circuito r-l-c serie - inspt l utn l instituto nacional ... eléctrico y accionamientos...

Control Eléctrico y Accionamientos

Electrotecnia Circuito R-L-C Serie – Práctica de Laboratorio Resuelta

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Objeto del Ensayo: verificar los conceptos teóricos vistos del circuito serie. Circuito a utilizar:

Nota: la carga se modifica para cada caso. Nota: el circuito de la figura, es un circuito real, por lo tanto los instrumentos consumirán ener-gía. El método de conexión utilizado es el de tensión bien medida, dado que el voltímetro se encuentra conectado posteriormente al amperímetro. En consecuencia debemos descontar los consumos propios de las bobinas del voltímetro y de la bobina voltimétrica del vatímetro, para ello hacemos:

Potencia corregida = Potencia Medida - ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

VW

2

V

2

RU

RU

Muy importante: cabe hacer notar que al medir las tensiones parciales de la carga, se comete un error de inserción importante, si el instrumento es analógico, ya que la resistencia interna del voltímetro es comparable con las correspondientes a cada carga. Por lo tanto se recomien-da utilizar como voltímetro, un multímetro digital, dado que posee una impedancia mucho más alta y no genera error de inserción. Instrumentos y Aparatos Utilizados: Autotransformador Marca: “Powerstat” Potencia: 2,1 kVA Corriente Máxima: 7,5 A Tensión: 0 – 280 V Observaciones:

Amperímetro: Magnitud a medir: ITMarca: “Crompton” Tipo: Hierro Móvil Clase: 1 Alcances: 0 – 0,5 – 1 A Resistencia Interna: 4,5 – 2,7 Observaciones:

Voltímetro: Magnitud a medir: E - U Marca: “Okay” 130 Tipo: Digital Clase: S/C Alcances: Multiples Resistencia Interna: > 1 MΩ Observaciones:



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Vatímetro: Magnitud a medir: P Marca: : “Crompton” Tipo: Electrodinámico Clase: 1 Alcance Amperométrico: 0 – 0,5 – 1 – 2 A Alcance Voltimétrico: 0 – 24 - Resistencia Amperométrica: 7,7 Ω Resistencia Voltimétrica: 482 – 1200 – 2400 - 4800 Ω Observaciones:

Resistor: Marca: “The Zenith” Tipo: variable de cursor Valor indicado: 95 Ω Corriente máxima admisible: 4,2 A Observaciones:

Inductor: Marca: s/marca Valor indicado: 0,5 H Corriente máxima: 0,5 A Resistencia de pérdidas: 28 Ω en C.C. Observaciones:

Capacitor: Marca: Leyden Valor indicado: 10 μF Tensión máxima: 600 V Observaciones:

Primer Caso:

Circuito R

I.- Colocar en el siguiente cuadro, los valores medidos, para una carga resistiva, y luego com-pletar el cuadro de valores calculados, que se detalla posteriormente.

NOTA IMPORTANTE: como en definitiva el ensayo se trata de un circuito serie, imponemos como criterio común a todos los estados de carga la corriente, la cual fijamos en 0,25 A, inde-pendientemente de la tensión que tenga que suministrar el autotransformador.

Valores Medidos P E I f

k α [W] k α [V] k α [A] [Hz] 1 6,2 6,2 1 25 25 1 0,25 0,25 50

Valores Calculados

PCorr. Z Cos φ φR R XL L UR UL Q S [W] [Ω] [---] [°] [Ω] [Ω] [H] [V] [V] [VAr] [VA] 5,9 100 0,944 19,26 94,4 32,99 0,105 23,6 8,24 2,06 6,25

II.- Explique las razones por las cuales el circuito, que en apariencia es resistivo puro, resulta no serlo.

El fenómeno se debe a razones constructivas del resistor, ya que el mismo está construido con el alambre arrollado en un cilindro cerámico, tomando la forma de solenoide y el número de vueltas no es despreciable. El fenómeno de auto inductancia se manifiesta debido a que la ex-citación (alimentación) es una señal variable en el tiempo. Cabe recordar que no existe un pa-



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rámetro puro, sino que todos poseen manifestaciones de los restantes parámetros en mayor o menor medida. III.- Indique todos los cálculos realizados, expresándolos en forma literal, y en forma numérica.

1.- Corrección de la Potencia Medida Deberíamos utilizar la expresión descripta con anterioridad, pero a los fines debemos re-cordar que los valores de resistencia interna suministrada por los fabricantes, están medi-dos en corriente continua y además hemos incluido un voltímetro digital cuya resistencia interna es muy alta respecto del resistor a ensayar. Por lo tanto solo debemos descontar la potencia consumida por la bobina voltimétrica del vatímetro. Por todo lo dicho, recurrimos a un método práctico para descontar la potencia consumida por el vatímetro. El mismo consiste en: a.- Aplicamos tensión hasta lograr que circulen los 0,25 A por el amperímetro, medimos

todas las magnitudes (E, P e I) y las volcamos en el cuadro de valores medidos. b.- Desconectamos la carga por intermedio de la llave L sin modificar la tensión de entra-

da, nuevamente y volvemos a medir la potencia indicada. Dicha potencia será la co-rrespondiente al consumo del vatímetro.

c.- Conclusión, la potencia corregida será: Potencia Corregida = (Potencia Leída en la condición a) - (Potencia Leída en la condición b)

Potencia Corregida = 6,2 W – 0,3 W = 5,9 W 2.- Cálculo de la Potencia Aparente

S = E.I = 25 V.0,25 A = 6,25 VA 3.- Cálculo del Ángulo de Carga.

Sabemos que:

P = E.I.cos φ por lo tanto 0,944 A 0,25 . V 25

W 5,9 E.IP cos ===ϕ

Donde φ = arc cos φ= arc cos 0,944 = 19,26º

4.- Cálculo de la Impedancia.

