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© 1999 Prentice-Hall, Inc. Chap. 5- 1

Estadística Básica Conceptos & Aplicaciones

Probabilidad BásicaCapítulo 4


Objetivos de Aprendizaje

1. Definir Probabilidad, Eventos y Espacio Muestral

2. Explicar Cómo Asignar Probabilidades y Usar las Reglas de Probabilidad


Definiciones

• Probabilidad: es un valor numérico que

representa la oportunidad o posibilidad de

que un evento en particular ocurra. • El valor numérico de la probabilidad es una

proporción que o fracción cuyo valor varía entre Cero (0) y Uno (1) inclusive.

• Cuando calculamos el valor numérico obtenemos un decimal y luego la expresamos en porciento.

Por ejemplo, si obtenemos que el cálculo es .15

podemos hablar de un 15 % de probabilidad

relacionada a un evento en particular.


¿ Qué es Probabilidad?

1. Valor numérico de la

posibilidad de que un

evento va a ocurrir Evento Simple Evento Conjunto Evento Compuesto

2. Está entre 0 & 1

3. La suma de los eventos

es 1

1

.5 0

Seguro

Imposible


X

TP(x) =

Definición Matemática de Probabilidad

X= número de formas en la que el evento ocurreT = número total de resultados posibles


Definiciones(cont…)

Evento: es una colección de uno o más

resultados considerados como un grupo.

ej’s

Que una criatura sea varón o hembra

Que gane el partido X o Y la serie mundial

Que en los próximos dos exámenes obtengas

una nota de A



• Un evento que no tiene oportunidad de ocurrir (un evento imposible) tiene una probabilidad de Cero (0).

• Un evento que ocurrirá con toda seguridad (un evento seguro) tiene una probabilidad de uno (1).



Existen tres aproximaciones sujetas a

la probabilidad:

• probabilidad clásica a priori

• probabilidad clásica empírica

• probabildad subjetiva



• En una probabilidad clásica a priori, la

probabildad de éxito se basa en el

conocimiento previo del proceso implicado.Ej., Un dado tiene seis caras con un número

(1,2,3,4,5 y 6) en cada una. Por lo tanto

T = 6 y la probabilidad de que salga el cinco al rodar el dado X = 5 es P(5) = 1/6 = .1666 = 16.66%



• Probabilidad clásica empírica: los resultados se basan en datos observados, no en un conocimiento previo del proceso.

Por ejemplo, si en una encuesta de 1000 individuos sobre género predominante en un recinto, 750 son hembras y 250 son varones, entonces la probabilidad empírica de un varón es 25/1000= .25 o un 25%.



• Probabilidad subjetiva: varía de persona a persona. Es asignada. La asignación de perobabilidades subjetivas a diferentes resultados generalmente se basa en una combinación de experiencias pasadas del individuo,la opinión personal y el análisis de una situación particular. Por ejemplo, un gerente de Recursos Humanos puede decir que hay un 75% de probabilidad de huelga y otro decir que hay un 30% basado en lo que han observado durante las negociaciones laborales.


Eventos y Espacio Muestral

1. Evento Simple Evento con una característica

2. Evento Conjunto Evento con dos o más características

3. Espacio Muestral

Colección Completa de todos Eventos Posibles


Evento Simple

A: Mujer

B: Menor de 20, < 20 años

C: Tiene 3 Tarjetas

D: Una Baraja roja de un

mazo (“deck”) de barajas (naipes)

E: El “As” de un mazo (“deck”) de barajas (naipes)


Evento Conjunto

A y B, : Mujer, menor de 20 añosD y E, : Rojo, As de un mazo (“deck) de cartas


Evento Compuesto

D o E: As o Baraja Roja de un mazo (“deck”) de naipes


Propiedades de Eventos

1. Mutuamente Excluyentes 2 Eventos que No Pueden Ocurrir al Mismo

Tiempo. Se selecciona una persona y….. Ambos Hombre & Mujer en la misma persona

2. No Excluyentes:

□ 2 Eventos que Pueden Ocurrir al Mismo Tiempo

Dos personas seleccionadas y que sean uno

hombre la otra y mujer

3 Colectivamente Exhaustivos 1 Evento en el Espacio Muestral Tiene que Ocurrir

Hombre o Mujer

Experimento: Observar Género

© 1984-1994 T/Maker Co.


