CIRCUITO R.C

Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador.

Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a

cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el

condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al

espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso

que se utiliza una resistencia.

Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.

La segunda regla de Kirchoff dice: V = (IR) – (q/C)

Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador.

En un tiempo igual a cero, la corriente será: I = V/R cuando el condensador no se ha

cargado.

Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es cero y la carga será

igual a: Q = CV

CARGA DE UN CONDENSADOR

Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo serán I y q. Y la corriente I se

sustituye por dq/dt (variación de la carga dependiendo de la variación del tiempo):

(dq/dt)R = V – (q/C)

dq/dt = V/R – (q/(RC))

Esta es una ecuación

Diferencial. Se pueden dq/dt = (VC – q)/(RC)

Separar variable dq/(q – VC) = - dt/(RC)

Al integrar se tiene ln [ - (q – VC)/VC)] = -t/(RC

Despejando q q dt = C V [(1 – e-t/RC )] = q (1- e-t/RC )

El voltaje será ) = V

DESCARGA DE UN CONDENSADOR

Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es IR = q/C, la razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada remplazando I = dq/dt en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador:

q = Q e-t/RC

Donde Q es la carga máxima

La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al

tiempo:

I = Q/(RC) e-t/RC

Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.

Se considera un circuito RC a todo aquel circuito compuesto indispensablemente por: de

una parte, una asociación de resistencias, y de otra, un único condensador (se incluyen los

casos en que el hay varios capacitores -condensadores- que se pueden reducir a uno

equivalente), puede tener también fuentes tanto dependientes como independientes.

Cualquier variable X del circuito tiene una solución de la forma

donde

- (tau)=constante de tiempo = C* donde es la resistencia equivalente vista por las placas del condensador

-A se calcula con las condiciones iniciales del circuito

En el caso de que haya fuentes dependientes en el circuito, se hace necesario usar una fuente expiatoria para saber el valor de la para poder hallar el .

Cálculo de mediante Fuente Expiatoria

Procedimiento:

Se inactiva el circuito, se reemplaza el capacitor por una fuente de valor conocido, por ejemplo reemplazamos por una fuente de 1v, y entonces hallamos la corriente que pasa por esa fuente.

Si en cambio colocamos una fuente de corriente de valor desconocido, hallamos el voltaje entre los nodos de la fuente.

Después encontramos la resistencia para el cálculo de , (la cual "ve" el condensador entre sus bornes, que viene dada por el Teorema de Thévenin) que se calcula como =

Respuesta de un circuito RC a un escalón de tensión

Como ya sabemos, la entrada en escalón corresponde a un paso brusco de tensión desde nulo a un valor determinado.

Ecuación diferencial

De acuerdo con el principio de superposición de tensiones,

y según la ley de Ohm,

por tanto

Por otro lado, por definición: et

y por tanto

Es por eso que

Ecuación diferencial del circuito RC

Solución

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

cuando de donde

cuando , de donde

El cual presenta valores para todo el rango de t, y particularmente para t = 0 por tanto

y

Solución de la ecuación diferencial:

La tensión en bornes del condensador en función del tiempo :

Constante de tiempo del circuito RC

Expresión y análisis dimensional básico

Si de nuevo hacemos (tau) de modo que Buscamos las dimensiones físicas de :

et

o entonces

El producto es por tanto un tiempo. En unidades SI, se expresa en segundos. A esta constante se le denomina " Constante de tiempo del circuito RC ".

Cálculo de la constante de tiempo

right

Trazar la curva de la tensión en bornes del condensador en función del tiempo durante la carga.

