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CAPÍTULO CUATRO

LA PROPUESTA DIDÁCTICA

4.1 CARACTERÍSTICAS DE LA PROPUESTA

Nuestra propuesta didáctica está dirigida a estudiantes del curso Cálculo Diferencial e

Integral I de la División de Ingeniería de la Universidad de Sonora y busca promover la

construcción de significado de la derivada, y otros objetos matemáticos del cálculo

(especificados en el significado institucional pretendido), mediante la resolución de

problemas de optimización. Para lograr esto, apoyados en los elementos teóricos del EOS,

hemos diseñado un conjunto de actividades didácticas que constan de hojas de trabajo para

los estudiantes y un archivo manipulativo de GeoGebra, al que llamamos “ambiente

dinámico virtual”, para cada uno de los problemas de optimización.

En este capítulo describiremos la estructura de las actividades didácticas, y

ejemplificaremos con algunas de ellas cómo buscamos promover la emergencia de los

objetos matemáticos del cálculo y el papel que juegan en esto los ambiente dinámicos,

luego realizaremos un análisis de la propuesta para valorar a priori la idoneidad didáctica de

la misma, y finalmente presentaremos las hojas de trabajo de las actividades didácticas que

la conforman.

Para la implementación de las actividades didácticas de nuestra propuesta, consideramos

que lo más favorable sería trabajar en un centro de cómputo donde se disponga de al menos

una computadora por cada dos o tres estudiantes. De no ser posible tener tales condiciones,

por lo menos debe contarse con una computadora y un proyector.

Los ambientes dinámicos que creamos con GeoGebra están disponibles en la dirección

http://goo.gl/Pfoh y constan de los siguientes elementos: una construcción dinámica

manipulable que simula el fenómeno implicado en el problema; las representaciones

analítica, numérica y gráfica de la función que modela al problema, una hoja de cálculo que

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Capítulo Cuatro La Propuesta Didáctica 4.1 Características de la propuesta

representa una tabla de valores; un punto variable (móvil) sobre la gráfica; la recta tangente

a la gráfica en el punto variable y varias “casillas” que muestran u ocultan los elementos

anteriores al ser activadas o desactivadas.

Las hojas de trabajo están coordinadas con los ambientes dinámicos y contienen el

enunciado del problema y varios puntos con preguntas e indicaciones para el estudiante,

que lo guían durante la búsqueda de solución para que se percate de aspectos relevantes,

por ejemplo: se puede construir una expresión analítica, una tabla y una gráfica, existen

restricciones para los valores de las magnitudes, hay intervalos donde el valor de la

magnitud que se optimizará crece o decrece, la recta tangente en el punto crítico tiene

pendiente cero, etc. Cabe mencionar que resolver los problemas de optimización no es el

propósito principal de nuestras actividades didácticas, sino más bien, promover la

construcción de objetos matemáticos del cálculo durante la resolución de los problemas.

Dado que éste trabajo se diseñó para estudiantes del primer semestre de ingeniería, las

actividades didácticas están diseñadas para abordarse utilizando conocimientos básicos de

aritmética, álgebra, geometría y trigonometría que se construyen en la escuela preparatoria,

y las hojas de trabajo manejan un lenguaje coloquial, familiar para los estudiantes, sin

términos técnicos como dominio, función, conjuntos, etc. Desde nuestro punto de vista, la

introducción de estos términos y la institucionalización de los objetos matemáticos

emergentes deben hacerse gradualmente, mediante discusiones y consensos grupales

guiados por el profesor.

Nuestra propuesta didáctica incluye 10 actividades, cada una de ellas correspondiente a los

siguientes problemas de optimización, en el orden respectivo:

1. La caja sin tapa

2. La estación de bombeo

3. El corral

4. La página de impresión

5. La viga más resistente

6. La lata de aceite

7. Los autos

8. El canal

9. El triángulo isósceles

10. La caja de base cuadrada

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El orden de las actividades se determinó considerando dos aspectos: la complejidad del

modelo matemático involucrado en el problema y la posibilidad de hacer emerger objetos

matemáticos diferentes a los del resto de las actividades.

El primer aspecto se refiere, por un lado, a los conocimientos previos necesarios para

comprender el problema, ya que algunos problemas involucran objetos como área, volumen

y perímetro, los cuales se estudian desde la escuela primaria, pero otros requieren de

objetos como velocidad constante, proporcionalidad directa, radián, seno y coseno, que

envuelven una mayor dificultad. Por otro lado, consideramos también el grado de dificultad

para establecer la expresión analítica de la función involucrada, aún con apoyo de la

construcción dinámica que simula el fenómeno correspondiente.

En lo referente al segundo aspecto, tres de las actividades tienen el potencial de contribuir a

la emergencia de nuevos objetos matemáticos, además de los promovidos con el resto de

las actividades. La actividad 1 “la caja sin tapa” comprende una gráfica que permite ver que

la recta tangente globalmente puede cortar a la curva en otro punto diferente al de

tangencia, lo cual favorece la evolución del significado global de recta tangente (como la

que solamente puede tocar a la gráfica en un punto) al significado local que requiere el

cálculo. La actividad 9 “el triángulo isósceles” implica una gráfica que no es diferenciable

en el punto correspondiente al valor extremo, pues tiene una esquina en éste, lo que permite

considerar que el valor extremo no siempre corresponde al punto de la gráfica en el cual la

recta tangente tiene pendiente cero, sino que también puede encontrarse en el punto donde

la recta tangente no exista. Finalmente, en la actividad 10 “la caja de base cuadrada” el

valor que optimiza el volumen de la caja, corresponde a un extremo del intervalo, en cuyo

punto correspondiente de la gráfica, la recta tangente no es horizontal, esto permite

observar que los valores extremos también pueden alcanzarse en los extremos del intervalo,

en caso de que éste sea cerrado.

De las diez actividades didácticas de nuestra propuesta, las actividades 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8

tienen una estructura muy parecida. Las actividades 1, 9 y 10 presentan algunas variantes a

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la estructura del resto de las actividades, debido a que estas tres contribuyen a la

emergencia de objetos matemáticos que el resto de las actividades no promueven.

4.1.1 ESTRUCTURA DE LAS ACTIVIDADES 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y 8.

A continuación describiremos brevemente la estructura común a las actividades 2 a 8 y

ejemplificaremos con la correspondiente a “la viga más resistente” cómo promovemos la

emergencia de los objetos matemáticos pretendidos y el papel que juegan los ambientes

dinámicos. Posteriormente presentaremos algo similar para las actividades 1, 9 y 10.

La estructura común a las actividades 2 a 8 consta de los siguientes momentos:

1. Manipulación de la construcción dinámica que simula al fenómeno implicado en el

problema para facilitar la identificación de las magnitudes que varían y relaciones

entre éstas.

2. Establecimiento de la representación analítica y el dominio de la función que

modela al fenómeno y construcción de sus representaciones tabular y gráfica en las

hojas de trabajo.

3. Activación de las representaciones anteriores en el ambiente dinámico.

4. Aproximación numérica (con ayuda de la hoja de cálculo) de las coordenadas del

punto correspondiente al valor extremo y ubicación de éste en la gráfica.

5. Uso la herramienta zoom en torno al punto encontrado en la hoja de cálculo, para

observar cómo, en una vecindad de tal punto, la gráfica se convierte en una recta

horizontal que coincide con la recta tangente en tal punto, y así favorecer la

caracterización de éste último y la construcción de un significado local de la recta

tangente.

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6. Caracterización de la monotonía de la función de dos maneras: primero

relacionando los valores de la tabla con la forma de la gráfica, y luego, relacionando

la pendiente de la recta tangente con la forma de la gráfica.

7. Finalmente se pregunta al estudiante cómo solucionaría gráficamente el problema,

con el objetivo de que éste concluya que se requiere encontrar la abscisa del punto

en el cual la recta tangente a la gráfica es cero.

Descripción de la actividad “la viga más resistente”

Como ya se mencionó al inicio de este capítulo, para la implementación de las actividades

didácticas consideramos que lo más favorable sería trabajar en un centro de cómputo donde

se disponga de al menos una computadora por cada dos o tres estudiantes. De no ser esto

posible, por lo menos debe contarse con una computadora y un proyector.

Los problemas de optimización que seleccionamos para nuestra propuesta didáctica,

involucran un contexto familiar para los estudiantes o cercano a la ingeniería, lo que

consideramos es una característica muy favorable para promover que éstos se interesen en

su resolución, participen en su planteamiento, opinen, propongan ideas y sean ellos quienes

las validen, etc.

En este sentido, consideramos que antes de entregarle al estudiante las hojas de trabajo con

el enunciado del problema, es importante que el profesor promueva un diálogo con los

estudiantes sobre el contexto del problema y e indague con preguntas si éstos tienen los

conocimientos necesarios para abordar la actividad.

