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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Obtención de Arreglos Modales de Pesos para el Balanceo de Rotores, a Partir de Matrices de Coeficientes de Influencia.

presentada por

José Angel Ruiz Jiménez Ing. Electromecánico por el I. T. de Minatitlán

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jorge Enrique Aguirre Romano

Co-Director de tesis:

Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing Cuernavaca, Morelos, México. 06 de Noviembre de 2007

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Obtención de Arreglos Modales de Pesos para el Balanceo de Rotores, a Partir de Matrices de Coeficientes de Influencia.

presentada por

José Angel Ruiz Jiménez Ing. Electromecánico por el I. T. de Minatitlán

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jorge Enrique Aguirre Romano

Co-Director de tesis:

Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing

Jurado: Dr. José María Rodríguez Lelis – Presidente

M.C. Eladio Martínez Rayón – Secretario Dr. Jorge Colín Ocampo – Vocal

Dr. Jorge Enrique Aguirre Romano – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 06 de Noviembre de 2007

DEDICATORIA

A mi madre

Con amor, respeto y admiración.

AGRADECIMIENTOS

A dios: por acompañarme y ayudarme siempre.

A mi madre: por el amor, la confianza y el apoyo que siempre me brinda. Eres la persona más

importante en mi vida y nunca podré pagar todo lo que haces por mí.

A Verona: por su amor, la paciencia, la confianza y por estar siempre conmigo. Tú me

impulsas a dar lo mejor de mí cada día.

A mis abuelos: Epifanio y Juanita (e. p. d.), por ser un padre y una madre para mi, siempre los

llevo en mi corazón.

A mis tíos: Juan, Marco, Maria del Rosario, Epifanio, Héctor, Leodegario y José, por el cariño

y la confianza que me tienen.

A Ernesto Cancino y Fabio Aguirre: por su amistad, por los momentos compartidos y las

tardes de sonrisas y pláticas interminables.

A Rubén Saldivar: por el apoyo y amistad que siempre me brinda.

A la familia Soto Manuet: por abrirme las puertas de su casa y por su amistad sincera.

Al Dr. Jorge Enrique Aguirre Romano por dirigir el presente trabajo y por contribuir a

desarrollarme profesionalmente. Me siento orgulloso de haber trabajado con usted, mis

respetos hoy y siempre.

Al Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing por el apoyo y comentarios brindados durante el

desarrollo de la tesis.

A los miembros del jurado revisor: Dr. José María Rodríguez, M.C. Eladio Martínez y Dr.

Jorge Colin, por los comentarios para mejorar el presente trabajo.

A los profesores del departamento de ingeniería mecánica: Dr. Baltazar, Dr. Wing, Dr. Colin,

Dr. Bedolla, M.C. Claudia y el M.C. Eladio, por los conocimientos y experiencias

compartidas. Una mención especial al Dr. Dariusz y al Dr. José María porque son un ejemplo

de lucha, entrega y dedicación.

A mis compañeros: Efraín, Jorge Daniel, Salvador, Daniel, Marco, José Manuel y Melvin, por

su apoyo a lo largo de toda la maestría.

Al Instituto de Investigaciones Eléctricas por permitirme desarrollar la presente tesis en sus

instalaciones. Gracias al personal de la gerencia de turbomaquinaria por el trato amable que

siempre me brindaron.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económico brindado

durante la realización de mis estudios.

RESUMEN

En la práctica se conocen dos métodos para el balanceo de rotores: el método de coeficientes

de influencia que se basa en la respuesta del rotor para calcular los pesos de balanceo y el

método de balanceo modal que requiere del conocimiento de las formas modales del rotor para

obtener los arreglos modales de pesos. Los pesos que se obtienen por el método de

coeficientes de influencia sólo reducen la vibración en determinadas frecuencias; en contraste,

los arreglos modales de pesos tienen la ventaja de reducir la vibración de modos específicos en

todo el intervalo de frecuencias.

En el presente trabajo de investigación se tomaron conceptos de ambos métodos de balanceo

para calcular los arreglos modales de pesos. El método que se propone calcula arreglos

modales de pesos a partir de matrices completas e incompletas de coeficientes de influencia.

Como parte del procedimiento se toma la forma que adopta el rotor en la frecuencia

seleccionada para obtener un arreglo de pesos inicial, si dicho arreglo genera en todas las

frecuencias la misma curva de deflexión entonces se considera como un arreglo modal de

pesos y la curva de deflexión resultante como la forma modal, de lo contrario se recalcula la

forma inicial hasta que la condición anterior se cumpla.

Con base en el algoritmo propuesto para el método desarrollado en este trabajo, se realizó un

programa de cómputo con el cual se obtuvieron los arreglos modales de pesos para los

siguientes casos que son similares a condiciones prácticas: selección de frecuencias no

resonantes, máquinas con modos de vibración cercanos y máquinas con la influencia de un

modo superior.

ABSTRACT

Rotor balancing is conducted by one of two known methods: the influence coefficient method

that calculates the balancing weights on the basis of the rotor response and the modal

balancing method, which calculates modal weight sets on the basis of knowledge of the modal

shapes of the rotor. The weights obtained through the first method reduce vibration at the

specified frequencies; in contrast, the modal weights sets have the advantage of reducing the

vibration of specific modes in the whole speed range.

In the present research work concepts were taken from both balancing methods to calculate the

modal weight sets. The method proposed to do this, calculates modal weight sets from

complete and incomplete influence coefficients matrices. The procedure considers the

deflection curve adopted by the rotor at the selected frequency to obtain an initial weight set, if

this set generates for all the frequencies the same deflection curve, the weight set will be

considered modal and the resulting deflection curve as a modal shape, otherwise this

deflection curve is used to recalculate another weight set until the previous condition is

fulfilled.

The proposed method is presented as an algorithm and a computer program was elaborated

with which modal weight sets were obtained for the following cases which are similar to

practical conditions: selection of non resonant frequencies, machines with close natural

frequency and machines with the influence of a higher frequency mode.

CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS.................................................................................................................i

LISTA DE TABLAS................................................................................................................ iii

LISTA DE SIMBOLOS ...........................................................................................................iv

Capítulo 1 Introducción.

1.1 Introducción.................................................................................................................1

1.2 Planteamiento del problema. .......................................................................................2

1.3 Objetivo. ......................................................................................................................4

1.4 Alcances. .....................................................................................................................4

1.5 Estado del arte. ............................................................................................................5

Capítulo 2 Conceptos básicos. 2.1 Introducción...............................................................................................................13

2.2 Matriz completa de coeficientes de influencia. .........................................................13

2.3 Matriz incompleta de coeficientes de influencia. ......................................................15

2.4 Balanceo por coeficientes de influencia. ...................................................................15

2.5 Balanceo por multiplicadores. ...................................................................................18

2.6 Modo de vibración.....................................................................................................19

2.7 Forma modal..............................................................................................................19

2.8 Arreglos modales de pesos. .......................................................................................21

2.9 Contribuciones modales. ...........................................................................................23

2.10 Criterio de confiabilidad modal.................................................................................25

2.11 Balanceo modal. ........................................................................................................25

Capítulo 3 Arreglos modales de pesos a partir de matrices completas de coeficientes de influencia.

3.1 Introducción...............................................................................................................28

3.2 Consideraciones hechas en el cálculo de los arreglos modales de pesos. .................28

3.3 Primer método para obtener los arreglos modales de pesos......................................29

3.4 Análisis para determinar el parámetro que afecta el cálculo de los arreglos modales de pesos. ....................................................................................................................33

3.5 Descripción del método de los AMP para matrices completas. ................................35

3.6 Discusión. ..................................................................................................................48

Capítulo 4 Casos de estudio para el método de los AMP a partir de matrices completas.

4.1 Introducción...............................................................................................................51

4.2 Secuencia de las pruebas. ..........................................................................................51

4.3 Caso 1: Condición ideal.............................................................................................55

4.4 Caso 2: Selección de frecuencias fuera de los picos de vibración.............................56

4.5 Caso 3: Modos cercanos. ...........................................................................................58

4.6 Caso 4: Modos superiores. ........................................................................................62

4.7 Discusión. ..................................................................................................................64

Capítulo 5 Arreglos modales de pesos a partir de matrices incompletas de coeficientes de influencia.

5.1 Introducción...............................................................................................................65

5.2 Descripción del método para matrices incompletas. .................................................65

5.3 Factores que afectan el cálculo de los AMP a partir de matrices incompletas..........69

5.4 Aplicación..................................................................................................................69

5.5 Discusión. ..................................................................................................................72

Capítulo 6 Algoritmo para determinar AMP a partir de matrices de coeficientes de influencia.

6.1 Introducción...............................................................................................................73

6.2 Algoritmo general......................................................................................................73

6.3 Tamaño de las matrices. ............................................................................................80

6.4 Recomendaciones para la programación. ..................................................................82

Capítulo 7 Conclusiones y recomendaciones. 7.1 Conclusiones..............................................................................................................83

7.2 Recomendaciones. .....................................................................................................85

Referencias............................................................................................................................86

Apéndice A Modelo del Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW............................................89

Apéndice B Ecuaciones para generar la respuesta del Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW...................................................................................................................................................91

Apéndice C Aplicación de los AMP a un modelo con cuatro modos de vibración ..................93

Apéndice D Código de programación del algoritmo general para calcular los AMP ...............96

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Sistema rotor soporte a) en estado estacionario b) en su primera forma modal correspondiente a la primer frecuencia natural y c) segunda forma modal que corresponde a la segunda frecuencia natural. .........................................................20

Figura 2.2 Sistema rotor-soporte a) con siete sensores montados y b) factor de forma modal

del primer modo en la posición de los sensores.. ...................................................20 Figura 2.3 Forma modal del primer modo 1ψ , del sistema rotor soporte de la figura 2.2 a)...20 Figura 2.4 Forma de los diagramas de bode de los sensores S1 y S2 al excitar el rotor con un

arreglos modal de pesos..........................................................................................21 Figura 2.5 Diagrama polar de los sensores S1 y S2, que muestran la presencia de un modo de

vibración .................................................................................................................22 Figura 2.6 Diagramas de Bode que muestran a) Contribución de los modos 1 y 2 en el sensor

S1 y b) contribuciones del modo 1 y 2 en el sensor S2. .........................................24 Figura 3.1 Diferencia entre la vibración del modo uno y dos. .................................................30 Figura 3.2 Diagrama de flujo del método de los AMP para matrices completas. ....................37 Figura 3.3 Diagramas de bode de los sensores S1 y S2, que muestran las frecuencias a

seleccionar en el método de los AMP para matrices completas.............................38 Figura 3.4 Diagramas de Bode y polar de la vibración que se genera en el modelo de dos

modos y dos planos de balanceo, a causa del desbalance.......................................45 Figura 3.5 Respuesta de la máquina al colocar el AMP que se obtiene en la primera iteración.

................................................................................................................................46 Figura 3.6 Efectos del AMP de la segunda iteración sobre las vibraciones del segundo modo.

................................................................................................................................46 Figura 3.7 Efecto del AMP final sobre el modelo de dos modos de vibración. .......................47 Figura 4.1 Esquema del modelo del Turbogenerador marca Mitsubishi de 350 MW..............51 Figura 4.2 Carátula del modelo en donde se colocan los pesos para los diferentes rodados de

prueba. ....................................................................................................................52

i

Figura 4.3 Vibración en los sensores del modelo en forma de diagrama de Bode y diagrama

polar. .......................................................................................................................53 Figura 4.4 Diagrama de flujo de la secuencia de las pruebas...................................................54 Figura 4.5 Selección de frecuencias diferentes a los picos de vibración. ................................57 Figura 4.6 Diagramas de Bode de los sensores S1 y S2 con modos cercanos. ........................59 Figura 4.7 Diagrama de Bode de señales de vibración con influencias de un modo superior. 62 Figura 6.1 Diagrama de flujo del Algoritmo para programar el método de los AMP..............74 Figura 6.2 Diagrama de flujo de los datos de entrada. .............................................................75 Figura 6.3 Diagrama de flujo de las ecuaciones para matrices completas de coeficientes de

influencia. ...............................................................................................................75 Figura 6.4 Diagrama de flujo de las ecuaciones para matrices incompletas de coeficientes de

influencia. ...............................................................................................................75 Figura A1 Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW.................................................................89 Figura C1 Modelo compuesto por una turbina y un generador eléctrico. ................................93 Figura C2 Diagrama de Bode que muestra el desbalance de la máquina. ...............................93 Figura C3 Eliminación del primer modo de vibración al colocar el AMP correspondiente. ...94 Figura C4 Diagrama de Bode que muestra la eliminación del segundo modo de vibración. ..94 Figura C5 Diagrama de Bode con un sólo pico de vibración que se genera por la eliminación

de tres modos. .........................................................................................................95

ii

LISTA DE TABLAS

Tabla 2.1 Ventajas y desventajas del método de balanceo por coeficientes de influencia........17 Tabla 2.2 Valores de vibración de los sensores S1 y S2 en las diferentes frecuencias………….

seleccionadas. ............................................................................................................22 Tabla 2.3 Factor de forma modal en las diferentes frecuencias seleccionadas. ........................23 Tabla 2.4 Ventajas y desventajas del balanceo modal...............................................................27 Tabla 3.1 Cambio en el factor de forma modal y en la proporción de los pesos de un arreglo

modal, en las iteraciones diferentes iteraciones. .......................................................45 Tabla 4.1 Resultados del caso ideal...........................................................................................55 Tabla 4.2 Resultados de la prueba con dos modos de vibración y diferente separación en las

frecuencias seleccionadas. .........................................................................................57 Tabla 4.3 Resultados para la prueba de dos modos cercanos con frecuencias naturales………..

separadas 10 rpm. ......................................................................................................60 Tabla 4.4 Resultados para la prueba de dos modos de vibración con frecuencias naturales……

separadas por 50 rpm.................................................................................................61 Tabla 4.5 Resultados para la prueba de siete modos y frecuencias naturales cercanas.............61 Tabla 4.6 Resultados para el caso de estudio con un modo superior. .......................................63 Tabla 5.1 Iteraciones del método de los AMP para matrices incompletas al colocar arreglos de

pesos en los rodados de prueba. ................................................................................70 Tabla 5.2 Iteraciones del método de los AMP a partir de matrices incompletas al colocar pesos

individuales en los rodados de prueba.......................................................................71 Tabla 6.1 Tabla de variables que intervienen en el cálculo de los AMP...................................80 Tabla A1 Parámetros modales del plano X en el modelo del Turbogenerador Mitsubishi de….

350 MW.....................................................................................................................90 Tabla A2 Parámetros modales del plano Y en el modelo del Turbogenerador Mitsubishi de…..

350 MW.....................................................................................................................90

iii

LISTA DE SIMBOLOS

Símbolo Descripción α Coeficiente de influencia. ψ Factor de forma modal o forma modal.

Aψ Factor de forma modal de referencia o forma modal de referencia.

Xψ Factor de forma modal a comparar o forma modal a comparar

ϕ Factor de forma modal recalculado.

φ Factor de forma modal de referencia.

δ Delta de Kronecker.

Vo Vibración de la corrida inicial.

V Vibración en la corrida de prueba.

PP Pesos de prueba.

M Multiplicador.

C Contribución modal.

Arn Escalar para el modo r a la frecuencia n.

AMP Arreglo modal de pesos.

VM Vibraciones modales.

VE Vibraciones efecto.

MAC Criterio de confiabilidad modal.

R Radio del plano de balanceo.

RR Relación entre los radios de los planos de balanceo.

rpm Revoluciones por minuto.

[ ]VΔ Matriz de incremento de vibración.

{ }P Vector de pesos de balanceo.

{ }V Vector de vibraciones a compensar.

{ }rU Vector de vibración del modo r.

iv

{ }DU Vector de diferencia de vibración

i Posición o sensor.

j Plano de balanceo.

n Velocidad de giro o frecuencia.

m Número de sensores i por número de velocidades n.

k Número de velocidades n por número de sensores i.

q Rodados de prueba

r Modo de vibración.

a Sensor de referencia del modo r.

b Plano de referencia.

z Modo de referencia

[ ] Matriz.

{ }T Transpuesta del vector columna.

Valor absoluto.

[ ]* Transpuesta conjugada.

[ ]+ Inversa de Moore – Penrose ó Pseudoinversa.

[ ] 1− Inversa de uma matriz cuadrada.

⊗ Producto Kronecker

v

Capítulo 1 Introducción Equation Chapter 1 Section 1 1 Capitulo 1.

1.1 Introducción.

El desbalance es una de las principales causas de vibración en máquinas rotatorias. Puede

generar niveles de vibración elevados que provocan daño en los componentes de la máquina y

desgaste excesivo en chumaceras, sellos y acoplamientos. Los métodos que se han

desarrollado a lo largo de los años para reducir las vibraciones causadas por el desbalance son:

el balanceo por coeficientes de influencia y el balanceo modal. En las últimas décadas, la

posibilidad de conjuntar los métodos para aprovechar sus ventajas se plantea en diferentes

trabajos, como se muestra en el presente capítulo.

1

Capítulo 1 Introducción

1.2 Planteamiento del problema.

En procesos industriales como el de generación de energía eléctrica, extracción del petróleo

entre otros, las máquinas rotativas tienen un desempeño fundamental; un ejemplo se encuentra

en las plantas termoeléctricas, donde los turbogeneradores se encargan de producir la energía

eléctrica que se comercializa. Por la importancia de las máquinas rotatorias es necesario tener

un control estricto sobre su desempeño, por lo cual se monitorean de manera continua ciertos

parámetros críticos como la vibración. El fenómeno de la vibración es provocado por diversos

problemas como: el desbalance del rotor, la falta de alineamiento entre las máquinas,

rodamientos en mal estado y aflojamientos mecánicos; considerándose como la principal

causa el desbalance.

El desbalance se genera por la distribución irregular de la masa del rotor alrededor del eje de

rotación, ocasionando que el centro de masa deje de coincidir con el centro de rotación de la

máquina. Por tanto, el balanceo consiste en adicionar masa en cantidades específicas y a una

distancia establecida, con el propósito de generar una distribución de masa uniforme cuyo

centro coincida con el de rotación.

El valor de la magnitud y posición de las masas de balanceo no se puede conocer de manera

directa, sobre todo en turbogeneradores o grupos de turbinas; por lo que el desarrollo de

técnicas de balanceo se enfoca en la obtención de dichos valores en el menor tiempo posible y

con la mayor reducción en los valores de vibración. En la práctica se conocen dos métodos de

balanceo: el método por coeficientes de influencia y el método modal.

El método por coeficientes de influencia se basa en la respuesta del rotor al colocar pesos de

prueba en los diferentes planos de balanceo. Como resultado de las pruebas se obtienen los

coeficientes de influencia del rotor, los cuales se ordenan en forma matricial para calcular los

pesos de corrección que reducen los valores de vibración en la velocidad seleccionada.

2


A diferencia del método por coeficientes de influencia, el balanceo modal permite reducir la

vibración de un modo específico del rotor en todas las velocidades mediante la colocación de

arreglos modales de pesos. Para determinar dichos arreglos, se requiere calcular la forma

modal, lo cual implica la realización de pruebas modales experimentales en el rotor o la

elaboración de modelos detallados, proceso que puede durar días o semanas según el tipo de

rotor o máquina.

La principal ventaja del balanceo modal son los arreglos modales de pesos, los cuales

permiten el control sobre el balanceo al reducir la vibración en todo el intervalo de

velocidades para algún modo específico, sin afectar las vibraciones de los otros modos; lo cual

no ocurre con los pesos obtenidos con la matriz de coeficientes de influencia. Sin embargo, la

principal ventaja del balanceo por coeficientes de influencia es que la matriz se forma de la

respuesta de la máquina y que relaciona las vibraciones medidas en los sensores con los pesos

colocados en los planos de balanceo.

En el presente trabajo se desarrolla un método que aprovecha las ventajas de la matriz de

coeficientes de influencia para obtener arreglos modales de pesos, lo cual evita el cálculo de la

forma modal por alguna de las técnicas mencionadas. El utilizar arreglos modales de pesos

para el balanceo de rotores permite al personal encargado de la actividad tener un mejor

entendimiento del comportamiento vibratorio de la máquina, ya que sabrá qué pesos colocar

para afectar modos específicos de vibración. Con este conocimiento se puede reducir el tiempo

de la actividad de balanceo permitiendo que la máquina entre en operación, transformándose

en beneficios directos en la producción y en ganancias económicas a la empresa.

3


1.3 Objetivo.

Obtener arreglos modales de pesos a partir de matrices completas o incompletas de

coeficientes de influencia, que permitan mejorar el balanceo de rotores.

1.4 Alcances.

Desarrollar un método para determinar los arreglos modales de pesos con base en

matrices completas de coeficientes de influencia.

Realizar una rutina de cómputo que permita obtener arreglos modales de pesos a partir

de matrices completas de coeficientes de influencia.

Desarrollar un método para determinar los arreglos modales de pesos con base en

matrices incompletas de coeficientes de influencia.

Realizar una rutina que permita automatizar el método para matrices incompletas.

Determinar, si es posible obtener las formas modales en los planos de balanceo y en los

puntos de medición por medio de los arreglos modales de pesos que se obtienen con la

matriz de coeficientes de influencias.

4


1.5 Estado del arte.

Cuando en una máquina rotatoria se presentan vibraciones a causa del desbalance, el

funcionamiento se ve afectado negativamente; por eso es necesario corregir el problema

agregando masa en cantidades especificas y a una distancia establecida. La función de los

métodos de balanceo es calcular la magnitud y posición de las masas de balanceo con el fin de

disminuir o eliminar la vibración.

