線形システム解析 - tokushima...

線形システム解析

池田建司 1

[email protected]

1 徳島大学

April 3, 2020

池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 1 / 173

線形システム解析 2020年度前期

第 1 回 4 月15 日 (水) 5,6 講時@K201 イントロダクション第 2 回 4 月22 日 (水) 5,6 講時@K201 モデル表現第 3 回 4 月29 日 (水) 5,6 講時@K201 ラプラス変換の性質第 4 回 5 月13 日 (水) 5,6 講時@K201 演習第 5 回 5 月20 日 (水) 5,6 講時@K201 制御対象の表現第 6 回 5 月27 日 (水) 5,6 講時@K201 ブロック線図第 7 回 6 月 3 日 (水) 5,6 講時@K201 周波数応答第 8 回 6 月10 日 (水) 5,6 講時@K201 演習第 9 回 6 月17 日 (水) 5,6 講時@K201 内部安定性と入出力安定性

Routh-Hurwitzの安定判別法第 10 回 6 月24 日 (水) 5,6 講時@K201 Nyquistの安定判別法第 11 回 7 月 1 日 (水) 5,6 講時@K201 PID 制御第 12 回 7 月 8 日 (水) 5,6 講時@K201 演習第 13 回 7 月15 日 (水) 5,6 講時@K201 予備日第 14 回 7 月22 日 (水) 5,6 講時@K201 模擬試験第 15 回 7 月29 日 (水) 5,6 講時@K201 期末試験第 16 回 8 月 5 日 (水) 5,6 講時@K201 アイシン精機 (株) 吉田様ご講演 †† 日程は調整中


Introduction

イントロダクション

線形システム解析 (Linear System Analysis)講義の内容

動的システムの制御

いわゆる古典制御理論 (Classical Control Theory)

使用する数学

複素関数論,演算子法,ラプラス変換など

応用分野

航空・宇宙,自動車,鉄鋼,化学プラント,ロボット,IC製造装置,印刷,スマート・グリッド, ...


Introduction

SWFPendulum


http://weierstrass.is.tokushima-u.ac.jp/ikeda/linsys/demo/Pendulum.html

Introduction

イントロダクション

線形システム解析 (Linear System Analysis)講義の内容

動的システムの制御

いわゆる古典制御理論 (Classical Control Theory)

使用する数学

複素関数論,演算子法,ラプラス変換など

応用分野

航空・宇宙,自動車,鉄鋼,化学プラント,ロボット,IC製造装置,印刷,スマート・グリッド, ...


Introduction

制御理論の分類

古典制御 (1870年頃∼1960年頃に一応の体系化)ラプラス変換,伝達関数,周波数応答,ナイキストの安定判別法, PID制御

現代制御 (1960年頃∼)状態空間モデル,可制御性,可観測性, LQG理論時間領域における設計モデルに基づく制御⇒理論と実際のギャップ

ポストモダン制御 (1980年∼)ロバスト制御, H∞ ノルム,スモールゲイン定理周波数領域における設計


Introduction

教科書・参考書

教科書

添田　喬・中溝高好: 自動制御の講義と演習,日新出版

副読本

示村悦二郎: 自動制御とは何か,コロナ社

その他の参考書

吉川恒夫: 古典制御論,昭晃堂

中野道雄・美多　勉: 制御基礎理論,昭晃堂

片山　徹: フィードバック制御の基礎,朝倉書店

新　誠一: 制御理論の基礎,昭晃堂


Introduction

動的システム

対象� �u y

働きかけ働きかけに応じた変化

��

� �Mf v力速度

Mdvdt= f

操作入力,操作量, input 応答,制御量, output

いろいろな制御対象

�

�

0

1

時刻

緩慢な立上り

振動的

不安定

定常偏差

...池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 8 / 173

Introduction

制御の目的

立上りの緩慢な制御対象の立上りを速くする (速応性)

振動的すぎる制御対象の減衰特性を改善する

不安定なシステムを安定化する

目標値に一致させる (目標値追従特性)

外乱の影響を抑える (外乱抑制性能)

干渉がある制御対象の干渉をなくす (非干渉化) or適切な干渉をデザインする

...


Introduction

(例)バネ質量ダンパ系

M

K D

�y

�u

Spring-Mass-Damper System

平衡点からの位置 y (制御量)

質点 Mに加える力 u (操作量)

運動方程式:

Mÿ(t) + Dẏ(t) + Ky(t) = u

�

�

時刻

1

y

u1K

0池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 10 / 173

Introduction

SWFsmd


http://weierstrass.is.tokushima-u.ac.jp/ikeda/linsys/demo/smd.html

Introduction

(例) RLC回路

RiR

LiL

CiC

vi

vR vL

vC

まとめると

diLdt=−R

LiL − 1Lvc +

1L

vi

dvCdt=

1C

iL

(1)各要素の方程式vR = RiRvL = L

diLdt

vC = 1C∫

iC dt

⇒ iC = CdvCdt

(2)要素間の接続関係vi = vR + vL + vCiR = iL = iC

行列表現すると,ddt

(iLvC

)=

(−RL− 1L1C 0

) (iLvC

)+

( 1L0

)vi


Introduction

(例)熱系

水の温度 θ

水の熱容量 Cth

単位時間に加える熱量 qth

θ =1

Cth

∫qth dt


Introduction

(例)流体系

理想流体 (エネルギー散逸なし)はオイラーの方程式に従う.

∂v∂t+ (v · grad)v = −1

ρgrad p

v:速度, p:圧力, ρ:密度は座標 (x, y, z)と時刻 t の関数.

cf. 定常流の場合はベルヌーイの定理に従う.

12

v2 + w = const.

w: 単位質量あたりの熱関数 (エンタルピー)

cf. 非圧縮性粘性流体はナヴィエ-ストークスの方程式に従う.

∂v∂t+ (v · grad)v = −1

ρgrad p+

η

ρΔv

η: 粘性係数池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 14 / 173

Introduction

Feedback vs Feedforwardロボットの直進制御の例

アクチュエータ(モータドライバ)

��

電圧角速度�

外乱 (路面の凹凸など)

コントローラ(プログラム FF)

�

duty比

制御対象(ロボット)

�

目標速度

Fig. 1ロボットのフィードフォワード制御

センサ(ロータリエンコーダ)

アクチュエータ(モータドライバ)

��

�

電圧角速度�

外乱 (路面の凹凸など)

制御対象(ロボット)

コントローラ(プログラム FB)

�

duty 比

(パルス/秒)

�� +−

目標値

(パルス/秒)

偏差

Fig.2ロボットのフィードバック制御


Introduction

FF制御 v. FB制御 (つづき)

�r C1 + CP

� P + ΔP� �� yo

d

++ �

(a) Feedforward System

��

r+−

C � ��

d

++ � �ycP + ΔP

(b) Feedback System

FF制御 FB制御センサ不要必要外乱抑制性 × ○ロバスト安定性 × ○設計の難易度 ○ ×

FF制御は設計は簡単だが,制御性能には限界がある


Introduction

情報工学としての制御系設計論

制御対象

制御装置

操作端検出端

�

��

� 情報のサブシステム

物理的サブシステム

物理法則の支配下

物理法則の支配から解放される世界

物質源エネルギー源

�

因果

果→因予測 (predict)


Introduction

本日のまとめ (イントロダクション)

制御理論は,古典制御,現代制御,ポストモダン制御に分類される.本講義では,古典制御の習得を目指す.

動的システムの制御を扱う.機械系,電気系,化学系など,動的システムとして扱わないといけない重要な工学システムが多数存在する.

いろいろな制御対象が存在する緩慢な立ち上がり,振動的,不安定,定常偏差, . . ..対象や状況に応じて,様々な制御目的がある.

フィードバック制御は世の中の様々な場面で活躍している.フィードバック制御系は,物理的サブシステムと情報のサブシステムが融合したものである.


Model Representation

モデル表現

モデルとは, “制御対象は斯く振る舞う”という知識

精密であればあるほどよいというものでもない非線形,無限次元モデルは,複雑で扱いにくい

よいモデル

制御対象の特性を記述しやすい問題設定しやすい (制御目的などを記述しやすい)設計しやすい (解きやすい)解析しやすい

線形有限次元モデルが良く使われる.



状態方程式表現

1階連立微分方程式と出力方程式 (代数方程式)

dx(t)dt=Ax(t) + bu(t)

y(t)=cx(t)

x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ R, y(t) ∈ R, A ∈ Rn×n, b ∈ Rn×1, c ∈ R1×n(例) RLC回路

ddt

(iL(t)vC(t)

)=

(−RL − 1L1C 0

) (iL(t)vC(t)

)+

( 1L0

)vi(t)

vo(t)=(0 1

) ( iL(t)vC(t)

)



入出力関係微分方程式入力と出力に関する高階微分方程式

andnydtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ · · ·+ a1

dydt+ a0y = b0u+ b1

dudt+ · · ·+ bm d

mudtm

or

any(n) + an−1y(n−1) + · · · + a1 ẏ + a0y = b0u + b1u̇ + · · · + bmu(m)

(例)バネ質量ダンパ系

Mÿ(t) + Dẏ(t) + Ky(t) = f (t)

(例) RLC回路

LCv̈o(t) + RCv̇o(t) + vo(t) = vi(t)



解析・設計に便利なモデル

直列接続・並列接続・逆の関係を表せると便利

B A� � � = ser(A, B)� �

A

B

�

�

�

��+ = par(A, B)� �

A inv(A)� � � �=

ser(·, ·), par(·, ·), inv(·)という演算がモデル表現を使って簡単に計算できると便利



(例) FB制御系の特性解析C P��

�+−

r e u y = W� �r y P, C : given のときW は?

ser(P,C)��

+−r e �y

�� ++

r e � y1 �

inv(ser(P,C))

�r � ypar(1, inv(ser(P,C)))

�r �yinv(par(1, inv(ser(P,C))))

(1) C, Pの直列接続

(2) e → yの逆とe = r − y⇒ r = e + y

(3) 並列接続 (4)逆

W = inv(par(1, inv(ser(P,C))))

ser(A, B)=A · B,par(A, B)=A + B,

inv(A)=A−1

だと嬉しい池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 23 / 173


(例)補償器の設計

C P��

+−r e u y = W� �r y P, W : given

のとき Cは?

