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cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Análisis de la Transferencia de Calor Conjugada en un Sistema Solar Pasivo de Muro Trombe

Presentada por

Gabriel Cuevas Figueroa Ing. Mecánico por la Universidad Autónoma de Baja California

Como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor

Co-Directores de tesis:

M. C. Jesús Arce Landa Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García

Cuernavaca, Morelos, México 19 de Septiembre de 2008

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Análisis de la Transferencia de Calor Conjugada en un Sistema Solar Pasivo de Muro Trombe

Presentada por

Gabriel Cuevas Figueroa Ing. Mecánico por la Universidad Autónoma de Baja California

Como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor

Co-Directores de tesis: M. C. Jesús Arce Landa

Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García

Jurado: Dr. José Jassón Flores Prieto – Presidente Dra. Yvonne Chávez Chena – Secretario

Dra. Sara Lilia Moya Acosta – Vocal Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 19 de septiembre de 2008

Dedicatorias

Dedicatorias

Dedico este trabajo a mi madre Aída por todo su apoyo y motivación incondicional

durante todo este tiempo, por ser una gran mujer y demostrarme la importancia del trabajo y

los logros que conlleva, Gracias Mamá.

A mi padre Raúl por el apoyo con su serenidad y tranquilidad, así como por enseñarme

la importancia y el valor de la vida, por el ánimo y la confianza brindada a lo largo de este

tiempo, Gracias Papá.

A toda mi familia por la gran motivación incondicional durante este tiempo, a mi abue,

a mis tíos y tías, a mis primos, primas y a mis hermanos.

A la memoria de mis amigos y familiares ejemplares que me han hecho un mejor ser

humano, Gracias Tío Cristóbal, Don Ramón y Chavita.

A todo el personal del cenidet por hacer de éste, un centro de investigación con gran

importancia a nivel nacional.

A mis amigos y compañeros de generación: José Manuel Tun, José Augusto, Miguel

Ángel, Guillermo, Luis Carlos, Vladimir, Jorge, David, Luis Alberto, Mario, Jaime, Iván,

Marcelo, Felipe y demás compañeros por compartir buenos momentos durante la maestría.

Y finalmente dedico este trabajo con especial cariño a ti Fany, por tantos momentos

felices, por apoyarme y ser mi mejor amiga, por creer en mí y por cambiar mi mundo con tu

amor, TVB MiLú.

quizás ustedes no lo saben, pero…

Agradecimientos

Agradecimientos

Al Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor, por la dirección y apoyo en este trabajo, así

como por su valioso tiempo y toda la ayuda brindada durante el desarrollo de la tesis.

Al M.C. Jesús Arce Landa por la codirección de esta investigación así como por los

importantes comentarios en su revisión.

A la Dra. Gabriela Álvarez García, por sus sugerencias y apreciables observaciones

en el borrador de la tesis.

Al comité revisor: Dra. Sara Lilia Moya Acosta, Dra. Yvonne Chávez Chena y

Dr. José Jassón Flores Prieto, por sus importantes comentarios y sugerencias

durante la revisión de la tesis.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (cenidet),

por darme la oportunidad de cumplir con una de mis metas.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT),

por el apoyo económico para la manutención durante el estudio de la maestría.

A la Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST),

por el apoyo económico brindado para la terminación de la maestría.

A la Universidad Autónoma del Estado de Baja California (UABC),

por el apoyo proporcionado al inicio de la maestría.

Contenido

Contenido Lista de Figuras v

Lista de Tablas ix

Nomenclatura xi

Resumen xv

Abstract xvii

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

1.1 Ubicación del problema 1

1.2 Revisión bibliográfica 13

1.2.1 Muro Trombe 13

1.2.2 Transferencia de calor conjugada 21

1.3 Conclusión de la revisión bibliográfica 25

1.4 Objetivos generales y particulares 25

1.5 Alcance 25

CAPÍTULO 2 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO

2.1 Modelo físico de la cavidad con muro Trombe 27

2.2 Modelo matemático convectivo de la cavidad con muro Trombe 29

2.2.1 Ecuaciones gobernantes 29

2.2.2 Consideraciones de las ecuaciones gobernantes 30

2.2.3 Condiciones de frontera del modelo convectivo 33

2.3 Modelo matemático de la transferencia de calor por conducción a través de una

pared semitransparente

34

2.3.1 Ecuación gobernante 34

2.3.2 Condiciones de frontera del modelo conductivo 35

2.4 Eficiencia térmica del sistema 36

2.5 Número de Nusselt 37

2.6 Conclusiones 37

i

Contenido

CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN

3.1 Métodos de solución de las ecuaciones de conservación 39

3.2 Método de volumen finito 39

3.3 Ecuación generalizada de convección-difusión 41

3.3.1 Ecuación de convección-difusión 41

3.3.2 Integración de la ecuación generalizada 42

3.3.3 Esquemas numéricos 47

3.4 Algoritmo SIMPLE y SIMPLEC 49

3.4.1 Representación del término de gradiente de presión 49

3.4.2 Representación de la ecuación de continuidad 50

3.4.3 La malla desplazada 51

3.4.4 Formulación del algoritmo SIMPLE 52

3.4.5 Formulación del algoritmo SIMPLEC 58

3.4.6 Evaluación de las propiedades físicas 61

3.4.7 Tratamiento del sólido interno 62

3.5 Método de solución para el modelo conductivo en la pared semitransparente 63

3.6 Implementación de las condiciones de frontera 64

3.6.1 Condición de Drichlet (1ª clase) 65

3.6.2 Condición de Neuman (2ª clase) 65

3.6.3 Condición de Neuman (3ª clase) 66

3.7 Métodos para la solución del sistema de ecuaciones gobernantes 67

3.8 Criterios de convergencia 68

3.9 Conclusiones 69

CAPÍTULO 4 VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO DESARROLLADO

4.1 Problemas de referencia 71

4.1.1 Problema en una cavidad con pared deslizante 72

4.1.2 Problema de convección natural en una cavidad cuadrada calentada

diferencialmente

75

4.1.3 Problema de convección natural en un termosifón con forma de C 80

4.1.4 Problema de convección natural en una cavidad cuadrada calentada

diferencialmente con un sólido interno

86

ii

Contenido

4.1.5 Transferencia de calor en una pared Semitransparente 90

4.2 Análisis de independencia de malla 93

4.3 Análisis del criterio de convergencia 94

4.4 Conclusiones 99

CAPÍTULO 5 RESULTADOS

5.1 Parámetros de estudio 101

5.1.1 Parámetros fijos en el sistema de muro Trombe 101

5.1.2 Configuración del canal 102

5.1.3 Espesor y tipo de material de muro 102

5.1.4 Efecto del número de Rayleigh 103

5.2 Patrón de flujo 103

5.3 Efecto del ancho del canal 108

5.3.1 Velocidades a lo ancho del canal 108

5.3.2 Temperatura a lo ancho del canal 110

5.3.3 Velocidades en las ventilas del canal 112

5.3.4 Temperatura en las ventilas del canal 114

5.3.5 ΔT en el canal para los números de Rayleigh 115

5.4 Efecto del espesor y tipo de muro 116

5.4.1 Eficiencia para el muro de adobe 116

5.4.2 Eficiencia para el muro de concreto 118

5.5 Correlación del número de Nusselt en la superficie del muro hacia el canal 123

5.6 Comparación de un sistema de muro Trombe con y sin una cavidad anexa

(habitación)

124

5.7 Conclusiones 127

CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES

6.1 Conclusiones 129

6.2 Recomendaciones 132

Bibliografía 133

iii

Lista de Figuras

Lista de Figuras

Figura Descripción Página

2.1 Modelo Físico del sistema de muro Trombe. 28

3.1 Volumen de control sobre una malla bidimensional. 43

3.2 Volumen de control sobre una malla unidimensional. 50

3.3 Campo de presión alternante. 50

3.4 Campo de velocidad en una dimensión. 51

3.5a Volumen de control para las variables escalares. 51

3.5b Volumen de control para la velocidad a) u y b) v. 51

3.6 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLE. 57

3.7 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLEC. 60

3.8 Distancias asociadas con la interfase e. 62

3.9 Diagrama de flujo para el cálculo de la conducción de calor a través de

la pared semitransparente.

64

4.1 Modelo Físico. 72

4.2 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=100. 73



4.5 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente. 75

4.6 Componentes de la velocidad (u*, v*), líneas de corriente (Ψ*) e

isotermas (T*) para a) Ra = 103, b) Ra = 104, c) Ra = 105 y

d) Ra = 106.

79

4.7 Modelo físico del termosifón en forma de C. 80

4.8 Isotermas para Ra = 103 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo. 82



4.11 Comparación del número de Nusselt promedio en la pared caliente

para todos los números de Ra con diferentes razones de aspecto:

a) A=2, b) A=4, c) A=6 y d) A=10.

85

4.12 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente con un sólido interno. 86

v

Lista de Figuras


4.13 Gráficas de isotermas para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando

con un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento de 15º.

87

4.14 Gráficas de líneas de corriente para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0,

comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento

de 15º.

87

4.15 Número de Nusselt local graficado para Ra = 105, ζ = 0.5 y

k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un

incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).

88

4.16 Número de Nusselt local graficado para Ra = 106, ζ = 0.5 y

k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un


88

4.17 Número de Nusselt promedio graficado para números de Ra =103 a

106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de

15º y con un incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).

89

4.18 Modelo físico de la pared semitransparente. 90

4.19 Distribución de temperaturas a través de un vidrio de 6 mm para

diferentes To.

92

4.20 Efecto del refinamiento de la malla en el centro de la cavidad para a) v

y b) u.

93

4.21 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad para a) v

y b) u.

98

4.22 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad

para T en a) y y b) x.

99

5.1 Tamaños de canal (s) estudiados a)1/30, b)1/15 y c)1/10. 102

5.2 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para: a)

Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de adobe con d = 1/10

y canal con s = 1/15.

105

vi

Lista de Figuras


5.3 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para: a)

Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de concreto con d =

1/10 y canal con s = 1/15.

107

5.4 Posiciones para estudio de velocidades y temperaturas en el canal. 108

5.5 Perfiles de velocidad v en la posición P1 del canal. 109



5.8 Perfiles de temperatura en la posición P1 del canal. 111



5.11 Perfiles de velocidad u en la entrada del canal. 113

5.12 Perfiles de velocidad u en la salida del canal. 113

5.13 Perfiles de temperatura en la entrada del canal. 114

5.14 Perfiles de temperatura en la salida del canal. 115

5.15 Diferencia de temperatura entre la entrada y la salida del canal en

función del ancho de canal (s).

116

5.16 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de adobe. 117



5.19 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de concreto. 119



5.22a Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 105 con adobe y

concreto.

120

5.22b Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 106 con adobe y

concreto.

121

5.22c Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 107 con adobe y

concreto.

121

5.23 Comparación de las eficiencias máximas del adobe y concreto para todos

los Ra.

122

vii

Lista de Figuras


5.24 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y

b) Superficies isotérmicas para un Ra = 107 con s = 1/15 y d = 1/6.

125


b) Superficies isotérmicas para un Ra = 107 con s = 1/15 y

d = 1/10.

125


b) Superficies isotérmicas para un Ra = 107 con s = 1/15 y

d = 1/30.

126

viii

Lista de Tablas

Lista de Tablas

Tabla Descripción Página

Recomendaciones de los sist ara diferentes climas.

3

los resultados obtenidos con los reportados en la

4.2 red 84

4.3 es termofísicas del vidrio. 91

ared semitransparente.

ergencia.

1

para los número de Ra

5.3 promedio en la habitación para los casos con eficiencias 122

5.4 arente hacia el canal. 127

1.1 emas pasivos p 4

2.1 Propiedades ópticas y termofísicas de un vidrio de 6mm. 5

3.1 Equivalencias de la formulación generalizada. 42

3.2 Función A(|Pe|). 49

4.1 Comparación de

literatura para: a) Ra = 103, b) Ra = 104, c) Ra = 105 y d) Ra = 106.

Comparación del número de Nu promedio obtenido en la pa

77

caliente.

Propiedad

4.4 Flujos de calor para el sistema de la p 92

4.5 Diferencias porcentuales para diferentes tamaños de malla. 94

4.6a Resultados para un Ra = 105 con diferentes criterios de conv 95

4.6b Resultados para un Ra = 106 con diferentes criterios de convergencia. 96

4.6c Resultados para un Ra = 107 con diferentes criterios de convergencia. 97

5.1 Propiedades termofísicas de los materiales. 03

5.2 Dimensiones de la cavidad en centímetros

analizados.

Temperatura

103

máximas del adobe y concreto para todos los Ra.

Flujos de calor promedio en la pared semitransp

ix

Nomenclatura

Nomenclatura Símbolos Latinos

Símbolo Definición A Razón de aspecto A(|Pe|) Función de Peclet aP, aE, aW, aN ,aS Coeficientes de la ecuación discretizada b Razón de alto de ventilas Cp Calor específico del aire a presión constante, J/kg K Cpg Calor específico del vidrio a presión constante, J/kg K d Espesor del muro, m ρg Densidad del vidrio, kg/m3 Hx Ancho de la cavidad, m Hxg Ancho del vidrio, m Hy Altura de la cavidad, m Nu Número de Nusselt promedio P Presión del fluido, N/m2 Pe Número de Peclet Pr Número de Prandtl q Flujo de calor, W/m2 qconv-int Flujo de calor convectivo al interior de la cavidad, W/m2 qref Flujo de calor de referencia, W/m2

másicoR Residuo de la ecuación de continuidad Ra Numero de Rayleigh S Término fuente s Ancho del canal, m Sg Coeficiente de extinción del vidrio SP Término fuente dependiente de la variable SC Término fuente independiente de la variable t Tiempo, s T Temperatura, ºC ó K Tc Temperatura en la pared fría, ºC ó K Text Temperatura exterior, ºC ó K Tini Temperatura inicial, ºC ó K Tg Temperatura en la pared semitransparente, ºC ó K

Tgprom Temperatura promedio en el interior de la pared semitransparente, ºC ó K

xi

Nomenclatura

Símbolos Latinos

Símbolo Definición u Velocidad en dirección horizontal, m/s v Velocidad en dirección vertical, m/s x Coordenada en dirección horizontal, m y Coordenada en dirección vertical, m Símbolos Griegos

Símbolo Definición α Difusividad térmica, m2/s α Factor de relajación α*

g Absortividad de la pared semitransparente β Coeficiente de expansión térmica, K-1 δxe, δxw Distancia entre nodos computacionales en dirección horizontal, m δyn, δys Distancia entre nodos computacionales en dirección vertical, m Δt Incremento en el tiempo, s ΔT Diferencia de temperaturas, °C ó K Δx Espesor de un volumen de control en dirección horizontal, m Δy Espesor de un volumen de control en dirección vertical, m ε*

g Emisividad de la pared semitransparente Ф Función de disipación viscosa, N/m2 s φ Variable dependiente general (u, v, P, T) Γ Coeficiente de difusión λ Conductividad térmica del aire, W/m K λg Conductividad térmica de la pared semitransparente, W/m K λmuro Conductividad térmica del muro, W/m K λrazón Razón de conductividades térmicas del muro y aire υ Viscosidad cinemática, m2/s μ Viscosidad dinámica, kg/m s ρ Densidad del aire, kg/m3 ρ*

g Reflectividad de la pared semitransparente τ*g Transmisividad de la pared semitransparente τij Tensor de esfuerzos viscosos, N/m2 τxx Esfuerzos normales en dirección horizontal, N/m2 τyy Esfuerzos normales en dirección vertical, N/m2 τxy Esfuerzos tangenciales, N/m2

xii

Nomenclatura

Subíndices

Símbolo Definición e Este ext Exterior n Norte s Sur w Oeste g Vidrio C Fria Superíndices

Símbolo Definición * Indica adimensional Abreviaturas

Símbolo Definición 2D Dos dimensiones ADI Método Implícito de Dirección Alternante

(Alternating Direction Implicit) CDS Esquema de Diferencias Centradas

(Central Difference Scheme) CFD Dinámica de Fluidos Computacionales

(Computational Fluid Dynamics) MDF Método de diferencias finitas MEF Método de elemento finito MVF Método de volumen finito QUICKE Interpolación Cuadrática Extendida de Corriente Arriba para el Transporte

Convectivo (Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics Extended)

SIMPLE Método Semi-Implícito para las Ecuaciones Acopladas a la Presión (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations)

SIMPLEC SIMPLE – Consistente (SIMPLE – Consistent)

SIMPLER SIMPLE – Revisado (SIMPLE – Revised)

TDMA Algoritmo de Matriz Tridiagonal (Tri-Diagonal Matrix Algorithm)

TRNSYS® Herramienta de Simulación para Sistemas Energéticos Transitorios (Transient Energy System Simulation Tool)

xiii

Resumen

Resumen El presente trabajo de investigación trata sobre la modelación de flujo laminar en una

cavidad bidimensional simulando un sistema solar pasivo de muro Trombe. Para ello se

describen los modelos físicos y matemáticos para el estudio del movimiento de fluido con la

transferencia de calor, el cual involucra la solución de las ecuaciones de conservación de

masa, momentum y energía en una cavidad con un sólido embebido. La transferencia de calor

se considera conjugada, abarcando los fenómenos de conducción-convección. Se analiza la

conducción a través del vidrio al igual que en el muro, la convección natural al interior de la

cavidad, así como las pérdidas convectivas y radiativas al exterior de la misma. El objetivo

principal de este trabajo es estudiar la transferencia de calor conjugada con flujo laminar en un

sistema solar pasivo compuesto por un muro Trombe aplicado en climas fríos, con la finalidad

de obtener una configuración óptima desde el punto de vista térmico.

Se estudiaron diferentes problemas para llegar a la solución del problema principal. En

cada uno de los problemas estudiados se describieron las geometrías y las condiciones de

frontera, así como también se mostró la verificación de cada uno de estos con la literatura,

encontrándose resultados satisfactorios. En el estudio paramétrico para proponer una

configuración óptima se consideraron tres tamaños de cavidad, tres configuraciones de ancho

de canal, cinco espesores de muro y dos tipos de material de muro Trombe. Entre los

resultados se presenta una discusión de los patrones de flujo para cada uno de los materiales

del muro Trombe, en los cuales se observó que a medida que se aumenta el tamaño de la

cavidad se intensifican los niveles de velocidad en el canal del sistema térmico.

Con base en los resultados de eficiencia del sistema se determinó utilizar un muro de

concreto, ya que presenta una mayor eficiencia térmica que un muro de adobe. En conclusión

general, basado en la temperatura promedio de la cavidad y eficiencia se obtuvo para ambos

materiales que el mejor comportamiento térmico fue para una configuración con un espesor de

muro d = 1/30 y un ancho de canal s = 1/10 (para las dos cavidades más pequeñas) y s = 1/15

xv

Resumen

(para la cavidades más grande). La configuración óptima corresponde a un muro de concreto

con espesor d = 1/30 y un ancho de canal s = 1/15. Finalmente, se determinaron las

correlaciones para la transferencia de calor convectiva en función de los parámetros

analizados.

xvi

Abstract

Abstract

This research work studies a natural convection model of a two dimension rectangular

cavity which simulates a Trombe wall passive solar system. The physical and mathematical

models for the combined study of the mechanics of the fluid and heat transfer are described.

The problem involves the solution of mass, momentum and energy conservation equations of a

cavity with an embedded solid. The following phenomenons are studied: conduction trough

the glass and the wall, natural convection inside the cavity, as well as heat convective and

radiative losses outside the cavity. The main goal in this research work is to study conjugate

heat transfer in laminar regime for a passive solar system constituted by a Trombe wall for

cold climates, in order to, from a thermal point of view, obtain the optimum configuration.

To achieve the solution of the main problem, different configurations were studied.

Geometry and boundary conditions for each study case were decided, and comparisons with

literature were carried out finding good agreements. A parametric study was carried out taking

into account three sizes for the cavity, three different widths for the channel, five different

thick and two types of materials for the Trombe wall, in order to find the optimal

configuration. A discussion of the flux patterns obtained for each study case is presented.

Results showed that, based on the system efficiency, the concrete wall proved to be the

optimal as far as the wall thickness refers, due to it has a better thermal efficiency than the

adobe wall. In conclusion, according to the average temperature inside the cavity, the best

thermal behavior for both, concrete and adobe, was obtained for a configuration where the

wall thickness was set as d = 1/30 and the channel width as s = 1/10 (for the two smaller

cavities) and s = 1/15 (for the biggest cavity). Based on this, the optimal configuration resulted

to be the d = 1/30 width concrete wall and a channel width of s = 1/15. The final part of the

work was to set correlations for the calculation of the convective heat transfer as a function on

these parameters.

xvii

Introducción Capítulo 1

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se muestra la importancia de este tema de investigación, la

revisión bibliográfica realizada, el objetivo del presente trabajo, así como su alcance. Primero

se muestra la ubicación del problema, la cual muestra a grandes rasgos, la importancia del

problema a resolver; posteriormente se presenta la revisión bibliográfica divida en dos partes,

primero los trabajos referentes a sistemas de muro Trombe y después a trabajos relacionados

con la transferencia de calor conjugada, los cuales servirán para facilitar la compresión del

problema; finalmente, se presenta el objetivo y el alcance del presente trabajo de

investigación.

1.1 Ubicación del Problema

La arquitectura sustentable consiste en diseñar edificios considerando la respuesta del

medio ambiente, el consumo de los recursos y la sensibilidad de la comunidad. El concepto

del desarrollo sustentable abarca los materiales para construir y dar mantenimiento a un

edificio, la energía y el agua necesaria para que funcione, así como la capacidad de proveer un

ambiente sano y productivo para los ocupantes del edificio. Con frecuencia, el desarrollo

sustentable ha sido denominado como diseño sensible al clima o edificios de alto rendimiento.

Con las estrategias de esta técnica de diseño, se puede lograr más de un 50% en la

reducción del consumo de energía en edificios de nueva generación. Los edificios que

requieren menos recursos para construirse y funcionar, tendrán menor impacto en el ambiente,

comparados con los edificios convencionales de la actualidad. Este impacto conduce a una

menor contaminación atmosférica, menor consumo y contaminación del agua, un mejor

confort humano, mayor creatividad, productividad y satisfacción para los ocupantes. El diseño

sustentable puede lograrse a través de un proceso consolidado de diseño para el edificio

completo.

La sustentabilidad es un concepto que trata básicamente de la interacción del medio

ambiente, la economía y la equidad social. Es un camino a través del cual se demuestra

1


nuestro legado hacia el futuro. Se trata de una aspiración a una mejor calidad de vida para

nuestros hijos y los hijos de nuestros hijos (LANL, 2002).

Los edificios de alto rendimiento están diseñados y construidos para minimizar el

consumo de recursos, reducir los costos del ciclo de vida y maximizar la salud y el desempeño

ambiental a través de una amplia gama de herramientas. Los edificios de alto rendimiento

pueden:

- Lograr un ahorro de energía superior al 50% comparados con los edificios

convencionales.

- Reducir el consumo de agua, costos de mantenimiento y reparación y sobre todo las

multas por contaminación ambiental.

Los edificios convencionales consumen un gran porcentaje de la energía eléctrica

producida. Sin importar cuál sea la fuente, el uso de esta energía tiene una consecuencia, la

contaminación, la cual puede ocasionarse por la extracción de combustibles fósiles,

contaminantes liberados a la atmósfera por la combustión de estos combustibles o por la

producción y desecho de materiales nucleares.

El ahorro de energía minimiza una amplia variedad de impactos ambientales y posibles

riesgos a la salud. Los edificios sustentables tienen beneficios que van más allá de la reducción

de nuestra dependencia de los combustibles fósiles. Los ocupantes de los edificios sustentables

son más productivos, más creativos y en general, más sanos.

El proceso del diseño completo del edificio es una estrategia multidisciplinaria que

integra efectivamente todos los aspectos del desarrollo del lugar, diseño del edificio,

construcción y operación, así como tratar de reducir al mínimo el consumo de recursos y los

impactos ambientales.

Una casa con sistemas pasivos diseñada correctamente, no debe considerarse como una

extensión del diseño convencional agregando “muros y ventanas”. Por el contrario, el deseo de

crear una casa que sea atractiva mientras ahorra energía pasivamente, requerirá una

2


consideración sería de algunos principios básicos del diseño solar pasivo y la planificación del

uso de energía (Crosbie, 1997).

Las diferentes estrategias para diseñar y construir una casa pasiva pueden ser

agrupadas en cuatro tipos de sistemas básicos: ganancia directa, muro de almacenamiento

térmico, sistemas de ganancia indirecta y lazo convectivo. Cada uno de estos tipos puede

visualizarse como un ensamble de componentes, donde cada uno desempeña una función

única y todos son requeridos para una operación efectiva del sistema completo.

• Ganancia directa: En este sistema, la habitación es el colector solar, absorbedor de

calor y sistema distribuidor. La pared semitransparente orientada hacia el sur deja

pasar la energía solar a la habitación donde incide directa e indirectamente sobre las

superficies tales como piso y paredes.

• Muro de almacenamiento térmico: Para este sistema, la masa absorbedora se localiza

entre la incidencia solar y la habitación. La masa absorbe la energía solar que incide en

ella y la transmite a la habitación por conducción y convección.

• Sistemas de ganancia indirecta: Este sistema tiene una geometría especial con un techo

y paredes inclinados semitransparentes.

• Lazo convectivo: Este sistema tiene sus componentes separados de la habitación. La

característica de este sistema es que aísla la habitación del sistema de ganancia pasiva.

Existen, de hecho, cuatro temas relacionados con el diseño que influyen en el diseño y

en la construcción de una casa con sistemas pasivos: seleccionar el sistema adecuado,

especificar los componentes, estimar el ahorro de energía y realizar un estudio económico.

• Seleccionar el sistema

Actualmente, mucha de la experiencia de los constructores e investigadores, indica que

cada uno de los sistemas mencionados anteriormente se desempeña mejor y tiende a

3


beneficiar en la economía, si se instala en una región climática en particular. Para definir

estos cuatro tipos de sistemas pasivos, se consideran cuatro tipos de regiones climáticas:

leve, moderada, moderada a severa y severa. Una o más de estas regiones climáticas se

identifican como más apropiadas para cada sistema. Las recomendaciones se pueden

resumir en la Tabla 1.1 (Crosbie, 1997).

Tabla 1.1 Recomendaciones de los sistemas pasivos para diferentes climas.

Sistema Clima apropiado

Ganancia directa Leve a moderado

Muro de almacenamiento térmico Leve a severo

Suspace adjunto Moderado a severo

Lazo convectivo Moderado a severo

Estas recomendaciones sólo son una guía general para seleccionar el sistema, y no deben

reemplazar análisis económicos y energéticos, debido a la experiencia o preferencia

particular. Sin embargo, estas recomendaciones indican, hasta cierto punto, el clima en el

cual, las características de operación del sistema son mejor empleadas.