Eventos Especiales

• Evento Nulo Trebol & Diamante en

1 una baraja (naipe)

Evento Nulo


Visualizando el Espacio Muestral

1.Listado S = {Cara, Cruz}

2 Diagrama Venn

3.Tabla de Contingencia

4.Diagrama de Árbol


U

Hombre

Mujer

U = {H, M}

DiagramaVenn

Resultado

Evento: Mujer


>20 Total

47 16 63

Hombre 45 22 67

Total 92 38 130

Tabla de Contingencia

Evento Conjunto: Mujer, Bajo Edad de 20

U = {M,<20; M,>20; H,<20; H,>20}Espacio Muestral

# Ob’s

TotalEventoSimple

Mujer

<20


Diagrama de Árbol

U = {M,<20; M,>20; H,<20; H,>20}

Eventos Posibles

H

<20

>20

<20

>20

M


Cálculos de Tipos de Probabilidades

1. Probabilidad Marginal o Sencilla

2. Probabilidad Condicional

3. Probabilidad Conjunta

4. Probabilidad de Eventos No Excluyentes

5. Probabilidad de Eventos Excluyentes

6. Probabilidad Eventos Independientes


Eventos Mutuamente Excluyentes

eIgual de Probables

La frase clave en la definición clásica de la

probabilidad son: mutuamente excluyentes e

igual de probables.

• Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir de manera simultánea.

• Dos eventos son igual de probables cuando no hay razón para esperar que un evento ocurra en lugar de otro.


Eventos Mutuamente Excluyentes

eIgual de Probables

• En el ejemplo de la tabla de contingencia de generos y edades, el evento (H) hombre, y evento (M) mujer,no ocurren a la vez, por lo tanto son excluyentes.

• Cualquiera de los dos puede ocurrir por lo cual son igual de probables.


Independencia Estadística

Como corolario a lo antes dicho, los Eventos

son Estadísticamente Independientes si la

probabilidad que un evento ocurra no afecta

el que el otro ocurra, sin importar que el

primero haya ocurrido o no. Por ejemplo, si en

la tabla de contingencia seleccionamos un

(H>20) y si luego seleccionamos un (H<20) el

evento Género (H) no es afectado por el evento Edad

(>20 o <20) ni el orden en que ocurren.


Notación

P (x): Se lee: la probabilidad del Evento X

: Se lee “o” : ej., :

)A(n

BA

BA : A o B

: Se lee “Y” : ej., :

“Reunión”:

“Intersección”: :A y B

: Se lee “ el número de veces que A ocurre”

P( A∩B) = la probabilidad de A y B juntos

P( A∪B) = la probabilibad de A o B

P( A|B) = la probabilidad de A dado el evento B


1. Probabilidad de Evento Simple o Probabilidad Marginal

P(Evento) =

X = número de veces que el evento occure

T = number total de

posibles eventos A la Probabilidad de

Evento Simple se le conoce

como Probabilidad Marginal

¡De100 Partes Inspeccionadas, Sólo 2 Defectos!

TX


Probabilidades Marginales

De la Tabla de Contingencia podemos obtener

las siguientes Probabilidades Marginales:

( 20) 22( 20) .1692 16.92%

( ) 130

( 20) 47( 20) .3615 36.15%

( ) 130

63 ( )( ) .3937 39.38%

130 ( )

38 ( 20)( 20) .2923 29.23%

130 ( )

n HP H

n U

n MP M

n U

n MP M

n U

nP

n U



Cuando se calculan probabilidades usando

un subconjunto del conjunto universal como

el denominador, el resultado es una

Probabilidad Condicional.

Se lee; la probabilidad del evento A dado B

( )( | ) ; B 0

( )

A BP A B

B



De la tabla de contingencia podemos ver los

siguientes ejemplos;

( 20) ( 20) 47( 20 | 20) .5108 51.08%

( 20) ( 20) 92

La probabilidad de que sea Mujer menor de 20 dado que es del subconjunto

de menores de 20

( 20) ( 20) 22( 20 | 20) .57

( 20) ( 20) 38

P M n MP M

P n

P H n HP H

P n

89 57.89%

La probabilidad de que sea Hombre mayor de 20 dado de que sea del

subconjunto de mayores de 20


3. Probabilidad ConjuntaEventos No Excluyentes

La Probabilidad conjunta proporciona la probabilidad

de ocurrencia conjunta o simultánea de dos eventos

o características en un ente u objeto. En otras

palabras seleccionamos un solo objeto a la vez del

Conjunto Universal y observamos la ocurrencia de dos

características a la vez.