=inv(C)�� +

r e u yinv(P) inv(W)� �r y=

��

+−e

�� e � �r yinv(W)inv(C)��

�+

r e u yinv(P)+−

inv(C) � �uy

inv(P)�e = �y�e par(−1, inv(W))

C � �u y

P�e

= �y�e inv(par(−1, inv(W)))

inv(P)C � �u y

P�e

= �y�e inv(par(−1, inv(W))) inv(P)�u �u

C �u�e = �e �user(inv(P), inv(par(−1, inv(W))))

a2 ÿ + a1 ẏ + a0y = b0u + b1u̇のままだと ser(·, ·), par(·, ·), inv(·)は扱いにくい池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 24 / 173


便利なモデル表現の導出 (1)� �G

u y a2 ÿ + a1 ẏ + a0y = b0u + b1u̇

y = Au (定数倍)と書けると便利ser(·, ·), par(·, ·), inv(·)が簡単になるある特別な波形に対して,出力が入力の定数倍になるような入力波形はあるだろうか? → Yes. u = estu = est (sは複素定数)のとき, ∃A s.t. y = Aest . 実際,

a2s2 Aest + a1sAest + a0 Aest = b0est + b1sest

より

A =b1s + b0

a2s2 + a1s + a0もっと一般の入力波形に関してはどうなるか?



cf. 重ね合わせの原理

u1 �→ y1u2 �→ y2

}のとき c1u1 + c2u2 �→ c1y1 + c2y2

� �Gu y

が成り立つことを重ね合わせの原理 (or重畳原理)という線形常微分方程式の場合,

a2 ÿ1 + a1 ẏ1 + a0y1= b0u1 + b1u̇1a2 ÿ2 + a1 ẏ2 + a0y2= b0u2 + b1u̇2

}のとき

a2d2

dt2(y1 + y2) + a1

ddt

(y1 + y2) + a0(y1 + y2)

= b0(u1 + u2) + b1ddt

(u1 + u2)

なので,確かに重ね合わせの原理が成り立っている.(実は,重畳原理が成り立つシステムを線形システムという)



便利なモデル表現の導出 (2)

もっと一般の入力波形に関してはどうなるか?

重ね合わせの原理より

u(t) = c1es1 t + c2es2 t

⇒y(t) = c1b1s1 + b0

a2s12 + a1s1 + a0es1 t + c2

b1s2 + b0a2s22 + a1s2 + a0

es2 t

もっと一般には

u(t) =N∑

i=1

ciesi t ⇒ y(t) =N∑

i=1

cib1si + b0

a2si2 + a1si + a0esi t

要素のパラメータと信号のパラメータが混在しているこのままだと扱いにくい!!



cf. Cauchyの積分公式

Cauchyの積分公式 (複素関数論における非常に重要な定理の一つ)

ある複素領域 Dで正則な関数 f (z)に対し, D内の 1点 aにおける値 f (a)は, aを囲み, D内にある閉曲線 Cに沿って次の積分で与えられる

f (a) =1

2π j

∫C

f (z)z − a dz, j =

√−1

Cは反時計回り (正の向き)

1点 aにおける値は,閉曲線 C上の値により完全に決定

Cは D内で aを正の向きに 1周だけ回る閉曲線ならば何でもよい

�

�

Rez

Imz

aC




u(t) =N∑

i=1

ciesi t , y(t) =N∑

i=1

cib1si + b0

a2si2 + a1si + a0esi t

を複素変数 sの関数だと思って, s = s1, . . . , s = sN のときの値をCauchyの積分公式を用いて求めると

y(t)=1

2π j

∮ N∑i=1

cis − si ·

b1s + b0a2s2 + a1s + a0

est ds

u(t)=1

2π j

∮ N∑i=1

cis − si e

st ds s1

s2

s3 Re s

Im sC

変換のメカニズム,入力信号の表現,要素の表現




変換のメカニズムを使うと, u(t), y(t)は

u(t) =1

2π j

∮U(s)est ds, y(t) =

12π j

∮G(s)U(s)est ds

ただし, U(s) =N∑

i=1

cis − si , G(s) =

b1s + b0a2s2 + a1s + a0

.

G(s)U(s)は y(t)の表現なので Y(s)とおくと

(出力信号) = (要素) × (入力信号)とかけ算で表されている!!

U(s), Y(s)は u(t), y(t)の Laplace変換に,G(s)は伝達関数という概念に一般化される



ラプラス変換

Laplace変換一般化←− Fourier変換一般化←− Fourier級数

線形微分方程式を代数的に解く簡単な手法を与える

線形微分方程式と複素関数論を結びつける

cf. フーリエ級数

周期信号を三角関数列によって展開したもの

物理学や工学でも広く応用されている

cf. フーリエ変換

フーリエ級数を一般の関数に拡張したもの

時間領域と周波数領域の対応を与える

周波数解析など信号処理を行うための必須アイテム池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 31 / 173


cf. フーリエ級数

区分的に連続な基本周期 T の任意の周期信号x(t)はフーリエ級数によって

x(t)=A02+

∞∑n=1

An cos2πnT

t

+

∞∑n=1

Bn sin2πnT

t

ただし,

An=2T

∫ T/2−T/2

x(t) cos2πnT

t dt,

Bn=2T

∫ T/2−T/2

x(t) sin2πnT

t dt

複素フーリエ級数として表すこともできる.

x(t)=∞∑

n=−∞Cnej

2πnT t

Cn=1T

∫ T/2−T/2

x(t)e− j2πnT t dt

Cn と An, Bn との間には次の関係がある.

|Cn| = 12√

A2n + B2n, φn = tan

−1( Bn

An

)

{|Cn|}を振幅スペクトル,{φn}を位相スペクトル,{|Cn|2}をパワースペクトルという.

�

�

��

0 An2

Bn2 |Cn|

φn

cf. オイラーの公式:e jφ = cos φ + j sin φ



cf. フーリエ級数の例

矩形波

x(t)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 (0 ≤ t ≤ T/2)0 (T/2 < t ≤ T)

x(t)=12+

2π

∞∑m=1

12m − 1 sin

2π(2m − 1)T

t

�

�xN(t)

t0

のこぎり波

x(t)=t/T (0 ≤ t ≤ T)

x(t)=12− 1π

∞∑n=1

1n

sin2πnT

t

�

�

��

��

xN (t)

t0

フーリエ級数を有限項で打ち切ることによって誤差が生じ,不連続点の近傍では細かく振動する.(Gibbs現象)



cf. フーリエ級数からフーリエ変換へ

Δω =2πT

, ωn = nΔωとおくと

x(t)=∞∑

n=−∞

(1T

∫ T/2−T/2

x(τ)e− j2πn

T τ dτ)

e j2πnT t

=1

2π

∞∑n=−∞

Δω

∫ T/2−T/2

x(τ)e jωn(t−τ) dτ

T → ∞の極限をとると

x(t) =1

2π

∫ ∞−∞

dω∫ ∞−∞

x(τ)e jω(t−τ) dτ

X(ω) =∫ ∞−∞

x(τ)e− jωτ dτとおくと, Fourier変換の公式を得る



cf. フーリエ変換

時間領域と周波数領域の対応を与えるもの.

x(t)は区分的に連続で絶対可積分 (∫ ∞−∞ |x(t)|dt < ∞)と仮定

F [x(t)] = X(ω)=∫ ∞−∞

x(t)e− jωt dt Fourier変換

F−1[X(ω)] = x(t)= 12π

∫ ∞−∞

X(ω)e jωt dω 反転公式

|X(ω)|は振幅を, ∠X(ω) = arctan Im X(ω)Re X(ω)

は位相を表している.

|X(ω)|2 を x(t)のエネルギー密度スペクトル,あるいは,パワースペクトル密度 (PSD: Power Spectral Density)という.



cf. フーリエ変換の例

片側指数関数

x(t)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0 (t < 0)e−λt (t ≥ 0, λ > 0)

X(ω)=∫ ∞

0e−λt e− jωt dt =

1λ + jω

�

�

1/λ0

1

t

x(t)

�

�

0

1/λ2

λ−λ ω

|X(ω)|2

実数値関数のパワースペクトル (密度) は左右対称

箱形関数

x(t)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 (|t| ≤ T)0 (|t| > T)

X(ω)=∫ T−T

e− jωt dt =2 sin Tω

ω

�

�

T−T 0

1

t

x(t)

�

�

0

2

2πT− 2πT

ω

X(ω)

sinc x =sin x

xは sinc関数と呼ばれ,

サンプリング定理でも使われる



Laplace変換

x(t)は区分的に連続で∫ ∞−∞ |x(t)|e−σt dt < ∞と仮定

L[x(t)] = X(s)=∫ ∞

0x(t)e−st dt Laplace変換

L−1[X(s)] = x(t)= 12π j

∫ σ+ j∞σ− j∞

X(s)est ds 逆 Laplace変換

逆 Laplace変換をBromwich積分ともいう

Fourier変換における jωを s = σ + jωに拡張したもの



変換のメカニズムとの関係Jordanの補助定理より ΓR上の積分→ 0∮

=

∫Γσ

+

∫ΓR

→∫Γσ

=

∫ σ+ jRσ− jR

逆ラプラス変換は変換のメカニズムそのもの

s1

s2

s3 Re s

Im sΓσ

ΓR R

Jordanの補助定理s → ∞のとき X(s)は 0に一様収束すると仮定する. すなわち

∀ε > 0, ∃R0 s.t. |X(s)| < ε, ∀|s| > R0このとき, ∫

ΓR

X(s)est ds → 0 as R → ∞

ただし, t > 0.池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 38 / 173


Fourier変換との関係s = σ + jωとおく.