Por ejemplo, en la actividad correspondiente al problema “la viga más resistente”, se puede

comenzar el diálogo con los estudiantes, preguntándoles qué uso se le da a la madera en la

construcción; buscando que éstos mencionen que se utiliza, entre otras cosas, para hacer

vigas. Se les puede preguntar después qué características serían deseables en una viga de

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madera, y guiarlos a que sugieran que ésta debe ser resistente. Luego, hacerlos reflexionar

sobre la diferencia entre la resistencia a la compresión y la resistencia a la flexión (pues la

resistencia a la que se refiere el problema es a la compresión, ya que no se considera la

longitud de la viga). Posteriormente se les puede pedir a los estudiantes que imaginen que

trabajan en un aserradero, preguntarles cómo harían una viga a partir del tronco de un árbol,

y pasar a algunos estudiantes al pizarrón a que hagan un dibujo al respecto, guiándolos a

que construyan un diagrama como el siguiente (Figura 6):

Figura 6. Sección transversal del tronco y la viga.

Después se puede preguntar a los estudiantes cómo creen que se pueda determinar la

resistencia a la compresión de esa viga y de qué depende tal resistencia. En esta parte el

profesor puede proponer al estudiante que el radio del tronco sea 30 cm y mostrar la

simulación de la viga presente en el ambiente dinámico correspondiente a esta actividad,

donde al mover el punto P cambia el ancho de la viga, de esta manera los estudiantes

pueden observar las diferentes vigas que se pueden hacer de ese tronco. Enseguida se les

puede preguntar a los estudiantes cuál de esas vigas creen que sea más resistente; de esta

forma se favorece que los estudiantes intuyan que la resistencia depende del ancho y el alto

de la viga y se percaten de que hay un problema presente: encontrar la viga más resistente.

En este momento el profesor puede comentarles a los estudiantes que la resistencia de una

viga de madera de sección transversal rectangular, es directamente proporcional al producto

de su ancho y el cuadrado de su altura. Es importante cerciorarse de que los estudiantes

tengan un significado personal de la proporcionalidad directa, que les permita asignarle un

significado a la expresión anterior y escribirla en lenguaje analítico. Después de esto, se le

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pueden entregar a los estudiantes las hojas de trabajo, en las cuales está escrito el enunciado

del problema y una serie de puntos con preguntas e indicaciones a los estudiantes, y

pedirles que formen equipos para contestar los primeros tres puntos, los cuales se explican

a continuación.

Los puntos 1, 2 y 3 están dirigidos a la exploración del fenómeno, mediante la

manipulación de la construcción dinámica que lo simula; y a favorecer la emergencia de los

objetos matemáticos variable, dominio, función y la expresión analítica de la función. Se

debe tener en cuenta que en esta parte los estudiantes pueden presentar dificultades para

construir la expresión analítica de la función.

LA VIGA MÁS RESISTENTE: La resistencia de una viga rectangular es directamente

proporcional al producto del ancho y el cuadrado de la altura de su sección transversal.

Determine las dimensiones de la viga más resistente que se pueda obtener de un tronco

circular de 30 cm de radio.

Tabla 7. Actividad “la viga más resistente”. Punto 1.

1. Abre el archivo “Viga.ggb”. Mueve el punto “P” y observa lo que pasa. ¿Puedes

calcular el alto de la viga, para un valor específico del ancho? ¿Cómo?

Al abrir el archivo de GeoGebra, en la pantalla de la computadora aparece una imagen o

diagrama (Figura 7) que representa al tronco y la viga. Al mover el punto “P” se modifican

en tiempo real las dimensiones de la viga. También aparecen una serie de casillas, que al

ser activadas muestran alguno de los siguientes elementos: la imagen de la viga (o

simulación dinámica del fenómeno), los puntos correspondientes a los datos numéricos de

la hoja de cálculo, la gráfica y expresión analítica de la función, y la recta tangente. A lo

largo de la hoja de trabajo se le va indicando al estudiante cuándo puede activar estas

casillas.

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Figura 7. Estado inicial del ambiente dinámico para la actividad “la viga más resistente”.

En el primer punto (Tabla 7) se pide al estudiante que manipule la construcción dinámica

en GeoGebra con el objetivo de que observe que el ancho x de la viga puede tener

diferentes valores y que su valor afecta la resistencia de la viga (visualmente cambia la

forma de la viga y por lo tanto la longitud de su alto), esto busca promover la emergencia

de la idea de una dependencia entre el ancho, el alto y la resistencia de la viga y la

observación de que el ancho x es variable.

Al pedirle al estudiante que exprese cómo calcularía la resistencia de la viga para un valor

específico de x, se espera que éste observe que en el diagrama se forma un triángulo

rectángulo y que puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el alto, y por ende la

resistencia de la viga. Así, se espera dar la pauta para la construcción del modelo analítico

del problema y favorecer la emergencia del objeto función.


2. Escribe una expresión algebraica para calcular el alto y la resistencia de la viga en

dependencia de x. Podemos llamarle “y” al alto de la viga y R(x) a la resistencia.

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En el segundo punto (Tabla 8) se espera favorecer la emergencia de lenguaje: una expresión

analítica que muestre la relación entre las magnitudes involucradas; es decir, la expresión

analítica de la función que modela el problema, y seguir contribuyendo a la emergencia del

objeto función.

Dado que consideramos que la manera natural en que un estudiante puede intentar resolver

el problema, es probar con valores particulares de x, calcular la resistencia correspondiente

y comparar los resultados para elegir el mejor, decidimos pedirle al estudiante en este punto

la construcción de la expresión analítica de la función, la cual se utilizará en el punto 4 en

la elaboración de una tabla de valores (Tabla 11) que organice la búsqueda del valor que

optimiza la resistencia, y los resultados obtenidos.

A pesar de que en esta actividad (y en el resto de las actividades didácticas), la expresión

analítica de la función sólo se utiliza durante la obtención de valores para la Tabla 11, se

pide su construcción teniendo en cuenta que es imprescindible para la formación de los

estudiantes ser capaces de determinar la expresión analítica de la función que modele un

problema.


3. ¿Cuál es el valor más pequeño y el valor más grande que puede tomar x en el

problema?

En el punto tres (Tabla 9) el objetivo es hacer reflexionar al estudiante que el modelo

matemático para la situación sólo tiene sentido para ciertos valores de x (pues no se puede

considerar una viga de ancho negativo). Con este punto queremos abonar a la emergencia

del dominio de la función y también a la emergencia de la función.

Antes de continuar con la siguiente parte de la actividad, es importante que se verifique que

los estudiantes hayan construido la expresión analítica de la función y que se realice una

discusión grupal sobre los resultados obtenidos para llegar a un consenso sobre éstos,

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promoviendo que los mismos estudiantes argumenten sus acciones y las de sus

compañeros.

Los puntos 4, 5, 6 y 7 se enfocan en la obtención de algunos valores de la función para

valores fijos de x; la construcción de la gráfica de la función; el desarrollo de un

procedimiento para aproximar las coordenadas del punto crítico consiste en la elección de

intervalos cada vez más pequeños en torno a tal punto, primero manualmente en una tabla

de la hoja de trabajo (Tabla 11) y posteriormente con ayuda de la hoja de cálculo; y

finalmente la ubicación sobre la gráfica del punto cuyas coordenadas se encontraron con la

hoja de cálculo.


4. Calcula la resistencia de la viga cuando su ancho x es igual a 0, 10, 20, 30, 40, 50 y

60 usando la expresión analítica. Puedes usar la Tabla 11 y la cuadrícula siguiente

(Figura 8) para colocar tus resultados.

Tabla 11. Tabla de valores de la hoja de trabajo.

Figura 8. Ejes coordenados de la hoja de trabajo.

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x y2=(alto)2Resistencia R(x)

de la viga

0

10

20


El objetivo del punto 4 (Tabla 10) es que el estudiante analice la relación numérica entre las

magnitudes, observe que los valores de la resistencia cambian, cómo cambian (aumentan y

luego disminuyen) y empiece a relacionar este comportamiento numérico con la posición

en que se van colocando los puntos en los ejes coordenados (primero van “subiendo” y

luego van “bajando”), para que en el punto 6 (Tabla 13) con este supuesto elija el intervalo

donde va a comenzar la búsqueda del valor que optimiza la resistencia.

Es importante que la pregunta 5 (Tabla 12) se aborde grupalmente, para que los equipos de

estudiantes comparen y validen sus resultados antes de activar, en el ambiente dinámico, la

gráfica y expresión analítica de la función, y la hoja de cálculo con los valores de la Tabla

11. De esta manera se favorece que los estudiantes busquen un consenso con base en el

mejor argumento y no dejen la validación de sus resultados solamente al ambiente

dinámico.