• Especificar los componentes

Una vez que se selecciona el sistema, es indispensable especificar los elementos que

componen el sistema, es necesaria una selección exacta de los materiales y sus

dimensiones. En la mayoría de los casos, el procedimiento para especificar el material y

su tamaño es simple y sencillo. Para el caso del muro de almacenamiento térmico, se

requiere especificar el componente de almacenamiento, seleccionar el material y el

tamaño.

• Estimar el ahorro de energía

En muchas etapas del proceso de diseño, es útil tener acceso a métodos para el análisis del

diseño y uso de energía, para el propósito de obtener el tamaño de los componentes del

sistema pasivo y estimar el uso de consumo de energía de la casa. Dependiendo de la

complejidad del diseño y de la precisión requerida de los resultados, existen una gran

4


cantidad de métodos para el diseño y el análisis del uso de energía. Estos métodos pueden

ser agrupados en dos categorías reflejando las herramientas utilizadas, el grado de

dificultad, la flexibilidad para evaluar un intervalo de diseño y tipos de materiales, así

como, la presición de los resultados de cada método. Las dos categorías son

procedimientos con manuales y programas computacionales (Crosbie, 1997).

o Procedimientos con manuales

Incluyen métodos mediante los cuales puede ser calculado el uso de energía

utilizando papel y lápiz, y generalmente, gráficas, tablas. Los manuales utilizados

son por lo general códigos simplificados de programas computacionales.

En el proceso de simplificación se pierde un poco de flexibilidad para estimar

características diferentes del edificio, a diferencia de las que permite el programa

computacional. Desafortunadamente, al utilizar estos métodos con manuales, no se

tiene la flexibilidad de variar la dimensión y el tipo de material, y por lo tanto, se

debe esperar que el uso de energía propuesto tendrá un pequeño error si se utilizan

unas dimensiones diferentes a las propuestas en el manual. El programa

computacional a partir del cual se obtuvo el manual, puede permitir al usuario

variar la geometría y material de los componentes, a diferencia del método con

manuales, que solo puede ser utilizado si las características de los componentes

analizados son similares a las consideradas en el manual.

Esta pérdida de flexibilidad puede también prohibir la evaluación de diseños

innovadores. Por lo tanto, los métodos con manuales son aplicables sólo para un

número limitado de casos de diseño, permitiendo sólo valores estimados para

algunos casos geométricos. La mayoría de los métodos son fáciles para

familiarizarse, y un análisis puede tomar desde unos cuantos minutos hasta unas

cuantas horas, dependiendo del método.

o Programas computacionales

Por mucho, los métodos de análisis más flexibles, completos y detallados son los

métodos de programas computacionales. Estos programas calculan, en poco

tiempo, un perfil muy preciso de los patrones de uso de energía para la casa a

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diseñar. Un análisis similar desarrollado con manualmente, llevaría meses de

cálculo. Este alto grado de presicion en el cálculo de energía puede, y de hecho

está, fuera de la proporción con el diseño que se evalúa.

• Realizar un estudio económico

La venta de casas ha sido tradicionalmente una función de una serie de factores, uno de los

más importantes es el precio, específicamente, el costo inicial. Anteriormente, rara vez se

consideraban para la compra de una casa, otros costos asociados con la propiedad,

específicamente, los gastos de servicios. En consecuencia, la mayoría de las decisiones

económicas relacionadas con el diseño, selección de materiales y la planificación, tendían

a estar basados en el enganche. Por mucho, el costo mayor de una casa son las

mensualidades y debido a los bajos costos de la energía, la eficiencia en el consumo

energético era un factor poco considerado en el diseño de una casa.

En la actualidad, auque sigue siendo importante, la función del costo inicial para la toma

de decisiones, está siendo sustituida por un indicador económico capaz de reflejar el

impacto de los costos de la energía. Este indicador combina tanto el costo inicial así como

el costo del consumo de energía en un único valor, denominado, costo mensual total. Este

costo mensual total, incluye tanto los pagos de la casa (abono e intereses) y los costos de

energía.

Como ejemplo se pueden tomar dos casas, una casa sin diseño sustentable con un precio

normal, el cual se paga una parte de enganche y otra mensualmente aunado al consumo de

energía. Y otra casa equivalente, excepto que el diseño es modificado para incorporar

características de sistemas solares pasivos y conservación de energía. Evidentemente, el

costo de esta casa será mayor, pero el costo total mensual será menor que el de la casa

convencional, debido al ahorro en el consumo de energía.

Dentro de estas herramientas, los sistemas solares pasivos proporcionan métodos

sustentables para calefacción, enfriamiento, ventilación y suministro de energía para los

edificios. Basado en un minucioso análisis de las cargas térmicas y las necesidades de energía

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a través de las estaciones del año, estos sistemas se pueden utilizar para sustituir o al menos

reducir el consumo de energía.

Los sistemas solares pasivos dependen del diseño inteligente, de la organización de los

espacios en una casa y de la selección adecuada de los materiales de construcción para obtener

beneficios tanto de calentamiento como de enfriamiento mediante la energía disponible en el

medio ambiente. Estos sistemas dependen de dos propiedades básicas de los materiales: (1) la

habilidad de almacenar grandes cantidades de calor y de transmitirlo lentamente a la

habitación; y (2) la habilidad del vidrio y otros materiales semitransparentes para transmitir la

radiación solar (luz), permaneciendo opacos a la radiación térmica (calor). Cuando un sistema

pasivo deja pasar luz a través de su superficie orientada hacia el sur, esta luz incide en objetos

y superficies dentro de la habitación y es transformada en calor. La ventana previene que una

gran parte de este calor regrese al medio exterior, dado que el vidrio es opaco al calor radiante.

Este fenómeno, conocido como efecto invernadero, será familiar para aquel que ha abierto la

puerta de un carro que ha estado expuesto al sol con las ventanas cerradas en un día de verano.

La razón por la cual el vidrio es utilizado en la arquitectura para aprovechar la energía

solar es la siguiente: si la radiación con longitud de onda corta incide sobre un vidrio, ésta

puede atravesarlo, por lo tanto, el vidrio transmite parte de esta radiación solar, que

posteriormente incidirá sobre una superficie como el suelo, una pared o será absorbida.

Durante este proceso, la radiación es transformada en radiación con longitud de onda larga,

esta radiación de calor es transmitida a la habitación. A diferencia de la radiación con longitud

de onda corta, la radiación con longitud de onda larga no puede atravesar el vidrio,

ocasionando que la habitación se caliente. Muchas herramientas para calentar y ventilar

naturalmente pueden ser obtenidas mediante esta propiedad de transmisión de calor en un solo

sentido que es inherente del vidrio (Knaack, 2007).

Actualmente, la mayoría de la investigación y desarrollo en el área de sistemas solares

pasivos se ha relacionado con proveer calor, más que con enfriar el ambiente. Esto no significa

que un sistema no puede ser adaptado para enfriamiento. Los elementos de almacenamiento

pueden ser utilizados para conservarse a “bajas temperaturas”, y de esta manera absorber el

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calor de la habitación (es decir, enfriarlo) durante días de verano. Por lo general, este

enfriamiento está acompañado con estrategias de ventilación natural.

Algunos sistemas pasivos básicos están compuestos de 5 elementos indispensables:

• Colector: El colector solar está compuesto por un vidrio semitransparente o

translúcido, sellado en un marco y localizado en la pared sur de la casa. La superficie

del vidrio colector puede ser posicionada verticalmente, como una ventana o inclinada,

con una pendiente.

• Absorbedor: El absorbedor es una superficie sólida, por lo general de color oscuro, que

está expuesta a la luz solar que entra a través del vidrio colector. El absorbedor

convierte la radiación solar en calor, el cual es entregado directamente al espacio

interior para su uso inmediato o para transmitirlo a un componente de almacenamiento.

• Almacén: El componente de almacenamiento está constituido por un material o

materiales que tienen la capacidad de almacenar el calor por un período de horas o tal

vez días. La masa del material es una medida importante de su capacidad para

almacenar calor. La baja razón de transferencia de calor del material de

almacenamiento, ayuda a mantener una temperatura confortable y estable en la

habitación calentada. En algunos casos, los materiales de almacenamiento pueden ser

utilizados para almacenar el frío para absorber el calor de la habitación y enfriarla. El

material de almacenamiento está diseñado conforme a la cantidad de calor solar que el

colector está diseñado para proveer y por lo general se localiza en el cuarto a calentar o

enfriar, o adyacente a él. El absorbedor y almacén por lo general son el mismo.

• Distribuidor: El componente distribuidor entrega la energía recibida y/o almacenada

hacia la habitación. La distribución puede ser por medios naturales, como la irradiación

de calor del muro o el movimiento de aire por convección natural, o también puede ser

mejorada mediante bombas pequeñas o ventiladores que transportan el calor del

absorbedor hacia la habitación.

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• Sistema de Control: El sistema de control regula la pérdida o ganancia del calor hacia o

fuera de los sistemas pasivos. Existen básicamente 3 tipos de sistemas de control: (1)

dispositivo para sombreado, el cual reduce la cantidad de radiación permitida para

pasar a través del vidrio colector; (2) reflectores, los cuales aumentan la cantidad de

radiación solar que pasa a través del vidrio colector; (3) aislamiento movible, el cuál

reduce el flujo de calor a través del colector y dentro de la habitación.

En general, todos estos componentes interactúan de la siguiente manera:

• El colector recibe y envía la radiación solar hacia el absorbedor.

• El absorbedor “convierte” la radiación en calor.

• El medio de almacenamiento retiene el calor que no es utilizado inmediatamente.

• El componente de distribución transfiere el calor entre el absorbedor y/o el almacén

hacia la habitación, y finalmente,

• El componente de control reduce la pérdida de calor y aumenta la ganancia de

radiación solar en la temporada de calentamiento y/o cubre al colector durante la

temporada de enfriamiento, reduciendo la ganancia de calor.

En lugares con ocupación periódica, el calentamiento solar pasivo puede ser suficiente

para cumplir con las necesidades de calefacción al interior. Con los sistemas de ganancia solar

directa, el deslumbramiento puede ser problemático. La configuración precisa y la selección

de los materiales apropiados varían para cada uno de los componentes, dependiendo del tipo

de sistema.

El almacenamiento de calor es una herramienta muy útil de los sistemas solares

pasivos, ya que la masa térmica en interiores tiene la capacidad de reducir las oscilaciones de

la temperatura al interior del edificio, a pesar de la variación de la carga térmica interna y la

fluctuación de la temperatura al exterior. Además, puede utilizarse como un componente de

almacenamiento de calor en un sistema pasivo, ya sea de calefacción o enfriamiento. Para la

calefacción, la masa absorberá la radiación solar así como las ganancias de calor internas en

un día soleado, que más tarde re-radiará ese calor almacenado cuando sea necesario. Como

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estrategia de enfriamiento en verano, la masa puede ser enfriada con aire durante la noche,

quedando disponible para absorber el calor durante el día.

Existen dos aplicaciones para la masa absorbedora de calor, un tipo es la calentada

solarmente, la cual está en contacto directo con la luz del Sol, como los pisos y paredes de

almacenamiento térmico. El otro tipo consiste en una masa distribuida en todo el edificio, la

cuál va en contra de la construcción ligera. Para absorber y desechar calor en un ciclo diario,

la masa debe estar expuesta al espacio interior, sin ningún recubrimiento. Las paredes aisladas

al exterior aíslan la masa del medio ambiente y ayudan a mejorar el rendimiento térmico de la

pared.

Dentro de los sistemas de masa térmica calentados solarmente, se encuentra el muro

Trombe o pared de almacenamiento térmico, que consiste de un muro masivo con un espacio

de aire y una superficie de cristal al exterior. El muro recibe calor del sol a través del vidrio y

un recubrimiento negro o alguno seleccionado aumenta la absorción de calor. Este calor se

mueve lentamente a través del muro para calentar el interior de la habitación. El muro Trombe

absorbe el calor durante el día y lo libera a la habitación durante la noche. El muro Trombe es

una herramienta apropiada para suministrar calor en edificios con bajos niveles de control

térmico.

El sistema de muro de almacenamiento térmico es aquel en el que el componente de

almacenamiento es posicionado entre el colector y la habitación. El muro de almacenamiento

generalmente provee soporte a la estructura, además de servir como componente de

almacenamiento en el sistema. Ocasionalmente, estos son utilizados para enfriamiento, el

muro de almacenamiento térmico son básicamente utilizados para satisfacer los

requerimientos para el calentamiento de la habitación. En general, deben ser considerados para

zonas que experimentan de moderados a severos inviernos (Crosbie, 1997).

Los muros de almacenamiento térmico están diseñados principalmente para el

calentamiento de la habitación pero pueden ser utilizados en ciertas condiciones climáticas

para proveer enfriamiento. Para el calentamiento, son eficientes en zonas con inviernos de

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moderados a severos. Para enfriamiento, son mejor adaptados en áreas con altas oscilaciones

de temperatura durante el día.

El colector en un sistema de muro de almacenamiento térmico, es por lo general una

pared semitransparente de vidrio o plástico orientada hacia el sur, localizada directamente

frente al muro que sirve como componente de almacenamiento. Se pueden instalar

componentes aislantes junto al colector en el espacio de aire entre el colector y la pared de

almacenamiento, así mismo se pueden instalar dispositivos de cortina en el exterior.

En un sistema de muro para almacenamiento térmico, la colección, absorción,

almacenamiento y control de la energía solar ocurren fuera de la habitación. El calor es

conducido a la habitación mediante el muro de almacenamiento, el cual por lo general forma

un lado de la habitación. Esta pared puede o no tener ventilas, las cuales pueden colocarse en

la parte inferior y superior. También se pueden integrar ventanas en el muro, las cuales

proveen luz, una mejor vista y un poco de calor mediante ganancia directa. Cabe mencionar

que estas ventanas reducen el área efectiva del muro de almacenamiento.

En la temporada de calentamiento, la radiación solar entra mediante el colector solar y

es absorbida y almacenada en el muro. El muro se calienta, transmitiendo una parte de su calor

a la habitación y otra parte a la columna de aire entre el colector y el muro. Esta columna de

aire puede ser dirigida directamente a la habitación, en este caso, el sistema es denominado

como muro Trombe, o el aire puede permanecer estancado en la parte superior, en este caso es

un muro con estancamiento. En ambos casos, el calor del muro será irradiado hacia la

habitación durante el día y las horas de la tarde. Si es diseñado correctamente, el muro puede

proveer la cantidad de calor adecuada a la habitación durante la noche. Parte del calor

generado en el espacio de aire entre el colector y el muro de almacenamiento es perdido

mediante el vidrio hacia el exterior. Mientras más caliente esté este aire, mayores son las

pérdidas de calor. Estas pérdidas potenciales pueden reducirse al instalar ventilas en la pared

de almacenamiento.

11


Debido a que el aire caliente tiende a subir y el aire frío a bajar, se puede instalar un

sistema natural pasivo para proveer aire caliente a la habitación mediante un sistema con

ventilas. Las ventilas colocadas en la parte superior del muro permiten que el aire, el cual ha

sido calentado en el canal, a fluir de manera natural hacia la habitación adyacente. Las ventilas

en la parte inferior permiten el flujo de aire frío hacia el canal de aire desde la habitación,

creando de esta manera, un lazo para la circulación del aire calentado (termocirculación).

No se requieren dispositivos mecánicos para mover el aire, sin embargo, instalar un

ventilador pequeño puede aumentar la eficiencia del sistema. Se debe tener cuidado para

asegurar que el patrón de circulación no se invierte durante la noche.

En un sistema ventilado, el aire calentado alcanza temperaturas de 32ºC (Crosbie,

1997). La pérdida de este calor reduce consecuentemente la cantidad de calor disponible

almacenado por el muro. Debe considerarse un muro ventilado cuando existen climas fríos, y

se requieren grandes cantidades de calor durante el día y la noche, de esta manera es posible

proveer una determinada cantidad de calor directamente a la habitación.

El muro Trombe se ha usado tradicionalmente para calentamiento de espacio

habitacionales, permitiendo al aire del cuarto entrar por la parte inferior del muro,

calentándose en el colector y regresando a la habitación en la parte superior.

Para calcular el flujo de aire en el colector se requiere la temperatura en el muro y el

vidrio o los flujos de calor correspondientes, que pueden ser conocidos con base a la ganancia

de energía solar, emisividad del vidrio, propiedades del muro, entre otras. Las ventajas del

muro Trombe se presentan a continuación.

El deslumbramiento y la degradación de los materiales por los rayos ultravioleta no

son problema, comparado con los sistemas de ganancia directa.

El tiempo que transcurre entre la absorción de energía solar de la superficie exterior en

la pared y la entrega de calor al interior de la habitación, es suficiente para entregar

este calor cuando es más necesario, es decir, en la noche.

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La masa de almacenamiento térmico necesaria para lograr un nivel deseado de

desempeño térmico se puede proporcionar en un área relativamente pequeña,

concentrada en la habitación.

La temperatura promedio de la irradiación del muro Trombe puede mejorar la

comodidad de la habitación adyacente.

Es por esto que el presente estudio se enfoca en el análisis numérico del

comportamiento de un sistema de muro Trombe, así como de la geometría y material de sus

componentes en los fenómenos de transferencia de calor conjugada al interior de una

habitación. De esta manera se pretende ampliar el conocimiento del comportamiento de los

sistemas pasivos y determinar los parámetros que influyen en la transferencia de calor. A

continuación se presenta la revisión bibliográfica de estudios realizados en sistemas de muro

Trombe así como de sistemas con transferencia de calor conjugada.

1.2 Revisión Bibliográfica

El estudio bibliográfico se realizó dividiendo los trabajos revisados en dos áreas

principales. La primera sección es sobre los estudios en cavidades con Muro Trombe, mientras

que en la segunda se revisan los estudios de Transferencia de Calor Conjugada.

1.2.1 Muro Trombe

En 1979, Akbari y Borgers estudiaron la transferencia de calor por convección natural

en régimen laminar entre las superficies del canal del muro trombe, considerando los perfiles

de velocidad normales y paralelos a la dirección del flujo del fluido, la caída de presión debido

a la aceleración en la entrada del canal y el efecto del perfil uniforme de temperaturas en las

superficies del canal para un amplio intervalo de flujos y temperaturas. Los autores utilizaron

el método de diferencias finitas para resolver las ecuaciones gobernantes en una forma

adimensional, como resultados presentan perfiles de velocidad y temperatura, así como el

número de Nusselt para diferentes valores de flujo volumétrico. Los autores compararon los

datos obtenidos y desarrollaron correlaciones para estimar las características del desempeño

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dado el ancho del canal, altura y la temperatura de las superficies. Finalmente, concluyen que

esta herramienta predice el comportamiento del sistema con un 6% de error.

Posteriormente, en 1984, Borgers y Akbari analizaron el flujo convectivo entre placas

paralelas en régimen turbulento para representar el canal de un muro Trombe. Las

características del flujo turbulento son calculadas mediante el modelo de longitud de mezcla

de Prandtl, el cual incorpora parámetros empíricos encontrados en la literatura. Los autores

consideraron el aire como fluido, para un amplio intervalo de geometrías del canal,

temperaturas relativas de superficie y razones de flujo. Se realizaron simulaciones mediante la

técnica de diferencias finitas y obtuvieron correlaciones para estimar variables importantes

dada la geometría del canal, temperatura de las superficies y la temperatura en la entrada del

flujo de aire. Se analizó un intervalo del número de Grashof de 105 a 109. Los autores

utilizaron la técnica de mínimos cuadrados para desarrollar correlaciones, las cuales proveen

una estimación de variables importantes. Las correlaciones generadas consideran parámetros

como la caída de presión, el número de Nusselt total, así como el flujo de calor a lo largo del

eje de flujo; estas expresiones son algebraicamente diferentes que las obtenidas para flujo

laminar, debido a la presencia del flujo turbulento. Los autores concluyen que este modelo

predice mejor el comportamiento para flujos másicos elevados que el que considera flujo

laminar.

Uno de primeros estudios numéricos de sistemas de calentamiento pasivo que

considera un muro trombe y una habitación es el reportado por Ormiston et al., (1986), éste

considera flujo laminar en dos dimensiones en una cavidad con un sólido interno. Las dos

paredes horizontales y la pared vertical derecha de la cavidad se encuentran aisladas, mientras

que la pared izquierda es una pared semitransparente por donde la irradiancia solar pasa hasta

llegar a la pared absorbedora de longitud H y espesor W. El fluido dentro de la habitación es

aire, el cual recibe energía desde la pared absorbedora en el interior del canal provocando un

incremento en su temperatura, de tal manera que se genera un movimiento ascendente desde el

canal (formado por la pared exterior y el muro trombe) y hacia el interior de la habitación. Las

ecuaciones que gobiernan el sistema fueron escritas en coordenadas ortogonales generalizadas

y para la solución se usó el método de volumen finito. El código numérico implementado fue

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previamente validado con resultados reportados en la literatura. Entre los resultados, se

reportan las líneas de corriente, las isotermas y los números de Nusselt como función del

número de Ra. Los autores concluyen que para la geometría dada, el flujo y la transferencia de

calor se caracterizan por dos números de Rayleigh, uno interno Rai que gobierna la convección

natural en el canal y un externo RaE que gobierna la convección natural entre la habitación y el

canal.

Ben Yedder y Bilgen (1991) estudiaron numéricamente el desempeño de un sistema de

muro Trombe, considerando flujo laminar en dos dimensiones en una cavidad. En el vidrio se

consideró isotérmico y el muro absorbe en totalidad el flujo de calor solar, el cual es

transferido al aire en el canal con un flujo constante mediante convección natural, así como a

la cavidad adyacente mediante convección y conducción. Los autores consideraron tamaños

prácticos para las ventilas y examinaron el efecto de parámetros geométricos, tales como, el

tamaño de las ventilas, la distancia entre el muro y la pared fría, así como el efecto de la

conductividad a través del muro, con gradientes de temperatura entre la pared fría y el vidrio

desde -10 ºC hasta 10 ºC. Se estudió el desempeño térmico del sistema de muro Trombe

incluyendo el colector solar y el cuarto adyacente considerando parámetros geométricos y

condiciones de frontera siguiendo estudios experimentales y aplicaciones prácticas. Se usó el

método de volumen finito en conjunto con el algoritmo SIMPLER para resolver las

ecuaciones gobernantes. Los autores presentan la distribución de temperaturas y los campos de

velocidades, así como el número de Nu y la eficiencia del sistema en función del número de

Ra. Los resultados indican que el ΔT y el número de Ra, son parámetros importantes que

afectan la transferencia de calor.

Smolec y Thomas (1993) realizaron un estudio teórico y experimental de la

transferencia de calor en un sistema de muro Trombe. Analizaron la transferencia de calor

mediante balances globales a lo largo de cuatro zonas del muro Trombe, obteniendo una

relación para el número de Nu, validando los resultados con un modelo real. Dentro de los

resultados, los autores presentaron la comparación numérica y experimental para el cambio de

la temperatura en función del tiempo a lo largo del muro satisfactoriamente y pequeñas

diferencias en la zona del canal. Los autores revelaron que la transferencia de calor en el canal,

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depende de las ventilas interiores, en lugar de las investigaciones de la transferencia de calor

por convección a lo largo de placas verticales, así mismo concluyeron que la dependencia de

la transferencia de calor por convección a lo largo del canal, considerando la distancia entre el

muro y el vidrio, es diferente a la transferencia de calor por convección a lo largo de dos

placas verticales.

Uygur y Egrican (1996) estudiaron numéricamente el problema por convección natural

en régimen turbulento para zonas calentadas pasivamente. Los autores consideraron una

cavidad con un sólido embebido simulando un sistema pasivo de muro Trombe. Para resolver

este problema, los autores desarrollaron un modelo de turbulencia, en el cual trataron de

representar el efecto dominante de las fuerzas de cuerpo, así como la baja turbulencia debido a

las fuerzas de cuerpo y los efectos viscosos. Para el análisis se usó una razón de aspecto de

uno y un número de Ra = 1010, también se consideraron las aproximaciones estándar de

viscosidad/difusividad turbulenta. La técnica de volumen finito fue usada para la

discretización de las ecuaciones gobernantes y el algoritmo SIMPLE fue utilizado para acoplar

las ecuaciones. Los autores presentan isotermas y líneas de corriente. Se concluyó que la

aproximación de Darly Harlow representa mejor los flujos secundarios en la esquina inferior

fría, comparados con la aproximación estándar, mejorando la convergencia computacional y

disminuyendo el tiempo de cómputo.

Mohamad y Sezai estudiaron en 1997 la convección natural en un termosifón con

forma de C, el sistema puede ser considerado como un modelo de muro Trombe, tomaron en

cuenta números de Ra de 103 a 107 y razones de aspecto de 2, 4, 6 y 10, con un número de Pr

fijo de 0.7. Los autores resolvieron este problema mediante el método de volumen finito y

utilizaron el algoritmo SIMPLER para acoplar las ecuaciones. Presentaron números de Nu

locales y promedio para las paredes fría y caliente, también muestran el patrón de flujo y las

isotermas en el espacio de aire entre la pared y el muro. Se concluyó que la razón de

transferencia de calor del muro caliente a la pared fría disminuye significativamente al

aumentar el Ra y que el flujo másico en el termosifón aumenta al incrementar el número de Ra

o la razón de aspecto.

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Buzzoni et al, en 1998 realizaron un análisis energético de sistemas solares pasivos. Se

estudió numéricamente el problema de convección natural relacionado con el uso de un

sistema solar pasivo con el propósito de calentar una habitación. El sistema consistió de una

modificación del sistema de muro Trombe. Los autores consideraron diferencias como el

aislamiento en la pared sur, ductos solares separados por una placa delgada de metal y un

colchón de aire para almacenar calor sobre el techo de la habitación. El problema fue resuelto

mediante el método de diferencias finitas, en el cual se determinó el perfil de temperaturas en

los componentes del sistema y el patrón de flujo en el ducto solar. Se presentan los flujos de

calor, la velocidad promedio del aire y la temperatura promedio en la parte superior del ducto

para cada hora. Los resultados numéricos fueron comparados con datos experimentales

reportados en la literatura, siendo éstos satisfactorios. Se concluyó que este sistema permite

obtener una ganancia de calor remarcable, pero su popularidad es escasa, debido a que

requiere una arquitectura más compleja y una investigación más cara, pero representa una

herramienta pasiva confiable para reducir el consumo de energía en el calentamiento de

habitaciones.

La técnica de la dinámica de fluidos computacionales (CFD-Computational Fluid

Dynamics) para simular el flujo de aire y la transferencia de calor en diferentes sistemas ha

sido muy utilizada durante las últimas décadas gracias al avance sorprendente de las

computadoras. Gan (1998) reportó un estudio numérico de un muro trombe para ventilación de

edificios con recuperación de calor. Se aplicó la técnica de recuperación de calor en edificios

ventilados en forma natural. El programa de CFD fue validado con resultados experimentales

reportados en la literatura bajo condiciones similares. Todas las paredes del canal son opacas y

se calentaron desde 30ºC a 60ºC mediante calentadores eléctricos. Se reporta para todos los

casos una diferencia promedio entre las predicciones teóricas y los valores experimentales de

3.5% y una diferencia máxima de 5.6%. Se observa que la razón de flujo se incrementa

cuando aumenta la temperatura de la pared.