El estudio de las máquinas rotatorias comenzó con Rankine en 1869 [1], quien trató de

explicar el comportamiento en los sistemas rotor soporte. Para el estudio empleó un modelo

constituido por una masa rígida girando en una órbita circular, con un resorte elástico

actuando en la dirección radial [2]. Con este modelo Rankine estableció el término “velocidad

girante”, que es una cierta velocidad a la cual el eje se curva y gira alrededor de esta forma

curva. De hecho, se puede demostrar que más allá de la velocidad girante la deflexión radial

del modelo de Rankine crece sin límite [3]. Como resultado de la investigación Rankine

enunció que las máquinas rotatorias nunca serían capaces de rebasar la velocidad girante.

Años después, Carl Gustaf Patrick De Laval, desarrolló un modelo para explicar las

características dinámicas de las turbomáquinas [4]. El objetivo del modelo era tratar de

predecir el comportamiento dinámico de turbinas que fueron usadas inicialmente como parte

del proceso industrial de separadores de crema en productos lácteos. En 1889, con los

experimentos de De Laval, se logró incrementar la velocidad de operación de este tipo

turbinas a 40,000 rpm, con la velocidad alcanzada aparecieron efectos inerciales desconocidos

hasta entonces.

El trabajo de De Laval trató de describir el fenómeno de resonancia, empezó a formular los

primeros conceptos de desbalance rotatorio y explicó el fenómeno como producto de la

heterogeneidad en la distribución de la masa sobre el rotor [4].

5


En 1894, Stanley Dunkerley publicó un estudio sobre las vibraciones de ejes cargados con

poleas [5], en el cual definió el término “velocidad crítica” como una velocidad particular en

donde el eje se curva, pero al exceder esta velocidad el eje se comporta normal. Dunkerley

demostró que la velocidad crítica depende de la manera en la que el eje está soportado, de su

tamaño y módulo de elasticidad, así como del peso, posición y tamaño de las poleas que lleve.

Por otra parte, August Föppl mostró un modelo alternativo al de Rankine, el cual tiene una

solución estable al sobrepasar la “velocidad girante” [6]. Föppl explicó como el rotor responde

al desbalance cerca y sobre la velocidad crítica

Los ingenieros de esta época trabajaron bajo el concepto de velocidad girante de Rankine, ya

que sus predicciones fueron aceptadas como verdaderas, y no sobre el concepto de velocidad

crítica de Dunkerley; lo cual frenó el desarrollo de rotores de alta velocidad por casi 50 años.

La evidencia experimental de que una segunda velocidad crítica existía fue publicada por W.

Kerr en 1916 [7]; al igual que De Laval y Föppl, Kerr se oponía a lo establecido por la teoría

de Rankine. En la 1919 Henrio H. Jeffcott confirmó la predicción de Föppl de que existía una

solución estable arriba de la velocidad crítica; además amplió el trabajo de Föppl al considerar

el amortiguamiento externo. Cinco años después, Aurel B. Stodola demostró que la solución

del modelo de Jeffcott era estable por los efectos de la aceleración de Coriolis [8], la cual no

fue considerada en el modelo de Rankine [9].

Jeffcott utilizó un modelo que consta de un disco desbalanceado colocado a la mitad de un eje

flexible de masa despreciable, y todo el sistema está montado en soportes rígidos. Este modelo

sirvió para analizar la respuesta de una máquina con el rotor desbalanceado [10]. El análisis

explicó como la amplitud de la vibración alcanza un valor máximo en la velocidad crítica y

disminuye a medida que se sobrepasa. Una revisión del rotor Jeffcott da tres posibilidades para

reducir la amplitud de la vibración [1]:

1. Balancear el rotor.

2. Cambiar la velocidad de operación, lejos de la velocidad crítica.

3. Agregar amortiguamiento al sistema.

6


El balanceo es el método al que más se recurre por atacar directamente el origen de la

vibración. A partir de esta época se comenzaron a desarrollar técnicas para el balanceo de

rotores, pero se tenía el problema que al balancear un plano, la vibración en los demás planos

se afectaba, por lo que balancear una máquina requería mucho tiempo de trabajo y con poca

precisión en los resultados.

Thearle [11], publicó un método en donde se presenta la forma de conocer la influencia que

tiene el agregar peso en un plano sobre los demás. Aunque no se empleó terminología

matemática para describirlo, los conceptos se explicaron de manera teórica y son la base del

método de balanceo por coeficientes de influencia, el cual fue estudiado posteriormente por

Baker [12].

El método de balanceo por coeficientes de influencia usa pesos de prueba para determinar

experimentalmente la sensibilidad del sistema rotor soporte [13]. El método consiste en

colocar una masa de prueba en uno de los planos de balanceo y medir la respuesta del rotor,

este proceso se repite en cada plano de la máquina. Posteriormente se calculan los coeficientes

de influencia y se forma una matriz completa con la que se determinan los pesos de corrección

que reducen la vibración en una sola velocidad.

El balanceo por coeficientes de influencia presenta la limitante de necesitar tantos rodados de

prueba como planos de balanceo tenga la máquina más una corrida inicial; por lo que la

aplicación se limita a máquinas de dos y tres planos.

En 1964, Goodman extendió la técnica de coeficientes de influencia de Thearle, al incluir el

método de reducción por mínimos cuadrados para el cálculo de los pesos de balanceo [14]. El

método de Goodman permite adquirir datos de vibración a diferentes velocidades; y con esto

calcular los pesos de balanceo para esas velocidades.

Lund y Tonnesen [15], realizaron experimentos para validar y determinar la exactitud del

método presentado por Goodman, conjuntamente determinaron la influencia de la

7


instrumentación en los cálculos. Las conclusiones obtenidas por estos autores fueron: a) Un

rotor puede considerarse como un sistema con un comportamiento lineal dentro de límites

cercanos, b) para un balanceo satisfactorio los errores causados por la instrumentación no

deben exceder de tres o cuatro por ciento y c) con suficientes mediciones, el método por

coeficientes de influencia se puede usar para balancear más de dos planos simultáneamente.

Tessarzik realizó dos experimentos para evaluar la precisión del método de balanceo por

coeficientes de influencia; el primero se realizó con la técnica de la velocidad exacta [16] y el

segundo con la técnica de mínimos cuadrados [17].

El método de coeficientes de influencia era el más conocido hasta la época de los 70’s [18];

pero en esta misma época una técnica de análisis de estructuras que se denomina análisis

modal comenzó a tener gran impacto gracias a los avances en los transductores electrónicos y

los analizadores digitales [19].

Los estudios en análisis modal comenzaron con Kennedy y Pancú en 1947, ellos introdujeron

conceptos modales al analizar estructuras de aviones, utilizaron el diagrama polar de respuesta

como herramienta para la identificación de modos de vibración en resonancia, de frecuencias

naturales y amortiguamiento. Posteriormente, Grobel empleó conceptos modales para el

balanceo de rotores [20]. El trabajo de Grobel consistió en analizar la configuración de pesos

para balancear cada modo en específico, el procedimiento requería una corrida de prueba para

balancear cada uno de los modos, por lo que el balanceo era un proceso largo.

Probablemente, las aportaciones más importantes en el campo de balaceo de rotores por

conceptos de análisis modal fueron realizadas por Bishop, Parkinson y Gladwell. En el trabajo

publicado por Bishop en 1959 [21], se describe que el modelo del rotor de Jeffcott no provee

la suficiente información para resolver los problemas del balanceo de rotores y plantea una

ecuación diferencial de movimiento, donde involucra la rigidez de los soportes, la velocidad

de giro del eje y la forma modal. Con este trabajo, Bishop y Gladwell [22], elaboraron un

8


método general de balanceo modal de rotores, en el cual las masas de corrección se calculan

para cada modo de vibración de la máquina.

Al inicio de los años 80’s ya se contaba con dos métodos de balanceo y la aplicación de uno u

otro dependía del tipo de problema que se quería resolver, pero en general no se podían

conjuntar. Parkinson, Darlow y Smalley [23], publicaron un artículo donde aprovecharon las

ventajas tanto del balanceo modal como el de coeficientes de influencia. La técnica consiste en

balancear modo por modo, y se utilizan las características del método de coeficientes de

influencia para determinar arreglos modales de pesos. Los arreglos modales se construyen de

tal manera que afecten a un modo de vibración sin afectar a los otros modos.

Para la determinación de los arreglos modales de pesos se utiliza información experimental, la

cual se genera al colocar pesos de prueba individuales en los planos de balanceo del rotor. Se

menciona la posibilidad de generar arreglos de pesos que no afecten cualquier conjunto

general de modos de vibración, entre ellos los modos superiores a los que se está balanceando.

Para esto se requiere un número de planos de balanceo igual al número de modos que no se

desea afectar más uno, y debe contarse con información de rodados de pruebas realizadas con

anterioridad o con predicciones basadas en el análisis de modelos numéricos del rotor.

Los arreglos modales de pesos se determinan empíricamente mediante un procedimiento

similar al de los coeficientes de influencia; por eso este método requiere un conocimiento

mínimo de la respuesta dinámica de la máquina y, por lo tanto, reduce la profundidad del

análisis que se requiere en comparación con un balanceo modal tradicional.

Por otro lado, al igual que el método de los coeficientes de influencia, tiene la desventaja del

alto número de rodados para el balanceo, ya que la construcción de los arreglos modales de

pesos se basa en la colocación de pesos de prueba, con el fin de caracterizar su influencia

sobre los modos que no se desea afectar. La información necesaria para generar los arreglos

modales de pesos puede obtenerse mediante una simulación numérica del comportamiento del

9


rotor; pero este procedimiento alternativo presenta la desventaja de tener que desarrollar un

modelo numérico del conjunto rotor soporte.

El uso de las computadoras en esta época permitió almacenar y analizar los datos de los

rodados de prueba, crear diagramas de Bode y diagramas polares de respuesta [24], también

fue posible calcular los coeficientes de influencia a diferentes velocidades, incluso a las

velocidades superiores a la de operación. Dichos coeficientes se podían aplicar a máquinas con

las mismas características geométricas o guardarse para futuros balanceos. Con los avances

tecnológicos y los estudios previos, se aumenta la posibilidad de unificar los métodos de

balanceo.

Otro método que mezcla las ventajas del balanceo por coeficiente de influencia y el balanceo

modal, se desarrolló en el Instituto de Investigaciones Eléctricas, el cual se denomina

“balanceo modal de rotores utilizando coeficientes de influencia” [25]. La ventaja de este

método respecto al de Parkinson, es que sólo requiere una corrida de prueba para determinar

los arreglos modales de pesos, además incluye un método generalizado para obtener la matriz

de coeficientes de influencia.

El procedimiento para calcular los arreglos modales de pesos con el método de balanceo

modal de rotores utilizando coeficientes de influencia, consiste en colocar pesos de prueba que

exciten todos los modos presentes en la máquina. Mediante el programa AMODAL

desarrollado también en el instituto, se extraen parámetros modales como: frecuencia natural,

factor de forma modal y amortiguamiento modal, de la respuesta del rotor. Al conocer el

factor de forma modal en los planos de balanceo se descompone el peso de prueba en arreglos

modales de pesos. El método se probó en un rotor de turbina de seis toneladas, reduciendo las

vibraciones a un ocho por ciento de la vibración máxima inicial [25].

La desventaja del método de “balanceo modal de rotores utilizando coeficientes de influencia”

es que requiere del conocimiento del factor de forma modal en los planos de balanceo, y para

10


ello es necesario contar con programas de extracción de parámetros modales o la realización

de pruebas modales experimentales en el rotor.

En el presente trabajo el cálculo de la matriz completa de coeficientes de influencia se realiza

con el método generalizado de los coeficientes de influencia [25], el cual presenta la ventaja

de que aprovecha la experiencia del personal encargado del balanceo, porque en ocasiones se

colocan arreglos de pesos en el rotor en cada rodado de prueba, un par de pesos con la misma

magnitud y fase para el primer modo y dos pesos iguales pero separados 180° para el segundo

modo.

En el caso de algunos turbogeneradores el colocar dos pesos en fase u opuestos, no es

suficiente para afectar un modo de vibración sin afectar a los otros, a causa de la influencia de

los modos de un rotor sobre el conjunto, ya que el turbogenerador se comporta como un

mismo sistema. Por lo que el cálculo de un arreglo modal de pesos consiste en determinar el

peso a colocar en cada uno de los planos de balanceo de la máquina para no afectar a otros

modos de vibración. Los arreglos modales de pesos determinados se pueden utilizar para crear

una matriz de coeficientes de influencia, en la cual el cambio de vibración de un rodado a otro

significa la eliminación o reducción de la vibración de un modo especifico.

En 1996, Preciado, Aguirre y Bannister presentaron el método de los multiplicadores, el cual

se deriva del método generalizado de coeficientes de influencia. La ventaja del método de

multiplicadores es que calcula pesos de balanceo cuando no se tiene el mismo número de

rodados de prueba que planos de balanceo [26]. Para el cálculo de los pesos de balanceo se

utilizan multiplicadores, que se calculan al invertir la matriz de incremento de vibración. La

única condición para la aplicación de este método es que los pesos de prueba que se colocan

en diferentes rodados de prueba sean linealmente independientes.

La posibilidad de balancear un rotor sin rodados de prueba la presenta Preciado y Bannister

[27], quienes emplearon conceptos modales para balancear un rotor experimental, además

analizaron la influencia de la posición de los transductores en el cálculo de los pesos de

11


12

balanceo. El procedimiento empleado por Preciado y Bannister consiste en la extracción de

parámetros modales en resonancia de la corrida inicial, con estos datos ajustan un modelo

numérico del rotor, del cual obtienen las formas modales. Al conocer la forma modal se

determina el factor de forma modal en los planos de balanceo, con el cual se calculan los

arreglos modales de pesos. Más tarde, la técnica de Preciado y Bannister fue empleada por El-

Shafei [28], para balancear un rotor considerando modos complejos.

Tanto el método de balanceo de Preciado y Bannister como el método de EL-Shafei, plantean

la posibilidad de obtener arreglos modales de pesos sin rodados de prueba, pero requieren

programas para extraer parámetros modales y de un modelo numérico del rotor con el que

determinan la forma modal. En este trabajo de investigación, se propone un método que

calcula los arreglos modales de pesos sin el uso de programas de extracción de parámetros

modales, en lugar de esto, emplea la matriz de coeficientes de influencia la cual relaciona las

vibraciones en los puntos de medición con los pesos colocados en los planos de balanceo.

En el presente trabajo el estudio de la matriz incompleta de coeficientes de influencia para

obtener los arreglos modales de pesos, es porque en la práctica no siempre es posible realizar

los rodados de prueba necesarios para el balanceo, sobre todo en máquinas con más de dos

planos de balanceo. Las ventajas que se esperan obtener con los arreglos modales de pesos

son: tener una idea clara del comportamiento vibratorio del rotor, que los arreglos sean más

estables que una matriz de coeficientes de influencia con el paso del tiempo, que sean

aplicables a máquinas con iguales características geométricas y de montaje, y que reduzcan la

vibración de un modo de la máquina en todo el intervalo de velocidades.

Capítulo 2 Conceptos básicos

Equation Chapter (Next) Section 2 2 Capitulo 2

2.1 Introducción.

El conjuntar el método de balanceo modal y el de coeficientes de influencia para calcular

arreglos modales de pesos requiere entender los conceptos en los que se basa cada uno. Dentro

de los conceptos principales se encuentran: coeficiente de influencia, modo de vibración,

forma modal y contribución modal; los cuales se definen en este capítulo sin usar un gran

número de ecuaciones o deducciones matemáticas.

2.2 Matriz completa de coeficientes de influencia.

Un coeficiente de influencia es un vector que define el cambio resultante en la vibración en

algún punto específico de un rotor, por unidad de masa de balanceo agregada en un plano

definido, a una cierta velocidad de giro de la máquina. La ecuación fundamental para el

cálculo es:

n n

n ii j

j

V VoPP

α −= i

13

(2.1)

Donde: njiα = Coeficiente de influencia en la posición i a causa de la masa de prueba colocada en el

plano j. niVo = Vibración en la posición i a la velocidad n del rodado inicial.

niV = Vibración en la posición i a la velocidad n del rodado de prueba.

jPP = Peso de prueba en el plano j.

n = Velocidad de giro o frecuencia.

Capítulo 2 Conceptos básicos.

i = Posición o sensor.

j = Plano de balanceo.

El cálculo de los coeficientes de influencia con la ecuación 2.1 requiere la colocación de pesos

individuales en cada rodado de prueba, con el fin de caracterizar los efectos vibratorios que

causan dichos pesos en los planos de balanceo. Cuando se tienen tantos rodados de prueba

como planos de balanceo más una corrida inicial se forma una matriz completa de coeficientes

de influencia. Otra manera de construir la matriz completa es mediante la ecuación 2.2

propuesta en el método generalizado de coeficientes de influencia [25], la cual permite colocar

tanto arreglos de pesos como pesos individuales en los rodados de prueba.

[ ] [ ][ ] 1V PPα −= Δ (2.2)

( )( )mxj = mxj jxj

Donde:

[ ]α = Matriz completa con los coeficientes de influencia a las velocidades n.

[ VΔ ]

]

j

= Matriz de incremento de vibración. Cada columna de la matriz contiene los cambios

de vibración en los diferentes sensores.

[PP = Matriz de pesos de prueba. Cada columna corresponde a un rodado de prueba, y los

elementos de la columna representan los pesos colocados en cada uno de los planos de

balanceo.

m = Número de sensores i, por número de velocidades n.

En las ecuaciones 2.1 y 2.2 los coeficientes de influencia de la matriz tienen el mismo

significado y para el caso de una velocidad la matriz de influencia se puede escribir:

1 111 1

1 11

j

i i

α α

α α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.3)

14


Un requisito importante para formar la matriz completa es que el cambio de vibración de una

rodado a otro sea significativo, con el fin de reducir el efecto del ruido en las señales de

vibración [29]. En el método desarrollado en esta investigación, la importancia de la matriz

completa de coeficientes de influencia consiste en que se emplea para calcular los arreglos

modales de pesos, AMP, y evita el cálculo del factor de forma modal en los planos de

balanceo.

2.3 Matriz incompleta de coeficientes de influencia.

Si el número de rodados de prueba es menor al número de planos de balanceo, entonces se

tiene una matriz incompleta de coeficientes de influencia. La matriz incompleta no tiene

caracterizados todos los planos de balanceo y no es posible conocer la influencia de dichos

planos en la vibración de la máquina. En este caso, la ecuación 2.2 no se puede aplicar para

calcular los coeficientes de influencia, por lo que el cálculo de los arreglos modales de pesos

se realiza con el método de los multiplicadores [26].

La influencia de los modos superiores sobre la matriz completa de coeficientes de influencia

se puede considerar como un caso especial de la matriz incompleta, ya que para balancear los

modos superiores se necesitan tantos planos de balanceo extras en la máquina como modos

superiores se tengan, planos que no es posible caracterizar porque no existen. Por tanto, el

número de rodados de prueba es menor al número de planos de balanceo que se requieren en

la máquina

2.4 Balanceo por coeficientes de influencia.

El método de coeficientes de influencia se basa completamente en datos experimentales y

asume una relación lineal entre la vibración del rotor y el desbalance [26]. Originalmente al

15


tener la matriz completa de coeficientes de influencia los pesos de balanceo se calculaban para

una velocidad con la ecuación 2.4.

{ } [ ] { }1P α −= − V (2.4)

( )( )jx1= jxi ix1

En forma desarrollada la ecuación 2.4:

11 11 11 1 1

1 11

nj

nj i i j

P V

P V

α α

α α

−⎡ ⎤ 1

1i

⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(2.5)

La ecuación 2.4 es válida cuando se tiene una matriz cuadrada de coeficientes de influencia

como en el caso de igual número de sensores que planos de balanceo y a una velocidad. Por

esta limitante, Goodman presentó una ecuación general que admite varias velocidades para el

cálculo de los pesos de balanceo [14]. Al seleccionar varias velocidades la matriz se vuelve

rectangular y no se puede invertir por métodos convencionales como el método de la adjunta o

el de Gauss [30]. Para invertir la matriz rectangular se ocupa el método de Moore – Penrose, el

cual se basa en la reducción del error por mínimos cuadrados. Las ecuaciones propuestas por

Goodman son:

{ } [ ] [ ]( ) [ ] { }1* *P α α α−⎛= −⎜

⎝ ⎠V⎞

⎟ (2.6)

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]1* *α α α α−+ = (2.7)

{ } [ ] { }P α += − V (2.8)

( )( )jx1= jxm mx1

Donde:

{ }P = Vector de pesos de balanceo.

{ }V = Vector de vibraciones a compensar.

= Inversa de Moore – Penrose ó Pseudoinversa.

[ ]* = Transpuesta conjugada.

En forma expandida la ecuación 2.8 se puede escribir como muestra la ecuación 2.9.

16


1 111 1 1

1 112 211 1 1

1

2 21

11 1 1

1

j

i i j

j

i i jj

n nj

n ni i j

V

VV

P

VP

V

V

α α

α αα α

α α

α α

α α

+ 1

1

2

2

i

i

n

ni

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(2.9)

Las ventajas y desventajas del método de coeficientes de influencia se presentan en la tabla

2.1.

Tabla 2.1 Ventajas y desventajas del método de balanceo por coeficientes de influencia.

METODO DE BALANCEO POR COEFICIENTES DE INFLUENCIA

Ventajas Desventajas

Requiere conocimiento mínimo en dinámica de rotores.

Supone linealidad en la respuesta del

rotor.

Balancea a varias velocidades simultáneamente.

Requiere tantos rodados de prueba como planos de balanceo, más una inicial.

Las mediciones de vibración pueden llevarse a cabo en velocidades cercanas a las críticas, con lo cual, puede reducirse considerablemente el desbalance.

El balanceo en una velocidad no garantiza una reducción en todas las demás.