5. ¿Para qué valor de x de la Tabla 11 (que llenaste en la pregunta 4) se obtuvo la

mayor resistencia? ¿Será tal valor de x el que nos de la mayor resistencia posible o

habrá otro? Explica tu respuesta.

Nota: Puedes comprobar los resultados presionando, en el archivo “Viga.ggb”, la

pestaña vista y seleccionando la opción vista de hoja de cálculo (observa las

columnas B y C). Presiona también la casilla “Tabla” y la casilla “Mostrar

gráfica”.

Los objetivos del punto 5 son que el estudiante comience a reflexionar si habrá otros

valores de x con los cuales se obtenga una mayor resistencia, que dé argumentos de por qué

el valor encontrado en la Tabla 11 no es la solución al problema, y así promover la

emergencia de una estrategia numérica para buscar el valor de x que maximiza la

resistencia, la cual en principio probablemente será probar con otro valor de x cercano al

encontrado en la Tabla 11, pero con el punto 6 (Tabla 13) se buscará organizar la búsqueda

de tal valor.

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Con respecto a la nota que se hace, en el ambiente dinámico (Figura 9) aparecerá una hoja

de cálculo que se usará como la tabla de la hoja de trabajo del estudiante, también se

mostrarán la gráfica y la expresión analítica de R(x), y los puntos correspondientes a los

datos numéricos de la hoja de cálculo (columnas B y C). Si se quiere obtener los puntos de

un intervalo, en la hoja de cálculo se pueden colocar el límite inferior de éste en la celda

A2, el límite superior en la celda A4 y un incremento para x en la celda A6. Para

ejemplificar esto, cuando el estudiante activa la hoja de cálculo, aparecen en ésta los datos

correspondientes al intervalo [0,60] con un incremento de 10, en la columna B aparecen los

valores de x correspondientes a los puntos dentro del intervalo, en este caso serán x=0, 10,

20, 30, 40, 50 y 60. En la columna C aparecen los valores de la resistencia para cada uno de

tales valores de x.

Figura 9. Hoja de cálculo que muestra los valores de x y R( x) en el intervalo [0, 60] con un incremento de 10

para x. También se muestran sobre la gráfica los puntos obtenidos de las columnas B y C de la hoja de

cálculo.

Los estudiantes pueden contestar las preguntas del punto 6 (Tabla 13) en su equipo, pero

antes de abordar la búsqueda numérica de la solución se debe hacer una discusión grupal

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para que cada equipo exprese su respuesta a las dos preguntas planteadas y la justifique.

Grupalmente se debe acordar una estrategia de búsqueda en la hoja de cálculo, la cual debe

considerar realizar la búsqueda tanto antes como después del valor de x que vaya dando la

mayor resistencia. Los estudiantes, en sus respectivos equipos, pueden llenar la Tabla 14.


6. ¿Entre qué números estará el valor del ancho que nos daría la viga de máxima

resistencia? ¿Cómo le harías para encontrarlo? Aproxima su valor con cuatro

cifras. Sugerencia: en la hoja de cálculo puedes colocar nuevos intervalos de

valores para el ancho y elegir incrementos más pequeños para x. Por ejemplo, si

quieres obtener valores de x y de la resistencia correspondiente, para valores de x

entre 0 y 60, y quieres que el valor de x vaya aumentando 5 cada vez, coloca el 0

en la celda A2, el 60 en la celda A4, y 5 en la celda A6. Puedes usar la Tabla 14.

Tabla 14. Datos de la búsqueda de las coordenadas del punto correspondiente al valor extremo.

x desde x hasta Incremento de x

Valor de x que da la mayor resistencia

Resistencia R(x)

En este punto se espera que los estudiantes realicen en la hoja de cálculo, la búsqueda del

valor de x que maximiza la resistencia, de una manera similar a la siguiente (Figura 10):

eligiendo un intervalo, por ejemplo el [30, 40] y un incremento de 1. En tiempo real se

trazarán en la gráfica los puntos correspondientes a los valores que aparecen en las

columnas B y C de la hoja de cálculo, que corresponden al ancho x y a la resistencia

correspondiente, respectivamente. Al analizar la columna C de la hoja de cálculo se puede

observar que el valor más grande para la resistencia se obtiene en x=35, por lo que se puede

seguir la búsqueda ahora en el intervalo [34, 36], es decir, entre el valor anterior y el valor

posterior, en la hoja de cálculo, a x=35.

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Figura 10. Búsqueda en el intervalo [30, 40]

Para continuar la búsqueda, se puede colocar el nuevo intervalo (Figura 11) que en este

ejemplo es [34, 36], eligiendo un incremento para x , por ejemplo 0.2, para obtener nuevos

valores para x y R(x) en la hoja de cálculo. Enseguida se trazarán automáticamente en la

gráfica los puntos correspondientes a los nuevos valores obtenidos en las columnas B y C.

Figura 11. Búsqueda en el intervalo [34, 36].

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Con el punto 6 buscamos guiar una estrategia de búsqueda de las coordenadas del punto

crítico, eligiendo un intervalo donde se crea que está el punto crítico, obteniendo nuevos

valores y repitiendo este proceso varias veces para aproximar con varios decimales las

coordenadas del punto crítico. Con la Tabla 14, dada en el punto 6, se facilita el control de

la búsqueda y queda registro de que el incremento que se elige es cada vez más cercano a

cero y que los extremos de los intervalos son números que difieren por centésimas o

milésimas al igual que los valores de x y R(x).

Con el software se facilitará la exploración de los diferentes intervalos para aproximar la

solución al problema con varios decimales, además de que en tiempo real se mostrarán en

la gráfica los puntos correspondientes a los valores de la hoja de cálculo, lo que favorecerá

que el estudiante se percate de cómo se refleja gráficamente que tales números se vayan

aproximando a un valor.

Se le pide al estudiante que aproxime el valor de x con al menos cuatro cifras, para

promover, conforme vaya obteniendo más cifras decimales, que se argumente con un

contraejemplo por qué el valor de R(x) correspondiente no es el máximo; también porque

con cuatro cifras decimales es suficiente para que la gráfica se linealice al tratar de hacer

coincidir las coordenadas del punto móvil de la gráfica con los valores encontrados en la

hoja de cálculo, con lo cual se busca promover la emergencia de la propiedad de que (en

este caso) en el punto crítico la recta tangente a la gráfica es horizontal.


7. ¿Qué características tiene en la gráfica el punto correspondiente al valor de x que

da la mayor resistencia, que lo distingue de los otros? Sugerencia: desactiva la

casilla “Imagen”, luego mueve el punto “M”, que se encuentra sobre la gráfica,

con el cursor para que sus coordenadas coincidan con el valor de x que encontraste,

para esto puedes hacer zoom (presionando la tecla SHIFT y girando hacia atrás el

scroll del ratón simultáneamente) varias veces sobre el punto para aproximar mejor

sus coordenadas.

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El punto 7 (Tabla 15) se puede trabajar en equipo. Los objetivos de este punto son: que el

estudiante identifique al punto crítico como el más alto en la curva, y que al realizar

acercamientos sucesivos (o zooms) en el software para hacer coincidir los valores de x y

R(x) que encontró en la hoja de cálculo, con las coordenadas del punto móvil, observe

cómo la gráfica se va convirtiendo en una línea recta horizontal cerca del punto (Figura 12).

Con esto pretendemos que se caracterice al punto crítico como el punto de la gráfica en el

que la recta tangente tiene pendiente cero.

Figura 12. Gráfica de la función tras varios acercamientos (zoom) en torno a los puntos correspondientes a

los valores de la hoja de cálculo, que se aproximan al punto crítico.

El punto 8 (Tabla 16) puede seguir trabajándose en equipo, pero antes de continuar con el

punto nueve deben discutirse grupalmente los resultados de los puntos 7 (Tabla 15) y 8

(Tabla 16). Se debe promover que los estudiantes observen que la gráfica se vuelve una

recta horizontal y que expresen por qué creen que sucedió esto. También debe favorecerse

que los estudiantes concluyan que la recta que se empalma con la gráfica es la recta

tangente de pendiente cero y que argumenten por qué su pendiente es cero.

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8. ¿Qué pasó con la gráfica cuando hiciste zoom para hacer coincidir las coordenadas

del punto “M” con los valores que encontraste en la tabla? Presiona la casilla

“Tangente”, observa qué sucede y luego quita el aumento poco a poco girando

hacia delante el scroll de ratón y presionando la tecla SHIFT al mismo tiempo.

Menciona lo que observas.

En esta parte se espera que el estudiante, al presionar la casilla “Tangente” observe que

aparece una recta que se empalma con la gráfica (Figura 13) y al alejarse observe que tal

recta es la recta tangente a la gráfica en el punto “M” (Figura 14). Con esto queremos

promover la emergencia de la propiedad del punto crítico de que la recta tangente a la

gráfica en él es horizontal.