Bohórquez en el 2001 presentó un resumen del muro Trombe, enfatizando en los

aspectos de funcionamiento, así como en los factores importantes en el diseño y construcción,

tomando en cuenta los factores externos tales como el clima, la latitud y la orientación; como

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factores internos consideró al muro, el vidrio, las ventilas, entre otros factores. Así mismo,

también presentó una forma para calcular el rendimiento basado en las pérdidas y ganancias de

calor del espacio, determinación de la temperatura media del interior y variación de la

temperatura del muro, finalizando con las ventajas del muro Trombe.

En el 2002 Tadrari, Abdelbaki y Zrikem estudiaron numéricamente la transferencia de

calor conjugada en un sistema solar de muro trombe. Estudiaron en una cavidad rectangular la

transferencia de calor por conducción, convección natural y radiación, con una pared de vidrio

y un muro masivo absorbiendo la radiación solar, mientras que la otra es isotérmica y las

horizontales adiabáticas. Esta configuración es una representación aproximada del muro

Trombe no ventilado. Los autores estudiaron el efecto del número de Rayleigh en la dirección

e intensidad tanto del flujo como de la transferencia de calor. Los autores obtuvieron

resultados utilizando datos típicos de sistemas de muro Trombe y concluyeron que para un ΔT

de 10 K se presenta un valor crítico de Ra del orden de 1.7x108, por lo que el flujo cambia de

sentido. La transferencia de calor en el muro es prácticamente unidimensional, mientras que

en el fluido es bidimensional. Los mismos resultados mostraron que más del 75% de la

transferencia de calor total se realiza por radiación.

Onbasioglu y Egrican (2002) presentaron los resultados experimentales de las

mediciones simultáneas de temperaturas, velocidades y flujos de calor en un sistema de

calentamiento solar pasivo (muro Trombe). El sistema experimental fue un modelo a escala

representativo de una habitación y la pared considerada como cuerpo almacenador de energía,

en este caso el material usado no tenía la capacidad de almacenamiento. Los parámetros

medidos permiten determinar los parámetros térmicos para caracterizar el sistema, éstos son el

ancho y altura del canal así como también las temperaturas al interior de la habitación. Los

resultados muestran que el enfriamiento nocturno ocurre por la convección natural de la

reversa termo-circulación. Se sugiere que las ventanas de la habitación deberían ser cubiertas

para evitar la termo-circulación durante la noche y reducir las pérdidas de calor.

Ruiz et al. (2005) desarrollaron un modelo numérico para calcular las dimensiones de

los componentes de un muro Trombe y su aplicación como técnica de enfriamiento pasivo. Se

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propuso este sistema como una técnica de ventilación natural para remover el calor en verano

de los edificios mediante un análisis de diferencias finitas. Los autores consideraron diferentes

climas de España y analizaron los resultados mediante la técnica de diferencia de grados día,

también presentaron gráficamente la influencia del modo de operación, la influencia del

vidrio, así como la influencia del aislante y el espesor del muro. Mediante este estudio

paramétrico, se establecieron normas de diseño en función de las condiciones climáticas. Se

concluyó que los diferentes modos de operación del muro Trombe afectan en su

comportamiento térmico, el manejar doble vidrio mejora el desempeño y finalmente, que la

diferencia de grados día es una herramienta satisfactoria para evaluar el desempeño del muro

Trombe.

Recientemente, Hernández et al. (2006) publicaron los resultados del estudio

experimental y numérico de un muro Trombe para ventilar una habitación. El modelo

numérico fue basado en balances globales termodinámicos, el cual permite tener variaciones

del tiempo de las variables ambientales y la radiación solar. Los resultados de temperatura del

modelo teórico fueron validados con los datos experimentales, estas temperaturas fueron

medidas con termistores. La máxima desviación encontrada entre los datos medidos y

determinados teóricamente fue de 5.5ºC, esta diferencia corresponde a la temperatura del

fluido a la salida de la cavidad. Los autores concluyeron que el modelo teórico propuesto

puede ser empleado para conocer el comportamiento térmico de este tipo de sistemas sólo con

definir las características geométricas del sistema y las condiciones ambientales donde el

sistema será usado.

Posteriormente, en el 2007 Burek y Habeb analizaron experimentalmente el flujo de

aire y la eficiencia térmica en chimeneas solares y muros Trombe. El equipo de prueba estaba

compuesto por un canal vertical abierto en la parte inferior y superior, las dimensiones del

canal son 1.02 m de alto y 0.92 m de ancho, la profundidad del canal puede variar desde los 20

mm a 110 mm. Para que asemejara a un colector solar, tenía una cubierta transparente y una

superficie absorbedora pintada de color negro mate. El calor fue suministrado mediante

resistencias eléctricas colocadas justo detrás de la superficie absorbedora. Los autores

consideraron flujos de calor de 200 a 1000 W, con incrementos de 200 W. Se registraron las

19


temperaturas y la velocidad del aire. Los autores concluyeron que el flujo másico está en

función del flujo de calor y de la profundidad del canal. También, se llegó a la conclusión de

que la eficiencia térmica del sistema (como colector solar) está en función del flujo de calor y

es independiente de la profundidad del canal, y que para un sistema práctico, la entrada y

salida se pueden conectar a una habitación mediante ductos.

Shen et al. (2007) estudiaron numéricamente el comportamiento térmico de paredes en

sistemas de muro Trombe clásicos y compuestos. Utilizaron el método de diferencias finitas y

el paquete computacional TRNSYS®, así mismo, compararon los resultados obtenidos para

uno de sus modelos con los obtenidos mediante TRNSYS®. Los autores encontraron un

modelo que se adaptaba a su configuración, obteniendo importantes diferencias en los

resultados, debido a esto realizaron un modelo experimental para comparar las mediciones con

los resultados de TRNSYS®, obteniendo nuevamente diferencias debido a unos coeficientes,

finalmente, crearon un nuevo modelo en TRNSYS® para un muro compuesto, comparándolo

con los resultados numéricos que habían sido validados mediante la experimentación.

Presentan la comparación de resultados obtenidos mediante estos métodos, así como los

resultados entre el muro Trombe clásico y el compuesto. Demostrando que el muro Trombe

compuesto tiene un mejor desempeño térmico en climas fríos y/o nublados, ya que incluye

una capa aislante. Los autores concluyen que TRNSYS® es una herramienta de simulación

que permite estudiar el desempeño y calcular balances de energía en estos tipos de muros

masivos con diferentes condiciones climáticas.

Nwachukwu y Okonkwo (2007) analizaron el recubrimiento absorbedor de calor en la

superficie de la pared de almacenamiento de un sistema de muro Trombe. Se estudió el efecto

de recubrimientos con diferentes absortancias para mejorar la transferencia de calor en la

superficie del muro Trombe. Los autores realizaron un análisis de balances globales,

considerando coeficientes de transferencia de calor entre placas paralelas verticales. El estudio

muestra que se puede mejorar la entrega de calor del muro a la habitación mediante la

aplicación de un recubrimiento con naturaleza superior (alta absortividad y baja emisividad)

en la superficie del muro que recibe calor. Los autores concluyen que la capacidad de

absorción y almacenamiento del muro pueden ser mejorados mediante la aplicación de un

20


recubrimiento de mejor absortancia, siendo esta, una técnica de mejora para la absorción de

calor en la superficie exterior del muro Trombe, elevando de esta manera la razón de entrega

de calor a la habitación.

1.2.2 Transferencia de Calor Conjugada

House et al (1990) estudiaron el efecto de un cuerpo sólido conductor en el centro de una

cavidad con transferencia de calor por conducción en régimen laminar. Los autores

consideraron 3 valores para la razón de conductividades, 0.2, 1.0 y 5.0, así como tres tamaños

adimensionales del cuerpo, 0, 0.5 y 0.9. Se utilizó el promedio armónico para los coeficientes

en la interfase entre los volúmenes de control, obteniendo resultados físicamente reales para

los cambios abruptos en estos coeficientes. Se presentaron resultados para un Pr = 0.71, tales

como líneas de corriente, isotermas y los números de Nusselt. El análisis mostró que el

proceso de flujo de fluido y la transferencia de calor están gobernados por los números de Pr y

Ra, el tamaño del cuerpo y la razón de conductividades del sólido con respecto al fluido.

Huang y Aggarwal (1995) analizaron el efecto de la conducción de calor con

convección natural en una cavidad con una fuente de calor en el centro. Los autores estudiaron

numéricamente los efectos de la conducción de calor en las fronteras sólidas debido a la

transferencia de calor por convección natural en una cavidad rectangular para régimen laminar

en dos dimensiones. La transferencia de calor parte de una fuente de calor a temperatura

constante en el centro de la cavidad. Dentro de los parámetros estudiados se consideraron el

número de Ra, el espesor del muro, la razón de transferencia de calor y la razón de

difusividades. Los autores utilizaron el método del volumen finito en la cavidad y el de

diferencias finitas en el muro, así mismo realizaron un estudio paramétrico para analizar los

efectos de la conducción de calor y la convección natural. Mostrando en los resultados que la

transferencia de calor por convección natural en régimen laminar no es cualitativamente

alterada debido a la conducción en el muro, sin embargo, cuantitativamente los resultados

cambian significativamente por la consideración de la conducción en el muro. Además,

reportan los efectos del cambio de condiciones de frontera al exterior de los muros. Las

correlaciones presentadas para el número de Nu en función del número de Ra, indican que la

21


transición ocurre entre Ra = 104 a 105. Para Ra ≥ 105, la capa límite existe cerca de la fuente

de calor y a lo largo de la parte aislada. Además, para Ra ≥ 106, se pueden observar celdas

secundarias sobre y por debajo de la fuente de calor. El valor preciso del número de Ra para la

presencia de celdas secundarias depende de la razón de conductividades en la pared.

Concluyendo que la conducción en el muro reduce la razón de disipación de la cavidad y que

el número de Nusselt promedio disminuye a medida que se aumenta la razón del espesor de la

pared y/o si la conductividad térmica del muro disminuye, los autores también observaron que

la conducción es el modo de transferencia de calor dominante para bajos números de Ra,

mientras que predomina la convección a medida que el Ra incrementa.

Oh, Ha y Kim (1997) presentaron un estudio numérico de la transferencia de calor

mediante convección natural en una cavidad calentada diferencialmente con un cuerpo

conductor generador de calor, considerando números de Ra de 103 y 104, la relación del

gradiente de temperaturas de 0 a 50, mientras que el número de Pr, la razón de área y la razón

de conductividades, se mantienen constantes a: 0.71 (aire), 0.25 y 1, respectivamente. Se usó

el algoritmo SIMPLE para acoplar las ecuaciones. Los resultados muestran que para el Ra de

103, las isotermas parecen simétricas a lo largo de la línea horizontal para valores pequeños de

la razón del gradiente de temperaturas, y cambia su forma simétrica con respecto a la diagonal

al invertir la razón del gradiente de temperaturas. Debido a que los efectos de la convección

aumentan con respecto al número de Ra, para Ra = 104, las isotermas son asimétricas y

cambian a simétricas a lo largo de la línea vertical. Observando que a medida que la razón del

gradiente de temperaturas se incrementa, el flujo dominado por el gradiente de temperatura a

lo largo de la cavidad, se convierte en el dominado por la fuente de calor. Finalmente, presenta

una relación para el número de Nu en la pared caliente, en función del número de Nu en la

pared fría y de la razón del gradiente de temperatura. Concluyendo que existe un proceso de

transición del flujo dominado por la diferencia de temperatura a través de la cavidad y el

dominado por la fuente de calor.

Sun y Emery (1997) estudiaron numéricamente el efecto de la conducción de calor en

un muro, con fuentes internas de calor y un deflector interno en una cavidad rectangular con

transferencia de calor por convección natural. Este trabajo se realizó para estudiar el

22


comportamiento de un calorímetro experimental en una ventana y de esta manera corregir las

pérdidas del calorímetro. El problema se resolvió por medio del método de volumen finito,

para un amplio intervalo de números de Ra, relaciones de calor interno-externo, relación entre

las conductividades del sólido-fluido y alturas del deflector. La velocidad y la presión se

acoplaron por medio del algoritmo SIMPLE. Para Ra bajos se utilizaron los esquemas híbrido

y QUICKE, mientras que para Ra altos se utilizó el esquema QUICKE de segundo orden. Las

ecuaciones discretizadas se resolvieron iterativamente mediante el método de línea por línea

TDMA. Se utilizó una malla no uniforme, con mayor concentración de los nodos cerca de los

sólidos. Los autores presentaron comparaciones cualitativas y cuantitativas de la influencia de

la transferencia de calor acoplada de convección y conducción. La comparación entre las

predicciones numéricas y las mediciones experimentales, muestran que es inapropiado

especificar condiciones de frontera de primer orden en la superficie de la ventana del

calorímetro y despreciar la conducción a través del deflector, ventana y paredes. Concluyeron

que la transferencia de calor se ve fuertemente influenciada por el efecto del acoplamiento

entre la conducción del deflector, la convección del fluido y la fuerza de la fuente interna de

calor cuando el deflector se localiza cerca de la pared.

Ha, Jung y Kim (1999) realizaron un estudio numérico para la transferencia de calor

por convección natural en una cavidad calentada diferencialmente en estado transitorio, con un

cuerpo conductor generador de calor, los fluidos se consideraron sodio, aire y agua, para los

números de Ra de 103 y 104. Los autores utilizaron la técnica de volumen finito. Se

presentaron isolíneas de corriente e isotermas en función del tiempo adimensional para

diferentes razones del gradiente de temperatura, números de Ra, número de Pr y razón de

conductividades térmicas. Los resultados muestran que al aumentar la razón de

conductividades térmicas, el sistema responde más lento, debido al decremento relativo de la

conductividad térmica del fluido, de esta manera, la temperatura en la cavidad desciende al

aumentar la razón de conductividades térmicas para la misma relación del gradiente de

temperatura. Los autores concluyeron que el flujo del fluido aumenta al incrementar en

número de Ra, aumentado la tasa de transferencia de calor convectivo en la pared fría y

caliente.

23


Das y Reddy (2006) analizaron la transferencia de calor por convección natural

conjugada en una cavidad cuadrada inclinada conteniendo un sólido conductor. Utilizaron el

método de volumen finito, la malla desplazada y el algoritmo SIMPLE, se consideró el

esquema QUICK para los flujos convectivos y el esquema de diferencias centradas para los

flujos difusivos. Mediante la función del promedio armónico, se calcularon las propiedades en

la interfase del sólido/fluido, debido a la variación abrupta. El sistema de ecuaciones fue

resuelto mediante el algoritmo de matriz tridiagonal (TDMA) y el método del falso trasiente.

Se presentaron isotermas e isolíneas de corriente para los números de Ra de 103 a 106,

variando los ángulos de inclinación desde 15º hasta 90º, con incrementos de 15º, y razones de

conductividad térmica del sólido y fluido de 0.2 a 5.0 y una razón de tamaño de cuerpo de 0.5.

Se concluyó que la transferencia de calor para Ra 103 se desarrolla por medio de la

conducción, a medida que el número de Ra aumenta, la convección comienza a predominar.

Zhao, Tang y Liu, (2006) simularon la convección natural conjugada en cavidades con

un sólido interno, considerando fuentes de calor internas y externas. Se analizaron dos casos,

el caso A, que consideraba las paredes horizontales aisladas, la pared izquierda con un flujo de

calor y la derecha isotérmica, y el caso B, con las paredes verticales adiabáticas, la pared

inferior con un flujo de calor y la pared superior a una temperatura constante. Los autores

utilizaron el método de volumen finito y el esquema de diferencias centradas de segundo

orden. Las ecuaciones fueron acopladas mediante el algoritmo SIMPLE, utilizando la función

armónica para las propiedades en la interfase sólido fluido y las ecuaciones discretizadas se

resolvieron de una manera iterativa utilizando el método de línea por línea para la matriz

tridiagonal (TDMA). Se presentaron isotermas e isolíneas de corriente para distintos número

de Ra considerando el caso A y B, también se presentó el número de nusselt, el valor mayor de

temperatura así como el valor absoluto de la función de corriente en función del número de Ra

para los casos A y B. La transferencia de calor se ve mejorada al incrementar el número de Ra.

24


1.3 Conclusión de la Revisión Bibliográfica

Del estudio bibliográfico se concluye que no se encontraron trabajos que realizaran el

análisis de la transferencia de calor conjugada conducción-convección en una cavidad con un

sistema solar pasivo de muro Trombe, considerando la transferencia de calor por conducción

en el vidrio ni en el muro, el intercambio convectivo de la pared semitransparente hacia la

habitación y las pérdidas convectivas y radiativas al medio exterior.

1.4 Objetivos Generales y Particulares

El objetivo de este trabajo es el de realizar el estudio de transferencia de calor

conjugada con flujo laminar en un sistema solar pasivo compuesto por un muro Trombe,

considerando la influencia del medio ambiente a través de las paredes. Se propone en general

estudiar la transferencia de calor conjugada en el sistema conformado por:

ventana - espacio de aire - muro Trombe – habitación

así como estudiar particularmente la conducción a través de la ventana de vidrio, la

convección natural en la habitación y en el canal del muro Trombe, el flujo de calor radiativo

incidente sobre la superficie del muro y la conducción de calor a través del mismo.

1.5 Alcance

Implementar un código numérico para la solución de las ecuaciones de conservación

en flujo laminar y calcular la transferencia calor por convección. Considerando la

implementación del modelo conductivo en la pared semitransparente y en el muro Trombe

para acoplarlo al modelo convectivo junto con el flujo de calor radiativo incidente sobre éste,

y de esta manera determinar los coeficientes de transferencia de calor por convección y

radiación en sistemas compuestos por un muro Trombe.

25

Modelo Físico y Matemático Capítulo 2

CAPÍTULO 2 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO

En este capítulo se describirá el modelo físico del sistema de muro Trombe, el modelo

matemático y las consideraciones para este estudio. Primero se presenta el modelo físico del

sistema de muro Trombe, después el modelo matemático de la transferencia de calor por

convección, conducción a través de una pared opaca, así como para una pared

semitransparente, finalizando con la definición del número de Nusselt.

2.1 Modelo Físico de la Cavidad con Muro Trombe

El sistema de muro Trombe consiste de un colector, un muro masivo y la habitación

(Figura 2.1). La radiación solar que pasa a través del vidrio e incide, calienta la superficie del

muro masivo, entonces el muro es enfriado mediante convección natural por aire en el canal.

El muro pierde un porcentaje del calor solar absorbido hacia el aire que circula a través de las

ventilas a la habitación adyacente. La otra parte del calor es transmitido a la habitación

mediante conducción. El vidrio, el cuál está en contacto con el aire del medio exterior

transmite calor mediante conducción. El cuarto se considera aislado en las superficies superior

e inferior, por lo tanto, se asume que estas superficies son adiabáticas y que el flujo de calor

ganado por la habitación es disipado a través de la otra pared vertical, la cual tiene una

superficie a una temperatura constante.

Al considerar la transferencia de calor mediante convección natural por el aire y

conducción a través del vidrio y del muro masivo, el problema puede ser reducido a una

cavidad con dos superficies horizontales adiabáticas. Dos superficies verticales, una pared

semitransparente conductora de calor sobre la cual incide perpendicularmente un flujo

radiativo y otra a una temperatura constante. La superficie del muro Trombe, el cuál se

considera como un sólido embebido en el fluido, el cual recibe el calor transmitido por el

vidrio. Dependiendo del ancho del canal y ventilas, así como del material y espesor de muro,

se pueden obtener diferentes configuraciones para el análisis de la transferencia de calor. Se

calculará la transferencia de calor por convección al interior de la cavidad, considerando al

canal y a la habitación, el flujo de calor radiativo incidente sobre el muro, la transferencia de

27


calor por conducción a través de la pared semitransparente y del muro, y finalmente, las

pérdidas convectivas y radiativas al exterior de la pared semitransparente.

Irradiación Solar

G=736W/m2

Medio

Exterior

CanalCanalMuro

Trombe

Muro

Trombe

Pared

Fría

Pared

Fría

VidrioVidrio

Tc

Habitación

qconv

HabitaciónHabitación

qconv

qconv-extqconv-ext

qrad-extqrad-ext

To

ρG

τG

αG

qcondqcond

qcondqcond

Hx

HyHy

bb

ss

dd

Hxg

qconv-intqconv-int

x

y

Figura 2.1 Modelo Físico del sistema de muro Trombe

Los parámetros geométricos son tomados con base en las aplicaciones del sistema de

muro Trombe: razón de aspecto A = Hy/Hx = 1.0, razón de ancho de canal

s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de alto de ventilas b = s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de

espesor de muro d = 1/30, 1/15, 1/10, 2/15 y 1/6 de Hx. Los parámetros térmicos son Ra de

105 a 107 y razones de conductividad λrazón = λmuro / λ = 18.5 (correspondiente a un muro de

adobe) y 68 (correspondiente a un muro de concreto).

28


2.2 Modelo Matemático Convectivo de la Cavidad con Muro Trombe

A continuación se resumirán las ecuaciones gobernantes para el análisis de la

transferencia de calor por convección en la cavidad del sistema solar pasivo de muro Trombe.

2.2.1 Ecuaciones Gobernantes

Las ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos, representan principios matemáticos de

las leyes de conservación de la física, las cuales son las siguientes:

· La masa de un fluido se conserva (Principio de Conservación de Masa).

· La razón de cambio de cantidad de movimiento corresponde a la suma de las fuerzas

sobre una partícula de fluido (Segunda Ley de Newton).

· La razón de cambio de energía es igual a la suma de la razón de calor adicional y la

razón de trabajo realizado sobre una partícula de fluido (Primera Ley de la

Termodinámica).

Ecuación de Conservación de Masa

La masa no se crea ni se destruye, sólo se transforma. Este principio es básico en el

estudio del movimiento de fluidos. Esta ecuación es obtenida mediante un balance, donde la

razón de incremento de masa es igual a la razón neta de flujo de masa, es decir, el incremento

de masa dentro de un volumen de control, debe ser igual al flujo de masa saliente a través de

las superficies del volumen de control, la ecuación de continuidad queda de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+∂

∂+∂

∂+∂∂

zw

yv

xu

tρρρρ (2.1)

Ecuación de Conservación de Cantidad de Movimiento

Esta ecuación está basada en la Segunda Ley de Newton, la cual establece que la razón

de cambio de cantidad de movimiento de un volumen de control, corresponde a la suma de

fuerzas sobre ese volumen de control. Estas fuerzas son: de superficie (presión y viscosas) y

29


de cuerpo (gravitacional, centrífuga, coriolis y electromagnética). Las primeras actúan sobre la

superficie del volumen de control y las segundas sobre la masa del volumen de control.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

zxyxxx Szyxx

Pz

uwy

uvx

uutu

+∂

∂+∂

∂+

∂∂+

∂∂−=

∂⋅∂+

∂⋅∂+

∂⋅∂+

∂∂ τττρρρρ (2.2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y

zyyyxy Szyxy

Pz

vwy

vvx

vutv

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂−=

∂⋅∂+

∂⋅∂+

∂⋅∂+


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

zzyzxz Szyxz

Pz

wwy

wvx

wutw

+∂

∂+∂

∂+

∂∂+

∂∂−=

∂⋅∂+

∂⋅∂+

∂⋅∂+


Ecuación de Conservación de Energía

Esta ecuación es derivada a partir de la primera ley de la termodinámica, la cual

enuncia que la razón de cambio de la energía de una partícula de fluido es igual a la razón de

calor adicionado al volumen de control. De esta forma, se obtiene la ecuación de conservación

de energía.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyxzzyzxzzyyyxy

zxyxxx

SSSz

wy

wx

wz

vy

vx

v

zu

yu

xu

zPw

yPv

xPu

zwE

yvE

xEu

tE

+++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂+

∂∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+∂

∂+

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

ττττττ

τττρρρρ

(2.5)

2.2.2 Consideraciones a las Ecuaciones Gobernantes

Para este estudio, existen términos de las ecuaciones gobernantes que no son

representativos, y pueden despreciarse. Las simplificaciones consideradas en este trabajo, se

describen a continuación.

1) Flujo incompresible: En este caso, el flujo se considera incompresible, esto no significa

que la densidad sea constante, sino que está sólo en función de la temperatura. En el

caso de los líquidos, la compresibilidad puede despreciarse, en cambio para los gases,

se desprecia sólo si el número de Match está por debajo de 0.3. De esta manera, tales

flujos pueden considerarse incompresibles.

30


2) Aproximación de Boussinesq: Cuando un fluido está acompañado por la transferencia

de calor, las propiedades del fluido están en función de la temperatura. Estos cambios

por más pequeños que sean, pueden ocasionar el movimiento del fluido. Si la densidad

no cambia significativamente, se puede considerar constante en los términos

transitorios y convectivos, tomándola en cuenta como variable únicamente en el

término gravitacional. Esta consideración es la aproximación de Boussinesq. Por lo

general, se considera que la densidad varía linealmente con la temperatura, sólo si se

incluye el efecto de la fuerza de cuerpo en dirección vertical, sobre la densidad media

en el término de presión. El término restante puede expresarse como sigue:

( ) ( )∞∞ −≈− TTgβρρ (2.6)

donde β es el coeficiente de expansión térmica.

3) Fluido Newtoniano: Un fluido Newtoniano es considerado aquel en el que los

esfuerzos viscosos son proporcionales a las razones de deformación. En la forma

tridimensional de la ley de viscosidad de Newton para flujos compresibles, se

encuentran dos constantes de proporcionalidad: a) la viscosidad dinámica, μ, para

relacionar los esfuerzos con las deformaciones lineales, y b) la viscosidad, ζ, para

relacionar los esfuerzos con la deformación volumétrica. Los esfuerzos viscosos tienen

nueve componentes, donde seis son independientes y se muestran a continuación:

Uxu

xx ⋅∇+∂∂

= ζμτ 2 Uyv

yy ⋅∇+∂∂

= ζμτ 2 Uzw

zz ⋅∇+∂∂

= ζμτ 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==xv

yu

yxxy μττ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

==xw

zu

zxxz μττ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==yw

zv

zyyz μττ

(2.7)

El efecto de la viscosidad ζ es pequeño, y está definido por 3/2μζ −= . Cuando el

fluido se considera incompresible, el término 0=⋅∇ U . Entonces, al sustituir los

esfuerzos (2.7) en las ecuaciones de cantidad de movimiento, se obtiene una forma más

útil para el desarrollo del método de volumen finito. Las ecuaciones obtenidas para el

flujo laminar, se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes.

31


4) Difusión viscosa despreciable: este término está representado por ( )U∇⋅τ en la

ecuación de energía. Este término influye sólo sobre la temperatura o la energía

interna, y únicamente se aprecia en sistemas con flujos de alta velocidad, en los cuales,

los gradientes de velocidad son grandes. Por lo tanto, puede despreciarse para flujos

con bajas velocidades, como es el caso en este trabajo de investigación.