( )( )

( )

n A BP A B

n U


3. Probabilidad Conjunta

Por ejemplo en la tabla de contingencia sería

que seleccionemos una persona que sea Hombre y

<20 a la vez.

( 20) ( 20) 22( 20)

( ) ( ) 130

.1692 16.92%

P H n HP H

U n U


4. Eventos No Excluyentes

Dos eventos no son mutuamente excluyentes si uno

o el otro pueden ocurrir de forma independiente y

tambien simultanea. Por ejemplo, en la tabla de

contingencia vimos que una persona seleccionada al

Azar del universo puede ser >20 o Mujer o ambos.

Bajo esta condición si al seleccionar un objeto del

universo si nos interesa ver si es A o B, pero si A y B

pueden ocurrir a la vez tenemos entonces la

siguiente regla:


4. Eventos No ExcluyentesLa Regla de Adición

( ) ( ) ( ) ( )

La probabilidad de que A o B ocurran es igual a la suma de sus

probabilidades marginales menos la probabilidad de que ocurran

a la vez.

P A B P A P B P A B


4. Eventos No ExcluyentesLa Regla de Adición

Por ejemplo, de la tabla de contingencia, la

probabilidad de que la persona sea Mujer o >20,

sería: ( 20) ( ) ( 20) ( 20)

( ) (20) ( 20) 63 38 16

( ) ( ) ( ) 130 130 130

85.6538 65.38%

130

P M P M P P M

n M n n M

n u n u n u



• Cuando los eventos son mutuamente excluyentes son disjuntos, es decir no se superponen o no pueden ocurrir a la vez.

• Cuando dos eventos cualesquiera mutuamente excluyentes A y B, la probabilidad de la ocurrencia ya sea de A o de B, es igual a la suma de sus probabilidades marginales.

( ) ( ) ( )P A B P A P B



En la Tabla de Contingencia vemos que la

características (H) y (M) son excluyentes. Así que si

seleccionamos una persona del universo la

probabilidad de que esta sea Hombre o Mujer sería

( ) ( ) ( )

( ) ( 67 63 1301

( ) ( ) 130 130 130

100%

P H M P H P M

n H n M

n U n U

o


6. Probabilidad de Eventos Independientes

• Cuando dos eventos son independientes, el hecho de que un evento haya ocurrido no afecta el que el otro ocurra. Por ejemplo de la tabla de contingencia tenemos que si yo selecciono dos personas del universo, si uno es (H) no afecta que la otra se también (H) o (M). De la misma forma si uno de ellos es H>20 el otro podría ser también H>20.



La regla para dos eventos independientes es

Esto es la probabilidad de que los eventos A y B

ocurran a la vez es igual al producto de sus

probabilidades individuales o marginales.

( ) ( ) ( )P A B P A P B



Ejemplos:1. Si seleccionamos dos personas a la vez, ¿Cuál es la

probabilidad de que ambos sean Hombres?

2. Si seleccionamos dos personas a la vez, ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea >20 y el otro sea Mujer?

67 67( ) ( ) ( ) (.51)(.51)

130 130

.2601 26.01%

P H H P H P H

38 63( 20 ) ( 20) ( )

130 130

(.29)(.48) .1392 13.92%

P M P P M


El Complemento de un Evento

Para todo Evento existe su Complemento. En

términos de probabilidades, el complento de un

evento es la probabilidad de que este no ocurra.

En notación el Complemento de A se denota Ā.

La probabilidad de Ā, es P(Ā)= 1-P(A)

Por ejemplo, de la tabla de contingencia si

P(H)=.5153, entonces

Esto quiere decir que la probabilidad de que no sea

Hombre es uno menos la probabilidad de que lo

sea.

__

P H 1 P H =1-.5153=.4847 o 48.47%

__

H

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