Ω=== 100 A 0,25

V 25 IE Z

5.- Cálculo de la Resistencia. Ω=Ω== 94,4 0,944 . 100 Z.cos R ϕ

6.- Cálculo del Coeficiente de Autoinducción, que aparece en la Resistencia. Ω=Ω== 33 0,33 . 100 Z.sen X L ϕ

Donde L f. .. X L π2=

Por lo tanto

H 0,105 Hz.50 2.

33 .f2.

X L L =

Ω==

ππ

7.- Cálculo de la Potencia Reactiva. VAr2,06 0,33 . A 0,25 . V 25 sen I. E. Q === ϕ

8.- Cálculo de la Caída de Tensión en la Resistencia. V23,6 94,4 . A 0,25 I.R UR =Ω==

9.- Cálculo de la Caída de Tensión en la Inductancia. V 8,25 33 . A 0,25 I.X U LL =Ω==



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IV.- Indique la expresión instantánea de las tensiones y la corriente tanto en forma literal como numérica. Es conveniente plantear las ecuaciones de valor instantáneo, tomando a la corriente pa-sando justo por cero, dado que es un circuito serie, como consecuencia tendremos a las tensiones en fase o a +90º o -90º, salvo la tensión de alimentación que estará a un ángulo ±φ

( ) 314t sen . A 0,3535 tsen .I ti máx == ω

( ) 314t sen V. 33,375 tsen .U tu Rmáx == ω

( ) 314tcos V. 11,667 tcos .U )90 tsen( .U tu LmáxLmáxL ==+= ωω o

( ) )19,26 (314t sen V. 35,35 ) t( sen .E te máxo+=+= ϕω

NOTA: A PARTIR DE ESTE ÍTEM SE CONSIDERARÁ AL CIRCUITO COMO RESISTIVO PURO, POR LO TANTO SE TOMARÁ: UR = -E = 23,6 V

V.- Expresar en forma literal y numérica la potencia instantánea en un circuito resistivo puro. Explicar brevemente el significado de cada término.

( ) t2E.I.cos - E.I t2cos 2

I .E-

2I .E

tp máxmáxmáxmáx === ωω

( )

t628 cos W 5,9- W 5,9 t628 cos A. 0,25 V.23,6 - A 0,25 V.23,6

t628 cos . 2

A 0,3535 V. 33,375- 2

A 0,3535 V. 33,375 tp

==

==

El primer término de la expresión es un valor constante que representa la potencia instan-tánea promedio disipada por la resistencia, mientras que el segundo término muestra la doble frecuencia de la potencia instantánea, debido al producto tensión corriente.

VI.-Realizar en un mismo gráfico, en escala, el diagrama de valores instantáneos, de la co-rriente, la tensión y la potencia.



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Diagrama de Valores Instantáneos de Potencia, Tensión y Corriente

-40-35-30-25-20-15-10

-505

10152025303540

0 5 10 15 20 25 30t[ms]

p,e,i

i(t) e(t) p(t)

VII.- Deducir y calcular la energía disipada en un ciclo de la señal. La energía disipada por un resistor, para un instante es:

dt.R.idt.pdw R2==

Para un tiempo equivalente a un período será:

dt.tsen .R.I dt.tsenI.Rdt.tsen.IRdt.iRwT

22máx

T TT

máxmáxR ===== ∫∫ ∫∫00 0

2

0

2222 ωωω

Por trigonometría se sabe que: ( )2

212 αα cossen −=

( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=−= ∫

2t2sent

2I.R

.dtcos2ωo12I.R

wT

0

T

0

2máx

2máx

R ωω

2.TI.R

2ω2ωωsen

2ω2ωωsen0T

2I.R

w2máx

2máx

R =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−=

Ya que: 0042 === ºsensentsen πω , quedando la ecuación:

Joule0,1179 2

A 0,3535.s0,02 .94,4 Ω2

I.T.Rw

22máx

R ===

VIII.- Realizar en un mismo gráfico y en escala, las componentes y la resultante de la potencia instantánea.



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Diagrama de Potencia Instatánea

-6-5-4-3-2-10123456789

101112

0 5 10 15 20 25 t[ms]

p[W]

E.I -E.I.cos(2wt) p(t)=E.I-E.I.cos(2wt)

IX.- Realizar los siguientes diagramas en escala: a.- Fasorial de Tensión y Corriente

b.- Vectorial de Impedancias

c.- Vectorial de Potencias

Segundo Caso:

Circuito C I.- Colocar en el siguiente cuadro, los valores medidos, para una carga capacitiva, y luego com-

pletar el cuadro de valores calculados, que se detalla posteriormente. NOTA IMPORTANTE: como en definitiva el ensayo se trata de un circuito serie, imponemos como criterio común a todos los estados de carga la corriente, la cual fijamos en 0,25 A, inde-pendientemente de la tensión que tenga que suministrar el autotransformador.


k α [W] k α [V] k α [A] [Hz] 1 0,3 0,3 1 80 80 1 0,25 0,25 50



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Valores Calculados

PCorr. XC C Cos φ φC Q S [W] [Ω] [μF] [---] [°] [VAr] [VA] 0 320 9,947 0 90 20 20

II.- Indique todos los cálculos realizados, expresándolos en forma literal y en forma numérica. 1.- Corrección de la Potencia:

Como los instrumentos utilizados en la medición, son los mismos que en el caso anterior, el consumo de los mismos es idéntico. Utilizando el mismo procedimiento que en el pri-mer caso (Circuito R), se tiene:

Potencia Corregida = (Potencia Leída en la condición a) - (Potencia Leída en la condición b) Potencia Corregida = 0,3 W – 0,3 W = 0 W

2.- Cálculo de la Potencia Aparente: VA20 A 0,25.V80 I.ES ===

3.- Cálculo del Ángulo de Carga

φ= cos.I.EP , por lo tanto, 0A 0,25.V80

W0I.E

Pcosφ ===

90º0cos arccos arc === ϕϕ 4.- Cálculo de la Capacidad

Ω320 A 0,25

V80 IEXCZ ====

.f.C2.1XC

π= , por lo tanto, μF 9,947 F70,00000994

320 Ω.Hz50.π.21

X.f.π.21C

C====

5.- Cálculo de la Potencia Reactiva VAr20 1.A 0,25.V80 sen.I.EQ === ϕ

III.- Indique la expresión instantánea de la tensión, la corriente y la potencia, tanto en forma literal como numérica.