5) Fluido no-participante: El aire se considera un medio no-participante, debido a que los

efectos de la radiación (emitancia, absortancia, dispersión, etc.) no influyen sobre él, el

aire es un medio transparente a la radiación. Esto es válido si se considera aire a bajas

temperaturas y con bajo contenido de humedad.

6) Efecto bidimensional: La transferencia de calor y el flujo del fluido en el sistema se

consideran sólo en dos dimensiones, ya que la tercera dimensión se asume muy larga, y

de esta forma, es válido que un corte transversal alejado de los extremos proporcione

información correspondiente al comportamiento del sistema.

7) Estado permanente: En este estudio solo interesa conocer el estado final del sistema

(muro Trombe) y no sus etapas durante el tiempo.

Al aplicar estas simplificaciones, considerando las propiedades constantes y las fuerzas

de cuerpo sólo en dirección “y”, en la ecuación de masa, las ecuaciones de Navier Stokes y la

ecuación de energía (temperatura), las ecuaciones de Navier Stokes simplificadas para flujo

laminar se escriben como sigue:

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂∂

yv

xu

tρρρ (2.8)

( ) ( ) ( )xP

yu

yxu

xyuv

xuu

tu

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂ μμρρρ (2.9)

( ) ( ) ( ) ( )∞−+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂ TTgyP

yv

yxv

xyvv

xuv

tv βρμμρρρ (2.10)

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂yT

CyxT

CxyvT

xuT

tT

pp

λλρρρ (2.11)

32


Para el caso de la región sólida embebida en la cavidad la ecuación de energía se reduce a la

ecuación (2.12):

( ) ( ) ( )g

ppS

yT

CyxT

CxyvT

xuT

tT

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂ λλρρρ (2.12)

donde:

pg C

GS τ= es el término de generación de calor, considerado como el flujo de calor transmitido

por el vidrio al interior del sistema, el cual se consideró absorbido en su totalidad por la

superficie del muro.

2.2.3 Condiciones de Frontera del modelo convectivo

Las condiciones de frontera para las velocidades son de no deslizamiento, en todas las

paredes, esto es:

( ) ( ) 0,, =+= yHxHxuyHxu gg para 0 ≤ y ≤ Hy

( ) ( ) 0,0, == Hyxuxu para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx

( ) ( ) 0,, =+= yHxHxvyHxv gg para 0 ≤ y ≤ Hy

( ) ( ) 0,0, == Hyxvxv para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx

Las condiciones de frontera para la temperatura en las paredes verticales son:

( ) ( )x

yHxTx

yHxT gggg ∂

∂=

∂

∂−

,,λλ en x = Hxg para 0 ≤ y ≤ Hy

T = TC en x = Hx+ Hxg para 0 ≤ y ≤ Hy

y para las paredes horizontales :

0=∂∂

yT en y = 0 para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx

0=∂∂

yT en y = Hy para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx

33


En la sección del sólido interno sólo se considera la transferencia de calor por

conducción, ya que las velocidades son cero en todo el dominio de esta sección, así mismo se

consideran las propiedades termofísicas del sólido.

Para la zona del sólido:

Hxg + s ≤ x ≤ Hxg + s + d

b ≤ y ≤ Hy − b

Las velocidades son:

( ) 0, =yxu

( ) 0, =yxv

Y la temperatura en la interfase del sólido con el fluido:

airemuro xT

xT

∂∂

=∂∂ λλ

2.3 Modelo Matemático de la Transferencia de Calor por Conducción a Través de una

Pared Semitransparente

Para determinar el perfil de temperaturas en el vidrio (pared semitransparente), se

utiliza la ecuación de conducción de calor, considerando la transferencia de calor

bidimensional junto con la función de atenuación de energía, asumiendo el flujo de calor

incidente normal a la superficie. A continuación se muestra la ecuación gobernante.

2.3.1 Ecuación gobernante

La distribución de temperaturas al interior y al exterior de una pared semitransparente,

es obtenida mediante la ecuación de conducción de calor considerando la función de

atenuación por absorción y dispersión, la ecuación de transferencia de calor a través de un

elemento diferencial de una pared semitransparente, está dada como:

34


( )dxd

CyT

CyxT

CxtT

gp

g

gp

gg

gp

ggg Θ+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂∂

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂∂

=∂

∂ 1λλρ (2.13)

donde Θ es la función de atenuación de energía por absorción y dispersión, y depende del

coeficiente de extinción del vidrio (sg) como (Modest, 1993):

( ) ( )[ ]xHxsGx gg −−=Θ exp (2.14)

Para este modelo, se considera la irradiación solar incidente en forma normal al vidrio, con un

valor constante de un AM2 (736 W/m2).

Tabla 2.1 Propiedades ópticas y termofísicas

de un vidrio de 6mm

Vidrio (6mm) α*

g = 0.14 τ*g = 0.78 ρ*

g = 0.08 ε*

g = 0.85

λ*g = 1.4 W/m⋅K

Cp*g = 750 J/kg⋅K

ρ*g = 2500 kg/m3

El valor para el coeficiente de transferencia de calor por convección es otra

consideración, el cual se toma de 6.8 W/m2⋅K para una velocidad de 3 m/s en el exterior a

temperatura ambiente (ASHRAE, 1977).

2.3.2 Condiciones de Frontera del modelo conductivo

Las condiciones de frontera son: paredes horizontales (superior e inferior) adiabáticas

y las paredes verticales se encuentran intercambiando energía por convección y radiación

hacia el exterior del sistema, así como por convección al interior. Las condiciones de frontera

se pueden escribir para la temperatura en las paredes verticales como:

35


( ) ( )[ ] ( )[ ]44,0,0,0

ogogog

g TyTTyThx

yT−−−−=

∂

∂σελ en xg = 0 para 0 ≤ y ≤ Hy

( ) ( )x

yHxTx

yHxT gggg ∂

∂=

∂

∂−

,,λλ en xg = Hxg para 0 ≤ y ≤ Hy

y para las paredes horizontales :

0=∂

∂

yTg en y = 0 para 0 ≤ xg ≤ Hxg

0=∂

∂

yTg en y = Hy para 0 ≤ xg ≤ Hxg

2.4 Eficiencia térmica del sistema

Conocer el valor de la eficiencia de un sistema térmico permite seleccionar el sistema

óptimo con las características que presenten un mejor desempeño térmico. Ben Yedder et al.

(1991) definen la eficiencia de un sistema de muro Trombe en función de los flujos de calor en

la pared fría y el flujo de calor incidente sobre el muro, esta expresión está dada por:

τη

QQ

= (2.15)

donde:

Q = Flujo de calor en la pared fría

τQ = Flujo de calor transmitido a través del vidrio

η = Eficiencia térmica del sistema de muro Trombe

En la Sección 5.4 se analiza la eficiencia del muro Trombe en función del efecto del

espesor y tipo de muro, para todos los casos estudiados del muro de adobe y concreto.

También se muestra la eficiencia en función del ancho del canal para cada espesor de muro de

adobe y concreto, para los números Ra estudiados.

36


2.5 Número de Nusselt

El número de Nusselt es útil para cuantificar la transferencia de calor total del sistema,

está definido como la razón de cantidad de transferencia de calor por convección con respecto

a un flujo de calor de referencia (Oosthuizen y Naylor, 1999).

refqqNu = (2.16)

donde qref es el flujo de calor por conducción a través de la cavidad:

HxTTqref

24 −= λ (2.17)

donde T4= Temperatura promedio en la superficie interior de la pared semitransparente y

T2= Temperatura promedio de la pared vertical derecha de la cavidad.

El flujo de calor q se considera como la transferencia de calor al sistema desde la superficie

interior de la pared semitransparente,

( )gHxxx

yxTq=∂

∂=

,λ (2.18)

así como en la superficie de la pared fría.

( )HxHxx g

xyxTq

+=∂∂

=,λ (2.19)

2.6 Conclusiones

El modelo físico utilizado asemeja un sistema de muro Trombe, el cual considera la

transferencia de calor por convección en la habitación y en el canal, la transferencia por

conducción en la pared semitransparte y en el muro interno, así como también se toman en

cuenta las pérdidas convectivas y radiativas de la pared semitransparente hacia el medio

exterior. Las ecuaciones gobernantes de los modelos matemáticos convectivo y conductivo,

con sus respectivas condiciones de frontera, predicen de una manera satisfactoria el fenómeno.

Cabe resaltar que para simplificar estas ecuaciones gobernantes se tomaron diferentes

37


consideraciones, tales como, flujo incompresible, la aproximación de Boussinesq, fluido

newtoniano, difusión viscosa despreciable y fluido no-participante. La eficiencia del sistema

permite seleccionar una configuración óptima y finalmente, el número de Nusselt presentado

es útil para cuantificar la transferencia de calor total del sistema.

38

Metodología de Solución Capítulo 3 CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN

En esta Sección se presentan los métodos para la solución de las ecuaciones de

conservación, la ecuación de convección-difusión así como sus equivalencias con las

ecuaciones gobernantes, también se presenta la discretización de la ecuación de convención-

difusión de la variable φ, para llegar a una notación de coeficientes agrupados. Finalmente, se

describen de manera general los esquemas numéricos empleados.

3.1 Métodos de Solución de las Ecuaciones de Conservación

El resolver numéricamente una ecuación diferencial consiste en obtener un conjunto de

números, de los cuales se puede adquirir la distribución de la variable dependiente.

Mediante el método numérico, los valores de las variables dependientes son tratados

como variables principales, éstos se consideran en un número finito de posiciones (nodos de

malla) en el dominio de cálculo. El método tiene como fin transformar el conjunto de

ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones algebraicas, para las cuales pueden ser

resueltas mediante un algoritmo.

Las ecuaciones discretizadas, derivadas de las ecuaciones diferenciales, pueden

obtenerse mediante diferentes métodos como lo son:

Método de Diferencias Finitas (MDF),

Método de Volumen Finito (MVF) y

Método de Elemento Finito (MEF), entre otros.

3.2 Método de Volumen Finito

El método de volumen finito fue originalmente desarrollado como una forma especial

de la formulación de diferencias finitas. Utiliza la forma integral de las ecuaciones de

conservación, mientras que el dominio de estudio es dividido en un número finito de

39

Metodología de Solución Capítulo 3 volúmenes de control contiguos, en los cuales se aplican estas ecuaciones de conservación.

Dentro de cada volumen de control, en su centro se encuentra un nodo computacional, en el

que las variables son calculadas. Para expresar los valores de las variables en la superficie de

los volúmenes de control, es necesario utilizar algún tipo de interpolación.

Debido a que se utiliza algún tipo de fórmula de cuadratura para las integrales de

superficie, éstas se consideran aproximadas. Como resultado, mediante este método se obtiene

una ecuación algebraica para cada volumen de control, la cual considera los valores de los

nodos vecinos.

Este método puede utilizarse para cualquier tipo de malla, inclusive en geometrías

complejas, ya que la malla sólo define las fronteras de los volúmenes de control. El método es

conservativo por construcción, es decir, las propiedades relevantes se cumplen por

conservación para cada volumen de control, de esta manera, las integrales de superficie

utilizadas para representar flujos convectivos y difusivos, son las mismas para las interfases

(fronteras) de los volúmenes de control contiguos. La aproximación del método de volumen

finito es tal vez la más sencilla para entender y programar, debido a que todos los términos que

requieren ser aproximados, lo hacen mediante un significado físico.

Los pasos para desarrollar un algoritmo utilizando el método de volumen finito son los

siguientes:

· Integrar las ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos sobre todos los volúmenes de

control del dominio de solución.

· Discretizar las aproximaciones finitas en los términos de las ecuaciones integradas, ya

que representan procesos, tales como: convección, difusión y fuentes. De esta forma,

se convierten las ecuaciones integrales en un sistema de ecuaciones algebraicas.

· Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas mediante un método iterativo.

Dado que los fenómenos físicos de la vida cotidiana son complejos y no lineales,

pueden ser resueltos mediante aproximaciones iterativas. El procedimiento más utilizado para

ligar la presión y la velocidad de una manera efectiva, es el algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit

Method Linking Pressure Equations), mientras que para resolver sistemas de ecuaciones

40

Metodología de Solución Capítulo 3 algebraicas, el método más común es el de línea por línea (LBL) (Versteeg y Malalasekera,

1995).

3.3 Ecuación Generalizada de Convección-Difusión

A continuación se presenta la ecuación de convección-difusión y la forma en la que

ésta se relaciona con las ecuaciones gobernantes. Se desarrolla la discretización de esta

ecuación con la variable general φ, para de llegar a una notación de coeficientes agrupados.

Asimismo, se describen en forma general los esquemas numéricos empleados.

3.3.1 Ecuación de Convección-Difusión

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan los procesos en este estudio, pueden

compactarse en una única expresión, denominada ecuación generalizada de

convección-difusión. Mediante esta ecuación se pueden representar las diferentes ecuaciones

bajo un principio de conservación de masa, cantidad de movimiento, etc.

Patankar (1980) presenta la ecuación generalizada que representa las ecuaciones de

conservación como:

( ) ( ) Sxx

uxt jj

jj

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Γ∂∂

=∂∂

+∂

∂ φφρρφ (3.1)

La ecuación (3.1) está compuesta por cuatro términos, de izquierda a derecha, el

primer término representa la acumulación de la variable φ en el volumen de control (término

transitorio), el segundo término representa el flujo neto de φ en el volumen diferencial,

ocasionado por el transporte de φ debido a los movimientos convectivos (término convectivo),

el tercer término representa el flujo neto de φ en el volumen de control debido a las corrientes

difusivas (término difusivo) y el último término representa a la generación de la variable φ en

el interior del volumen de control (término fuente). Este último término agrupa a todos los

coeficientes que no se pueden agregar en los términos transitorio, convectivo y difusivo.

41

Metodología de Solución Capítulo 3

Debido a que la ecuación generalizada es útil para las ecuaciones de conservación de

masa, momento y energía, éstas pueden expresarse en términos generales de φ, Γ y S. La Tabla

3.1 muestra las equivalencias de los términos, respecto a la ecuación generalizada.

Tabla 3.1 Equivalencias de la formulación generalizada.

Ecuación de

conservación φ Γ S

Masa 1 0 0

Momento en x

u μ

xP∂∂

−

Momento en y

v μ ( )oTTg

yP

−+∂∂

− βρ

Energía

T PCλ

0

3.3.2 Integración de la Ecuación Generalizada

En la Figura 3.1 se muestra un volumen de control sobre una malla cartesiana

bidimensional, la cual es utilizada para discretizar la ecuación generalizada. Esta Figura

representa un volumen de control numérico de la malla espacial y está relacionado con sus

nodos vecinos: norte (N), sur (S), este (E) y oeste (W) por los flujos Ji.

42


Δy

Δx

S

N

EW

y

x

(δy)s

(δy)n

(δx)w (δx)e

n

s

w eP

Js

Jn

Je

Jw

ΔyΔy

ΔxΔx

S

N

EW

y

x

y

x

(δy)s

(δy)n

(δy)s

(δy)n

(δx)w (δx)e(δx)w (δx)e

n

s

w eP

Js

Jn

Je

Jw

Figura 3.1 Volumen de control sobre una malla bidimensional.

Esta ecuación generalizada al escribirse en 2D para coordenadas cartesianas queda

como:

( ) ( ) ( ) Syyxx

vy

uxt

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂

∂ φφφρφρρφ (3.2)

Al integrar espacialmente la ecuación (3.2) sobre los límites geométricos (fronteras)

del volumen de control, se obtiene:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =Δ−+Δ−+ΔΔ∂

∂ xvvyuuyxt snwe φρφρφρφρρφ

____)(

yxSxyy

yxx snwe

ΔΔ+Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ+Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ__φφφφ

(3.3)

De la ecuación anterior cabe mencionar que los términos (ρφ), (ρuφ), etc. son términos

promedios representados para todo el volumen de control, así como de la salida o de la entrada

del mismo. De este modo, existe un pequeño error, puesto que se consideran distribuciones

uniformes en todo el volumen de control, también en las fronteras existe un error en la

aproximación espacial, el cual tiende a minimizarse a medida de que el tamaño de los

volúmenes de control se hace más pequeño.

La ecuación (3.3) no está integrada en el tiempo, para considerar la variación de las φ’s

en el tiempo de t(n) a t+Δt (n+1), se hace uso de la siguiente expresión:

43


( )[ tffdt nntt

t

Δ−+= +Δ+

∫ φφφ 11 ] (3.4)

donde:

si se tiene el esquema explicito 0.0=f

si se tiene el esquema Crank-Nicolson 5.0=f

si se tiene el esquema implícito 0.1=f

(3.5)

debido que se considera , el resultado de la integración temporal de la ecuación (3.3) en

el volumen de control es:

0.1=f

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =Δ−+Δ−+ΔΔΔ− ++++

+

xvvyuuyxt

ns

nn

nw

ne

nP

nP 1111

1

φρφρφρφρρφρφ

yxSxyy

yxx

nn

s

n

n

n

w

n

e

ΔΔ+Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ+Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ +++++

11111 φφφφ

(3.6)

Para simplificar esta ecuación (3.6), se definen los siguientes términos que ayudan a

compactar la ecuación, donde los flujos convectivos a través de las caras del volumen de

control son:

xvFxvFyuF

yuF

ss

nn

ww

ee

Δ=Δ=Δ=Δ=

)()()()(

ρρρρ

(3.7)

Términos difusivos en las caras del volumen de control:

xy

D

xy

D

yx

D

yx

D

s

ss

n

nn

w

ww

e

ee

ΔΓ

=

ΔΓ

=

ΔΓ

=

ΔΓ

=

)(

)(

)(

)(

δ

δ

δ

δ

(3.8)

44

Metodología de Solución Capítulo 3 Números de Peclet:

sss

nnn

www

eee

DFPeDFPeDFPe

DFPe

====

(3.9)

Así como los flujos totales a través de las caras de los volúmenes de control (flujos

convectivos más flujos difusivos):

( )

( )

( )

( ) xy

vJ

xy

vJ

yx

UJ

yx

UJ

sss

nnn

www

eee

Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ−=

Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Γ−=

Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ−=

Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ−=

φφρ

φφρ

φφρ

φφρ

(3.10)

Al sustituir la ecuación (3.10) en la ecuación (3.6) y tomando n = 0, se obtiene la

siguiente expresión como:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) yxSJJJJyxt snwe

PP ΔΔ=−+−+ΔΔΔ− 0ρφρφ (3.11)

El término fuente S puede ser dependiente de la variable φ, por lo tanto, para

considerar esta situación, debe separarse en dos partes. Una parte que será dependiente de la

variable φ y la otra, que no dependerá de la variable φ directamente.

Quedando este término como:

PPC SSS φ+= (3.12)

Donde el término SC es el que no depende de la variable φ directamente. Considerando esto, la

ecuación (3.11) se expresa como:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) yxSSJJJJyxt PPCsnwe

PP ΔΔ+=−+−+ΔΔΔ− φρφρφ 0

(3.13)

En particular, para la ecuación de conservación de masa (continuidad), la ecuación

(3.13) se reduce a:

( ) ( ) ( ) 00

=−+−+ΔΔΔ−

snwePP FFFFyx

tρρ (3.14)

45


El principio de continuidad se debe introducir en la discretización de la ecuación de

convección-difusión ya que puede mejorar la convergencia. De esta forma, se cumple con el

principio de continuidad en la solución final obtenida mediante el proceso iterativo.

Multiplicando la ecuación (3.14) por φP y restando la ecuación resultante a la ecuación

(3.13), se obtiene finalmente la ecuación discretizada que se utiliza para el sistema de

ecuaciones.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ([ ] =−−−+−−−+ΔΔΔ

− PssPnnPwwPeeP

PP FJFJFJFJyxt

φφφφρφφ0

0

( ) yxSS PPC ΔΔ+

)

φ (3.15)

La formulación del esquema generalizado (Patankar, 1980) es utilizada para convertir

la ecuación discreta en una notación de coeficientes agrupados, ésta expresa la variable de un

nodo P en función de la variable de los nodos vecinos N, S, E, W y en función de otros

parámetros que engloban al término fuente.

( ) (( ) (( ) (( ) ( PSSPss

NPNPnn

PWWPww

EPEPee

aFJaFJaFJ

aFJ

φφφφφφφφφ))))

φφφ

−=−−=−−=−

−=−

(3.16)

La ecuación de convección (ecuación generalizada) en notación de coeficientes

agrupados, al sustituir la ecuación (3.16) en la ecuación (3.15) queda como:

baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ (3.17a)

o también como:

baa vecinosvecinosvecinos

PP += ∑ φφ (3.17b)

donde:

( ) [ ]0,max eeeE FPeADa −+= (3.18)

( ) [ ]0,max wwwW FPeADa += (3.19)

( ) [ ]0,max nnnN FPeADa −+= (3.20)

( ) [ ]0,max sssS FPeADa += (3.21)

46


yxStyxaaaaa PPSNWEP ΔΔ−

ΔΔΔ

++++= 0ρ (3.22)

yxStyxb CPP ΔΔ+

ΔΔΔ

= 00 φρ (3.23)

La función A(|Pe|) es una función dependiente del esquema de aproximación utilizado,

los cuales se describirán en la siguiente Sección. La diferencia entre los esquemas de

aproximación es básicamente la manera obtener el valor de la variable en las fronteras de los

volúmenes de control.

3.3.3 Esquemas numéricos

Una incógnita en todas las ecuaciones obtenidas es el valor de las variables en las caras

de los volúmenes de control, debido a que mediante estos valores se obtienen los flujos y así

los coeficientes necesarios para resolver las variables en el punto P.

Los puntos que contienen la información en el caso de 2D son: P, N, S, E y W, y se

desconocen los valores en la frontera de los volúmenes de control. En el método del volumen

finito, es muy importante conocer el valor de las variables en las caras de los volúmenes de

control, puesto que la convergencia del algoritmo y la precisión de los resultados dependen del

cálculo de la variable en la interface del volumen de control.

Para determinar los flujos totales a través de las caras de los volúmenes de control,

ecuación (3.10), se muestra que es indispensable conocer los flujos convectivos y difusivos.

Existen diferentes esquemas de aproximación, la diferencia entre ellos radica en la selección

del tipo de aproximación para los términos convectivos; debido a que para aproximar el

gradiente difusivo, se recomienda utilizar una diferencia centrada. Está demostrado

analíticamente que la mejor aproximación para los términos difusivos es una diferencia

centrada (Versteeg y Malalasekera, 1995). Por otra parte, las aproximaciones utilizadas en los

términos convectivos son más complejas y dependiendo del tipo de aproximación utilizado, se

pueden llegar a tener problemas con la convergencia o hasta soluciones irreales o ilógicas.

47


Los esquemas de aproximación de bajo orden, son aquellos que hacen más simple la

formulación, relacionan directamente los valores de las variables en las caras de los volúmenes

de control con los puntos nodales más cercanos a su alrededor (N, S, E, W). Estos esquemas

siempre utilizan uno o dos puntos nodales para aproximar el valor en la interfase del volumen

de control. Los esquemas de bajo orden más conocidos son:

a) Esquema de corriente arriba (upwind scheme): Este esquema aproxima el valor de la

variable en la frontera del volumen de control con el valor inmediato próximo a la frontera,

dependiendo del sentido de la velocidad. El esquema de corriente arriba presenta

resultados aceptables físicamente, pero con baja precisión. Para obtener mejores resultados

es recomendable utilizar una malla más densa.

b) Esquema centrado (central difference scheme): El esquema centrado utiliza el promedio de

los dos valores nodales próximos a la interface, para aproximar la variable. Este esquema

funciona bien para problemas de bajas velocidades, pero no es recomendable para

situaciones altamente convectivas, ya que carece en la representación adecuada del

transporte convectivo de las propiedades.

c) Esquema híbrido (hybrid scheme): El esquema híbrido combina las características del

esquema centrado y del esquema corriente arriba. Utiliza el esquema centrado cuando se

presentan velocidades bajas y cuando las velocidades son altas, se utilizan las

características del esquema corriente arriba.

d) Esquema exponencial (exponential scheme): El esquema exponencial está basado en la

solución analítica unidimensional, considerando propiedades constantes y estado

permanente. Este esquema funciona bien en problemas de una dimensión, pero implica

mucho tiempo de cómputo, debido a que el cálculo del exponente puede ocasionar

problemas. No es recomendable en problemas multidimensionales.

e) Esquema de ley de potencia (power law scheme): El esquema de ley de potencia es una

variación del esquema híbrido con base al esquema exponencial, este esquema provee una

precisión en los resultados similar al esquema exponencial, pero favorece a la

convergencia.

48


La integración de la ecuación generalizada de la Sección 3.3.2 se basa en los esquemas

numéricos de bajo orden. La ecuación generalizada (3.17) utiliza los coeficientes en función

del número de Peclet local en cada interface. Este número es usado en la función A(|Pe|) para

los diferentes esquemas de bajo orden, la función A(|Pe|) se muestra en la Tabla 3.2

(Patankar, 1980).

Tabla 3.2 Función A(|Pe|).

Esquema numérico A(|Pe|)

Corrientes arriba 1

Centrado 1-0.5|Pe|

Híbrido max[0,(1-0.5|Pe|)]

Exponencial |Pe|/(exp(|Pe|)-1)

Ley de potencia max[0,(1-0.1|Pe|)5]

3.4 Algoritmo SIMPLE y SIMPLEC

En esta parte se muestra el uso y la importancia de las mallas desplazadas, así como la

descripción y el diagrama de flujo para los algoritmos SIMPLE y SIMPLEC.

3.4.1 Representación del término de gradiente de presión

El gradiente de presión puede ser explicado mediante el siguiente ejemplo en una

dimensión, al discretizar la ecuación de momentum en x para el caso de la Figura 3.2,

representando el gradiente de presión (-dP/dx) integrado sobre el volumen de control.

La presión neta ejercida en la sección transversal del volumen de control está

representada por la ecuación Pw-Pe, la cuál es obtenida al discretizar la ecuación de

momentum en dirección x. Para expresar Pw-Pe en términos de los nodos de la malla completa,

se recurre a la interpolación lineal. Si la malla utilizada es uniforme, las caras e y w se

localizan en los puntos medios entre cada nodo, por lo tanto, la aproximación se escribe de la

siguiente manera:

49


xPP

xPP

xPP

xpp EWEPPWew

Δ−

=Δ+

−Δ+

=Δ−

222 (3.24)

W P E

x

w e

Figura 3.2 Volumen de control sobre una malla unidimensional.

La ecuación (3.24) contiene la diferencia de presiones entre dos nodos alternantes y no

entre los nodos adyacentes. Otra implicación de esta aproximación se puede apreciar en la

Figura 3.3, en donde se propone un campo de presiones alternantes, y al evaluar la ecuación

(3.24), se obtiene un gradiente de presión igual a cero, lo cual indica que en las ecuaciones de

cantidad de movimiento, la distribución de presión es constante y uniforme, siendo esto una

inconsistencia.