X(σ + jω) =∫ ∞−∞

x(t)s−σte− jωt dt = F [x(t)e−σt]

よって, x(t)の Laplace変換は x(t)e−σt の Fourier変換Fourier変換の反転公式を用いると,

x(t)e−σt=F−1[X(σ + jω)] = 12π

∫ ∞−∞

X(σ + jω)e jωt dω

=1

2π j

∫ σ+ j∞σ− j∞

X(s)este−σt ds (s = σ + jω)

x(t)=1

2π j

∫ σ+ j∞σ− j∞

X(s)est ds 逆 Laplace変換の公式を得る



本日のまとめ (モデル表現)

モデルは対象に関する知識

モデルには,正確さだけでなく,同定,問題設定,設計,解析のし易さも要求される.

対象の線形性を利用すると, ser(·, ·), par(·, ·), inv(·)が簡単になる

伝達関数は,入出力信号のラプラス変換の比として定義される

伝達関数は,変換のメカニズムを使って導出することもできる. ただし,複素関数論の知識が必要.


Laplace Transform

ラプラス変換の性質ラプラス変換:

演算子法を数学的に厳密にしたものcf. 演算子法は,微分方程式を代数方程式に代える道具

ÿ + a1 ẏ + a2y = u, D =ddt⇒ (D2 + a1 D + a2)y = u

フーリエ変換 ((有界変動な)可積分関数)の一般化

ラプラス変換の定義:

X(s) = L[x(t)] =∫ ∞

0x(t)e−st dt

x(t)はある σ ∈ Rに対して∫ ∞

0|x(t)|e−σt dt < ∞なる信号

x(t) = 0 if t < 0とする池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 41 / 173

Laplace Transform

基本関数のラプラス変換

(1) L[ e−at ] =∫ ∞

0e−(s+a)t dt = − 1

s + ae−(s+a)t

∣∣∣∣∣∞

0=

1s + a

(2) L[ 1(t) ] =∫ ∞

0e−st dt =

1s

, 1(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 if t ≥ 00 otherwise

(3) L[ t ] =∫ ∞

0te−st dt = − t

se−st

∣∣∣∣∣∞

0+

1s

∫ ∞0

e−st dt =1s2

一般に L[ tn ] = n!sn+1

(4) L[ cosωt ] = ss2 + ω2

, L[ sinωt ] = ωs2 + ω2

オイラーの公式 e jωt = cosωt + j sinωt より

L[e jωt ] = L[cosωt] + jL[sinωt] = 1s − jω =

s + jω

s2 + ω2=

ss2 + ω2

+ jω

s2 + ω2

基本関数のラプラス変換は重要 (導出できるように)池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 42 / 173

Laplace Transform

性質 (1)—微分—

L[ f ′(t) ]=∫ ∞

0f ′(t)e−st dt

= f (t)e−st∣∣∣∣∣∞0+ s

∫ ∞0

f (t)e−st dt (部分積分)

=− f (0) + sL[ f (t)]

L[ f ′′(t)]=sL[ f ′(t)] − f ′(0)=s2L[ f (t)] − s f (0) − f ′(0)...

L[ f (n)(t)]=snL[ f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) − · · · − f (n−1)(0)


Laplace Transform

性質 (2)—積分—

L[∫ t

0f (τ) dτ ]=

∫ ∞0

∫ t0

f (τ) dτ e−st dt

=−1s

e−st∫ t

0f (τ) dτ

∣∣∣∣∣∣∞

t=0+

1s

∫ ∞0

f (t)e−st dt

=1sL[ f (t)]

L[∫ t

0

∫ τn−10

· · ·∫ τ2

0

∫ τ10

f (τ) dτdτ1 · · · dτn−2τn−1] = 1snL[ f (t)]


Laplace Transform

性質 (3)—推移定理—

F(s) = L[ f (t)]とする推移定理 I

L[ f (t)e−at ]=∫ ∞

0f (t)e−(s+a)t dt = F(s + a)

推移定理 II

L[ f (t − a) ]=∫ ∞

0f (t − a)e−st dt (τ = t − aとおくと)

=

∫ ∞−a

f (τ)e−s(τ+a) dτ = e−as∫ ∞−a

f (τ)e−sτ dτ

=e−as∫ ∞

0f (τ)e−sτ dτ = e−asF(s)

e−as は, a > 0のとき時間遅れとなる


Laplace Transform

性質 (4)—畳み込み積分—

F(s) = L[ f (t)], G(s) = L[g(t)]とする

L[ ∫ t

0f (τ)g(t − τ) dτ

]

=L[∫ t

0f (t − τ)g(τ) dτ

]

=

∫ ∞0

∫ t0

f (τ)g(t − τ)e−st dτdt

=

∫ ∞0

∫ ∞τ

f (τ)g(t − τ)e−st dtdτ

=

∫ ∞0

f (τ)(∫ ∞

0g(τ′)e−sτ

′dτ′

)e−sτdτ

=L[ f (t)]L[g(t)] = F(s)G(s)

�

�

��

��

��

0 t

τ

⇓積分順序の入替

⇓

�

�

��

��

��

��

0 t

τ

積分変数 t から τ′ への変換

τ′ = t − τ, t τ → ∞τ′0 → ∞


Laplace Transform

SWFconv


http://weierstrass.is.tokushima-u.ac.jp/ikeda/linsys/demo/conv.html

Laplace Transform

性質 (5)—最終値定理,初期値定理—性質 (1)—微分—より,

L[ f ′(t)] =∫ ∞

0f ′(t)e−st dt = sF(s) − f (0) (∗)

(∗)式で, s → 0とすると∫ ∞0

f ′(t)dt = f (∞) − f (0) = lims→0

sF(s) − f (0)

よって,f (∞) = lim

s→0sF(s) 最終値定理

一方, (∗)式で, s → ∞とすると,左辺= 0より,f (0) = lim

s→∞sF(s) 初期値定理


Laplace Transform

性質 (6)—ディラックのδ関数—任意の関数 f (t)に対して,∫ ∞

−∞δ(t) f (t)dt = f (0)

となる δ(t)をDiracの δ関数という.δ関数のラプラス変換

L[ δ(t) ] =∫ ∞

0δ(t)e−st dt = 1

性質 (4)—畳み込み積分—より,

L[ f (t)] = F(s) = F(s) × 1 = L[∫ t

0f (τ)δ(t − τ)dτ

]

⇒ f (t) =∫ ∞

0f (τ)δ(t − τ)dτ


Laplace Transform

cf. Diracのδ関数実は δ(t)は関数 (数から数への写像) ではなく,超関数 or分布と呼ばれるもの.δ 関数を関数列の極限とみなすこともできる

δ(t) = limn→∞ δn(t),

∫ ∞−∞

δn(t)dt = 1

δn(t)の例 1

δn(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1/εn if −εn/2 ≤ t < εn/20 otherwise

ただし, εn → 0 as n→ ∞. 例えば εn = 1/n.δn(t)の例 2

δn(t) =1

√2πσn

e− t2

2σ2n

ただし, σn → 0 as n→ ∞.

δ 関数は量子力学で有名な物理学者P. A. M. Dirac により直感的に導入され,L. Schwartz の distribution や佐藤幹夫のhyperfunctionなどの理論により数学的に正当化された

�

�

�

�

t

t

0

0


Laplace Transform

微分方程式の解法

線形微分方程式 ẍ(t) + 2ẋ(t) + 2x(t) = sin 2t を初期条件 x(0) = ẋ(0) = 0のもとで解く.まず,基本関数のラプラス変換と微分のラプラス変換を使って,両辺をラプラス変換する.

s2X(s) − sx(0) − ẋ(0) + 2[sX(s) − x(0)] + 2X(s) = 2s2 + 4

初期条件を代入してまとめると

(s2 + 2s + 2)X(s) =2

s2 + 4⇒ X(s) = 2

(s2 + 2s + 2)(s2 + 4)部分分数展開する. (分母=0の根 (実数/複素数)に応じて 1 次または 2 次の有理式に展開)

X(s)=15

(s + 3

s2 + 2s + 2− s + 1

s2 + 4

)=

15

( (s + 1) + 2(s + 1)2 + 1

− s + 1s2 + 4

)

=15

( (s + 1)(s + 1)2 + 1

+2

(s + 1)2 + 1− s

s2 + 4− 1

2· 2

s2 + 4

)

基本関数のラプラス変換と推移定理 I を使って逆ラプラス変換すると

x(t) =15

(e− t cos t + 2e− t sin t − cos 2t − 12

sin 2t)


Laplace Transform

cf. X(s) = 2s2 + 4

· 1s2 + 2s + 2

の部分分数展開 (1/2)

X(s)を 2 次の有理式(

s の 1 次多項式sの 2 次多項式

)の和として表す.

分母が 2 次式の場合,分子は高々 2 − 1 = 1 次式. 0 次 (定数)ではない!!

X(s)=As + Bs2 + 4

+Cs + D

s2 + 2s + 2=

(As + B)(s2 + 2s + 2) + (Cs + D)(s2 + 4)

(s2 + 4)(s2 + 2s + 2)

=(A + C)s3 + (2A + B + D)s2 + (2A + 2B + 4C)s + (2B + 4D)

(s2 + 4)(s2 + 2s + 2)

分子の係数を比較すると、次ページの計算より、

A + C =02A + B + D=02A + 2B + 4C =0

2B + 4D=2

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A=−1/5B=−1/5C= 1/5D= 3/5

よって

X(s) =15

(s + 3

s2 + 2s + 2− s + 1

s2 + 4

)


Laplace Transform

cf. X(s) = 2s2 + 4

· 1s2 + 2s + 2

の部分分数展開 (2/2)

連立一次方程式は、係数を抜き出して、ガウスの掃出法を用いて解く。

s3s2s1

A B C D⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝[1] 0 1 0 02 1 0 1 02 2 4 0 00 2 0 4 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 1 0 00 [1] −2 1 00 2 2 0 00 2 0 4 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ →⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 1 0 00 1 −2 1 00 0 [6] −2 00 0 4 2 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 1/3 00 1 0 1/3 00 0 1 −1/3 00 0 0 [10/3] 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ →⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 0 −1/50 1 0 0 −1/50 0 1 0 1/50 0 0 1 3/5

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠


Laplace Transform

本日のまとめ (ラプラス変換の性質)

ラプラス変換はフーリエ変換を一般化したもの微分方程式を代数方程式に変換できる!!!