La técnica de mínimos cuadrados se emplea para la optimización de resultados cuando se usan varias velocidades.

Los coeficientes de influencia pueden variar con el tiempo de acuerdo a las condiciones de la máquina.

17


2.5 Balanceo por multiplicadores.

El cálculo de los arreglos modales de pesos para matrices incompletas se realiza combinando

conceptos modales como: factor de forma modal y contribución modal con el método de los

multiplicadores, este método se deriva del método generalizado de los coeficientes de

influencia [25]. Si de la ecuación 2.4 se despejan las vibraciones a compensar { se puede

escribir:

}V

{ } [ ]{ }V α− = P (2.10)

( )( )mx1= mxq qx1

Sustituyendo la ecuación 2.2 en 2.10,

{ } [ ][ ] { }1V V PP −− = Δ P (2.11) ordenando los términos,

[ ] { } [ ] { }1V V PP P− −− Δ = 1 (2.12) El multiplicador para calcular los pesos de balanceo se obtiene con:

{ } [ ] { }1M V V−= − Δ (2.13)

Para generalizar la inversa de y seleccionar varias velocidades, se emplea el método de

Moore – Penrose, como se muestra en la ecuación 2.15.

[ VΔ ]

{ } [ ] { }M V V+= − Δ (2.14)

{ } [ ] [ ]( ) [ ] { }1* *M V V V V−⎛= − Δ Δ Δ⎜

⎝ ⎠⎞⎟ (2.15)

( )( )( )( )( )qx1= qxm mxq qxm mx1

Por lo que los pesos de balanceo para las velocidades seleccionadas son:

{ } [ ]{ }P PP M= (2.16)

( )( )jx1= jxq qx1

18


La ecuación 2.16 no requiere el cálculo de los coeficientes de influencia para la determinación

de los pesos de balanceo, sino del multiplicador M. El tamaño del multiplicador depende del

número de rodados de prueba q y no del número de planos de balanceo j [25]; por eso se

puede aplicar al caso de las matrices incompletas, donde el número de rodados de prueba es

menor al número de planos de balanceo. Los pesos de balanceo que se calculan con la

ecuación 2.16 para una matriz completa son iguales a los que se obtienen de la ecuación 2.8

del método de los coeficientes de influencia. La única limitante del método de balanceo por

multiplicadores es que requiere que las columnas de la matriz de pesos de prueba sean

linealmente independientes [25].

2.6 Modo de vibración.

Un modo de vibración es una propiedad inherente de una estructura; depende de la

distribución de la masa y rigidez, así como de la relación entre sus magnitudes. Cada modo se

define por una frecuencia natural, amortiguamiento modal y forma modal [31]. Por tanto, un

modo es un patrón o manera característica en el que vibra un sistema mecánico en su

frecuencia natural [32].

La mayoría de los sistemas mecánicos tienen varios modos y la vibración es normalmente una

combinación o una mezcla de todos ellos aunque no todos están excitados de la misma manera

y su contribución a la vibración es diferente.

2.7 Forma modal.

Un factor o elemento de forma modal se puede definir como la relación del desplazamiento de

un punto respecto a otro tomado como referencia cuando el sistema vibra en algún modo

específico. Una forma modal se puede considerar como una serie de factores de forma modal,

ver figura 2.1.

19


a) b) c) Figura 2.1 Sistema rotor soporte a) en estado estacionario b) en su primera forma modal correspondiente a la primer frecuencia natural y c) segunda forma modal que corresponde a la segunda frecuencia natural.

La figura 2.2 a) muestra un sistema rotor-soporte con siete sensores montados a los largo de su

longitud, para medir la vibración total en cada punto; si la vibración del sistema se

descompone por modos, entonces el factor de forma modal para el primer modo en los puntos

de medición se vería como en la figura 2.2 b).

a) b)

Figura 2.2 Sistema rotor-soporte a) con siete sensores montados y b) factor de forma modal del primer modo en la posición de los sensores. i rψ = Factor de forma modal en la posición i del modo r.

Para observar la forma modal del primer modo de manera continua, es necesario tener los

factores de forma modal en varios puntos del rotor y ajustar una curva a esos puntos, como se

observa en la figura 2.3.

Figura 2.3 Forma modal del primer modo 1ψ , del sistema rotor soporte de la figura 2.2 a).

S4 A

mpl

itud

(Adi

men

sion

al)

S1 S2 S3 S5 S6 S7

Longitud (m) S1 S2 S3 S5 S6 S7

21ψ

S4

11ψ 31ψ 41ψ 51ψ 61ψ 71ψ

Longitud (m)

Am

plitu

d (A

dim

ensi

onal

)

S1 S2 S3 S5 S6 S7

1ψ

S4

20


2.8 Arreglos modales de pesos.

Un arreglo modal de pesos es una configuración de pesos que se coloca en el rotor con la

finalidad de afectar exclusivamente a un modo de vibración. Cuando un rotor se excita

exclusivamente con un arreglo modal de pesos, los diagramas de bode que se forman en los

diferentes puntos de medición presentan un pico de vibración como se muestra en la figura

2.4.

S1

S2

Figura 2.4 Forma de los diagramas de bode de los sensores S1 y S2 al excitar el rotor con un arreglos modal de pesos.

Si un rotor vibra en un modo especifico, la forma modal que adopta en cualquier frecuencia es

la misma; esto ocasiona que los factores de forma modal que se calculen de los puntos de

medición sean iguales. La figura 2.5 muestra los diagrama polares que se generan en los

sensores S1 y S2 cuando el rotor vibrar en un solo modo, dichos diagramas se emplean para

demostrar la declaración anterior. Primero se seleccionan diferentes frecuencias, las cuales se

marcan con flechas de colores en la figura 2.5, el color de cada flecha se relaciona con una

frecuencia; es decir, el color verde con la frecuencia n1, el color amarillo con la frecuencia n2

y así sucesivamente hasta el color negro.

21


µm

µm

µm

µm

µm

µm

µm

µm

Figura 2.5 Diagrama polar de los sensores S1 y S2, que muestran la presencia de un modo de vibración. Las flechas indican las frecuencias seleccionadas.

Posteriormente, se coloca en la tabla 2.2 la amplitud y fase de la vibración correspondiente a

las frecuencias seleccionadas. Cada fila de la tabla 2.2 contiene la vibración del sensor S a la

frecuencia n.

Tabla 2.2 Valores de vibración de los sensores S1 y S2 en las diferentes frecuencias seleccionadas.

Medición Amplitud (µm) Fase (°)

S1@n1 100 255°

S2@n1 66 255°

S1@n2 128 276°

S2@n2 85 276°

S1@n3 145 303°

S2@n3 96 303°

S1@n4 116 336°

S2@n4 77 336°

Por último, se calculan los factores de forma modal que tiene el rotor en las frecuencias n1

hasta n4. De los valores de vibración de la tabla 2.2 se toma como referencia el sensor S1 y se

divide entre si mismo y en el sensor S2 para obtener los factores de forma modal.

22


La tabla 2.3 muestra los factores de forma modal que se obtuvieron de la tabla 2.2, se observa

que son iguales en las cuatro frecuencias. De esto podemos concluir que los factores de forma

modal y la forma modal en cualquier frecuencia son los mismos cuando un rotor se excita con

un arreglo modal de pesos.

Tabla 2.3 Factor de forma modal en las diferentes frecuencias seleccionadas.

Medición

Amplitud

(adimensional)

Fase

(°)

S1@n1 1 0°

S2@n1 0.66 0°

S1@n2 1 0°

S2@n2 0.66 0°

S1@n3 1 0°

S2@n3 0.66 0°

S1@n4 1 0°

S2@n4 0.66 0°

2.9 Contribuciones modales.

La contribución modal indica qué tanto aporta un modo a la vibración de la máquina a

diferentes frecuencias. La máxima amplitud de vibración es una combinación de amplitudes

de vibración de todos los modos del rotor, cada uno con diferentes contribuciones. La figura

2.6 a) y b) muestran los diagrama de Bode con las contribuciones del modo 1 y 2 en la señal

de vibración del sensor S1 y S2, respectivamente.

Al conocer la matriz de forma modal o de factor de forma modal es posible calcular las

contribuciones modales para cualquier frecuencia mediante:

[ ] [ ] [ ]1C ψ −= V (2.17)

( )( )rxn = rxi ixn

23


Donde:

[ ]C = Matriz de contribuciones modales. Cada elemento de la matriz representa la

contribución del modo r a la frecuencia n.

[ ]ψ = Matriz de forma modal o de factor de forma modal.

[ ]V = Valor de la vibración del rotor en la posición i a la frecuencia n.

a)

b)

Figura 2.6 Diagramas de Bode que muestran a) Contribución de los modos 1 y 2 en el sensor S1 y b)

contribuciones del modo 1 y 2 en el sensor S2.

24


En la figura 2.6 se observa que la vibración en cualquier frecuencia es una combinación de

ambos modos y en los picos de vibración la mayor contribución la tiene el modo

correspondiente a esa frecuencia natural.

2.10 Criterio de confiabilidad modal.

El criterio de confiabilidad modal (MAC por sus siglas en ingles) se utiliza para comparar dos

formas modales y determinar la coincidencia entre ellas. El resultado del MAC es un escalar

cuyo valor se encuentra entre 0 y 1, si tiene valor de uno indica que las formas son

coincidentes en todos los puntos y si el valor es cero indica que las formas son diferentes [19].

Para calcular el MAC se emplea la ecuación:

( ){ } { }

{ } { }( ) { } { }( )

2

,T

X A

T TX X A A

MAC A Xψ ψ

ψ ψ ψ ψ= (2.18)

Donde:

{ AA }ψ= = Forma de referencia.

{ XX }ψ= = Forma a comparar.

{ }T = Transpuesta del vector columna.

= Valor absoluto.

2.11 Balanceo modal.

La consideración básica del método de balanceo modal es que la respuesta al desbalance del

rotor se puede expresar como una serie de componentes modales, cada uno correspondiente a

un grado de libertad. De manera similar, las fuerzas de desbalance se pueden expresar como

una serie de desbalances modales [27]. El balanceo modal plantea la posibilidad de balancear

25


un rotor con una sola corrida, aunque para esto es necesario contar con un modelo espacial,

modal o de respuesta del rotor.

Este método de balanceo se basa en el principio de ortogonalidad modal, el cual establece que

la energía cinética y potencial total de un sistema mecánico corresponde a la suma de la

energía cinética y potencial asociada con cada modo de vibración [33]. Este principio sugiere

la posibilidad de aplicar un conjunto de fuerzas seleccionadas de tal manera que solo afecte la

energía de un modo, para el caso del balanceo este conjunto es lo que se conoce como un

arreglo modal de pesos.

La aplicación del método de balanceo modal requiere conocer el factor de forma modal en los

planos de balanceo de todos los modos presentes. Los pesos que constituyen un arreglo modal

se calculan a partir de la siguiente ecuación:

( )*r j t j r t rPψ = − Vδ∑ (2.19) Donde:

rjψ = Factor de forma modal en el plano de balanceo j para el modo r.

jtP = Peso de balanceo para el modo t en el plano j.

rV = Vibración del modo r en resonancia.

rtδ = Delta de Kronecker; 1 para r = t y 0 para r ≠ t.

* = Multiplicación

De la ecuación 2.19 se puede decir que al multiplicar un arreglo modal de pesos de un modo t

por una forma modal de un modo r, este no causara ningún efecto, como se puede ver:

( )* 0rj t jP Paraψ r t= ≠∑ (2.20)

Las ventajas y desventajas del método de balanceo modal se presentan en la tabla 2.4:

26


27

Tabla 2.4 Ventajas y desventajas del balanceo modal.

METODO DE BALANCEO MODAL

Ventajas Desventajas

Los rodados de prueba pueden usarse como rodados de corrección.

Se requiere conocimiento en dinámica de rotores.

Se afectan modos específicos con los arreglos modales de pesos.

Se necesita conocer la amplitud de la forma modal o factor de forma en los planos de balanceo.

Se pueden balancear varios modos con una sola corrida.

Para determinar la forma modal, se necesitan modelos detallados del rotor o la realización de pruebas modales experimentales.

Permite un mayor entendimiento del comportamiento del rotor.

La vibración se reduce en todo el intervalo de velocidades.

Capítulo 3 Arreglos modales de pesos a partir de matrices completas de coeficientes de influencia. Equation Chapter (Next) Section 3 3 Capitulo 3.

3.1 Introducción.

El parámetro de una máquina que más influye en el cálculo de los arreglos modales de pesos

es la forma modal. La técnica convencional para conocer la forma modal se basa en pruebas

modales experimentales o en el uso de modelos numéricos que describan el comportamiento

del rotor, pero esto en ocasiones es imposible realizarlo o requiere semanas de trabajo. El

método para obtener arreglos modales de pesos a partir de matrices completas de coeficientes

de influencia que se describe en este capítulo, calcula el factor de forma modal en los puntos

de medición por medio de iteraciones, lo que elimina la determinación de la forma modal.

Con los factores de forma modal se logra descomponer una vibración total en sus

componentes modales, las cuales se combinan con la matriz completa de coeficientes de

influencia para obtener los arreglos modales de peso. Antes de la creación del método de los

AMP para matrices completas, se desarrolló el método de las diferencias, que se describe en la

sección 3.3, del cual se tomaron algunas ideas. El método de las diferencias tiene la desventaja

de que sólo se aplica al caso de un rotor con dos modos de vibración.

3.2 Consideraciones hechas en el cálculo de los arreglos modales de pesos.

De los métodos que se presentan en este capítulo, el primero, llamado método de las

diferencias, sólo es aplicable a sistemas con dos modos de vibración, mientras que el segundo,

28

Capítulo 3 Arreglos modales de pesos a partir de matrices completa de coeficientes de influencia.

llamado método de los AMP para matrices completas, es un método general para calcular los

arreglos modales de pesos de una máquina que presentan varios modos de vibración. Las

consideraciones hechas en ambos casos fueron:

Considerar que el rotor o grupo de rotores presenta modos reales y planos.

Considerar que la frecuencia natural coincide con la vibración máxima aunque en la

práctica esto no siempre se cumple, ya que: a) con el aumento en la relación de

amortiguamiento la frecuencia natural deja de coincidir con la amplitud máxima en el

caso de un modo único [34] y b) la combinación de varios modos también genera el

mismo efecto.

Se considera que se cuenta con la matriz completa de coeficientes de influencia, la cual

se puede obtener por el método de coeficientes de influencias [11-12], o por el método

generalizado de los coeficientes de influencia [25].

3.3 Primer método para obtener los arreglos modales de pesos.

El método de las diferencias fue el primer método desarrollado en este trabajo para calcular

los arreglos modales de pesos a partir de matrices completas de coeficientes de influencia, se

aplicó principalmente a un modelo con dos modos de vibración y dos planos de balanceo. La

idea de este método es forzar al rotor a vibrar en una sola forma modal mediante un arreglo

modal de pesos, para calcular el arreglo modal se determina la diferencia entre la vibración

seleccionada para el modo que no se desea afectar y la vibración del modo que se quiere

eliminar, dicha diferencia de vibración se combinada con la matriz completas de coeficientes

de influencias y se obtiene como resultado un AMP.

Las frecuencias a seleccionar para calcular los AMP serán las que coincidan con los picos de

vibración, ya que el modo de vibración asociado con dicha frecuencia tiene una mayor

contribución a la vibración total que cualquiera de los otros modos, por lo que cada frecuencia

seleccionada representará un modo de vibración. Los valores de vibración a las frecuencias

29


seleccionadas se emplean para crear vectores de vibración de cada modo, estos vectores tiene

una forma modal similares a la de la máquina pero amplificada un escalar A, lo cual se puede

escribir como indica la ecuación 3.1.

{ } { }r r rU A ψ= (3.1) Donde:

{ }rU = Vector de vibración del modo r.

rA = Escalar para el modo r.

Si se colocan los vectores de vibración U del primer modo y los del segundo modo en una

misma gráfica, se observa que existe una diferencia de vibración DU entre ellos, líneas negras

en la figura 3.1. Es necesario eliminar la diferencia de vibración entre los modos para que el

rotor vibre con una sola forma modal.

Longitud (m)

Am

plitu

d (µ

m)

0

1U

2U

12−ΔU

Figura 3.1 Diferencia entre la vibración del modo uno y dos.

La secuencia del método consiste en: primero seleccionar las frecuencias que coincidan con

los picos de vibración, las vibraciones en cada una de estas frecuencias se consideran como la

vibración de un modo, para calcular el arreglo modal de pesos es necesario crear un vector de

diferencia de vibración, para esto se selecciona la vibración de un modo como referencia y se

30


resta a la vibración de ambos modo; en la figura 3.1 las vibraciones del primer modo son

las de referencia. Como en un rotor los valores de vibración sólo se tienen en los puntos de

medición, el vector de diferencia de vibración se forma con la siguiente ecuación:

1U

DU

{ } { } { }i r z ir i zDU U U− = − (3.2)

Donde:

{ }ir zDU − = Vector de diferencia de vibración entre los puntos de medición i de los modos r y

el modo z de referencia.

z = Modo de referencia.

i = Posición o sensor.

La forma del vector DU al aplicarse en el caso de un rotor con dos sensores, dos planos de

lanceo, dos modos de vibración y como referencia el primer modo, se muestra en la ecuación

3.3. Al crear el vector DU es necesario restar las vibraciones del modo de referencia a ambos

modos, para que al calcular el arreglo modal de pesos para el segundo modo, este no afecte las

vibraciones del modo de referencia.

11 11

12 1 12 11

21 21

22 1 22 21

0

0

U UDU U U

U UDU U U

−

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.3)

Al tener el vector de diferencia de vibración DU de la ecuación 3.3 y la matriz con los

coeficientes de influencia a las frecuencias seleccionadas, el arreglo modal de pesos del

segundo modo se calcula con la ecuación:

1 12 1

22 1

0

0ni j

j

P DUP

DU

α+ −

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎡ ⎤= −⎨ ⎬ ⎨⎣ ⎦

⎩ ⎭⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.4)

Donde:

{ }jP = Arreglo modal de pesos para el modo diferente al de referencia. Cada elemento del

vector representa el peso a colocar en el plano de balanceo j

31


[ ]α = Matriz completa de coeficientes de influencia.

El arreglo modal de pesos que se calcula en con la ecuación 3.4 genera una vibración igual al

negativo de que al sumarse a la vibración total elimina la vibración del segundo modo,

quedando el primero sin cambio. Por tanto el arreglo modal de pesos que se obtiene

corresponde al segundo modo.

DU

Para calcular el arreglo modal del primer modo el procedimiento es igual al anterior, pero las

vibraciones de referencia serian las del segundo modo y el vector de diferencia de vibraciones

se puede escribir:

11 1211 2

12 12

21 2221 2

22 22

0

0

U UDUU UU UDUU U

−

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.5)

En resumen, las vibraciones del modo que se escoja de referencia no serán afectadas por el

arreglo modal de pesos que se calcula. Es decir, si la referencia son las vibraciones del primer

modo, sólo se afectarán las vibraciones del segundo modo, por lo que será un arreglo para el

segundo modo.

El método de las diferencias también se aplicó al modelo de tres modos, pero el arreglo

resultante afectaba a todos los modos excepto al de referencia, lo que no cumple la condición

para ser un arreglo modal de pesos; por lo que este método no fue viable en casos de más de

dos modos y dos planos de balanceo.

La contribución del método de las diferencias a el método final para determinar los AMP fue

el hecho de sustituir el valor de la vibración en las frecuencias que no corresponden al modo

seleccionado por cero, esto con el fin de calcular pesos que sólo afecten las vibraciones del

modo y no a las de otras frecuencias. En la ecuaciones 3.3 y 3.5 la función de los ceros es

evitar que las vibraciones de esas frecuencias se afecten por los pesos que se calculan.

32


3.4 Análisis para determinar el parámetro que afecta el cálculo de los

arreglos modales de pesos.

En esta investigación se busca determinar los arreglos modales de pesos a partir de matrices de

coeficientes de influencia. Para esto se realizó un análisis con el fin de identificar qué

parámetro influye en el cálculo de los AMP. La siguiente ecuación fue la base para el estudio.

{ } [ ]{ }V α= P (3.6) Lo primero que se encontró fue que si el vector de vibración { }V que se coloca en la ecuación

3.6 corresponde a un modo de vibración, entonces dicho vector se puede escribir como el

producto de la contribución modal correspondiente a esa frecuencia por la forma modal:

{ }{ } { }r n r ij jC ψ α⎡ ⎤= ⎣ ⎦ P (3.7)

Donde, { }{ }rnrC ψ es la vibración del modo r en la frecuencia n del sistema. Al despejar { }jP

de la ecuación 3.7 se tiene:

{ } { }{ }1

j ij r n rP Cα−

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ψ (3.8)

Los pesos resultantes son un arreglo modal, ya que el vector de vibración que se introdujo en

la ecuación 3.8 corresponde a un modo de vibración. En este caso se utilizó una matriz de

coeficientes de influencia cuadrada, es decir con tantos planos de balanceo como sensores, y

mediciones a una sola frecuencia.

Se realizó otro análisis utilizando la ecuación 3.6, pero esta vez se seleccionaron varias

velocidades, por lo que se calcularon las contribuciones modales para cada velocidad con la

ecuación 2.18. En este caso, la matriz de influencia era rectangular y para la inversa se aplicó

el método de Moore – Penrose. La ecuación 3.8 también se puede escribir:

{ } { }{ }

111 1

212 1

ni j

j ni j

CP

C

α ψ

ψα

+⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

(3.9)

33


Al resolver esta ecuación se obtuvo un arreglo modal de pesos aun cuando se utilizó un

método aproximado para invertir la matriz de coeficientes de influencia; esto es porque los

AMP se basan en el principio de ortogonalidad al igual que las fuerzas modales, por tanto sólo

existe un arreglo de pesos capaz de excitar sólo un modo de vibración.