100 50

x

100 50 100

Figura 3.3 Campo de presión alternante.

Esta es la razón principal de desplazar las mallas para las componentes de velocidad, lo

cual se describirá más adelante.

3.4.2 Representación de la ecuación de continuidad

Un problema similar al anterior ocurre cuando se discretiza la ecuación de continuidad.

Si se esta ecuación se discretiza para el caso de la Figura 3.4 y se integra sobre el volumen de

control, se obtiene:

0=− we uu (3.25)

50


100 400

x

100 400 100U=

Figura 3.4 Campo de velocidad en una dimensión.

Para expresar ue-uw en términos de la malla centrada, se asume una interpolación lineal

para la velocidad. Si la malla es uniforme, las caras e y w se localizan en los puntos medios

entre cada nodo, por lo que se obtiene la siguiente aproximación:

0222

=Δ−

=Δ+

−Δ+

=Δ−

xuu

xuu

xuu

xuu WEPWEPwe (3.26)

De esta manera, se comprueba que la ecuación de continuidad discretizada requiere las

velocidades en los nodos alternantes de la malla y no en la interfaz del volumen de control.

Como consecuencia para la Figura 3.3, se tiene un campo de velocidades irreal, que cumple

con la ecuación de continuidad.

3.4.3 La Malla Desplazada

Para resolver los problemas antes mencionados se pueden considerar mallas

desplazadas para calcular las variables, esto es, utilizar una malla diferente para cada variable,

ya sea escalar o vectorial. Las variables escalares tales como la temperatura y presión son

calculadas sobre los nodos centrales de la malla principal o centrada (Figura 3.5a)

y

x

y

x

S

N

EW eP Δy

Δx

n

w

s

Figura 3.5a Volumen de control para las variables escalares.

51


En el caso de las componentes de velocidad, se obtiene un beneficio importante al

posicionar dichas componentes sobre una malla diferente de la malla principal utilizada para

las variables escalares, esto es, sobre una malla desplazada (staggered grid), de esta forma, se

reducen las dificultades de las ecuaciones de momentum, así como en el acoplamiento de la

velocidad y la presión.

y

xS

N

EW eP

ueΔy

S

N

EW

n

P

vn

Δx

a) b)

y

xS

N

EW eP

ueΔy

S

N

EW

n

P

vn

Δx

y

x

y

xS

N

EW eP

ueΔy

S

N

EW eP

ueΔy

S

N

EW

n

P

vn

Δx

S

N

EW

n

P

vn

Δx

a) b) Figura 3.5b Volumen de control para la velocidad a) u y b) v.

Como se muestra en la Figura 3.5b, la posición donde se calculan las componentes de

velocidad es en las caras de los volúmenes de control de la malla principal, por lo tanto, la

malla es desplazada en dirección “x” y “y”, y de esta manera coinciden las fronteras del

volumen de control con los puntos nodales de la malla principal.

3.4.4 Formulación del Algoritmo SIMPLE

El algoritmo SIMPLE fue desarrollado por Patankar y Spalding (1972) para realizar el

acoplamiento de las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento. SIMPLE

significa Método Semi Implícito para Ecuaciones Acopladas con la Presión. Para poder

desarrollarlo es necesario tomar en cuenta los volúmenes de control para las componentes de

velocidad u y v, mostrados en la Figura 3.5.

52


Una vez discretizadas las ecuaciones de cantidad de movimiento como se mostró en la

Sección 3.3, pueden escribirse como:

( ) ueEPVecinosVecinosee bAPPuaua +−+=∑ (3.27)

( ) vnNPVecinosVecinosnn bAPPvava +−+=∑ (3.28)

El término (PP-PE)Ae de la ecuación (3.27) representa la fuerza de presión que actúa

sobre un volumen de control para la variable u. En la ecuación (3.28), el término (PP-PN)An

describe la fuerza de presión que actúa sobre un volumen de control para la variable v.

El proceso de cálculo mediante el algoritmo SIMPLE comienza con la suposición de

un campo de presión P*. Este campo de presión P* se utiliza para resolver las ecuaciones

discretizadas de cantidad de movimiento (3.27) y (3.28), de esta manera, se obtiene un campo

de velocidades supuesto, obtenido mediante las variables u* y v*, por lo tanto, estas

ecuaciones también se pueden representar como:

( ) ueEPVecinosVecinosee bAPPuaua +−+=∑ **** (3.29)

( ) vnNPVecinosVecinosnn bAPPvava +−+=∑ **** (3.30)

Entonces, si se toma a P’ como el valor corregido de la presión, el cual es la diferencia

entre la presión correcta P y la presión supuesta P*, se tiene: *''* PPPPPP −=+= (3.31)

De igual forma, se calcula el valor para la corrección de las velocidades u’ y v’, para

relacionar el campo correcto de velocidad u y v, con el campo supuesto de velocidad u* y v*. *''* uuuuuu −=+= (3.32)

*''* vvvvvv −=+= (3.33)

Si se sustituyen los valores corregidos de P, u y v en las ecuaciones (3.27) y (3.28), se

obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ueEEPPVecinosVecinoseee bAPPPPuuauua ++−+++=+ ∑ '*'*'*'* (3.34)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] vnNNPPVecinosVecinosnnn bAPPPPvvavva ++−+++=+ ∑ '*'*'*'* (3.35)

53


Al desarrollar las ecuaciones (3.29) y (3.30) y restárseles a las ecuaciones de cantidad

de movimiento (3.34) y (3.35) respectivamente, se obtiene una expresión de las ecuaciones

discretizadas de cantidad de movimiento en función de la corrección de velocidades y presión.

( ) eEPVecinosVecinosee APPuaua '''' −+=∑ (3.36)

( ) nNPVecinosVecinosnn APPvava '''' −+=∑ (3.37)

En este método, se considera la siguiente aproximación, o bien, la omisión de los

siguientes términos:

∑ ≈ 0'VecinosVecinosua (3.38)

0≈∑ 'VecinosVecinosva (3.39)

La principal característica del algoritmo SIMPLE es esta aproximación, dado que los

términos de las ecuaciones (3.38) y (3.39) representan una influencia directa o implícita de la

corrección de presión sobre la velocidad, y el omitirlos es lo que hace que el algoritmo sea

semi-implícito. Además, se considera que al final del ciclo iterativo, estos términos

desaparecen, de tal forma que el omitirlos no representa ningún error en la solución de las

ecuaciones de conservación.

Sin embargo, al implementar el algoritmo SIMPLE en un código computacional, se

tiene que utilizar un factor de relajación (α), debido principalmente a que la corrección de la

presión en las ecuaciones es muy susceptible a la divergencia durante el proceso iterativo,

debido a la omisión de estos términos. Por consiguiente, la expresión para la presión y las

velocidades corregidas son: '* PPP Pα+= (3.40)

'* uuu uα+= (3.41)'* vvv vα+= (3.42)

54


Si α toma un valor entre 0 y 1, se tiene un efecto de bajo-relajación, este es el caso del

algoritmo SIMPLE. Por el contrario, si α toma un valor mayor a 1, el efecto es de sobre-

relajación (Patankar, 1980).

Una vez omitidos los términos mencionados, las ecuaciones (3.36) y (3.37) se pueden

reescribir como:

( ) eEPee APPua ''' −= (3.43)

( ) nNPnn APPva ''' −= (3.44)

Las cuales se pueden simplificar utilizando los siguientes términos:

e

ee a

Ad = (3.45)

n

nn a

Ad = (3.46)

Al sustituir estos términos en las ecuaciones (3.43) y (3.44), se obtiene:

( ) '''EPee PPdu −= (3.47)

( )'''NPnn PPdv −= (3.48)

De esta manera, las ecuaciones de corrección para las componentes de velocidad u y v,

son:

( ) ''*EPeee PPduu −+= (3.49)

( ) ''*NPnnn PPdvv −+= (3.50)

Ahora, es necesario satisfacer la ecuación de continuidad, la cual, después de ser

integrada al igual que en la Sección 3.3, se obtiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 00 =Δ−+Δ−+ΔΔΔ

− xvvyuutyx

snwePP ρρρρρρ (3.51)

Después de sustituir las ecuaciones de corrección para cada componente de velocidad y

agrupar términos, se obtiene la ecuación discretizada para P’:

55


bPaPaPaPaPa SSNNWWEEPP ++++= ''''' (3.52)

En la ecuación anterior (3.52), los coeficientes están dados por:

xda nnN Δ= ρ (3.53)

xda ssS Δ= ρ (3.54)

yda eeE Δ= ρ (3.55)

yda wwW Δ= ρ (3.56)

SNWEP aaaaa +++= (3.57)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] xvvyuutyxb nsewPP Δ−+Δ−+

ΔΔΔ

−= ****0 ρρρρρρ (3.58)

En la Figura 3.6 se muestra un diagrama de flujo del algoritmo SIMPLE.

56


Se renombran todas las variables

bPaPaPaPaPa SSNNWWEEPP ++++= '''''

( )

( )''*

''*

'* 10

NPn

nnn

EPe

eee

PPPPP

PPaAvv

PPaAuu

PPP

−+=

−+=

<<+=

αα

baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ

φφ =

=

=

=

*

*

*

*

vv

uu

PP

∗∗∗∗ φ , ,, vup

SIMPLE

Se supone un campo de presión, velocidad y otras variables

( )( ) v

nnNPVecinosVecinosnn

ueeEPVecinosVecinosee

badPPvava

badPPuaua

+−+=

+−+=

∑∑

****

****

Se resuelven las ecuaciones discretizadas de cantidad de movimiento

Se resuelve la ecuación de corrección de presión

Se corrigen la presión y las velocidades

Se resuelven otras ecuaciones discretizadas

Convergencia

Sí

No

Impresión

∗∗ vu ,

'pvu , , ∗∗

pvu , ,

Figura 3.6 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLE.

57

Metodología de Solución Capítulo 3 3.4.5 Formulación del Algoritmo SIMPLEC

El algoritmo SIMPLEC fue propuesto por Van Doormal y Raithby (1984), que

significa Método Semi Implicito Consistente para Ecuaciones Acopladas con la Presión, y

sigue el mismo procedimiento que el algoritmo SIMPLE, con la diferencia de que las

ecuaciones de cantidad de movimiento son manipuladas de una manera diferente.

En el método SIMPLEC se considera que omitir los términos dados por las ecuaciones

(3.38) y (3.39), es una aproximación inconsistente del algoritmo SIMPLE, dado que si se

corrige la presión P mediante P’, los componentes de velocidad responden a este cambio de

presión por y , mientras que los coeficientes vecinos lo hacen mediante y .

Estos cambios en la velocidad serán todos del mismo orden de magnitud, por lo tanto, omitir

unos términos en el lado derecho de las ecuaciones (3.36) y (3.37), y retener otros de magnitud

similar en el lado izquierdo de las mismas, representa una inconsistencia. Una aproximación

“consistente” se obtiene al sustraer de ambos lados de estas ecuaciones los siguientes términos

respectivamente.

'eu '

nv 'vecinosu '

vecinosv

∑ 'eVecinosua (3.59)

∑ 'nVecinosva (3.60)

Ahora, las ecuaciones (3.36) y (3.37) se pueden escribir como:

( )[ ] ( ) eEPeVecinosVecinoseVecinosee APPuuauaua '''''' −+−=− ∑∑ (3.61)

( )[ ] ( ) nNPnVecinosVecinosnVecinosnn APPvvavava '''''' −+−=− ∑∑ (3.62)

La aproximación del algoritmo SIMPLEC se basa en omitir los términos entre

corchetes de las ecuaciones (3.61) y (3.62). Esto se justifica correctamente al recordar que las

velocidades de corrección y , son el resultado de las velocidades vecinas y 'eu '

nv 'vecinosu '

vecinosv

58

Metodología de Solución Capítulo 3 respectivamente, por lo que los términos entre corchetes sí pueden considerarse nulos. Por lo

tanto, las ecuaciones (3.61) y (3.62), se pueden escribir como:

( ) eEPeVecinosee APPuaua '''' −=−∑ (3.63)

( ) nNPnVecinosnn APPvava '''' −=−∑ (3.64)

De las ecuaciones anteriores, se tiene entonces una modificación para los términos de

y dn, los cuales se muestran a continuación:

∑−

=Vecinose

ee aa

Ad (3.65)

∑−=

Vecinosn

nn aa

Ad (3.66)

La secuencia de pasos en el algoritmo SIMPLEC es la misma a la del algoritmo

SIMPLE, pero con las siguientes excepciones:

1. Los términos d’s, ahora son obtenidos mediante las ecuaciones (3.65) y (3.66), en lugar de

las ecuaciones (3.45) y (3.46).

2. Los nuevos términos d’s se sustituyen en las ecuaciones de corrección de los componentes

de velocidad 'eu y '

nv , dados por (3.47) y (3.48), y en las ecuaciones de corrección de

presión P’ (3.53) – (3.56).

En la Figura 3.7 se muestra un diagrama de flujo del algoritmo SIMPLEC.

59


Se renombran todas las variables

bPaPaPaPaPa SSNNWWEEPP ++++= '''''

( )

( )

∑

∑

−−

+=

−−

+=

=+=

vecinosn

nNPnn

vecinose

eEPee

PPPPP

aaAPPvv

aaAPPuu

PPP

''*

''*

'* 0.1αα

baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ

φφ =

=

=

=

*

*

*

*

vv

uu

PP

∗∗∗∗ φ , ,, vup

SIMPLEC

Se supone un campo de presión, velocidad y otras variables

( )( )( )( ) v

NPVecinosnnVecinosVecinosnn

uEPVecinoseeVecinosVecinosee

bPPaadvava

bPPaaduaua

+−−+=

+−−+=

∑∑∑∑

****

****

Se resuelven las ecuaciones discretizadas de cantidad de movimiento

Se resuelve la ecuación de corrección de presión

Se corrigen la presión y las velocidades

Se resuelven otras ecuaciones discretizadas de variables dependientes

Convergencia

Sí

No

Impresión

∗∗ vu ,

', pvu , ∗∗

pvu, ,

Figura 3.7 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLEC.

60


Es importante mencionar que las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de

movimiento y energía, las cuales pueden ser representadas mediante la ecuación generalizada

de convección-difusión, se presentaron en estado transitorio. Sin embargo, el alcance del

presente estudio sólo presenta soluciones en estado permanente, para lograr esto, se recurrió al

método de “falso transitorio”. Este método fue utilizado por Mallinson y De Vahl Davis en

1973, que consiste principalmente en convertir ecuaciones elípticas en parabólicas, agregando

derivadas en el tiempo, es decir, si existe una solución en estado permanente y es única, puede

ser obtenida de una manera más eficiente, introduciendo un término de falso transitorio en la

ecuaciones gobernantes, siendo esta hipótesis la base del método.

El término de falso transitorio conduce a un grupo de ecuaciones, las cuales son

resueltas a través de un tiempo ficticio. Al utilizar este método no se requieren iteraciones

adicionales, además de que la convergencia de la solución para las ecuaciones puede ser

mejorada con pasos de tiempo grandes, debido a que la convergencia en cada paso de tiempo

no es necesaria.

3.4.6 Evaluación de las Propiedades Físicas

La presión y la temperatura son evaluadas en el nodo central de cada volumen de

control de la malla principal es por esto que las propiedades termofísicas sólo están definidas

en este punto. Cuando sea necesario conocer el valor de estas variables en la frontera del

volumen de control, se realizará mediante algún tipo de interpolación, ya que según el

algoritmo utilizado para el acoplamiento se necesitan las propiedades termofísicas en esta

posición.

Las propiedades termofísicas pueden ser evaluadas mediante una aproximación lineal,

es decir, con un promedio de los valores conocidos, sólo si se utiliza una malla uniforme. En

cambio, si se utiliza una malla no uniforme, las propiedades termofísicas no pueden evaluarse

de esta manera, ya que las distancias de la frontera del volumen de control al punto donde se

conocen estas propiedades termofísicas no son iguales. La Figura 3.8 explica gráficamente la

geometría.

61


S

N

EW

(δx)PE

eP

(δx)Pe (δx)Ee

S

N

EW

(δx)PE

eP

(δx)Pe (δx)Ee

Figura 3.8 Distancias asociadas con la interfase e.

La aproximación armónica propuesta por Patankar (1980) es utilizada para calcular el

valor de la propiedad termofísica en las fronteras de los volúmenes de control. Mediante esta

aproximación se evitan los posibles errores de la aproximación lineal. Para evaluar las

propiedades termofísicas en las fronteras de los volúmenes de control en el desarrollo de este

trabajo, se implementó esta aproximación. La cual se expresa matemáticamente como:

( )( ) ( )EePPeE

PEEPe xx

xδλδλ

δλλλ+

= (3.67)

3.4.7 Tratamiento del Sólido Interno

Como se mencionó anteriormente, la solución numérica de las ecuaciones gobernantes

es realizada mediante el método de volumen finito, usando el algoritmo SIMPLE sobre una

malla desplazada.

En la presente formulación el dominio computacional fue dividido en volúmenes de

control tales que sus caras quedaran en la frontera del sólido interno. Las ecuaciones son

resueltas en la región del fluido y en la del sólido simultáneamente con una modificación

adecuada. En la región del fluido las ecuaciones de momentum son resueltas de manera

normal y cuando se llega al medio sólido, las velocidades se manipularon haciéndolas cero

62

Metodología de Solución Capítulo 3 utilizando los coeficientes aPu y aPv. De esta manera las velocidades u y v se hacen cero en el

domino del sólido.

La ecuación de energía es resuelta utilizando una consideración para la región del

fluido y otra para el sólido, manteniendo la continuidad del flujo en la interfase del sólido y

del fluido. Las condiciones determinadas en la interfase del sólido/fluido son satisfechas

simultáneamente. El código asegura la continuidad de los flujos en todos los volúmenes de

control. Los cambios abruptos de las propiedades termofísicas son tratados usando la

aproximación armónica (3.67).

3.5 Método de Solución para el Modelo Conductivo en la Pared Semitransparente

Para la conducción de calor, se expresó el modelo matemático en el capítulo anterior

(Sección 2.4), donde se muestra que no existen términos para los flujos convectivos, esto se

debe a que es considerado como un medio sólido. A este modelo también se le puede aplicar la

discretización general obtenida para la ecuación de convección-difusión. Esta ecuación, se

hace válida para el modelo conductivo de la pared semitransparente, sólo si los F’s se anulan,

considerando esto, la ecuación (3.17) se reduce a:

bTaTaTaTaTa SSNNWWEEPP ++++= (3.68)

donde:

( )( ) y

xCp

Dae

eggeE Δ==

δλ

(3.69)

( )( ) y

xCp

Daw

wggwW Δ==

δλ

(3.70)

( )( ) x

yCp

Dan

nggnN Δ==

δλ

(3.71)

( )( ) x

yCp

Das

sggsS Δ==

δλ

(3.72)

63


tyxaaaaa PSNWEP Δ

ΔΔ++++= 0ρ (3.73)

( )[ ] ( )[ ]( ) yxHxSxHxSGCp

Ttyxb iggigg

gPP Δ−−−−−+

ΔΔΔ

= −100 expexp1ρ (3.74)

En la Figura 3.9 se muestra el diagrama de flujo para calcular la transferencia de calor

por conducción a través de la pared semitransparente.

Conducción

Datos de entrada: dimensiones y propiedades termofísicas

Inicialización de la Temperatura: T*

Cálculo de los coeficientes de la ecuación discretizada: a’s y b

Cálculo de las nuevas temperaturas

Renombrar las temperaturas

T*=T

Convergencia

Impresión

No

Sí

Conducción

Datos de entrada: dimensiones y propiedades termofísicas

Inicialización de la Temperatura: T*

Cálculo de los coeficientes de la ecuación discretizada: a’s y b

Cálculo de las nuevas temperaturas

Renombrar las temperaturas

T*=T

Convergencia

Impresión

No

Sí

Figura 3.9 Diagrama de flujo para el cálculo de la conducción

de calor a través de la pared semitransparente.

3.6 Implementación de las Condiciones de Frontera

Al implementar el algoritmo SIMPLE o SIMPLEC, se pueden resolver las ecuaciones

gobernantes de flujo de fluidos y transferencia de calor. Sin embargo, la exactitud de la

solución de las ecuaciones discretizadas, es altamente dependiente de la especificación

correcta de las condiciones de frontera. Debido a su notación de coeficientes agrupados, la

metodología del volumen finito, facilita la implementación de los tres tipos de condiciones de

64

Metodología de Solución Capítulo 3 frontera más recurrentes en los problemas de flujo de fluidos y transferencia de calor. Las

condiciones de frontera más comunes son las condiciones de Dirichlet y las condiciones de

Neumann (Ozisik, 1994).

3.6.1 Condición de Dirichlet (1ª clase)

La condición de frontera de primera clase, también llamada condición de Dirichlet, se

basa en fijar un valor de la variable dependiente en los nodos que se localizan en la frontera de

los volúmenes de control, los cuales están colocados en los límites del dominio de interés.

Mediante la ecuación generalizada para 2D, es posible explicar la implementación de este tipo

de frontera, dada por:

baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ (3.75)

Al igual que en todos los puntos del dominio, los nodos de la frontera también se

deben de expresar mediante esta ecuación general, esto es, que el punto principal P (φP) de la

variable dependiente, debe tomar el valor impuesto en la frontera, es decir, su valor es

totalmente independiente de los otros nodos. Para esta condición de frontera, los coeficientes

de la ecuación (3.75) toman los siguientes valores:

Frontera

WESN

P

baaaa

a

φ=====

=0

1

3.6.2 Condición de Neuman (2ª clase)

La condición de frontera de segunda clase, denominada como condición de Neuman

(al igual que la de tercera clase), se presenta cuando se conoce el cambio de la variable

dependiente en dirección normal a una coordenada espacial o temporal y se representa con

siguiente expresión:

An=

∂∂φ (3.76)

65


Para la condición de frontera de segunda clase, el valor de A es cero (A=0). Por

ejemplo, si la variable es dependiente en dirección normal a la coordenada espacial x, en la

frontera derecha (Este) del dominio, la aproximación para la expresión (3.76) es:

0=−

=∂∂

xxPE

δφφφ (3.77)

Representando esta aproximación de la misma forma que en la ecuación general

discretizada (3.75), se obtiene: 0=− PE φφ

Esto es, que la variable dependiente en el punto principal P, toma el valor del punto

nodal próximo en esa dirección, e implica que:

00

1

=

=====

baaa

aa

SNW

EP

3.6.3 Condición de Neuman (3ª clase)

La condición de frontera de tercera clase es similar a la de segunda clase, con la

diferencia de que en la expresión (3.76), A≠0. En este caso, la aproximación numérica para

esta expresión es:

Axx

PE =−

=∂∂

δφφφ (3.78)

por lo tanto:

xAEP δφφ −=

De esta relación, se deduce que la variable dependiente en el punto principal P, es

dependiente del valor de la variable en el punto nodal próximo y del valor impuesto en la

frontera. De esta manera, los coeficientes de la ecuación (3.75) para la condición de frontera

de tercera clase, toman los siguientes valores:

xAbaaa

aa

SNW

EP

δ−====

==0

1

66


Considerando el modelo físico presentado en el capítulo anterior, se deduce que las

condiciones de frontera que se emplean en este trabajo, son de primera, segunda y tercera

clase.

3.7 Métodos para la Solución del Sistema de Ecuaciones Algebraicas

Para resolver los sistemas de ecuaciones algebraicas, existen dos métodos: el método

directo y el método indirecto o iterativo. Dentro de los métodos directos están la inversión de

la matriz por la regla de Kramer y la eliminación gaussiana. Entre los métodos iterativos se

tienen el método de Gauss Seidel (GS), el método de línea por línea (LBL), el método de

factorización incompleta, el método del gradiente conjugado, entre otros.

Estos métodos iterativos, se basan en la repetida aplicación de algoritmos sencillos, los

cuales, por lo general, alcanzan la convergencia después de un cierto número de iteraciones.

Para cada ciclo de iteración se establece arbitrariamente un número de operaciones, en

contraste con los métodos directos, no se puede saber con anticipación el número de

iteraciones que serán necesarias para cumplir con el criterio de convergencia. El sistema de

ecuaciones debe satisfacer cierto criterio para satisfacer la convergencia.

Al discretizar las ecuaciones diferenciales parciales, se obtuvo un sistema de

ecuaciones algebraicas, este sistema se resolvió mediante el método de Gauss-Seidel en

direcciones alternantes implícitas (LGS-ADI). Este método se desarrolló al combinar el

método de LBL con el método de GS utilizado de forma alterna, por ejemplo, para un

problema de 2D, una iteración del método LGS-ADI consiste en primero aplicar el método de

LGS en dirección x, y posteriormente con los resultados obtenidos se aplica el LGS en

dirección y. La convergencia de este método es más rápida, debido a que la información de las

condiciones de frontera es transportada más eficientemente hacia los nodos interiores del

dominio.

Para la sección del vidrio se utilizó el método MSIP (Modified Strongly Implicit

Procedure) propuesto por Schneider y Zedan en 1981, este método es una modificación del

67

Metodología de Solución Capítulo 3 SIP (Strongly Implicit Procedure) el cual está basado en un procedimiento iterativo que

implica la solución directa y simultánea del conjunto de ecuaciones, modificando la matriz de

ecuaciones original a través de una descomposición en [L] [U] (Referencia, año).

3.8 Criterios de Convergencia

Mediante los métodos numéricos, la solución del sistema de ecuaciones algebraicas se

considera aceptable cuando éste satisface un criterio de convergencia. Este criterio de

convergencia consiste en obtener un residuo de la ecuación en cada iteración. Por medio del

principio de continuidad, es posible comprobar el residuo másico para cada volumen de

control, el cual es muy importante en los problemas de convección natural debido al

acoplamiento de las variables.

Para este trabajo, se utilizó el residuo másico normalizado como criterio de

convergencia para satisfacer la ecuación de conservación de masa, la cual está dada por:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]másico

P

nsewPP

másico

tyx

xvvyuutyx

R ερ

ρρρρρρ≤

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ΔΔΔ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ−+Δ−+

ΔΔΔ

−=

∑

max ****0

(3.79)

Para el caso de las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento y de

energía, las variables dependientes (u,v y T) deben satisfacer un residuo no normalizado, el

cual se obtiene mediante la desviación cuadrática siguiente:

( )[ ] φφ εφφ ≤+−= ∑ ∑ 2baaR VecinosVecinosPP (3.80)

Para todas las variables, el valor que deben obtener estas ecuaciones para satisfacer con

la convergencia del código computacional, debe ser Rφ <1x10-7 de acuerdo con el análisis de

residual mostrado en la Sección 4.3.