Figura 13. Gráficas de la recta tangente y la función R(x) “empalmadas” en una vecindad de los puntos

correspondientes a los valores de la hoja de cálculo, tras varios acercamientos (zoom).

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Figura 14. Gráficas de la recta tangente y la función R(x) al alejarse (zoom out).

Los puntos 9, 10, 11, 12 y 13 pueden seguir trabajándose en equipo o de manera individual.

Al finalizar el punto 13 (Tabla 21) se debe hacer una discusión grupal para comparar los

resultados obtenidos y llegar a un consenso sobre éstos.


9. En la Tabla 11 de tu hoja de trabajo, cuando x aumenta de valor (antes de llegar al

valor que da la mayor resistencia) ¿Qué pasa con la resistencia de la viga? ¿Cómo

es la gráfica para estos valores? Dibújala.

El objetivo del punto 9 es que el estudiante determine primero numéricamente que la

función aumenta o crece antes del valor de x que maximiza la resistencia, y luego lo haga

gráficamente apoyándose con lo numérico, de esta manera se promueve la emergencia del

objeto función creciente.


10. Y cuando x aumenta su valor (después del valor que da la mayor resistencia) ¿Qué

pasa con la resistencia de la viga? ¿Cómo es la gráfica para estos valores?

Dibújala.

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El objetivo del punto 10 (Tabla 18) es que el estudiante determine primero numéricamente

que la función disminuye o decrece después del valor de x que maximiza la resistencia, y

luego gráficamente apoyándose con lo numérico. Así contribuiremos a la emergencia del

objeto de función decreciente.


11. Mueve el punto “M” en el archivo de GeoGebra y observa cómo la recta tangente

recorre la gráfica. ¿Qué diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto

más alto y después de éste?

El objetivo del punto 11 es que el estudiante observe que la pendiente de la recta tangente

cambia de positiva (Figura 15) a negativa (Figura 16) en el punto crítico, y así, agregar

elementos para la caracterización de éste.

Figura 15. Recta tangente antes del punto crítico. Figura 16. Recta tangente después del punto crítico.


12. ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde la resistencia

crece? ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto más alto de la

gráfica? ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde la

resistencia decrece?

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El punto 12 (Tabla 20) contribuye a que el estudiante relacione el signo de la pendiente de

la recta tangente a la gráfica con la monotonía de la función.

El último punto de la actividad es el siguiente:


13. ¿Cómo solucionarías gráficamente el problema de encontrar el valor de x que hace

máxima la resistencia de la viga?

Después de haberse contestado en equipo el punto 13 (Tabla 21), se debe realizar una

discusión grupal sobre los resultados obtenidos, buscando que el estudiante caracterice el

punto crítico como aquel en el que la recta tangente es horizontal. Cabe aclarar que

conforme el estudiante aborde actividades correspondientes a problemas de máximos y

problemas de mínimos, será más fácil que observe que estas propiedades son comunes en

los puntos que corresponden al valor extremo de cada problema; y se problematice después,

en torno a la determinación de la pendiente de la recta tangente en un punto dado y en un

punto cualquiera.

4.1.2 ESTRUCTURA DE LA ACTIVIDAD 1.

En esta actividad se pueden implementar los señalamientos metodológicos que se

realizaron en la actividad “la viga más resistente”, tanto los referentes a la forma de trabajo

de los estudiantes (individual, en equipo y discusiones grupales), como lo que respecta a

comenzar un diálogo con los estudiantes sobre el contexto del problema, para promover la

participación e implicación de éstos, antes de entregarles las hojas de trabajo.

LA CAJA SIN TAPA: De un cartón rectangular de 40 X 50 cm se quiere construir una caja

sin tapa; para esto se recortarán cuadrados de igual tamaño en las cuatro esquinas del cartón

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y se doblarán las cejas con el fin de formar los lados. Determine las dimensiones de la caja

de volumen máximo.

Los primeros 13 puntos de esta actividad tienen el mismo propósito que los 12 primeros

puntos de la actividad “la viga más resistente”: identificación de las magnitudes que varían

y relaciones entre éstas; establecimiento de la representación analítica, dominio de la

función que modela al fenómeno y construcción de sus representaciones tabular y gráfica

en las hojas de trabajo; aproximación numérica (con ayuda de la hoja de cálculo) de las

coordenadas del punto correspondiente al valor extremo y la ubicación de éste en la gráfica;

la observación de que en una vecindad de tal punto, la gráfica se convierte en una recta

horizontal que coincide con la recta tangente en tal punto; y caracterización de la

monotonía de la función de dos maneras: primero relacionando los valores de la tabla con

la forma de la gráfica, y luego analizando el signo de la pendiente de la recta tangente

cuando la función es creciente o decreciente.

Consideramos que es necesario hacer una discusión grupal sobre los resultados obtenidos

con respecto a la monotonía de la función, en los puntos de la hoja de trabajo anteriores al

punto 14 (Tabla 22), y abordar este punto y los restantes de manera individual o en equipo:

Tabla 22. Actividad “la caja sin tapa”. Punto 14.

14. ¿Qué pasa con la recta tangente cuando la primera coordenada del punto “M” tiene

un valor cercano a 20?

En el punto 14 se pide al estudiante que coloque la recta tangente en un punto de la gráfica

cuya abscisa esté cercana al valor 20, para que observe que la recta que creía tangente corta

a la curva en un punto distinto al de tangencia (Figura 17). Con el punto 14 (Tabla 22)

buscamos crear un conflicto en el significado personal de recta tangente de los estudiantes

para promover, con los puntos 15 (Tabla 23) y 16 (Tabla 24), que éste evolucione a un

significado local de recta tangente, como la recta que más se parece a la gráfica en una

vecindad del punto de tangencia.

75


Figura 17. La recta tangente cortando a la curva en un punto distinto al de tangencia.

El punto 15 es el siguiente:


15. Coloca la recta en un punto donde consideres que es tangente y haz zoom varias

veces hasta que la gráfica se vuelva una recta. Luego coloca la recta en un punto

donde consideres que no es tangente y haz zoom varias veces como se te indicó

para el punto anterior ¿Observas que tienen algo en común?

En el punto 15 (Tabla 23) se espera que el estudiante, al hacer zoom varias veces observe

que la recta y la gráfica se superponen, tanto cuando el punto de contacto entre éstas es

único, como cuando no lo es; y retome esta propiedad para redefinir a la recta tangente en

el punto 16 (Tabla 24).


16. Escribe una nueva definición de recta tangente, de manera que la recta que toca al

punto “M” pueda considerarse tangente a la gráfica aún cuando el valor de su

primera coordenada se aproxime a 20.

El punto 17 (Tabla 25) tiene como objetivo promover la emergencia de una nueva

situación, consistente en la determinación de las coordenadas del punto de la gráfica en el

cual la recta tangente tiene pendiente cero. Después de que los estudiantes contesten este

76


último punto, es importante discutir grupalmente sobre las propiedades observadas de la

recta tangente y buscar la caracterización del punto crítico.



máximo el volumen de la caja?


En la siguiente actividad, se le puede entregar a los estudiantes la hoja de trabajo desde el

inicio y organizarlos en equipos para que contesten los puntos 1a, 1b, 2, y 3 (Tabla 26).

Después de contestar estos puntos es importante hacer una puesta en común de los

resultados obtenidos. Se debe tener en cuenta que los estudiantes pueden presenta

dificultades para construir la expresión analítica de la función.

Los primeros 3 puntos de la actividad 9 tienen como propósito que el estudiante manipule

construcción dinámica para que observe relaciones entre los elementos de ésta, que faciliten

la construcción de la expresión analítica y el dominio de la función que modela al

fenómeno.

EL TRIANGULO ISÓSCELES: Los vértices de un triángulo isósceles se colocan sobre

lados adyacentes de un cuadrado de lado 4 cm como se muestra en la Figura 18. Realiza lo

que se te solicita a continuación.

Figura 18. Problema “el triángulo isósceles”.

77


Tabla 26. Actividad “el triángulo isósceles”. Puntos 1, 1a, 1b, 2 y 3.

1. Abre el archivo “Triángulo.ggb”. Mueve el punto “P” y observa lo que sucede. Si

x representa la longitud del lado AB del triángulo, determina la expresión analítica,

en dependencia de x, para:

a) El área del triángulo, cuando B se encuentra sobre la base del cuadrado.

b) El área del triángulo, cuando B se encuentra sobre el lado perpendicular a la

base.

2. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar x en la primera expresión? ¿y el mayor?

3. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar x en la segunda expresión? ¿y el mayor?

Al abrir el archivo, aparecerá en la pantalla la siguiente construcción (Figura 19):

Figura 19. Estado inicial del ambiente dinámico.

Los puntos 4, 5, 6, 7 y 8 pueden abordarse en equipo.

Tabla 27. Actividad “el triángulo isósceles”. Punto 4.