ラプラス変換の定義式より,基本関数のラプラス変換表が導かれる.指数関数,ステップ関数,ランプ関数, sin関数, cos関数

ラプラス変換の基本的な性質も定義より導かれる微分,積分,推移定理 (s領域, t領域),畳み込み積分,最終値/初期値定理, δ-関数

ラプラス変換を用いた微分方程式の解法入出力信号のラプラス変換,部分分数展開,逆ラプラス変換


Models of the Plant

制御対象の表現状態方程式表現

{ẋ=Ax + Buy=Cx

入出力関係微分方程式 ÿ + a1 ẏ + a0y = b0u + b1u̇

伝達関数 G(s) =Y(s)U(s)

=b1s + b0

s2 + a1s + a0,

ブロック線図 � �Gu y

畳み込み積分による表現 y(t) =∫ t

0g(t − τ)u(τ) dτ

Y(s) = G(s)U(s)を逆ラプラス変換したものg(t) = L−1[G(s)]を重み関数 (or荷重関数)という代表的な入力に対する出力を図示ステップ応答,インパルス応答,周波数応答


Models of the Plant

ステップ応答

ステップ入力 u(t) = 1(t)に対する出力

過渡応答特性

制御系設計の現場では,非常によく使う

L[1(t)] = 1sなので, y(t) = L−1[ G(s)1

s]

� �G(s)L−1[1

s] = u(t) y(t) = L−1[G(s)1

s]

�

�

t

u

1

0�

�

t

y

0


Models of the Plant

インパルス応答

デルタ関数 u(t) = δ(t)に対する出力

現実には u(t) = δ(t)は入力できない.

L[δ(t)] = 1なので, y(t) = L−1[G(s)] = g(t)

� �G(s)L−1[1] = δ(t) = u(t) y(t) = L−1[G(s)] = g(t)

�

�

t

u

0

(極限)�

�

t

y

0

インパルス応答は重み関数そのもの

y(t) =∫ t

0g(t − τ)u(τ) dτ =

∫ t0

g(t − τ)δ(τ) dτ = g(t)


Models of the Plant

周波数応答

正弦波入力 u(t) = sinωt に対する出力

定常応答特性

制御系設計の現場では,非常によく使う

� �G(s)u(t) = sinωt y(t) = A(ω) sin(ωt + ϕ(ω))

�

�

t

u

1

0�

�

t

y

0

A(ω)はゲイン, ϕ(ω)は位相遅れ (通常 ϕ(ω) < 0なので)を表す. ϕ(ω) > 0のときは位相進み

A(ω) = |G( jω)|, ϕ(ω) = ∠G( jω)である池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 58 / 173

Models of the Plant

伝達関数の例—1次遅れ—

Ri

Cu y

回路の方程式は RCẏ(t) + y(t) = u(t)両辺をラプラス変換すると (RCs + 1)Y(s) = U(s)

伝達関数は G(s) =Y(s)U(s)

=1

1 + RCs=

11 + Ts

ステップ応答 y(t) = L−1[G(s)1s

] = L−1[1s− T

1 + Ts] = 1 − e−t/T

T = (最終値の 63.2%に達するまでの時間) = (初期速度の逆数)は時定数

0 1 2 3 4 5 60.00.20.40.60.81.0y

��

t/T0 1 2 3 4 5 6

0.00.20.40.60.81.0y

t

T = 0.2, 0.5, 1.0, 2.0


Models of the Plant

伝達関数の例—2次遅れ—

�1次遅れ �1次遅れ �u y G(s) =1

1 + T1s· 1

1 + T2s

ステップ応答(T1 � T2 のとき)

y(t)=L−1[1s· 1

1 + T1s· 1

1 + T2s]

=L−1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1s −

1T1 − T2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝T2

1

1 + T1s−

T22

1 + T2s

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=1 − 1T1 − T2

(T1e−t/T1 − T2e−t/T2

)

�

�

t

y

0

1

t2

2T1T2y(0) = ẏ(0) = 0より y(t)をt = 0でテイラー展開すると,

y(t) ∼ t2

2T1T2, if t2 � T1T2

T1 = T2 のときはどうなるか?池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 60 / 173

Models of the Plant

伝達関数の例—2次振動系—

M

K D

�y

�u

運動方程式: Mÿ + Dẏ + Ky = uより,伝達関数は

G(s)=Y(s)U(s)

=1

Ms2 + Ds + K

=κω2n

s2 + 2ζωns + ω2n

ωn =

√KMは固有振動数

ζ =D

2ωnMは減衰係数 (κ =

1Mω2n

)


Models of the Plant

伝達関数の例—2次振動系 (つづき)—

s2 + 2ζωns + ω2n = 0とすると, s = −ωnζ ± ωn√ζ2 − 1より

ζ ≥ 1ならば,実根⇒ 2次遅れζ < 1のとき, 2次振動系という (s = −ωnζ ± jωn

√1 − ζ2)

ζ = 1のときの応答を臨界制動という

cf. ζ = 1のときのステップ応答 (κ = 1とする)

y(t)=L−1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ω

2n

s(s + ωn)2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = L−1[1s− 1

s + ωn− ωn

(s + ωn)2

]

=1 − (1 + ωnt)e−ωn t


Models of the Plant

2次振動系のステップ応答

y(t)=L−1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣1s ·

ω2n

s2 + 2ζωns + ω2n

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=L−1

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣1s −(s + ζωn) + ζωn

(s + ζωn)2 + ω2n(1 − ζ2)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ω2d = ω2n(1 − ζ2)とおく=L−1

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1s −(s + ζωn)

(s + ζωn)2 + ω2d− ζωnωd· ωd

(s + ζωn)2 + ω2d

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=1 − e−ζωn t cosωd t −

ζωn

ωde−ζωnt sinωd t

=1 − e−ζωn t⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩cosωn

√1 − ζ2 t + ζ√

1 − ζ2sinωn

√1 − ζ2 t

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 63 / 173

Models of the Plant

2次振動系のステップ応答 (つづき)

加法定理sin(ωd t + ϕ) = sinωd t cos ϕ + cosωd t sinϕ

より, tan ϕ =√

1 − ζ2/ζ とおくと,(0 < ζ < 1に注意して, sin ϕ =

√1 − ζ2, cos ϕ = ζ とおくと,)

y(t)=1 − e−ζωn t⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩cosωn

√1 − ζ2 t + ζ√

1 − ζ2sinωn

√1 − ζ2 t

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭=1 − e

−ζωn t√1 − ζ2

sin(ωn

√1 − ζ2 t + ϕ

)


Models of the Plant

2次振動系のステップ応答 (つづき)

�

�

5 10 15

0.5

1.0

1.5

2.0y(t)

ωnt

G(s) =ωn

s2 + 2ζωns + ω2nのステップ応答

ζ = 0.1, 0.5, 1, 2, 5

不足制動 (ζ < 1),臨界制動 (ζ = 1),過制動 (ζ > 1)


Models of the Plant

伝達関数の例—むだ時間—(例)パイプを流れる水の温度

流速 v→f (t) f (t − L), L = lv

� �l

� �G(s)u(t) = f (t) y(t) = f (t − L)

�

�

t

u

1

0�

�

t

y

0 L

伝達関数 G(s) =L[ f (t − L)]L[ f (t)] =

F(s)e−Ls

F(s)= e−Ls

cf. 線形有限次元系⇒ G(s) = (s の有理式) = (s の多項式)(s の多項式)

むだ時間 e−Ls = 1 − Ls + 12

(Ls)2 − 13!

(Ls)3 + · · · ⇒無限次元系


Models of the Plant

本日のまとめ (制御対象の表現)

線形な動的システムを表す方法として,パラメトリック表現・ノンパラメトリック表現をいくつか紹介

パラメトリック表現:状態方程式表現,入出力微分方程式表現,伝達関数,など

ノンパラメトリック表現:ステップ応答,インパルス応答,周波数応答などcf. インパルス応答は畳み込み積分表現の重み関数cf. 伝達関数は重み関数のラプラス変換

要素の接続関係を表すブロック線図もよく用いられる.

1次遅れ系, 2次遅れ系, 2次振動系の伝達関数とステップ応答


Block Diagram

ブロック線図

制御系における信号伝達の様子を図示したもの

信号がどのように伝達されていくか明白になる

信号は矢印で表される.

(1)伝達要素, (2)加算器, (3)引き出し点から構成される.

ブロックの基本的な結合方式は(i)直列接続, (ii)並列接続, (iii)フィードバック接続である.