68

Metodología de Solución Capítulo 3 3.9 Conclusiones

Para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales existen diferentes métodos, siendo

el de volumen finito el utilizado en el presente trabajo, debido a que permite seleccionar

diferentes esquemas de bajo y alto orden para resolver las ecuaciones gobernantes de flujos de

fluidos y transferencia de calor. El algoritmo SIMPLEC es el utilizado para acoplar las

ecuaciones, mientras que las propiedades físicas en las fronteras de los volúmenes de control

son evaluadas mediante la aproximación armónica. Este problema considera condiciones de

frontera de los tres tipos mencionados en la Sección 3.6. Finalmente, los métodos para

resolver los sistemas de ecuaciones algebraicas permiten obtener criterios de convergencia del

orden de 10-10.

69

Problemas de Referencia Capítulo 4 CAPÍTULO 4 VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO DESARROLLADO

En este capítulo se presenta la verificación y validación del código desarrollado

comparándolo con problemas de referencia encontrados en la literatura. Primero se presenta el

problema de una cavidad cuadrada con la pared deslizante en la parte superior bajo

condiciones isotérmicas, publicado por Ghía et al. en 1982. Posteriormente, se resuelve el

problema de transferencia de calor por convección natural en una cavidad cuadrada calentada

diferencialmente en régimen laminar con paredes horizontales adiabáticas, resuelto por De

Vahl Davis (1983). De la misma manera se presenta la solución de la convección natural en un

termosifón en forma de C reportado por Mohamad et al. (1997), así como la de una cavidad

cuadrada calentada diferencialmente con un sólido interno con diferentes ángulos de

inclinación, publicado por Das et al. (2006). Finalmente, se presenta la transferencia de calor

en una pared semitransparente, obteniendo un balance de energía satisfactorio. Los resultados

obtenidos de todos los problemas se comparan cualitativamente y cuantitativamente con los

reportados en la literatura, obteniéndose resultados satisfactorios.

4.1 Problemas de Referencia

Durante el desarrollo de un código computacional, es indispensable verificar y validar

los resultados obtenidos con resultados publicados en la literatura, éstos últimos pueden ser

resultados experimentalmente o mediante otros códigos computacionales (casos benchmark).

Este tipo de comparación es realizada con el fin de encontrar errores de programación y de

esta manera tener resultados confiables mediante el código desarrollado. Los problemas de

referencia resueltos para el presente trabajo son los siguientes:

· Cavidad cuadrada con pared deslizante.

· Cavidad cuadrada calentada diferencialmente.

· Convección natural en un termosifón con forma de “C”.

· Cavidad cuadrada calentada diferencialmente con sólido interno.

· Transferencia de calor a través de una pared semitransparente.

71

Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.1 Problema de una Cavidad con Pared Deslizante

El problema consiste en una cavidad cuadrada, con ancho Hx que es igual al alto Hy,

cuya pared superior se desliza con una velocidad Uo. Este caso es denominado también “The

Driven Cavity Problem”. Los resultados obtenidos son comparados con los de Ghía et al.

(1982). En la Figura 4.1 se muestra el modelo físico del problema con sus condiciones de

frontera. Este fenómeno está gobernado por las ecuaciones de conservación de masa y

momentum. El acoplamiento de estas ecuaciones gobernantes es el objetivo principal del

problema.

u=U0, v=0

u=0, v=0 u=0, v=0

u=0, v=0

Hx

Hy

x

y

Figura 4.1 Modelo Físico.

Para discretizar las ecuaciones de cantidad de movimiento se utilizaron la técnica de

mallas desplazadas y un algoritmo de acoplamiento presión-velocidad. El procedimiento de

integración y discretización se presentó en el Capítulo 3.

Este problema, al igual que la mayoría de los problemas de flujos de fluidos y

transferencia de calor, está expresado mediante un número adimensional, esto es con el fin de

aplicar resultados experimentales a situaciones físicas diferentes o incluso con propiedades del

fluido diferentes, en este problema en específico, se utilizó el número de Reynolds, el cuál

72

Problemas de Referencia Capítulo 4 relaciona las fuerzas inerciales y viscosas, así como distinguir los diferentes regímenes de

flujo, tales como laminar o turbulento, y está definido como:

Re =μ

ρ HxUo (4.1)

Para este problema, se consideraron constantes la densidad del fluido y la viscosidad

dinámica, el término Uo, representa la velocidad de la pared deslizante y Hx, la longitud de la

cavidad. Los resultados son expresados en forma adimensional, los cuáles son definidos por:

oo Uvv

Uuu

HxyY

HxxX ==== ****

El algoritmo SIMPLEC fue utilizado para el acoplamiento de la presión y la velocidad.

Se analizaron valores del número de Reynolds de 100, 400 y 1000, en mallas computacionales

uniformes de 61x61, 121x121 y 221x221, respectivamente. Los términos convectivos fueron

evaluados mediante el esquema de Ley de Potencia.

Figura 4.2 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=100.

73

Problemas de Referencia Capítulo 4



En las Figuras 4.2, 4.3 y 4.4 se presenta la comparación de los resultados obtenidos

con la solución de referencia. Cualitativamente, se aprecia una similaridad entre los resultados,

mientras que cuantitativamente, sólo presentan una diferencia porcentual máxima del 7.94%,

esto para las componentes de velocidad en el centro de la cavidad, comparadas con los

resultados de Ghía et al. (1982).

74

Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.2 Problema de Convección Natural en una Cavidad Cuadrada Calentada

Diferencialmente con Flujo Laminar

En este problema se aplica la transferencia de calor por convección natural de un fluido

incompresible en régimen laminar. Se considera una cavidad bidimensional con paredes

horizontales adiabáticas y paredes verticales isotérmicas calentadas diferencialmente.

Para este caso el movimiento es provocado por los cambios de la densidad provocados

por las temperaturas en las fronteras verticales. La solución de este problema consiste en

determinar los campos de velocidad y temperaturas mediante la solución acoplada de las

ecuaciones gobernantes de conservación de masa, momentum y energía, considerando

constantes las propiedades termofísicas y la aproximación de Boussinesq.

Para llevar a cabo este estudio se consideró una cavidad cuadrada de ancho Hx y altura

Hy, compuesta por dos paredes verticales isotérmicas calentadas diferencialmente

(TH-TC) y dos paredes horizontales adiabáticas. En la Figura 4.5 se muestra el modelo físico.

∂T/ ∂y=0

T = TH T = TC

∂T/ ∂y=0

Hx

Hy

AIRE(medio no participante)

x

y

Figura 4.5 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente.

Para obtener resultados adimensionales, se emplearon Hx y (gβΔTHx)1/2 como

parámetros para las escalas de longitud y velocidad, respectivamente. La temperatura

75

Problemas de Referencia Capítulo 4 adimensional se definió como T*= (T-Tc)/ΔT. El problema en forma adimensional quedó en

función del número de Rayleigh (Ra=gβΔT H3x/αν) y del número de Prandtl (Pr=ν/α),

donde ν es la viscosidad cinemática y α es la difusividad térmica.

En la Tabla 4.1 se muestran los resultados de la comparación (Nuprom, Numáx, Numín,

umáx, vmáx) en las posiciones adimensionales locales x* y y* en función del número de Rayleigh

en el intervalo de 103-106, Pr=0.71 y un tamaño de malla de 61x61 nodos. El código se

resolvió mediante el algoritmo SIMPLEC. Las comparaciones de este estudio se realizaron

con los resultados reportados por Barakos et al. (1994), De Vahl Davis et al. (1983), Markatos

et al. (1984) y Fusegi et al. (1991).

Para Ra = 103 la diferencia mayor es del 0.735% para la u máxima, el Ra = 104

presenta una diferencia del 0.865% para la v máxima, siendo esta la mayor. El Ra = 105 tiene

una diferencia mayor del 1.610% con el Nu máximo, finalmente, para el Ra = 106 se tiene una

diferencia mayor del 1.982% con el Nu mínimo. Estas diferencias son respecto a los resultados

del benchmark de De Vahl Davis et al. (1983).

76


Tabla 4.1 Comparación de los resultados obtenidos con los reportados en la literatura para: a) Ra=103, b) Ra=104, c) Ra=105 y d) Ra=106.

a) Ra=103 Parámetros Barakos et al.

(1994) De Vahl Davis et al.

(1983) Markatos et al.

(1984) Fusegi et al.

(1991) Presente estudio

Nuprom 1.114 1.117 1.108 1.105 1.118 (0.089)*

Numáx (y*) 1.581 (0.099) 1.505 (0.092) 1.496 (0.083) 1.420 (0.083) 1.509(0.093) (0.265)*

Numín (y*) 0.670 (0.994) 0.692 (1.000) 0.720 (0.993) 0.764 (1.000) 0.690(0.991) (0.289)*

umáx (y*) 0.153 (0.806) 0.137 (0.813) 0.133 (0.832) 0.132 (0.833) 0.136(0.805) (0.735)*

vmáx (x*) 0.155 (0.181) 0.139 (0.178) 0.135 (0.168) 0.131 (0.200) 0.139(0.177) (0)*

b) Ra=104 Parámetros Barakos et al.





Nuprom 2.245 2.238 2.201 2.302 2.251(0.577)*

Numáx (y*) 3.539 (0.143) 3.528 (0.143) 3.482 (0.143) 3.652 (0.623) 3.555(0.144) (0.759)*

Numín (y*) 0.583 (0.994) 0.586 (1.000) 0.643 (0.993) 0.611 (1.000) 0.585(0.991) (0.170)*

umáx (y*) 0.193 (0.818) 0.192 (0.823) 0.192 (0.832) 0.201 (0.817) 0.192(0.822) (0)*

vmáx (x*) 0.234 (0.119) 0.233 (0.119) 0.231 (0.113) 0.225 (0.117) 0.231(0.110) (0.865)*

c) Ra=105 Parámetros Barakos et al.





Nuprom 4.51 4.509 4.43 4.646 4.547(0.835)*

Numáx (y*) 7.636 (0.085) 7.717 (0.081) 7.626 (0.083) 7.795 (0.083) 7.844(0.082) (1.610)*

Numín (y*) 0.773 (0.999) 0.729 (1.000) 0.824 (0.993) 0.787 (1.000) 0.730(0.993) (0.136)*

umáx (y*) 0.132 (0.859) 0.130 (0.855) 0.134 (0.857) 0.147 (0.855) 0.130(0.854) (0)*

vmáx (x*) 0.258 (0.066) 0.257 (0.066) 0.259 (0.067) 0.247 (0.065) 0.256(0.069) (0.389)*

d) Ra=106 Parámetros Barakos et al.





Nuprom 8.806 8.817 8.754 9.012 8.864 (0.530)*

Numáx (y*) 17.442 (0.036) 17.925 (0.037) 17.872 (0.037) 17.670 (0.037) 17.924(0.0342) (0.005)*

Numín (y*) 1.001 (0.999) 0.989 (1.000) 1.232 (0.993) 1.257 (1.000) 1.009(0.996) (1.982)*

umáx (y*) 0.077 (0.859) 0.077 (0.850) 0.082 (0.872) 0.084 (0.856) 0.077(0.856) (0)*

vmáx (x*) 0.262 (0.039) 0.260 (0.0379) 0.263 (0.0375) 0.259 (0.033) 0.260(0.0342) (0)*

* Diferencia porcentual absoluta con respecto a los resultados de De Vahl Davis.

77


Los valores de comparación corresponden al número de Nusselt promedio, máximo y

mínimo en la pared caliente de la cavidad, así como también para las componentes de

velocidad adimensionales máximas en el centro de la cavidad. Adicionalmente, en la Figura

4.6 se presentan como resultados isolíneas adimensionales de las componentes de la velocidad

(u*, v*), las líneas de corriente (ψ*) y las isotermas (T*).

En la Figura 4.6, se puede observar que para Ra=103 las isotermas son casi paralelas a

las paredes verticales, mostrando de esta forma, que predomina la transferencia de calor por

conducción entre las paredes caliente y fría. En cambio, con un número de Ra=104 los

gradientes de temperatura son más grandes cerca de las paredes verticales, pero disminuyen

conforme se acercan al centro de la cavidad, mostrando el efecto convectivo cerca de las

paredes verticales.

Cuando se tiene un Ra=105, se obtiene un comportamiento similar, de modo que, la

transferencia de calor por convección en la capa límite viscosa afecta la distribución de

temperatura, de manera tal, que los gradientes de temperatura en el centro de la cavidad son

cercanos a cero o cambian de signo. Para este valor de Ra, las isotermas en el centro de la

cavidad son aproximadamente horizontales, reflejando así un flujo estratificado.

Para Ra=106, la transferencia de calor que predomina es la convección, la capa límite

adyacente en las paredes verticales es muy delgada y las isotermas son únicamente verticales

en esta zona de la cavidad. De los resultados anteriores, se puede concluir que los resultados

obtenidos fueron satisfactorios.

78


u* v* Ψ T

* *

a) Ra = 103

b) Ra = 104

c) Ra = 105

d) Ra = 106

Figura 4.6 Componentes de la velocidad (u*, v*), líneas de corriente (Ψ*) e isotermas (T*)

para a) Ra = 103, b) Ra = 104, c) Ra = 105 y d) Ra = 106.

79

Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.3 Problema de convección natural en un termosifón con forma de C

En este problema se analiza la convección natural en régimen laminar en dos

dimensiones para un termosifón en forma de C (Figura 4.7). Este puede ser visualizado como

una pared sólida embebida dentro de una cavidad abierta en un extremo, dejando un espacio

de aire entre el bloque sólido y las paredes de la cavidad. Cuando el sólido es calentado, la

fuerza de flotación del fluido hace que el fluido entre en el espacio entre las paredes y el sólido

por la parte inferior y salga por la superior. La razón de flujo depende del número de Rayleigh

y razón de aspecto. El análisis se realiza para un intervalo del número de Ra de 103 a 106 y

razones de aspecto de 2, 4, 6 y 10. El número de Pr es considerando 0.7. El ancho del espacio

de aire se mantiene constante con un tamaño de 1/4L.

LLw

H1

H2

HTHTH TC

x

y

TC

Figura 4.7 Modelo físico del termosifón en forma de C.

Se considera el flujo laminar en estado permanente en dos dimensiones y la

transferencia de calor dentro del termosifón. La pared caliente se mantiene a una temperatura

constante de TH, mientras que la temperatura de la pared fría es TC. Las fronteras inferior y

superior se consideran adiabáticas. La temperatura en la entrada del termosifón es constante e

igual a la temperatura ambiente, TC. El flujo es inducido únicamente por convección natural y

80

Problemas de Referencia Capítulo 4 no se imponen velocidades a la entrada o a la salida. El fluido se considera incompresible y las

propiedades termofísicas son constantes, considerando la aproximación de Boussinesq.

Las condiciones de frontera para la velocidad son cero en las fronteras sólidas. Para la

temperatura en las superficies horizontales se consideran como adiabáticas, para la pared

izquierda se definen como:

Para 0 ≤ y ≤ H1:

CTTvxu

===∂∂ ,0

Para H1 ≤ y ≤ H2:

0=∂∂

==xTvu

Para y > H2:

0=∂∂

=∂∂

=∂∂

xT

xv

xu

En el sólido:

Para x < LW, H1 < y < H2

HTTvu === ,0

Se resolvió mediante el método de volumen finito utilizando el algoritmo SIMPLER,

utilizando un tamaño de malla de 81x151, 81x201, 81x251, 81x301, para las razones de

aspecto de 2, 4, 6 y 10, respectivamente.

Los resultados obtenidos se comparan cualitativa y cuantitativamente a continuación.

En la Figura 4.8 se presentan las isotermas para las cavidades con un número de Ra de

103 con una razón de aspecto A = 2, en la Figura a) se presenta el campo reportado por

Mohamad (1997) y en la Figura b) el campo obtenido en el presente estudio. En la parte

inferior existe una zona con una temperatura promedio, a medida que el aire va subiendo por

el canal se presentan isotermas verticales con capas límites muy delgadas en la superficie del

muro, esto indica que el fenómeno de convección es el que predomina, finalmente a la salida

81

Problemas de Referencia Capítulo 4 el aire se encuentra a temperatura caliente, cabe destacar que cualitativamente no existen

diferencias significativas en esta comparación.

a) b)

Figura 4.8 Isotermas para Ra = 103 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo.

En la Figura 4.9 se muestran las isotermas para una cavidad con Ra de 105 y una razón

de aspecto A = 2, en la Figura a) se presentan los resultados reportados por Mohamad (1997) y

en la Figura b) los resultados del presente estudio, nuevamente de manera cualitativa ambos

perfiles se encuentran similares, en la parte inferior existe una zona con temperatura fría y otra

con una distribución de temperatura uniforme, la temperatura en el canal tiene isotermas

verticales con capas límites muy delgadas en la superficie del muro, indicando que el

fenómeno de convección es el predominante, en la salida el aire presenta isotermas

horizontales.

82


a) b)

Figura 4.9 Isotermas para Ra = 1x105 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo.

a) b)

Figura 4.10 Isotermas para Ra = 1x106 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo.

En la Figura 4.10 se presentan las isotermas para una cavidad con un número de Ra de

104 y razón de aspecto A = 2, en la Figura a) los presentados por Mohamad (1997) y en la

Figura b) los resultados obtenidos en el presente estudio, cualitativamente no se encuentran

diferencias significativas en los resultados obtenidos con los de la bibliografía.

83


Para realizar una comparación de manera cuantitativa, en la Tabla 4.2 se muestra la

comparación del número de Nusselt promedio en la pared caliente del presente estudio y de

Mohamad et al. (1997), para los Ra desde 103 hasta 106 con razones de aspecto

A = 2, 4, 6 y 10.

Tabla 4.2 Comparación del número de Nu promedio obtenido en la pared caliente.

A=2

Ra Mohamad et al. (1997) Presente estudio %dif 103 4.34 4.10 5.53% 104 4.28 4.03 5.78% 105 5.91 5.92 0.25% 106 12 11.82 1.52%

A=4

Ra Mohamad et al. (1997) Presente estudio %dif 103 4.23 3.99 6.63% 104 4.18 3.95 5.51% 105 5.35 5.26 1.53% 106 10.42 10.34 0.76%

A=6


A=10


Para la razón de aspecto A = 2, el número de Ra de 105 presenta la menor diferencia

con 0.25% mientras que para el Ra de 104 se presenta la mayor diferencia del 5.78%. En el

caso de la razón de aspecto A = 4 el número de Ra de 103 presenta la diferencia con 6.63%.

Para el caso de razón de aspecto A = 6 el Ra de103 presenta la mayor diferencia con 5.96%.

Finalmente, para el caso de razón de aspecto A = 10, el Ra de 104 presenta la mayor diferencia

(5.94%). Esta comparación de resultados muestra que los resultados obtenidos en general son

satisfactorios en un máximo de 6.63%.

84


0

2

4

6

8

10

12

14

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra

Nu

Presente EstudioMohamad et al.

0

2

4

6

8

10

12

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra

Nu


a) b)

0

2

4

6

8

10

12

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra

Nu


0123456789

10

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra

Nu


c) d)

Figura 4.11 Comparación del número de Nusselt promedio en la pared caliente para todos los números de Ra con diferentes razones

de aspecto: a) A=2, b) A=4, c) A=6 y d) A=10 .

En la Figura 4.11 se muestra gráficamente la comparación de los resultados obtenidos

para el número de Nusselt promedio en la pared caliente, donde todas las razones de aspecto

presentan el mismo perfil exponencial.

85

Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.4 Problema de Convección Natural en una Cavidad Cuadrada Calentada

Diferencialmente con un Sólido Interno

El presente problema trata de la convección natural para una cavidad calentada

diferencialmente con un ángulo de inclinación en dos dimensiones, ésta contiene un sólido

conductor en su interior. Las paredes horizontales son adiabáticas y paredes verticales son

isotérmicas. Para la comparación se considera un tamaño adimensional de cuerpo ζ = w/L =0.5

y una relación de conductividad térmica del sólido al fluido k* = ks/kf = 5.0. En la Figura 4.12

se muestra el modelo físico.

Los cálculos se realizaron para números de Rayleigh en un intervalo de 103 a 106 y con

una inclinación desde los 15º hasta 90º con incrementos de 15º. Como resultado, se presenta la

comparación cualitativa del número de Nusselt con los resultados reportados por Das (2006).

(pared adiabática)

(pared adiabática)

L

L

Tc = 0.0

Th = 1.0

ww

Lw

=ζ

y

x

g

φ

φ

gsenφ gcosφ

SólidoAire

kf

ks

Figura 4.12 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente con un sólido interno.

Para un Ra = 106, Figura 4.13, predomina la transferencia de calor por convección,

muestra una capa límite muy delgada adyacente en las paredes verticales, y con menores

gradientes de temperatura cerca del sólido. Mediante las líneas de corriente, Figura 4.14, se

pueden apreciar vórtices para todos los ángulos de inclinación, esto se debe al tamaño de la

cavidad y al gradiente de temperatura entre la pared y el sólido.

86


a)

b)

c)

d)

e)

f)

Figura 4.13 Gráficas de isotermas para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento de 15º

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Figura 4.14 Gráficas de líneas de corriente para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando con

un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento de 15º.

87

Problemas de Referencia Capítulo 4 A continuación se muestra la comparación cualitativa de los resultados obtenidos con

los de la bibliografía reportados por Das, 2006. En las Figuras 4.15 y 4.16 se grafica el número

de Nusselt local a lo largo de la pared caliente para diferentes ángulos de inclinación para Ra

105 y 106. El aumento del ángulo de inclinación se refleja en el aumento del número de Nusselt

local. El valor del Nusselt local es mayor para un pequeño ángulo de inclinación.

0

2

4

6

8

10

0 0.25 0.5 0.75 1y

Nu L

15º30º45º60º75º90º

Pared caliente

(a) (b)

Figura 4.15 Número de Nusselt local para Ra = 105, ζ = 0.5 y k* = 5.0, desde 15º a 90º con


0

5

10

15

20

25

0 0.25 0.5 0.75 1y

Nu L

15º

30º

45º

60º

75º

90ºPared caliente

(a) (b)

Figura 4.16 Número de Nusselt local para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0 desde 15º a 90º con incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).

88


En la Figura 4.17 se muestra la variación del número de Nusselt promedio en función

del ángulo de inclinación para números de Ra =103 a 106, se observa que para

Ra =103, el Nusselt promedio permanece constante en el intervalo del ángulo de inclinación,

indicando que predomina la transferencia de calor por conducción. Para el

Ra 106, al incrementar el ángulo de inclinación, el valor del Nu aumenta significativamente.

Con el aumento del número de Ra, la convección es la forma dominante en la transferencia de

calor, dando lugar a un incremento significativo del número de Nusselt promedio.

0

1.5

3

4.5

6

7.5

9

10 20 30 40 50 60 70 80 90φ

Nu p

rom

Ra = 103Ra = 104Ra = 105Ra = 106

103

104

105

106

Pared Caliente

k*=5.0

(a) (b)

Figura 4.17 Número de Nusselt promedio para Ra =103 a 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, desde 15º a 90º con incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).

De las comparaciones cualitativas anteriores se puede concluir, que los resultados

obtenidos en el presente trabajo predicen satisfactoriamente los resultados reportados por Das

(2006).

89

Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.5 Transferencia de Calor en una Pared Semitransparente

Para calcular la distribución de temperatura al interior y al exterior de una pared

semitransparente compuesta por un vidrio, se considera el modelo físico de la pared

semitransparente de 6 mm mostrada en la Figura 4.18, donde la temperatura exterior To es

controlada por las condiciones ambientales y la temperatura Ti es la temperatura en el interior

de la cavidad.

Tg

To

TiG

Hxg

Hy

x

y

qconv-intqconv-ext

qrad-ext

Figura 4.18 Modelo físico de la pared semitransparente.

Para las condiciones de frontera, las paredes horizontales (superior e inferior) son

adiabáticas, las paredes verticales se encuentran intercambiando energía por convección hacia

el interior (derecha), así como por convección y radiación hacia el exterior (izquierda) de la

pared.

Para este modelo de conducción de calor a través de la pared semitransparente, se

considera la radiación solar incidente en forma normal al vidrio con un valor constante de 750

W/m2.

Otra consideración es el valor para los coeficientes de transferencia de calor por

convección, el cual se supone de 6.8 W/m2K para una velocidad de 3 m/s en el exterior a

90

Problemas de Referencia Capítulo 4 temperatura ambiente y de 6.2 W/m2K en el interior para la simulación de la pared

semitransparente, este último valor es razonable si se considera un sistema de aire

acondicionado que puede inducir aire a 2.5 m/s, (Xamán, 2004).

En la Tabla 4.3 se muestran las propiedades usadas en este trabajo para la

determinación del campo de temperaturas en la pared semitransparente.

Tabla 4.3 Propiedades termofísicas del vidrio.

Vidrio (6mm) α*

g = 0.14 λ g = 1.4 W/m·K τ*

g = 0.78 Cp g = 750 J/kg·K ρ*

g = 0.08 ρ*g = 2500 Kg/m3

ε* g = 0.85

A continuación se muestran los resultados obtenidos del modelo de transferencia de

calor por conducción a través de un sólido semitransparente. Esencialmente, el modelo

determina la distribución de temperaturas al interior y exterior del sistema, debido a la

fracción de la radiación solar absorbida por el vidrio.

En la Figura 4.19 se presenta la variación de la temperatura a través del sistema para

diferentes temperaturas de aire exterior (To= 0 → 50 ºC, en intervalos de 5ºC) y una

temperatura interior del aire de Ti= 21ºC. El vidrio tiene un espesor de 6 mm. En esta Figura se

pueden apreciar los gradientes máximos de temperaturas de 0.5 y 0.75 ºC, para las

temperaturas límites del intervalo considerado para el aire exterior de 0 y 50 ºC

respectivamente. Conforme el valor de la temperatura del aire exterior To se acerca a la

temperatura interior Ti de 21°C (por ejemplo, para la línea correspondiente a 20°C de la

Figura 4.19), el gradiente de temperatura a través del vidrio se aproxima a cero, tal como se

esperaría físicamente.

91


Figura 4.19 Distribución de temperaturas a través de un vidrio

de 6 mm para diferentes To.

En la Tabla 4.4 se presentan los flujos de calor qτ = flujo de calor transmitido al

interior, qα = flujo de calor absorbido por el sistema, qρ = flujo de calor reflejado al exterior,

qi = flujo de calor al interior por convección y radiación, qo = flujo de calor al exterior por

convección y radiación, qi+qτ = flujo de calor total al interior, qo+qρ = flujo de calor total al

exterior, qTotal = flujo de calor total (balance de energía) para el intervalo de temperaturas

exteriores de 0-50 ºC. Se puede observar que al realizar el balance total con respecto a la

irradiación solar que incide en el vidrio, se tiene una diferencia porcentual absoluta del

0.001%, lo cual indica que el balance de energía a través del sistema se ha calculado

satisfactoriamente.

Tabla 4.4 Flujos de calor para el sistema de la pared semitransparente.