4. Usando la expresión analítica para el área del triángulo, a la que llamaremos A(x),

completa la Tabla 28 y luego construye la gráfica correspondiente en los ejes que

se te proporcionan (Figura 20).

78



x A(x)

1

2

3

4

4.5

5

Figura 20. Ejes coordenados de la hoja de trabajo.


5. Activa la casilla “Gráfica” ¿Observas algo diferente en la gráfica, con respecto a

las gráficas de los problemas anteriores?

El punto 5 (Tabla 29) tiene como objetivo que el estudiante observe que la gráfica de la

función tiene una esquina en el punto más alto, en el ambiente dinámico aparecerá la

siguiente gráfica (Figura 21).

Figura 21. Gráfica de la función.

79



6. ¿Cómo identificas en la gráfica al punto correspondiente al área máxima del

triángulo?

El objetivo del punto 6 (Tabla 30) es que el estudiante identifique al punto más alto como el

correspondiente al área máxima.


7. Desactiva la casilla “Cuadrado”, coloca el punto “M” en la cima de la gráfica y haz

zoom varias veces ¿pasa algo diferente a lo que sucedía en los problemas

anteriores?

El objetivo del punto 7 (Tabla 31) es que el estudiante observe que a pesar de hacer zoom

varias veces, la gráfica no se linealiza en el punto más alto, como sucedía en las gráficas de

los problemas anteriores. La gráfica se verá de la siguiente manera (Figura 22):


8. Activa la casilla “Tangente” ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente antes del

punto más ato? ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente después del punto más

alto? ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto más alto?

80


El objetivo del punto 8 (Tabla 32) es que el estudiante observe que la pendiente de la recta

tangente sigue conservando sus propiedades antes y después del punto correspondiente al

valor extremo; sin embargo, en el punto más alto ya no es cero y la recta tangente no existe

en tal punto. En esta parte queremos promover la emergencia del objeto punto crítico. Es

importante que después de que los estudiantes contesten el punto 8, se haga una discusión

grupal, para hacer un consenso sobre los resultados obtenidos y las propiedades observadas.

Se debe buscar que el estudiante concluya que la recta tangente en el punto más alto no

existe, pues para esto se requiere que la curva pueda verse localmente como una recta en

una vecindad del punto de contacto.


En el caso de esta actividad, al igual que en la actividad 9, se le puede entregar a los

estudiantes la hoja de trabajo desde el inicio. Los estudiantes pueden trabajar de manera

individual o en equipo los primeros cuatro puntos. Después de estos puntos es importante

hacer una puesta en común de los resultados obtenidos.

Los primeros cuatro puntos de la actividad 10 tienen como propósito que el estudiante

manipule construcción dinámica y observe relaciones entre el lado de la base de la caja y el

volumen de ésta, que faciliten la construcción de la expresión analítica y el dominio de la

función que modela al fenómeno.

LA CAJA DE BASE CUADRADA: Con una lámina cuadrada de 13 cm de lado se quiere

construir una caja de base cuadrada sin tapa, donde la base esté formada por una esquina de

la lámina, como se muestra en la figura siguiente (Figura 23). Contesta lo siguiente:

81


Figura 23. Problema “la caja de base cuadrada”.

Tabla 33. Actividad “la caja de base cuadrada”. Punto 1.

1. Abre el archivo “Caja de base cuadrada.ggb” y mueve el punto “P”. Si la longitud

del lado de la base de la caja fuera 2 cm ¿Cuál sería su volumen?

Al abrir el archivo, el ambiente dinámico se verá de la siguiente manera (Figura 24):

Figura 24. Estado inicial del ambiente dinámico.

82


Tabla 34. Actividad “la caja de base cuadrada”. Puntos 2, 3 y 4.

2. Si x representa la longitud del lado de la base ¿cómo expresarías la altura de la caja

en dependencia de x? Y ¿cómo expresarías su volumen (al que llamaremos V(x))?

3. ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar x? ¿cuál es el más grande?

4. Usando la expresión algebraica para V(x) completa la Tabla 35 y dibuja una gráfica

en los ejes que se te proporcionan (Figura 25).


x V(x)

Figura 25. Ejes coordenados de las hojas de trabajo.

Después de que los estudiantes contesten el punto 4 (Tabla 34) es importante hacer una

puesta en común de los resultados obtenidos, discutiéndose los aspectos relevantes que

observen los estudiantes tanto en los datos numéricos de la Tabla 35 como en la gráfica de

la función, y que lleguen a un consenso.

Los puntos 5 y 6 pueden trabajarse de manera individual o en equipo.

83


Tabla 34. Actividad “la caja de base cuadrada”. Puntos 5 y 6.

5. ¿Observas algo diferente en la gráfica y la Tabla 35, con respecto a las gráficas de

los problemas anteriores? Desactiva las casillas “Hoja” y “Caja” y activa la casilla

“Gráfica”.

6. ¿Cómo identificas gráficamente al punto correspondiente al valor máximo del

volumen?

Los objetivos de los puntos 5 y 6 (Tabla 34) son que el estudiante observe que en este caso

la función solamente es creciente, y que el volumen máximo corresponde al valor más

grande que puede tomar x. En el ambiente dinámico aparecerá la siguiente gráfica (Figura

26):

Figura 26. Gráfica de la función.

Tabla 35. Actividad “la caja de base cuadrada”. Punto 7.

7. Activa la casilla “Tangente” ¿La recta tangente tiene pendiente igual cero en el

punto más alto?

84


Los objetivos del punto 7 (Tabla 35) son que el estudiante observe que no siempre la recta

tangente va a ser horizontal en los puntos correspondientes al valor extremo, y contribuir a

un método para determinar los valores extremos de una función definida en un intervalo

cerrado: examinar los puntos donde la recta tiene pendiente cero, donde no exista y los

extremos del intervalo.

4.2 ANÁLISIS Y VALORACIÓN A PRIORI DE LA IDONEIDAD

DIDÁCTICA DE LA PROPUESTA

Como ya se mencionó en la parte final del capítulo anterior, al diseñar actividades

didácticas y al planear, implementar o evaluar un proceso de enseñanza y aprendizaje, se

debe considerar, que la idoneidad didáctica (pertinencia o adecuación) de los mismos

dentro de un sistema educativo, depende de diversos factores, los cuales podemos ubicar en

seis dimensiones: epistémica, cognitiva, emocional, mediacional, ecológica e interaccional

(Godino, Batanero y Font, 2008). En este sentido, nuestra propuesta didáctica se planeó

para que su idoneidad fuera alta a priori en cada cada una de las seis dimensiones

anteriores, con base en los componentes y descriptores propuestos por Godino, Bencomo,

Font y Wilhelmi (2007).

A continuación realizaremos una valoración a priori de la idoneidad didáctica de nuestra

propuesta.

4.2.1 IDONEIDAD EPISTÉMICA

Consideramos que la idoneidad epistémica es el grado de representatividad de los

significados institucionales pretendidos, respecto del significado de referencia. Las

componentes de esta idoneidad se refieren a los seis tipos de objetos matemáticos

primarios. Para la primera componente, que corresponde a las situaciones, se proponen dos

indicadores:

85

Capítulo Cuatro La Propuesta Didáctica 4.2 Análisis y valoración a priori de la idoneidad didácticade la propuesta

1. ¿Son las situaciones una muestra representativa y articulada de las incluidas en el

significado de referencia, las cuales permiten la contextualización y ejercitación de

los conocimientos que se pretende construir y su aplicación a situaciones

relacionadas?

En el capítulo anterior señalamos que los problemas de optimización forman parte de las

situaciones presentes en el significado de referencia, y mostramos que los problemas que

seleccionamos para nuestra propuesta, están presentes en los libros de texto sugeridos para

el curso. Estos problemas de optimización implican diferentes modelos matemáticos y

distintos contextos y conceptos (área, volumen, longitud, resistencia, velocidad, tiempo,

etc.), por lo que consideramos que nuestra propuesta contempla una muestra representativa

de situaciones de optimización extra matemáticas.

Las actividades didácticas de nuestra propuesta tienen una estructura común, la cual busca

promover gradualmente al desarrollo de un sistema de prácticas para favorecer la

emergencia de los objetos matemáticos pretendidos, los cuales son básicamente los mismos

en las mayoría de las actividades, de esta manera no sólo se abona en cada actividad a la

emergencia de dichos objetos matemáticos y a la construcción de significados para éstos,

sino también a la ejercitación y al reforzamiento de los mismos.

Dado que la emergencia de los objetos matemáticos en nuestra propuesta, está ligada a

problemas de optimización extramatemáticos, consideramos que estamos desarrollando

prácticas de contextualización de estos objetos, útiles en otros problemas de aplicación de

las matemáticas.

