UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS, JURDICAS Y SOCIALES CONTENIDOS TERICOS DE MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena Ao 2011 Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena2

Estimados alumnos Esta cartilla con contenidos tericos es un material de apoyo para queustedes lacompletenyasea,asistiendoalasclasestericasobienatravsdelaconsultadematerial bibliogrfico sugerido por la ctedra. Lamismapresenta,paralamayoradelasunidades,definiciones,ejemplo, demostraciones y otras actividades que con su resolucin podrn aplicar y afianzar los conocimientos adquiridos. Espero quela misma sea de utilidad para realizar con xito las actividades de ejercitacin propuestas en las guas de trabajos prcticos y as poder establecer relaciones entre los contenidos tericos y prcticos. Es fundamental lograr unaptimacomprensin de esta asignatura, dado que MatemticaIeslaprimeramateriadelciclomatemticocuyoscontenidossonlasbasesparalas materias no slo de este ciclo, sino tambin de las materias siguientes de su carrera. Lesdoylabienvenidaaestanuevacarreraqueinicianyexpresototal disposicin para atender sus inquietudes. xitos Prof. Anglica E. Astorga de Brcena Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena3 Por qu la Matemtica en las Carreras de Ciencias Econmicas? Lasmatemticasson fundamentalesenla formacindealumnosenCienciasEconmicas,ya quelasmismasposeen,porunlado,unapreciablevalorformativodestinadoaensearapensar, fomentar el espritu crtico y practicar el razonamiento lgico (Santal), y por otro lado un alto valor instrumental,yaqueproporcionanloselementosnecesariostalescomolasimbologa,teoremasy mtodos,quesonimprescindiblesenlaresolucindesituacionesproblemticasconcretasyenla comprensin de los contenidos de otras asignaturas especficas de la carrera. Unrespetoportodoeldesarrollomatemticodelacienciaeconmicaesampliamente compartido por muchos investigadores: "Dentro del campo especfico de la Economa, los progresos mediante el uso de tcnicas matemticas en la formulacin y anlisis de modelos han adquirido una cierta admiracin y respeto intelectual, si bien la divulgacin y discusin de estos conocimientos se ha vistolimitadaporlascomplejidadesmatemticasinherentesenestosdesarrollos,quenoestnal alcance de un gran nmero de economistas. Manuel Santos (poltico, periodista y economista colombiano, presidente de Colombia), subraya el papel central de la construccin matemtica de la ciencia econmica:"Las Matemticas son tiles enlaconstruccindelasituacinidealizada,siendounpilarfundamentaldenuestracapacidadde raciocinio.Obviamente,lasMatemticasofrecenlasherramientasbsicasparalaconstrucciny anlisisdemodelos,loscualesenunaetapaposteriorsernevaluadosdeacuerdoasupoder predictivo". Grard Debreu, Premio Nobel de Economa de 1983 y uno de los constructores de la moderna economa matemtica, en particular del equilibrio general, hace en un artculo de revisin de su vida unaprofesindefeenelrigormetodolgicoyenelenfoquematemticodelaeconoma:Las recompensasdemifidelidadalrigorfueronmuchas.Eserigorayudabaaelegirlasherramientas matemticasmsadecuadasparaunpuntoconcretodeteoraeconmica.Aladoptarlapostura inflexibledelmatemtico,tambinpermitacomprenderelcomportamientodelosobjetos matemticos, en el deseo de encontrar supuestos cada vez ms dbiles y conclusiones cada vez ms fuertes y en la bsqueda compulsiva de la sencillez. El economista Leon Walras, indica que en cuanto a aquellos economistas que no saben nada de Matemticas,quenosabenloquequierendecirlasMatemticasyqueanashantomadola posicindequelasMatemticasposiblementenosirvanparaelucidarprincipioseconmicos, dejemosquesiganrepitiendoquelalibertadhumananuncapuedeexpresarseenecuacioneso que las Matemticas ignoran las fricciones que son todo en la vida social y otras frases igualmente terminantes y pomposas. No podrn impedirque la teora de la determinacin de precios bajo libre competenciaseaunateoramatemtica.Inclusoauneconmetradelaamplituddemirasde LawrenceKlein,PremioNobeldeEconomade1980,seleasignaunafrasetancontundente(y posiblemente tan exagerada) como que "las contribuciones no matemticas a la economa son vagas, burdas y torpes. Artculo - Pulido - Revista n 12 - 2002 Los contenidos que se tratan en las Matemticas, son fundamentales para analizar problemas de equilibriodemercado,deoptimizacinydedinmicaeconmica,entreotros.Lasimbologaylos contenidosdelamatemticaseconstituyenenelementosfundamentalesparadescribirlas estructuras de dichos modelos y extraer las conclusiones pertinentes. De ah la importancia de preparar a los alumnos en una slida comprensin de los contenidos de Matemtica I. Es fundamental que los alumnos otorguen significado a los mismos, con la intencin dequelessirvandefundamentoparalaresolucindesituacionesconcretasdentrodelamisma, como as tambin en las distintas asignaturas de su carrera y en su futuro. . Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena4 UNIDAD ILENGUAJE MATEMTICO Introduccin: Tanto en la vida diaria como, sobre todo, en la investigacin cientfica, el hombre debe muchos de sus xitos o fracasos a la eficacia de sus argumentos (o razonamiento). Cuando construye buenos argumentos,stoslepermitenconocermejorlarealidad,entantoque,unmalargumento,con frecuencia le hace ms largo el camino hacia el conocimiento verdadero. Etimolgicamente lapalabralgicaprovienendeltrminogriegoLOGOSquesetraducepor palabra, razn, discurso. Lalgica,ladisciplinaqueseocupadelosprincipiosgeneralesdelrazonamiento,fue sistematizadaporAristtelesenelSigloIVa.C,quiendominelpensamientolgicodurante2000 aos, hasta el advenimiento de Leibniz (1646-1716). EnlostrabajosdeLeibniz,seencuentran,engermen,lasideasdelgicasimblicaolgica matemtica.Elperodoinicialdeformacindelalgicasimblicaculminaconlapublicacindela monumental obra Principia Matemtica (1910-1913) de Alfred Whitehead y Bertrand Russel. Despus de Principia Matemtica, la lgica se ha desarrollado en varias direcciones. Una de stas, muypopularyqueestlograndounrpidodesarrollo,seorientahacialascienciasdela computacin. Tododesarrollomatemticoexigerazonarenformavlidaacercadecosastrascendentesy particularmenteabstractas.Setrabajaconsmbolosyconectivoscuyousoadecuadodescartalas contingencias,aportaclaridadyeconomadepensamiento.Lalgicaestenrelacinconla gramtica. PROPOSICIN Unaoracingeneralmentetienesujetoypredicado, yensteltimoapareceel verbo. Sien la oracin hay un solo sujeto (ncleo) y un solo predicado que se refiere a dicho sujeto, recibe el nombre de proposicin simple. Ejemplos: Determinar si las siguientes expresiones son proposiciones simples o no. a)Qu da es? b)Aydame! c)El pizarrn es verde d)3 + 2 = 5 Lasexpresionesa)yb)nosonproposicionessimples,porquelaprimeraesunaoracin interrogativacuyovalordeverdadsedesconoce,mientrasquelasegundaesunaoracin exclamativa de la cual no podemos determinar si es verdadera o falsa. Laoracinc)noesunaproposicinsimpleporquetampocopodemosasignarelvalorde verdadero o falso, ya que pizarrn es variable (en este caso no sabemos a qu pizarrn se refiere). En cambio la oracin d) es una proposicin simple porque podemos decir que su valor de verdad es verdadero. El sentido de verdad en una teora matemtica es el siguiente: El sentido de verdad es el de demostrable. Definicin:Alconjuntodenmeros{ }nr r r r, , , , 3 2 1selellamasolucindelaecuacinb x a x a x a x an n= + + + + 3 3 2 2 1 1 si al sustituirlo en la ecuacin, satisface a la misma. Unaproposicinpesverdadera siesunaxiomadelateora osiesdemostrableporreglas vlidas de la teora y a partir de axiomas de la misma. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena5 Se suelen representar a las proposiciones por letras minsculas p, q, r, s, etc. Por lo tanto, si p es una proposicin, su valor de verdad se denotar con (p). Por ejemploF ) p ( v = V ) p ( v = .

Ejemplo:0 12= x : ) x ( p hasta que no la resolvemos, no puede decir si es V o F. Negacin de una Proposicin Setratadeunaoperacinunitaria,puesapartirdeunaproposicinseobtieneotra,queessu negacin. Ejemplo: Sea la proposicinp: 2 es un nmero par ~p: 2 no es un nmero paro tambin se puede expresar como no es cierto que 2 es un nmero par. Elvalordeverdaddelanegacindelaproposicinpescontrarioalvalordeverdaddela proposicin p; esto lo podemos ver a travs de la tabla de valores: p~ p VF FV Proposicin Compuesta La oracin puede tener un sujeto y varios predicados o bien varios sujetos y un solo predicado. Ejemplo: 9 es un nmero impar y divisible por tres Enestecasoestformadopordosproposicionessimplespyqligadasatravsdel conectivo lgico y. La proposicin p: 9 es un nmero impar,y la proposicin q: 9 es un nmero divisible por tres; que se simboliza de la siguiente manera p. q CONECTIVOS LGICOS Y OPERACIONES LGICAS Losconectivoslgicosnospermitenobtenernuevasproposicionesapartirdeotras,quese denominan proposiciones compuestas. Al proceso que nos permite construir proposiciones a partir de otras usando los conectivos se le llama Operacin Lgica Dadadosomsproposiciones,cuyovalordeverdadsedesconoce,setratadecaracterizarla proposicin resultante a travs de su valor de verdad. Los conectivos lgicos y las operaciones lgicas asociadas son las siguientes: Smbolo del conectivoOperacin AsociadaSe simboliza y se lee FormaoFuncinProposicional:Esaquelladondeel sujetoesunavariableyportantonose puede decir si es verdadera o falsa. Definicin: Dada una proposicin p su negacin se denota con ~ p y significa que no es cierto que ocurra p Definicin: Una proposicin es compuesta cuando se obtiene a partir de dos o ms proposiciones simples ligadas por los conectivos lgicos. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena6 .Conjuncinq p .( p y q) v Disyuncin q p v( p q ) Implicancia o condicional q p ( Si p entonces q ) Doble implicancia o bicondicional q p ( p si y slo si q ) Conjuncin La tabla de verdad es la siguiente: Usaremos el conectivo y cuando aparezcan las palabras pero, sin embargo, tambin La expresin ni significa y no Ejemplo: 6 es mltiplo de 3 y 2 es un nmero cuadrado perfecto p: 6 es mltiplo de 3v (p) = V q: 2 es un nmero cuadrado perfectov (q) = F p .qv (p. q) = F V .F Disyuncin