T qτ qα qρ qi qo qi+qτ qo+qρ qTOTAL G SHGC (ºC) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (%)

0 585.12 104.88 60.00 -60.68 165.56 524.44 225.56 749.99 750.00 69.92% 10 585.12 104.88 60.00 -8.64 113.52 576.49 173.52 749.99 750.00 76.86% 20 585.12 104.88 60.00 45.59 59.29 630.71 119.29 749.99 750.00 84.10% 30 585.12 104.88 60.00 102.15 2.73 687.27 62.73 749.99 750.00 91.64% 40 585.12 104.88 60.00 161.21 -56.33 746.33 3.67 749.99 750.00 99.51% 50 585.12 104.88 60.00 222.91 -118.03 808.03 -58.03 749.99 750.00 ------

92

Problemas de Referencia Capítulo 4 4.2 Análisis de Independencia de Malla

Una vez obtenido el código numérico, se realizó un análisis de malla para encontrar

una densidad de malla computacional óptima, en la cual los resultados no muestren cambios

significativos y por ende sean independientes del tamaño de malla. A continuación se

presentan los resultados del estudio de independencia de malla para un sistema de muro

Trombe con un ancho de canal y tamaño de ventilas de 1/10 del ancho de la cavidad y un

muro de concreto de 1/10 del ancho de la cavidad para un número de Rayleigh de 107, el cual

es considerado como representativo para todos los casos estudiados.

En la Figura 4.20, se muestran las componentes de velocidad u y v en el centro de la

cavidad, los tamaños de las mallas utilizadas fueron desde 67x61 hasta 147x141 con

incrementos de 10 nodos a lo largo de cada eje de coordenadas. Es importante mencionar que

en la sección de la pared semitransparente se fijaron 6 nodos en la dirección x.

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.05 0.1 0.15 0.2x(m)

v (m

/s) 67x61

77x71

87x81

97x91

107x101

117x111

127x121

137x131

147x141

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

u (m/s)

y(m

)

67x61

77x71

87x81

97x91

107x101

117x111

127x121

137x131

147x141

a) b)

Figura 4.20 Efecto del refinamiento de la malla en el centro de la cavidad para a) v y b) u

Se puede observar que a partir de una malla con tamaño de 107x101, las curvas de las

componentes de velocidad quedan sobrepuestas cualitativamente. Para analizar estos

resultados de una forma cuantitativa, en la Tabla 4.5 se presentan las diferencias porcentuales

entre los resultados para los tamaños de malla estudiados para la temperatura en el centro de la

cavidad (T), la temperatura máxima (Tmax) y mínima (Tmin), así como la temperatura promedio

93

Problemas de Referencia Capítulo 4 en la habitación (Thab-prom) y en el sistema completo (Tprom), finalmente también para el número

de Nusselt promedio en la superficie del muro hacia el canal (NuWALL). Para la malla de

107x101, la temperatura muestra una diferencia menor al 0.5%, mientras que para el número

de Nusselt promedio en la superficie del muro hacia el canal, es menor al 1.5%, de esta

manera, se establece que la malla de 107x101 nodos, es la adecuada para realizar los cálculos

del estudio.

Tabla 4.5 Diferencias porcentuales para diferentes tamaños de malla.

Tamaño de malla 67x61 77 x71 87x81 97x91 107x101 117x111 127x121 137x131 147x141

T 304.65 304.94 305.65 306.54 307.34 308.03 308.72 309.35 309.96diferencia 0.093% 0.233% 0.292% 0.258% 0.225% 0.222% 0.205% 0.195%

Tmax 310.94 311.21 312.73 314.17 315.54 317.03 318.30 319.54 320.91

diferencia 0.085% 0.488% 0.459% 0.435% 0.468% 0.400% 0.388% 0.427%

Tmin 296.94 294.65 293.47 293.40 293.42 293.34 293.30 293.27 293.25diferencia 0.776% 0.403% 0.022% 0.007% 0.028% 0.014% 0.011% 0.008%

Tprom 306.46 304.37 306.73 307.44 308.10 308.81 309.39 309.95 310.59

diferencia 0.685% 0.768% 0.233% 0.212% 0.229% 0.189% 0.181% 0.207%

Thab-prom 304.46 300.98 305.06 305.89 306.63 307.36 308.01 308.63 309.28diferencia 1.154% 1.336% 0.272% 0.242% 0.236% 0.212% 0.199% 0.212%

NuWALL 6.82 7.68 7.94 7.79 7.68 7.67 7.58 7.51 7.47

diferencia 11.170% 3.278% 1.858% 1.411% 0.181% 1.182% 0.972% 0.523%

4.3 Análisis del Criterio de Convergencia

El criterio de convergencia de los resultados es un concepto importante en un estudio

numérico. Este criterio se basa en el balance de la ecuación discreta, mediante el cual se

obtiene un residual para cada variable (u, v, P, T) y puede obtenerse durante el proceso

iterativo. Este residual debe disminuir durante toda la simulación y su valor debe tender a

cero. Si este valor tiende a ser más pequeño durante el proceso iterativo, esto indica el grado

de acercamiento a la solución de la ecuación de conservación.

94


Tabla 4.6a Resultados para un Ra=105 con diferentes criterios de convergencia

Criterio de convergencia 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 10 -8 10 -9 10 -10

T 298.05 299.20 302.22 302.53 302.56 302.56 302.56 302.56diferencia 0.385% 1.011% 0.100% 0.010% 0.001% 0.000% 0.000%

u -0.00068 -0.00033 -0.00090 -0.00093 -0.00094 -0.00094 -0.00094 -0.00094

diferencia 50.732% 168.485% 3.865% 0.353% 0.035% 0.003% 0.000%

v 0.00179 0.00074 -0.00040 -0.00049 -0.00049 -0.00049 -0.00049 -0.00049diferencia 58.498% 154.380% 20.445% 1.639% 0.161% 0.016% 0.002%

Tmax 307.28 308.73 310.76 311.02 311.07 311.08 311.08 311.08

diferencia 0.472% 0.657% 0.084% 0.018% 0.002% 0.000% 0.000%

Tmin 293.05 293.06 293.09 293.10 293.10 293.10 293.10 293.10diferencia 0.004% 0.011% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000%

Tprom 300.24 301.67 305.18 305.53 305.56 305.56 305.56 305.56

diferencia 0.474% 1.164% 0.113% 0.011% 0.001% 0.000% 0.000%

Thab-prom 298.13 299.32 302.27 302.56 302.59 302.59 302.59 302.59diferencia 0.400% 0.987% 0.096% 0.010% 0.001% 0.000% 0.000%

NuHOT 3.60 3.00 0.95 0.78 0.76 0.76 0.76 0.76

diferencia 16.651% 68.268% 18.639% 2.255% 0.230% 0.023% 0.002%

NuCOLD 2.92 3.53 5.12 5.27 5.29 5.29 5.29 5.29diferencia 20.998% 44.932% 2.914% 0.281% 0.028% 0.003% 0.000%

NuWALL 2.37 2.49 2.84 2.87 2.87 2.87 2.87 2.87

diferencia 5.042% 14.065% 0.995% 0.097% 0.010% 0.001% 0.000%

En la Tabla 4.6 se presentan los valores obtenidos para el Ra=105, 106 y 107 de la

temperatura (T), velocidad u y v en el centro de la cavidad, la temperatura máxima (Tmax),

mínima (Tmin) y promedio en todo el sistema (Tprom), así como la temperatura promedio en la

habitación (Thab-prom), también se presenta el número de Nusselt promedio en la pared

semitransparente (NuHOT), en la pared fría (NuCOLD), y en la superficie del muro hacia el canal

(NuWALL), con diferentes criterios de convergencia, en un sistema de muro Trombe con un

ancho de canal y tamaño de ventilas de 1/10 del ancho de la cavidad y un muro de concreto de

1/10 del ancho de la cavidad, en la Tabla 4.6a se muestra que la diferencia porcentual de las

variables al cumplir con un residual de 10-7 es menor al 2% y menor al 2.5% para los números

95

Problemas de Referencia Capítulo 4 de Nusselt en el sistema, estableciendo de esta manera, que el criterio de convergencia de 10-7

es el adecuado para el estudio numérico del Ra=105.

Tabla 4.6b Resultados para un Ra=106 con diferentes criterios de convergencia


T 300.46 303.41 305.695 305.90 305.92 305.93 305.93 305.93diferencia 0.980% 0.752% 0.071% 0.007% 0.001% 0.000% 0.000%

u 0.00419 0.00332 0.00308 0.00305 0.00305 0.00305 0.00305 0.00305

diferencia 20.778% 7.285% 0.837% 0.084% 0.008% 0.001% 0.000%

v -0.00156 -0.00016 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005diferencia 89.555% 128.342% 17.572% 1.357% 0.133% 0.013% 0.001%

Tmax 307.67 310.20 311.93 312.32 312.36 312.36 312.36 312.36

diferencia 0.818% 0.558% 0.124% 0.012% 0.001% 0.000% 0.000%

Tmin 293.10 293.15 293.18 293.19 293.19 293.19 293.19 293.19diferencia 0.015% 0.012% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000%

Tprom 301.14 304.16 306.45 306.67 306.69 306.69 306.69 306.69

diferencia 1.003% 0.751% 0.072% 0.007% 0.001% 0.000% 0.000%


NuHOT 6.83 5.26 3.54 3.38 3.36 3.36 3.36 3.36

diferencia 22.964% 32.781% 4.485% 0.465% 0.047% 0.005% 0.000%


NuWALL 2.39 3.20 3.86 3.92 3.92 3.92 3.92 3.92

diferencia 33.959% 20.536% 1.402% 0.136% 0.014% 0.001% 0.000%

Como se muestra en la Tabla 4.6b, la diferencia porcentual para un Ra=106 es menor

al 1.5% para todas las variables y menor al 0.5% para los números de Nusselt, garantizando de

esta manera, que con un residual de 10-7 como criterio de convergencia, los resultados no

cambiarán significativamente.

96


Tabla 4.6c Resultados para un Ra=107 con diferentes criterios de convergencia


T 301.83 306.38 307.42 307.51 307.52 307.52 307.52 307.52diferencia 1.507% 0.338% 0.030% 0.003% 0.000% 0.000% 0.000%

u 0.00599 0.00336 0.00302 0.00299 0.00298 0.00298 0.00298 0.00298

diferencia 43.795% 10.212% 1.086% 0.109% 0.011% 0.001% 0.000%

v 0.00029 -0.00005 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002diferencia 116.424% 60.020% 14.579% 1.691% 0.172% 0.017% 0.002%

Tmax 309.59 312.15 314.63 314.86 314.88 314.88 314.88 314.88

diferencia 0.827% 0.795% 0.073% 0.007% 0.001% 0.000% 0.000%

Tmin 293.22 293.36 293.37 293.38 293.38 293.38 293.38 293.38diferencia 0.043% 0.010% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000%

Tprom 301.91 306.34 307.55 307.67 307.68 307.68 307.68 307.68

diferencia 1.468% 0.395% 0.036% 0.004% 0.000% 0.000% 0.000%


NuHOT 14.04 8.73 7.31 7.18 7.17 7.16 7.16 7.16

diferencia 37.843% 16.283% 1.748% 0.176% 0.018% 0.002% 0.000%


NuWALL 1.48 5.89 6.78 6.85 6.86 6.86 6.86 6.86

diferencia 298.416% 15.012% 1.151% 0.113% 0.011% 0.001% 0.000%

En la Tabla 4.6c se aprecia de manera cuantitativa que a partir del residual de 10-7 se

tienen diferencias menores al 2% para las variables estudiadas y menores al 0.5% para el

promedio de los números de Nusselt, garantizando de esta manera, que con un residual de 10-7

como criterio de convergencia para un Ra=107, los resultados no cambian significativamente.

97


-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.05 0.1 0.15 0.2

x (m)

v (m

/s)

10-3

10-4

10-510-6

10-7

10-8

10-9

10-10

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04

u (m/s)

y (m

) 10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

a) b)

Figura 4.21 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad para a) v y b) u

En la Figura 4.21 se muestran los resultados obtenidos del estudio del criterio de

convergencia para el Ra=107, considerando un sistema de muro Trombe con un ancho de

canal s = 1/10 del ancho de la cavidad y un muro de concreto con espesor d = 1/10 del ancho

de la cavidad. Para la componente de velocidad u y v a lo largo del eje y y x en la mitad de la

cavidad respectivamente, se puede observar de forma cualitativa que a partir de un residual de

10-5 no existe variación significativa, ya que las líneas quedan sobrepuestas.

En la Figura 4.22 se muestran los perfiles de temperatura para el mismo caso, se puede

observar cuantitativamente que existe una pequeña diferencia con respecto al residual de 10-5,

la cual desaparece a partir de 10-6, debido a que las líneas quedan sobrepuestas, asegurando de

esta manera, la convergencia del código numérico.

98


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

295 300 305 310 315

T (K)

y (m

)

10-3

10-410-5

10-610-7

10-810-9

10-10

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

290

295

300

305

310

315

0 0.05 0.1 0.15 0.2

x (m)

T (K

)

10-310-410-510-610-710-810-910-10

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

a) b)

Figura 4.22 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad para T en a) y y b) x.

4.4 Conclusiones

Los diferentes problemas de referencia resueltos permiten la familiarización con la

técnica numérica y la verificación del código. Para el desarrollo del código numérico del

problema planteado inicialmente, esta familiarización involucra adquirir conocimientos y

habilidades en la técnica numérica respecto a los tratamientos de términos difusivos,

convectivos, transitorios así como de diferentes tipos de condiciones de frontera. Para el

problema de la cavidad con pared deslizante se obtuvo una diferencia máxima del 7.94%,

comparados con los de Ghía et al. (1982). En el caso de la cavidad cuadrada calentada

diferencialmente con flujo laminar se obtuvo una diferencia máxima del 1.98%, al compararse

con los resultados de Vahl Davis et al. (1983). Para el caso de la convección natural en un

termosifón en forma de “C” se obtuvo una diferencia máxima del 6.63%, comparado con los

resultados de Mohamad (1997). En el problema de la convección natural con un sólido

interno, se realizó una comparación cualitativa de manera favorable, con los resultados de Das

(2006). El balance de los flujos de calor en el sistema de la pared semitransparente demuestra

que los resultados son satisfactorios para este problema.

99


Mediante el análisis de malla se demostró que un tamaño de malla computacional de

107x101 es adecuado para la realización de los cálculos en este estudio. Y finalmente,

mediante el análisis del criterio de convergencia, se consideró el residual de 10-7 como

adecuado, debido a que con este criterio, los resultados ya no cambian significativamente.

100

Resultados Capítulo 5 CAPÍTULO 5 RESULTADOS

En este capítulo se presentan los resultados numéricos para la transferencia de calor

conjugada en un sistema de muro Trombe. El capítulo está conformado por las siguientes

secciones: parámetros que abarcan el estudio, efectos del número de Rayleigh en la

distribución del las velocidades y la temperatura, efecto del ancho del canal, efecto del espesor

y tipo del muro, así como la evaluación de la eficiencia del muro Trombe.

5.1 Parámetros de estudio

La eficiencia de un sistema solar pasivo de muro Trombe se ve reflejada en la

combinación de sus elementos, es por esto que la simulación numérica es una herramienta útil

que nos permite establecer los parámetros para su óptimo desempeño. Ya que mediante la

simulación numérica es posible variar los parámetros que intervienen en el sistema y observar

el comportamiento, con un costo económico relativamente bajo comparado con el análisis

experimental. A continuación se presentan los parámetros de análisis utilizados en este

estudio.

5.1.1 Parámetros fijos en el sistema de muro Trombe

Para este estudio se consideró una cavidad cuadrada con 3 dimensiones diferentes, con

una pared semitransparente en el lado izquierdo con 6 mm de espesor. Para calcular la

transferencia de calor por convección desde la pared semitransparente hacia el medio ambiente

exterior, se consideró un valor del coeficiente convectivo de 6.8 W/m·K a una temperatura de

30 ºC. El flujo de calor impuesto a la pared semitransparente se consideró normal a la

superficie y constante con un valor de 736 W/m2, mientras que la otra pared vertical se

consideró a una temperatura constante de 20 ºC y las paredes horizontales aisladas.

101

Resultados Capítulo 5 5.1.2 Configuración del canal

Para estudiar la eficiencia en la distribución de temperatura al interior de la cavidad se

realizó un análisis considerando el tamaño de las ventilas de entrada y salida igual al ancho del

canal. Esto permitirá analizar el efecto en el patrón de flujo, distribución de velocidades y

temperaturas en la habitación, así como en el canal. En la Figura 5.1, se muestra un muro con

espesor d = 1/10 con respecto al ancho de la cavidad para los 3 tamaños de canal (s)

estudiados a) 1/30, b) 1/15 y c) 1/10, estas razones son con respecto al ancho de la cavidad. El

tamaño de las ventilas está determinado por el ancho del canal, ya que es el mismo.

a) b) c)

Figura 5.1 Tamaños de canal (s) estudiados a)1/30, b)1/15 y c)1/10.

5.1.3 Espesor y tipo de material de muro

Para el sistema de muro Trombe es de vital importancia la absorción y almacenamiento

del calor, es aquí donde el espesor y material del muro juegan un papel importante, en este

trabajo se seleccionan dos tipos de materiales: el adobe y el concreto. También, se tomaron en

cuenta cinco espesores (d) diferentes con respecto al ancho de la cavidad: a) 1/30, b) 1/15, c)

1/10, d) 1/7.5 y e) 1/6. Las propiedades de los materiales se muestran en la Tabla 5.1

(Incropera, 1999).

102

Resultados Capítulo 5

Tabla 5.1 Propiedades termofísicas de los materiales

ρ (Kg/m3)

λ (W/m·K)

Cp (J/Kg·K)

Adobe 1620 0.49 1240 Concreto 2300 1.8 837

5.1.4 Efecto del número de Rayleigh

Este problema está en función de los siguientes parámetros adimensionales: número de

Rayleigh (Ra=gβΔTHx3/αν), así como del número de Prandtl (Pr= ν/α), donde ν es la

viscosidad cinemática y α es la difusividad térmica.

Las dimensiones de la cavidad son diferentes para cada número de Rayleigh, en la

Tabla 5.2 se presentan las dimensiones de la cavidad para cada número de Ra.

Tabla 5.2 Dimensiones de la cavidad para los Ra analizados

Ra 105 106 107 Hx (cm) 3.92 8.46 18.24

5.2 Patrón de Flujo

El patrón de flujo es un aspecto importante para el análisis debido a que muestra la

distribución de temperaturas, así como los perfiles de velocidad, este patrón de flujo está en

función del número de Rayleigh. A continuación se presentan las isolíneas de corriente, el

vector de velocidad e isotermas para cada número de Rayleigh estudiado, la configuración

utilizada es la de un muro de adobe y concreto con un espesor d = 1/10 y un canal con ancho

s = 1/15.

El caso de la Figura 5.2 corresponde al muro de adobe, donde se puede observar que

para el Ra=105 se presenta una distribución de isolíneas de corriente con un patrón elíptico

con dos celdas en el centro, el campo de velocidad muestra que el aire baja por la pared fría y

sube por la pared caliente así como en la sección del canal, a diferencia del centro, donde es

menor y casi nulo el movimiento. Para el caso de las isotermas, los gradientes son más severos

103

Resultados Capítulo 5 cerca de las paredes verticales. Para este Ra, la transferencia de calor por convección en la

capa límite viscosa altera la distribución de temperatura hasta cierto punto que hace que los

gradientes horizontales sean muy pequeños en el centro de la cavidad, en la sección del canal

se presenta un régimen de temperaturas casi conductivo, debido a que las velocidades son

relativamente bajas.

Para el Ra=106, la distribución de las isolíneas de corriente muestra una zona

estratificada más grande en comparación con el Ra = 105, así mismo, el campo de velocidad es

mayor en las paredes de la cavidad y se incrementa significativamente al interior del canal,

dejando una zona de baja velocidad en el centro de la cavidad, el patrón de flujo térmico

muestra que la transferencia de calor por convección es la que predomina, es por esto que la

capa límite adyacente en las paredes es muy delgada y las isotermas son horizontales en el

centro de la cavidad, en cambio, en el canal empieza a desarrollarse un perfil parabólico.

Para el caso de Ra=107 las isolíneas de corriente muestran un patrón asimétrico con

capa límites hidrodinámicas más delgadas comparadas con el Ra = 106, el campo de velocidad

está más desarrollado mostrando valores máximos cercanos a las paredes, aumentando de

tamaño la zona de baja velocidad en el centro de la cavidad; el patrón de velocidad es mayor

en el canal con respecto a los otros Ra, para este caso, las isotermas son horizontales casi en

su totalidad, indicando flujo estratificado, a diferencia del canal, donde se muestra un flujo

parabólico completamente desarrollado.

104


Isolíneas de corriente Campo de velocidad Isotermas

a) Ra=105

b) Ra=106

c) Ra=107

Figura 5.2 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para:

a) Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de adobe con d =1/10

y canal con s = 1/15.

El caso de la Figura 5.3, corresponde a los resultados para el muro de concreto con

Ra=105, 106 y 107. Para el número de Ra=105, el patrón de isolíneas de corriente presenta un

perfil elíptico con dos celdas en el centro, el campo de velocidad muestra al aire bajando por la

pared fría y subiendo por la pared caliente al igual que en la sección del canal, sin considerar

105

Resultados Capítulo 5 al centro, donde tiene una magnitud menor y casi nula. Respecto a la distribución de

temperatura, los gradientes son mayores en la proximidad a las paredes verticales, al igual que

el caso del muro de adobe, la transferencia de calor por convección en la capa límite viscosa

modifica la distribución de temperatura ocasionando que los gradientes horizontales sean muy

pequeños en el centro de la cavidad, en la sección del canal debido a que las velocidades son

relativamente bajas, se presenta un régimen de temperaturas casi conductivo.

Para Ra=106, el patrón de isolíneas de corriente comienza a manifestar una notable

estratificación comparado con el Ra = 105, así mismo, el nivel de velocidad aumenta en las

paredes de la cavidad y se desarrolla significativamente al interior del canal, ocasionando un

movimiento casi nulo en el centro, el patrón de flujo térmico muestra que predomina la

transferencia de calor por convección, de esta manera, la capa límite adyacente en las paredes

es muy delgada y las isotermas son horizontales en el centro de la cavidad, por otra parte, en el

canal comienza a desarrollarse un perfil parabólico.

En el caso de Ra=107, las isolíneas de corriente muestran que la capa límite es más

delgada que los Ra = 105 y 106, el campo de velocidad muestra valores máximos cercanos a

las paredes, asimismo, el valor de la velocidad es mayor al interior del canal con respecto a los

otros Ra, para este caso, las isotermas son horizontales casi en su totalidad, indicando que el

flujo es estratificado, a diferencia del canal, donde se muestra un flujo parabólico desarrollado

hasta media altura del canal.

En conclusión, tanto para el adobe como para el concreto, a medida que se aumenta el

número de Ra, los niveles de velocidad se incrementan en el canal hasta llegar a tener un perfil

parabólico.

106


Isolíneas de corriente Vector de velocidad Temperatura

a) Ra=105

b) Ra=106

c) Ra=107

Figura 5.3 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para:

a) Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de concreto con

d = 1/10 y canal con s = 1/15.

107

Resultados Capítulo 5 5.3 Efecto del ancho del canal

Existe un amplio intervalo de diferencias de temperatura durante el funcionamiento del

muro Trombe provocando razones de flujo volumétrico de bajas a moderadamente altas. Para

el estudio del efecto del ancho de canal se considera un muro de concreto de espesor d = 1/10,

para cada uno de los 3 tamaños del ancho de canal (s) con un Ra = 107. En la Figura 5.4 se

muestran las posiciones donde se grafican los resultados a lo largo del canal, parte inferior

(P1), parte media (P2) y parte superior (P3), así como, la entrada y salida.

P1

P2

P3Salida

Entrada

Figura 5.4 Posiciones para estudio de velocidades y temperaturas en el canal. 5.3.1 Velocidades a lo ancho del canal

En la Figura 5.5 se muestran los perfiles de velocidad vertical en la posición P1 para

todos los tamaños de ancho de canal con un muro de concreto de espesor d = 1/10. Se observa

que la velocidad para un canal de 1/10 tiene un perfil ondulado, con velocidades más altas en

los extremos, esto es debido a que el vidrio y el muro transmiten el calor al aire. Para el canal

de s = 1/15 se presentan velocidades mayores en los extremos y un comportamiento casi

constante en el centro. Para el canal de s = 1/30, la velocidad tiene un perfil parabólico, con las

magnitudes de velocidad mayores de los 3 casos.

108


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 0.005 0.01 0.015 0.02

x (m)

v (m

/s) s = 1/10

s = 1/15s = 1/30

Figura 5.5 Perfiles de velocidad v en la posición P1 del canal.

En la Figura 5.6 se muestran los perfiles de velocidad vertical en la posición P2 para

los tres tamaños de canal. Para un canal de ancho s = 1/10, se presentan velocidades más

elevadas en el lado derecho dado que el muro transmite más calor que el vidrio. Sin embargo,

para el canal de ancho s =1/15 se presentan las velocidades más altas de los tres tamaños de

canal, con un perfil parabólico cargado hacia la derecha, debido a que el muro subministra

más calor que el vidrio. Finalmente, para el canal de ancho s =1/30, el perfil también es

parabólico, pero las magnitudes de la velocidad son ligeramente menores comparadas con el

canal de 1/15.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 0.005 0.01 0.015 0.02

x (m)

v (m

/s) s = 1/10

s = 1/15s = 1/30


109


En la Figura 5.7 se presentan los perfiles de velocidad para la posición P3 para cada

uno de los tamaños de ancho de canal. Para el canal de ancho s = 1/10, la velocidad más alta se

localiza en el lado derecho, dado que está próxima la salida del canal; de igual forma para el

canal de ancho s = 1/15, la velocidad de lado derecho es mayor a la del lado izquierdo hasta 7

veces, presentando las velocidades mayores para los 3 canales estudiados, y finalmente, para

el canal de ancho s = 1/30, el perfil sigue siendo parabólico, con la magnitud más alta de las

velocidades hacia la salida del canal.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 0.005 0.01 0.015 0.02

x (m)

v (m

/s) s = 1/10

s = 1/15s = 1/30


5.3.2 Temperatura a lo ancho del canal

Para los mismos parámetros con los que se analizó la componente de velocidad, en la

Figura 5.8 se presentan los perfiles de temperatura en la posición P1 para cada uno de los

tamaños del canal, para el canal de ancho s = 1/10 se tiene un perfil parabólico con

temperaturas mayores en los extremos, esto debido a que el vidrio y el muro tienen una

temperatura mayor que el aire entrante; para el canal de ancho s = 1/15 se tiene un perfil

parabólico con valores ligeramente mayores en el centro del canal comparado con el canal de

s = 1/10. El caso del canal de ancho s = 1/30 presenta los valores de temperatura mayores de

los 3 tamaños de canal, también con un perfil parabólico.

110


298

300

302

304

306

308

310

0 0.005 0.01 0.015 0.02

x (m)

T (K

) s = 1/10s = 1/15s = 1/30

Figura 5.8 Perfiles de temperatura en la posición P1 del canal.