( ) ( ) 314tcos V. 113,137- 90)- (314t sen V. 113,137)- t(ωsen.Etute máxC ===−= ϕ

( ) ( ) ( ) === tcos t. sen .I .E ti . te tp máxmáx ωω

Por trigonometría 2

2 sen cos . sen ααα =

Por lo tanto ( ) ==== (2.314.t) sen A. 0,25 V.80 t2 E.I.sen t2 sen . 2

I .E tp máxmáx ωω

( ) 628t sen W.20 tp =

IV.- Explicar el significado físico de la potencia instantánea puesta en juego en el capacitor. Es la potencia que instante a instante, almacena (o devuelve, según la polaridad) el capa-citor en forma de campo eléctrico. La misma es de carácter reversible y no disipativa.

V.- Realizar en un mismo gráfico, en escala, el diagrama de valores instantáneos, de la corrien-te, la tensión y la potencia.



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-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30t[ms]

p,e,i

i(t) e(t) p(t)

VI.- Deducir y calcular la energía máxima que llega a almacenar el capacitor. Al aplicar una señal variable al capacitor, éste almacena energía en forma de campo eléc-trico, para luego reconvertirla nuevamente cuando cambia de sentido de crecimiento de la señal. La energía almacenada en un instante será: dt.i .edw = , recordando que

. ( ) ( )tetuC −=

Para cuantificar la energía máxima se pueden seguir dos caminos, a saber: 1º caso: Por definición de energía dt.i.udw = , además se sabe que , reempla-zando en la ecuación anterior queda:

du . C dt.idq ==du u. C. dw = , integrando miembro a miembro:

∫=U

du.uCw0

t.duω.senUCU

0máx∫= ∫=

U

máx du.Utsen.C0

ω

ωtsenC.U.ωtsen.2

C.Uw

2máx ==

El tiempo para el cual se produce el almacenamiento máximo es T/4, como se puede co-mo se puede observar de la gráfica precedente, por tanto:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=4

s0,02.314.senV 80.F70,00000994w 22

360º2πradianes6,28s0,02.314 === Por lo tanto:

Joule0,06366 90ºsen.V 80.F 70,00000994W 22 == 2º caso:

u.i.dtdw =



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La energía máxima almacenada será para T/4, reemplazando:

==== ∫∫∫ dt t.cos t. sen.I .U tωt.cosωt.d .sen.IUu.i.dtwT74

0máxmáx

T/4

0máxmáx

T/4

0

ωω

Por tabla de integrales:

[ ] [ ] Joule 0,6369 0- 1 314

A 0,25 V.80 0. sen- 4.T sen U.I tsen .

2..IU

w 22T/40

2máxmáx ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== ωω

ωω

ω

VII.- Realizar los siguientes diagramas en escala, indicando las mismas. a.- Fasorial de Tensión y Corriente





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Tercer Caso:

Circuito L

I.- Colocar en el siguiente cuadro, los valores medidos, para una carga inductiva, y luego com-pletar el cuadro de valores calculados, que se detalla posteriormente.


k α [W] k α [V] k α [A] [Hz] 1 2,1 2,1 1 40 40 1 0,25 0,25 50

Valores Calculados

PCorr. Z Cos φ φ RL XL L UR UL Q S [W] [Ω] [---] [°] [Ω] [Ω] [H] [V] [V] [VAr] [VA] 1,9 160 0,19 79,05 30,4 157,1 0,5 7,6 39,27 9,817 10

II.- Explique las razones por las cuales el circuito, que en apariencia es inductivo puro, resulta no serlo. El fenómeno se debe a razones constructivas, ya que el material conductor utilizado posee resistividad específica que, afectado por el número de vueltas, arroja como resultado una resistencia de consideración.

III.- Indique todos los cálculos realizados, expresándolos en forma literal, y en forma numérica. 1.- Corrección de la Potencia:


Potencia Corregida = (Potencia Leída en la condición a) - (Potencia Leída en la condición b) Potencia Corregida = 2,13 W – 0,3 W = 1,9 W

2.- Cálculo de la Potencia Aparente: VA10 A 0,25.V40 I.ES ===

3.- Cálculo del Ángulo de Carga.

φ= cos.I.EP , por lo tanto, 0,19A 0,25.V40

W1,9I.E

Pcosφ ===

79,05º0,19cos arccos arc === ϕϕ



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4.- Cálculo de la Impedancia.

Ω160 A 0,25

V40 IEZ ===

5.- Cálculo de la Resistencia: Ω=Ω== 30,4 0,19 .160 Z.cos RL ϕ

6.- Cálculo del Coeficiente de Autoinducción Ω157,080,9817.160 Ωsen.ZXL === ϕ

f.L.2.XL π= , por lo tanto: H 0,5 Hz.50 2.

157,08 f2.π.

XLL =Ω

==π

7.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia: V7,6 30,4 Ω.A 0,25R.IU LRL ===

8.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia: V39,27157,08 Ω.A 0,25XL.IUL ===

9.- Cálculo de la Potencia Reactiva: VAr19,63 A.0,9817 V.0,540 sen.I.EQ === ϕ

IV.- Indique la expresión instantánea de las tensiones, la corriente y la potencia, tanto en forma literal como numérica:


( ) ( ) )79,05 sen(314t V.56,56 ωt.senEte máxo+=+= ϕ

( ) 314t sen V.10,748 ωt .senUtU RmáxRL ==

( ) ( ) 314tcos V.55,53 tcos .U ºtsen .U tu LmáxLmáxL ==+= ωω 90

( ) 628t sen VA20 628t sen A. 0,25 V.40 t2senE.I.tp === ω

NOTA: A PARTIR DE ESTE ÍTEM SE CONSIDERARÁ AL CIRCUITO COMO INDUCTIVO PURO, POR LO TANTO SE TOMARÁ: UL = -E = 39,27 V

V.- Explicar el significado físico de la potencia instantánea puesta en juego en el inductor. Es la potencia que instante a instante, almacena (o devuelve, según la polaridad) el induc-tor en forma de campo magnético. La misma es de carácter reversible y no disipativa.