Para demostrar que el arreglo modal { }jP es único, se despeja { }{ }111 ψC y { }{ }112 ψC de la

ecuación 3.9:

{ }{ } { }

111 1

212 1

ni j

jni j

CP

C

ψ α

ψ α

⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ = ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(3.10)

Se separa la ecuación 3.10 en sistemas de ecuaciones independientes:

{ }{ } { }111 1

ni j jC ψ α⎡ ⎤= ⎣ ⎦ P (3.11)

{ }{ } { }212 1

ni j jC ψ α⎡ ⎤= ⎣ ⎦ P (3.12)

Como { }1ψ debe ser igual en ambas ecuaciones ya que el arreglo solo excita un modo, se

tiene:

{ } { }11

11

1 ni j jP

Cψ α⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.13)

{ } { }21

12

1 nij jP

Cψ α⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.14)

Igualando { }1ψ de las ecuaciones 3.13 y 3.14

{ } { }1

11 12

1 1n nij j ij jP

C Cα α⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 P (3.15)

Ordenando los términos:

{ }1 2

11 12

1 1 0n nij ij jP

C Cα α

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− =⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ (3.16)

Para que la ecuación 3.16 se cumpla, el resultado de la operación entre corchetes debe ser una

matriz singular, de manera que sólo existe un conjunto de vectores { }jP que al multiplicarlo

por esta matriz singular de como resultado cero. Los vectores { }jP que satisfacen la ecuación

34


3.16 son los vectores propios de la matriz que aparece delimitada por corchetes en dicha

ecuación; estos vectores indican las proporciones que deben guardar los pesos de un arreglo

modal.

Si el vector de vibración { que se introduce en la ecuación 3.9 no representa una

componente modal de vibración entonces no se cumplirá la igualdad de la ecuación 3.15, y por

lo tanto el arreglo de pesos representado por el vector

}V

{ }jP resultante podrá excitar a varios

modos de vibración.

De los casos analizados se concluyó que para obtener un arreglo modal de pesos es necesario

colocar un vector de vibración modal en la ecuación 3.9. Para obtener un vector de vibración

modal se requiere calcular las contribuciones modales, que dependen de las formas modales.

Por esta razón, el parámetro necesario para obtener los AMP son las formas modales.

3.5 Descripción del método de los AMP para matrices completas.

El objetivo del método es determinar los arreglos modales de pesos a partir de una matriz

completa de coeficientes de influencia; para ello es necesario calcular los factores de forma

modal en los puntos de medición del rotor o grupo de rotores mediante iteraciones.

El método de los AMP para matrices completas consiste en proponer factores de forma modal

iniciales para cada modo y calcular las contribuciones modales, con las contribuciones se

genera un vector de vibración modal el cual contiene las vibraciones del modo en las

diferentes frecuencias seleccionadas. Posteriormente con la ecuación 2.8 se calcula el arreglo

modal de pesos, AMP, correspondiente. Como se emplea el método de Moore – Penrose para

invertir la matriz de coeficientes de influencia es necesario calcular las vibraciones efecto para

conocer las vibraciones que realmente genera el arreglo modal de pesos calculado

inicialmente.

35


Si el arreglo de pesos obtenido en la primera aproximación es modal, los factores de forma

modal que se obtienen al adimensionar las vibraciones efecto de cada modo en las diferentes

frecuencias seleccionadas es el mismo, es decir, el rotor vibrará en una forma modal. En caso

que el arreglo calculado no genere los mismos factores de forma modal, entonces se toman

nuevos factores de forma modal y se calculan nuevamente las contribuciones modales y los

AMP, el cálculo termina hasta que el AMP genere los mismos factores de forma modal en

cualquier frecuencia.

Como resultado del método de los AMP para matrices completas se obtienen: los arreglos

modales de pesos, los factores de forma modal en los puntos de medición y la suma de los

arreglos modales de pesos balanceará la máquina en todo el intervalo de frecuencias. Para

aplicar el método de los AMP para matrices completas se requiere lo siguiente:

El número de planos de balanceo debe ser igual al número de sensores.

Seleccionar tantas velocidades como modos de vibración se desee afectar, con el fin de

obtener un factor de forma modal inicial con cada frecuencia seleccionada.

Tener una matriz completa de coeficientes de influencia, con la característica mencionada

en la sección 2.2.

Tener un rodado inicial para balancear, con los valores de vibración de todos los sensores.

Los pasos que constituyen el método de los AMP para matrices completas son:

1. Seleccionar frecuencias que coincidan con los picos de vibración.

2. Calcular factores de forma modal iniciales en los sensores.

3. Calcular las contribuciones modales iniciales.

4. Crear matriz de vibración modal inicial.

5. Cálculo del AMP inicial.

6. Vibraciones efecto causadas por el AMP inicial.

7. Calcular los factores de forma modal del rotor causados por los AMP iniciales.

8. Tomar el factor de forma modal de referencia.

9. Calcular el número MAC para los AMP iniciales.

36


10. Aplicación del criterio de convergencia para determinar si el arreglo es o no modal. Si el

MAC es mayor a la referencia entonces el arreglo de pesos inicial es modal, sino se toma

el factor de forma modal de referencia como factores de forma inicial y se inician los

cálculos en el punto tres.

En forma de diagrama de flujo el método de los AMP para matrices completas se encentra en

la figura 3.2.

Frecuencias que coinciden con los picos de vibración.

Factores de forma modal

iniciales.

Contribuciones modales.

Figura 3.2 Diagrama de flujo del método de los AMP para matrices completas.

Matriz de vibración modal inicial.

Calcular los AMP iniciales con la matriz completa de coeficientes de influencia.

Vibraciones efecto causadas por los AMP

iniciales.

Factores de forma modal del rotor causados por los

AMP iniciales.

Factores de forma modal de referencia.

Número MAC MAC > 0.99999

Utilizar los factores de forma modal de referencia

como iniciales.

No

Si AMP y factor de forma modal en los sensores

37


La descripción de los pasos que forman el método de los AMP para matrices completas se

presenta en los siguientes párrafos.

1) Seleccionar frecuencias que coincidan con los picos de vibración. Para iniciar el cálculo

de los arreglos modales de pesos son necesarios factores de forma modal inicial, los cuales

se calculan de las vibraciones en las diferentes frecuencias seleccionadas. En este método

las frecuencias a seleccionar son las que coincidan con los picos de vibración, ver figura

3.3, y cada una de las frecuencias representará un modo de vibración.

Cuando un rotor vibra en una de sus frecuencias naturales la mayor componente de vibración

es la que corresponde al modo asociado con esa frecuencia y la forma que adopta el rotor es

similar a la forma modal de ese modo de vibración. Como la frecuencia natural de un rotor se

encuentra cerca de los picos de vibración, los factores de forma modal que se tengan en cada

pico se pueden tomar como iniciales.

Picos de Vibración

S2

S1

Figura 3.3 Diagramas de bode de los sensores S1 y S2, que muestran las frecuencias a seleccionar en el

método de los AMP para matrices completas.

2) Factores de forma modal iniciales en los sensores. Los factores de forma modal iniciales

se obtienen dividiendo el valor de vibración de los sensores en las frecuencias

seleccionadas entre el valor de la vibración del sensor de referencia. Cada frecuencia

38


seleccionada del paso anterior se asocia con un modo de vibración y el cálculo de los

factores de forma modal inicial en los sensores se realiza con la siguiente ecuación

{ } i ri r

a r

VV

ψ⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.17)

Donde:

{ ir }ψ = Factor de forma modal en la posición i del modo r.

irV = Vibración en la posición i del modo r.

arV = Vibración en la posición de referencia a del modo r.

Cabe mencionar que los factores de forma modal iniciales tienen una forma parecida a los

factores de forma reales del rotor, se toman dichos factores como iniciales ya que no se cuenta

con programas de extracción de parámetros modales para determinar los factores de forma

modal reales del rotor.

Cuando se tienen los factores de forma modal iniciales en los puntos de medición para cada

modo, estos se concentran en una matriz que se construye con la siguiente ecuación:

[ ] { } { } { }1 2i i i rψ ψ ψ ψ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.18)

ix = ix1 ix1 ix1 r

Donde [ ]ψ es la matriz que contiene los factores de forma modal de todos los modos.

3) Contribuciones modales. Con la ecuación 2.17 se calcula la contribución de cada modo a

la vibración total en las diferentes frecuencias. Cada fila de la matriz de contribución

modal indica el modo y las columnas la contribución de ese modo en las diferentes

frecuencias. El número de contribuciones modales C de cada modo es igual al número de

frecuencias seleccionadas.

4) Matriz de vibración modal inicial. En el tema 3.4 se explicó que para obtener un AMP era

necesario un vector de vibración modal; es decir, un vector que contenga los valores de

39


vibración de cada modo en las diferentes frecuencias. Como en este método se calculan

todos los AMP al mismo tiempo, se utiliza una matriz de vibración modal en donde las

columnas representan los vectores de vibración modal inicial. Para calcular dicha matriz se

emplea la siguiente ecuación:

[ ] { } { } { }1 2 rVM VM VM VM= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.19) kx = kx1 kx1 kx1 r

Donde:

[ ]VM = Matriz de vibración modal inicial.

{ }rVM = Vector de vibración modal inicial del modo r.

k = Número de velocidades n por número de sensores i.

Para calcular el vector de vibración modal inicial se necesita transponer la matriz de

contribuciones modales la cual se denota por [ ]TC y posteriormente aplicar la ecuación:

{ } { } { } 1y y yVM TC y rψ= ⊗ ≤ ≤

]

(3.20)

kx1 nx1 ix1

Donde:

y = La columna de la matriz.

⊗ = Producto Kronecker

La matriz [ contiene los vectores de vibración de cada modo acomodado en columnas y el

tamaño depende por un lado del número de frecuencias n seleccionadas multiplicado por el

número de sensores i y por el otro del número de modos que se tengan en el rotor o conjunto

de rotores.

VM

En la primera aproximación, los renglones de la matriz de vibración modal tienen la

característica de sólo tener valores de vibración en la frecuencia asociada con cada modo

mientras que en las demás frecuencias el valor de vibración es cero. El valor de vibración cero

es una consideración inicial que indica que la vibración de un modo es nula en las frecuencias

diferentes a la asociada con dicho modo. Conforme se acercan los cálculos a los factores de

40


forma modal reales se conocen las contribuciones modales reales y con esto la matriz de

vibraciones modales va cambiando los valores de cero iniciales por la vibración que genera el

modo en las frecuencias seleccionadas.

Para utilizar la matriz en el cálculo de los arreglos modales se cambia la distribución de

los valores de vibración de k x r a m x r para tener la misma distribución que la matriz de

coeficientes de influencias, donde m es el número de sensores i por el número de velocidades

n. La nueva distribución de matriz de vibración modal inicial

[VM ]

[ ]VM se presenta en la ecuación

3.21.

m xrVM⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.21)

5) Cálculo de los AMP iniciales. En esta etapa cobra importancia la matriz completa de

coeficientes de influencia para calcular los arreglos modales de peso, cabe mencionar que

dicha matriz se forma en balanceos anteriores y no durante la aplicación del presente

método.

La ecuación 3.22 se emplea para calcular los arreglos modales de pesos iniciales. Dicha

ecuación representa una modificación a la ecuación 2.8 del balanceo por coeficientes de

influencia con el fin de utilizar la matriz de vibración modal inicial modificada en el cálculo

de los arreglos modales de pesos.

[ ] [ ] [ ]AMP VMα += − (3.22)

( )( )jxr = jxm mxr

Donde:

[AMP]

En caso de aplicación del método a un caso real, cuando no se cuenta con suficientes rodados

de prueba para formar la matriz completa de coeficientes de influencia se sugiere unir los

= Esta matriz contiene todos los arreglos modales de pesos iniciales de la máquina.

Las columnas son los arreglos para cada modo de vibración y la fila es el plano de balanceo j

en donde se debe colocar el peso.

41


rodados disponibles con los rodados de balanceos anteriores con el fin de completar dicha

matriz; aunque se crea la posibilidad de que el arreglo que se obtenga afecte a otros modos de

vibración, ya que el cálculo de un AMP depende de la matriz de coeficientes de influencia.

6) Vibraciones efecto causadas por los AMP iniciales. El método de Moore - Penrose es una

aproximación de la inversa de una matriz, por tanto la ecuación 3.22 tiene una solución

aproximada y es necesario conocer las vibraciones que realmente ocasionan los AMP

iniciales. Las vibraciones efecto se determinan con la siguiente ecuación:

[ ] [ ][ ]VE AMPα= (3.23)

( )( )m x r = m x j jx r

[ ]VESe cambia el orden de las vibraciones en la matriz de vibraciones efecto de m x r a k x r,

ara tener una matriz ordenada por velocidades y no por sensores, la nueva matriz se presenta p

en la ecuación 3.24.

k xrVE⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.24)

7 or causados por los AMP iniciales. Si el ) Calcular los factores de forma modal del rot

arreglo de pesos que se calcula es modal el rotor tendrá el mismo factor de forma modal en

etapa se denominan recalculados y se obtienen al

dimensionar la matriz de vibraciones efecto. La secuencia para adimensionar dicha matriz es:

todas las frecuencias seleccionadas.

Los factores de forma modal en esta

a

seleccionar una columna de la matriz k xrVE⎡ ⎤⎣ ⎦ y escoger un sensor de referencia, como las

vibraciones en la columna están ordenadas por frecuencias se emplea la ecuación 3.17 para

calcular los factores de forma modal en cada frecuencia, la secuencia se repite para todas las

columna que componen la matriz de vibraciones efecto k xrVE⎡ ⎤⎣ ⎦ . Al adimensionar todas las

columnas, se forma una matriz que se denomina de factores de forma modal recalculados

ϕ⎡ ⎤ que tiene el mismo tamaño que la matriz VEk xr⎣ ⎦ k xr⎡ ⎤⎣ ⎦ , pero es adimensional.

42


8) Tomar el factor de forma modal de referencia. Para calcular el número MAC y determinar

el rotor tiene los mismos factores de formsi a modal en las frecuencias seleccionadas, es

referencia para el

odo relacionado con la columna; los factores de forma modal a seleccionar son los que

asocia

s de forma modal de referencia para cada modo, estos

colocan en una ma res de forma modal de referencia

necesario tener un factor de forma modal de referencia para cada modo.

En cada columna de la matriz k xrϕ⎡ ⎤⎣ ⎦ se escoge un factor de forma modal de

m

correspondan a la frecuencia da con el modo de vibración, es decir, los factores de

forma modal de referencia para el segundo modo son los factores de forma que se encuentre

en la segunda frecuencia seleccionada.

Al obtener de la matriz k x rϕ⎡ ⎤⎣ ⎦ los factore

triz de facto [ ]φse , que tiene el mismo

tamaño y distribución que la matriz [ ]ψ de la ecuación 3.18.

9) Calcular el número MAC para los AMP iniciales. El significado del MAC se presentó en

la sección 2.10. Para determinar el número AC se emplea la ecuación 2.18; se toma una M

columna de la matriz de factores de forma modal de referencia [ ]φ y se compara con los

factores de forma modal de cada una de las frecuencias que componen la columna

correspondiente en la matriz de factores de forma modal recalculados, como resultado se

obtiene el número MAC que provoca un arreglo modal de pesos inicial en cada frecuencia.

Los números MAC que se obtienen para cada arreglo se colocan en una matriz de números

MAC, la cual se puede escribir:

nr

[ ]11 12 1

21 22 2

1 2

r

r

n n

MAC MAC MACMAC MAC MAC

MAC

MAC MAC MAC

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.25)

= nxr nx1 nx1 nx1

43


Donde:

[ ]MAC = Matriz de números MAC. Los elementos de esta matr

MAC resultante al comparar los factores de forma modal recalculados en la frecuencia n con

de cia od mn se relaciona con el arreglo

pesos y las filas con las frecuencias.

Una característica de la matriz de números MAC es que tiene sólo unos en la diagonal

atriz de números MAC se le calcula el valor rms por columna, el cual representa el

iz representan el número

los factores de forma modal referen del m o r. La colu a

modal de

principal, porque el factor de forma modal de referencia coincide con el factor de forma modal

recalculado del cual se tomó.

A la m

valor MAC rms para cada arreglo modal inicial y se obtiene con la ecuación 3.26.

( )2

1

1 nrrms xr

x

MAC MACn =

= ∑ (3.26)

Donde: rrmsMAC = Número MAC rms generado por el arreglo modal de pesos inicial del modo r.

0) Criterio de convergencia. De los números MAC rms que se calculan para los arreglos

les de pesos iniciales, se toma el mínimo, ya que representa el arreglo modal de pesos

inicial que tiene m a

modal en todas las frecuencias y que afecta a otros modos de vibración.

1

moda

ayor desviación, es decir, que no genera los mismos factores de form

El criterio de convergencia consiste en que el número MAC rms mínimo sea mayor a 0.99999,

ya que asegura un arreglo modal que provoca la misma forma modal en todas las frecuencias.

Si la condición del MAC no se cumple, se toman los factores de forma modal de referencia

[ ]φ como una nueva matriz de factores de forma modal inicial [ ]ψ y se comienzan las

operaciones desde el punto tres. Lo que ocurre en cada iteración es que los factores de forma

modal se recalculan al igual que los arreglos modales de pesos.

44


Como un ejemplo para explicar lo que sucede en cada iteración del método de los AMP para

rices completas se emplea el modelo de una máquina con dos planos de balanceo y dos

modos de vibración. Se requieren seis iteraciones para calcular el arreglo modal de pesos del

segundo modo; la tabla 3.1 muestra el cambio en el factor de fo

mat

rma modal y en la proporción

entre los pesos del arreglo en las dos primeras iteraciones y en la última. Se emplean

proporciones entre los pesos del arreglo modal en lugar del valor real, porque sólo se quiere

mostrar el cambio de una iteración a otra.

Tabla 3.1 Cambio en el factor de forma modal y en la proporción de los pesos de un arreglo modal, en las

iteraciones diferentes iteraciones.

Iteración para calcular el Arreglo Modal de Pesos del segundo modo. Factor de forma modal en

los sensores Proporción entre los pesos

del arreglo modal Número Iteración Posición. MAC Amplitud (adimensional)

Fase (°)

Amplitud Fase (adimensional) (°)

1 1 1 00 1 0.80379 2 0.99405 176.27626 1.36743096 195.75461 1 0 1 02 0.96360 2 1.0527756 179.02238 1.22266356 184.12491 1 0 1 06 0.99999 2 1.0758588 179.99563 991.16891245 180.01

Gráficam te el de iteración se m n tes des en el

modelo anterior se presenta en la figura a de diagrama de Bode y polar.

en proceso uestra e las siguien figuras. El balance

3.4 en form

Figura 3.4 Diagramas de Bode y polar de la vibración que se genera en el modelo de dos modos y dos planos de balanceo, a causa del desbalance.

45


En la figura 3.5 se observa la respuesta del modelo al colocar el AMP que se obtiene en la

rimera iteración del método para matrices completas. En dicha figura se observa que las

vibraciones del segundo modo se reducen, pero el arreglo no la elimina completamente, por lo

qu

p

e se calcula un nuevo arreglo modal de pesos en la siguiente iteración.

Figura 3.5 Respuesta de la máquina al colocar el AMP que se obtiene

ma modal y las propor

.1, y los efectos que

en la primera iteración.

ciones del AMP en la segunda iteración se

se producen sobre las vibraciones del modelo se

Los factores de for

encuentran en la tabla 3

muestran en la figura 3.6.

Figura 3.6 Efectos del AMP de la segunda iteración sobre las vibraciones del segundo modo.

46


Al utilizar un modelo teórico para generar los datos de vibración, es posible calcular un

rreglo modal de pesos que tengan un MAC rms de 0.99999, en el ejemplo se logra un arreglo

con esa precisión después de 6 iteraciones. Los efectos de dicho arreglo sobre el modelo se

resentan en la figura 3.7.

a

p

Figura 3.7 Efecto del AMP final sobre el modelo de dos modos de vibración.

as gráficas de la figura 3.6 y 3.7 son similares, aunque la figura 3.7 es un arreglo con un

MAC de 0.99999. El valor de convergencia en el método de los AMP para matrices completas

varía de acuerdo al caso de estudio, como se muestra en los capítulos cuatro y cinco. El valor

e referencia de 0.999999 que se presenta en esta sección es con el que plantea el método

influencia para

calcular los arreglos modales de pesos.

factores

de forma modal en los puntos de medición.

res de forma modal en los planos de balanceo.

L

d

inicialmente. Se consideran cinco decimales en la referencia porque con un número mayor, la

variación en la magnitud y fase de los pesos en cada iteración es despreciable.

Las principales características del método de los AMP para matrices completas son:

Utiliza sólo un rodado inicial y una matriz completa de coeficientes de

No necesita programas de extracción de parámetros modales para determinar los

Al utilizar la matriz de coeficientes de influencia para calcular los arreglos modales de

pesos, no es necesario calcular los facto

47


3.6 Discusión. El método de los AMP para matrices completas de coeficientes de influencia reúne

características tanto del balanceo por coeficientes de influencia como del balanceo modal.

Tiene la ventaja de no necesitar rodados de prueba para caracterizar los modos de vibración,

a que utiliza la matriz completa de coeficientes de influencia la cual contiene esa

argadas de la actividad, sólo

bservan una reducción en la vibración sin saber cuáles modos se eliminaron o afectaron. La

de pesos pueden proporcionar esa guía ya que cada modo de

bración está ligado a diferentes ubicaciones o partes de la máquina, velocidades y maneras

ia que dependen de una combinación aleatoria

e las formas modales con las condiciones de la máquina, las frecuencias seleccionadas, los

y

información. Además, el método de los AMP no requiere modelos numéricos para conocer los

factores de forma modal en los planos de balanceo, lo que reduce el tiempo de cálculo de los

arreglos modales de pesos y por tanto la actividad de balanceo.