El segundo indicador para la idoneidad epistémica de las situaciones es el siguiente:

2. ¿Se proponen situaciones donde los estudiantes tengan la oportunidad de plantear

problemas, reformularlos y/o de problematizarse (en el sentido de asumir los

problemas como propios)?86


Los problemas de optimización que elegimos para las actividades didácticas tienen un

contexto familiar para los estudiantes, lo cual consideramos favorece que éstos puedan

participar en su planteamiento al realizarse un diálogo con ellos sobre el contexto del

problema, antes de entregarles las hojas de trabajo, como se ejemplificó con la actividad “la

viga más resistente”. En el capítulo siguiente mostraremos cómo durante la puesta en

escena de tres de las actividades didácticas de nuestra propuesta con estudiantes de

ingeniería, se logró que éstos participaran en el planteamiento de los problemas de

optimización correspondientes.

Las situaciones propuestas en las actividades didácticas que diseñamos, son potenciales

situaciones problémicas, pues los contextos de los problemas de optimización son

familiares para los estudiantes o propios de la ingeniería, por lo que los éstos pueden opinar

sobre aspectos de tal contexto e interesarse en la resolución del problema; hacerlo suyo.

Para la segunda componente, correspondiente al lenguaje, se proponen tres indicadores de

la idoneidad epistémica.

1. ¿Se hace uso de diferentes formas de lenguaje (verbal, gráfico, analítico, etc.) y se

establecen relaciones entre las mismas?

Podemos decir que las actividades didácticas diseñadas para los problemas de optimización

promueven el uso y la emergencia de diversas formas de lenguaje, pues los problemas son

planteados en el lenguaje verbal en las hojas de trabajo, y en lenguaje geométrico-dinámico

en GeoGebra, posteriormente se guía a los estudiantes a que establezcan analíticamente la

función que modela la situación y obtengan con ésta valores numéricos para construir a la

función en lenguaje tabular y luego en lenguaje gráfico, después en el archivo de GeoGebra

se presenta a la función en tales formas de lenguaje, pero dinámicamente vinculadas. En las

actividades didácticas se promueven conversiones para la función, entre el lenguaje

geométrico-dinámico y el analítico, entre el numérico y el gráfico; además se promueve el

87


establecimiento de relaciones tanto gráfica como numéricamente entre los valores

extremos, la monotonía de la función, y la pendiente de la recta tangente.

El segundo indicador de la idoneidad epistémica correspondiente al lenguaje es éste:

2. ¿El nivel del lenguaje es adecuado a quienes se dirige?

Las actividades didácticas que hemos diseñado, están pensadas para estudiantes

principiantes en el estudio del cálculo diferencial, por lo que decidimos comenzar la

construcción de significados para los objetos matemáticos del cálculo partiendo de formas

de lenguaje, que en el caso de los problemas de optimización elegidos, son intuitivas: el

lenguaje geométrico-dinámico, el numérico y la lengua natural; y a partir de las cuales

pretendemos promover la construcción de significados en el lenguaje gráfico. Aunque el

lenguaje formal de la matemática (uso de cuantificadores, literales, notación conjuntista,

notación de límite, etc.) es muy eficiente para expresar sin ambigüedad proposiciones sobre

los objetos matemáticos, realizar demostraciones, procedimientos, etc., consideramos que

comenzar la construcción de significados para los objetos matemáticos (con estudiantes de

ingeniería principiantes en el estudio del cálculo) partiendo de esta forma de lenguaje puede

resultar más complicado para los estudiantes que iniciar con otras diferentes e ir

gradualmente formalizando.

Cabe mencionar que el lenguaje verbal que se utiliza en las primeras actividades es

lenguaje coloquial, pero en caso de que los estudiantes manejen términos matemáticos, se

pueden modificar las preguntas guía de las actividades para incorporarlos, por ejemplo, en

lugar de preguntarles cuál es el valor más grande y más pequeño que puede tomar x en el

problema, se les puede pedir directamente que determinen el intervalo donde la magnitud

puede tomar valores, o más aún, determinar el dominio de la función.

El último indicador de la idoneidad para el lenguaje es el siguiente:

88


3. ¿Se proponen situaciones de expresión e interpretación?

Consideramos que las actividades didácticas de nuestra propuesta promueven en el

estudiante prácticas de expresión y de interpretación, pues las preguntas guía que vienen en

las hojas de trabajo le piden a éste que describa lo que observa numéricamente y

gráficamente, que justifique sus respuestas, que proponga una estrategia para encontrar el

punto crítico, que mencione características gráficas del punto crítico, que interprete

gráficamente el aumento y disminución de los valores de la magnitud a optimizar, entre

otras cosas.

Por otra parte, durante el diálogo grupal sobre el contexto del problema, que proponemos

se haga antes de entregar las hojas de trabajo a los estudiantes; y durante las discusiones

grupales sobre los aspectos principales de los puntos de las hojas de trabajo, los estudiantes

pueden participar, expresando sus ideas y resultados obtenidos, al interpretar el fenómeno y

sus representaciones en el ambiente dinámico.

Comenzamos ahora con los conceptos (o definiciones), proposiciones y procedimientos,

para los cuales se sugieren tres indicadores. Los primeros dos son lo siguientes:

1. ¿Las definiciones, procedimientos y proposiciones están clara y correctamente

enunciados, y adaptados al nivel educativo al que se dirigen?

2. ¿Se presentan las definiciones, procedimientos y proposiciones fundamentales del

tema según el significado de referencia, están clara y correctamente enunciados, y el

nivel educativo al que se dirigen?

En las hojas de trabajo correspondientes a las actividades didácticas no se enuncian

conceptos, proposiciones ni procedimientos, por lo cual no consideraremos esta parte del

primer indicador en nuestro análisis.

89


Pretendemos que al realizar las actividades didácticas de nuestra propuesta, se promueva en

los estudiantes la construcción gradual (claro que a través de momentos de trabajo

individual y en equipo, además de negociación grupal) de significados (y en particular una

definición) para los objetos función, función creciente, función decreciente, recta tangente,

entre otros; de una manera intuitiva y apoyada en las bondades visuales y dinámicas que

brinda GeoGebra, lo cual consideramos adecuado para estudiantes de ingeniería que inician

el estudio del cálculo diferencial. Estos objetos matemáticos son objetos fundamentales del

cálculo diferencial, y como ya mostramos en el capítulo anterior, las definiciones de éstos,

las propiedades y los procedimientos, cuya emergencia buscamos promover, forman parte

del significado institucional de referencia.

Con nuestra propuesta abonamos a la emergencia de proposiciones sobre los valores

máximos y mínimos relativos, los puntos críticos y la monotonía de la función; las cuales

son proposiciones importantes en relación a la derivada.

En cuanto a los procedimientos, las actividades retoman algunos que probablemente el

estudiante ya realizó en la escuela preparatoria, como darle valores a una expresión

analítica para construir una tabla de valores y luego colocar éstos en ejes coordenados.

Después estos procedimientos se vuelven dinámicos al apoyarse en las capacidades de

cómputo y graficación de GeoGebra. También emergen procedimientos nuevos como la

exploración de intervalos cada vez más finos para aproximar el valor de la magnitud que

optimiza lo requerido, el análisis gráfico del signo de las pendientes de las rectas tangentes

y de la monotonía de la gráfica, procedimientos propios del cálculo diferencial.

El último indicador para las definiciones, proposiciones y procedimientos es:

3. ¿Se proponen situaciones para la generación y negociación de las definiciones,

proposiciones y procedimientos?

Las preguntas guía de las hojas de trabajo correspondientes a las actividades didácticas,

como ya se mostró en el significado institucional pretendido, están encaminadas a 90


promover la generación o emergencia de definiciones, proposiciones y procedimientos a

través de la realización de sistemas de prácticas para resolver los problemas de

optimización. La negociación de éstos objetos matemáticos se dará principalmente durante

las discusiones grupales sobre los resultados obtenidos en las hojas de trabajo y durante el

trabajo en equipo.

Para los argumentos se sugieren dos indicadores:

1. ¿Son adecuadas las explicaciones, comprobaciones, demostraciones al nivel

educativo a que se dirigen?

2. ¿Se promueven momentos de validación?

Sobre estos dos indicadores, podemos decir que en las hojas de trabajo se les pide a los

estudiantes, que expliquen sus respuestas a las preguntas, esperando que utilicen en sus

argumentos el contexto del problema, los valores de la tabla y la gráfica (tanto los

plasmados en las hojas de trabajo, como los presentes en el ambiente dinámico).

Por otro lado, en la primera parte de este capítulo cuando explicamos la estructura de las

actividades didácticas tomando como ejemplo la actividad “la viga más resistente”,

señalamos momentos específicos para hacer una puesta en común de los resultados

obtenidos, promoviendo que los estudiantes validaran sus respuestas y llegaran a un

consenso.