La tabla de verdad es la siguiente: pqpv q VVV VFV FVV FFF Ejemplo: 22 es un nmero par o un mltiplo de 11 p: 22 es un nmero parv (p) = V q: 22 es un mltiplo de 11 v (q) = V p v qv (pvq) = V Vv F Implicacin o Condicional La tabla de verdad es la siguiente: pqpq pqp. q VVV VFF FVF FFF Definicin:Laconjuncinde lasproposicionesp yqeslaproposicinp.qquesloes verdadera si las dos proposiciones p y q son verdaderas. En todo otro caso es falsa. Enunprogramalinealcondosvariables,siexisteunasolucinnicaqueoptimicelafuncin objetivo, sta se encuentra en un punto extremo (vrtice) de la regin factible acotada, nunca en el interior de dicha regin.Si la funcin objetivo toma el mismo valor ptimo en dos vrtices, tambin toma idntico valor en los puntos del segmento que determinan. Enelcasodequelareginfactiblenoesacotada,lafuncinlinealobjetivonoalcanza necesariamenteunvalorptimoconcreto,pero,silohace,steseencuentraenunodelos vrtices de la regin Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena7 VVV VFF FVV FFV Ejemplo: Si el nmero 2 es igual a 2, entonces 22 es igual (-2)2 p: el nmero 2 es igual a -2v (p) = F q: 22 es igual (-2)2 v (q) = V p qv (p q) = V F V Condicin Necesaria y Condicin Suficiente Para explicar la terminologa de necesario y suficiente, se recurrir a un ejemplo simple. El hecho de que todo salteo es argentino podemos expresarlo mediante el siguiente condicionalSi l es salteo,entonces l es argentino p q antecedente consecuente mediante la siguiente proposicin: Si l es salteo, l necesariamente es argentino. Cambiamos un tanto la redaccin de esta ltima proposicin en dos formas: 1-Que l sea argentino es condicin necesaria para que l sea salteo q p Una condicin necesaria para que l sea salteo es que l sea argentino pq Porotrolado,qulseaargentinoessuficienteparaquelseasalteo?Esevidentequeno. Pero cambiemos el orden, todos estaremos de acuerdo en aceptar las proposiciones: 2-Que l sea salteo es condicin suficiente para que l sea argentino pq Una condicin suficiente para que l sea argentino es que sea salteo. q p En resumen, el condicional pq puede ser ledo de las siguientes maneras: Si p, entonces qUna condicin necesaria para p es q Q si pP es condicin suficiente para q Si p, q Una condicin suficiente para q es p P slo si qPara p, q P solamente si qCuando p, q P (hiptesis ) entonces q (tesis)Como p, q Q es condicin necesaria para pSiempre y cuando p, q Algunas palabras que preceden al consecuente son: entonces, por consiguiente, luego, se sigue que, por lo tanto, por esto. Algunas palabras que preceden al antecedente son: como, por, pues, puesto que, ya que, en tanto que. Doble Implicacin o Bicondicional o Equivalencia: La tabla de verdad es la siguiente: pqpq Definicin: La doble implicacin de las proposiciones p y q es la proposicin pq y slo es verdadera si ambas proposiciones tieneel mismo valor de verdad. En todo otro caso es falsa. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena8 VVV VFF FVF FFV El bicondicionalp q puede ser ledo de las siguientes maneras: pequivale aq psi y slo siq pes lo mismo que q pvale tanto comoq Ejemplo: El cuadrado de un nmero natural es par si y slo si la base es par p: El cuadrado de un nmero natural es parq:labasedeunnmeroesparSimblicamente p q La expresin pq es equivalente a [(pq).(q p)] LEYES LGICAS Seala proposicin [(pq). p] q cuya tabla de verdad se presenta a continuacin: pQpq( pq). p[ ( pq). p ] q VVVVV VFFFV FVVFV FFVFV EstaproposicincompuestaesVindependientementedelosvaloresdeverdaddelas proposiciones componentes. Se dice entonces que tal proposicin es una Tautologa o Ley Lgica. Otro ejemplo de tautologa es p. p. En cambio p. ~ p es siemprefalso cualquiera se a el valor de verdad de p;en este casose dice que es una Contradiccin. La tabla de verdad es la siguiente: Sienunatabladeverdadmedacomoresultadoalgunosvaloresverdaderosyotrosfalsosse llama Contingencia. En general las leyes lgicas o tautologas se demuestran usando tablas de valores y as tenemos: 1-Involucin: ~(~p ) p p~p~(~p )~(~p ) p VFVV FVFV Observamos as que la tabla de verdad es una tautologa 2-Idempotencia: p~pp. ~p VFF FVF Definicin:unaproposicincompuestaesunatautologaoleylgicacuandoelvalorde verdad es siempre verdadero cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Definicin: una ecuacin lineal de "n" variables es del tipo: a1 x1 + a2 x2 + +an. xn = b donde los valores a1, a2, an son los coeficientes de las variablesy b es el trmino independiente. Definicin:unaproposicincompuestaesunacontradiccincuandoelvalordeverdades siempre falso cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena9 a)p .pp pp .pp .p p VVV FFV Con lo cual concluimos que la tabla de verdad es una tautologa b)pv p p(demostracin para Ud.) 3-Conmutatividad a)de la conjuncin p .q q .p La tabla de verdad nos muestra los siguientes valores de verdad: Pqp .qq .pp .q q .p VVVVV VFFFV FVFFV FFFFF b)de la disyuncin pv q qv p(demostracin para Ud). 4-Asociatividad: a)de la conjuncin( p .q ) .r p . ( q .r ) pqrp.q(p.q) .rq. r p.(q. r) (p. q) .r p.(q.r) VVVVVVVV VVFVFFFV VFVFFFFV VFFFFFFV FVVFFVFV FVFFFFFV FFVFFFFV FFFFFFFV b)de la disyuncin( pv q ) vr pv( qvr )(demostracin para Ud.) 5-Distributividad:a)de la disyuncin respecto de la conjuncin ( ) ( ) ( ) r q r p r q p v . v v . b)de la conjuncin respecto de la disyuncin( ) ( ) ( ) r q r p r q p . v . . v(Demostracin para Ud.) 6-Leyes de De Morgan a)Lanegacindeunaconjuncinesladisyuncindelasnegacionesdelasproposiciones dadas~ (p .q ) ~ pv ~ q pqr q p .( ) r q p v .p r v q r v ( ) ( ) r q r p v . v ( ) ( ) ( ) r q r p r q p v . v v .VVVVVVVVV VVFVVVVVV VFVFVVVVV VFFFFVFFV FVVFVVVVV FVFFFFVFV FFVFVVVVV FFFFFFFFV Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena10 Pqp .q~ ) q p ( .~ p~ q~ pv ~ q ~ ) q p ( . ~ pv ~ q VVVFFFFV VFFVFVVV FVFVVFVV FFFVVVVv b) La negacin de una disyuncin es la conjuncin de las negaciones de las proposiciones dadas ~ (pvq)~p .~q (demostracin para Ud.) 7-Negacin de una Implicancia ~ ) q p ( p.~ q como consecuencia de esto significa que p q ~p vq Pqp q ~(pq) ~ q p.~ q~ ( p q )p.~ q VVVFFFV VFFVVVV FVVFFFV FFVFVFv IMPLICACIONES ASOCIADAS Sea p q el condicional que llamaremos directo (F. D), en conexin con l se presentan otros tres que son:-Forma Recproca (F.R)q p -Forma Contraria (F.C)~ p ~ q -Forma Contrarrecproca (FCR)~ q ~ p p q recproco q p

~ p ~ qrecproco ~ q ~ p En base a este anlisis podemos decir que las proposiciones siguientes son equivalentes: Directa p q ~ q ~ p Contrarrecproca Recprocaq p~ p ~ q Contraria Ejemplo: Sean p: Un nmero es impar q: su cuadrado es impar -Laformadirectaespqquesetraducea:Siunnmeroesimpar,entoncessu cuadrado es impar. Esta proposicin es verdadera. -La forma recproca es q p que se traduce a: Si el cuadrado de un nmero es impar, entonces dicho nmero es impar. Esta proposicin tambin es verdadera. -La forma contraria es ~ p ~ q que se traduce a: Si un nmero no es impar, entonces su cuadrado no es impar. Esta proposicin es verdadera. -Laformacontrarecprocaes~q~pquesetraducea:Sielcuadradodeun nmeronoesimpar,entoncesdichonmeronoesimpar.Estaproposicintambines verdadera contrario contrario Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena11 FUNCIONES PROPOSICIONALES: SU CUANTIFICACIN Sea p(x): x es divisible por tres. Esta no es una proposicin porque no podemos decir nada acerca de su verdad o falsedad. A expresiones de este tipo se llama forma o funciones proposicionales. Adiferenciadelasproposicionesquehemosmanejadohastaahora,elenunciadoxesdivisible por tres, no es verdadero ni falso. Cuando la variable x se reemplaza por ciertos valores, por ejemplo: Si x = 2, entonces p(2):2 es divisible por 3, que es una proposicinFalsa Si x = 6, entonces p(6):6 es divisible por 3 es Verdadera. ste es un ejemplo de unenunciado abierto, el cual viene a ser una proposicin slo cuando las variables son reemplazadas por los nombres particulares de los objetos. Lacoleccindeobjetosquealemplearlosenlugardelasvariablesenunenunciadoabiertolo convierten en una proposicin verdadera se llamael conjunto de verdad del enunciado. Sea92 = x : ) x ( q : Si tomamos el conjunto de los nmeros reales como el universo,el conjunto de verdad de) x ( qes{ } 3 3; . Si el universo fuera el conjunto de los nmeros naturales, entonces el conjunto de verdad sera{ } 3 Recordemos que a partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de Cuantificacin. Tenemoselsmbolollamadocuantificadoruniversalyelsmbolo-cuantificador existencial. El cuantificadorse traduce como: todos,cada uno, cualquiera. El cuantificador- se traduce como: existe, hay, algunos, alguien, existe al menos As tenemos que: ~ [ x, p (x) ]- x:~ p (x) ~ [- x:q (x) ]x, ~ q (x) La expresin ninguno se traduce como todos no . Ejemplo:Expresarsimblicamentelassiguientesformasproposicionales,negarlay traducirla al lenguaje coloquial. 1- Cualquiera que sea el entero, existe otro que sumado a l da cero Simblicamente: x Z e ,- y Z e : x + y = 0 La negacin es: ~ [ x Z e ,- y Z e : x + y = 0 ]- x Z e :y Z e ,x + y=0 Coloquialmente: Existe un entero tal que sumado a cualquier otro entero da distinto de cero 2-Todos los alumnos de Matemtica I aprobarn el primer parcial, siempre y cuando asistan a las clases tericas y prcticas y adems estudien Simblicamente: [ ( ) | | ) ( ) ( ) ( ) ( , x p x t x r x q x . . La variable x es alumnos de Matemtica I p(x): x asisten a las clases tericas q(x): x asisten a las clases prcticas r(x): x estudian t(x): xaprobarn el primer parcialDefinicin: Funcin proposicional en una variable o indeterminada x, es toda oracin en la cual figura x como sujeto; la cual se convierte en proposicin para cada especificacin de x. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena12 La negacin es: ~[ ( ) | | | ( ) | | ) x ( p ~ ) x (t ) x (r ) x ( q : x ) x ( p ) x (t ) x (r ) x ( q , x . . . - . . Coloquialmente: Existen alumnos de Matemtica I que asisten a lasclases tericas y prctica y que estudian pero no aprueban el primer parcial. MTODOS AXIOMTICOS Axiomas ProposicionesTeoremas EnMatemtica tenemos Primarios ConceptosDefiniciones Directa Demostraciones Indirecta Un axioma o postulado es una proposicin inicial la cual se asume como verdadera. El conjunto depostuladosdeloscualessedesprendenlasdemsproposicionesdeunsistemasellama conjuntodepostuladosdelsistema.Enste,unodelosaxiomasnodebeserdeducibledelos otros. Unteoremaescualquierproposicinquesedesprendedeotraproposicinoproposiciones dadasporsupuestasopreviamentedemostradasdentrodelsistema.As,unteoremaesuna proposicin cuya veracidad requiere ser demostrada a partir de otras. La demostracin de que un razonamiento es vlido se reduce a probar que un condicional p qes una tautologa, donde p es la conjuncin de la premisa y q es la conclusin Mtodo Directo Ejemplo: Demostrar que, para cualquier nmero par, su cuadrado tambin es par. H)x es par x = 2 k k eZ T)x2es par x2 = 2 mm e Z Demostracin) Por hiptesis tenemosque x = 2k, si lo elevamos al cuadrado obtenemos x2 =(2k)2 = 4 k2 = 2 (2k2 ) Sidenominamos2k2=mysustituimos,obtenemosquex2=2mlocualexpresaquesu cuadrado tambin es par. Muchas veces,enlugardeprobarquepqesunatautologa,esmsconvenienteprobar que otra forma proposicional equivalente a p q tambin es una tautologa. As tenemos el mtodo indirecto o contra recproco. Mtodo Indirecto o Contra recproco Ejemplo: Demostrar que para cualquier entero si su cuadrado es par, entonces dicho nmero es par. Concepto: Consiste en partir de la verdad del antecedente (hiptesis) y tratar de establecer la verdad del consecuente (tesis). Concepto:Parademostrarla validezdeunrazonamientomedianteelmtodo indirecto se debe partir de la negacin del consecuente (tesis) y determinar la negacin del antecedente (hiptesis). Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena13 La nueva hiptesis es la negacin de la tesis, donde T: x no es par significa que x es impar y la nueva tesis es la negacin de la hiptesis anterior, dondeH: x2 no es par lo cual significa quex2 es impar. Simblicamente: H) x es impar x = 2k + 1 k e Z T) x2 es impar x = 2 m + 1 meZ Demostracin) x = 2 k + 1si lo elevamos al cuadrado tenemos que: x2 = (2 k + 1)2 = 4 k2 + 4 k + 1 = 2 (2 k2 + 2 k) + 1 Si reemplazamos a 2 k2 + 2 k = m nos queda que: x2 = 2 m + 1, lo cual es un nmero impar El Mtodo de Reduccin por el Absurdo Es decir se parte de~ T y se llega a contradecir algn resultado conocido.