Block Diagram

ブロック線図の構成要素

(1) 伝達要素 orブロック

� �G(s)X(s) Y(s) ⇔ Y(s) = G(s)X(s)

(2) 加算器 �+−� �

�

X(s)

Y(s)

X(s) − Y(s)

(3) 引き出し点�

�

�X(s)X(s)

X(s)


Block Diagram

ブロック線図の接続 (1/2)

(i) 直列接続 �X(s)

G(s) �Z(s)

H(s) �Y(s)

= �X(s)

H(s)G(s) �Y(s)

{Z(s) = G(s)X(s)Y(s) = H(s)Z(s) Y(s) = H(s)G(s)X(s)

(ii) 並列接続

�

�

X(s)H(s)

G(s)

�

��+ �Y(s)Z1(s)

Z2(s)

= �X(s)

G(s) + H(s) �Y(s)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Z1(s) = G(s)X(s)Z2(s) = H(s)X(s)Y(s) = Z1(s) + Z2(s)

Y(s) = (G(s) + H(s))X(s)


Block Diagram

(iii) フィードバック接続

G(s)

H(s)

��

�+−X(s) E(s) Y(s)

V(s)

= � �(I + GH)−1GX(s) Y(s)

= � �G(I + HG)−1X(s) Y(s)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Y(s) = G(s)E(s)V(s) = H(s)Y(s)E(s) = X(s) − V(s)

Y(s)=(I + G(s)H(s))−1G(s)X(s)=G(s)(I + H(s)G(s))−1X(s)


Block Diagram

ブロック線図の等価変換

�

HG2G1

��

+−R E

I �

�

E

(I + HG2G1)−1� �R E

�

G1 G2

H

��

�+−

R E Y

�

�H

��

+−R E

�

�

YG2G1

G2G1(I + HG2G1)−1 �Y

�R

E = (I + HG2G1)−1R Y=G2G1(I + HG2G1)−1R

=(I + G2G1H)−1G2G1R池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 72 / 173

Block Diagram

観測器標準形と可観測標準形観測器標準形

b2

1s

1s

b1

�+ �+−a2 −a1

�

��

��Y

� �

U

� �Y=

1s

(b1U − a1Y + 1s (b2U − a2Y)

)

s2Y=(b1s + b2)U − (a1 s + a2)YY=

b1 s + b2s2 + a1s + a2

U

可観測標準形

β2

1s

�+−a1

�

�

�

U

�

1s

β1

�+−a2

� ��

�

�Y�

�

X

Y=1s

(β1U + X)

X=1s

(β2U − a1 X − a2Y)より

Y=β1s + β2 + a1β1

s2 + a1s + a2U

β1 = b1, β2 = b2 − a1b1 とおくと,両者は等しくなる.池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 73 / 173

Block Diagram

複数入力の場合

G1 G2

H

��

�

�R E D Y+− +

D = 0のときY=G2G1(I + HG2G1)−1R=(I + G2G1H)−1G2G1R

R = 0のときY=G2(I + G1HG2)−1 D=(I + G2G1H)−1G2 D

複数入力の場合,出力はそれらの和になるY = (I + G2G1H)−1G2G1R + (I + G2G1H)−1G2 D

スカラー系の場合

Y =G2G1

1 + G2G1HR +

G21 + G2G1H

D

G2G1H:一巡伝達関数, G2G1, G2 は閉ループを無視して R → Y,D → Y までの直接のパスの伝達関数


Block Diagram

cf. 一巡伝達関数

閉ループを一周したときの伝達関数

G1 G2

H

��

�

�R D Y+− +

G1 G2

H

��

�

�R D Y+− +

��

��

HG2G1

G2G1H

どこから一周したかによって,かけ算の順番が異なる(スカラー系の場合は,可換なのでかけ算の順番は関係ない)


Block Diagram

例. 観測器併合系のブロック線図

P

� K2K1��

��

�R U Y

+

+−

K2 P ��

��

�R U +

+−=

��

R U+−=

K1 + K2 P

= (I + K1 + K2 P)−1� �R U

K1

⇒ P(I + K1 + K2 P)−1� �R Y

モデルマッチングでよく使われる形(R → Y の伝達関数が望ましい伝達関数WD(s)に一致するように補償器 K1, K2を設計する問題)


Block Diagram

例. 2自由度制御系のブロック線図

C1

C2

P��

� � ��

+− +

R U Y

Y=(I + PC1)−1 PC1 R + (I + PC1)−1 PC2R=(I + PC1)−1 P(C1 + C2)R

C1 でフィードバック系のロバスト性を改善しC2 で目標値追従特性を改善する...自由度が 2つある.

cf. 1自由度系 C P��

+−


Block Diagram

脱線. ポストモダン制御の問題設定

C P��

++−

RD

YΔ ��

� � +H∞-制御などのポストモダン制御では,制御系設計問題をある信号 w(t)からある信号 z(t)までの伝達関数の大きさを最小にするように,補償器 C(s)を設計する

G(s)� �

C(s) �

�

W Z

U Y

(Z(s)Y(s)

)= G(s)

(W(s)U(s)

)

G(s)を一般化プラントという.G(s)は伝達関数行列になる

W(s)から Z(s)までの伝達関数の大きさをH∞ ノルムで評価し,それを最小化する設計手法を H∞ 制御という


Block Diagram

例. 外乱抑制制御問題の一般化プラント

外乱 Dの Y への影響をなるべく小さくしたい. R = 0とおいてよい.

W1 W2

��

C

��

�

�

G(s)

P

W1

P�C

�

�

� �

�

��

�

W Z

− DW2

−

W Z

Y−U

W1(s), W2(s)は周波数重み

例. 車のサスペンションW1(s)は路面の特徴, givenW2(s)は乗り心地, spec

ポーランド, 日本,ドイツ, アメリカなど国によって路面の凹凸に特徴がある1Hz?数Hzの振動は酔いやすい

一般化プラント

G(s) =(W2 PW1 −W2 P

PW1 −P)


Block Diagram

例. ロバスト安定化問題の一般化プラント

Δ

−1 P0 �+ ��

��

�

�

C �

G(s)

ZW

U Y

P(s) = P0(s)(1 + Δ)のとき, Δの影響をなるべく受けないようにしたい.

P0: ノミナルモデル,公称モデル(線形時不変有限次元モデル)

Δ: モデル化誤差,乗法的誤差

一般化プラント:

G(s) =(0 −P01 −P0

)


Block Diagram

本日のまとめ (ブロック線図)

要素間の接続を表すためブロック線図は有用

伝達要素,加算器,引き出し点からなる.

基本的な接続: 直列接続,並列接続,フィードバック接続

ブロック線図の等価変換を用いると,入力信号から出力信号までの伝達関数を求めることができる.

観測器標準形/可観測標準形などによって,伝達関数をブロック線図で表すこともできる.

一巡伝達関数はフィードバック系の特性解析で重要である.

観測器併合系や 2自由度制御系など


Frequency Response

周波数応答

線形システムの場合,正弦波状信号を加え続けると,出力が時間の経過とともに同じ周波数の正弦波状関数に落ち着く(定常応答)

多くの異なる周波数の正弦波状入力に対する定常応答を測定し,入出力信号の振幅の比 (ゲイン)と位相ずれ (位相差)を蓄積することによって,システムの特性を知ることができる

��

t

u, y1 A(ω)

φ(ω)/ω

φ(ω′)/ω′

A(ω′)

0u(t) = sinωt のとき,y(t) = A(ω) sin(ωt + φ(ω))A(ω): ゲイン, φ(ω): 位相

��

t

u, y10 � �u(t) y(t)G(s)


Frequency Response

SWFsmd


http://weierstrass.is.tokushima-u.ac.jp/ikeda/linsys/demo/smd.html

Frequency Response

周波数応答の導出 (1/2)(1)入出力微分方程式から

ÿ + a1 ẏ + a0y = b0u + b1u̇

u(t) = est (s は複素定数)とおくと

y(t)=G(s)est

G(s)=b0 + b1s

a0 + a1s + s2

(2)畳込み積分表現から

y(t) =∫ t

t0g(t − τ)u(τ)dτ

定常応答を知りたいので, t0 →−∞とすると

y(t)=∫ t−∞

g(t − τ)u(τ)dτ

=

∫ ∞0

g(τ′)u(t − τ′)dτ′

最後の式変換では, τ′ = t − τとおいた. u(t) = est のとき

y(t)=∫ ∞

0g(τ)es(t−τ)dτ = G(s)est

G(s)=∫ ∞

0g(τ)e−sτdτ = L[g(t)]


Frequency Response

周波数応答の導出 (2/2)

u(t) = cosωt のとき,cosωt = 12(e

jωt + e− jωt)sinωt = 12 j (e

jωt − e− jωt)}より

y(t) =12

(G( jω)e jωt + G(− jω)e− jωt

)G( jω) = R(ω) + jX(ω)

G(− jω) = R(ω) − jX(ω)}とおくと

y(t)=R(ω)e jωt + e− jωt

2+ jX(ω)

e jωt − e− jωt2

=R(ω) cosωt − X(ω) sinωt=|G( jω)| cos(ωt + ϕ(ω))

ここで, |G( jω)| =√

R2(ω) + X2(ω), ϕ(ω) = ∠G( jω) = tan−1X(ω)R(ω)

cf. 加法定理: cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 85 / 173

Frequency Response

周波数応答線図

G( jω)を図にプロットする

Bode線図

ゲイン線図: logωに対して 20 log |G( jω)|をプロットゲインのデシベル (dB)表示位相線図　: logωに対して ∠G( jω)をプロット

Nyquist線図 (ベクトル軌跡)

(Re G( jω), Im G( jω))をプロット

ゲイン位相線図,ニコルス線図,ホール線図

図上で解析や補償器の設計を行うためのツール計算機が発達していなかった時代の遺物 (?)


