Cinemtica Introduccin Cinemtica es la parte de la fsica que estudia el movimiento de los cuerpos, aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de las causas que lo originan es lo que se conoce como dinmica. Las magnitudes que define la cinemtica son principalmente tres, la posicin, la velocidad y la aceleracin. Posicin es el lugar en que se encuentra el mvil en un cierto instante de tiempo . Suele representarse con el vector de posicin . Dada la dependencia de este vector con el tiempo, es decir, si nos dan , tenemos toda la informacin necesaria para los clculos cinemticos. Velocidad es la variacin de la posicin con el tiempo. Nos indica si el mvil se mueve, es decir, si vara su posicin a medida que vara el tiempo. La velocidad en fsica se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad. Aceleracin indica cunto vara la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto de aceleracin no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervencin de un criterio de signos puede hacer que interpretemos errneamente cundo un cuerpo se acelera o cundo se ``decelera'' . Por ejemplo, cuando lanzamos una piedra al aire y sta cae es fcil ver que, segn sube la piedra, su aceleracin es negativa, pero no es tan sencillo constatar que cuando cae su aceleracin sigue siendo negativa porque realmente su velocidad est disminuyendo, ya que hemos de considerar tambin el signo de esta velocidad.

Velocidad Se define velocidad media como

tomando los incrementos entre los instantes inicial y final que se precisen. No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud til, hay que destacar que en su clculo se deja mucha informacin sin precisar. As, aunque sepamos que la velocidad media de un mvil desde un instante 1 a otro 2 ha sido ``tantos'' metros por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido muy lento al principio y rpido al final o si...por eso se define una magnitud que exprese la velocidad instantnea, es decir, la velocidad en cierto y determinado instante y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos sean tan pequeos que pueda decirse exactamente a qu velocidad se desplazaba el mvil en cada instante. Es fcil darse cuenta de que esta definicin se logra tomando como velocidad instantnea:

y por tanto, coincide con la definicin de derivada respecto al tiempo. As pues se define finalmente

De esta definicin se obtienen algunas consecuencias: 1. La direccin de va a ser siempre tangente a la trayectoria. 1. El mdulo de puede calcularse, adems de operando sobre el vector , sabiendo que

siendo la distancia que el mvil ha recorrido sobre la trayectoria.

Aceleracin Aceleracin es la variacin de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede definir una aceleracin media entre dos instantes, inicial y final, como

y, de manera anloga a la velocidad, puede definirse una aceleracin instantnea llevando estos instantes inicial y final muy cerca uno del otro, hasta tener as que la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo

Componentes intrnsecas de la aceleracin Tomando el vector velocidad como un mdulo por un vector unitarios, es decir, como

y derivando se tiene que, utilizando la regla del producto para las derivadas (apndice C),

De estas dos componentes la primera se denomina aceleracin tangencial porque, como se desprende de su propia definicin, su direccin es la del vector unitario y es por tanto, tangente a la trayectoria. La otra componente es la aceleracin normal. De la aceleracin tangencial diremos que su mdulo es (5.1)

y su direccin

Esta se encarga de ``medir'' la variacin de la velocidad sin importarle su direccin ni sentido, sino solo su mdulo, es decir, su ``intensidad''. En cuanto a la aceleracin normal, se puede demostrar que su mdulo es (5.2)

siendo el radio de curvatura de la trayectoria, y que su direccin es siempre perpendicular a la trayectoria y hacia el interior de la ``curva''. Clasificacin de movimientos Los movimientos se pueden clasificar segn las componentes intrnsecas de su aceleracin. 1. 0. . Movimiento rectilneo a velocidad constante. 0. . Movimiento circular uniforme. 0. . Movimiento circular acelerado. 1. 1. . Movimiento rectilneo a velocidad constante. 1. . Movimiento rectilneo uniformemente acelerado. 1. . Movimiento rectilneo acelerado. 1. y . Movimiento curvilneo. Composicin de movimientos Los problemas de composicin de movimientos tienen la dificultad de saber respecto a que sistema estamos resolviendo y por tanto determinar siempre las magnitudes respecto al sistema apropiado, bien el especificado por el problema, bien uno elegido adecuadamente. Es comn en este tipo de problemas la presencia de ms de un mvil y hay que ser muy cuidadoso para identificar correctamente que mviles se mueven y respecto a qu. Translacin pura Sus relaciones, que pueden deducirse fcilmente de la suma vectorial y posterior derivacin respecto al tiempo, son: (5.3)

