circunferencia_ab

8/3/2019 CIRCUNFERENCIA_AB

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ABRAHAM GARCA ROCA

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CIRCUNFERENCIA

TEORA

PROPIEDADES PROBLEMAS RESUELTOS


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CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geomtrico

de un conjunto de infinitos puntos queequidistan de un punto situado en el centro.


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ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

Rectatangente

Recta

secante

Flecha o

sagita

Dimetro

AB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ


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PROPIEDADES BSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es

perpendicular a la recta tangente.

LR


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02.- Radio o dimetro perpendicular a una cuerdala biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

MQPMPQR


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03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentesentre las paralelas.

A B

C D

mBDmACCD//AB:Si


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04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferenciales corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas

equidistan del

centro

mCDmABCDAB:Si


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POSICIONES RELATIVAS DE DOSCIRCUNFERENCIAS

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

d = Cero ; d : distancia


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Distancia entrelos centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en comn.

d > R + r

R r


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d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Unpunto comn que es la de tangencia.

R r

Punto de tangencia

Distancia entre

los centros (d)


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d

d = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen unpunto en comn que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto detangencia


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05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunesque son las intersecciones.

( R r ) < d < ( R + r )

Distancia entre

los centros (d)


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06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios sonperpendiculares en el punto de interseccin.

d2 = R2 + r2

Distancia entrelos centros (d)


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06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

d

d < R - r d: Distancia entre los centros


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1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede

trazar dos rayos tangentes que determinan dossegmentos congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PB

A

B

P

R

R


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2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CD

AB

C

D

R

R

r

r


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3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB = CD

A

B

C

DR

R

r

r


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TEOREMA DE PONCELET.- En todo tringulo rectngulo, la sumade longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusamas el doble del inradio.

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Inradio

Circunradio


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TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadriltero circunscrito a unacircunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los ladosopuestos son iguales.

a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadriltero circunscrito


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1.- MEDIDA DEL NGULO CENTRAL.- Es igual a lamedida del arco que se opone.

A

B

C

r

r

= mAB


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A

C

B

D

2.- MEDIDA DEL NGULO INTERIOR.- Es igual a lasemisuma de las medidas de los arcos

opuestos

2

mCDmAB


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A

B

C

3.- MEDIDA DEL NGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medidadel arco opuesto.

2

mAB


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4.- MEDIDA DEL NGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medidadel arco opuesto.

A

B

C

2

mAB


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A

BC

2

mABC

1.- MEDIDA DEL NGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad dela medida del arco ABC.


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A

B

C O

6.-NGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ngulo formado por dos rectas tangentes.- Esigual a la semidiferencia de las medidas de los arcosopuestos.

+ mAB = 180

2

mAB-mACB


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A

B

C

O

D

b.- ngulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a lasemidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mCD-mAB


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A

B

CO

c.- Medida del ngulo formado por una recta tangente y otrasecante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de losarcos opuestos.

2

mBC-mAB


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5070+x

XR

S

Q

140

2X

X + (X+70) + 50 = 180

X = 30

Por ngulo semi-inscrito PQS

Problema N 01

RESOLUCIN

P

x702

x2140PQSm

Reemplazando:

En el tringulo PQS:

Resolviendo la ecuacin:

PSQ = x

Se traza la cuerda SQ 2

mQRSPQSm

Desde un punto P exterior a una circunferencia setrazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS

mide 140 y el ngulo QPS mide 50. Calcule lamedida del ngulo PSQ.


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20

70X

X = 40R

Q

En el tringulo rectngulo RHS

140 Es propiedad, que:

140 + X = 180

Por ngulo inscrito

Problema N 02

RESOLUCIN

P

S

m S = 70

Resolviendo:

PSQ = x

2

mQR70 mQR = 140

Desde un punto P exterior a una circunferencia se

trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arcoQR se ubica un punto S, se traza RH perpendiculara la cuerda QS, si mHRS=20; calcule la mQPR.


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x130

A

C

B

DX = 40

2

50130X

50

Problema N 03

RESOLUCIN

PResolviendo:

APD = x Medida del ngulo interior

Medida del ngulo exterior

902

mBC130mBC = 50

Desde un punto P exterior a una circunferencia se

trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas ACy BD sean perpendiculares entre s; calcule la medidadel ngulo APD, si el arco AD mide 130.


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x

X = 18

2

X54X

M

N

54

xx

Problema N 04

RESOLUCIN

PA B

APN = xSe traza el radio OM:

o

Dato: OM(radio) = PM

Luego tringulo PMO es issceles

ngulo central igual al arco

Medida del ngulo exterior

Resolviendo:

En una circunferencia, el dimetro AB se prolonga

hasta un punto P, desde el cual se traza un rayosecante PMN tal que la longitud de PM sea igual alradio, si el arco AN mide 54. Calcule la mAPN.


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x

70

Medida del ngulo inscrito:

X = 55

2

110X

A

B

C

P

Q

R

110

Problema N 05

RESOLUCIN

PRQ = x

Por la propiedad del ngulo exterior

formado por dos tangentes:

Resolviendo:

70 + mPQ = 180 mPQ = 110

En un tringulo ABC se inscribe una circunferencia

tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos P,Q y R respectivamente, si el ngulo ABC mide70. Calcule la mPRQ.


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Calcule la medida del ngulo X.

Problema N 06

70

B

A

X P

Resolucin


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RESOLUCIN

Por la propiedad del ngulo exteriorformado por dos tangentes:


70

B

A

X PC

140

140 + x = 180 Resolviendo: X = 40

2

mAB70 mAB=140


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Calcular la medida del ngulo x

Problema N 07

B

A

X P130

Resolucin


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RESOLUCIN

B

A

X P130 C


En la circunferencia:

260

Por la propiedad del ngulo exteriorformado por dos tangentes:

X = 80

2

mAB130 mAB = 260

mACB = 100

mACB + x = 100

260 + mACB = 360


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Calcule el permetro del tringulo ABC.

Problema N 08

2

5 5A

B

C

Resolucin


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Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Luego el permetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10

(2p) = 24

RESOLUCIN

2

5 5A

B

C

a b

a + b = 14 (1)

(2)

Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10


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X

PLANTEAMIENTO

Q

R

S

80 Pa

a

Problema N 09

Desde un punto P exterior a una circunferencia

se trazan la tangente PQ y la secante PRS demodo que los arcos SQ y SR sean congruentes.Si el arco QR mide 80, calcular mQPR .

Resolucin


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2a + 80 = 360a = 140

Medida del ngulo exterior:

Xa

80

2

140 80

2

X = 30

En la circunferencia:

RESOLUCIN

X

Q

R

S

80 Pa

a


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P

Q

R

S

2

3

PLANTEAMIENTO

Problema N 10En un cuadriltero ABCD mQ = mS = 90 se trazala diagonal PR. Los inradios de los tringulos PQR yPRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si elpermetro del cuadriltero PQRS es 22cm. Calcule lalongitud de PR

Resolucin


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Teorema de Poncelet:

a b

cd

PQR a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

Dato:

a + b + c + d = 22cm

PSR

c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

RESOLUCIN

P

Q

R

S

2

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circunferencia_ab

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