Frequency Response

SWFbode


http://weierstrass.is.tokushima-u.ac.jp/ikeda/linsys/demo/bode.html

Frequency Response

1次遅れ系のNyquist線図

伝達関数 G(s) =1

1 + Tsにおいて s = jωとおくと次式を得る:

G( jω) =1

1 + jωT=

11 + ω2T2

− j ωT1 + ω2T2

実部を u = 1/(1 + ω2T2),虚部を v = −ωT/(1 + ω2T2)とおくと�

�Re G( jω)

Im G( jω)

0 1

ω =1T

ω = 0ω = ∞

Nyquist線図

v/u = −ωT より

u2 + v2 = u ⇒(u − 1

2

)2+ v2 =

(12

)2

中心 (12, 0),半径

12の円となる

ω = 0から ω = ∞まで (u, v)をプロット池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 88 / 173

Frequency Response

1次遅れ系のBode線図�

�

��

110T

1T

10T logω20 log |G( jω)|

0[dB]

−20[dB]

110T

15T

12T

2T

1T

5T

10T logω∠G( jω)

0◦

−45◦

−90◦

−20dB/dec−3dB折れ線近似

ゲイン線図

折れ線近似

位相線図

−26.6◦−5.7◦

−63.4◦−84.3◦

G(s) =1

1 + Ts


Frequency Response

1次系のBode線図 (つづき)�

�

�

�

G(s) = Ts G(s) =1

Ts

G(s) =1

1 + Ts

110T

1T

10T logω

20 log |G( jω)|[dB]20

0

−20

110T

1T

10T logω

[◦] ∠G( jω)90

0

−90

20 log∣∣∣∣∣∣ 11 + jωT

∣∣∣∣∣∣︸��︷︷��︸→0 as ω→0

=20 log∣∣∣∣∣∣ 1jωT

∣∣∣∣∣∣ − 20 log∣∣∣∣∣∣ 1jωT

∣∣∣∣∣∣ + 20 log∣∣∣∣∣∣ 11 + jωT

∣∣∣∣∣∣=20 log

∣∣∣∣∣∣ 1jωT∣∣∣∣∣∣ + 20 log

∣∣∣∣∣∣ jωT1 + jωT∣∣∣∣∣∣︸��︷︷��︸

→0 as ω→∞

∠G( jω) = ∠1

1 + jωT= ∠

1 − jωT1 + ω2T2

=− tan−1 ωT

−90◦ + tan−1 1ωT=− tan−1 ωT

− log 1ωT=logωT

1

ωT


Frequency Response

cf. decade

1dec (1デカード)とは,ω2

ω1= 10となる区間 (ω1, ω2)のこと

例 (1, 10), (10, 100), (0.1, 1), (0.2, 2), . . .

cf. deca-は 10, deci-は 1/10のこと.

1 octave (1オクターブ)とは,ω2

ω1= 2となる区間 (ω1, ω2)

のこと

cf. ‘ラ’の音と 1オクターブ高い ‘ラ’の音では周波数が 2倍違う

cf. 音楽では, 1octave間を 8度の音階に分ける.

cf. octo-は 8のこと.


Frequency Response

2次振動系のNyquist線図

伝達関数 G(s) =ω2n

s2 + 2ζωns + ω2n. 周波数伝達関数は

G( jω) =ω2n

ω2n − ω2 + 2 jζωnω=

1

1 −( ωωn

)2+ 2 jζ

( ωωn

)�

�

ζ = 0.75のとき

Re G( jω)

Im G( jω)

0 1

− 12ζ

ω = ∞ω = 0

ω = ωn

Nyquist線図

|G( jω)| ∠G( jω)ω � ωn ∼ 1 ∼ 0◦ω = ωn =

12ζ

= −90◦

ω � ωn ∼∣∣∣∣∣ωnω

∣∣∣∣∣2 ∼ −180◦池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 92 / 173

Frequency Response

2次振動系のBode線図�

�

��

ωn/10 ωn 10ωn logω20 log |G( jω)|0[dB]

−20[dB]

−40[dB]ω/10 ωn 10ω logω∠G( jω)

0◦

−90◦

−180◦

−40dB/dec上から ζ = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0

位相線図

ゲイン線図G(s) =

ω2n

s2 + 2ζωns + ω2n


Frequency Response

伝達関数の積のBode線図G(s) = G1(s)G2(s)のときG1(s) = R1e jθ1 , G2(s) = R2e jθ2 とおくとG(s) = R1R2e j(θ1+θ2) したがって,

20 log |G( jω)|=20 log |G1( jω)| · |G2( jω)|=20 log |G1( jω)| + 20 log |G2( jω)|

∠G( jω)=θ1 + θ2 = ∠G1( jω) + ∠G2( jω)

ゲイン線図・位相線図とも, G1( jω), G2( jω)の足し算になる

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitude (dB)

10-3

10-2

10-1

100

101

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

G1(s)=1

Ts + 1

G2(s)=ω2n

s2 + 2ζωns + ω2nG(s)=G1(s)G2(s)


Frequency Response

微積分回路のBode線図G

(s)=−

Ts

1+

Ts·

11+

Ts� �

� �

110T

1T

10T

logω

20lo

g|G

(jω

)|0[dB]

−20[dB]∠G

(jω

)

0◦

−90◦

−180◦

−270◦池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 95 / 173

Frequency Response

cf. なぜ虚軸上だけでよいのか?

G(s)は複素関数

D = {s : |s − a| < R}で正則ならば Taylor展開可能:

G(s) =∞∑

n=0

1n!

G(n)(a)(s − a)n

⇒ G(a),G′(a),G′′(a), . . .が分かれば G(s) (s ∈ D)がわかる

�

�

G(s)の極(特異点)

Re s

Im s

解析接続すれば, 1点 (例えば s = 0)での情報から,正則な領域での G(s)の値がすべて分かる!!

G( jω)が分かれば, G(0),G′(0),G′′(0),G(3)(0), . . .が分かる⇒虚軸上の値だけ分かればよい


Frequency Response

cf. それでは,実軸上だけでもよいか?

数学的にはO.K.(数学的にはどこでもよい)工学的にはN.G.

�

�

Re s

Im s

u(t) = est , Re s � 0だと,ゲインや位相を正確に測れない

Res < 0ならば u(t)は指数的に減衰.⇒雑音に紛れてしまう.Res > 0ならば u(t)は指数的に発散.⇒すぐに飽和してしまう.

u(t) = cosωt ならば持続的にデータを取得可能


Frequency Response

本日のまとめ (周波数応答)

ゲインと位相は角周波数 ωの関数となる.

ゲインは |G( jω)|,位相は ∠G( jω)となる.u(t) = sinωt ⇒ y(t) = |G( jω)| sin(ωt + ∠G( jω))

Bode線図 (ゲイン線図,位相線図)は制御系設計には必須.ゲイン線図: logωに対する |G( jω)|のデシベル (dB)表示位相線図: logωに対する ∠G( jω)をプロット

Nyquist線図 (G( jω)の実部と虚部をプロット)も概念上重要

1次系と 2次系のBode線図, Nyquist線図

伝達関数の積のBode線図


Stability

内部安定性と入出力安定性

安定:物事が落ち着いていて,激しい変化のないこと (広辞苑)(cf. 天気,物価)→サ行変格活用の動詞 “安定する”

理工学の分野では元の状態へ戻ろうとする性質を持つこと→ナリ活用の形容動詞 or主格/目的格にならない名詞

“安定な”

安定性にはいろいろな定義がある内部安定性 Lyapunov安定,漸近安定,指数安定, ...入出力安定 or BIBO(Bounded Input Bounded Output)安定,L1-安定, L2-安定, L∞-安定, Lp-安定,...

制御界では,その都度,安定性の定義を明確にしてから議論

非線形システムの場合,結果は安定性の定義に依存

線形システムの場合は,ほぼ等価な条件となる池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 99 / 173

Stability

内部安定性

定義入力を 0として,システムは静止の状態 (平衡状態)にあったとする. これに初期条件を与えたとき,時間の経過とともに元の平衡状態に戻れば安定,そうでなければ,不安定であると定義する.

例. お椀の中のビー玉と外のビー玉

安定不安定

(中)一旦動いても,摩擦があるのでお椀の底に収束する.(外)平衡状態からちょっとでもずれると転がり落ちてしまう.


Stability

線形有限次元系の場合

入出力関係微分方程式より

dnxdtn+ a1

dn−1xdtn−1

+ · · · + anx = 0←入力は 0 (∗)初期条件は, x(0), ẋ(0), . . . , x(n−1)(0).

(*)式の特解は, x(t) = eλt という形をしている

(λn + a1λn−1 + · · · + an)eλt = 0, eλt � 0λn + a1λn−1 + · · · + an = 0を (*)の特性方程式という特性方程式の根を λ1, . . . , λnとする(簡単のため λi � λ j if i � jとする)

(*)の一般解は x(t) = c1eλ1 t + · · · + cneλn tここで, c1, . . . , cnは初期条件から定まる定数


Stability

線形有限次元系の場合 (つづき)

dnxdtn+ a1

dn−1xdtn−1

+ · · · + anx = 0←入力は 0 (∗)

(*)の一般解は x(t) = c1eλ1 t + · · · + cneλn t

内部安定性: 任意の初期条件に対してx(t) → 0 as t → ∞となるための必要十分条件内部安定⇔任意の c1, . . . , cnに対して x(t) → 0 as t → ∞

⇔Re (λi) < 0 ∀i

cf. 線形システムの場合,漸近安定⇔指数安定


Stability

入出力安定性

� �Gu y

定義入力が有界であるとき,出力もまた有界であれば安定である

補足どのような有界入力に対しても必ず出力は有界となる, i.e.,

∃K < ∞ s.t. |u(t)| ≤ K ∀t ≥ 0⇒ ∃M < ∞ s.t. |y(t)| ≤ M ∀t ≥ 0

が成り立つとき安定であるという


Stability

線形システムの場合

畳み込み積分表現より y(t) =∫ ∞

0g(τ)u(t − τ)dτ.

(u(t) = 0 if t < 0とする.)

|y(t)|=∣∣∣∣∣∣∫ ∞

0g(τ)u(t − τ)dτ

∣∣∣∣∣∣≤∫ ∞

0|g(τ)| · |u(t − τ)|dτ ≤ K

∫ ∞0|g(τ)|dτ

よって,∫ ∞

0|g(τ)|dτ < ∞ ⇒ |y(t)| < ∞ ∀t ≥ 0

逆に, |y(t)| < ∞ ∀t ≥ 0 ⇒∫ ∞

0|g(τ)|dτ < ∞ (なぜか?)