VI.- Deducir y calcular la energía máxima que llega a almacenar el inductor. Debido a la fuerza del campo magnético, se acumula en el inductor una energía aportada al formarse dicho campo y que queda libre al desaparecer el mismo. Si el campo lo genera un conductor (arrollado en forma de solenoide, por ejemplo) que tiene aplicada una tensión u, y lo circula una corriente i, en un intervalo de tiempo dt, el trabajo realizado será:

dt.i.udw = Por la ley de Faraday, se produce en la bobina una f.e.m. que mantiene el equilibrio de la tensión aplicada, para que se cumpla:

dtdiL.e u =−=

2

4ωt.senL.I

2i L. i.di L dt.i.

dtdiL.e.i.dtdww

2máx2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

====== ∫∫∫ ∫

Joule0,0312 2

90º.senA H.0,35350,5w22

==

Analizando el problema energético desde el estricto punto de vista eléctrico será:



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u.i.dtdw = La energía máxima almacenada será para T/4, de acuerdo a lo visto en la gráfica prece-dente, reemplazando:

==== ∫∫∫ dt.ωtcos ωt. senI .U t.dtsenωenωt.c.I.Uu.i.dtwT/4

0máxmáx

T/4

0máxmáx

T/4

0


[ ] [ ] Joule0,312 0-1 314

A 0,25 V. 39,27 ω.0 sen- 4

ω.Tsen .ω

U.I ωtsen 2.ω

.IUw 22T/4

02máxmáx ==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

VII.- Realizar en un mismo gráfico, en escala, el diagrama de valores instantáneos, de la co-rriente, la tensión y la potencia.


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30t[ms]

p,e,i

i(t) e(t) p(t)

VIII.- Realizar los siguientes diagramas en escala, indicando las mismas: a.- Fasorial de Tensión y Corriente



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Cuarto Caso:

Circuito R - L I.- Colocar en el siguiente cuadro, los valores medidos, para una carga inductiva resistiva, y

luego completar el cuadro de valores calculados, que se detalla posteriormente.

Valores Medidos P E I UR UL f

k α [W] k α [V] k α [A] k α [V] k α [V] [Hz]



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1 8,1 8,1 1 56,8 56,8 1 0,25 0,25 1 25 25 1 40 40 50

Valores Calculados PCorr. S Cos φ φT Z RT R RLinduct. Sen φT XLT

[W] [VA] [---] [°] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [---] [Ω]

7,8 14,2 0,549 56,68 227,2 124,8 94,4 30,4 0,835 189,9

Valores Calculados XL XLresitor LT L LResistor URT UR URinductor ULT

[Ω] [Ω] [H] [H] [H] [V] [V] [V] [V] 157,08 33 0,604 0,5 0,105 31,2 23,6 7,6 47,52

Valores Calculados

UL ULresistor PR PRinductor QT QL QLresistor

[V] [V] [VAr] [VAr] [VAr] 39,27 8,25 5,9 1,9 11,87 9,81 2,06

II.- Indique todos los cálculos realizados, expresándolos en forma literal, y en forma numérica: 1.- Corrección de la Potencia:



2.- Cálculo de la Potencia Aparente: VA14,2 A 0,25.V56,8 I.ES ===


φ= cos.I.EP , por lo tanto, 0,549A 0,25.V56,8

W7,8I.E

Pcosφ ===

56,68º0,549cos arccos arc === ϕϕ 4.- Cálculo de la Impedancia.

Ω227,2 A 0,25V56,8

IEZ ===

NOTA: Cabe recordar que, cuando tratamos el circuito R, nos encontramos en realidad con una resistencia con una componente inductiva, de igual forma, en el caso del circuito L, nos encontramos con la resistencia propia del bobinado. Por lo tanto estamos en presencia del siguiente circuito:

En consecuencia calcularemos los parámetros totales y compararemos con los obtenidos en el circuito R y en el circuito L 5.- Cálculo de la Resistencia Total.

Ω=Ω== 124,73 0,549 . 227,2 cos Z. RT ϕ Si sumamos las resistencias obtenidas en los casos mencionados y comparamos, se tie-ne:



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Ω=Ω+Ω=+= 124,8 30,4 94,4 R R R Circ.LCirc.RT Por lo tanto, coincidimos en que:

Ω=Ω= 30,4 R y94,4 R L 6.- Cálculo de la Inductancia Total:

De igual forma que ocurre con las resistencias, ocurre con las reactancias y en conse-cuencia con los coeficientes de autoinducción, por tanto procedemos a calcular y compa-rar.

Ω=Ω== 189,85 0,835 . 227,2 Z.sen X LT ϕ

H0,604 Hz2.3,14.50

Ω189,85 f2.π.

XL LT

T ===

Si sumamos las reactancias obtenidas en los casos mencionados y comparamos, se tie-ne:

Ω=Ω+Ω=+= 190,09 157,1 32,99 X X X LCirc.LLCirc.RLT Por lo tanto, coincidimos en que:

Ω=Ω= 157,1 X y 32,99 X LLR De la misma forma:

H 0,5 Hz2.3,14.50

Ω157,1 f2.π.

XLL yH 0,105 Hz2.3,14.50

Ω32,99 f..π

XLLR ======2

H 0,605 H 0,5 H 0,105 L L L RT =+=+= 7.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia.

V23,6 94,4 A. 0,25 I.R UR =Ω== 8.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia de la Inductancia.