Una forma proposicional equivalente a p q nos proporciona la ley de reduccin por el absurdo ( ) p q ~ ae equivalent es . p q p De acuerdo a esta ley, probar que q p es equivalente a probar q ue( ) p q ~ . p . Luego si seleagregaalaspremisaslanegacindelaconclusinseobtiene,comoconsecuencialalgica, una contradiccin, entonces el razonamiento es vlido. Ejemplo: Demostrar que para cualquier nmero entero impar su cuadrado es impar Simblicamente: x = 2 k + 1 x2 = 2 m + 1 H) x = 2 k + 1T)x2 = 2 m + 1 Demostracin) Supongamos que x es impar y x2 es par Como x es impar significa que x = 2 k + 1y si x2 es par significa quex2 = 2 p x2 = (2 k + 1)2. x2 = 2 p x2 = 2 m + 1 .x2 = 2 p Entoncesunmismonmeroespareimparsimultneamente,locualesunabsurdo;yel absurdo est en haber partido que un nmero es impar y su cuadrado es par. Conclusin: para cualquier nmero entero impar su cuadrado es impar. Refutacin Ejemplo: Todos los nmeros primos son impares Estaafirmacinesfalsayparacomprobarsebuscaunejemploquepongaenevidenciaesta falsedad. Contraejemplo: el nmero 2 es primo y es un nmero par. Concepto: Este mtodo consiste en partir de la falsedad de la tesis, ocupando la hiptesis, llegaraunacontradiccin(yaseacontradecirlahiptesisdadaocualquierresultado conocido) Concepto: En la matemtica se estudian solamente las afirmaciones verdaderas. Cuando una afirmacin es falsa, se busca un ejemplo que ponga en evidencia la falsedad de la afirmacin. Este procedimiento se llama refutacin por contraejemplo. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena14 BIBLIOGRAFAS CONSULTADAS Aliendro, Estela Sonia (2009) Apuntes Tericos de la Ctedra Matemtica I Bosch (1999) Introduccin al Simbolismo Lgico Ed. Eudeba Haeussler y Paul (2001) Matemticas para Administracin, Economa, Ciencias Sociales y de la vida. Prentice Hall. Rojo, Armando (2005) lgebra. Tomos I. Ed. El Ateneo. Suppes (1994) Introduccin a la Lgica Matemtica. Ed. Revert. Swokowsky&Cole(2001)AlgebrayTrigonometraconGeometraAnalticaInternational Thomson Editores. Zill y Dewar (2000) Algebra y Trigonometra McGRAW-HILL Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena15 UNIDAD II CONJUNTOS NUMRICOS (elaborado por la Prof. Mnica Lisi) Breve Referencia Histrica Lanocindenmeroestanantiguacomoelhombremismo.Lossistemasnumricosson construccionesconceptualesqueforjelhombrealolargodeltiempoyenelsenodedistintas culturas y por necesidad. Qu lo llev a necesitar los distintos nmeros? Losnaturales fueron los primeros que surgieron conelobjetodecontabilizar,enumerar,realizaroperaciones,ordenar,etc.Lasdistintasculturas crearonsistemasdenumeracindiferentes,algunosmsengorrososensuutilizacinqueotros (pensemoscmopoderoperarennmerosromanos).Delintercambiomutuoporelcomerciose anoticiabandesistemasdenumeracinmejoresestructuradosenotrasculturasyassefue perfeccionando el que usamos actualmente. Losegipcioshaciaelao2.000antesdeCristoyacomenzaronamanejarfraccionessencillas pues,stassurgandelasmediciones,situacionesimportantesparaellospuesdebanmedirel terreno que le corresponda a cada individuo cada ao cuando el ro Nilo mermaba su caudal y tenan quevolveraocuparlastierrascercanasalro.As,porejemplo,enunalongitudpodranhaber indicado que mi terreno mide 5 unidades y unidad. Lacualidadcomndelosnaturalesyfraccionariosesquetodospuedenserescritoscomoel cociente de nmeros enteros, es decir como una fraccin o razn y de all su nombre de racionales. En el siglo V antes de Cristo los griegos pertenecientes a la escuela pitagrica descubrieron con gran sorpresa que adems de los naturales y de las fracciones existan otros tipos de nmeros, que surgan,porejemplo,delamedidadeladiagonaldecuadradosorectngulos.Parasudesazn comprobaron que el cociente entre el lado de un cuadrado y su diagonal no puede escribirse como el cociente de dos nmeros enteros y como estos nuevos nmeros se salan del orden y de la armona a la que estaban acostumbrados con los racionales (naturales y fracciones), los llamaron irracionales. Por ejemplo, la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es2 . Y la medida de la diagonal deunrectngulocuyosladosmiden2y1respectivamente, mide5 .Estosnmerosyengeneral todas las races de nmeros que no sean nmeros racionales sern irracionales, como as tambin el nmerot queseguramenteusastepararesolverproblemasquetuvieranqueverconfiguraso cuerpos circulares. Muchossiglosdespus,cuandoelestudiodelamatemticasevolvimssistemtico,como consecuencia de la bsqueda desoluciones a ciertas ecuaciones, hacia el siglo XVI de nuestra era, surgieron los nmeros negativos, que al principio no fueron consideradosnmeros (Descartes, siglo XVII, les deca falsas a las soluciones negativas de una ecuacin algebraica). Al continuar estudiando las distintas soluciones de ecuaciones algebraicas tambin surgieron los nmeroscomplejosquegeneraronanmasrechazoporpartedealgunosmatemticos,puesno saban cmo interpretar races cuadradas de nmeros negativos, por ejemplo4 , que puede surgir alresolver laecuacin x2 +4 =0.La fundamentacinmodernadefinitivaparaestosnmeroslleg hacia mediados del siglo XIX y los matemticos comprobaron que permitan simplificar muchas de las teoras engorrosas con las que trabajaban hasta ese entonces. Cadaconjuntonumricosurgifundamentalmentepornecesidadesprcticas,deproblemas concretosquesedebanresolveryfueronlosmismosmatemticosqueledieronlaestructuray clasificacinquehoyconocemos.Porlotanto,sihacemosunarevisinsobrelosdistintosnmeros queutilizamosyquesurgieronalo largode lahistoriapodemosidentificaralosnmerosnaturales (N), los enteros (Z), los racionales (Q), los irracionales (I) y los reales (R). A ste ltimo se le agrega los nmeros imaginarios y forman entre todos, el conjunto de nmeros complejos (C).

Siestablecemosunarelacinentreellos,sepuedeapreciarenelsiguienteesquemaquelos nmeros naturales (N) unidos con los enteros negativos (Z-) y el nmero cero forman el conjunto de nmerosenteros(Z).Sialosenteroslosunimosconelconjuntodefraccionesseobtendrel conjunto de nmeros racionales (Q) y si a ste lo unimos con el conjunto de los nmeros irracionales Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena16 tendremos el conjunto de nmeros reales (R). Si a stos ltimos los acoplamos con los imaginarios, se obtienen los nmeros complejos. Se puede ver esta relacin en el siguiente esquema: Conjunto de naturales ( N ) Conjunto de Nmeros Enteros ( Z ){ 0 } Conjunto Conjunto de enteros negativos Conjunto de NmerosNMEROS de Racionales (Q) Nmeros Conjunto de NmerosRealesFraccionarios (F) COMPLEJOS(R) ( C ) Conjunto de Nmeros Irracionales ( I )

Conjunto de nmeros imaginarios ( Im ) LOS CONJUNTOS Enmuchosprrafosanterioressemencionlapalabraconjunto.Acontinuacin desarrollaremos una breve nota terica acerca de la teora de conjunto en general y de los conjuntos numricos en particular, sus cualidades y las operaciones que pueden realizarse con ellos. Para lo cual acordemos el significado de ciertos smbolos que vamos a utilizar: Smbolos Matemticos: algunos de los smbolos que usaremos a lo largo de esta cartilla son los siguientes: a i gual es novaco conj untoa pertenece noque i gual o menor esque menor esuni n uno menos al exi ste =es>

TEORA DE CONJUNTO Recordandolaestructuraquetieneunsistemaaxiomtico,podemosdecirqueelconceptode conjuntoesuntrminoprimitivo,esdecirquelovamosaaceptarsindefinicin.Sinembargo, podemos dar ejemplos y entendemos bien cuando no referimos a un conjunto. Ejemplo:elconjuntodealumnosdelactedradeMatemticaIdelaFacultaddeCiencias Econmicas de la UNSa.Otro ejemplo: el conjunto de los nmeros naturales pares menores que 18. Losconjuntosmencionadosestnformadosporelementos.Cadaalumnoquecumpleconla condicin indicadaenelprimerejemploesunelementodelconjuntoindicadooelnmero4esun elemento del segundo conjunto. Simbologa: A los conjuntos se los simboliza con una letra mayscula y se los coloca entre llaves a los elementos, que no sean numricos, se los simboliza con una letra minscula. Formas de expresar un conjunto: A los conjuntos se los puede expresar por Extensin: cuando se enumera a cada uno de los elementos que lo forman. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena17 Ejemplo } u o, i, e, { a, A = } 0,12,14,16 { 2,4,6,8,1 B =

Comprensin: cuandose expresansus elementos atravsde una o ms propiedades que los relaciona. As tendremos que los conjuntos del ejemplo anterior se pueden expresarpor comprensin de la siguiente manera: Ejemplo } vocal es { x/xA = } 18 xpar nmero un es xN { x/xB < . . e = TIPOS DE CONJUNTOS Qu tipo de conjuntos podemos encontrar que puedan ser especiales y por ello tener un nombre propio? Ejemplo:}{} 02x R { xM = < . e = Ejemplo:} 2 {} 0 2 - / xN { x S = = e = Ejemplo:Siconsideramosalconjunto} 18 xpar nmero un es xN { x/xB < . . e = entoncesel universal podra ser el conjunto de todos los nmeros naturales, o sea} N { x/xU e = RELACIN DE PERTENENCIA E INCLUSIN Se puede establecer relaciones entre los elementos y los conjuntos, como as tambin entre los conjuntos entre s. Ejemplo:Dadoelconjunto} 18 xpar nmero un es xN { x/xB < . . e = sediceque12esun elementodelconjuntoB,portantoB 12e mientrasque17noesunelementodeB,en consecuenciaB 17e Simblicamente: ( ) B a A aa, B A e e c

Tambin se dice que A es subconjunto de B Ejemplo:Seanlosconjuntos} abecedario del letra es { xC} vocal es x{ T = = Enestecaso decimosque C T c porquetodosloselementosdel conjuntoTsonelementosdelconjuntoC, puestodaslasvocalestambinsonletrasdelabecedario.(Osea,TessubconjuntodeC)En cambio, no se da la relacin recproca, o sea T C. pues no todas las letras del abecedario son vocales. CONJUNTO DE PARTES Conjunto Vaco: es el conjunto que carece de elementos y se lo simboliza como}{ = Conjunto Unitario: es el conjunto formado por un solo elemento ConjuntoUniversaloReferencial:eselconjunto formadoportodos loselementosque cumplen con una proposicin especfica. Se lo simboliza conX o bien con laU Pertenencia: Si un elemento est en un conjunto, se dice que pertenece a l. Inclusin:UnconjuntoAestincluidoenotroBsiyslostodosloselementosdeA pertenecen a B Conjunto de Partes: el conjunto de partes de A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena18 Simblicamente:} A { X / X) P( A c =Ejemplo:Dadoelconjunto} b a, {G= ,elconjuntodepartesdeGser: } , } b { a, } , { b , } { a {) P( G = ,puestodoslossubconjuntoquepuedenformarseconlos elementosde Gson:} b { a,} { b } { a ytambinelconjuntovaco,pueslestincluidoen todos los conjuntos. IGUALDAD DE CONJUNTOS Simblicamente: B a A a a, A B e e =Ejemplo: Sean los conjuntos} 04 -2/x R x{A = e = y } 2 - 2, {B =Dichos conjuntos son igualesporquetodosloselementosdeAqueson+2y-2sontambinelementosdeBylos elementos de B, que son -2 y +2 verifican a la ecuacin del conjunto A. OPERACIONES CON CONJUNTOS Muchasvecesnosinteresaroperarconconjuntos,as,albuscarlasolucindeciertas inecuacionesparalascualeshaycondiciones,tendremosquerealizarciertasoperacionesentrelos conjuntos de soluciones parciales y las condiciones dadas Las operaciones son las siguientes:

Simblicamente:} B xA / xU { x B A e v e e = Grficamente: se utiliza diagramas denominados Diagramas de Ven Ejemplo: Si A = {2, 3, 5}B = { 5, 6 ,7 } A B = { 2, 3, 5 , 6, 7 } Simblicamente:} B xA / xU { x B A e . e e = Grficamente: Ejemplo: Si A = { 2, 3, 5}B = { 5, 6 ,7 }A B = {5 } Simblicamente:} B xA / xU { x B - A e . e e = Grficamente: Ejemplo: Si A = { 2, 3, 5}B = { 5, 6 ,7 } A - B = { 2, 3 } Definicin: Se dice que el conjunto A es igual a B s y slo si verifica que todos los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B son elementos de A, es decir que B A c y A B c UnindeConjuntos:LauninentrelosconjuntosAyBeselconjuntoformadoporlos elementos de A o los elementos de B Interseccin de Conjuntos: La interseccin entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A y los elementos de B Diferencia de Conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena19 Simblicamente:} A / xU { xcA e e = U Grficamente: Ejemplo: Si A = {2, 3, 5}U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A C = { 1, 4, 6 } El complemento de un conjunto puede interpretarse tambin como una diferencia entre el conjunto universal y el conjunto. As,AC=U A=} AxU { x e . e ActividadesSugeridas:Vuelvealesquemadelarelacinqueexisteentrelosdistintos conjuntosnumricoseindica,enbasealyalosconceptosdelateoradeconjuntos,silos siguientes enunciados son Verdaderos (V) o Falsos (F): a)NcZ b)e21Q c)N} 0 { Z-=Z d)I cQ e)FZ = Q f)Z Z- = N g)} 0 { eQ CONJUNTO DE NMEROS REALES Primerotrabajaremosconelconjuntode losnmerosreales,recordandoqueesteconjuntoest formado por los nmeros racionales (que son todos aquellos nmeros que se pueden escribir como fraccin o razn, de all su nombre) y por los nmeros irracionales (es decir, los que no pueden ser representados por ninguna fraccin).

Luego armaremos una estructura en la cual se definen las operaciones bsicas y se plantean los axiomas,quesonenunciadosconsideradosverdaderosparaserusadoscuandoseannecesarios, (variosdeestosyalosconoces,esbienconocidoeldichoelordendelosfactoresnoalterael producto; justamente hace referencia a uno de los axiomas del producto, que al cambiar el orden de losnmerosenlaoperacin,elresultadoeselmismo;otambinesconocidoelhechodeque cuando a cualquier nmero le sumamos cero, el resultado coincide con el nmero sumado). Ademssetrabajarconconsecuenciasdeesosaxiomasyconteoremas,todosestosson enunciadosqueparapoderusarlosenalgunaocasin,tendremosqueprobarsuveracidad,ylo haremos,justamente,apoyndonosenlasdefinicionesdadasyenlosaxiomas;unavezqueun teorema se prueba, ya se puede utilizar. Justificadamente en la teora se hace este trabajo para que en los ejercicios prcticos puedas usarlos junto con los axiomas, para resolver lo que se pida. Portanto, formaremos un sistema axiomtico que parte de objetos matemticos los nmeros y las definiciones de las operaciones bsicas y stas tienen propiedades que son de dos tipos: axiomas y teoremas. Para los nmeros reales tenemos algunos axiomas y sus teoremas consecuentes. La estructura de los nmeros reales Las propiedades que forman la estructura de los nmeros reales corresponden alas de campo o cuerpo numrico. Esto significa que el conjunto de nmeros reales se caracteriza por ser un conjunto con dos operaciones (suma y multiplicacin). Dados dos nmeros reales a y b se define suma como a +bysedefineproductocomoa.byqueparaestasoperacionessecumplenlossiguientes axiomas: Axiomas de la suma de reales: Complemento de un conjunto: El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos del Universal que no pertenezcan al conjunto A A Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena20 -Cierre: Si a y b son reales, a + b es real. -Asociatividad: Si a, b y c son reales, (a + b) + c = a + (b + c). -Conmutatividad: Si a y b son reales, a + b = b + a -Existencia del neutro o identidad aditiva: Existe un nmero real, 0, tal que para cualquier real a se cumple que: a + 0 = a. -Existencia del inverso aditivo u opuesto: Para cualquier real a, existe un real -a talque: a + (-a) = 0 Axiomas de la multiplicacin de reales: -Cierre: Si a y b son reales, a . b es real. -Asociatividad: Si a, b y c son reales, (a . b) . c = a . (b . c). -Conmutatividad: Si a y b son reales, a . b = b . a -Existencia del neutro o identidad multiplicativa: Existe un nmero real, 1, tal que para cualquier real a se cumple que: a . 1 = a. -Existenciadelinversomultiplicativo:Paracualquierrealadistintode0,existeunreala-1tal que:a . a-1 = 1 Axioma de distributividad de la multiplicacin para la suma -Si a, b y c son reales: a . (b + c) = a . b + a . c Tambinexistenconsecuenciasdelosaxiomasqueusandelmtodohipotticodeductivoyse conocencomoteoremas(proposicionesqueexigendemostracinlgica).Aquconsideraremos algunos: Consecuencias de los Axiomas Muchas de las demostraciones en matemtica tienen la estructura de una implicancia, con lo cual escomnpartirdelahiptesisymedianteelusodeaxiomas,definicionesuotrosteoremasya demostrados, se llegue a lo que se indica en la tesis. a)Ley uniforme de la suma: Si a, b y c son reales y a = b, entonces a + c = b + c. Demostracin: El principio lgico de identidad nos asegura que: a + c = a + c Porelprincipiolgicodesustitucinsepuedereemplazaraporbenelsegundomiembrodela igualdad, ya que por hiptesis a = b, entoncesa + c = b + c Observacin:Estapropiedadeslaquecorrespondealaexpresincotidianasisumamosa ambos miembros de una igualdad el mismo nmero, se obtiene otra igualdad. b)Ley de cancelacin de la suma: Si a, b y c son reales, y adems se cumple quea + c = b + c,entoncesa = b.Demostracin: Dada la hiptesis a + c = b + c, podemos (por la propiedad anterior) sumar-c en ambos miembros: (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) Por la propiedad asociativa de la suma, resulta:a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) Por propiedad del inverso aditivo es: a + 0 = b + 0 Por propiedad de la identidad aditiva es: a = b Observacin:Estaeslapropiedadquesirveparasimplificar(tachar,vulgarmentehablando) expresiones como la siguiente: Ejemplo: x + 5 = 1 + 5(x + 5) + (-5) = (1 + 5) + (-5) x + [5 +(-5)]= 1 + [ 5 +(-5)] x = 1 Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena21 Que muchas veces hacemos: x + 5 = 1 + 5 x + 5 = 1 + 5 x = 1 c)Ley uniforme del producto: Si a, b y c son reales, y ademsa = b, entonces a . c = b . c. Demostracin: El principio lgico de identidad nos asegura que: a . c = a . c Porelprincipiolgicodesustitucinsepuedereemplazaraporbenelsegundomiembrodela igualdad, ya que por hiptesis a = b, entoncesa . c = b . c d)Ley de cancelacin del producto: Si a, b y c son reales, con c=0, ya . c = b . c, entonces a = b. Demostracin: Dada la hiptesis a . c = b . c, podemos (por la propiedad anterior) multiplicar en ambos miembros por c-1, claro que para que esto se pueda hacer, c no debe ser cero y justamente es parte de la hiptesis esa consideracin: (a . c) . c-1= (b . c) . c-1 Por la propiedad asociativa del producto, resulta: a . (c . c-1) = b . (c . c-1) Por propiedad del inverso multiplicativo es: a . 1 = b . 1 Por propiedad de la identidad multiplicativa es:a = b Observacin:Estaeslapropiedadquesirveparasimplificar(tachar,comosesueledecir) expresiones como la siguiente: Ejemplo:m .4 = 2 . 4m .4 = 2 . 4m = 2 e)Si a y b son realesya . b = 0, entonces a = 0b = 0. Demostracin:Sisuponemos,quea=0,elquintoaxiomadelamultiplicacin,garantizala existencia de su inverso multiplicativo, a-1. Por lo tanto, si a ambos miembro de la expresina.b = 0, los multiplicamos por a-1, tenemos:a-1(a.b) = a-1.0 En esta expresin se pueden cambiar de lugar los parntesis, por el axioma de asociatividad de la multiplicacin: (a-1.a).b = a-1.0 Por aplicacin a esta igualdad del ltimo axioma de la multiplicacin se obtiene: 1.b = a-1.0 Por propiedad del elemento neutro es: b = a-1.0 Y, si resolvemos el segundo miembro es: b = 0 Resta y Divisin de nmeros reales Tambin se pueden definir otros conceptos que surgen de las definiciones ya dadas. Unaaclaracin:Notodaslaspropiedadesoaxiomasquesecumplenparalasumao multiplicacin, se cumplen para la resta y para la divisin de nmeros reales. Ejemplo, lapropiedadconmutativa,puesab= ba.Otambin, a:b= b:a.Estasse pueden demostrar usando el mtodo del contraejemplo.Demostracin:Divisin:Paralosnmerosrealesayb,conb= 0,sedefinedivisinentreaybala multiplicacin entre a y el inverso multiplicativo de b, que es ( b-1).Es decir: a : b = a . b-1 Resta: Para los nmeros reales a y b, se define resta entre a y b a la sumaentre a y el inverso aditivo de b, que es ( -b).Es decir: a b= a + ( - b) Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena22 a b = b a es Falsa pues sia = 6 y b = -4 se puede ver quea b = 6 (-4) = 10 b a = -4 6 = - 10Vemos que 10=10. Con lo cual podemos afirmar que a b= b - a Otras propiedades o teoremas A continuacin se proponen otros enunciados que tambin son teoremas y que para poder usarlos debemosdemostrarlos.Muchosdeestosyalosusasenformaintuitiva,comoporejemploel producto de dos nmeros negativos da por resultado un nmero positivo, esto seguramente lo sabes de tu experiencia escolar anterior, claro pero en aquella oportunidad, al trabajar con esa propiedad, te lodieronamododeregla(regladelossignos);nodebemosolvidarquetuestructuramental,en aquellaoportunidad,noestabapreparadaparaentenderunademostracinformal.Ahoraestamos armandounaestructuraaxiomticaquesedebedisponerescalnporescalneirsubiendosobre basesslidas(esdecirverdaderasydemostradas).Porlotanto,debemosprobarmuchosdelos enunciados que ya antes los considerabas ciertos. Es como si recin te presentaran el juego de los nmeros y te estuvieran introduciendo a sus reglas.a - a . ( -1) Entonces adi ti vo neutro a - ( -a) 0 cero por ci n mul ti pl i ca o resol vi end ( -a) 0 ( -a) a . 0 adi ti vo i nverso ( -a) a . 0 ( -a) ].a 1 [( -1) vi dad di stri buti de axi oma ( -a) ].a 1 [( -1) ( -a) ] a 1. [( -1) .aci n mul ti pl i ca l a de neutro ( -a) ] a 1. [( -1) .a ( -a) ] a [( -1) .a l ugar de tes l oscorche cambi amos suma, dad asoci ati vi( -a) ] a [( -1) .a ( -a) ] [a ( -1) .a adi ti vo i nverso( -a) ] [a ( -1) .a 0 ( -1) .asuma l a de neutro0 ( -1) .a a . ( -1)== ++ = ++ = + ++ + = + ++ + = + ++ + = + ++ + = ++ == : n Demost racia - a . ( -1)) f Teproponemosqueindiquesquaxioma,definicinopropiedadseusaencadapasoenla prxima demostracin. (a.b) - (-b) a. b . (-a) : s expresi one ambas de tanto l o Por (a.b) - b . (-a)(-(a.b)) 0 b . (-a) (-(a.b)) 0 . b b . (-a) (-(a.b)) a].[(-a) b b . (-a)(-(a.b)) a.b] b . [(-a) b . (-a) (-(a.b))] [a.b b . (-a) b . (-a)0 b . (-a) b . (-a): (a.b) - b . (-a)demostrar a Vamos = === + = + = + + = + + = + + = + === = =b) . . ( -a ( -b) . a para procede se modo mi smo Dela. b - ( a. b) - ( -b) a. b . ( -a) ) g ti vo mul ti pl i ca neutro a 1 . ati vo mul ti pl i ca i nverso 1 . a1 -1 -a .1 -a a.producto del dad asoci ati vi1 -1 -a .1 -a a.1 -1 -a .1 -a.ati vo mul ti pl i ca i nverso1 -1 -a .1 -a.a1 -1 -a 1.ti vo mul ti pl i ca neutro 1 -1 -a 1.1 -1 -a:==||.|