入出力安定 ⇔∫ ∞

0|g(τ)|dτ < ∞ ⇒ g(t) → 0 as t → ∞


Stability

線形有限次元システムの場合

ところで,伝達関数 G(s)の分母多項式を因数分解し,

G(s)=b0sm + b1sm−1 + · · · + bm

sn + a1sn−1 + · · · + an=

b0sm + b1sm−1 + · · · + bm(s − s1)(s − s2) · · · (s − sn)

=

n∑k=1

cks − sk

と部分分数展開して逆ラプラス変換すると,

g(t) = L−1[G(s)] =n∑

k=1

L−1[ ck

s − sk]=

n∑k=1

ckesk t

よって, g(t) → 0 as t → ∞⇒ Re [sk] < 0 ∀k.池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 105 / 173

Stability

線形有限次元システムの場合 (つづき)

伝達関数 G(s)のインパルス応答:

g(t) =n∑

k=1

ckesk t

逆に, Re [sk] < 0 ∀k⇒∫ ∞0|g(τ)|dτ ≤

n∑k=1

|ck|∫ ∞

0esk t dt = −

n∑k=1

|ck|sk

< ∞.

よって,線形システムの場合

入出力安定 ⇔ Re [sk] < 0 ∀k ⇔ 内部安定


Stability

cf. |y(t)| < ∞ ⇒ ∫ ∞0 |g(τ)| dτ < ∞の証明uT(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩1 if 0 ≤ t ≤ T and g(T − t) ≥ 0−1 if 0 ≤ t ≤ T and g(T − t) < 00 if t > T or t < 0

とおくと

� �

��

��

g(τ)

uT (τ)

g(T − τ)uT(τ)

T 0

0 T

0 T

yT(T) =∫ ∞

0g(T − τ)u(τ) dτ =

∫ T0|g(T − τ)| dτ =

∫ T0|g(t)| dt

T → ∞とすると, limT→∞

yT(T) =∫ ∞

0|g(t)| dt = ‖g‖1.

すなわち, supt≥0|y(t)| = ‖g‖1 sup

t≥0|u(t)|となる u(t)が存在する.

よって, ‖g‖1 = ∞ならば, supt≥0|y(t)| = ∞となる u(t)が存在する.

この対偶をとると, |y(t)| < ∞ならば, ‖g‖1 < ∞である.池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 107 / 173

Stability

SWFlinfnorm


http://weierstrass.is.tokushima-u.ac.jp/ikeda/linsys/demo/linfnorm.html

Stability

cf. Lp-安定性信号 x(t)の Lpノルムを次式で定義する.

‖x‖p =(∫ ∞

0|x(t)|p dt

)1/p

G : u(·) �→ y(·) : y(t) =∫ t

0g(t − τ)u(τ) dτとなる u(t), y(t)に対

して,次式が成り立つ M < ∞が存在するとき,システム GはLp-安定であるという.

‖y‖p ≤ M‖u‖p (∗)‖u‖p < ∞なる任意の u(t)に対して (∗)式を満たす M の最小値をGの Lp誘導ノルムという. ‖G‖p = sup‖u‖p

Stability

cf. ノルム

ノルム (norm)は大きさの概念を一般化したもの

X を K 上線形空間 (ベクトル空間とする. ただし, K は体(field). (K = C or R)

写像 ‖ · ‖ : X → R+ がつぎの 3つの性質を満たすとき,‖ · ‖をノルムという.

‖x‖ > 0 for ∀x ∈ X\{0}‖αx‖ = |α| · ‖x‖ for ∀α ∈ K and ∀x ∈ X.‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ for ∀x, y ∈ X (三角不等式)

例 n次元実ベクトル空間 Rnと Euclidノルム

‖x‖2 =√|x1|2 + · · · + |xn|2


Stability

cf. ノルムの例C

n (x = (x1, . . . , xn)� ∈ Cn, xi ∈ C)

‖x‖p =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

n∑i=1

|xi|p⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1/p

, 1 ≤ p < ∞

‖x‖∞ = maxi|xi|

‖x‖1 = 1, ‖x‖2 = 1, ‖x‖∞ = 1

�

�

x1

x2

0

−1

−11

1

lp (x = (x1, x2, . . . , xn, . . .), xi ∈ C)

‖x‖p =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝∞∑

i=1

|xi|p⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1/p

, lp = {x : ‖x‖p < ∞}

‖x‖∞ = supi≥1|xi|, l∞ = {x : ‖x‖∞ < ∞}

Rn, Cnとも, p = 2のとき, Euclidノルムという.


Stability

cf. 誘導ノルム

ノルム ‖ · ‖の定義された空間 Xをノルム空間と呼び,(X, ‖ · ‖)と書く. 混乱の恐れがない場合は,単に X と書くこともある.

例 (Rn, ‖ · ‖2), (Cn, ‖ · ‖1), lp, Lp, etc.X, Y をノルム空間, ‖ · ‖X, ‖ · ‖Y をそれぞれのノルムとする.A : X → Y : x �→ y = Axが X から Y への線形写像のとき,

‖A‖ = sup0�x∈X

‖Ax‖Y‖x‖X

= sup‖x‖X=1

‖Ax‖Y

を Aの誘導ノルム (induced norm)という.


Stability

cf. 誘導ノルムの例

例 X = Y = Cn, A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ∈ Cn×nとする。

|x|1 =n∑

i=1

|xi| ⇒ ‖A‖1 = maxj

n∑i=1

|ai j|列和 (column sum)

|x|2 =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

n∑i=1

|xi|2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1/2

⇒ ‖A‖2 = maxi

[λi(A∗A)]1/2

最大特異値(maximum singular value)

|x|∞ = maxi|xi| ⇒ ‖A‖∞ = max

i

n∑j=1

|ai j|行和 (row sum)


Stability

cf. ‖A‖∞, ‖A‖1 の例簡単のため, X = Y = Rn, A ∈ Rn×nとする.

y⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

02

1021

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=

A⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

2 −1−1 3−1−1 1 −1 2 1−3−3 1 2 1−1−1−1 2 1−1−1−1−3 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

x⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−1−1111

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

∑5j=1 |ai j|: row sum⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

86

1067

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠‖A‖∞ = 10

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

3222−3

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠12

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

2 −1−1 3−1−1 1 −1 2 1−3−3 1 2 1−1−1−1 2 1−1−1−1−3 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(8 7 5 12 5

)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

00010

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠1

∑5i=1 |ai j|: column sum

‖A‖1 = 12


Stability

cf. 誘導ノルムの例 (つづき)

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 −154−3

4

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=√

15

(1 −22 1

) √52

(1

12

) √12

( 1 1−1 1

)�= UΣV�

�

�0 1

−74

‖A‖1 = 74

�

�0 1

2

‖A‖∞ = 2

�

�0 1 √

52

‖A‖2 =√

52


Stability

cf. パーセバルの定理x(t)とそのフーリエ変換

X̂(ω) = F [x(t)] =∫ ∞−∞

x(t)e− jωt dt

の間にパーセバル (Parseval)の定理が成り立つ.

12π

∫ ∞−∞|X̂(ω)|2 dω =

∫ ∞−∞

x(t)2 dt

[注] x(t) = 0 for t < 0のとき,

X̂(ω) = X( jω)

ただし, X(s) = L[x(t)].

[証明]

12π

∫ ∞−∞|X̂(ω)|2 dω

=1

2π

∫ ∞−∞

X̂(ω)X̂(ω)∗ dω

=1

2π

∫ ∞−∞dω X̂(ω)

∫ ∞−∞dt x(t)e jωt

=

∫ ∞−∞dt

(1

2π

∫ ∞−∞dω X̂(ω)e jω t

)x(t)

=

∫ ∞−∞

x(t)2 dt (反転公式)


Stability

cf. パーセバルの定理 (つづき)

パーセバルの定理はフーリエ変換のユニタリ性に関する定理ユニタリ作用素とは,内積が不変な全射のこと. (ノルムも不変)

離散フーリエ変換 (DFT)についても成り立つDFTは本質的にはフーリエ級数展開と同じ

一般の正規直交関数系 {φn}による展開: x(t) =∞∑

n=−∞cnφn(t), cn = 〈x, φn〉では,

ベッセル (Bessel)の不等式:∞∑

n=−∞|cn|2 ≤ ‖x‖2 := 〈x, x〉が成り立つ

{φn}が完全ならば,パーセバルの等式:∞∑

n=−∞|cn|2 = ‖x‖2 が成り立つ.

cf. x ∈ L2(−T/2, T/2)が, 〈x, φn〉 = 0 for n = 0,±1,±2, . . .を満たすとき, (−T/2, T/2)のほとんどいたるところで, x(t) = 0ならば,直交系 {φn}は完全であるという.

cf. フーリエ級数展開は,直交関数系{e j

2πnT t

}と,内積〈x, y〉 = 1

T

∫ T/2−T/2

x(t)y(t) dt による展開

y(t)は y(t)の複素共役.cf.{e j

2πnT t

}は完全.

パーセバルの等式は,内積空間におけるピタゴラスの定理 (Pythagorean theorem).


Stability

cf. 伝達関数 G(s)の L2-誘導ノルム

パーセバルの等式を用いて, ‖y‖22の上界を求める.

‖y‖22 =1

2π

∫ ∞−∞|Y( jω)|2dω

=1

2π

∫ ∞−∞|G( jω)|2 · |U( jω)|2dω

≤‖G‖2∞1

2π

∫ ∞−∞|U( jω)|2dω

=‖G‖2∞ · ‖u‖22ここで, ‖G‖∞ = sup

ω|G( jω)|.

G(s)の L2誘導ノルムは,明らかに, ‖G‖∞ 以下.


Stability

cf. 伝達関数 G(s)の L2-誘導ノルム (つづき)

ω = ω0 で |G( jω0)| = ‖G‖∞ となる ω0 を選び, U( jω)を次式とおく.

U( jω) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩√

π

2ε,

if |ω − ω0| ≤ εor |ω + ω0| ≤ ε

0, otherwise,

ここで, ε > 0は小定数. このとき, ‖u‖2 = 1. 一方, ‖y‖2 は

‖y‖2≈|G(− jω0)|2π + |G( jω0)|2π

2π=|G( jω0)|2 = ‖G‖∞

(ε → 0とすると, ‖y‖2 はいくらでも ‖G‖∞ に近づく.) よって,G(s)の L2 誘導ノルムは ‖G‖∞.