V7,6 30,4 A. 0,25 I.R U LRL =Ω== 9.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia de la Resistencia.

V 8,25 32,99 A. 0,25 I.X U LRLR =Ω== 10.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia.

V 39,27 157,1 A. 0,25 I.X U LL =Ω== 11.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia Total.

V31,2 124,8 A. 0,25 I.R U TRT =Ω== 12.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia Total.

V47,52 190,09 A. 0,25 I.X U LTLT =Ω== 13.- Cálculo de la Potencia Activa en la Resistencia.

W 5,9 A 0,25 V.23,6 I .U P RR === 14.- Cálculo de la Potencia Activa en la Resistencia de la Inductancia.

W 1,9 A 0,25 V.7,6 I .U P RLRL === 15.- Cálculo de la Potencia Reactiva Total.

VAr 11,87 0,835 . A 0,25 V.56,8 E.I.sen sen S. QT ==ϕ=ϕ= 16.- Cálculo de la Potencia Reactiva en la Inductancia.

VAr 9,81 A 0,25 V. 39,27 I .U Q LL === 17.- Cálculo de la Potencia Reactiva en la Inductancia de la Resistencia.

VAr2,06 A 0,25 V. 8,25 I .U Q LRLR ===



Página 17 de 35

III.- Indique la expresión instantánea de las tensiones y la corriente, tanto en forma literal como numérica:

( ) 314t sen . A 0,3535 t sen I ti máx == ω.

( ) )o56,68 (314t sen V.80,32 ) t( sen .E te máx +=+= ϕω

( ) 314t sen V. 33,37 t sen U tu RmáxR == ω.

( ) 314t sen V. 10,75 t sen U tu RLmáxRL == ω.

( ) 314tcos V55,53 90 (314t sen V.55,53 90 t( sen .U tu LmáxL =+=+= )) ooω

( ) 314tcos V11,66 90 (314t sen V.11,66 90 t( sen .U tu áxLResistormsistorL =+=+= ))Reooω

IV.- Realizar en un mismo gráfico, en escala, el diagrama de valores instantáneos de la co-rriente y las tensiones.

Diagrama de Valores Instantáneos de Tensiones y Corriente

-85-75-65-55-45-35-25-15

-55

1525354555657585

0 5 10 15 20 25 30

t

u,i

i(t) uR(t) uRL(t) uL(t) uLR(t) e(t)

V.- Expresar en forma literal y numérica la potencia instantánea en un circuito R-L. explicar brevemente el significado de cada término.

( ) =ω⋅ϕ⋅ω⋅ϕ⋅ϕ⋅= t2 sen sen 2

I .E- t2cos cos

2I .E

- cos 2

I .E tp máxmáxmáxmáxmáxmáx

( ) tsen.sen.I.Etcos.cos.I.Ecos.I.Etp ωϕ−ωϕ−ϕ= 22

( ) == 628t sen 0,835. . A 0,25 V.56,8 - 628tcos 0,549. A. 0,25 V.56,8 - 0,549 . A 0,25 V.56,8 tp

( ) 628t sen 11,857- 628tcos W. 7,79- W 7,79 tp = El primer término es un valor constante que representa la potencia instantánea promedio disipada por las resistencias, el segundo muestra la doble frecuencia de la potencia instan-tánea disipada, y el tercero muestra la potencia absorbida de la fuente por los inductores, almacenándola en forma de campo magnético, para luego devolverla a la misma durante el siguiente semiciclo.

VI.- Realizar en el mismo gráfico y en escala, la corriente, la tensión de alimentación y la po-tencia instantánea.



Página 18 de 35

Diagrama de Valores Instantaneos de Potencia, Corriente y Tensión

-85

-70

-55

-40

-25

-10

5

20

35

50

65

80

0 5 10 15 20 25 30

t

p,i,u

i(t) e(t) p(t)

VII.- Deducir y calcular el pico de energía máxima que la carga absorbe de la fuente. Analizando el problema energético desde el estricto punto de vista eléctrico será:

dt.i.udw =

( )[ ] [ dttsenI tsenUdtiuW máx

T T

omáx ...... ωϕω∫ ∫ +==

0

]

( ) t.dt.sen t sen.I .UWT

0máxmáx ωϕ+ω= ∫

Por trigonometría: ( ) ( )[ ]2

βαcos βαcos β sen.α sen +−−=

Por lo tanto:

( ) ([ ]∫ ω+ϕ+ω−ω−ϕ+ω=T

máxmáx dt . ttcostt cosI.E

W0

2)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕ+ω−ϕ= ∫ ∫

T

0

T

o

máxmáx td . t2cos dt.cos 2

I.EW

( ) dt.t2cos2

I.ET.cos

2.IE

WT

0

máxmáxmáxmáx ∫−⋅= ωϕ

Por trigonometría: ( ) senβ.senαcosβ.cosαβαcos −=+

[ ] dt. sen.tsencos.tcosI.Ecos.T.I.EWT

∫ ϕω−ϕω−ϕ=0

∫ ∫ ωϕ+ωϕ−ϕ=T

o

T

o

dt.tsen sen.I.Edt.tcoscos.I.Ecos.T.I.EW




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[ ] [ ]TT tcos sen.I.Etsen .cos.I.Ecos.T.I.EW 00 ωω

ϕ−ω

ωϕ

−ϕ=

Hasta el momento se ha desarrollado el cálculo para un tiempo genérico, como lo es T, pero para establecer el tiempo para el cual se produce el pico de máxima entrega de energía por parte de la fuente, es necesario observar la gráfica del ítem anterior. Allí se puede ver que el tiempo buscado es (T/2 – φ) segundos, o lo que es lo mismo (π – φ) ra-dianes. Del gráfico aproximadamente TX = 6,7 milisegundos, por lo tanto:

rad2,13 s 0,0068 . s

rad.314,1592 T . X ==ω=α

Lo cual, expresado en grados, será:

[ ] º04 112, rad2,13.radπ

180ºα ==

Que reemplazado en la ecuación de la energía resulta:

[ ] [ ]TxTxX tcos sen.I.E tsencos.I.Ecos.T.I.EW 00 ω⋅

ωϕ

−ωω

ϕ−ϕ=

[ ]

[ ] J0,044 J0,014 J0,023 - J0,053 0cos - 112,04cos

srad314,1592

0,835 . A 0,25 V.56,8 -

- 0 seno- 112,04 sen

srad314,1592

0,549 . A 0,25 V.56,8 - 0,549 s. 0,0067 A. 0,25 V.56,8 W

=+=⋅

⋅=

oo

oo


Diagrama de Potencia Instantánea

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30

t

p

E.I.cos(fi) E.I.cos(fi).cos(2wt) E.I.sen(fi).sen(2wt) p(t)

IX.- Realizar los siguientes diagramas en escala, indicando las mismas: a.- Fasorial de Tensión y Corriente.



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b.- Vectorial de Impedancias.


Quinto Caso:

Circuito R - C



Página 21 de 35


Valores Medidos P E I UR UC f

k α [W] k α [V] k α [A] k α [V] k α [V] [Hz] 1 6,2 6,2 1 75,5 75,5 1 0,25 0,25 1 25 25 1 80 80 50

Valores Calculados

PCorr. S Cos φ φT Z R X Sen φ [W] [VA] [---] [°] [Ω] [Ω] [Ω] [---] 5,9 18,875 0,312 71,78 302 94,4 286,86 0,95

Valores Calculados

Xc C XLresitor LResistor UR ULR QC QL Q [Ω] [µC] [Ω] [H] [V] [V] [VAr] [VAr] [VAr] 320 9,947 33,13 0,105 23,6 8,28 20 2,07 17,93

II.- Indique todos los cálculos realizados, expresándolos en forma literal, y en forma numérica: 1.- Corrección de la Potencia:



2.- Cálculo de la Potencia Aparente: VA18,875 A 0,25.V 75,5I.ES ===


φcos I..EP = , por lo tanto, 0,312A 0,25.V 75,5

W5,9I.E

Pcosφ ===


Ω302 A 0,25V 75,5

IEZ ===

NOTA: Cabe recordar que, cuando tratamos el circuito R, nos encontramos en realidad con una resistencia con una componente inductiva. Por lo tanto estamos en presencia del siguien-te circuito:

En consecuencia estamos en presencia de un circuito RLC serie. 5.- Cálculo de la Resistencia Total.

Ω=Ω== 94,4 0,312 . 302 cos Z. RT ϕ 6.- Cálculo de la Reactancia Total.

Ω=Ω== 286,86 0,95 . 302 Z.sen X ϕ 7.- Cálculo de la Reactancia Capacitiva y la Capacidad:



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Ω=== 320 A 0,25

V80 I

U X C

C

Por lo tanto:

F 9,947 F 70,00000994 320 Hz..50 2.

1 .f.X2.1 C

Cμ

ππ==

Ω==

8.- Cálculo de la Reactancia Inductiva y la Inductancia: Dado que: CL X- X X = , esto implica que: Ω=ΩΩ== 33,13 - 320 - 286,86 X- X X CL , el signo negativo, tiene por único sentido indicarnos que el circuito tiene comportamiento capacitivo.

H 0,105 Hz.50 2.

33,13 Ω f2.π.

XL LTT ===

π

9.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia. V23,6 94,4 A. 0,25 I.R UR =Ω==

10.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia de la Resistencia. V8,28 33,13 A. 0,25 I.X U LRLR =Ω==

11.- Cálculo de la Potencia Reactiva Total. VAr17,93 0,95 . A 0,25 V. 75,5 E.I.sen sen S. QT ==== ϕϕ

12.- Cálculo de la Potencia Reactiva en el Capacitor. VAr20 A 0,25 V.80 I U Q CC === .

13.- Cálculo de la Potencia Reactiva en la Inductancia de la Resistencia. VAr 2,07 A 0,25 V.8,28 I U Q LRLR === .



( ) )o71,8 (314t sen V.80,32 ) t( sen .E te máx −=−= ϕω


( ) 314tcos V 11,71 90 (314t sen V. 11,71 90 t( sen .U tu áxLResistormsistorL =+=+= ))Reooω

( ) 314tcos V. 113,137- 90)- (314t sen V. 113,137)90- t(ωsen.Utu CmáxC === o

IV.- Realizar en un mismo gráfico, en escala, el diagrama de valores instantáneos, de la co-rriente y las tensiones.



Página 23 de 35

Diagrama de Valores Instatáneos de Tensiones y Corriente

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

t

u,i

i(t) uR(t) uLR(t) uC(t) e(t)

V.- Expresar en forma literal y numérica la potencia instantánea en un circuito R-C. Explicar brevemente el significado de cada término.

( ) =⋅⋅+⋅⋅⋅= t2 sen sen 2

I E t2cos cos

2I E

- cos 2

I E tp máxmáxmáxmáxmáxmáx ωϕωϕϕ

...

( ) tsensenIEtIEIEtp ωϕωϕϕ 22 ...cos.cos..cos.. +−=

( ) =+= 628t sen 0,95. . A 0,25 V. 75,5 628tcos 0,312. . A 0,25 V. 75,5- 0,312 . A 0,25 V. 75,5 tp

( ) 628t sen17,93 628tcos W. 5,9- W 5,9 tp += El primer término es un valor constante que representa la potencia instantánea promedio disipada por las resistencias, el segundo muestra la doble frecuencia de la potencia instan-tánea disipada, y el tercero muestra la potencia absorbida de la fuente por el capacitor, al-macenándola en forma de campo eléctrico, para luego devolverla a la misma durante el si-guiente semiciclo.

VI.- Realizar en un mismo gráfico y en escala, la corriente, la tensión de alimentación y la po-tencia instantáneas.