En donde intervienen el sistema ``quieto'' y el que se ``mueve'', que es el ``primado''. Las magnitudes con el subndice 0 son las relativas entre los sistemas de referencia. Una estrategia que suele resultar bastante inteligible de plantear es la siguiente: 1. Plantear un sistema fijo, respecto al cual conocemos, al menos, cmo es el movimiento de uno de los otros sistemas. 1. Dibujar entonces el vector de posicin que buscamos (generalmente el de un sistema respecto al otro). 1. Relacionar estos vectores entre s como sumas unos de los otros. Se ha dibujado esto en la figura 5.1. Una vez que conocemos el vector de posicin se puede extraer el resto de informacin derivando o realizando la operacin matemtica necesaria.

Figura: Relacin vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor ver la piedra que cae como .

Rotacin pura En este caso suponemos que un sistema gira respecto al otro con una velocidad angular constante , pero manteniendo el origen en comn. La frmula interesante es la que relaciona sus velocidades (5.4)

que presenta una dificultad un poco mayor de deduccin, y por eso no se expresa aqu. Las magnitudes que aparecen en esta frmula son , que es la velocidad que el mvil presenta respeto al sistema ``fijo''. , la velocidad del mvil vista desde el sistema que rota, y que es la velocidad angular con la cual el sistema mvil rota respecto al ``fijo'', aunque siempre manteniendo en comn su origen de coordenadas. Por ejemplo, si hubiera una mosca posada en el eje de un tocadiscos y girando con l a una cierta velocidad angular , que observara a un mosquito avanzar por el disco con una velocidad , vista desde el punto de vista de la mosca, que est rotando, en este caso: 1. Sera la velocidad del mosquito vista desde el eje del tocadiscos, pero el observador fijo, es decir, sin girar. 1. es la velocidad con la cual la mosca, que gira, ve al mosquito desplazarse por el disco. 1. es la velocidad angular del disco. 1. es el vector de posicin del mosquito, en el sistema fijo. Resolucin de problemas

Tiro parablico Se denomina tiro parablico, en general, a aquellos movimientos que suceden de forma bidimensional sobre la superficie de la tierra. Para este tipo de mviles el movimiento se descompone en sus componentes5.2 e . El movimiento en no sufre aceleracin, y por tanto sus ecuaciones sern (5.5)

pero en cambio en el eje se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante5.3 y por tanto sus ecuaciones sern (5.6)

Algunas preguntas tpicas del tiro parablico son calcular el alcance y altura mxima. Estas preguntas se pueden contestar sabiendo que la altura mxima se alcanzar cuando . De esta condicin se extrae el tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima y sustituyendo en la ecuacin de las se obtiene la altura mxima. El alcance mximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el mvil volver estar al nivel del suelo y por tanto , sustituyendo se obtiene y, sustituyendo ste en las el resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de manera similar. e sern las coordenadas donde el mvil se encuentra en el instante , inicio del movimiento, y y la velocidad con la que se mueve en ese instante. Si nos han indicado que el mvil se mova con una velocidad formando un ngulo con la horizontal se puede ver muy fcilmente que, entonces, y . A su vez el significado de las variables e es el siguiente: stas nos indican a que distancia horizontal () y altura () se encuentra el mvil en cada instante de tiempo , considerando que estamos tomando como origen para medir estas distancias horizontales y alturas desde el sistema de coordenadas respecto al cual estemos tomando todos los dems datos. Se podra hacer un estudio ms complejo incluyendo el rozamiento del aire. Para esto habr que modificar las ecuaciones e a las nuevas ecuaciones deducidas en el apndice B. Componentes intrnsecas Sea un mvil cuyo vector de posicin es

Calcular su velocidad, aceleracin y componentes intrnsecas de sta, as como el radio de la trayectoria para . Derivo para encontrar y . Una primera vez

y una segunda vez

Ahora calculo el mdulo de la velocidad:

que, derivado respecto al tiempo nos dar el mdulo de .

y multiplicando por el unitario de , que es

nos da el vector

Por ltimo podemos calcular como . Haciendo las oportunas sustituciones tendremos que para , , , con lo cual y de esta forma, podremos despejar el radio de la trayectoria, que ser

Clculo de trayectorias Dado el vector de posicin de un mvil

calcule la ecuacin de su trayectoria. Este tipo de problemas se resuelve en general despejando en una de las ecuaciones de o de y sustituyendo en la otra, encontrando as en funcin de o al revs. En este caso tenemos que

y sustituyendo en

tendremos