Trazar una recta de valor de la ordenada igual a la carga máxima( ) del condensador. Trazar una recta, partiendo del origen de la curva y tangente a la curva en ese mismo

punto. El punto de intersección de estas dos rectas tiene como abscisa de tiempo el valor y en

esta abscisa el valor de la ordenada vale que coincide aproximadamente con

Durante la carga de un condensador a través de una resistencia , bajo una tensión del generador, constante :

En el instante , Y en el instante , (El condensador está prácticamente cargado)

Descarga de un condensador a través de una resistencia

Planteamiento de la ecuación diferencial

Según el principio de superposición de tensiones,

O y

Podemos sustituir: Sea

Utilidad

Los circuitos RC tienen una función inmediata de temporizadores, aprovechando su constante de tiempo con dimensiones de segundos. Pero, por otra parte, su uso fundamental es como filtros: bien paso alto, que corta las frecuencias bajas; bien paso bajo, que corta las frecuencias altas, lo cual depende de la posición de montaje del condensador.

Existe una frecuencia específica, la llamada frecuencia de corte, en la cual la reactancia capacitiva es igual a la resistencia. (También ocurre un desfase asociado de 45 grados, obvio al ver los fasores.)

Sustituyendo encontramos que:

La frecuencia de corte, definida como la frecuencia a la que la potencia de la señal se atenúa al 30% (o 3.01 dB), es una función de los valores de resistencia y capacidad. Podemos operar en la fórmula anterior para resolver de la siguiente forma:

Filtro paso bajo

Cuando el condensador queda en paralelo con la carga ,mientras la resistencia queda en serie tanto con toda la salida, incluido el condensador, el filtro creado es de paso bajo.

Filtro paso alto

Cuando la resistencia está en paralelo con la carga y el condensador en serie con el montaje incluida la resistencia, el filtro creado es de paso alto.

Un circuito simple RC crea un filtro con una atenuación de pendiente 20.0 dB/década, o bien 6.02 dB/octava.

Circuitos RC

La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensión de la batería.

3. Carga de un capacitor

Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:

En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energнa interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad de energía U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da:Є dq = i2 Rdt + q2/2CЄ dq = i2 Rdt + q/c dqAl dividir entre dt se tiene:Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dtPuesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en:Є = i Rdt + q/cLa ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuentge fem y

una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea :Є -i R - q/c = 0La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da:Є = R dq / dt + q/cPodemos reescribir esta ecuación así:dq / q - Є C = - dt / RCSi se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q),q= C Є ( 1 – e-t/RC)Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuaciónЄ = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:i = dq = Є e-t/RCdt REn las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tienedt Rlas dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constantecapacitiva de tiempo τ C del circuitoτ C = RCEs el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener:q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є

Grafica para el circuito

Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf.Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F

Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia junto con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial Vc, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la fem Є.El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0.En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є=10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas.

4. Constante de tiempo

Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e ( cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado(1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Qf= C Є .El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ :τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R – C).Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo.Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie con una bateria como se muestra en la figura siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F y R= 8 x 10 5 Ώ, dterminese la constante de tiempo del circuito, la maxima carga en el capacitor, la maxima corriente en el circuito y la carga y la corriente cono funcion del tiempo.

Solucion:La constante de tiempo del circuito es τ C = RC = (8 x 10 5 Ώ) (5 x 10-6 F) = 4s. LaMaxima carga en el cpacitor es Q= C Є = (5 x 10-6 F)(12V)= 60 μC. La maximacorriente en el circuito es I0 = ЄR = (12V) / (8x10 5 Ώ) = 15 μ A. Utilizando estosvalores y las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC dt Rse encuentra que:q(t) = 60 ( 1 – e-t/4) μCI (t) 15 e-t/4 μ ALas graficas de estas funciones son las siguientes:

2) Un resistor R (=6.2M Ώ) y un capacitor C (=2.4 μ F) estan conectados en serie, y a traves de esta combinaciσn se conecta una bateria de 12 V de resistencia interna insignificacnte . A) ΏCuál es la constante capacitiva de tiempo de estecircuito? B) ¿Qué tiempo después de haber conectado la bateria, la diferencia de potencial en el capacitor es igual a 5.6 V?