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Diagrama de valores Instantáneos de Tensión, Corriente y Potencia

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

t

p,i,u

i(t) u(t) p(t)

VII.- Deducir y calcular el pico de energía máxima que la carga absorbe de la fuente. El tratamiento es análogo al visto en el circuito R-L, donde las únicas diferencias residen en el signo del ángulo de carga φ, y el tiempo para el cual se produce el pico máximo de energía entregado por la fuente. Observando el cuadro de valores de la gráfica del ítem anterior. Allí se puede ver que el tiempo buscado es (T/2 – φ) segundos, o lo que es lo mismo (π – φ) radianes. Del gráfico TX = 7,2 milisegundos, por lo tanto:

radianes2,26s.0,0072s

rad314,1592T.ωα x ===

Lo cual expresado en grados, será:

[ ] º129,49rad.2,26rad2π

360ºα ==

Que reemplazando en la ecuación de la energía resulta:

[ ] [ ]T0Tx0x ωtcos

ω.senI.Eωtsen

ωcos.I.Ecos.T.I.EW ϕϕϕ −−=

[ ]

[ ] J0,0643 J0,0363 J0,0144 - J0,0424 0ºcos 129,49ºcos.rad/s314,1592

0,95.A 0,25.V 75,5

0ºsen129,49ºsenrad/s314,1592

0,312.A 0,25.V 75,50,312.s0,0072.0,25A.V 75,5W

=+=−−

−−−=




Página 25 de 35

Diagrama de Valores Instantáneos de Potencia

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30

t

p

E.I.cos fi E.I.cos fi.cos 2wt E.I.sen fi.sen 2wt pT(t)





Página 26 de 35




Página 27 de 35

Sexto Caso:

Circuito R- L- C


Valores Medidos

P E I f k α [W] k α [V] k α [A] [Hz] 1 8,1 8,1 1 45,1 45,1 1 0,25 0,25 50

Valores Medidos

UR UL UC

k α [V] k α [V] k α [V] 1 25 25 1 40 40 1 80 80

Valores Calculados

PCorr. S Cos φ φT Z RT Sen φ XT Xc C [W] [VA] [---] [°] [Ω] [Ω] [---] [Ω] [Ω] [µC] 7,8 11,275 0,691 46,227 180,4 124,65 0,722 130,26 320 9,947



Página 28 de 35

Valores Calculados XLT LT R RL XL XL L LR UR URL

[Ω] [H] [Ω] [Ω] [Ω] [Ω] [H] [H] [V] [V] 189,9 0,604 94,4 30,4 157,1 33,13 0,5 0,105 23,6 7,6

Valores Calculados

URT UL ULR ULT PR PRL Q QC QL QLR

[V] [V] [V] [V] [W] [W] [VAr] [VAr] [VAr] [VAr] 31,2 39,27 8,28 47,55 5,9 1,9 8,14 20 9,81 2,07

II.- Indique todos los cálculos realizados, expresándolos en forma literal, y en forma numérica:

1.- Corrección de la Potencia: Como los instrumentos utilizados en la medición, son los mismos que en el caso anterior, el consumo de los mismos es idéntico. Utilizando el mismo procedimiento que en el pri-mer caso (Circuito R), se tiene:


2.- Cálculo de la Potencia Aparente: VA11,275 A 0,25.V 45,1I.ES ===


φcos I..EP = , por lo tanto, 0,691A 0,25.V 45,1

W7,8I.E

Pcosφ ===


Ω180,4 A 0,25V 45,1

IEZ ===

5.- Cálculo de la Resistencia Total. Ω124,65 0,691 . 180,4 Ω cos Z. RT === ϕ

6.- Cálculo de la Reactancia Total. Ω=Ω== 130,26 0,722 . 180,4 Z.sen X ϕ

7.- Cálculo de la Reactancia Capacitiva y la Capacidad:

Ω=== 320 A 0,25

V80 I

U X C

C

Por lo tanto:

F 9,947 F 70,00000994 320 Hz..50 2.

1 .f.X2.1 C

Cμ

ππ==

Ω==

8.- Cálculo de la Reactancia Inductiva Total y la Inductancia Total. Dado que: CL X- X X = , esto implica que: Ω=ΩΩ== 189,74 - 320 - 130,26 X- X X CL , el signo negativo, tiene por único sentido indicarnos que el circuito tiene comportamiento capacitivo.

H0,604 Hz.50 2.

189,74 Ω f2.π.

XL LT

T ===π

9.- Cálculo de las Resistencias, Reactancias Inductivas e Inductancias correspondientes al Resistor y al Inductor.



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NOTA: Cabe recordar que, cuando tratamos el circuito R, nos encontramos en realidad con una resistencia con una componente inductiva, de igual forma, en el caso del circuito L, nos encontramos con la resistencia propia del bobinado. Por lo tanto estamos en presencia del siguiente circuito:

En consecuencia tomamos los valores calculados en cada uno de esos casos, los cuales fue-ron verificados cuando tratamos el circuito RL.

Por lo tanto, coincidimos en que: Ω=Ω= 30,4 R y94,4 R L

Ω=Ω= 157,1 X y33,13 X LLR

H 0,5 L yH 0,105 LR == 10.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia.

V23,6 94,4 A. 0,25 I.R UR =Ω== 11.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia de la Inductancia.

V7,6 30,4 A. 0,25 I.R U LRL =Ω== 12.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia de la Resistencia.

V8,28 33,13 A. 0,25 I.X U LRLR =Ω== 13.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia.

V 39,27 157,1 A. 0,25 I.X U LL =Ω== 14.- Cálculo de la Tensión en la Resistencia Total.

V31,2 124,8 A. 0,25 I.R U TRT =Ω== 15.- Cálculo de la Tensión en la Inductancia Total.

V 47,55 190,23 A. 0,25 I.X U LTLT =Ω== 16.- Cálculo de la Potencia Activa en la Resistencia.

