UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGAS Ingreso 2011 Equipo Docente: Coordinador: Lic. Julio E. Zurita Lic. Mara Jos Benac Lic. Susana Caete de Luaces Lic. Paola Valdez Lic. Pablo E. Zurita Bianchini Ing. Segundo Marcelo Daz Ing. Pedro Gonzlez Ruiz Ing. Mario Ricardo Varone Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 1 CONTENIDOS UNIDAD 1: Elementos de la Teora de Conjuntos. Conjuntos Numricos Nocinintuitivadeconjunto,elementoypertenencia.Representacindeun conjuntoporextensinyporcomprensin.DiagramasdeVenn.Conjuntosespeciales. Inclusin,igualdad.Operacionesconconjuntos:unin,interseccin,complemento. Ampliacionessucesivasdelosconjuntosnumricos.Irracionales.Reales.Propiedades. Operaciones con nmeros reales.Propiedades. Valor absoluto. La recta real. Orden en la recta real. Intervalos. UNIDAD 2: Relaciones trigonomtricas en un tringulo rectngulo. ngulos:sistemasdemedicin.Relacionestrigonomtricasenuntringulo rectngulo. Teorema de Pitgoras. Resolucin de tringulos rectngulos. UNIDAD 3: Relaciones y Funciones Productocartesiano,relaciones,funciones.Funcindeprimergrado.Ecuaciones deprimergrado conunaincgnita.Sistemasdedos ecuaciones deprimergradocondos incgnitas. Funcin de segundo grado. Ecuaciones de segundo grado con una incgnita. UNIDAD 4: Expresiones algebraicas. Polinomios.Operaciones.Teoremadelresto.RegladeRuffini.Cerosdeun polinomio.Factorizacin.Expresionesalgebraicasfraccionarias.Simplificacin. Operaciones. Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 2 Unidad N 1 Teora de Conjuntos. Conjuntos Numricos. Conjunto como Concepto Primitivo Noesposibledefinirconjuntosincaerenuncrculoviciosoyaque,sisedice"Un conjuntoesunacoleccindeelementos"inmediatamentesurgelapreguntaYunacoleccinqu es?siendolaposiblerespuesta:"unconjunto",volviendoalpuntodepartida.Setoma,pues,al concepto,comountrminoprimitivo,esdecirquenoselodefineasumiendoquetodos comprenden intuitivamente este concepto. Para que exista un conjunto se exigen algunos requisitos: Lacoleccindeobjetosdebeestarbiendefinida:estoes,lapertenenciaalconjuntodeun elemento no debe ofrecer dudas. Ningn elemento del conjunto se debe contar ms de una vez; esto es, los elementos deben ser distintos. El orden en que se enumeren los elementos carece de importancia. Lenguaje Simblico - NotacinPararepresentarlosconjuntos,loselementosylarelacindepertenencia,mediante smbolos, se tendr en cuenta las siguientes convenciones: Los conjuntos se designan con letras maysculas. A, B, C, etc Los elementos que forman el conjunto se encierran entre llaves { } Los elementos se designan con letras minsculas a, b, c, etc. Para indicar que un elemento pertenece al conjunto se escribe el signo Para indicar que un elemento no pertenece a cierto conjunto, se escribe el signo . Ejemplo: El conjunto A formado por los elementos a, b y c, se escribe: A = { a , b , c } Puede decirse quea A, b A y c A,m A Lenguaje Grfico - Diagramas de Venn Para la representacin se fijan tambin, algunas convenciones, a saber: Los conjuntos se representan por una curva simple cerrada. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva. Ningn punto se representa sobre la curva.Ejemplo: El conjunto A del ejemplo anterior se representa en diagrama de Venn del siguiente modo A a m b c Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 3 Definicin de un conjunto Un conjunto est bien definido cuando es posible hacer una lista de sus elementos o cuando es posible decidir si un objeto determinado es o no un elemento del conjunto. Los conjuntos pueden definirse dedos formas: a)PorComprensin:cuandoseestableceunapropiedadinherentealoselementosquelo constituyen,de formatalquetodoobjetoquecumpladichapropiedadpertenece alconjuntoy recprocamente. b)Por Extensin: cundo se mencionan o nombran los elementos que lo constituyen. As, por ejemplo el conjunto B = { x N / x < 4 } est definido por comprensin B = { 1 , 2 , 3 } por extensin InclusinSeanAyBdosconjuntos,sicadaelementodeAeselementodeBsedicequeAest incluido en B, o bien que A es un subconjunto de B. Simblicamente:A B (x A x B ) A menudo ser necesario demostrar que un conjunto es parte de otro entonces, de acuerdo a la definicin, ser suficiente demostrar que cualquier elemento del primero pertenece al segundo. Igualdad de conjuntosDos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Es decir, cuando todo elemento de A es un elemento de B y recprocamente: En smbolos:A = B A B B A Conjuntos Especiales Conjunto Vaco: es el conjunto que no posee elementos y se denota con.