Con el método de los coeficientes de influencia al tener una matriz completa se pueden

calcular los pesos para balancear el rotor en diferentes frecuencias; pero estos pesos no indican

cómo se afecta cada modo de vibración y las personas enc

o

ventaja de contar con arreglos modales de pesos es que se pueden reducir o eliminar la

vibración correspondiente a algún modo específico, lo que permite controlar la reducción de

las vibraciones en la máquina.

Cuando una máquina no responde como se esperaba a los pesos de balanceo colocados, es

indispensable contar con alguna orientación para que el especialita pueda proceder con el

balanceo. Los arreglos modales

vi

de vibrar, mientras que los cambios en el comportamiento de una máquina producidos por los

pesos obtenidos de una matriz de coeficientes de influencia podrían parecer aleatorios y no

indicar al especialista ningún curso de acción.

Otra ventaja que se espera de los arreglos modales de pesos es que la proporción entre los

pesos de un arreglo se mantenga con el paso del tiempo, al ser dependiente de la forma modal;

esto contraste con los coeficientes de influenc

d

48


errores de medición, etc. Por la estabilidad que se espera de los AMP se abre la posibilidad de

aplicarlos a máquinas con iguales características de diseño y montaje.

Al tener los AMP de la máquina se pueden utilizar para balancear modo por modo en

diferentes rodados de prueba o colocar en el rotor la suma de los AMP para balancear sólo con

la corrida inicial. Otra ventaja de los arreglos modales de pesos es que con ellos se pueden

onocer los factores de forma modal en los planos de balanceo, aunque con una referencia c

distinta a los factores de forma modal en los sensores. Los factores de forma en los planos de

balanceo se calculan con la siguiente secuencia:

Primero se forma la matriz de fuerzas [ ]F que tiene la siguiente forma:

[ ] { } { } { }1 2 jF F F F⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.27)

[ ]FEl cálculo de las columnas de se realiza con:

{ } { } 1x x xF RR TAMP x j= ≤ ≤ (3.28)

onde

{ }xTAMPD es una columna de la transpuesta de la matriz de AMP.

[ ] [ ]TTAMP AMP= (3.29) y

jR j

b

RRR

= (3.30)

Donde:

= Relación entre el radio del plano j y el de referencia b. RRj

jR = Radio del plano de balanceo j.

bR = Radio del plano de balanceo de referencia.

Cuando se calcula la matriz [ ]F se emplea la siguiente ecuación para determinar los factores

de forma modal en los planos de balanceo:

49


50

[ ] [ ] [ ]1F Iψ −= (3.31)

Donde:

[ ]ψ = Matriz de factores de forma modal en los planos de

odo r y la fila el plano de balanceo j.

balanceo. La columna representa el

m

[ ]F = Matriz de fuerzas.

[ ]I = Matriz identidad.

[ ] 1− = Inversa de la matriz cuadrada.

La ecuación 3.31 se aplica si el número de modos es igual al número de planos de balanceo, ya

que i adrada para determinar los factores de forma modal. Al

ner los factores de forma modal tanto en los planos de balanceo como en los puntos de

mplica la inversa de una matriz cu

te

medición se puede tener una idea de la forma que adopta el rotor en cada modo de vibración.

Capítulo 4 Casos de estudio para el método de los AMP a partir de matrices completas. Equation Chapter (Next) Section 4 4 Capitulo 4.

4.1 Introducción.

En el presente capítulo se encuentran los resultados que se obtuvieron al aplicar el método de

los AMP para matrices completas a diferentes casos de estudio como: condiciones ideales,

selección de diferentes frecuencias, modos cercanos y modos superiores. En la mayoría de los

casos se analiza una máquina con dos y siete modos de vibración por representar un rotor

simple y un conjunto de rotores, respectivamente. Para la realización de los diferentes casos de

estudio se estableció una secuencia que se describe en la sección 4.2.

4.2 Secuencia de las pruebas.

El método de los AMP para matrices completas se aplicó en el modelo de un turbogenerador

para calcular los arreglos modales de pesos. El modelo fue proporcionado por el Instituto de

Investigaciones Eléctricas y corresponde a un Turbogenerador marca Mitsubishi de 350 MW

compuesto por una turbina de alta presión y otra de baja presión, un generador eléctrico y un

excitador; el esquema del modelo se muestra en la figura 4.1.

C7C6 C5C4C3 C2 C1

Turbina de alta presión.

Turbina de baja presión.

Generador eléctrico.

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

P7

P6 P5P3 P4

P2 P1

Excitador

Figura 4.1 Esquema del modelo del Turbogenerador marca Mitsubishi de 350 MW. S = Sensor, P = Plano de balanceo y C = Chumacera.

51


Las características como: número de modos, frecuencias naturales, masa modal y formas

modales del modelo se encuentran en el apéndice A y las ecuaciones que se aplicaron para

generar la respuesta en los sensores están en el apéndice B.

Al no contar con una máquina real para los casos de estudio del método de los AMP para

matrices completas, se utilizó el modelo con el fin de obtener las vibraciones que se producen

en los sensores al colocar pesos en los planos de balanceo. La figura 4.2 muestra la carátula

del modelo que simula los siete planos de balanceo de la máquina, los cuales tienen una

ubicación diferente a la de los sensores.

Figura 4.2 Carátula del modelo en donde se colocan los pesos para los diferentes rodados de prueba.

En el modelo, los sensores se localizan en la misma posición que las chumaceras y la

distribución es: el sensor uno y dos corresponde a la turbina de alta, el tres y cuatro a la turbina

de baja, el cinco y seis al generador y el sensor siete al excitador. La vibración que se genera

en cada sensor del modelo al colocar pesos en los planos de balanceo durante los diferentes

rodados se muestra en forma de diagrama de Bode y de diagrama polar, ver figura 4.3.

52


Figura 4.3 Vibración en los sensores del modelo en forma de diagrama de Bode y diagrama polar.

Con el modelo del turbogenerador y el método de los AMP para matrices completas se

estudiaron los siguientes casos: condición ideal, selección de diferentes frecuencias, modos

cercanos y modos superiores. Para generar cualquiera de los casos de estudia primero se

necesita ajustar el modelo a las condiciones deseadas, por ejemplo, si se quiere una máquina

53


con modos cercanos se modifica el valor de las frecuencias naturales; después de ajustar el

modelo, se escoge el número de modos a usar en la prueba; para ello se busca en el modelo

que rotor o rotores presentan la cantidad de modos requerida. Una vez localizados los modos a

emplear se incrementa el amortiguamiento de los otros modos para eliminar su influencia y así

simular la prueba. Finalmente, se colocan pesos en los planos de balanceo de los rotores

seleccionados y se guardan los valores de vibración de los sensores correspondientes.

En el balanceo por coeficientes de influencia existen dos tipos de rodados, el inicial y el de

prueba. El rodado inicial es el que se genera por el desbalance original de la máquina y los

rodados de prueba se obtienen al colocar pesos en los planos de balanceo. Para generar con el

modelo ambos tipos de rodados, se crea un desbalance en el modelo y la respuesta se toma

como rodado inicial; posteriormente se colocan pesos individuales o arreglos de pesos para

disminuir el desbalance y este es un rodado de prueba.

Cuando se tienen tantos rodados de prueba como planos de balanceo más una corrida inicial se

crea una matriz completa de coeficientes de influencia. Para tener un rodado a balancear se

establece un nuevo desbalance en el modelo, al cual se le calculan los arreglos modales de

pesos mediante el método de los AMP para matrices completas. El diagrama de flujo de las

pruebas se tiene en la figura 4.4.

Modelo del Turbogenerador.

Rodados de la matriz Completa de C.I.

Selección del caso de estudio.

Incremento del amortiguamiento,

para eliminar modos.

Colocar pesos.

Rodado a balancear.

Método de los AMP para

matrices completa.

Respuesta n - Mag. – Fase.

AMP

y factor de forma modal

en los sensores.

Figura 4.4 Diagrama de flujo de la secuencia de las pruebas. n = Frecuencia de giro; Mag = Magnitud de la vibración, C. I. = coeficientes de influencias y

AMP = Arreglo Modal de Pesos

54


4.3 Caso 1: Condición ideal.

Para el presente trabajo la condición ideal se considera cuando una máquina tiene:

• El mismo número de sensores que planos de balanceo.

• El número de modos es igual al número de planos de balanceo.

• El número de frecuencias seleccionadas es igual al número de modos.

• No se tiene influencia de modos superiores ni ruido en las señales.

• Los modos se encuentran separados por lo menos 300 rpm.

• La relación de amortiguamiento de cada modo se encuentra entre 0.02 y 0.09.

• Las frecuencias se seleccionan cerca de las frecuencias naturales.

La tabla 4.1 muestra los resultados de las pruebas con máquinas de dos hasta siete modos. Los

arreglos modales de pesos y los factores de forma modal en los sensores que se obtuvieron de

las diferentes pruebas son planos. El número MAC de convergencia para este caso fue de

0.99999 por tener condiciones ideales.

Tabla 4.1 Resultados del caso ideal.

No. De Modos Máquina

Frecuencia Seleccionada

(rpm) AMP Iteraciones

740 1er modo Gen 2

Gen. 2330 2do modo Gen

2

740 1er modo Gen. 1440 1er modo Exc. 3 Gen-Exc. 2330 2do modo Gen

3

740 1er modo Gen. 1160 1er modo TB. 2330 2do modo Gen 4 TB-Gen.

2790 2do. Modo TB.

4

740 1er modo Gen. 1160 1er modo TB. 1440 1er modo Exc. 2330 2do modo Gen

5 TB-Gen-Exc.

2790 2do. Modo TB.

4

55


740 1er modo Gen. 1160 1er modo TB. 1440 1er modo TA. 2330 2do modo Gen 2790 2do. Modo TB.

6 TA-TB-Gen.

3320 2do. Modo TA.

5

740 1er modo Gen. 1160 1er modo TB. 1440 1er modo TA. 1910 1er modo Exc. 2330 2do modo Gen 2790 2do. Modo TB.

7 TA-TB-Gen-Exc.

3320 2do. Modo TA.

5

Continuación de la tabla 4.1

Gen = Generador eléctrico; TA = Turbina de alta; TB = Turbina de baja y Exc = Excitador.

La prueba con seis y siete modos tuvo el mayor número de iteraciones con cinco y corresponde a un

tiempo de computo de aproximadamente dos segundos. Los arreglos modales de pesos obtenidos

en cada prueba se colocaron en el modelo y se observó que efectivamente solo afectaban a un

modo de vibración; además, para balancear el modelo se puede colocar la suman de los arreglos

modales de pesos. Un ejemplo de cómo afecta un AMP a modos específicos de vibración se muestra en

el apéndice C.

4.4 Caso 2: Selección de frecuencias fuera de los picos de vibración.

El método de los AMP para matrices completas como condición inicial establece que las frecuencias

que se seleccionan deben coincidir con los picos de vibración; en esta prueba las frecuencias se

seleccionaron fuera de los picos de vibración para determinar si el método era capaz de calcular los

arreglos modales de pesos aun fuera de las condiciones iniciales.

Esta prueba se realizó para el modelo con dos y siete modos, el primero por representar un

rotor simple y el segundo porque es el turbogenerador con todos los rotores. Para la máquina

con dos modos de vibración se estableció una secuencia para seleccionar las frecuencias;

56


primero se calcula el punto medio entre las dos frecuencias naturales, posteriormente las

frecuencias se seleccionan a partir del punto medio una a la derecha y la otra a la izquierda, la

separación entre estas frecuencias es lo que se incrementa en cada prueba, ver figura 4.5.

S1

S2

Punto medio de las frecuencias naturales

Figura 4.5 Selección de frecuencias diferentes a los picos de vibración. La tabla 4.2 muestra la separación con la que se seleccionaron las frecuencias y el número de

iteraciones necesarias para calcular los arreglos modales de pesos para la prueba de dos

modos.

Tabla 4.2 Resultados de la prueba con dos modos de vibración y diferente separación en las frecuencias

seleccionadas. Dos Modos

Frecuencias Naturales: 742 y 2329 rpm. Punto medio: 1530 rpm.

Separación de las frecuencias seleccionadas (rpm) Iteraciones

20 89 100 29 500 9 1000 6 1500 3 1580 2 1660 3 1800 5

De la tabla 4.2 se observa que mientras más cercanas se seleccionen las frecuencias al punto

medio de las frecuencias naturales mayor es el número de iteraciones que se necesitan para

57


calcular los AMP; esto es porque las contribuciones de cada modo a la vibración en esas

frecuencias son similares y el método requiere mayor número de iteraciones para calcular el

factor de forma modal en los sensores. También se concluye que mientras más separadas se

seleccionen las frecuencias del punto medio de las frecuencias naturales el método de los

AMP para matrices completas requiere menos iteraciones para converger, ya que la influencia

de un modo sobre el otro se reduce conforme se separan las frecuencias.

En la separación de frecuencias correspondiente a 1580 rpm el número de iteraciones que se

requiere es menor que en cualquiera de los otros casos, ya que las frecuencias seleccionadas se

encuentran cerca de las frecuencias naturales, en donde la mayor aportación a la vibración la

tiene el modo correspondiente y la forma que adopta el rotor es similar a la forma modal real.

También se realizaron pruebas en el modelo con siete modos de vibración; para ello la

selección de frecuencias no se estableció como en la prueba de dos modos, sino que se

seleccionaban frecuencias antes ó después de las frecuencias naturales. Se determino que

mientras las frecuencias seleccionadas se distribuyan a los largo del intervalo en donde se

encuentran todos los modos de la máquina el método de los AMP para matrices completas de

coeficientes de influencia calculara los arreglos modales de pesos; pero si las frecuencias

seleccionadas se encuentran en un intervalo que abarque solo una cierta cantidad de modos no

será posible calcular los arreglos modales de pesos. Por ser esta la prueba con mayor número

de modos, la declaración anterior se puede aplicar a máquinas de tres hasta seis modos de

vibración.

4.5 Caso 3: Modos cercanos. En ocasiones las máquinas presentan modos cuyas frecuencias naturales se encuentran cerca,

cuando esto sucede los diagramas de Bode presentan picos de vibración cercanos como en la

figura 4.6. Si las frecuencias naturales llegan a estar separadas por algunas rpm los diagramas

de Bode sólo muestran un pico de vibración y no es posible distinguir que parte corresponde a

58


cada modo. Las situaciones anteriores se simularon con el modelo del turbogenerador, aunque

sólo se realizaron pruebas en las máquinas con dos y siete modos de vibración.

S1

S2

Figura 4.6 Diagramas de Bode de los sensores S1 y S2 con modos cercanos.

En la prueba para dos modos de vibración la primera separación de frecuencias que se probó

fue de 50 rpm ya que en los diagramas de Bode todavía se distinguían dos picos de vibración;

como parte de otra prueba se redujo la separación de frecuencias a 10 rpm y los diagramas

presentaron un pico de vibración. Una tercera prueba al método de los AMP para matrices

completas de coeficientes de influencia consistió en incrementar al doble el amortiguamiento

de los modos con separación de frecuencias de 50 rpm, esto modificó el diagrama de Bode

generando un solo pico de vibración por efectos del amortiguamiento. En los diferentes

análisis realizados en esta sección se generó en el rodado a balancear las siguientes

condiciones de desbalance:

D1: Desbalance similar en ambos modos.

D2: Desbalance del segundo modo es el 10% del primer modo.

D3: Desbalance en el segundo modo es menor al 1% del primer modo.

D4: Desbalance en el primer modo es menor al 1% del segundo modo.

59


D5: El primer modo es el 40% del desbalance del tercer modo y el sexto modo es el 50% del

desbalance del séptimo modo.

El número de iteraciones necesarias para calcular los arreglos modales de pesos para la prueba

de dos modos con las frecuencias separadas 10 rpm y los diferentes tipos de desbalance se

presentan en la tabla 4.3

Tabla 4.3 Resultados para la prueba de dos modos cercanos con frecuencias naturales separadas 10 rpm.

DOS MODOS Separación de Frecuencias Naturales: 10 rpm.

Frecuencias Naturales: 1050 y 1060 rpm. Relación de Amortiguamiento: 0.03 y 0.045

Frecuencias Seleccionadas

(rpm)

D1 (Iteraciones)

D2 (Iteraciones)

D3 (Iteraciones)

1020 1100 27 34 59

1040 1070 43 164 93

1050 1060 94 149 Arreglo para el

primer modo.

De la tabla 4.3 se observa que en la condición de desbalance D1 y D2 se obtienen arreglos

modales de pesos para los dos modos; sin embargo, para el desbalance D3 con las frecuencias

seleccionadas igual a 1050 y 1060 se obtuvo un arreglo modal para el primer modo. El tener

un arreglo del primer modo se debe a que los factores de forma modal en las frecuencias

seleccionadas son similares y el arreglo será para ese modo. De este ejercicio se concluye que

si las frecuencias seleccionadas se encuentran muy cerca únicamente se calculará un AMP que

corresponderá al modo con mayor desbalance.

En la prueba de dos modos con las frecuencias separadas 50 rpm los AMP se calcularon para

las diferentes condiciones de desbalance y los resultados se encuentran en la tabla 4.4. En esa

misma tabla se colocaron los resultados obtenidos al incrementar el amortiguamiento de los

modos al doble.

60


Tabla 4.4 Resultados para la prueba de dos modos de vibración con frecuencias naturales separadas por 50 rpm.

DOS MODOS

Separación de Frecuencias Naturales: 50 rpm. Frecuencias Naturales: 1000 y 1050 rpm.

Relación de amortiguamiento: 0.035 y 0.045

Relación de Amortiguamiento: 0.06 y 0.09

Frecuencias Seleccionadas

(rpm) D1 (Iteraciones)

D2 (Iteraciones)

D4 (Iteraciones)

D1 (Iteraciones)

D2 (Iteraciones)

D4 (Iteraciones)

960 1100 8 10 21 12 16 32

990 1060 8 9 19 16 22 41

1000 1050 9 11 22 21 27 39

De la prueba con los modos a 50 rpm se concluye que con el doble de amortiguamiento el

número iteraciones que se requieren para calcular los AMP se incrementa casi al doble de lo

que se necesita en comparación con el primer caso de amortiguamiento. Para el desbalance D4

al igual que en la prueba con frecuencias separadas 10 rpm al seleccionar frecuencias con una

separación de 20 rpm, sólo se calcula el AMP para el modo con el mayor desbalance.

En el modelo con siete modos de vibración y frecuencias separadas 50 rpm la prueba se

realizó con la condición de desbalance D1. También se calcularon arreglos modales de pesos

para frecuencias naturales separadas por 100 rpm con la condición de desbalance D1 y D5.

Los resultados de la prueba al modelo con siete modos se presentan en la tabla 4.5.

Tabla 4.5 Resultados para la prueba de siete modos y frecuencias naturales cercanas.

SIETE MODOS Frecuencias naturales

separadas: 50 rpm. Frecuencias naturales separadas: 100 rpm.

D1 D1 D5 Iteración máxima. 167. Con

frecuencias seleccionadas igual a las frecuencias naturales.

Iteración máxima. 23. Con frecuencias seleccionadas

igual a las frecuencias naturales.

Iteración máxima. 63. Con 5 frecuencias

seleccionadas igual a las frecuencias naturales.

61


En todos los casos de estudio expuestos hasta este punto el número MAC de convergencia fue

de 0.99999 como en el caso ideal. Hasta el tercer caso la matriz de coeficientes de influencia

no se considera con influencia de modos superiores, por tanto el cálculo de los AMP dependía

de factores como: a) la separación de las frecuencias naturales, b) el amortiguamiento de cada

modo y c) la frecuencia seleccionada. La siguiente prueba contempla la influencia del modo

superior, lo que ocasiona que el número MAC de convergencia cambie.

4.6 Caso 4: Modos superiores. Para esta prueba el modelo fue adaptado de la siguiente forma: se seleccionaron como

máquinas el generador y la turbina de alta, como modo superior se empleo el segundo modo

de la turbina de baja. Esta prueba se realizó para tratar de simular un caso práctico en donde

existe la influencia de un tercer modo de alguno de los rotores sobre todo el conjunto.

Entiéndase como un modo superior aquel cuya frecuencia natural se encuentra arriba de la

frecuencia de operación de la máquina. La figura 4.7 muestra la influencia de un modo

superior sobre los diagramas de Bode de los cuatro sensores montados en una máquina

compuesta por una turbina y un generador, la frecuencia de operación es de 3600 rpm y el

modo superior se encuentra a 3750 rpm.

S1S2

S3 S4Modo superior

Figura 4.7 Diagrama de Bode de señales de vibración con influencias de un modo superior.

De acuerdo a los requisitos iniciales del método de los AMP para matrices completas el

número de velocidades a seleccionar debe ser igual al número de modos de la máquina y el

62


número de planos de balanceo debe ser igual al número de modos. En el caso de una máquina

con un modo superior se tienen más modos que planos de balanceo, de manera que no se

selecciona alguna de las frecuencias correspondiente a un modo con el fin de tener el mismo

número de frecuencias que planos de balanceo. Los tres primeros casos de la tabla 4.6

muestran los resultados de haber seleccionado las frecuencias correspondientes a los cuatro

primeros picos de la señal de vibración sin considerar la frecuencia del modo superior; se

obtuvieron arreglos modales que sólo afectaron a los modos seleccionados. El número MAC

rms mínimo aceptable fue de 0.9, se modifico el valor de convergencia a causa de la influencia

que tienen el modo superior en la determinación de los coeficientes de influencia.