W 5,9 A 0,25 V.23,6 I .U P RR === 17.- Cálculo de la Potencia Activa en la Resistencia de la Inductancia.

W 1,9 A 0,25 V.7,6 I .U P RLRL === 18.- Cálculo de la Potencia Reactiva Total.

VAr8,14 0,722 . A 0,25 V. 45,1 E.I.sen sen S. QT ==== ϕϕ 19.- Cálculo de la Potencia Reactiva en el Capacitor.

VAr20 A 0,25 V.80 I U Q CC === . 20.- Cálculo de la Potencia Reactiva en la Inductancia.

VAr 9,81 A 0,25 V. 39,27 I .U Q LL === 21.- Cálculo de la Potencia Reactiva en la Inductancia de la Resistencia.

VAr 2,07 A 0,25 V.8,28 I U Q LRLR === .



( ) )o46,22 (314t sen V.63,78 ) t( sen .E te máx −=−= ϕω




Página 30 de 35

( ) 314t sen V. 10,75 t sen U tu RLmáxRL == ω.( ) 314tcos V55,53 90 (314t sen V.55,53 90 t( sen .U tu LmáxL =+=+= )) ooω

( ) 314tcos V 11,71 90 (314t sen V. 11,71 90 t( sen .U tu áxLResistormsistorL =+=+= ))Reooω

( ) 314tcos V. 113,137- 90)- (314t sen V. 113,137)90- t(ωsen.Utu CmáxC === o

IV.- Realizar en un mismo gráfico, en escala, el diagrama de valores instantáneos, de la co-rriente y las tensiones.

Diagrama de Valores Instantáneos de Corriente y Tensiones

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

0 5 10 15 20 25 30

t

u,i

i(t) uR(t) uRL(t) uL(t) uLR(t) uC(t) e(t)

V.- ¿Porqué razón la tensión en bornes del capacitor es mayor que la tensión que entrega la fuente? La razón por la cual, se manifiesta la tensión en el capacitor es mayor que la que entrega la fuente se debe a que el circuito tiene un factor de mérito mayor a la unidad.

Rsistencia(X) Recatancia

(P) Activa Potencia(Q) Aparente Potencia FM Circuito del Mérito de Factor

)(Re===

1 FM implica1,04 W7,8

VAr8,14 PQ FM >===

Pero siempre que simultáneamente, en un circuito, tenemos conectados un capacitor y un inductor, una parte de la energía puesta en juego se intercambia entre ambos, habiéndose obtenido la misma durante el transitorio de conexión. Durante el régimen permanente de trabajo, un circuito siempre es visto por la fuente como RL o RC, según prepondere el Inductor o el capacitor, en nuestro caso prepondera el ca-pacitor.

VI.- Expresar en forma literal y numérica la potencia instantánea en un circuito R-L-C. Explicar brevemente el significado de cada término.

( ) =⋅⋅+⋅⋅⋅= t2 sen sen 2

I E t2cos cos

2I E

- cos 2

I E tp máxmáxmáxmáxmáxmáx ωϕωϕϕ

...



Página 31 de 35

( ) tsensenIEtIEIEtp ωϕωϕϕ 22 ...cos.cos..cos.. +−=

( ) =+= 628t sen 0,722. . A 0,25 V. 45,1 628tcos 0,691. . A 0,25 V. 45,1- 0,691 . A 0,25 V. 45,1 tp

( ) 628t sen8,14 628tcos W.7,8 - W7,8 tp += El primer término es un valor constante que representa la potencia instantánea promedio disipada por las resistencias, el segundo muestra la doble frecuencia de la potencia instan-tánea disipada, y el tercero muestra la potencia absorbida de la fuente por el capacitor, al-macenándola en forma de campo eléctrico, para luego devolverla a la misma durante el si-guiente semiciclo. También cabe hacer notar, que una parte de la potencia, no cuantificada aquí juega entre el capacitor y el inductor, como manifestamos con anterioridad.

VII.- Realizar en un mismo gráfico y en escala, las componentes y la resultante de la potencia instantánea.

Diagrama de Valores Instantáneos de Tensión, Corriente y Potencia

-70-60-50-40-30-20-10

010203040506070

0 5 10 15 20 25 30

t

p,i,u

e(t) p(t) i(t)

VIII.- Deducir y calcular el pico de energía máxima que la carga absorbe de la fuente. El tratamiento es análogo al visto en el circuito R-L, donde las únicas diferencias residen en el signo del ángulo de carga φ, y el tiempo para el cual se produce el pico máximo de energía entregado por la fuente. Observando el cuadro de valores de la gráfica del ítem anterior. Allí se puede ver que el tiempo buscado es (T/2 – φ) segundos, o lo que es lo mismo (π – φ) radianes. Del gráfi-co TX = 6,7 milisegundos, por lo tanto:

radianes2,105s.0,0067s

rad314,1592T.ωα x ===

Lo cual expresado en grados, será:

[ ] º120,60rad.2,105rad2π

360ºα ==

Que reemplazando en la ecuación de la energía resulta:

[ ] [ ]T0Tx0x ωtcos

ω.senI.Eωtsen

ωcos.I.Ecos.T.I.EW ϕϕϕ −−=



Página 32 de 35

[ ]

[ ] J 0,0441 J0,0132 J0,0213 - J0,0522 0ºcos 120,6ºcos.rad/s314,1592

0,722.A 0,25.V 45,1

0ºsen120,6ºsenrad/s314,1592

0,691.A 0,25.V 45,10,691.s0,0067.0,25A.V 45,1W

=+=−−

−−−=





Página 33 de 35



Página 34 de 35


X.- Realizar en un mismo gráfico y en escala, las potencias instantáneas de cada parámetro del circuito.



Página 35 de 35

Diagrama de Potencia Instantánea en cada Parámetro

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30

t

p

Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 Serie5 Serie6

circuito r-l-c serie - inspt l utn l instituto nacional ... eléctrico y accionamientos...

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