(el conjunto vaco debe ser considerado como un subconjunto de cualquier conjunto es decir,A A ) Conjunto Universal:El referencial o universal es el conjunto formado por todos los elementos dereferencia.Comoelconjuntoreferencialouniversaltienefundamentalimportancia,se denota con un smboloU y se representa por un rectngulo para distinguirlo de los diagramas correspondientes a los dems conjuntos. Por lo tanto, cualquier conjunto que se estudie dentro deunciertoUniverso,serepresentardentrodedichorectngulo.Sediceentoncesque cualquier conjunto est incluido dentro del universo correspondiente. Operaciones con conjuntos Complemento de un conjunto ElcomplementodelconjuntoAeselconjuntoformadoporloselementosdelUniversalque no pertenecen a AEn smbolos { } / A x U x A = . Grficamente: Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 4 InterseccinLa interseccin de dos conjuntos A y B es el conjuntocuyos elementos pertenecen a A y a B, es decir:. A B = { x / x A x B} UninLa unin de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B, es decir: A B = { x / x A x B } DiferenciaLadiferenciadedosconjuntosA,B(eneseorden)eselconjuntoformadoporlos elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B, es decir: A B = { x / xA x B} ACTIVIDADES Actividad 1: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas para los conjuntos: A = {2, 3, 5, 7, 11} y B = {x / x = 2n + 1,n Z, 0 n < 9} a)9 A b)9 Bc) 2 Ad)1Be)7A f)7 B Actividad 2: Defina por extensin los siguientes conjuntos: a)A = { x N /x < 6 } b)B = {x N / x es divisor de 12} c)C = {x Z /-2 < x 5} d)D = {x /x = k2 ,k Z - 2 < k< 5} e)E = {x R/x2= -1} Actividad 3: Defina por comprensin los siguientes conjuntos: A = {1, 3, 5, 7, ...}B = {5, 10, 15, 20, ...}C = {1, 2, 3, 5, 7}D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2} Actividad 4: Indiquesitienenonosentidolassiguientesexpresiones,justificandoencadacasosu respuesta: a a, a {a}, a{a}, a a, a ={a}, A A, A {A}, A {A},A {A} Actividad 5: En cada uno de los siguientes casos, complete con o . a)P ={ x / x es un cuadrado} Q = { x / x es un cuadriltero} P..QQ..P Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 5 b)R ={ x / x es un numero primo menor que 13} S = { 3 , 5 , 7 , 9 , 11 } R..S S..R c)M ={ x / x es un divisor de 60 x < 10} N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } M..NN..M d) D..AB..C D..BB..A D..CC..D Actividad 6 Sehainvestigadoaungrupode100estudiantesdelprimerao,conlossiguientes resultados; 28 alumnos regularizaron Clculo y lgebra, 32 regularizaron Clculo y Fsica, 12 regularizaron las tres asignaturas, 11 regularizaron slo lgebra, 7 regularizaron slo Clculo, 5 regularizaron slo Fsica, 14 no regularizaron ninguna materia. Cuntos estudiantes regularizaron Algebra y Fsica? Realice un diagrama de Venn que represente la situacin. Actividad 7: Dados los conjuntos: A = { x / x N x < 6 } B = { z / z N z = 2 x + 1 x A } Se pide: a)Defina por extensin los conjuntos A y B. b)Halle: A B,A B, A B, B A Actividad 8: Dados los conjuntos A = {x R /x 7} yB = { x R /2 x 10} a)Defina por comprensin:A ,A B,A B,A B b)Representeenlarectanumrica,lasregionesquerepresentanalosconjuntosA,Byal resultado de cada una de las operaciones anteriores. Actividad 9: Halle el resultado: A =.A A =. A =.A A =.. A U =.A A =. A U =.U A =. A A =. A U D C B Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 6 Actividad 10: SeanAyBdosconjuntosarbitrarios,indiqueculesdelassiguientesalternativas son correctas: A A BA A BA B A A A BA B AB A A Actividad 11: Dados los conjuntos: A = {x / x es un punto de la recta R1}yB = {x / x es un punto de la recta R2} Determine A B en cada uno de los siguientes casos: a)R2 b)R1 c) R1 R2 R1 = R2