Para tener un AMP que reduzca o elimine la vibración del modo superior se deja de

seleccionar alguna de las cuatro primeras frecuencias y en su lugar se selecciona la del modo

superior. La frecuencia que se deja de seleccionar debe corresponder a la máquina que

presenta el modo superior; por ejemplo, si el modo superior corresponde a un tercer modo del

generador, entonces se deja de seleccionar la frecuencia correspondiente al primer modo por

tener un factor de forma modal en los puntos de medición con la misma dirección que el del

tercer modo, el último caso de la tabla 4.6 presenta el resultado.

Tabla 4.6 Resultados para el caso de estudio con un modo superior.

CUATRO MODOS Y UNO SUPERIOR Frecuencias naturales: 742, 1440, 2329, 3324 y 3750 rpm.

Frecuencia seleccionada (rpm) AMP Iteraciones 800 1er modo Gen 1500 1er modo TA 2400 2do modo Gen 3380 2do modo TA

2

740 1er modo Gen 1440 1er modo TA 2330 2do modo Gen 3320 2do modo TA

2

740 1er modo Gen 1440 1er modo TA 2330 2do modo Gen 3850 Modo superior

4

63


64

4.7 Discusión.

De acuerdo a los resultados de los casos de estudio, se abre la posibilidad de que el método de

los AMP para matrices completas de coeficientes de influencia se aplique a máquinas reales

que presenten modos cercanos o que tengan influencia de un modo superior. De acuerdo a las

pruebas se logran calcular arreglos modales de pesos para máquinas con dos y hasta siete

modos de vibración, como en el caso de los turbogeneradores

El número MAC de convergencia varía según las condiciones en la máquina. En los casos de

estudio como: condición ideal, selección de diferentes frecuencias y modos cercanos, el

método de los AMP para matrices completas alcanzaba valores de convergencia de 0.99999,

porque no se tiene la influencia del modo superior y los valores de vibración en los diferentes

rodados corresponden a una mezcla de los modos que se encuentran por debajo de la

frecuencia de operación. En el último caso de estudio, por la influencia del modo superior

tanto en la matriz de coeficientes de influencia como en el rodado a balancear, el número

MAC de convergencia es de 0.9; aunque con este valor las formas modales presentan una

buena coincidencia [19].

En el método de los AMP para matrices completas de coeficientes de influencia la única

condición para la selección de frecuencias es que se distribuyan en todo el intervalo en donde

se encuentren los modos de la máquina; lo anterior permite seleccionar la frecuencia de

operación y relacionarla con un modo de vibración al cual se le puede calcular el AMP

correspondiente.

El número de iteraciones que requiere el método para calcular los AMP depende de: las

frecuencias seleccionadas, la separación entre los modos, el amortiguamiento y de la

influencia del modo superior.

Capítulo 5 Arreglos modales de pesos a partir de matrices incompletas de coeficientes de influencia. Equation Chapter (Next) Section 5 5 Capitulo 5.

5.1 Introducción.

Uno de los objetivos de este trabajo es desarrollar un método para matrices incompletas de

coeficientes de influencia, con el fin de aprovechar toda la información disponible de la

máquina. Se tiene una matriz incompleta cuando el número de rodados de prueba es menor al

número de planos de balanceo. El método para matrices incompletas es una modificación al

método de AMP a partir de matrices completas, la diferencia radica en que se emplea el

método de los multiplicadores para calcular los AMP [26], en lugar del método generalizado

de coeficientes de influencia [25].

5.2 Descripción del método para matrices incompletas.

El método de los AMP a partir de matrices completas como datos de entrada sólo necesita:

número de planos de balanceo, número de modos, número de sensores y las frecuencias a

seleccionar; en el caso de una matriz incompleta se requieren datos específicos como: número

de rodados de prueba, número y posición de planos caracterizados, número y posición de los

sensores de la prueba y el número de velocidades a escoger depende del número de sensores

de la prueba; a este tipo de datos se le llama datos de la prueba.

65


La primer diferencia entre el método de los AMP a partir de matrices completas y el de

matrices incompletas se encuentra en los datos de entrada, a causa de las ecuaciones que se

emplean para calcular los AMP en cada caso.

En el método de los AMP a partir de matrices incompletas el dato que más influye en el

cálculo de los AMP es el número de sensores. Al escoger los sensores para la prueba se tienen

las siguientes posibilidades:

Seleccionar el mismo número de sensores para la prueba que número de sensores de la

máquina.

Seleccionar los sensores adyacentes a los planos caracterizados.

Seleccionar los sensores adyacentes a los planos caracterizados y los sensores de

rotores cercanos.

El resultado de los AMP varía de acuerdo al número de sensores que se escojan ya que el

cálculo de los multiplicadores depende tanto del número de rodados de prueba como del

número de sensores por el número de velocidades, ver ecuación 2.15. En el método para

matrices incompletas el número de velocidades a seleccionar está limitado al número de

sensores que se escojan para la prueba, esta dependencia no se puede ver de manera directa

como en el caso de los multiplicadores, pero se puede explicar de la siguiente forma: para

calcular las contribuciones modales con la ecuación 2.17 es necesario invertir la matriz de

factores de forma modal por alguno de los métodos convencionales, esto requiere que dicha

matriz sea cuadrada; en la ecuación 2.17 para que la matriz sea cuadrada el número de modos

r debe ser igual al número de sensores i y como el número de modos r depende de las

frecuencias seleccionadas, se concluye que la matriz cuadrada de factores de forma modal

requiere igual número de sensores que frecuencias.

Para aplicar el método de los AMP para matrices incompletas se requiere:

Definir el número y posición de los sensores a utilizar en la prueba.

Seleccionar el mismo número de velocidades que sensores para la prueba.

Tener rodados de prueba con los pesos agregados en cada uno de ellos.

66


La secuencia para determinar los arreglos modales de pesos a partir de matrices incompletas es

similar al de las matrices completas y las diferencias se presentan a continuación.

1. Introducir los datos para la prueba. Introducir el número y posición de los planos

caracterizados, número de rodados de prueba y por último el número y posición de los

sensores para la prueba. Al introducir el número de sensores es necesario recordar que de

ese valor depende el número de velocidades a seleccionar.

2. Selección de frecuencias. Se recomienda seleccionar las frecuencias que corresponden a

los modos de la máquina cuyos planos se han caracterizado.

3. Seguir los pasos del 2 al 4 del método de los AMP a partir de matrices completas.

4. Calculo de los AMP iniciales. En esta etapa se aplica el método de los multiplicadores para

calcular los arreglos modales de pesos iniciales con una modificación a la ecuación 2.15.

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [1* * ]M V V V VM−⎛= − Δ Δ Δ⎜

⎝ ⎠⎞⎟ (5.1)

( )( )( )( )( )qxr = qxm mxq qxm mxr

En la ecuación 5.1 se nota la dependencia del multiplicador M del número de rodados q y del

número de velocidades por el número sensores seleccionados. El cálculo de los arreglos

modales de pesos es mediante:

[ ] [ ][ ]AMP PP M= (5.2)

( )( )jxr = jxq qxr

El número de arreglos modales de pesos que se obtienen dependen del número de modos, que

es igual al número de frecuencias seleccionadas.

5. Calculo de las vibraciones efecto. Para calcular las vibraciones efecto que generan los

AMP se emplea:

[ ] [ ][ ]VE V M= Δ (5.3) mxr = (mxq)(qxr)

67


6. Continuar con los pasos del 7 al 9 del método de matrices completas.

7. Criterio de convergencia. A diferencia del método para matrices completas en donde el

número MAC rms mínimo aceptable era de 0.99999 o 0.9 según el caso; en el método para

matrices incompletas el valor de convergencia es de 0.8.

El valor de convergencia de 0.8 se tomó de [19]. De acuerdo a la referencia, un número MAC

con ese valor indica que las formas modales coinciden en la mayoría de los puntos, y se

pueden considerar similares. Además el 0.8 es el valor mínimo aceptable cuando se comparan

formas modales obtenidas de modelos con los derivados de pruebas modales experimentales

[19].

Al igual que el método de matrices completas, si el MAC rms mínimo es menor que el valor

de referencia, se toma la matriz de factores de forma modal de referencia y se inician los

cálculos en el punto tres. Si el número MAC rms mínimo es mayor que la referencia, se

obtiene los AMP para las frecuencias seleccionadas y los factores de forma modal en los

sensores.

En ocasiones el MAC rms mínimo no alcanza un valor mayor a 0.8, sino que se mantiene en

un valor constante. Cuando el valor constante se repite durante 10 iteraciones se detienen los

cálculos y se extraen de la matriz de AMP los arreglos cuyo MAC rms sea mayor a la

referencia. En algunos casos los pesos de los arreglos que se extraen de la matriz de AMP

tienen valores superiores a los que se necesitan para balancear el modo correspondiente, en

este caso lo que se aprovecha es la proporción entre los pesos de un mismo arreglo, ya que

garantizan que sólo se afecta un modo de vibración. Las proporciones entre los AMP se

pueden multiplicar por un valor de peso y se obtendrá el peso a colocar en los demás planos de

balanceo para afectar exclusivamente un modo.

68


5.3 Factores que afectan el cálculo de los AMP a partir de matrices incompletas.

Al ser un método para matrices incompletas significa que no se tienen caracterizados todos los

planos de balanceo y no siempre se podrán obtener arreglos modales de pesos para todas las

velocidades seleccionadas. El obtener los AMP a partir de matrices incompletas depende de

diversos factores como: el número de rodados de prueba, la manera en que se colocan los

pesos de prueba, del número de sensores que se escogen para la prueba y las frecuencias

seleccionadas.

Mientras más cercano sea el número de rodados de prueba al número de planos de la máquina

mayor será el número de arreglos modales de pesos que se puedan calcular. De acuerdo al

número de planos caracterizados es el tamaño del AMP; por ejemplo, para afectar el primer

modo de una máquina con siete modos, se requiere conocer la cantidad de peso a colocar en

los diferentes planos de balanceo; si se han caracterizado sólo dos planos de balanceo el AMP

estará constituido sólo por dos pesos.

5.4 Aplicación.

Se calcularon arreglos modales de pesos para el modelo del turbogenerador Mitsubishi de 350

MW siguiendo la secuencia establecida en la sección 4.2. Para las pruebas no se formó una

matriz completa de coeficientes de influencia, sino se generaron rodados de prueba a los

cuales se les aplicó el método de los AMP a partir de matrices incompletas para obtener los

AMP. Se estudiaron dos casos, el primero colocando arreglos de pesos en los rodados de

prueba y el segundo con pesos individuales, ambos sin considerar modos cercanos o modos

superiores.

69


El objetivo de los casos de estudio es mostrar que el número de AMP que se pueden obtener

con matrices incompletas depende del: número de rodados de prueba, posición de los pesos, el

número de sensores y las velocidades seleccionadas.

En el primer caso de estudio, los arreglos de pesos que se colocaron en el modelo estaban

constituidos por dos pesos de igual magnitud y fase para el primer modo (AP1) y con la fase

opuesta para el segundo modo (AP2). Conforme se colocaba un arreglo de pesos en el modelo

se obtenía un rodado de prueba, al cual se le calculaban los AMP con el método propuesto en

el presente capítulo. Los resultados de las pruebas se muestran en la tabla 5.1. Las velocidades

seleccionadas corresponden a los modos de la máquina con los planos caracterizados.

Tabla 5.1 Iteraciones del método de los AMP para matrices incompletas al colocar arreglos de pesos en los

rodados de prueba.

Número de

rodados de prueba

Máquina donde se colocaron los

arreglos de pesos

Número de sensores

seleccionados

Número de velocidades

seleccionadas AMP Iter.

1 AP1 en Gen. 2 2 1er modo Gen. 1

2 AP2 en Gen. 2 2 1er modo Gen. 2do modo Gen. 1

3 AP1 en TB. 4 4 1er modo Gen. 1er modo TB. 17

4 AP2 en TB. 4 4

1er modo Gen. 1er modo TB.

2do modo Gen. 2do modo TB.

1

5 AP1 en TA. 6 6

1er modo Gen. 1er modo TB. 1er modo TA.

2do modo Gen.

18

6 AP2 en TA. 6 6


2do modo Gen. 2do modo TB. 2do modo TA.

2

Iter = Iteraciones; Gen = Generador eléctrico; TA = Turbina de alta y TB = Turbina de baja.

70


De la tabla 5.1 se concluye que mientras mayor sea el número de rodados de prueba mayor es

el número de AMP que se pueden obtener. Al colocar arreglos de pesos en los rodados de

prueba se tiene la ventaja de calcular AMP desde el primer rodado.

Otro caso de estudio consistió en generar rodados de prueba colocando pesos individuales en

los planos de balanceo. A diferencia del caso anterior el número de AMP que se pueden

calcular es igual al número de planos caracterizados; el número de iteraciones necesarias para

obtener los AMP se encuentran en la tabla 5.2.

Tabla 5.2 Iteraciones del método de los AMP a partir de matrices incompletas al colocar pesos individuales

en los rodados de prueba.

Número de

rodados de prueba

Plano del Turbogenerador donde se coloco

el peso de prueba.

Número de sensores

seleccionados

Número de velocidades

seleccionadas AMP Iter.

1 5 - - - -

2 6 2 2 1er modo Gen. 2do modo Gen. 1

3 4 3 3 1er modo Gen. 1er modo TB.

2do modo Gen. 2

4 3 4 4

1er modo Gen. 1er modo TB.


1

5 2 5 5



9

6 1 6 6


2do modo Gen. 2do modo TB. 2do modo TA.

2

71


72

5.5 Discusión.

A diferencia del método de los AMP para matrices completas, el método para matrices

incompletas calcula arreglos modales de pesos de acuerdo al número de rodados disponibles y

planos caracterizados, lo que permite calcular arreglos modales de pesos para una máquina

con un número de rodados menor al número de planos de balanceo.

Para balancear se pueden calcular los AMP de una corrida inicial a partir de rodados de

pruebas anteriores. Los arreglos de modales de pesos se colocan en la máquina para crear

rodados de prueba nuevos en donde el cambio de vibración significa la reducción o

eliminación de las vibraciones generadas por un modo.

En el método para matrices completas de coeficientes de influencia el número de pesos que

constituye un AMP es igual al número de planos de balanceo, en el caso de matrices

incompletas el tamaño del arreglo depende del número de planos caracterizados, aunque es un

AMP parcial proporciona una idea al especialista en balanceo de cómo afectar parcialmente a

un modo de vibración.

La limitante del método de los AMP a partir de matrices incompletas es que el número de

arreglos modales de pesos que se pueden calcular depende del número de rodados de prueba,

la posición de los planos caracterizados, la manera en como se colocan los pesos, los sensores

seleccionados para la prueba y las frecuencias seleccionadas.

Capítulo 6 Algoritmo para determinar AMP a partir de matrices de coeficientes de influencia. Equation Chapter (Next) Section 6 6 Capitulo 6.

6.1 Introducción.

En el capítulo tres y cinco se describieron los métodos para calcular los arreglos modales de

pesos a partir de matrices de coeficientes de influencia. Como se menciona en el capítulo 5 el

método para matrices incompletas es una modificación al de matrices completas por lo que se

abre la posibilidad de realizar un programa que sea capaz de calcular los AMP para cualquier

tipo de matriz de coeficientes de influencia.

6.2 Algoritmo general.

Como parte de los resultados de esta investigación se presenta un algoritmo general que

permite calcular los arreglos modales de pesos a partir de matrices completas e incompletas de

coeficientes de influencia. Para diferenciar entre un tipo de matriz y otra se piden dos tipos de

datos de entrada: datos de la máquina y datos para la prueba. Al determinar el tipo de matriz se

establecen las operaciones que se realizarán para calcular los arreglos modales de pesos. La

programación del algoritmo se realizó en Matlab v6.5 y el código de programación se presenta

en el apéndice D.

El diagrama de flujo del algoritmo general se encuentra en la figura 6.1 y tiene una secuencia

similar a los métodos descritos anteriormente, pero se encuentra dividido por bloques los

cuales se describen después de las figura 6.4.

73

Capítulo 6. Algoritmo para determinar AMP a partir de matrices de coeficientes de influencia.

Inicio

Figura 6.2 Diagrama de flujo del Algoritmo para programar el método de los AMP.

Matriz Completa de Coeficientes de influencia

Matriz Incompleta de Coeficientes de influencia

Datos de Entrada

Vector de vibración

Calcular FFM inicial.

Contribución Modal

Calcular [ ]VΔ

[ ]PP

Matriz de Vibración Modal [ ]VM

Si NR = NP

Si

No

FFM en las frecuencias seleccionadas.

FFM de referencia.

Calcular MAC

MAC>=Ref

No

Si

Forma modal de referencia

AMP y formas modales en los sensores. Fin

Figura 6.1 Diagrama de flujo del Algoritmo para programar el

método de los AMP.

1

2

Ver figura 6.2

4

3

5

6 7

Ver figura 6.4 Ver figura 6.3

8

9

10

74


Datos de Entrada

Datos de la máquina Datos de la prueba

Cargar rodado a balancear

Diagrama de Bode y Polar

Seleccionar frecuencias

Figura 6.2 Diagrama de flujo de los datos de entrada.

Matriz Completa de

Coeficientes de influencia

[ ] [ ][ ] 1−Δ= PPVα

[ ] [ ] [ ]VMAMP += α

[ ][ ]AMPVE α=

Figura 6.3 Diagrama de flujo de las ecuaciones para matrices completas de coeficientes de influencia.

Matriz Incompleta de

Coeficientes de influencia

Figura 6.4 Diagrama de flujo de las ecuaciones para matrices incompletas de coeficientes de influencia.

[ ] [ ] [ ]VMVM +Δ−=

[ ] [ ][ ]MPPAMP =

[ ] [ ] [ ]MVVE Δ=

75


Bloque 1: Datos de entrada. Se introducen los datos necesarios para calcular los AMP como

son: número de sensores, modos y planos de la máquina, así como las frecuencias a

seleccionar.

Los datos de entrada se dividen en dos: datos de la máquina y datos de la prueba. En los datos

de la máquina se introduce el número de sensores, planos de balanceo y modos de la máquina.

Posteriormente se piden los datos de la prueba, que son: el número de rodados de prueba, el

número de planos de balanceo caracterizados y el número de sensores a utilizar en el cálculo,

así como la posición de cada uno de ellos. Los datos de la prueba se ocupan para calcular los

AMP.

En el caso de una matriz completa el número de sensores es igual al de planos de balanceo

tanto en los datos de la máquina como en los datos de la prueba; asimismo el número de

planos de balanceo es igual al número de rodados de prueba. Para el caso de las matrices

incompletas esto no se cumple, ya el número de rodados de prueba es diferente al número de

planos de balanceo; por tanto, para calcular los AMP a partir de matrices incompletas se

seleccionan los planos caracterizados y los sensores a utilizar durante la prueba.

Después de tener los datos de la máquina y de la prueba, se carga al programa el rodado a

balancear o el rodado al que se le calculará los AMP; también se generan los diagramas

polares y de Bode de dicho rodado. Los diagramas deben mostrar las vibraciones en cada uno

de los sensores seleccionados para la prueba. Como último dato de entrada se seleccionan las

frecuencias para las cuales se calcularán los AMP. El número de frecuencias seleccionadas

será igual al número de sensores de la prueba.

Bloque 2: Factores de forma modal inicial. Se calculan los factores de forma modal inicial,

FFM, para cada modo de acuerdo a las frecuencias seleccionadas. Antes de calcular los

factores de forma modal inicial es necesario crear una matriz de vibración que contenga las

vibraciones de los sensores en las diferentes frecuencias seleccionadas. Cada columna de esta

76


matriz corresponde a las vibraciones en una frecuencia y las filas son los diferentes sensores

de la prueba.

A la matriz de vibración se le aplica la ecuación 3.17 para calcular los factores de forma

modal inicial en las diferentes velocidades, cada factor de forma modal está asociado a un

modo de vibración.

Bloque 3: Matriz de vibración modal. La matriz de vibración modal contiene las vibraciones

de cada modo en las diferentes frecuencias seleccionadas. Para el cálculo de la matriz de

vibración modal es necesario conocer las contribuciones modales y los factores de forma

modal en lo sensores.

La contribución modal indica la aportación de un modo a la vibración total en las diferentes

frecuencias; para el cálculo de las contribuciones se emplea la ecuación 2.17. Con las

contribuciones modales y los factores de forma modal se aplica la ecuación 3.19 para obtener

la matriz de vibración modal.

Bloque 4: Matrices delta V y PP. Estas matrices son la base para calcular la matriz de

coeficientes de influencias completa y para determinar los multiplicadores en el caso de una

matriz incompleta.

Cada columna de la matriz contiene los cambios de vibración en los sensores de un

rodado a otro y la matriz [ contiene los pesos individuales o arreglos de pesos colocados

en los planos de balanceo en cada rodado de prueba.

[ VΔ

]PP

]

Bloque 5: Tipo de matriz de coeficientes de influencia. En este bloque se determina el tipo

de matriz que se tiene de acuerdo con los datos de entrada. Si el número de rodados de prueba,

q, es igual al número de planos de balanceo caracterizados, j, se tiene una matriz completa, y

si es menor entonces es una matriz incompleta.

77


Bloque 6: AMP con matrices completas. El cálculo de los AMP se realiza con la ecuación

2.8, la cual requiere una matriz completa de coeficientes de influencia y de la matriz de

vibraciones modales. Para calcular la matriz completa se emplea la ecuación 2.2 del método

generalizado de coeficientes de influencia [25].