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\|n Demost racia-11 -a ) h Te proponemos que indiques qu axioma, definicin o propiedad se usa en cada paso, en la prxima demostracin: Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena23

1 -b .1 -a1 -) b . a )1 -b .1 -( a . 11 -) b . ( a )1 -b .1 -( a . b) ] . ( a .1 -) b . [( a1 -) b . ( a) ]1 -b . ( b . )1 -a . .[( a1 -) b . ( a1 -) b . ( a 1 . 1 .1 -) b . ( a1 -) b . ( a

= = = = ==(: n Demost raci-1b .-1a-1b) . ( a ) i Aplicaciones de estas propiedades: Los axiomas y teoremas se usan, bsicamente para operar y resolver ecuaciones. Veamos ejemplos: Ejemplo para operar: Claro que ya no lo hacemos as, lo resolvemos ms rpido y mecnicamente o con la calculadora; pero en los inicios de nuestra escolaridad debi ser de esta manera: Si debemos operar: 254 + 378 = 254 + 378 = (200 + 50 + 4) + (300 + 70 + 8) =( 200 + 300) + ( 50 + 70 ) + ( 4 + 8) = 500 + 120 + 12 =500 + (100 + 20) + (10 + 2) = (500 + 100) + (20 + 10) + 2 = 600 + 30 + 2 = 632. Se usaron las propiedades asociativa y conmutativa Ejemplo para resolver Ecuaciones: Pararesolverlaecuacin:x.(x+3)=0seaplica,en primerlugar,lapropiedadeenunciadaanteriormenteyluegolasqueresultanconvenientes segn las expresiones que se obtengan sucesivamente: Ejemplo 1:( ) | | 3 3 3 33 = = + = + + + = + + = += + v = = +x 3 0 x 3 x 3) 0 3) ) ( x 0 3 x0 x 0 x 0 3) x.( x( ( Ejemplo 2: En este otro caso: 41x1.22112x.2212x21021212x 0212x 3x) ( 3x213x) ( 5x 3x215x = = = + = + + = + + = + + = +|.|

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\| POTENCIA Y RAZ DE NMEROS REALES Definicin dePotencia de un Nmero Real: Esta definicin se da por partes pues, segn a qu conjunto numrico pertenezca cada exponente, se utiliza un tipo de definicin u otro. Sea: entonces R, a ea), a.a.a....ana =(a se repite n veces), N ne b)a1a =c)10a = , 0 a =d)N m 0, ama1ma e = = Axiomas de la potencia de reales -Distributiva respecto del producto: ( )n.bnana.b =-Distributiva respecto del cociente: ( ) 0 bcon nb :nanb : a = =-Producto de potencias de igual base:m nam.ana+=-Cociente de potencias de igual base:m nama :na=-Potencia de potencias:( )n.mamna = Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena24 Definicin de Raz ensima de un Nmero Real: Sea: entoncesR, a ea)Si n es par, a > 0 ,anb bna = =conN ne b)Si n es impar,anb bna = = conN nec) n manma = , conN n m,e n se llama ndice, a es el radicando yes el signo radical Axiomas de la radicacin de reales -Distributiva respecto del producto:nb .nana.b =-Distributiva respecto del cociente: 0 bconnb :nanb : a = =-Raz de razm.namna = Enladefinicinanb bna = = conN ne ,cuandon=2sellamarazcuadraday generalmente el ndice 2 no se escribe. Por tanto, la definicin de Raz Cuadrada de un Nmero Real es:Sia > 0, a2b b a = = ACTIVIDAD: Justifica porqu no es cierto que: -( )2b2a2b a + = +-( )2b2a2b a = -b a b a + = +-b a b a = Teoremas con potencias y races ( )( )radi cando. el en potenci a de defi ni ci n por a a.aci n mul ti pl i ca una en raz l a de vo di stri buti axi oma por a.a a . a0 a pues el l as de una cada defi ni das estn ypotenci a de defi ni ci n por a . a a:22==> == > 9 e n Demost racia a ent onces 0 a si a a)22 0 ahi ptesi s por pues, , a" " ser ypotenci a de defi ni ci n pora aa araz de defi ni ci n pora a1122222> ==== > 9 e n Demost racia a ent onces 0 a si a b)2radi caci n de defi ni ci n por a a a a entonces,defi ni do estar N b que sabi endo yfracci ones de i a equi val enc por m.bn.bmnperoradi caci n l a de axi oma por a aN b conn.b m.bm.bn.bm.bn.bmnmnn m= =e ==e = > 9 e : n Demost racia a ent onces 0 a si a c)n . b m. b n m Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena25 ALGORITMOS DE LAS OPERACIONES Al trabajar con enunciados deaxiomas, leyes o teoremas, sesimboliza a los nmeros en forma genrica con letras y as estaremos seguros de que lo que estamos enunciando o demostrando es vlidoparatodoslosnmeros.Ahorabien,sinecesitamosoperarciertosejemplosconnmeros concretos, se utilizarn los procedimientos operatorios ya conocidos. Recordando que por ahora estamos trabajando con los nmeros reales, que estn formados por losracionalesylosirracionales,pararesolverlasoperacionesconnmeros,antesmencionadas (sumaymultiplicacin),seutilizanlosllamadosalgoritmosdeesasoperacionesquenosonotra cosaquelosprocedimientosqueseutilizanpara resolveresasoperaciones.Hay variosalgoritmos para resolver una operacin y tambin es claro que los algoritmos de las distintas operaciones y en losdistintossubconjuntosdelosnmerosreales,tambinsondiferentes.Noeselmismo procedimiento para sumar naturales queel utilizado para sumar fracciones. Parasumarnmerosnaturalesbastaconcontareltotaldeunidadesquerepresentacada nmero, as: 12 + 23 = 35. Si la operacin involucra nmeros como los del ejemplo anterior, 254 + 378, al tener que resolverla a mano con papel y lpiz, es conveniente usar los axiomas o teoremas para resolverla, pues contar unidades resultara un poco engorroso. Parasumarfracciones,nocorrespondesumarlosnmerosinvolucradosenellascomoestn escritos,pueslafraccintieneotrosentidoysignificadoquelosnmerosnaturales.As,sidebo sumarunamitadconotramitad,tendremosdosmitades,quecorrespondeaunentero. 1222121= = + .Estolohacemosmentalmente,perositenemosquesumaramanoestaotra operacin, un procedimiento puede ser23414521212123414521+ + + + = + + + +|.|

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\| . Hemos usado axiomasdeconmutatividadyasociatividad.Yestoseriguala 234612341452121+ + = + + + +|.|

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\| que, aplicando equivalencia, quedara4 3 141214646123461 = + = + = + + = + + Para la multiplicacin, tambin se opera con algoritmos diferentes que para la suma, por ejemplo para fracciones: 81543.25=Todos estos algoritmos los estudiaste, de una u otra forma, al realizar tus estudios anteriores. Por supuesto que todo esto es posible resolverlo con calculadora, pero se debe prestar atencin y tipiar correctamente En cuanto a los nmeros irracionales, que como ya dijimos son todos aquellos que no pueden ser escritoscomococientededosnmerosenteros,esdecir,quenopuedenserescritoscomouna fraccin irreducible, los algoritmos para sumar o multiplicar tambin son diferentes. Si tuviramos que resolverlasoperacionesconcalculadora,esmuyprobablequenonosalcancepues,daruna aproximacin decimal de los nmeros irracionales, ya que stos, si se los escribiera con su expresin decimal, estaran formados por infinitas cifras no peridicas. Al no ser el valor exacto el que utiliza la calculadora, no sera correcto, en trminos aritmticos, trabajar con las aproximaciones decimales de los nmeros irracionales. Por otro lado, recordemos que los nmeros irracionales, por lo menos con los que trabajaremos, involucranensuestructuraunarazyyaqueelsignoqueseutilizasellamaradicalselosconoce como irracionales radicales. De todo esto se puede deducir que los algoritmos de las operaciones con nmeros irracionales radicales estarn apoyados en los axiomas de suma o multiplicacin de races enunciados anteriormente. Recordemos los algoritmos para sumar, multiplicar y dividirnmeros irracionales con radicales. Primeramentedefiniremosunconceptoquenossertilparalasumayrestadeirracionales radicales Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena26 Ejemplos: 3 5 3 2 con semejante es ; 3 35 5 2 con semejante es ;5 con semejante es no 53 Suma y Resta de Irracionales Ejemplo1:33193323 5 3 2 = + (Puessepuedepensarquetodoslossumandostienen como factor comn a3 ) Ejemplo 2:18 2 50 =Enestecaso,esposibleescribir50=52.2y18=32.2ysiaplicamoslosaxiomasdela multiplicacin,sepodrescribircadaunadelasracesanterioresdelasiguientemanera: 2 . 5 2 . 5 2 . 5 502 2= = =2 . 3 2 . 3 2 . 3 182 2= = =Entonces la operacin que tenemos que resolver se puede escribir: 2 2 1 2 6 2 5 2 3 . 2 2 5 18 2 50 = = = = Ejemplo3:3 2 5 Quedaexpresadocomoestpues,nisonsemejantes,nipueden simplificarse para que queden semejantes Multiplicacin de Irracionales con Radicales Ejemplo 1:4364316 . 4316 . 43= = =Ejemplo 2:6 3 . 2 = Ejemplo: 672632 .623 2 . 33= = Ejemplo 1:( ) 3 3 . 2 9 3 2 3 . 3 3 . 2 3 2 . 3 = = = ) Ejemplo 2:( )( ) 3 3 6 3 3 3 3 2 3 3 6 9 3 . 2 3 2 3 3 + = + = + = + Irracionalessemejantes:Dosirracionalesradicalessonsemejantessitienenelmismo ndice y el mismo radicando. Concepto:Parasumarorestarnmerosirracionalessesumarnorestarnlos coeficientesdelosirracionalessemejantes.Sinosonsemejanteslassumasorestas deben quedar expresadas Si los irracionales son con igual ndice: Se aplica los axiomas de distributividad (nb .nana.b = ) Silosirracionalessoncondistintondice:Seexpresantodasconelmismondice usandoelteoremaenunciadoydemostradoanteriormente. n.b m.b n ma a = yluegose aplica el axioma de distributividad anterior Si se deben multiplicar sumas y restas con irracionales radicales: Se aplica el axioma dedistributividaddelamultiplicacinenunasumaoresta,ademsdelosaxiomasde distributividad(nb .nana.b = ) Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena27 DIVISIN DE IRRACIONALES CON RADICALES Ejemplo 1:22322 . 342 . 322.2323= = = =Ejemplo 2:15 25151025151055.53105310 = = = =Ejemplo 3:33333 23 23 34 224 . 484 . 422.2424= = = = Ejemplo 1: ( ) ( ) ( )( )( )( )3 3 63 43 3 63 23 2 33 23 2.3 233 2322+ =+=+=++= Ejemplo 2: ( ) ( )( )( )72 2 1142 4 216 22 4 24 24 . 2 2 . 24 24 2.4 224 2222 =+=+=+=++= LA RECTA REAL Lepodemosdarunarepresentacingeomtricaalconjuntodenmerosyasociarlesunpunto sobreunarectallamadaeje.Sirepresentamoslosnmerosnaturalesoenterosenunarecta sabemosquedadounorigen0yunaunidaddedistancia,sepuedeestablecerunarelacinentre algunos puntos de esa recta y estos nmeros enteros; cada nmero positivo x quedar representado por un punto situado a una distancia de x unidades a la derecha del origen 0 y cada nmero negativo x se representar por un punto a una distancia de x unidades a la izquierda del origen. Estos, los nmeros enteros, tienen una representacin grfica, en la recta numrica, que es bien conocida por todos nosotros: ... -3-2 -101 .23 ... Luegocontinuamosmarcandolosnmerosracionalesquesercuandorepresentamoslas fraccionesolosdecimalesytambinaelloslehacemoscorresponderpuntossobrelarecta.Por ejemplo: -1 - 0 1 Anasquedanhuecos,pueshabrpuntosdeesarectaquenolecorrespondernalos nmeros racionales. Ah tenemos que pensar en representar tambin a los irracionales. Es decir, que cuandorepresentamostodoslosnmerosracionalesytodoslosirracionalesenlarectanumrica puede demostrarse (no lo haremos) que la recta est completa. En ese momento se llama recta real.Para representar a los nmeros irracionales en la recta puede utilizarse elconocido Teorema de Pitgorasqueafirmaque:Entodotringulorectngulo,elcuadradodelahipotenusaesigualala suma de los cuadrados de los catetos.Si el denominador es un nmero irracional radical formado por un solo trmino: Se transforma en una divisin equivalente de manera tal que el denominador o divisor sea un nmero entero. Logrando esto al usar los axiomas convenientes Si el denominador es un nmero irracional radical formado por dos o ms trminos: Se transforma en una divisin equivalente de manera tal que el denominador o divisor sea un nmeroentero.Serconvenientemultiplicarelnumeradoryeldenominadorporelfactortal quealmultiplicarseapliqueladiferenciadecuadradoseneldenominadorydeesamanera queda racional Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena28 a2 = b2 + c2 b a c La frmulaa2 = b2 + c2 es cierta para cualesquiera valores de a, b y c reales. As, puede verse que si se quiere representar2 , basta con considerar un tringulo rectngulo cuyos catetos midan 1 unidad cada uno, con lo que, si aplicamos el Teorema mencionado, 12 + 12 = a2 2 = a2 2 = a(Se trabaja con2 positivo pues se trata de la medida de un segmento) Entonceslahipotenusadeestetringuloesunsegmentoquemide2 ,yporlotantoeste segmento puede trasladarse a la recta, desde el origen. 2 -10211 2 2 De esta manera pueden representarse cualquier otro nmero irracional y entonces a cada punto delarecta lecorresponderunniconmerorealy acadanmerorealle corresponderunnico punto en la recta y por lo tanto se dice que la recta estar completa. RELACIN DE ORDEN EN LOS REALES Estosignificaquesirepresentamosaybenlarectanumrica,aserunpuntoubicadoala izquierda del punto que le corresponde a ben esa misma recta numrica. Si observas en la definicin hay una doble implicacin, que se conoce, tambin con el nombre de equivalencia;estojustamentesignificaquepuedeusarselaprimerapartecomolasegunda indistintamente, tanto en un sentido como en el otro. Ejemplo 1:4 < 6pues- 2 tal que 6 = 4 + 2 Ejemplo 2: 4321 < pues-41 tal que 412143+ =Ejemplo 3:- 5 < - 2pues-3 tal que 2 = - 5 + 3 Tambin se define: Esta ltima definicin, indica que si sedefini la desigualdad en unsentido se puede aplicar en forma equivalente cuando tenemos la desigualdad en el sentido contrario, claro que siempre se debe sumar el valor k positivo al nmero menor para obtener el nmero mayor. Ley de Tricotoma: La consideraremos como una definicin dd Definicin de Menor: Dados dos nmeros reales a y b,a < b- k eR+ tal que b = a + k Definicin de Mayor: Dados dos nmeros reales a y b,a > b b < a Paracualquierpardenmerosrealesaybsecumpleunaysolounadelassiguientes relaciones: b ab a b a < v > v = Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena29 TEOREMAS O LEYES PARA LA RELACIN DE ORDEN EN LOS NMEROS REALES Demostraremos algunos teoremas o leyes que nos pueden ser tiles Leyes de Monotona Enformasimilaralasleyesuniformesparalaigualdaddenmerosreales(vistasenpginas anteriores),sedanleyesparaladesigualdad,claroqueconciertascondicionesyaplicando definicionesdeordenparanmerosreales.Enestecaso,sellamanleyesdemonotona,(lo importantenoeselnombresinoqueentiendasqusignificacadaunaycmosepuedeusarala hora de operar o resolver ecuaciones o inecuaciones). Leyes de Monotona de la Suma c b c a b a real es; nmeros c b, a, 1) + < + < Recordemos lo que se indic para demostraciones que tengan forma de implicancia. Es conveniente partir de la hiptesis: c k) ( a cb k a bsuma l a de uni forme propi edad l a apl i car puede se i gual dad esa Enka b que tal R k defi ni ci n por b, a Si:+ + = + + =+ =+e - > >+ =+ = >+ =+e - < . < e Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena30 [-(kc)] b.c] [a.c(ac) - a.c] [b.c(bc) -b.c a.cysumando suma, l a de uni forme l eyUsando[-(kc)] (ac) - (bc) -: nte anteri orme s demostrada ya s propi edade Usandoc) .(- k c) .(- a (-c) . b: va di stri buti propi edad Porc) .(- k) (a c) .(- b(-c) posi ti vo nmero un pormos mul ti pl i ca pero anteri or, i gual dad l a en producto del uni forme l eyl a Apl i camos0 c- que afi rmar podemoshi ptesi s, por 0 cque sabi endoy k a b que tal R k defi ni ci n por b, a Si:+ + + = + ++ =+ =+ =>< + =+e - e = b} x : R { xb] , ( - s e = b} x : R { xb) , ( - < e = El smbolo denota infinito, es simplemente una convencin de notacin y no representa un nmero real. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena35 a} x : R { x> e ) ( a, ( a b} x : R { xs e b] , ( -