4.2.2 IDONEIDAD COGNITIVA.

La idoneidad cognitiva expresa el grado en que los significados pretendidos (o

implementados) estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como el grado

de parecido o correspondencia de los significados personales logrados a los significados

pretendidos (o implementados).91


La primera componente de la idoneidad cognitiva corresponde a los conocimientos previos

(situaciones, lenguaje, procedimientos, proposiciones, argumentos y conceptos), y consta

de dos indicadores, de los cuales se presenta a continuación el primero:

1. ¿Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del tema

(bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su estudio)?

Como ya se mostró, al analizar el significado institucional pretendido, los problemas de

optimización que proponemos requieren de conceptos matemáticos elementales, como área

(de rectángulos, círculos, trapecios regulares), volumen (de un paralelepípedo, un cilindro

recto), distancia, etc., los cuales se estudian desde la escuela primaria, y otros como la

pendiente de una recta, proporcionalidad directa, razones trigonométricas, velocidad

constante, entre otros, que se estudian en el bachillerato al igual que elementos lingüísticos

como expresiones analíticas, literales para variables, procedimientos como construir

expresiones analíticas, construir una tabla de valores a partir de una expresión analítica,

graficar puntos en un plano a partir de datos numéricos correlacionados en una tabla, usar el

teorema de Pitágoras, hacer despejes y sustituciones; propiedades de la recta asociadas al

signo de su pendiente, entre otras.

Revisando los programas de estudios para matemáticas en el nivel medio superior4, de la

Dirección General del Bachillerato (DGB) y la Secretaría de Educación Pública (SEP),

podemos observar que dentro del significado pretendido por dicha institución, se

contemplan los objetos matemáticos previos necesarios para que el estudiante aborde las

4 Programas de estudios para matemáticas de la DGB y SEP para matemáticas en el bachillerato:Matemáticas I, obtenido de: http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_1ersem/MATEMATICAS-I.pdfMatemáticas II, obtenido de:http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_2osem/MATEMATICAS-II.pdfMatemáticas III, obtenido de : http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_3ersem/MATEMATICAS-III.pdfMatemáticas IV, obtenido de: http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_4osem/Matematicas-IV.pdf 92

http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_4osem/Matematicas-IV.pdf

http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_3ersem/MATEMATICAS-III.pdf

http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_3ersem/MATEMATICAS-III.pdf

http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_2osem/MATEMATICAS-II.pdf

http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_2osem/MATEMATICAS-II.pdf

http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_1ersem/MATEMATICAS-I.pdf


actividades didácticas de nuestra propuesta. En este sentido, mostraremos a continuación,

algunos de los objetos matemáticos pretendidos en los primeros cuatro semestres de la

escuela preparatoria.

En el primer semestre se comienza con el uso del lenguaje algebraico (variables y

expresiones algebraicas), las variaciones directas e inversas, incluyendo la variación

proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables; se estudian también

los sistemas de ecuaciones 1 x 1, 2 x 2, y 3 x 3 en estrecha conexión con la función lineal y

se estudia el método de solución de sistemas de ecuaciones por sustitución. Se menciona

que el estudiante debe poder determinar el comportamiento de la gráfica de la función

lineal de acuerdo al signo de la pendiente. En este semestre, se espera que el estudiante

aprenda a representar en los ejes vertical y horizontal las variables dependientes e

independientes de la función lineal o cuadrática asociada a una ecuación, y a calcular una a

partir de la otra para tabular valores y hacer gráficas, también se espera que resuelva

problemas que se plantean con funciones cuadráticas utilizando despejes y/o factorización.

En el segundo semestre se avanza en aplicaciones teóricas y prácticas de la congruencia y

semejanza de triángulos, se estudia el teorema de Pitágoras y se aplica para la resolución de

problemas y para determinar la medida del lado de un triángulo rectángulo conocidos los

otros dos. Por otro lado, se estudian las relaciones entre lados y ángulos en triángulos de

todo tipo y el comportamiento de las tres funciones trigonométricas básicas, se establece

que el estudiante debe construir las identidades pitagóricas a partir de definición de las

funciones en el plano cartesiano o en círculo trigonométrico, y obtener los valores de

funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida, utilizando calculadora, o

tablas y el ángulo de referencia; también debe trazar las gráficas del seno, coseno y

tangente por medio de puntos calculados en tablas. Por otro lado, se estudia en este

semestre a la recta tangente y la recta secante, pero sólo en el caso de la circunferencia.

Sobre la pendiente de una recta, en el tercer semestre, se estudia su relación con el ángulo

de inclinación y se conceptualiza a partir de la razón entre conceptos tales como elevación

y avance, y se instruye a los estudiantes para obtener el ángulo de inclinación de una recta 93


con respecto al eje x a partir de su pendiente y viceversa, y para determinar el signo de la

pendiente de una recta a partir de la medida de su ángulo de inclinación.

En el cuarto semestre, se distinguen y describen diferentes tipos de funciones matemáticas,

así como operaciones y transformaciones algebraicas y geométricas entre ellas; se

profundiza el análisis de las características de los modelos lineales y cuadráticos; se

estudian las funciones periódicas, se emplea la calculadora para tabular valores de

funciones racionales, entre muchas otras cosas.

2. ¿Los significados pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable)

en sus diversas componentes?

Dado el carácter intuitivo y el contexto familiar con que se propone iniciar la construcción

de los objetos matemáticos del cálculo en las actividades didácticas de nuestra propuesta,

además de las ventajas visuales y dinámicas que proporciona GeoGebra, consideramos que

los significados pretendidos tienen una dificultad apropiada para los estudiantes de

ingeniería principiantes en el estudio del cálculo diferencial.

La segunda componente de la idoneidad cognitiva se refiere a las adaptaciones

curriculares a las diferencias individuales y consta de un indicador:

1. ¿Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo?

Las actividades didácticas de nuestra propuesta tienen una estructura similar, lo cual

favorece que los estudiantes refuercen los significados que vayan construyendo durante el

desarrollo de las primeras actividades. Por otro lado, contribuyen la ampliación del

significado de recta tangente y punto crítico.

La tercer componente de esta idoneidad corresponde al aprendizaje y tiene un indicador:

94


1. ¿Los diversos modos de evaluación muestran la apropiación de los conocimientos/

competencias pretendidos o implementados?

Este indicador se refiere a un proceso de instrucción implementado, así que no lo

consideraremos para el análisis a priori de nuestra propuesta.

4.2.3 IDONEIDAD MEDIACIONAL

Se considera a la idoneidad mediacional como el grado de disponibilidad y adecuación de

los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza

y de aprendizaje.

El primer componente corresponde a los recursos materiales (manipulativos, calculadoras,

ordenadores), el cual contiene dos indicadores. Presentamos enseguida el primero:

1. ¿Se propone el uso de materiales manipulativos e informáticos que permiten

introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones,

adaptadas al significado pretendido?

En nuestra propuesta utilizamos como recursos materiales principales las hojas de trabajo

para los estudiantes y una herramienta computacional: GeoGebra, el cual es un software de

geometría dinámica que permite, además de hacer construcciones geométricas en el plano;

graficar funciones, trabajar con expresiones analíticas, definir parámetros y vincular todo

dinámicamente.

GeoGebra es un software libre, de código abierto, disponible en la página

http://www.geogebra.org/cms/ de la cual se puede descargar un archivo instalador, o bien,

elegir la opción GeoGebra WebStart, en la cual se instala y se actualiza GeoGebra

directamente desde Internet. Este software también se puede usar sin la necesidad de

instalarlo en la computadora, ya sea desde Internet trabajando en un applet completamente 95


funcional, o creando páginas interactivas HTML (también llamadas hojas de trabajo

dinámicas), las cuales se pueden usar con tan solo tener un navegador de Internet (como

Explorer o Mozilla Firefox). Como GeoGebra está basado en Java puede correr en

cualquier sistema operativo y está disponible en varios idiomas, entre ellos el español.

En lo referente a situaciones, GeoGebra permite construir detallados modelos dinámicos de

éstas, por ejemplo, permite modelar la hoja de cartón y la caja del problema de la caja sin

tapa, modificar en tiempo real la longitud de los cuadrados de las esquinas que se cortarán y

observar cómo cambia de tamaño la caja; también permite modelar dinámicamente el

tronco y la viga que se obtendrá de él, y variar las dimensiones de ésta; simular la posición

de la estación de bombeo en la margen del río; los carros que se mueven por la carretera

acercándose (o alejándose) del crucero; la lámina que se dobla para hacer un canal; entre

muchas otras cosas más.

En cuanto al lenguaje, GeoGebra permite presentar al problema en lenguaje geométrico-

dinámico (simulación del fenómeno) y verbal; a la función que modela el problema en

lenguaje gráfico, analítico y numérico, y vincular estas formas de lenguaje dinámicamente,

lo cual favorece el establecimiento de relaciones entre éstas.