Al utilizar el método de Moore – Penrose para invertir la matriz de coeficientes de influencia y

calcular los AMP la solución que se obtiene es aproximada, por lo que es necesario calcular

las vibraciones efecto, que son las vibraciones que realmente genera el arreglo de pesos

calculado, para esto se ocupa la ecuación 3.23.

Bloque 7: AMP con matrices incompletas. Si el número de rodados de prueba es menor al

número de planos de balanceo, entonces se tiene una matriz incompleta, por lo que la ecuación

2.8 no se puede aplicar para calcular los AMP. En este caso se sustituye el cálculo de la matriz

de coeficientes de influencias por un multiplicador que permite calcular los AMP sin

necesidad de tener tantos rodados de prueba como planos de balanceo. El multiplicador se

determina con la ecuación 2.15 y los AMP con la ecuación 2.16.

En la ecuación 2.15, el cálculo del multiplicador implica invertir la matriz por el método

de Moore – Penrose o de la Pseudoinversa, como en el caso anterior es necesario calcular las

vibraciones efecto para determinar las vibraciones reales, para esto se emplea la ecuación 5.3

[ VΔ ]

Bloque 8: Factores de forma modal de referencia. Los factores de forma modal de

referencia se emplean para calcular los números MAC y con ello determinar si el arreglo de

pesos es o no modal.

Antes de determinar los factores de forma modal de referencia se calculan los factores de

forma modal recalculados que corresponden a las frecuencias seleccionadas, para ello emplea

la ecuación 3.17. De la matriz de factores de forma modal se toma como FFM de referencia el

que corresponde a la frecuencia asociada con cada modo.

78


Bloque 9: Cálculo del número MAC. El número MAC se calcula con la ecuación 2.18 y

sirve para comparar los factores de forma modal de referencia con los factores de forma que se

obtienen de las diferentes frecuencias seleccionadas. Del grupo de números MAC que se

obtiene para cada arreglo modal se calcula un valor rms para dicha serie de números y el

resultado se convierte en el MAC rms correspondiente al arreglo modal de pesos.

Bloque 10: Criterio de convergencia. Como el método para calcular los arreglos modales de

pesos es un ciclo se necesita un criterio de convergencia para detener los cálculos. En este

caso el cálculo de los AMP se detiene hasta que el MAC mínimo rms es mayor a un valor de

referencia. Los valores de referencia varían según el caso de estudio:

Matriz completa sin modo superior: 0.99999

Matriz completa y modo superior: 0.9

Matriz incompleta: 0.8 o que el número MAC no cambie en 10 iteraciones.

Estos valores de referencia indican que el arreglo modal de pesos calculado genera la misma

forma modal en todas las frecuencias seleccionadas, si el MAC en la primera iteración no es

mayor o igual al valor de referencia, entonces se toma el factor de forma modal de referencia y

se inicia el ciclo en el bloque tres. Cuando la condición se cumple se obtienen los arreglos

modales de pesos para los modos seleccionados y el factor de forma modal en los puntos de

medición.

79


6.3 Tamaño de las matrices.

El tamaño de las diferentes matrices que se emplean para calcular los arreglos modales de

pesos dependen del número de sensores, planos, rodados de prueba y velocidades

seleccionadas. En la tabla 6.1 se encuentran las variables que intervienen en el tamaño de la

matriz. Tabla 6.1 Tabla de variables que intervienen en el cálculo de los AMP.

VARIABLE SIGNIFICADO

NSP Número de sensores de prueba.

NPP Número de planos caracterizados.

NR Número de rodados.

NM Número de Modos.

NV Número de velocidades seleccionadas.

Rx Rodado de prueba x; x va de 1 a NR.

[DV] Matriz de incremento de vibración.

[PP] Matriz de pesos de prueba.

[MV] Matriz de vibraciones.

[PSI] Matriz de factor de forma modal.

[CONS] Matriz de contribuciones modales.

[AVMODAL] Matriz auxiliar de la vibración modal.

[VMODAL] Matriz de vibración modal.

[ALFA] Matriz de coeficientes de influencia.

[AMP] Matriz de Arreglos Modales de Pesos

[VE] Matriz de vibraciones efecto.

[MULTI] Matriz de multiplicadores.

[DVE] Matriz de vibración efecto adimensional.

Con las variables anteriores se puede escribir el algoritmo en forma de matrices. Primero se

forma la matriz de vibraciones:

[ ]MV NSPxNV= (6.1)

80


Después se calcula la matriz de factor de forma modal que tiene el mismo tamaño que la

anterior, pero es adimensional.

[ ]PSI NSPxNV= (6.2)

Con las matrices [PSI] y [MV] se calculan las contribuciones modales.

[ ] [ ] [ ]1CONS PSI MV NVxNSPxNSP xNV−= = (6.3) [ ]CONS NVxNV= (6.4) La matriz de formas modales y las contribuciones modales se emplean para formar la matriz

de vibración modal.

[ ] { } { } { }1 2 NVAVMODAL AVMODAL AVMODAL AVMODAL= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (6.5)

[ ] ( )AVMODAL NVxNSP xNV= (6.6) { } { } { } ( )¨ 1t

d d dAVMODAL CONS PSI NVxNSP d NV= ⊗ = ≤ ≤ (6.7)

Está matriz es auxiliar, ya que esta acomodada por NVxNSP y para calcular los AMP, se

requiere que la distribución sea NSPxNV, por tanto la matriz de vibración modal es:

( )VMODAL NSPxNV xNV= (6.8) Por otra parte, la matriz de coeficientes de influencia completa e incompleta tiene en común

las siguientes matrices:

{ }xR NSPxNV= (6.9)

[ ] { } { }{ } { } { }{ } ( )0 1 ( 1)x xV R R R R NSPxNV xN−⎡ ⎤Δ = − − =⎣ ⎦ R (6.10)

[ ]PP NPPxNR= (6.11) Para una matriz completa de coeficientes de influencia NR = NM = NPP y:

[ ] [ ][ ] ( )1ALFA V PP NSPxNV xNRxNRxNPP−= Δ = (6.12)

[ ] ( )ALFA NSPxNV xNPP= (6.13)

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )1AMP ALFA VMODAL NPPx NSPxNV x NSPxNV xNV−= = (6.14)

[ ]AMP NPPxNV= (6.15)

81


82

[ ] [ ][ ] ( )VE ALFA AMP NSPxNV xNPPxNPPxN V= = (6.16)

[ ] ( )VE NSPxNV xNV= (6.17)

Para una matriz incompleta de coeficientes de influencia NR < NPP:

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )MULTI V VMODAL NRx NVxNSP x NVxNSP xNV+= Δ = (6.18)

[ ]MULTI NRxNV= (6.19)

[ ] [ ][ ]AMP PP NV NPPxNRxNRxNV= = (6.20)

[ ]AMP NPPxNV= (6.21)

[ ] [ ][ ] ( )VE V MULTI NVxNSP xNRxNRxNV= Δ = (6.22)

[ ] ( )VE NVxNSP xNV= (6.23) Después de calcular la matriz de vibraciones efecto para cualquiera de los casos, se

adimensiona respecto a un sensor de referencia y se obtiene la matriz [DVE].

[ ] ( )DVE NVxNSP xNV= (6.24) De la matriz [DVE] se extrae una nueva matriz [PSI] y se inicia nuevamente el cálculo de los arreglos modales de pesos.

6.4 Recomendaciones para la programación.

Para la programación del método se pueden dar las siguientes recomendaciones:

Pedir datos de la máquina primero y después los de la prueba; ya que la mayoría de los

cálculos dependen de los datos de la prueba.

Recomendar al usuario introducir la posición de los planos caracterizados, sensores, así

como las velocidades en orden ascendente. Si es posible se sugiere realizar una rutina que

ordene los valores de entrada en forma ascendente.

Utilizar la mayor cantidad de decimales posibles en los cálculos.

Para el número MAC rms es suficiente con seis decimales.

Capítulo 7 Conclusiones y recomendaciones. Equation Chapter (Next) Section 7 7 Capitulo 7.

7.1 Conclusiones.

La investigación que se realizó en el presente trabajo se divide en dos etapas: en la primera se

considera la existencia de una matriz completa de coeficientes de influencia para obtener los

arreglos modales de pesos. En la segunda etapa dichos arreglos se obtienen de una matriz de

coeficientes de influencia incompleta, es decir, que a la máquina no se le caracterizaron todos

los planos de balanceo por falta de rodados de prueba. Respecto a la matriz completa las

conclusiones son las siguientes:

Se desarrolló un método para calcular los arreglos modales de pesos a partir de matrices

completas de coeficientes de influencia, el cual combina conceptos modales como: factor de

forma modal y contribución modal con la matriz de coeficientes de influencia. El método

propuesto determina los arreglos modales de pesos mediante iteraciones, las cuales se emplean

para calcular los factores de forma modal en los puntos de medición.

De acuerdo a los resultados que se obtuvieron en los diferentes casos de estudio, se espera que

la proporción entre los pesos de un arreglo modal se conserve con el paso del tiempo, al ser

dependientes de la forma modal y que dichos arreglos se puedan emplear en balanceos

posteriores; además al contar con los arreglos modales de pesos es posible calcular los factores

de forma modal en los planos de balanceo, aunque con una referencia diferente a los factores

de forma modal en los sensores.

Si la máquina a balancear tiene la influencia de un modo superior es posible calcular un

arreglo modal de pesos que reduzca la vibración de dicho modo. Para obtener el arreglo modal

que afecta al modo superior se selecciona una frecuencia que se encuentre por arriba de la

83

Capítulo 7 Conclusiones y recomendaciones.

velocidad de operación y se omite la selección de uno de los modos de la máquina. El modo

que se deja de seleccionar es el que tiene la misma dirección de los factores de forma modal en

los puntos de medición que el modo superior.

El número de iteraciones que requiere el método para calcular los arreglos modales de pesos

depende de los siguientes casos: la frecuencia que se selecciona para cada modo, la separación

entre las frecuencias naturales, el amortiguamiento y de la influencia del modo superior.

En el método de los AMP para matrices completas es necesario distribuir las frecuencias a

seleccionar dentro del intervalo de frecuencias limitado por los modos de la máquina, de lo

contrario no será posible calcular los arreglos modales de pesos.

Las conclusiones del método de los AMP para matrices incompletas de coeficientes de

influencia son:

Se desarrolló un método para calcular arreglos modales de pesos a partir de matrices

incompletas de coeficientes de influencia, que combina conceptos modales como: factor de

forma modal y contribución modal con el método de balanceo por multiplicadores. Se pueden

obtener arreglos modales de pesos desde la primera corrida de prueba, siempre que se coloque

un arreglo de pesos como peso de prueba.

La posibilidad de obtener los arreglos modales de pesos depende en gran medida del número

de sensores que se seleccionen para la prueba y el número de pesos que forman dicho arreglo

depende del número de planos de balanceo caracterizados en los rodados de prueba.

En los artículos consultados para este trabajo, no se encontró ningún método que calcule AMP

a partir de matrices incompletas de coeficientes de influencia; por lo que el método que se

plantea en el capítulo cinco se considera una contribución en el área de balanceo al igual que

el método para matrices completas.

84

Capítulo 7 Conclusiones y recomendaciones.

85

7.2 Recomendaciones.

Como una posible mejora al método de los AMP para matrices completas e incompletas se

propone utilizar ponderaciones para incrementar los valores de vibración en una frecuencia

específica, lo cual permitirá aproximar los factores de forma modal iniciales al real. El método

de las ponderaciones se puede tomar de [26].

Se recomienda seguir explorando el caso de modos superiores con el método de los AMP para

matrices completas, pero con un modelo que tengas tres modos de vibración por cada rotor

que lo integre. Esto permitirá determinar la cantidad de modos superiores que tiene como

límite el método de los AMP para matrices completas. Cabe mencionar que los modos del

modelo deben ser planos, porque fue para la condición que se desarrolló el método propuesto

en este trabajo.

Simular el ruido en las señales de vibración con el fin de determinar los efectos en el método

de los AMP para matrices completas y como se afecta la convergencia del método.

En algunos casos se encontró que los factores de forma modal en los sensores no eran planos,

ya que presentaban desviación entre 5° y 10°; como resultado el AMP que se calcula no es

plano. Se recomienda realizar una rutina de cómputo que permita al usuario modificar los

ángulos de los factores de forma de manera que sean planos y después iniciar nuevamente el

cálculo de los AMP pero con los factores de forma modificados.

Realizar pruebas del método de lo AMP a partir de matrices incompletas para los casos de:

modos cercanos, modos superiores, ruido en la señal de vibración y combinaciones de ellos.

Realizar pruebas del método de los AMP a partir de matrices completas e incompletas de

coeficientes de influencia en un rotor experimental y posteriormente en una máquina real.

Referencias

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2. Rankine, W. A., 1869, “On the Centrifugal Force of Rotaring Shafts”, Engineer, Vol. 27,

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3. Loewy, R. G. and Piarulli, V. J., 1969, “Dynamics of Rotating Shafts,” Shock and

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London, Ser. A, Vol 185, pp. 279 – 360.

6. Föppl, A., 1895, “Das Problem der Lavalschen Turbinenwelle,” Der Civilingenieur, Vol

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9. Neslson, Frederick C., 2003, “A Brief History of Early Rotor Dynamics,” Sound and

Vibration, June, pp. 8 – 11.

10. Jeffcott, H. H., 1919, “The Lateral Vibration of Loaded Shafts in the Neighborhood of a

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pp. 304 – 314.

11. Thearle, E. L., 1934, “Dynamics Balancing of Rotating Machinery in the Field,” Journal of

Applied Mechanics (Transactions of the ASME), Vol. 56, pp. 745 – 753.

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Applied Mechanics, Vol. 61, pp. A1-A6.

13. Kang Y., Chang Y. P., Tseng M. H., Tang P.H. and Chang Y. F., 2000, “A Modified

Approach Based on Influence Coefficient Method for Balancing Crank – Shaft,” Journal

of Sound and vibration, Vol. 234, N. 2, pp. 277 – 296.

86

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16. Tessarzik J. M., Badgley R. H. and Anderson W. J., 1972, “Flexible rotor balancing by the

exact point-speed influence coefficient method,” ASME Journal of Engineering for

Industry, pp. 148 – 158.

17. Tessarzik J. M., Badgley R. H. and Fleming D. P., 1976, “Experimental evaluation of

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Apéndice A Modelo del Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW. 8 Apéndice A

El modelo del turbogenerador esta compuesto por: una turbina de alta presión y una de baja,

un generador y un excitador, el esquema del turbogenerador se puede ver en la figura A1.

Presenta 14 modos de vibración: siete en el plano vertical y siete en el horizontal. Cuenta con

siete planos de balanceo y siete sensores montados en las chumaceras. Cabe mencionar que

este modelo considera modos planos.

Turbina de alta presión.

Turbina de baja presión.

Generador eléctrico.

Excitador

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

P1 P2 P3 P4

P5 P6 P7

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

Figura A1 Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW.

S = Sensor, P = Plano de balanceo y C = Chumacera

El modelo esta programado en Excel y muestra la respuesta en los sensores al colocar pesos en

los planos de balanceo. En máquinas reales la condición es similar, es decir, se colocan pesos

de prueba en un punto y se mide en otro, por eso el modelo es útil para generar rodados

Los parámetros como frecuencia natural, relación de amortiguamiento, masa modal y radio del

plano de balanceo, para los planos X y Y se encuentran en la tabla A1 y A2 respectivamente.

89

Apéndice A Modelo del Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW.

90

Tabla A 1 Parámetros modales del plano X en el modelo del Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW.

Modo 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia (rpm) 725 1100 1270 1500 2200 2550 3020

Mm (Kg) 3,340,596,890 45,228,343 85,337 9,357,800,423 25,597,669 204,150 12,485

Cc 0.03 0.07 0.09 0.02 0.05 0.06 0.05

R (cm)

Psi 1 Psi 2 Psi 3 Psi 4 Psi 5 Psi 6 Psi 7

S1 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

P1 1.68 110.00 1.05 1.35 1.01 0.95 0.88 0.45

P2 2.90 ‐0.20 1.10 1.06 ‐0.90 ‐0.95 ‐0.79 0.45

S2 1.06 ‐3.00 0.50 0.35 ‐1.98 ‐2.00 ‐0.71

S3 ‐2.50 ‐27.00 0.06 ‐1.52 ‐5.46 ‐3.10 0.24

P3 ‐33.00 ‐29.00 0.04 ‐1.58 ‐4.86 ‐2.50 0.30 0.45

P4 ‐85.00 ‐28.00 0.00 ‐0.42 3.55 2.70 ‐0.30 0.45

S4 ‐60.00 ‐16.00 ‐0.01 0.40 4.53 2.50 ‐0.34

S5 200.00 ‐1.40 0.00 ‐0.99 ‐19.96 1.10 ‐0.12

P5 360.00 ‐0.37 0.00 ‐2.47 ‐30.00 0.40 ‐0.06 0.45

P6 340.00 ‐1.04 0.00 ‐0.28 30.00 ‐0.06 ‐0.01 0.45

S6 150.00 ‐0.47 0.00 ‐11.00 21.47 ‐0.04 ‐0.01

P7 ‐95.00 1.50 0.03 ‐633.00 2.42 ‐0.01 0.00 0.3

S7 ‐105.00 2.30 0.06 ‐1200.00 8.18 0.00 0.00

S = Sensor; P = Plano de balanceo; Psi = Forma modal; R = Radio del plano de balanceo; Mm = Masa

modal y Cc = Relación de amortiguamiento.

Tabla A 2 Parámetros modales del plano Y en el modelo del Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW.

Modo 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia (rpm)

742 1158 1440 1444 2329 2787 3324

Mm (Kg) 2,840,596,890 35,228,343 55,337 4,257,800,423 35,597,669 104,150 10,485

Cc 0.03 0.07 0.09 0.02 0.045 0.06 0.06

R (cm)

Psi 1 Psi 2 Psi 3 Psi 4 Psi 5 Psi 6 Psi 7

S1 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

P1 1.68 1.24 1.39 1.35 1.01 0.95 0.88 0.45

P2 2.90 ‐0.20 1.27 1.06 ‐0.90 ‐0.89 ‐0.79 0.45

S2 1.06 ‐2.70 0.72 0.35 ‐1.98 ‐1.41 ‐0.71

S3 ‐35.71 ‐22.00 0.06 ‐1.52 ‐5.46 ‐2.34 0.24

P3 ‐48.25 ‐24.55 0.04 ‐1.58 ‐4.86 ‐1.95 0.24 0.45

P4 ‐124.83 ‐23.65 0.00 ‐0.42 3.55 1.83 ‐0.24 0.45

S4 ‐132.36 ‐14.28 ‐0.01 0.40 4.53 1.98 ‐0.30

S5 161.66 ‐1.20 0.00 ‐2.99 ‐19.96 0.51 ‐0.10

P5 354.43 ‐0.37 0.00 ‐5.47 ‐31.91 0.32 ‐0.06 0.45

P6 303.30 ‐1.04 0.00 ‐3.28 31.49 ‐0.06 ‐0.01 0.45

S6 108.94 ‐0.47 0.00 ‐9.83 21.47 ‐0.04 ‐0.01

P7 ‐427.34 1.93 0.03 ‐533.85 2.42 ‐0.01 0.00 0.3

S7 ‐487.54 2.83 0.06 ‐998.34 8.18 0.00 0.00

Apéndice B Ecuaciones para generar la respuesta del Turbogenerador Mitsubishi de 350 MW. 9 Apéndice B A partir de los parámetros modales del turbogenerador y con las ecuaciones B1 y B2, se puede

obtener la respuesta en los sensores al colocar pesos en los planos de balanceo. Las ecuaciones

B1 y B2 se derivan de un sistema amortiguado con excitación inercial [35] combinada con

ecuaciones de la teoría modal [19].}

( )( ) ( )( )

22

2 221

* * 11000* *

1 2

tr i r j r rn

i j jr

r r r r

VR R MMM

ψ ψ

ξ−

=

Ω −Ω=

−Ω + Ω∑ (B1)

( ) ( )( )3

2 221

* *2* *1000* *

1 2

tr i r j r rn

i j jr

r r r r

VI R MMM

ψ ψ ξ

ξ−

=

Ω=

−Ω + Ω∑ (B2)

Donde:

VR = Componente real de la vibración en el sensor i a la frecuencia n causado por la influencia

del pesos colocado en el plano de balanceo j sobre el modo r.

VI = Componente imaginaria de la vibración en el sensor i a la frecuencia n causado por la

influencia del pesos colocado en el plano de balanceo j sobre el modo r.

1000 = Factor de conversión, entre kg, gr, cm y µm.

R = radio del plano de balanceo.

M = Masa en el plano j.

MM = Masa modal del modo r.

r iψ = Factor de forma modal del modo r en el sensor i.

r jψ = Factor de forma modal del modo r en el plano de balanceo j.

rΩ = Relación de frecuencias de cada modo r.

rξ = Relación de amortiguamiento de cada modo.

91

Apéndice B. Ecuaciones para generar la respuesta del turbogenerador Mitsubishi de 350 MW.

92

t = Total de modos de vibración.

r = modo

i = Sensor.

j = Plano de balanceo.

n = Frecuencia de giro.

Para conocer la influencia de todos los planos sobre la vibración del sensor i, se emplea:

1

kn

ij

VRT VRni j−

=

=∑ (B3)

1

kn

ij

VIT VI ni j−

=

= ∑ (B4)

Donde: n

iVRT = Componente real de la vibración total del sensor i a la frecuencia n.

niVIT = Componente imaginaria de la vibración total del sensor i a la frecuencia n.

Apéndice C Aplicación de los AMP a un modelo con cuatro modos de vibración. 10 Apéndice C.