] b b} x : R { x< e b) , ( - ) b Aplicaciones de Desigualdades a Inecuaciones Ejemplo 1: Si queremos encontrar los nmeros que cumplen con la siguiente inecuacin: 22) ; (- S : real i ntervalo como Escri to22} x ; R x {S : es i necuaci n esta de soluci n conjunto el que si gni fi ca Esto22 x1 -5 . 1101 -5 5x.110 5x70) (- 180 5x 70) (- 70 180 5x 70 =< e =< < < + < + + < + Si representamos en la recta real esta solucin:) 22 Ejemplo 2: En una empresa ingresa $30 por unidad vendida y ste siempre fue menor a $ 12000. Cuntas unidades cuanto ms se venden bajo estas condiciones? La expresin que traduce el problema sera:12000 30.x |.|

\| + > |.|

\| + + > + + > + + > + Que representado en la recta real: ]

85 VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL Definicin: Sea x un nmero real, el valor absoluto de ese nmero real x, denotado por | x |, se define de la siguiente manera: six > 0| x | =x six = 0| x | =0 six < 0| x | =- x Se puedesimplificar esta expresin de la siguiente manera: < >=00x xx x SiSix

Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena36 Ejemplo:| 4 | = 4 pues 4 es un nmero positivo (4 > 0) | - 5 |=- ( -5) = 5pues 5 es un nmero negativo ( -5 < 0) | 0 | = 0 pues x = 0 |2 2 | = 2 2 , pues2 2 < 0 Propiedades o Teoremas con valor absoluto de nmeros reales Todas los teoremas, o la mayora de ellos, que involucren valores absolutossern demostrados usando la definicin. Como hemos visto, la definicin se plantea en dos partes, por un lado para los valoresrealesmayoresoigualesacero(queseusaunadelaspartesdeladefinicin)yporotro lado,losvaloresrealesmenoresacero(seusalaotrapartedeladefinicin).Esas,quelas demostracionesqueseproponganusandoladefinicin,serealizarnteniendoencuentaambas partes. El valor absoluto de nmeros reales satisface las siguientes propiedades: R y, xe se cumple 1)0 x > Demostracin:

x cero) o negati vo ( posi ti vo, real nmero todo para que deduce se b) ya) dex quedar anteri or d desi gual da l a en x escri bi mos x - escri bi r de l ugar en Entonces, absol uto val or de defi ni ci n por xx0 xsi Adems 0 x- que si gni fi ca esto pero 0 xSi b) 0 x quedar x de l ugar en x o escri bi end entonces hi ptesi s por 0x pero defi ni ci n por xx0x Si a)00>> = >= >: Concl usi n Esto quiere decir que cualquiera sea el nmero real que tengamos, su valor absoluto es cero (si fuera el nmero cero al cual le obtenemos el valor absoluto), o positivo. 2) x - x = Demostracin: R x | -x | | x | : concl uye se si empre que observar puede se C yB A, casos l os de : Concl usi n| -x | | x |: surge s expresi one tres l as De x- | -x |) defi ni ci n ( por x- | x | tanto, l o por , 0 x- 0 xsi C)| -x | | x | : surge s expresi one ambas De0 | -0 | 0 | 0 |0 xsi B)| -x | | x | : surge s expresi one ambas De x( -x) - | -x| x | x | tanto, l o por , 0 xsie ==== > 0 x ) A Este teorema es importante pues nos permite afirmar que el valor absoluto de un nmero siempre serigualalvalorabsolutodesuopuesto.Nospuedeayudarbastantepuessiqueremoscalcular 2 1 es lo mismo que calcular1 2 , pues2 1 y1 2 son opuestos. Tambin es til pues si Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena37 enunaecuacinoinecuacinofuncinnospidentrabajarconx 1 esprobablequeseams conveniente trabajar con1 x que con la expresin que me nos dan. 3)2x x =Demostracin: 22x x resul tar0 xSi x, a i gual es son s expresi one ambas como Entonces0 x pues races, con teorema por xx otro el porabsol uto val or de defi ni ci n por x x l ado un por0 x Si a): casos di ferentes l os pl antearn se nuevo De= >> ==> real es nmeros l os todos para x x que deci r puede se b ya De : Concl usi nx x cual l o con ( -x) , a i gual es son s expresi one ambas entonces0) x pues ci erto es esto que supuesto x( por x y x x que deci r puede se0 x pues races, con teorema por x ( x) cal cul amos l ado, otro porabsol uto val or de defi ni ci n por xx l ado un por0 xSi b)2222==< = =< = =< Este teorema nos puedeservir para demostrar otrosde manera mssencilla, pues nos permite sustituirunvalorabsolutoporunaexpresinconracesdelradicandoalcuadrado.Loveremosa continuacin. 4)y . x y . x = Demostracin 1: y| y|y . x| y| . | x| x| x|absol uto val or de defi ni ci n por y. x| y. x| 0 y e0 x si B)| 0 | . | 0 | | 0 . 0 | 0 y e0 xsi A): casos di sti ntos l os rn desarrol l a se Tambi n== == > >= = = | y | . | x | | y. x|R y x, : surge E yD C, B, A, casos l os De : Concl usi nD. caso al si mi l ar es 0 ye 0 xsi E)| y | . | x | | y. x| : s expresi one ambas Dey - | y| y) . ( xy) - | y | . | x| x | x|y) . ( x- | y . x|0 y. xentonces , 0 ye 0 x si D)| y | . | x | | y. x| : s expresi one ambas Dey - | y| y . xy) ( - ) . -x| y | . | x| x - | x|y . x| y . x|0 y. xentonces , 0 ye 0 x si C)| y | . | x | | y. x| : que observar puede se s expresi one ambas De= e > === = = = > < < > | y | | x || y x|y | x.y | 2. x y 2.x.yx entonces | y. x| y. x: entonces , 0 | y. x| pero , 0 y. x0 y0 xsi C)2 2 2 2+ < ++ + < + +< > < < > | y | | x || y x| y | x.y | 2. x y 2.x.yx entonces | y. x| y. x: entonces , 0 | y. x| pero , 0 y. x0 y0 xsi D)2 2 2 2+ < ++ + < + +< > < > < Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena39 i gual . es veces a ymenor es veces a pues, | y | | x || y x|que ver puede se D yC B, A, casos l os De : Concl usi n + s + 7)| y| - | x | | y- x | >Demostracin: | y | - | x | | y - x | | y - x| | y| - | x || y| | y- x| | x |: val e que l o por z do Susti tuyenanteri or. propi edad por | y| | z | | y z | | x |y z xentonces y, - xz l l amar a Vamos> s + s+ s + =+ = = Trabajaremos con tres teorema importantes, a continuacin: 8) a - xax0 a ; a | x| = v = > =Demostracin:Como en este casose trata deuna doble implicacin, tendremos que hacer la demostracin en dos partes, una que responda a la implicacin en un sentido y la otra que responda a la implicacin en el otro. As,] 0 a ; a | x| a - xa x[ a] - xa x0 a ; a | x| [ > = = v = . = v = > =ax ax a x 0, a = v = = >Comoenlahiptesisdeesteenunciadohayunvalorabsoluto,debemosusarladefinicin correspondiente. axax : que resul ta caso, otro u uno De ax donde. de a, x : que si gue se a, x que. afi rma hi ptesi s l a Como x. x : es caso este En 0.x Sea i i )a.x : si gue se a, x que. afi rma hi ptesi s l a Como x. x : es caso este En 0.x Sea i ) = v = = = = = 0 a ; a | x| a - xa x> = = v =Como queremos llegar a una expresin con valor absoluto, analizaremos los casos de los valores de x positivos, negativos o cero, para asegurarnos llegar a su definicin. a x: que resul ta ambos, De a xdonde. de a, x : que si gue se a,x que. afi rma hi ptesi s l a Como x. x : es caso este En 0.x Sea i i )a. x : si gue se a, x que. afi rma hi ptesi s l a Como x. x : es caso este En . 0x Sea ) i== = = = Por lo tanto, de a) y b) se puede decir que la doble implicacin es cierta. Ahora, qu significado o importancia tiene esta propiedad?Como podemosver se trata de un enunciado que nospermite escribirunaexpresinquetienevalorabsolutocomolaunindedosquenolotienen.Enuna ecuacinescritadeesaforma,existelaposibilidaddequesidejramoselvalorabsoluto,sera imposible despejar el valor de la incgnita. Ejemplo:Resolverlasiguienteecuacin 6 | 1 - 2x | = Vemosquecumplelacondicindequeel mdulo sea igual a un nmero positivo (caso contrario, la ecuacin no tendra solucin). Usandoesapropiedadresulta6 1 - 2x6 1 - 2x 6 | 1 - 2x | = v = = Conlocualvemosque resolver las ecuaciones esms fcil, aunque sean dos.Entonces, 25x27x = v = Las relaciones que demostraremos a continuacin, nos permiten expresar una relacin de orden con valor absoluto como un conjunto numrico. Algo similar a lo anterior, solo que con desigualdades. Esto es importante pues trabajar con expresiones equivalentes con conjuntos numricos ser mucho ms fcil que si est interviniendo un valor absoluto en el enunciado. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena40 9)a - xax0 a ; a | x| < v > > >Demostracin: Enesteyenelqueviene,tambinsetratandeenunciadoscondobleimplicacinquedeben demostrarse tanto en un sentido como en el otro.hi ptesi s por a | x|s expresi one ambas de n comparaci por a x defi ni ci n por x| x |0x)>> => Si A a - x a xque surge B yA de tanto l o Porhi ptesi s por a | x|a - xs expresi one ambas comparando a x- defi ni ci n por x - | x |0 xSi )> v >>< > =< B a - xax0 a ; a | x|si , R x : deci rse pueda ambos de que manera De) deber" " de ( queda , n i mpl i caci l a demostrar Fal ta . n i mpl i caci l a demuestra se forma esta De< v > > > e : 10) a xa - 0 a ; a | x| < < > < e : < < > < e < < < . < < =< ) B Laspropiedades9y10tambinsonvlidasparaa | x | > yparaa | x | s ,sedemuestranen forma similar. Aplicaciones en Inecuaciones y Desigualdades Si tenemos que resolver inecuaciones en las que estn involucrados valores absolutos, se aplican sus propiedades para resolverlas: Ejemplo 1: En reales resolver: | x + 2 | < 5 (Significa hallar los nmeros reales que cumplan con la relacin dada) Esposibleresolverlousandoladefinicindevalorabsoluto,peroesmuchomssimplesi utilizamos propiedades, que para demostrarlas ya hicimos el proceso de anlisis completo. Usamos la propiedad 10, ya demostrada Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena41 ) i nterval os de trmi nos en escri bi mos ( si( -7,3) 3} x7 - : R { xS3 x7 -3x x 7 - ( -2) 5 ( -2) 2x( -2) 2 x( -2) 5 -5 2 x2 x5 - 5 2 x5 - 5 | 2 x |= < < e =< e =< v > < v > < v > + < + +v + > + + < + v > + > + Representando grficamente: )(