Conjuntos numricos Ampliaciones sucesivas de los conjuntos numricos Los primeros nmeros que el hombre utiliz para contar fueron los nmeros naturales: 1, 2, 3,4,....EstosnmerosocupanunlugarimportanteenlaMatemticayaquemuchosconjuntos numricos que se emplean en la prctica cotidiana se deducen a partir de sucesivas ampliaciones del conjunto de nmeros naturales. Se denota con N = {1, 2, 3, 4, ...} al conjunto de los nmeros naturales.Si se incorpora el cero, recibeel nombre de Conjunto denmeros naturales ampliado y se simboliza: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Propiedades del conjunto N Es un conjunto infinito Tiene primer elemento y no tiene ltimo elemento. Todo nmero natural tiene un sucesor. Todo nmero natural, excepto el 1, tiene antecesor.Entredosnmerosnaturalesexisteunnmerofinitodenmerosnaturales,espor ello que se dice que es un conjunto discreto. Es un conjunto ordenado. (Los elementos de N estn ordenados segn la relacin ) En estn definidas dos operaciones llamadas suma y producto: a, b N:a + b N y a, b N: a . b N a partir de ellas se definen la sustraccin y la divisin de la siguiente manera: a b = cc + b = a a : :: : b = cc . b = a La sustraccin es posible en N siempre quea > b. Cuando a bes necesario considerar el 0 (cero) y los nmeros negativos 1, 2, 3,.... para quea b tenga solucin. Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 7 Elconjuntoformadoporlosnmerosnaturalesoenterospositivos,elceroylosenteros negativos se denomina conjunto de nmeros enteros y se designa con Z, que es una ampliacin de los nmeros naturales. En smbolos: Z =N{0} {..., 3, 2, 1} Se puede graficar mediante un diagrama de Venn de la siguiente manera: Z 100 300 N 0 1 8 1. . . 2 6 . . . Propiedades del conjuntoZ Es un conjunto infinito No tiene primer ni ltimo elemento Todo nmero entero tiene un antecesor y un sucesor. Es un conjunto discreto. Es un conjunto ordenado. Tienen sentido en Z, la suma, la sustraccin y el producto, no as la divisin, ya que: Para a, b Z, con b 0,a:b Z a es mltiplo de b Luego,esnecesario consideraruna ampliacindelconjuntodelos enterospararesolver este problema.Paraelloseintroducenlosnmerosfraccionarios( F ),dandolugaralconjuntodelos nmeros racionales que se denota con Q y se define como: Q/ , 0aa b bb = ` )