Solución:a)De la ecuación τ C = RC tenemos:τ C = RC = (6.2M Ώ) (2.4 x10-6 F) = 15 sb) La diferencia de potencial en el capacitor es de Vc = q/c, lo cual, de acuerdo con la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) puede escribirseVc = q/c = Є ( 1 – e-t/RC)Al despejar t obtenemos (usando τ C = RC)t= - τ C ( 1 – Vc )Єt = - (15s) ln (1 – 5.6 V ) 9.4 s12v

5. Descarga de un capacitor

Considerese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia. En algún tiempo durante ladescarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b) .De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C:IR = qc

Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar :- R dq = qdt cdq = - 1 dtq RC

Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:

Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como función del tiempo:

donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de tiempoτ = RC.

Gráfica para el circuito

Corriente i y carga del capacitor q como funciones del tiempo para el circuito. La corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la resistencia R como muestra la figura. a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor será la cuarta parte de su valor inicial?

Solución: La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuaciónq(t) = Qe-t/RCdonde q es la carga inicial en el capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q 8t) = Q / 4 en esta expresión y se despeja para t:¼ Q = Qe-t/RCo¼ = e-t/RC

Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que :-ln4 = -t / RC

ot= RCln4 = 1.39 RCb) La energía almacenada en el capacitor decrece con el tiempo cuando está descargando. ¿ Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se reduciría la cuarta parte de su valor inicial?Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo :U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC2C 2Cdonde Uo es la energía inicial almacenada en el capacitor como en el inciso a), ahora considerese U = Uo /4 y despejes t:1/4Uo = Uo e-2t/RC¼ = e-2t/RCNuevamente, tomando logaritmos de ambos lados y despejando t se obtiene:t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R. a) ¿ Después de cuantas constantes de tiempo disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿ Después de cuántas constantes de tiempo, la energía almacenada disminuye su valor inicial?Solución: a) La carga en el capacitor varía de acuerdo con la ecuaciónq(t) = Qe-t/RC1/2Q = Qe-t/RC-ln2 = -2/ τ Ct = τ C ln2 / 2 = 0.35La carga cae a la mitad de su valor inicial después de 0.69 constantes de tiempo.b) La energía del capacitor esU = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC2C 2C1/2Uo = Uo e-2t/RC-ln 2 = -2t/ τ Ct = τ C ln2/2 = 0.35 τ CLa energía almacenada cae a la mitad de su valor inicial después de transcurridas 0.35 constantes de tiempo. Esto siguesiendo así dependientemente de cuál haya sido la energía almacenada inicialmente. El tiempo ( 0.69 τ C) necesario para que la carga caiga a la mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35 τ C) necesario para que la energía siga a la mitad de su valor inicial.

CIRCUITO RC

Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador.

Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en

el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia.

Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.

La segunda regla de Kirchoff dice: V = (IR) - (q/C)

Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador.

En un tiempo igual a cero, la corriente será: I = V/R cuando el condensador no se ha cargado.

Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es cero y la carga será igual a: Q = CV

CARGA DE UN CONDENSADOR

Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo serán I y q. Y la corriente I se sustituye por dq/dt (variación de la carga dependiendo de la variación del tiempo):

(dq/dt)R = V - (q/C)

dq/dt = V/R - (q/(RC))

Esta es una ecuación

Diferencial. Se pueden dq/dt = (VC - q)/(RC)

Separar variable dq/(q - VC) = - dt/(RC)

Al integrar se tiene ln [ - (q - VC)/VC)] = -t/(RC)

Despejando q q dt = C V [(1 - e-t/RC )] = q (1- e-t/RC )

El voltaje será

) = V

DESCARGA DE UN CONDENSADOR

Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es IR = q/C, la razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada remplazando I = dq/dt en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador:

q = Q e-t/RC

Donde Q es la carga máxima

La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo:

I = Q/(RC) e-t/RC

Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.