211 23 LOS NMEROS COMPLEJOS Yahablamosdeellosenlareferenciahistricaaliniciodelosnmerosreales.Dijimosquelos matemticos,alrealizarestudiosmsformalesacercadelaresolucindeecuacionesqueseles plantearon, se enfrentaron, por ejemplo, a la siguiente 0 1 x2= + . El problema se present cuando comprobaron que ningn nmero real elevado al cuadrado y sumado con 1 poda dar como resultado 0. Justamente este valor i s verifica la ecuacin anterior, pues sustituimos x por i y como se defini que i2 =-1 quedar: i2 + 1 = (-1) + 1 = 0, que es cierto. Definicin de la unidad imaginaria i: se define i tal que i2 = -1 Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena42 De esa misma manera, si se plantea la ecuacin0 4 x2= +la solucin sera x= 2i pues (2i)2 + 4 = 4i2 + 4 = 4.(-1) + 4 =- 4 + 4 = 0 y s verifica. Claro que podra haber sido cualquier letra, pero se eligi la letra i por indicar un nmero imaginario, es decir no real. Comopodemos ver,solucionaronelproblemacreandonuevosnmerosquetienenla formabi, donde b es cualquier nmero real. Ejemplos de nmeros imaginarios: 5i;34i,-9i; 3 i De la definicin de la unidad imaginaria surge otra: Ejemplo 1: 2i 4 = pues 2i 1 . 4 1) 4.( 4 = = = Ejemplo 2: i 3 9 = Ejemplo 3: i 6 6 = A estos nmeros los llamaron imaginarios, justamente porque no eran reales. Los incorporaron a los conjuntos numricos anteriormente clasificados y crearon el Conjunto de Nmeros Complejos. Esteconjuntoseformacuandoalconjuntodenmerosrealesselosreneconlosnmeros imaginarios. Recordando el esquema ya visto, el mapa numrico nos quedara expresado as: Conjunto de naturales ( N ) Conjunto de Nmeros Enteros ( Z ){ 0 } Conjunto Conjunto de enteros negativos Conjunto de NmerosNMEROS de Racionales (Q) Nmeros Conjunto de NmerosRealesFraccionarios (F) COMPLEJOS(R) ( C ) Conjunto de Nmeros Irracionales ( I )

Conjunto de nmeros imaginarios ( Im ) Falta verqucaractersticatieneunnmerocomplejo.Laletragenricautilizada mayormentepara indicar a un nmero complejo es z. As se define: Ejemplos:21- es i magi nari a parte su y 2 es real parte su 2 i21z3 es i magi nari a parte su y 2 es real parte su i 3 2 z21+ =+ = 1 i = Definicin de un nmero complejo: zser un nmero complejoz = a + bi donde a y b son nmeros reales;a recibe el nombre de parte realy b parte imaginaria Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena43 puro) real un (es 0 es i magi nari a parte su y 23 es real parte su23 zpuro) i magi nari o un (es 6 es i magi nari a parte su y 0 es real parte su 6i z4 - es i magi nari a parte su y 2 es real parte su4i 2 z543== = Estos nmeros terminaron de dar solucin a muchas ecuaciones que no la tendran si trabajamos solo con los nmeros reales. Ejemplo: z = 1 + i es solucin de la ecuacin x2 - 2x + 2 = 0. Noahondaremosenlaoperatoriaconloselementosdeesteconjuntonumrico,nosbastar conocerqueexistenyquedansolucin,entreotrascosas,aalgunasecuacionesconlasquenos vamos a encontrar. Opuesto de un Nmero Complejo Nos interesar definir: Ejemplo: si z = 5 2,5 i -z = - 5 + 2,5 i Conjugado de un Complejo Si recordamos que, dadauna ecuacin cuadrtica0 a con 0 c bx ax2= = + + , la frmula para resolver esta ecuacin es 2a4.a.c b bx22 , 1 = Sivolvemosalejemplodelaecuacincuadrticax2-2x+2=0ylaresolvemosconla conocida frmula24 22xy24 21x Entonces2.14.1.222) ( 2) (2xser a soluci n otra lay2.14.1.222) ( 2) (1xser a soluci n Una = += = + =i 12xy i 11x emente conveni ent ndo si mpli fi ca que22i - 22x y22i 21x: ser an ecuaci n esa de soluci ones las tanto lo por vi mos, ya como 2i , 4 - pero = + = =+== Si observamos estos dos nmeros complejos, difieren solo en el signo de su parte imaginaria y se les dio un nombre particular de complejo conjugado. Ejemplos: i43z i43z5i 3 z 5i - 3 z21 1 = + =+ = = Opuesto de un nmero complejo: Dado un nmero complejo z = a + bi se defineopuesto deza z = - a bi Conjugado de un nmero complejo: Dado un nmero complejo z = a + bi se define conjugado del mismo a otro complejobi - a z = Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena44 20 z zi 5 - z i 5 z4 - 6i - z 4 6i z5 54 43= == == =20 BIBLIOGRAFAS CONSULTADAS AllendoerferyOakley:IntroduccinModernaalaMatemticaSuperior.MacGrawHillBook Company. 1967. Arya y Lardner: Matemticas Aplicadas a la Administracin y a la Economa. Prentice Hall, 1992 Birkhoff y Mac Lane: lgebra Moderna. Ed. Vicens Vives, 1963. Boyer, Carl: Historia de la Matemtica Alianza Universidad Texto. 1996 HaeussleryPaul:MatemticasparaAdministracin,Economa,CienciasSocialesydelavida. Prentice Hall. 1995 Lehmann: lgebra. Limusa, 1964. Rojo: lgebra. Tomos I y II. Ed. El Ateneo, 1975. Smith y otros: lgebra y Trigonometra. Addison Wesley Longman. 1998. Swokowsky: lgebra Universitaria. CECSA, 1969. Sydsaeter y Hammond: Matemticas para el Anlisis Econmico. Prentice Hall, 1996. Tarzia, D.Curso de Nivelacin de Matemtica Mc Graw Hill Interamericana. Chile 2000 Trejo: Matemtica Elemental Moderna. Eudeba, 1963 Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena45 UNIDAD IIIPOLINOMIOS ReferenciaHistrica Los polinomios corresponden a un tema tradicional del lgebra clsica. Es un tema que ha nacido a partir de la necesidad de resolver ecuaciones y reconoce orgenes pretritos.Babilonios, griegos, chinosyrabesformularondesdepocasmuytempranasecuacioneslineales,cuadrticasyhasta cbicas, sobre todo en relacin con la medida de reas y volmenes. La evolucin histrica nos muestra que estos principios han dado origen a un concepto nuevo, el depolinomios,comounaextensinbastantenaturaldelconceptodenmero(elcualresulta completamente trascendido). Porotraparte,elestudiodelasfuncionescomienza-histricamente-cuandosereconocecomo tales a aquellas que admiten una expresin en serie de potencias. Luego, y como consecuencia de la teoraalgebraica,elconjuntodepolinomiossobreuncuerposeindependizydevinoenuna estructura semejante a la de los nmeros enteros. Adems, si bien la expresin polinomio no es de uso social frecuente, si lo son algunos trminos en vinculacin con esta palabra. Cabedestacar,desdeelpuntodevistadeutilidadprctica,quemuchosfenmenosdela naturalezaylaactividadhumanasonmodelizadosporpolinomios;comofenmenosfsicos(cada libre,tirovertical),fenmenosnaturales(evolucindeciertaspoblaciones)yfuncioneseconmicas (como la demanda y oferta). POLINOMIO donde a0,a1,a2,a3 ,..., anson nmeros reales( o complejos), na = 0yse llama coeficiente principal; n +e0zy n indica el grado del polinomio y 0a es el trmino independiente. Ejemplos: Para cada uno de los polinomios dados,se indicar el grado, el coeficiente principal y el trmino independiente PolinomioGrado Coeficiente Principal Trmino Independiente 2 32 2 3 x x x ) x ( p + =320 7 = ) x ( q 077 0 = ) x (r No tiene grado--------0 62 = x ) x ( s21-6 TIPOS de POLINOMIOS Polinomio Nulo: se llama polinomio nuloa aquel polinomio en el que todos sus coeficientes son ceros: nx x x x 0 0 0 0 03 2+ + + + + . El polinomio nulo carece de grado. Ejemplo: el polinomio) x (rdel ejemplo de la tabla es el polinomio nulo PolinomioOpuesto: Es el quese obtienen al cambiar los signos a los coeficientes del polinomio dado. Simblicamente: Dado el polinomio( )nnx a x a x a x a a x p + + + + + = 3322 1 0, entonces su opuesto es el polinomio( )nnx a x a x a x a a x p = 3322 1 0 Ejemplo: El opuesto de2 32 2 3 x x x ) x ( p + =es 2 32 2 3 x x x ) x ( p + = Polinomio Mnico: es el polinomio donde el coeficiente principal vale uno.Ejemplo:62 = x ) x ( ses unpolinomio mnico de grado 2 porque el coeficiente principal vale 1 Definicin: Un polinomio de gradon en la variable x es una expresin de la forma:( )nnx a x a x a x a a x p + + + + + = 3322 1 0 Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena46 IGUALDAD DE POLINOMIOS Es decir: () ()() (), , , , , , y: entonces , yn nmmnnb a b a b a b a b a m n x B x Ax b x b x b x b b x B x a x a x a x a a x A= = = = = = =+ + + + + = + + + + + = 3 3 2 2 1 1 0 03322 1 03322 1 0 Ejemplo: Determinar el valor de m, n y p para que los polinomios A(x) y B(x) sean iguales; siendoA(x) = 3 2(x 2).(3x + 4) y B(x) = (2 + m) + (m 2n + p).(2 x) x.(1 + nx) Primero se debe resolver las operaciones indicadas en cada polinomio; es decir: A(x) = 3 (2x 4).(3x + 4) = 3 6x2 8x + 12x + 16 = 19 + 4x 6x2 B(x) = 2 + m + 2m mx 4n + 2nx + 2p px x nx2 = (2 + 3m 4n + 2p) + (-m + 2n p - 1)x nx2