Para el análisis de las temperaturas en la posición P2, en la Figura 5.9 se muestran los

perfiles de temperatura para cada uno de los tamaños del canal. Para un canal de ancho

s = 1/10, el perfil es parabólico, para el canal de ancho s = 1/15 se presenta un incremento de

temperatura en el centro del canal de hasta 2ºC con respecto al canal de espesor s = 1/10.

Finalmente, para el canal de espesor s = 1/30 el perfil de temperatura presenta una tendencia

lineal, con una pendiente positiva, con una diferencia de 1ºC entre la temperatura del vidrio y

la superficie del canal.

307

308

309

310

311

312

313

0 0.005 0.01 0.015 0.02

x (m)

T (K

) s = 1/10s = 1/15s = 1/30


111


En la Figura 5.10 se muestran los perfiles de temperatura en la posición P3 para todos

los tres tamaños de canal (s) analizados; para un canal de espesor s = 1/10 el perfil es casi

constante en la mitad de la parte izquierda, mientras que en la mitad derecha, el perfil tiene

una pendiente lineal ascendente con una diferencia de temperatura de 3ºC entre el vidrio y el

muro. Para el canal de ancho s = 1/15 el perfil tiene una pendiente positiva con valores

mayores a los del canal de s = 1/10, con una diferencia de temperatura de 3.5ºC. Finalmente,

para el canal de ancho s = 1/30, la pendiente es más pronunciada, con una diferencia de

temperatura de 3ºC, este caso presenta los valores de temperatura más elevados de los 3

canales en todas las posiciones del canal.

310

311

312

313

314

315

316

0 0.005 0.01 0.015 0.02

x (m)

T (K

) s = 1/10s = 1/15s = 1/30


5.3.3 Velocidades en las ventilas del canal

En la Figura 5.11 se muestran los perfiles de velocidad horizontal en la posición de la

entrada para los parámetros fijados anteriormente en esta Sección 5.3. Para un canal de ancho

s = 1/10, la velocidad muestra un perfil parabólico con velocidades mayores en la parte

superior, esto se debe a que el muro está más caliente que el suelo, este caso presenta los

valores de velocidades más pequeños comparados con los otros dos tamaños de canal. Para un

canal de ancho s = 1/15, la velocidad tiene un perfil parabólico con velocidades mayores en la

parte superior, siendo estas menores a los valores del canal de s =1/30. Para un canal de ancho

112

Resultados Capítulo 5 s = 1/30, la velocidad tiene un perfil lineal con una pendiente negativa con valores mayores en

la parte superior cercana al muro presentando los valores mayores de los 3 canales.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

u (m/s)

y (m

) s = 1/10s = 1/15s = 1/30

Figura 5.11 Perfiles de velocidad u en la entrada del canal.

En la Figura 5.12 se presentan los perfiles de velocidad horizontal en la salida para los

tres tamaños de canal analizados. En general, los tres casos presenta un perfil parabólico a la

salida del canal con velocidades máximas desde el centro de la ventila hacia la parte inferior.

0.1640.1660.1680.17

0.1720.1740.1760.1780.18

0.1820.184

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

u (m/s)

y (m

) s = 1/10s = 1/15s = 1/30

Figura 5.12 Perfiles de velocidad u en la salida del canal.

113

Resultados Capítulo 5 5.3.4 Temperatura en las ventilas del canal

En la Figura 5.13 se muestran los perfiles de temperatura en la posición de la entrada

para los tres anchos de canal analizados. Para un canal de ancho s = 1/10 el perfil de

temperatura es logarítmico, nuevamente la temperatura mayor se localiza en los nodos

próximos al muro, debido a que éste es la fuente de calor, con un valor promedio de

temperatura de 299.11 K. Para un canal de ancho s = 1/15 el perfil también es logarítmico con

temperaturas mayores en la parte superior, siendo estas menores al canal con ancho de

s = 1/10 con un valor promedio de temperatura de 299.09 K. Finalmente, para un canal de

ancho s = 1/30, la temperatura tiene un perfil logarítmico con el valor mayor cercano al muro

con un valor promedio de temperatura de 298.73 K, siendo este ligeramente menor al del canal

con ancho s = 1/10.

00.0020.0040.0060.0080.01

0.0120.0140.0160.0180.02

297 298 299 300 301 302 303 304 305 306

T (K)

y (m

) s = 1/10s = 1/15s = 1/30

Figura 5.13 Perfiles de temperatura en la entrada del canal.

En la Figura 5.14 se muestran los perfiles de temperatura a la salida del canal para los

tres anchos de canal analizados. El canal de ancho s = 1/10, el perfil se comporta casi

constante en la mitad superior mientras que en la mitad inferior presenta una diferencia de

3ºC, con un valor promedio de temperatura de 312.72 K. Para un canal de ancho

s = 1/15, el perfil presenta una pendiente lineal con temperaturas más altas en los nodos

cercanos al muro con un valor promedio de temperatura de 313.50 K, siendo estas ligeramente

114

Resultados Capítulo 5 mayores a las del canal de s = 1/10. Finalmente, para un canal de ancho s = 1/30, el perfil de la

temperatura es lineal con el valor mayor en el nodo próximo al borde del muro, siendo este el

valor de temperatura más grande de todos los canales y con un valor promedio de temperatura

de 314.76 K .

0.1640.1660.1680.17

0.1720.1740.1760.1780.18

0.1820.184

311 312 313 314 315

T (K)

y (m

) s = 1/10s = 1/15s = 1/30

Figura 5.14 Perfiles de temperatura en la salida del canal.

5.3.5 ΔT en el canal para los números de Rayleigh

Para el caso del muro de concreto de espesor d = 1/10, en la Figura 5.15 se presentan

las diferencias de la temperatura promedio entre la entrada y la salida del canal en función del

ancho del canal para todos los Ra bajo estudio. Para el Ra=105, se observa un perfil lineal con

pendiente positiva, presentando para el ancho de canal s = 1/10 una diferencia de 7ºC, siendo

este valor el mayor de los tres canales. Para el Ra=106, se tiene un perfil casi lineal con

pendiente positiva, teniendo la diferencia mayor con un valor de 12ºC con el tamaño de canal

s = 1/15. Finalmente para el Ra=107, se tiene casi un comportamiento lineal con una pendiente

negativa, presentando la mayor de las diferencias de temperatura para el canal con ancho

s = 1/30 con un valor de 16ºC.

115


0

3

6

9

12

15

18

0 1/30 1/15 1/s

ΔT (K

)

10

Ra 10 5

Ra 10 6

Ra 10 7

5

6

7

Figura 5.15 Diferencia de temperatura entre la entrada y la salida del canal en función del

ancho de canal (s) para un espesor de muro d = 1/10.

5.4 Efecto del espesor y tipo de muro

A continuación se presenta la eficiencia del sistema de muro Trombe calculada

mediante la ecuación (2.15), en función del ancho de canal para todos los espesores de muro

de las configuraciones estudiadas. Como se mencionó en la Sección 2.5, conocer el valor de la

eficiencia de un sistema térmico permite seleccionar la configuración óptima con las

características que presenten un mejor desempeño térmico.

5.4.1 Eficiencia para el muro de adobe

A continuación se presenta el efecto del espesor y tipo de muro, en función de la

eficiencia del muro Trombe para todos los casos estudiados del muro de adobe. La eficiencia

en función del ancho del canal para cada espesor de muro de adobe y Ra = 105 se muestra en

la Figura 5.16. La eficiencia mayor se obtiene con un espesor de muro d = 1/30 para todos los

anchos de canal, con un valor máximo de 9.78% para el ancho del canal s = 1/10 y un valor

mínimo de 9.30% para con canal de un ancho s = 1/15. La menor eficiencia se tiene con un

muro de espesor d = 1/6 para todos los anchos de canal, su valor máximo es de 9.32% para

116

Resultados Capítulo 5 s = 1/10 y su valor mínimo es de 9.05% para s = 1/15. En general, para todos los espesores de

muro, la mayor eficiencia se obtiene para el ancho de canal de s = 1/10.

9.00

9.20

9.40

9.60

9.80

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (%

)d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6

Figura 5.16 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de adobe.

Análogamente, en la Figura 5.17 se muestran los valores de la eficiencia un

Ra = 106. La mayor eficiencia se obtiene para el caso d = 1/30 para todos los valores de ancho

de canal. El valor máximo es de 11.02% para s = 1/10. La menor eficiencia se presenta para el

caso de d = 1/6 para todos los casos analizados de s. El valor menor es de 8.68% para s = 1/30.

8.50

9.00

9.50

10.00

10.50

11.00

11.50

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (%

)

d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6


117


Similarmente, a los casos anteriores de Ra = 105 y 106, en la Figura 5.18 se presenta la

eficiencia para un Ra = 107. A diferencia de las eficiencias obtenidas para

Ra = 105, 106 donde los valores máximos de eficiencia se presenta para s = 1/10 para todos los

d, en este caso la mayor eficiencia se obtiene para s = 1/15 para todos los casos de d.

Nuevamente, el muro con espesor d = 1/30 presenta los valores máximos de eficiencia, con un

valor máximo de 11.04%.

9.00

9.50

10.00

10.50

11.00

11.50

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (

%)

d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6


5.4.2 Eficiencia para el muro de concreto

En esta Sección se presenta el efecto del espesor y tipo de muro, en función de la

eficiencia del muro Trombe para todos los casos estudiados del muro de concreto. La

eficiencia en función del ancho del canal para cada espesor de muro de concreto y

Ra = 105 se muestra en la Figura 5.19. La eficiencia mayor se obtiene con un espesor de muro

d = 1/30 para todos los anchos de canal, con un valor máximo de 11.28% para el ancho del

canal s = 1/10 y un valor mínimo de 10.60% para con canal de un ancho

s = 1/30. El valor mínimo de la eficiencia se tiene de 9.05% con un muro de espesor

d = 1/15 para s = 1/30. En general, para todos los espesores de muro, la mayor eficiencia se

obtiene para el ancho de canal de s = 1/10.

118


10.50

10.70

10.90

11.10

11.30

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (

%)

d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6

Figura 5.19 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de concreto.

De la misma manera, en la Figura 5.20 se muestran los valores de la eficiencia un

Ra = 106. La mayor eficiencia se obtiene para el caso d = 1/30 para todos los valores de ancho

de canal. El valor máximo es de 12.87% para s = 1/10. La menor eficiencia se presenta para el

caso de d = 1/6 para todos los casos analizados de s. El valor menor es de 10.44% para

s = 1/30.

10.00

10.50

11.00

11.50

12.00

12.50

13.00

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (%

)

d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6


De igual forma a los casos anteriores de Ra = 105, 106, en la Figura 5.21 se presenta la

eficiencia para un Ra = 107. A diferencia de las eficiencias obtenidas para Ra = 105, 106 donde

los valores máximos de eficiencia se presenta para s = 1/10 para todos los d, en este caso la

119

Resultados Capítulo 5 mayor eficiencia se obtiene para s = 1/15 para todos los casos de d. Nuevamente, el muro con

espesor d = 1/30 presenta los valores mayores de eficiencia, con un valor máximo de 11.04%.

11.00

11.50

12.00

12.50

13.00

13.50

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (

%)

d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6


En la Figura 5.22 a, b y c se presenta la comparación de la eficiencia en función del

ancho del canal para el adobe y concreto para los Ra = 105, 106 y 107. Estas eficiencias

corresponden a los valores más altos obtenidos de los espesores de muro (d) para cada

material. En general, se puede apreciar que el concreto presenta mejor desempeño térmico que

el adobe para todos los valores de Ra analizados.

9.10

9.50

9.90

10.30

10.70

11.10

11.50

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (

%)

adobe (d = 1/30)concreto (d = 1/30)

Figura 5.22a Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 105

con adobe y concreto.

120


9.00

9.80

10.60

11.40

12.20

13.00

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (

%)

adobe (d = 1/30)concreto (d = 1/30)

Figura 5.22b Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 106


9.80

10.30

10.80

11.30

11.80

12.30

12.80

13.30

0 1/30 1/15 1/10

s (m)

η (%

) adobe (d = 1/30)concreto (d = 1/30)

Figura 5.22c Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 107


En la Figura 5.23 se muestra la eficiencia en función del Ra para las máximas

eficiencias obtenidas del adobe y el concreto. En general, las eficiencias del concreto son

mayores que las del adobe para casa uno de los Ra considerados. En Ra = 105, 106 y 107, las

eficiencias del concreto son mayores que las del adobe en un 15.33%, 16.76% y 19.50%

respectivamente.

121


9.00

9.50

10.00

10.50

11.00

11.50

12.00

12.50

13.00

13.50

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

Ra

η (%

)adobeconcreto s = 1/15

d = 1/30 s = 1/10 d = 1/30

s = 1/10 d = 1/30

s = 1/15 d = 1/30

s = 1/10 d = 1/30 s = 1/10

d = 1/30

Figura 5.23 Comparación de las eficiencias máximas del adobe y concreto

para todos los Ra.

En la Tabla 5.3 se muestran los valores para la temperatura promedio en la habitación

para los casos con eficiencia máximas del adobe y concreto para todos los Ra mostrados en la

Figura 5.23. El adobe presenta valores mayores de temperatura respecto al adobe en 1.10, 1.59

y 1.92 K, para los Ra = 105, 105 y 107 respectivamente.

Tabla 5.3 Temperatura promedio en la habitación para los casos con eficiencias máximas del

adobe y concreto para todos los Ra

Ra 105 106 107 Adobe 301.70 303.44 304.46Concreto 302.80 305.03 306.38

122

Resultados Capítulo 5 5.5 Correlación del número de Nusselt para el sistema

El número de Nusselt permite determinar cuantitativamente la transferencia de calor

promedio en el sistema estudiado. En esta Sección se determina el valor promedio de este

número en la superficie de la pared semitransparente (NuHOT) y en la pared fría (NuCOLD) en

función del espesor del muro (d) para los casos del ancho de canal (s) con eficiencias máximas

de cada número de Ra estudiado.

La ecuación (5.1) muestra la correlación del NuHOT para los Ra de 105 y 106 con un

canal de s = 1/10 para todos los espesores de muro (d) de adobe estudiados, así mismo, la

ecuación (5.2) muestra la correlación para el NuCOLD con las mismas condiciones.

( ) ( )d1.185735-Ra03.697921x16-HOT

-7e1.379476+Ra04.013868x1Nu ⋅⋅= (5.1)

( ) ( )d0.462730-Ra06.674643x16-COLD

-8e4.161218+Ra08.442210x1Nu ⋅⋅= (5.2)

La ecuación (5.3) presenta la correlación para el NuHOT con Ra de 107 con un canal de

s = 1/15 para todos los espesores de muro (d) de adobe estudiados, por otra parte, en la

ecuación (5.4) se tiene la correlación para el NuCOLD con las mismas características.

d-0.685363HOT e10.283103Nu = (5.3)

d0.304063-COLD e26.767097Nu = (5.4)

La ecuación (5.5) muestra la correlación del NuHOT para los Ra de 105 y 106 con un

canal de s = 1/10 para todos los espesores de muro (d) de concreto estudiados, así mismo, la

ecuación (5.6) muestra la correlación para el NuCOLD con las mismas condiciones.

( ) ( )d1.928438-Ra04.932128x16-HOT

-7e0.599644+Ra03.301005x1Nu ⋅⋅= (5.5)

( ) ( )d0.341531-Ra101.0800085x6-COLD

-7e4.529126+Ra09.673692x1Nu ⋅⋅= (5.6)

123


La ecuación (5.7) presenta la correlación para el NuHOT con Ra de 107 con un canal de

s = 1/15 para todos los espesores de muro (d) de concreto estudiados, por otra parte, en la

ecuación (5.8) se tiene la correlación para el NuCOLD con las mismas características.

d-1.554045HOT e7.394539Nu = (5.7)

d-0.417883COLD e31.005845 Nu = (5.8)

Estas correlaciones presentan una desviación máxima porcentual del 1.95%

5.6 Comparación de un sistema de muro Trombe con y sin una cavidad anexa

(habitación)

A continuación se presenta una comparación de dos configuraciones representativas de

un muro Trombe. La primera es una configuración que considera una pared semitransparente

vertical y un sólido embebido en una cavidad, el cual corresponde al problema del presente

proyecto de tesis, la segunda configuración es un canal con una superficie vertical isoterma y

un sólido isotérmico vertical, este problema fue resuelto por Mohamad et al. (1997). Para fines

de comparación cualitativa y cuantitativa se considera un Ra = 107 y un ancho de canal

s = 1/15 para las siguientes espesores de muro (d = 1/6, 1/10, 1/30).

En las Figuras 5.24, 5.25 y 5.26 se comparan cualitativamente los campos de

temperatura obtenidos en el sistema con un ancho de canal s = 1/15 y un espesor de muro

d = 1/6, 1/10 y 1/30 respectivamente, los tres espesores de muro d presentan un

comportamiento similar. El sistema que considera la conducción de calor (Figura a) tiene un

perfil parabólico en el canal hasta la mitad de la altura y posteriormente isotermas paralelas a

la pared semitransparente con valores elevados de temperatura, el muro presenta un perfil de

temperaturas estratificado. El sistema de muro y canal (Figura b), presenta en el canal un perfil

de temperatura predominado por la convección, ya que la capa límite en las superficies es

muy delgada y las isotermas son únicamente verticales.

124


a) b)

Figura 5.24 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y b) Superficies

isotérmicas para un Ra de 1x107 con s = 1/15 y d = 1/6.

a) b)

Figura 5.25 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y b) Superficies isotérmicas para un Ra de 1x107 con s = 1/15 y d = 1/10.

125


a) b)

Figura 5.26 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y b) Superficies

isotérmicas para un Ra de 1x107 con s = 1/15 y d = 1/30.

En la Tabla 5.4 se presenta la comparación de los flujos de calor promedio desde la

pared izquierda hacia el canal del sistema con cavidad y sin cavidad. Se puede observar que

cuando se considera la configuración sin cavidad, los flujos de calor son mucho mayores que

los obtenidos con el presente proyecto. Para ambas configuraciones, los flujos de calor

disminuyen con el Ra y con d. Esta comparación permite ver que al usar una configuración

con paredes isotérmicas, los coeficientes de transferencia de calor serán sobreestimados.

126


Tabla 5.4 Flujos de calor promedio en la pared semitransparente hacia el canal.

Ra = 105 Conducción de calor Superficies isotérmicas s d Qvidrio-canal(W/m2) Qvidrio-canal(W/m2)

1/10 1/30 10.571 308.003 1/10 1/15 9.658 157.184 1/10 1/10 9.051 106.108 1/10 2/15 8.612 80.207 1/10 1/6 8.294 64.456


1/10 1/30 19.705 164.489 1/10 1/15 18.695 79.443 1/10 1/10 17.885 53.525 1/10 2/15 17.167 40.417 1/10 1/6 16.509 32.64


1/15 1/30 17.465 84.555 1/15 1/15 16.499 43.858 1/15 1/10 15.71 28.851 1/15 2/15 15.017 21.811 1/15 1/6 14.396 17.654

5.7 Conclusiones

Los resultados obtenidos para el sistema solar pasivo de muro Trombe considerando

convección natural en régimen laminar, muestran que el efecto del número de Rayleigh en

intervalo de 105≤ Ra ≤ 10

7 sobre el patrón de flujo, es un aumento en el flujo del fluido al

igual que para la transferencia de calor, teniéndose para Ra = 105 un régimen conductivo y

llega a ser convectivo para Ra = 107. El canal de ancho s = 1/15 presenta mayores velocidades

a la salida que los demás tamaños de canal. El muro de material de concreto el que permite

mayor flujo de calor al interior de la habitación, siendo el mejor el de espesor d = 1/30 y con

una eficiencia de 13.20% para un ancho de canal s = 1/15, presentando un 19.50% mejor

eficiencia que el de adobe. La correlación para calcular en número de Nusselt en la pared

semitransparente al igual que en la pared fría para los casos de ancho de canal (s) con

eficiencias máximas en función del número de Rayleigh y del espesor del muro (d) en el

127

Resultados Capítulo 5 sistema de muro Trombe para materiales de adobe y concreto, presenta una desviación

porcentual máxima del 1.95%. Finalmente, mediante la comparación de un sistema de muro

Trombe considerando la conducción a través del muro y la pared semitransparente, con un

sistema considerando superficies isotérmicas, se concluye que al considerar este último, los

coeficientes de transferencia de calor serán sobreestimados.

128

Conclusiones Capítulo 6 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES

6.1 Conclusiones

Como se mencionó en el Capítulo 1, el objetivo del presente trabajo es el de analizar la

transferencia de calor conjugada con flujo laminar en un sistema solar pasivo compuesto por

un muro Trombe, considerando la influencia del medio ambiente a través de las paredes,

tomando en cuenta la conducción a través de la ventana de vidrio, la convección natural, la

conducción de calor en el muro Trombe. Dentro del estudio se consideraron tres tamaños de

cavidad, dos materiales de muro, cinco espesores de muro y tres anchos de canal, para

encontrar la configuración óptima, basada en la temperatura promedio de la habitación y la

eficiencia del sistema.

El modelo físico del estudio consistió en una cavidad cuadrada con las paredes

horizontales adiabáticas. Dos superficies verticales, una pared semitransparente conductora de

calor sobre la cual incide perpendicularmente la irradiación solar y otra a una temperatura

constante. La superficie del muro Trombe, el cuál se considera como un sólido embebido,

recibe el calor transmitido por el vidrio y lo transmite por conducción al fluido. Dependiendo

del ancho del canal y ventilas, así como del material y espesor de muro, se pueden obtener

diferente configuraciones, y por lo tanto, resultados de la transferencia de calor. Se analizó la

transferencia de calor por convección al interior de la cavidad, considerando al canal y a la

habitación, el flujo de calor radiativo incidente sobre el muro, la transferencia de calor por

conducción a través de la pared semitransparente y del muro, y finalmente, las pérdidas

convectivas y radiativas al exterior de la pared semitransparente.

Los parámetros geométricos fueron tomados con base en las aplicaciones del sistema

de muro Trombe: razón de aspecto A = Hy/Hx = 1.0, razón de ancho de canal

s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de alto de ventilas b = s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de

espesor de muro d = 1/30, 1/15, 1/10, 2/15 y 1/6 de Hx. Los parámetros térmicos son Ra de

105 a 107 y razones de conductividad λrazón = λmuro / λ = 18.5 (correspondiente a un muro de

129

Conclusiones Capítulo 6 adobe) y 68 (correspondiente a un muro de concreto), estas combinaciones se realizaron con el

objetivo de analizar la transferencia de calor al interior de la habitación.

El sistema gobernado por las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía en

régimen laminar, fue resuelto numéricamente con el método de volumen finito, utilizando el

algoritmo SIMPLEC para acoplar las ecuaciones.

El código numérico fue verificado y validado mediante comparaciones de los

resultados obtenidos con resultados numéricos reportados en la literatura, de la cual se

concluye que se obtuvieron resultados satisfactorios.

El análisis paramétrico realizado al sistema solar pasivo de muro Trombe mediante los

resultados obtenidos permite concluir lo siguiente:

1. Mediante el análisis del patrón de flujo se observó que la transferencia de calor y la

velocidad dependen directamente del número de Ra, que a medida que se incrementa el

Ra se presentan gradientes horizontales nulos en el centro de la cavidad y que los

niveles de velocidad en el canal se incrementan tanto para el adobe como para el

concreto.

2. Mediante el análisis realizado al perfil de velocidades en la sección del canal para el

muro de concreto con espesor d = 1/10 de Hx y los tres tamaños de canal estudiados (s

= 1/10, 1/15 y 1/30 de Hx), se encontró que el caso del canal de ancho s = 1/15 de Hx

presenta valores mayores de velocidad a la salida.

3. Considerando el tipo de material de construcción del muro Trombe, se obtuvo que el

concreto es más efectivo, dado que mejora la transferencia de calor al aumentar la

eficiencia. Esto se debe a sus propiedades térmicas, lo que le permite que transmita

mayor cantidad de calor al aire comparado con el adobe.

130

Conclusiones Capítulo 6

4. Una vez analizados los espesores de muro para ambos materiales, se observó que el

calor transferido a la habitación es inversamente proporcional al espesor de muro

seleccionado, de esta manera se seleccionó el muro con espesor d = 1/30 de Hx, el cual

permite mayor flujo de calor hacia la habitación tanto para el adobe como para el

concreto.

5. Tomando en cuenta la eficiencia y el valor de temperatura promedio al interior de la

cavidad es la configuración del canal con ancho s = 1/15 de Hx y un muro de concreto

con espesor d = 1/30 de Hx la que presenta el mejor comportamiento térmico.

6. Finalmente, se obtuvieron correlaciones para determinar el número de Nusselt en la

pared semitransparente y en la pared fría, en función del espesor de muro (d) y el

número de Rayleigh para los casos de ancho de canal (s) con eficiencias máximas,

estas correlaciones presentan una diferencia porcentual máxima respecto a los

resultados numéricos del 1.95%.

7. De la comparación del sistema que considera la transferencia de calor a través del

sólido interno y el que lo considera con temperatura constante se observó que al usar

una configuración con paredes isotérmicas, los flujos de calor son sobreestimados.

Como conclusión general, se establece que el sistema de muro Trombe con material de

concreto y con un espesor d = 1/30 de Hx con un canal con ancho s = 1/15 de Hx es el

adecuado para aprovechar de mejor manera la energía solar. Con base en las configuraciones

analizadas, se demuestra que el muro de concreto con espesor de 1/30 es el de mejor

desempeño para todos los anchos de canal estudiados, basado en la eficiencia de la

transferencia de calor y temperatura promedio al interior de la habitación.

131

Conclusiones Capítulo 6 6.2 Recomendaciones

Con la finalidad de continuar con el estudio de los sistemas solares pasivos y ampliar

los conocimientos en esta línea de investigación, se recomiendan los siguientes estudios a

futuros:

1. Evaluar el efecto de la razón de aspecto de la cavidad, considerando cavidades

alargadas para modelar una configuración de tipo edificación.

2. Considerar muros Trombe aletados, para comparar con un sistema de muro Trombe

clásico para explorar el aumento o disminución de la eficiencia.

3. Realizar estudios que consideren el intercambio radiativo entre las superficies del

sistema para obtener resultados más aproximados a los fenómenos reales.

4. Resolver las ecuaciones diferenciales parciales que se presentan en este estudio en

estado transitorio para tener en cuenta la variación temporal de la irradiación solar y la

temperatura exterior.

5. Considerar condiciones de frontera con paredes conductoras de calor tanto en el techo

como en la pared fría para tomar en cuenta los efectos externos.

6. Realizar cálculos tridimensionales de la transferencia de calor conjugada para obtener

resultados más aproximados a los fenómenos reales.

7. Analizar la transferencia de calor considerando flujo en régimen turbulento, con el fin

de estudiar cavidades con dimensiones reales.

8. Realizar también estudios experimentales en sistemas pasivos para validar los códigos

computacionales.

132

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