interior, las líneas de campo eléctrico,

con las líneas de corriente (por la Ley de Ohmmicroscópica), y serán paralelas al alambre.

I El campo eléctrico en el interior será por lo tanto,paralelo al alambre y de magnitud |~E | = |∆V |/L,y con dirección hacia el extremo de menorpotencial.

I La corriente que circula a través de la seccióndel cable vendrá dada por

I =∫S~j · d ~S =

∫Sσ~E · d ~S = |∆V |σA

L

donde la orientación de S se eligió antiparalela al campo.

Corriente en un cable conductorConsideramos un alambre conductor de sección A, ylongitud L, sujeto a una diferencia de potencial ∆Ventre sus extremos.I En su interior, las líneas de campo eléctrico,

con las líneas de corriente (por la Ley de Ohmmicroscópica), y serán paralelas al alambre.

I El campo eléctrico en el interior será por lo tanto,paralelo al alambre y de magnitud |~E | = |∆V |/L,y con dirección hacia el extremo de menorpotencial.

I La corriente que circula a través de la seccióndel cable vendrá dada por

I =∫S~j · d ~S =

∫Sσ~E · d ~S = |∆V |σA

Ldonde la orientación de S se eligió antiparalela al campo.

Ley de OhmI De esta manera llegamos a la Ley de Ohm macroscópica:

∆V = −IRdonde R = L

σA es la Resistencia (eléctrica) asociada al cable Ise mide en la misma orientación en que se midió ∆V .

I R se mide en Ohms ([Ω] = [V][A]).

I Usualmente se expresa R = ρ LA donde A es la sección del

conductor, L su largo y ρ = 1σ la resistividad eléctrica del

material.

I La misma descripción puede aplicarse a un sistema en el que elconductor es replazado por una solución electrolítica.

I En los diagramas de circuitos, suele representarse a losconductores con su resistencia localizada:

Resistividad en diferentes conductores

Figure 1: Resistividades y coeficiente térmicopara diferentes materiales a T0 = 20oC

I Debido a que lamovilidad de losportadores de cargadecrece al aumentar latemperatura, laresistividad de losmetales crecerá conesta. En unaaproximación lineal,

ρ ≈ ρ(T0)(1+α(T−T0))

I Una aplicación deesta propiedad es eluso de resistenciascomo termómetroseléctricos.

Efecto JouleI Cuando una corriente pasa a través de un conductor o una solución

electrolítica, los portadores de carga sufren una fuerza disipativaigual y opuesta a la fuerza eléctrica que los impulsa.

I La Potencia disipada por unidad de tiempo por la corriente en unelemento de volumen dV será el trabajo realizado por la fuerzadisipativa sobre ese elemento en esa unidad de tiempo:

dP =∑

i

~Fext · ~vi = −∑

iqi~E · ~vi = −~E · 〈~v〉ρdV = −~E ·~jdV

I Por la Ley de Ohm, ~j = σ~E . Luego, dP = |~j|2σ dV.

I Integrando sobre todo el conductor (suponiendo ~j y σ constantes),

P = −|~j |2σ

AL = I2/A2

σ/(LA) = I2

σA/L = RI2

Esta identidad es conocida como la “Ley de Joule”, y da la tasa deconversión de energía eléctrica en calor en un circuito resistivo.

I La aplicación más directa de este efecto es el uso deresistencias como calefactores.

I Sin embargo, la expresión dP = −~E ·~jdV es más general: lafuerza ~Fext no tiene que ser necesariamente disipativa, sino quepuede incluir formas de trabajo mecánico por o sobre elsistema. Un razonamiento análogo nos lleva a que

P = ∆VI

con ∆V medido en el sentido de la corriente.

I Veremos después que esta expresión es aplicable a pilas,motores, heladeras, computadoras, y en general a cualquierdispositivo eléctrico.

Fuerza Electromotriz

Fueza Electromotriz en un Generador de Van der Graaff

I En un generador de van der Graff, seextraen cargas de la banda aislante que sedepositan en un conductor mediantetrabajo mecánico.

I La carga remanente en la banda es enviadaa tierra.

I A medida que el conductor se carga, lafuerza externa necesaria para mover lacinta aumenta, hasta que eventualmentees imposible seguir cargándolo.

I Sin embargo, si conectamos el conductor a una resistencia, esposible lograr un estado estacionario, estableciendose unacorriente continua. Toda la carga llevada por la bandaescapa por la resistencia, y todo el trabajo mecánico realizadosobre la polea, es convertido en calor en la resistencia.

Fuerza Electromotriz

I Definimos Fuerza Electromotriz(F.E.M.) E como el trabajo por unidadde carga que realiza un dispositivo parasostener una corriente circulando en elsistema:

E =∫ +

−

~Fq · d

~= −∫ +

−~E · d ~

I Nótese que en un circuito cerrado porel que circula corriente, en general∮

~E · d ~ 6= 0

Generadores Eléctricos de CC

Pilas

I Una pila es un dispositivo que sostiene, mediante una reacciónquímica, una diferencia de potencial entre dos terminalesconductoras.

I En ausencia de corrientes, la fuerza electromotriz de la pila esigual a la diferencia de potencial entre sus terminales.

I En las pilas reales, al establecerse una corriente, el movimientode cargas en su interior está sujeto a disipación. Modelamosesta disipación en términos de la Ley de Ohm como unaresistencia interna en serie con la batería.

Pila de Daniell