Luegosedebeaplicarladefinicindeigualdad,oseaquelospolinomiostenganelmismo grado (condicin que se cumple) y que los coeficientes de los trminos semejantes sean iguales; que aplicando quedara: 19 = 2 + 3m 4n + 2p 3m + 2p = 41 24 -3p + 2p = 41 -p = 17 4 = -m + 2n p m+p = 8 m = 8 p m = 25 -6 = -nAl resolver las igualdades anteriores se determina los valores de: n = 6m = 25y p = -17 OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma de Polinomios Ejemplo:Si()3 2213 x x x x A + + = y( )22 1 x x x B + = ,lasumadeamboses: () ( ) ( ) ( )3 221 3 2213 2 2 1 1 1 3 x x x x x x x C + = + + + + = Propiedadesdelasumadepolinomios:Lasumadepolinomioscumplelassiguientes propiedades Propiedad Conmutativa: Dados () ()y x q x p , polinomios, ( ) ( ) ( ) ( ) x p x q x q x p + = + . Demostracin:Seanlospolinomios( )nnx a x a x a x a a x p + + + + + = 3322 1 0y( )mmx b x b x b x b b x q + + + + + = 3322 1 0, con m < n, entonces: Aplicando la definicin de suma de polinomios ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnmmmm mb a x a x b a x b a x b a b a x q x p + + + + + + + + + + + = +++ 1122 2 1 1 0 0 Por la conmutativa en la suma de reales ( ) ( ) ( ) ( )() () x p x q q( x) p( x)nbnamxmamxmamb x a b x a b a b ) x ( q ) x ( p+ = ++ ++++ + + + + + + + + = + 1122 2 1 1 0 PropiedadAsociativa:Cualesquieraqueseanlospolinomios() () () x r x q x p y , ,resultaque ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) x r x q x p x r x q x p + + = + + . Definicin: Dos polinomios( ) ( )B y x x A son iguales si y slo si tienen el mismo gradoy los coeficientes de los trminos semejantes (del mismo grado) son iguales. Definicin:Dadoslospolinomios,()nxna x a x a x a a x A + + + + + = 3322 1 0y()mxmb x b x b x b b x B + + + + + = 3322 1 0, conm< n, definimos la suma de) ( ) ( x B x A +comoelpolinomio () ( ) ( ) ( ) ( )nbnamxmamxmbma x b a x b a b a x C + ++++ + + + + + + + + = 1122 2 1 1 0 0. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena47 Demostracin: para Usted (debe aplicar la ley asociativa para la suma de los reales) Existenciadelelementoneutrooidntico:Paracualquierpolinomio() x p ,siempre ( ) ( ) x p x p = + - 0 0que tal , nulo polinomio el . Demostracin:Seanlospolinomios()nnx a x a x a x a a x p + + + + + = 3322 1 0ynx x x x 0 0 0 0 0 03 2+ + + + + = , entonces aplicando la definicin de suma: () ( ) ( ) ( ) ( )() x p b a x a x a ax a x a x a a x pnnnn= + + + + =+ + + + + + + + = +22 1 022 1 00 0 0 0 0

existencia del neutro en la suma de R ExistenciadelOpuestooInversoAditivo:Paracualquierpolinomio() x p ,siempre ( ) ( ) ( ) | | 0 = + - x p x p x pque tal , polinomio el . Demostracin: para usted Producto de un polinomio por un escalar Simblicamente( ) ( )nnnnx a k x a k x a k a k x a ... x a x a a k x p k + + + + = + + + + = 22 1 022 1 0 Ejemplo: Determinar 353353533 7 135x x x x . + = |.|

\|+ Propiedades Asociatividad para los escalares: ( ) ( ) ( ) | | x p x p = | o | o Distributividad de un escalar respecto de la suma de polinomios: ( ) ( ) | | ( ) ( ) x q x p x q x p + = + o o o . Distributividad de un polinomio respecto de la suma de escalares:( ) ( ) ( ) ( ) x p x p x p + = + | o | o . Producto de Polinomios

m nxm nc ... x c x c c ) x ( C+++ + + + =33 1 0 y donde: 0 0 0b . a c =0 1 1 0 1b . a b . a c + =0 2 1 1 2 0 2b a b a b a c . . . + + =0 3 1 2 2 1 3 0 2b . a b . a b . a b . a c + + + = mbnam nc . =+ Ejemplo:Calcularelvalordeg(x),sig(x)=p(x).q(x),donde1 322 + = x x x p ) ( y 2 3 = x x q ) (( )( ) 2 921336 2 3 6292436 2 3 1 322 + = + + = + = x x x x x x x x x x x x g . ) ( Propiedades: Dados los polinomios() () () x r x q x p y ,se puede demostrar que: Definicin:Dadounpolinomio()nnx a x a x a x a a x p + + + + + = 3322 1 0yunescalarR k edefinimoselproductodelpolinomiopordichoescalaraotropolinomiodelmismogradocuyos coeficientesse obtienenmultiplicandoelescalarpor cadaunodeloscoeficientesdelpolinomio dado. Definicin:Dados() ()B y x x A ,talesque()nxna x a x a a x A + + + + = 22 1 0y ()mxmb x b x b x b b x B + + + + + = 3322 1 0, su producto es un nuevo polinomio( ) x Ccuyo grado es m + n, y cuya expresin se obtiene de aplicar la ley distributiva de modo que: Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena48 Conmutativa:( )( ) ( ) ( ) x p x q x q x p = . Asociativa:( ) ( ) ( ) | | ( )( ) | | ( ) x r x q x p x r x q x p = . Existencia del elemento idntico: Para todo() x pexiste el polinomio unidad 1 tal que 1.() x p=() x p . Distributiva del producto para la suma:( ) ( ) ( ) | | ( )( ) ( ) ( ) x r x p x q x p x r x q x p + = + . La demostracin de las propiedades queda como actividad VALOR NUMRICO DE UN POLINOMIO Ejemplo: Sabiendo que 62 = x ) x ( s , calcular |.|

\|236 2 s ) ( s ) ; ( s y : ( ) 2 6 4 6 2 22 = = = s ; ( ) ( ) 0 6 6 6 6 62= = = s y 415649623232 = = |.|

\|= |.|

\|sRaz o Cero de un Polinomio Ejemplo:6 es una raz o cero del polinomio62 = x ) x ( sporque( ) ( ) 0 6 6 6 6 62= = = s Factor Ejemplo:2 x esfactorde6 52+ = x x ) x ( p porque3 = - x ) x ( h talque ( ) ) x ( h . x ) x ( p 2 =Efectivamente si resolvemos el producto( ) ( ) 6 5 6 2 3 3 22 2+ = + = x x x x x x . x Polinomio Irreducible Ejemplo:4 2 = x ) x ( p esunpolinomioirreducibleporquesifactorizamos ) x ( x ) x ( p 2 2 4 2 = =Podemosverqueelpolinomio) x ( p estformadopordosfactoresendondeelfactor2esun polinomio de grado cero lo cual no cumple la definicin de factor (grado mayor o igual que 1)y el otro factor x-2 que si es de grado 1. Algoritmo de la divisin de polinomios Definicin: Es el resultado que se obtiene al reemplazar la variable de un polinomio() x ppor un nmero cualquieraay resolver las operaciones indicadas. Es decir que el valor numrico de() x pen) a ( p a xes = Definicin: Un nmero a es raz o cero de un polinomio() x psi y slo si( ) 0 = a p Definicin:Unpolinomio() x p degradomayoroigualaunoesfactorodivisordeotro polinomio() x q siyslosiexisteunpolinomio() x h degradomayoroigualque1,talque ( ) ( ) ( ) x h x p x q = Definicin:Cuandounpolinomio() x p nopuedeexpresarsecomounproductodeotrosdos polinomios() x q y() x h ambosdegradomayorquecero,sediceque() x p esirreducibleo primo. Dadosdospolinomios() ( )y x q x p ,siempreexistenotrosdospolinomios ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x r x q x c x p x q x r x r x c + = 0. Por teorema fundamental tiene una razx1 y, comoconsecuenciadelteoremadelfactor,tieneunfactor(xx1).Portanto:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . n x q x q x x x p x q 11 1 1 1 = = -de grado donde, : que tal Ahora, si() x p n n y1 0 1 = = tiene una raz. Pero si1 0 1 > > n n y el grado de () 11> x q ,resultaposibleentoncesaplicarelteoremafundamentala() x q1,paraelqueexistirn una raz x2, un consiguiente factor (x x2)yun polinomio( ) x q2, tales que: () ( ) ()() ( ) ( ) () () 22 2 2 12 2 1 = = =n x q x q x x x x x px q x x x q de grado con ; ;: que obti ene se i a consecuenc en ; Todo polinomio con coeficientes reales o complejos tiene una raz compleja. Un polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos, tiene a lo sumo n racesdistintas o mltiples en C. Facultad de Ciencias Econmicas, Jurdicas y Sociales MATEMTICA I Prof. Anglica E. Astorga de Brcena51 Denuevo:si2 0 2 = = n , n yp(x)tienedosracesy,portanto,dosfactores.Perosi 2 0 2 > > n , n yelgradode() 02> x q ,siendoposiblereiterarelproceso.Estenospermite encontrar n factores para p(x) y escribirlo como: () ( ) ( ) ( ) () ()() () ( ) ( ) ( )n nn n nx x x x x x x p x q, n n x q x q x x x x x x x p = == = =que l o por ,: sea o de grado con ;2 12 10o o El procedimiento descripto ha permitido obtener al menosn factores. No es posible obtener uno ms, porque si as fuera, un polinomio p(x) de grado n, sera el producto de n + 1 factores lineales, o sea que tendra grado n + 1, lo cual es contradictorio. Por otra parte, se puede afirmar queocoincide con el coeficiente principal del polinomio p(x), es decir que na = o .Ejemplos:El polinomioi x 3 , de grado 1, tiene una sola raz:i x31=y su nico factor lineal esi x31 . Elpolinomiox x 27 33 tiene tresraces:3 3 0 = = = x x x ,, ;ysufactorizacinenfactores lineales es:( ) ( ) 3 3 3 + x x x . Elpolinomio 4 42+ + x x solamente admitelaraz2 = x yelfactor2 + x .Sinembargo, nose puedeafirmarque2 4 42+ = + + x x x ,perosesverdadque( ) ( ) ( )2 22 2 2 4 4 + = + + = + + x x x x x .Comoseobserva,elfactor2 + x serepitedosveces;la raz2 = xtambin. Se dice, en este caso, que la raz -2es doble, o es lo mismo que decir que -2 es una raz de multiplicidad dos. Multiplicidad de una Raz Ejemplo:0esunarazdemultiplicidad3delpolinomio 3 43x x porque ( ) 3 3 33 3 4 = = x . x . x . x ) x ( x x x Observacin:El mtododesarrolladoenlademostracinhapuestoenevidenciauna factorizacin para el polinomio p(x) la que se expresa como un producto de factores lineales con races complejas. Cabepreguntarsesiexisteotrafactorizacindiferente,tambinpormediodefactoreslineales.La respuesta es negativa, como se prueba a continuacin. Teorema 2: Unicidad de la Factorizacin de un Polinomio Demostracin: Segn el mtodo seguido en la consecuencia anterior todo polinomiop(x) admite la descomposicin en factores lineales antes descripta: ( ) ( ) ( ) ( )na x a x a x x p = 2 1oSihubieraunadescomposicindiferente,almenosunodelosfactoresdeberaserdistinto, digamosr x , lo que nos llevara a afirmar que r es una raz nueva. Pero como tampoco es posible tener ms de n races, esta raz debe coincidir con alguna de las ai, por lo que ia x r x = . Teorema 3:

Definicin: Una raz ade un polinomio p(x) es de multiplicidad k si y slo sip(x) ti