Stability

cf. L1-誘導ノルム (y = Gu)

‖y‖1=∫ ∞

0|y(t)|dt =

∫ ∞0

∣∣∣∣∣∣∫ t

0g(t − τ)u(τ)dτ

∣∣∣∣∣∣ dt≤∫ ∞

0

∫ t0|g(t − τ)| · |u(τ)| dτ dt

=

∫ ∞0

∫ ∞τ

|g(t − τ)| · |u(τ)| dt dτ (積分順番の入替)

=

∫ ∞0

∫ ∞0|g(t′)| · |u(τ)| dt′ dτ (t′ = t − τ)

=

∫ ∞0|g(t′)| dt′

∫ ∞0|u(τ)| dt′ dτ = ‖g‖1 · ‖u‖1

よって, ‖G‖1 ≤ ‖g‖1一方, u(t) = δ(t)⇒ y(t) = g(t)⇒ ‖G‖1 ≥ ‖g‖1.

}⇒ ‖G‖1 = ‖g‖1.


Stability

cf. y = Guの和分近似刻み幅 h > 0を十分小さな正数とする.yn = y(nh), un = u(nh), gn = g(hn)とおくと,

yn =∫ nh

0g(t − τ)u(τ) dτ ∼ h

n∑i=0

gn−iui

y ∼

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

y0y1y2...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= h

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

g0g1 g0g2 g1 g0...

. . . . . .

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

u0u1u2...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= Gu

‖G‖1 (Gの L1 誘導ノルム)は, ‖G‖1 (Gの行列 1ノルム),‖G‖∞ (Gの L∞ 誘導ノルム)は, ‖G‖∞(Gの行列∞ノルム)に対応.Gの特殊な構造 (Toeplitz行列という)から,

‖G‖1 = ‖G‖∞ = h∞∑

i=0

|gi|池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 121 / 173

Stability

本日のまとめ (安定性)

内部安定性と入出力安定性 (BIBO安定性)という概念を紹介

線形有限次元システムの場合,両者は等価な条件となる伝達関数のすべての極の実部が負

BIBO安定性は, Lp-ノルムを用いて, Lp-安定性に拡張できる.

Lp-安定性は信号の大きさを Lp-ノルムで計り,伝達関数の大きさを Lp-誘導ノルムによって計る.

BIBO安定性は L∞-安定性に相当L∞-誘導ノルムはインパルス応答の L1-ノルム.

L2-誘導ノルムは伝達関数の H∞ ノルム.H∞ 制御理論は, L2-安定性に基づいた制御理論である.


Routh-Hurwitz Criterion

Routh-Hurwitzの安定判別法

線形システムが安定⇔伝達関数のすべての極の実部が負cf. 伝達関数の分母=0となる根を極という伝達関数の分子=0となる根を零点という

sn + a1sn−1 + · · · + an = 0となる sの実部?n ≥ 5のとき,一般には有限回の代数演算と開平で根を求めることはできない. ⇒数値計算現在では,計算機で簡単に求めることができる.

すべての極の実部が負か否かを判定するだけなら有限回の代数演算で可能!!

Routhの方法とHurwitzの方法がある.両者は本質的に同じ

すべての根の実部が負となる多項式をHurwitz多項式という



Routhの安定判別法

a0sn + a1sn−1 + · · · + an = 0に対して次のRouth表を作成するsn rn0 = a0 rn1 = a2 rn2 = a4 · · · rn�n/2�

sn−1 r(n−1)0= a1 r(n−1)1= a3 r(n−1)2= a5 · · ·sn−2 r(n−2)0 r(n−2)1 r(n−2)2 · · ·sn−3 r(n−3)0 r(n−3)1 r(n−3)2 · · ·...

......

rik=− 1r(i+1)0

∣∣∣∣∣∣r(i+2)0 r(i+2)(k+1)r(i+1)0 r(i+1)(k+1)∣∣∣∣∣∣

=r(i+2)(k+1) −r(i+2)0r(i+1)0

r(i+1)(k+1)

s3 r30 r31s2 r20 r21s1 r10s0 r00

rn0, r(n−1)0, r(n−2)0, . . ., r30, r20, r10, r00 をRouth数列という

システムが安定 ⇔ Routh数列に符号の変化がない



Routh安定判別法の例

例. a0s2 + a1s + a2 = 0s2 a0 a2s1 a1 0s0 a2

システムが安定⇔a0, a1, a2 > 0 or

a0, a1, a2 < 0

例. a0s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0s3 a0 a2s2 a1 a3s1 a2 − a0a3/a1s0 a3

システムが安定�

a0, a1, a3, a2 − a0a3/a1 > 0 ora0, a1, a3, a2 − a0a3/a1 < 0

一般に a0, a1, . . . , anは同符号でないと不安定



Hurwitzの安定判別法a0sn + a1sn−1 + · · · + an = 0

H1 H2 H3 H4 H5 · · · Hn

a8

a9 · · ·· · ·· · ·· · ·· · ·. . .

an

a1a0 a2

a3a4

a5a6

a7

a6

a7a1a0 a2

a3a4

a5

a1a0 a2

a3a4

a5

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=Hn

Hnの首座小行列式がすべて同符号 (正)⇔ Hurwitz多項式池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 126 / 173


Hurwitz安定判別法の例 (n = 4の場合)

H1=a1 > 0

H2=∣∣∣∣∣∣a1 a3a0 a2

∣∣∣∣∣∣=a1a2 − a0a3 > 0

H3=

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a3 0a0 a2 a40 a1 a3

∣∣∣∣∣∣∣∣=a3H2 − a21a4 > 0

H4=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a3 0 0a0 a2 a4 00 a1 a3 0

a0 a2 a4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=H3a4 > 0

Routh安定判別法との関係s4 a0 a2 a4s3 a1 a3 0s2 H2/H1 a4s1 H3/H2s0 H4/H3

n次多項式のRouth数列は(a0, a1,

H2H1, . . . ,

HnHn−1

)



cf. Euclidの互除法

2つの自然数 f0, f1, ( f0 ≥ f1とする)の最大公約数を求めよ.f0 を f1 で割る. f0 = q f1 + r. qは商, rは余り.

余りを f2 = r < f1 とおく.

f1 を f2 で割った余りを f3 < f2 とする.

一般に, fi−1 = qi fi + fi+1, for i = 1, 2, . . . ,

fk−1 が fk で割りきれた ( fk+1 = 0)とき, fk は f0 と f1 の最大公約数

例: 756と 240の最大公約数はつぎの計算より 12(= f4)f0 = 756=3 × 240 + 36f1 = 240=6 × 36 + 24f2 = 36=1 × 24 + 12f3 = 24=2 × 12



cf. Euclidの互除法 (多項式版)

2つの多項式 f0(s), f1(s)の最大共通因子を求めよ.ただし, deg f0(s) ≥ deg f1(s)とするfi−1(s)を fi(s)で割った余りを fi+1(s)とする.

fi−1(s) = qi(s) fi(s) + fi+1(s), for i = 1, 2, . . . .

このとき, deg fi+1(s) < deg fi(s) for i = 1, 2, . . .

fk−1(s)が fk(s)で割りきれた ( fk+1(s) = 0)とき,fk(s)は f0(s)と f1(s)の最大共通因子



cf. Euclidの互除法 (多項式版)の例

s4 − 5s2 + 4と s3 + 5s2 + 7s + 3の最大共通因子は s + 1s4 − 5s2 + 4=(s − 5)(s3 + 5s2 + 7s + 3) + 13s2 + 32s + 19

s3 + 5s2 + 7s + 3=1

132(13s + 33)(13s2 + 32s + 19) +

120132

(s + 1)

13s2 + 32s + 19=132

120(13s + 19)

120132

(s + 1)



cf. Sturmの問題

実係数を持つ代数方程式 ((多項式) = 0)

f (x) = 0

が与えられた区間a ≤ x ≤ b

の中にいくつの実根をもつかを決定する問題

根の絶対値の限界 Rはわかる⇒−R < x < Rにおける実根の数を求めると,それが実根の総数

区間を次第に細分していくことにより,実根の近似的計算ができる.

Sturmの問題は, Euclidの互除法によって解かれる.



cf. Sturmの定理

f0(x) = f (x), f1(x) = f ′(x)とおき,fi−1(x)を fi(x)で割った余りの符号反転を fi+1(x)とおく

fi−1(x) = qi(x) fi(x)− fi+1(x)f0(x), f1(x), . . . , fk(x)で符号反転する回数をV(x)とおく列の中に 0のものがあれば,飛ばして V(x)を数える.

f (x) = 0の区間 a < x ≤ bにおける実根の数を N0とする.(ただし,重複根は 1つの根と数える.)

このとき, N0 = V(a) − V(b)x = aが f (x) = 0の l重根の場合, (x − a)l−1 で割った上で,V(a)を求める. x = bに関しても同様.

cf. f (x) = (x − x0)lφ(x)⇒ f ′ = (x − x0)l−1 {(x − x0)φ′ + lφ}(x − x0)l−1 は f (x)と f ′(x)の共通因子



cf. Sturmの定理の例

f (x)=x3 − 4x2 + 4x=x(x − 2)2

f ′(x)=3x2 − 8x + 4=(3x − 2)(x − 2)

f2(x)=89

(x − 2)

�

�0

23 2 x

f (x)

x (−∞, 0) 0 (0, 23) 23 (23 , 2) 2 (2,∞)f (x) − 0 + + + 0 +f ′(x) + + + 0 − 0 +f2(x) − − − − − 0 +V(x) 2 1 1 1 1 0 0

V(−∞) − V(∞) = 2個の実根をもつ池田建司 (徳島大学) 線形システム解析 April 3, 2020 133 / 173


cf. Sturmの定理の証明

xが aから bまで動くと

線形システム解析 - tokushima...

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