Se calcularon los arreglos modales de pesos para un modelo con cuatro modos de vibración y

compuesto de una turbina y generador, ver figura C1. El modelo de prueba se obtuvo al

modificar el modelo del turbogenerador Mitsubishi mostrado en el apéndice A.

Turbina Generador eléctrico.

C1 C2 C3 C4

P1 P2P3 P4

S1 S2 S3 S4

Figura C1 Modelo compuesto por una turbina y un generador eléctrico.

Primero se estableció un desbalance en el modelo y se tomó como el rodado a balancear, las

vibraciones generadas en cada sensor se muestran en los diagramas de Bode de la figura C2.

Figura C2 Diagrama de Bode que muestra el desbalance de la máquina.

93

Apéndice C Aplicación de los AMP a un modelo con cuatro modos de vibración.

Para calcular los arreglos modales de pesos se contaba con una matriz completa de

coeficientes de influencia, se aplicó el método de los AMP para matrices completas y se

colocó en el modelo el arreglo correspondiente al primer modo. En la figura C3 se muestra

con el ovalo en color negro la eliminación del primer modo.

Figura C3 Eliminación del primer modo de vibración al colocar el AMP correspondiente.

En la figura C4 se observan la eliminación del segundo modo de la máquina, que corresponde

al primer modo de la turbina, al colocar el AMP del segundo modo.

Figura C4. Diagrama de Bode que muestra la eliminación del segundo modo de vibración.

94

Apéndice C Aplicación de los AMP a un modelo con cuatro modos de vibración.

95

Al colocar el AMP del tercer modo de vibración se observa en los diagramas de Bode de la

figura C5 un solo pico, a causa que los otros modos se eliminaron.

Figura C5 Diagrama de Bode con un sólo pico de vibración que se genera por la eliminación de tres modos.

Al colocar el último arreglo modal de pesos el pico del diagrama C5 se elimina y la máquina

queda balanceada.

Apéndice D Código de programación del algoritmo general para calcular los AMP. 11 Apéndice D.

El programa se realizó en Matlab v6.5, para ello fue necesaria agregar dos funciones extras. La primera es la función cis que permite introducir un vector con amplitud y fase, la segunda fue la función nround que redondea los resultados a un cierto número de decimales. El programa sigue la secuencia del algoritmo presentado en el capítulo 6. Tiene como limite el cálculo de los arreglos modales de pesos para una máquina con siete planos de balanceo y siete sensores. %···························DATOS DE ENTRADA························· %-------------------------------------------------------------------- %CARGADO DEL RODADO A BALANCEAR Y CARACTERISTICAS DE LA MÁQUINA. clc clear all fprintf ('-.-.-.-.-.-.-.--.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-\n') fprintf('PROGRAMA PARA CALCULAR ARREGLOS MODALES DE PESOS MEDIANTE UNA') fprintf('\n MATRIZ COMPLETA O INCOMPLETA DE COEFICIENTES DE INFLUENCIA.') fprintf ('\n-.-.-.-.-.-.-.--.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-\n') fprintf('\nCARACTERISTICAS DE LA MAQUINA:') NS = input ('\n\nNúmero de Sensores ==> '); NP = input ('Número de Planos ==> '); NM = input ('Número Modos ==> '); fprintf('\nCARACTERÍSTICAS DE LA PRUEBA:') NR = input ('\n\nNúmero de Rodados de Prueba ==> '); NPP = input ('Número de Planos Caracterizados ==> '); for cn = 1:NPP PP(cn) = input ('Posición del Plano ==> '); end NSP = input ('\nNúmero de Sensores ==> '); for cm = 1:NSP PS(cm) = input ('Posición del Sensor ==> '); end NV = NSP; %Número de velocidades = numero de sensores de prueba %Para tener una matriz PSI cuadrada. RB = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\RB'); a = size(RB); %Calcula el tamaño de la matriz RB. b = a(1); %Determina el numero de RPM de la matriz RB. VMIN = RB(1); VMAX = RB(b); MAC = 0.1; %Referencia al iniciar el ciclo del cálculo de los AMP.

96

Apéndice D Código de programación del algoritmo general para calcular los AMP.

am = 0.1; %Sirve para detener el ciclo. bm = 0; %Contador de MAC repetidos. %·············DIAGRAMAS POLARES Y DE BODE DEL RODADO RB·············· %-------------------------------------------------------------------- fprintf ('\n················································································\n') fprintf(' === OBSERVE LOS DIAGRAMAS === ') fprintf('\nEL NUMERO DE VELOCIDADES A SELECCIONAR ES: %d, QUE ES IGUAL AL NUMERO DE SENSORES', NSP) fprintf('\nEL RANGO DE VELOCIDADES ES: %d - %d RPM',VMIN,VMAX) fprintf('\nPRESI0NE ENTER PARA CONTINUAR Y PARA CERRAR LAS GRAFICAS.') fprintf ('\n················································································') input(''); %Detiene el programa hasta presionar cualquier tecla. c = 1; %Contador Auxiliar para almacenar por columnas, según el número de sensores. for cs = 1:1:NSP %Permite recorrer todos los sensores. d=PS(cs); MAG(:,c) = RB(:,(d*2)); %Vector de magnitud de vibración de todos los sensores. FAS(:,c) = RB(:,((d*2)+1)); %Vector de fase de todos los sensores. c = c + 1; end f = 1; %Contador Auxiliar para seleccionar la columna de cada sensor. for g = 1:2:NSP*2 if (f < 5) & (f >0) %Condición para solo graficar hasta cuatro sensores por ventana. figure(1) %Despliega una ventana con los sensores 1 - 4. g =NSP; %Variable auxiliar para almacenar el numero de planos. if NSP > 4 g = 4; %Para que solo se realicen cuatro graficas en la primer ventana. end subplot (2,g,f) plot (RB(1:b,1)', MAG(1:b,f)) %Diagrama de Bode. title ('Sensor') xlabel('Frecuencia (rpm)') ylabel('Magnitud (Micras)') grid on subplot (2,g,f+g) polar ((FAS(:,f)+360)*pi/180,MAG(:,f)) %Diagrama Polar. grid on end if (f < 8) & (f >4) %Condición para solo graficar hasta tres sensores por ventana. figure(2) %Despliega una ventana con los sensores 5 - 7. subplot (2,(NSP-4),(f-4)) plot (RB(1:b,1)', MAG(1:b,f)) %Diagrama de Bode. title ('Sensor') xlabel('Frecuencia (rpm)') ylabel('Magnitud (Micras)') grid on subplot (2,(NSP-4),(f-4)+(NSP-4)) polar ((FAS(:,f)+360)*pi/180,MAG(:,f)) %Diagrama Polar. end f = f + 1; end input(''); %Detiene el programa hasta presionar cualquier tecla. close all %Cierra todas las graficas.

97


%··················CALCULO DE FFM INICIALES ························ %-------------------------------------------------------------------- %CÁLCULO DEL FFM DE CADA VELOCIDAD. for h = 1:1:NV %Permite capturar las velocidades. fprintf ('Introducir Velocidad %d de %d ', h, NSP) VV(h,1) = input ('==> '); %Guarda el valor de las velocidades en un vector. for k = 1:1:b %Permite recorrer todas las velocidades. if RB(k) == VV(h) %Vibraciones del rodado RB. n = 1; for m = 1:1:NSP VVV(n,h) = RB(k,(PS(m)*2))*cis(RB(k,(PS(m)*2+1))); %La columna es la velocidad. n = n + 1; %Esta matriz es para determinar los FFM end end end end [VibMax PVM] = max(VVV); %Determina el valor máximo por renglón y guarda la posición. for in = 1:1:NV PSI(:,in)=VVV(:,in)/VVV(PVM(in),in); %Factor de forma modal inicial. end %Toma de referencia el sensor con la vibración mayor en cada frecuencia. n1 = 1; for h1 = 1:1:NSP for m1 = 1:1:NV VREAL(n1,1)= VVV(h1,m1); %Vector de vibraciones reales, para calcular las vibraciones residuales. n1 = n1 + 1; %Contador para acomodar las vibraciones por sensor y velocidad. end end %·············CÁLCULO DE LAS CONTRIBUCIONES MODALES·················· %-------------------------------------------------------------------- co = 1; if (NSP == NS)&&(NPP == NP)&&(NP == NR) %Matriz completa. if NP==NM ref = 0.99999; %Valor del MAC de referencia para matrices completas. end if NP<NM ref = 0.9; %Valor del MAC de referencia para matrices completas y modo superior. end end if (NR < NP) %Matriz incompleta. ref = 0.8; %Valor del MAC de referencia para matrices incompletas. end while MAC < ref CONST = pinv(PSI)*VVV; %Calculo de las contribuciones modales. %La Fila es el modo y la columna es la contribución del modo en cada velocidad. for p=1:1:NV r =1; s=NSP;

98


for q = 1:1:NV AVMODAL(r:s,p) = PSI(:,p)*CONST(p,q); %Matriz de vibraciones acomodado por modos en columna. r=r+NSP; %Este vector indica la vibración de cada modo en las diferentes frecuencias. s=s+NSP; %Las filas acomodadas por grupo de velocidades. end end p1 = 1; for r1 = 1:1:NSP*NV VMODAL(r1,:) = AVMODAL(p1,:); %Matriz de vibración modal para determinar los AMP's. p1 = p1 + NSP; %Este vector se debe multiplicar por ALFA o la pseudo inversa de delta V. if p1 > NSP*NV %Cada columna corresponde a un modo. p1 = p1 -NSP*NV + 1; %Las filas están ordenadas por grupo de sensores. end end %·······················CÁLCULO DE DELTA V, P ······················· %-------------------------------------------------------------------- %CARGADO DE LOS RODADOS DE PRUEBA MAS EL INICIAL. for y = 1:1:(NR) if y == 1 %PARA UN RODADO DE PRUEBA. R00 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R00'); R01 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R01'); end if y == 2 %PARA DOS RODADOS DE PRUEBA R02 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R02'); end if y == 3 %PARA TRES RODADOS DE PRUEBA R03 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R03'); end if y == 4 %PARA CUATRO RODADOS DE PRUEBA R04 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R04'); end if y == 5 %PARA CINCO RODADOS DE PRUEBA R05 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R05'); end if y == 6 %PARA SEIS RODADOS DE PRUEBA R06 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R06'); end if y == 7 %PARA SIETE RODADOS DE PRUEBA R07 = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\R07'); end end %==================================================================== %DETERMINACION DE LOS VALORES DE VIBRACION EN CADA UNO DE LOS RODADOS, %SEGUN LAS VELOCIDADES SELECCIONADAS. for t = 1:1:NV %Permite seleccionar las vibraciones en cada velocidad. for x = 1:1:NR %Permite entrar en cada uno de los rodados que se cargaron. for u = 1:1:b %Permite recorrer todo el rango de velocidades.

99


%.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- if (x < 2)&(x > 0) if R00(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R00 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR00(v,1)= R00(u,(PS(va)*2))*cis(R00(u,(PS(va)*2+1))); v=v+NV; end end if R01(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R01 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR01(v,1)=R01(u,(PS(va)*2))*cis(R01(u,(PS(va)*2+1))); v=v+NV; end end end %.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- if (x < 3)&(x > 1) if R02(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R02 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR02(v,1)=R02(u,(PS(va)*2))*cis(R02(u,(PS(va)*2+1))); v=v+NV; end end end %.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- if (x < 4)&(x > 2) if R03(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R03 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR03(v,1)=R03(u,(PS(va)*2))*cis(R03(u,(PS(va)*2+1))); v=v+NV; end end end %.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- if (x < 5)&(x > 3) if R04(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R04 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR04(v,1)=R04(u,(PS(va)*2))*cis(R04(u,(PS(va)*2+1))); v=v+NV; end end end %.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- if (x < 6)&(x > 4) if R05(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R05 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR05(v,1)=R05(u,(PS(va)*2))*cis(R05(u,(PS(va)*2+1)));

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v=v+NV; end end end %.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- if (x < 7)&(x > 5) if R06(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R06 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR06(v,1)=R06(u,(PS(va)*2))*cis(R06(u,(PS(va)*2+1))); v=v+NV; end end end %.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- if (x < 8)&(x > 6) if R07(u) == VV(t) %Vibraciones del rodado R06 correspondiente a la velocidad x. v=t; for va = 1:1:NSP VR07(v,1)=R07(u,(PS(va)*2))*cis(R07(u,(PS(va)*2+1))); v=v+NV; end end end %.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- end end end %==================================================================== %Calculo de la matriz delta V y la matriz de pesos. if NR == 1 %Delta V para Un rodado de prueba. DV = [VR01-VR00]; end if NR == 2 %Delta V para Dos rodados de prueba. DV = [VR01-VR00 VR02-VR01]; end if NR == 3 %Delta V para Tres rodados de prueba. DV = [VR01-VR00 VR02-VR01 VR03-VR02]; end if NR == 4 %Delta V para Cuatro rodados de prueba. DV = [VR01-VR00 VR02-VR01 VR03-VR02 VR04-VR03]; end if NR == 5 %Delta V para Cinco rodados de prueba. DV = [VR01-VR00 VR02-VR01 VR03-VR02 VR04-VR03 VR05-VR04]; end if NR == 6 %Delta V para Seis rodados de prueba. DV = [VR01-VR00 VR02-VR01 VR03-VR02 VR04-VR03 VR05-VR04 VR06-VR05]; end if NR == 7 %Delta V para Siete rodados de prueba. DV = [VR01-VR00 VR02-VR01 VR03-VR02 VR04-VR03 VR05-VR04 VR06-VR05 VR07-VR06]; end

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PESOS = xlsread ('C:\MATLAB6p5\work\Angel Balanceo\Final\PESOS'); %Se carga la matriz de pesos. cs =1; if NP<7 for cf = 2:2:NR*2 for ck = 1:1:NPP DP(ck,cs) = PESOS(2+PP(ck),cf)*cis(PESOS(2+PP(ck),cf+1)); %Matriz de Pesos. end cs = cs + 1; end end if NP==7 for cf = 2:2:NR*2 for ck = 1:1:NPP DP(ck,cs) = PESOS(PP(ck),cf)*cis(PESOS(PP(ck),cf+1)); %Matriz de Pesos. end cs = cs + 1; end end %·····CALCULO AMP POR MATRIZ DE INFLUENCIA O MULTIPLICADORES········. if NR<NP PDV = pinv(DV); %Cálculo de la Pseudoinversa con el método de Moore - Penroses. MULTI = PDV*(-1*VMODAL); %Cálculo del multiplicador para el rodado a balancear RB. AMP = DP*MULTI; %Cálculo de los AMP en base a multiplicadores. end if (NSP == NS)&&(NPP == NP)&&(NP == NR) ALFA = DV*inv(DP); %Matriz de coeficientes de influencia AMP = pinv(ALFA)*(-1*VMODAL); %Cálculo de los AMP con la matriz completa ALFA. end [MXAMP PPAMP] = max(AMP); %Posición del plano con el mayor peso en cada AMP, plano de referencia. for ra=1:1:NV PAMP(:, ra) = AMP(:,ra)/MXAMP(ra); %Función para adimensionalizar los AMP, respecto a un plano de referencia. end %················CÁLCULO DE LAS VIBRACIONES EFECTO ·················· %-------------------------------------------------------------------- if NR < NP VE = DV*MULTI; %Vibración efecto por multiplicadores. end if (NSP == NS)&&(NPP == NP)&&(NP == NR) VE = ALFA*AMP; %Vibración efecto por matriz de coeficientes de influencia. end %················CÁLCULO DE LOS FFM NUEVOS Y MAC ·············· %-------------------------------------------------------------------- fa = 1; for fb = 1:1:NSP*NV VEV(fb,:)=VE(fa,:); %Ordena la matriz de vibraciones efecto por velocidades.

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fa = fa + NSP; if fa>(NSP*NV) fa = fa - NSP*NV + 1; end end aga = 1; agb = NSP; for agc = 1:1:NV AVEV(1:NSP,agc) = VEV(aga:agb,agc); aga = aga + NSP; %Matriz que guarda las vibraciones efecto de referencia. agb = agb + NSP; %Esta es una submatriz que se forma de acuerdo al modo y la frecuencia. end %Es decir el modo uno con la frecuencia uno. [VEM PVEM] = max(AVEV); %Determina el valor máximo por renglón y guarda la posicion. for gc = 1:1:NV PSI(1:NSP,gc) = AVEV(:,gc)/VEM(gc); %Forma modal en los sensores recalculada. end %Cada columna representa un modo de vibración. for fc = 1:1:NV fg = PVEM(fc); %La posición del sensor de referencia. fh = 1; for fe = 1:1:NSP*NV VEVD(fe,fc) = VEV(fe,fc)/VEV(fg,fc); %Matriz de vibración efecto desdimensionalizado, psi de todas las velocidades. fh = fh + 1; if fh > NSP fg = fg + NSP; fh = 1; end end end %························ CALCULO DEL MAC ··························· %-------------------------------------------------------------------- for h1 = 1:1:NV h3 = 1; for h2 = 1:NSP:NSP*NV MOASCR(h3,h1) = ((abs(VEVD(h2:(h2+NSP-1),h1)'*PSI(1:NSP,h1)))^2)/((VEVD(h2:(h2+NSP-1),h1)'*VEVD(h2:(h2+NSP-1),h1))*(PSI(1:NSP,h1)'*PSI(1:NSP,h1))); h3 = h3 + 1; %Calculo de todos los MAC, tomando como referencia la forma modal psi end %De la velocidad correspondiente. end for h4 = 1:1:NV PRMAC(h4) = roundn((sum((MOASCR(:,h4)).^2)/NSP)^(1/2),-6); %MAC RMS por velocidad. end MAC = min (PRMAC); %Valor del MAC minimo. fprintf ('\n\nEL NUMERO MAC MINIMO DE ESTE CALCULO TIENE UN VALOR DE %2.6f EN LA APROXIMACION %d.',MAC, co); co = co + 1;

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if am ~= MAC bm = 0; end if am==MAC bm = bm + 1; %Almacena el numero de veces que se repite el MAC mínimo. end if bm == 10 ref = 0.1; %Detiene el ciclo porque cambia la referencia. end am = MAC; end %clc %·······························RESULTADOS··························· %-------------------------------------------------------------------- %==================================================================== %ARREGLOS MODALES DE PESOS, PROPORCIONES Y FORMA MODAL EN SENSORES. for da = 1:1:NV VR(:,da) = VREAL + VE(:,da); %Vibracion residual. MVR = abs(VR); FVR = angle(VR)*180/pi; end MAMP = abs(AMP); FAMP = angle(AMP)*180/pi; %Magnitud y fase de los AMP. MPAMP = abs(PAMP); FPAMP = angle(PAMP)*180/pi; %Magnitud y fase de las proporciones de los AMP. MPSI = abs(PSI); FPSI = angle(PSI)*180/pi; %Magnitud y fase de las formas modales en los sensores. if (NSP == NS)&&(NPP == NP)&&(NP == NR) %Matriz completa. if NP==NM PMAC = find(PRMAC>=0.99999); %Encuentra AMP con el MAC mayor al valor de referencia. end if NP<NM %Matriz completa y modo superior. PMAC = find(PRMAC>=0.9); %Encuentra AMP con el MAC mayor al valor de referencia. end end if (NR < NP) %Matriz incompleta. PMAC = find(PRMAC>=0.8); %Encuentra AMP con el MAC mayor al valor de referencia. end for ca1 = 1:1:length(PMAC) fprintf ('\n\n--.-.-.-.-.-.-.--.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-\n') fprintf(' RESULTADOS. ') fprintf ('\n PARA LA VELOCIDAD DE %d RPM ',VV(PMAC(ca1))); fprintf ('\n-.-.-.-.-.-.-.--.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-\n') fprintf ('\n============== ARREGLO MODAL DE PESOS ==============\n') for ca2 = 1:NPP

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fprintf ('\nPLANO %d\n',PP(ca2)); fprintf ('MAGNITUD %5.4f GRAMOS; FASE %5.4fº\n',MAMP(ca2,ca1),FAMP(ca2,ca1)); end fprintf ('\n============== PROPORCIONES DE ARREGLO MODAL DE PESOS ==============\n') for cc2 = 1:NPP fprintf ('\nPLANO %d\n',PP(cc2)); fprintf ('MAGNITUD %5.4f GRAMOS; FASE %5.4fº\n',MPAMP(cc2,ca1),FPAMP(cc2,ca1)); end fprintf ('\n============== FORMA MODAL EN LOS SENSORES ==============\n') for rb = 1:1:NSP fprintf ('\nSENSOR %d ',PS(rb)) ; fprintf ('\nAMPLITUD %5.5f FASE %5.5f\n', MPSI(rb,ca1),FPSI(rb,ca1) ) ; end fprintf ('\nEL NUMERO MAC RMS DE ESTE ARREGLO ES: %2.6f\n',PRMAC(PMAC(ca1))); end fprintf ('\n\nEL NUMERO MAC RMS MINIMO DE ESTE CALCULO TIENE UN VALOR DE %2.6f EN LA APROXIMACION %d.',MAC, (co-1)); if (NSP == NS)&&(NPP == NP)&&(NP == NR) %Matriz completa. if NP==NM fprintf ('\nEL NUMERO MAC RMS MINIMO ACEPTABLE PARA MATRIZ COMPLETA ES DE 0.99999'); end if NP<NM %Matriz completa y modo superior. fprintf ('\nEL NUMERO MAC RMS MINIMO ACEPTABLE PARA MATRIZ COMPLETA CON MODO SUPERIOR ES DE 0.9'); end end if (NR < NP) %Matriz incompleta. fprintf ('\nEL NUMERO MAC RMS MINIMO ACEPTABLE PARA MATRIZ INCOMPLETA ES DE 0.8'); end %====================================================================

centro nacional de investigacin y desarrollo … · gracias al personal de la gerencia de...

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