se puede representar en diagrama de Venn de la siguiente manera:

Q Z 100 300 0 1 8 1 . . . 2 6. . . Propiedades del conjunto Q Es un conjunto infinito No tiene primer ni ltimo elemento. Entre dos nmeros racionales existen infinitos nmeros racionales, por ello se dice que Q es un conjunto denso.

12 75 11000 . . . Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 8 Es un conjunto ordenado. Los nmeros racionales pueden expresarse en forma de expresiones decimales peridicas; por ejemplo: 3 = 3,000...

53 = 1,666... 2990= 0,3222...... Existennmerosquetieneninfinitascifrasdecimalesnoperidicasyqueporlotantono pueden ser expresados como fraccin, a estos nmeros se los denomina irracionales y a su conjunto se lo simboliza con I.Son nmeros irracionales, por ejemplo: , 2,2 5, ,etc. e Elconjuntodelosnmerosirracionalesjuntoconelconjuntodelosnmerosracionales determinan el conjunto de los nmeros reales que se denota con ; es decir: R=Q I Elconjuntodelosnmerosrealesgozadelasmismaspropiedadesquelosnmeros racionales. Elsiguientegrficomuestraamododesntesislaampliacinsucesivadelosconjuntos numricos: Representacin Geomtrica de los Nmeros Reales DadaunarectaR,se eligeenellaunpuntoorigenalqueselehace corresponderelnmero cero y una unidad de medida. Se establece una correspondencia biunvoca entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos de la recta R , es decir: Atodonmerorealcorrespondeunpuntoenlarectayatodo punto de la recta corresponde un nmero real Naturales N 0 Enteros Negativos Z- Racionales Q Irracionales I Reales R Enteros Z Fraccionarios Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 9 De esta manera, por ejemplo, losnmeros 1, 13,2 quedan representados por los puntos P, Q y S respectivamente, como se muestra en el siguiente grfico. Operaciones con nmeros reales. Propiedades En R se definen bsicamente dos operaciones, la suma y el producto. Propiedades de la suma: Sean a, b nmeros reales 1)Ley de cierre:, :a b a b + 2)Asociativa:, , : ( ) ( ) a b c a b c a b c + + = + + 3)Conmutativa:, :a b a b b c + = + 4)Existencia del elemento neutro: 0 / : 0 0 a a a a + = + =5)Existencia del opuesto:, / ( ) ( ) 0 a a a a a a + = + = Propiedades de el producto: Sean a, b nmeros reales 1)Ley de cierre:, : .a b a b 2)Asociativa:, , : (.) . . (.) a b c a b c a b c = 3)Conmutativa:, : . .a b a b b c = 4)Existencia del elemento neutro: 1 / :. 1 1 .a a a a = =5)Existencia del recproco: 1 1 1 ( 0), /..1 a a a a a a a = = Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: , , : ( ).. . . ( ) . .a b c a b c a c b c c a b c a c b + = + + = +

Potenciacin: Definicin: Seaa , entonces: 1; a a = 010; a a = . . .....(veces);na a a a a n n = N

10nna a na= N Propiedades de la potenciacin: 0121 2 P 13 Q 2 S R Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 10 1)Propiedad distributiva respecto del producto:( .) . n n na b a b =2)Propiedad distributiva respecto de la divisin:( : ) : n n na b a b =3)Producto de potencias de igual base:. n m n ma a a+=4)Cociente de potencias de igual base:: n m n ma a a=5)Potencia depotencia: . ( )n m n ma a = Notas:00no est definido La potenciacin no es asociativa,en general: ( )( )nn m ma a Radicacin: Definicin: La raz ensima de un nmero real a, es el nmero real b cuya potencia ensima es a, en smbolos: n na b b a = = , n N Esposibledeterminarelsignodelarazsegnsielndiceesparoimparyelradicandoes positivo o negativo. Ejemplos: 3 3 4 427 3,27 3, 16 2,-16 = = = no tiene solucin en R Potencia de exponente racional: Si a es un nmero real y pq es un nmero racional, se define:

pqp qa a =Logaritmo: Definicin:Dados los nmeros reales a > 0 y b > 0, siendo b 1, se llama logaritmo del nmero a en la base b, al exponente al que hay que elevar la base b para obtener el nmero a.En smbolos: log xba x b a = = Propiedades de los logaritmos: 1)Logaritmo de un producto:log (.) log logb b bm n m n = +2)Logaritmo de un cociente:log (:) log - logb b bm n m n =3)Logaritmo de una potencia:log .logrb bm r m =4)Logaritmo de una raz: loglogr bbmmr= Orden en R Ingreso2011 Lic. Mara Ins Morales de Barrionuevo 11 Dados a y b dos nmeros reales cualesquiera, una y solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera: ,,a b a b a b < = > Se aceptarn sin demostracin los siguientes resultados: Sean a, b y c nmeros reales 1)Si a > b entonces a + c>b + c 2)Si a > byc > 0entoncesa . c>b . c 3)Si a > byc < 0entoncesa . c