GeoGebra permite que el estudiante realice rápidamente procedimientos como tabulación

de valores eligiendo un intervalo de valores y un incremento para la variable independiente,

graficación de los puntos de la tabla, graficación de funciones, rectas tangentes, realizar

acercamientos sucesivos (zoom) en torno a un punto, etc.

La animación que simula al fenómeno pretende facilitar al estudiante la argumentación de

porqué las magnitudes sólo pueden tomar ciertos valores; la tabla y la gráfica ayudarán a

justificar por qué el valor que encuentran al principio en la tabla no es el valor extremo.

En lo que respecta a las proposiciones, el manejo de GeoGebra favorece la observación de

que la recta tangente en el punto máximo o mínimo es horizontal, pues los estudiantes

después de aproximar la solución al problema con varios decimales, tratarán de ubicar el 96


punto máximo (o mínimo) en la gráfica observando las coordenadas de éste y haciendo

acercamientos sucesivos, con lo cual observarán que la gráfica se convierte en una recta

horizontal en torno al punto, lo que promueve la construcción de una definición local de

recta tangente. También favorece la elaboración de conjeturas sobre la relación entre la

función y la recta tangente (monotonía, máximos y mínimos) al ver dinámicamente cómo la

recta tangente recorre la gráfica de la función.

El segundo indicador se presenta a continuación:

2. ¿Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando

situaciones, modelos concretos y visualizaciones?

Nuestra propuesta, como se ha mencionado antes, promueve la construcción o emergencia

de distintos objetos matemáticos primarios del cálculo (en particular definiciones y

propiedades) a partir de la modelización y resolución de problemas de optimización de

contexto extra matemático y con apoyo de los recursos visuales y dinámicos de GeoGebra,

por lo que coincide ampliamente con este indicador.

La siguiente componente de la idoneidad mediacional corresponde al número de alumnos,

horario y condiciones del aula y consta de dos indicadores:

1. ¿Son el aula, el número de alumnos y su distribución adecuados para llevar a

cabo la enseñanza pretendida?

Dado que no estamos analizando un proceso de instrucción implementado, no contamos

con un aula ni un grupo de estudiantes para analizar las condiciones que plantea el

indicador, pero podemos decir que nuestra propuesta está diseñada para desarrollarse en un

centro de cómputo donde lo ideal sería que hubiera una computadora para cada estudiante,

o por lo menos computadoras suficientes para equipos pequeños de estudiantes, pero de no

ser posible, consideramos que nuestra propuesta puede modificarse sin muchas

97


complicaciones para desarrollarse en un aula que cuente con al menos una computadora y

un proyector, la cual podrían manipular por turnos algunos estudiantes o el profesor.

El segundo indicador es el siguiente:

2. ¿El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten todas las

sesiones a última hora)?

Esta propuesta no está dirigida a algún grupo de estudiantes predeterminado con un horario

asignado, por lo que no consideraremos este indicador en el análisis.

La última componente de la idoneidad mediacional se refiere al tiempo (de enseñanza

colectiva /tutorías; tiempo de aprendizaje) y comprende tres indicadores.

1. ¿Son adecuados los significados pretendidos /implementados al tiempo

disponible (presencial y no presencial)?

Consideramos que el tiempo requerido para el desarrollo de las actividades didácticas será

cada vez menor dadas las similitudes en la estructura de las mismas.

El resto de los indicadores de esta componente son los siguientes:

2. ¿Se invierte el tiempo adecuado en los contenidos más importantes o nucleares

del tema?

3. ¿Se invierte el tiempo pertinente en los contenidos que presentan más

dificultad?

Sobre el segundo y tercer indicador, en el capítulo tres mostramos que en el programa de

estudios para el curso “Cálculo Diferencial e Integral I” de la División de Ingeniería de la

Universidad de Sonora, se establece como uno de los objetivos del curso, que el estudiante 98


pueda usar la derivada para describir el comportamiento de las funciones: dónde son

crecientes o decrecientes, dónde tienen máximos y mínimos etc.; lo cual se aborda en

nuestra propuesta.

Otro de los objetivos de los cursos de ingeniería de la Universidad de Sonora, es que los

estudiantes puedan modelar y resolver problemas no matemáticos, en particular de

optimización; en lo cual diversos reportes de investigación muestran que los estudiantes

presentan grandes dificultades.

En este sentido, dado que las situaciones presentes en nuestra propuesta son de contexto

extra matemático, más precisamente, de optimización, y dado que se busca el desarrollo de

sistemas de prácticas para su resolución, a partir de las cuales se promueva la construcción

de significados para los objetos matemáticos del cálculo en tales contextos, donde la

función, por ejemplo, en sus distintas formas del lenguaje sea una herramienta para la

modelación de fenómenos de la vida real; y la recta tangente una herramienta que permite

describir de cierta manera los cambios de las magnitudes relacionadas al fenómeno;

consideramos que el tiempo invertido en nuestras actividades didácticas, se dedica a partes

esenciales del curso.

4.2.4 IDONEIDAD EMOCIONAL

La Idoneidad emocional se refiere al grado en que el proceso de instrucción permite la

implicación (interés, motivación, apropiación de los problemas) de los alumnos en éste.

Para la idoneidad emocional, se proponen tres componentes: intereses y necesidades,

actitudes, y emociones; cada una de las cuales cuenta con dos indicadores.

Para la componente correspondiente a los intereses y necesidades, se proponen los

siguientes dos indicadores:

99


1. ¿Se cuenta con una selección de tareas de interés para los alumnos?

2. ¿Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la

vida cotidiana y profesional?

Los problemas de optimización que seleccionamos, son problemas extra matemáticos de un

contexto familiar para los estudiantes y algunos de los cuales están relacionados con la

ingeniería, por lo que se facilita que éstos participen en su planteamiento con la guía del

profesor y se interesen en su resolución, pues pueden abordarlos con sus conocimientos de

preparatoria, de esta forma consideramos a priori que los estudiantes se percatarán de la

utilidad de las matemáticas que conocen, para resolver problemas afines a su área

profesional y de la vida cotidiana, pero al mismo tiempo experimentarán la construcción de

nuevas matemáticas.

Para la componente que considera a las actitudes se tienen dos indicadores:

1. ¿Se promueve la implicación en las actividades, la perseverancia,

responsabilidad, etc.?

2. ¿Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el argumento se

valora en sí mismo y no por quién lo dice?

Sobre el primer indicador podemos decir que promovemos la implicación de los estudiantes

en las actividades al elegir situaciones de su interés y sobre las cuales puede opinar por

serle familiares, aunque consideramos que este indicador se dirige más a un proceso de

enseñanza y aprendizaje implementado.

Para la tercera componente, referente a las emociones, tenemos dos indicadores:

1. ¿Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas?100


2. ¿Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas?

Al igual que en la componente anterior, consideramos que estos indicadores corresponden

más a un proceso de instrucción implementado que a un diseño como el nuestro, pero

podemos comentar lo siguiente: el hecho de que las situaciones de nuestra propuesta sean

de un contexto familiar, de interés para los estudiantes y simuladas en GeoGebra

dinámicamente, favorece en éstos la participación e implicación en la resolución del

problema, además el que se utilicen en las primeras preguntas guía de las hojas de trabajo,

procedimientos elementales como la tabulación de valores (que organiza el método por

tanteo que pudieran realizar los estudiantes) y la graficación de éstos en los ejes

coordenados, puede dar cierta confianza al estudiante pues no se hace intervenir (al menos

no explícitamente para los estudiantes) objetos matemáticos abstractos sobre los que no se

tiene un significado útil construido.

4.2.5 IDONEIDAD ECOLÓGICA

La Idoneidad ecológica se refiere al grado en que el proceso de estudio se ajusta al

currículo de la institución, contempla las necesidades e implicaciones del medio social en

que se ubica la misma, y considera las conexiones intra e interdisciplinares.

La primera componente de esta idoneidad corresponde a la adaptación de la propuesta al

currículo y consta de un indicador:

1. ¿Los significados, su implementación y evaluación se corresponden con las

directrices curriculares?

Dentro de los objetivos del programa de estudios para el curso “Cálculo Diferencial e

Integral I” (que tomamos como significado institucional de referencia) se indica que los

estudiantes modelen y resuelvan problemas usando los objetos del cálculo diferencial, en 101


particular que apliquen los criterios de optimización que involucran derivadas en la

resolución de problemas físicos, geométricos y relacionados con los principales temas de la

ingeniería; y que usen la derivada para describir el comportamiento de las funciones: dónde

son crecientes o decrecientes, cóncavas hacia abajo o hacia arriba, dónde tienen máximos y

mínimos absolutos y relativos, entre otros.

Consideramos que nuestra propuesta encaja en gran parte con lo establecido en tales

objetivos, sin embargo, en las actividades didácticas que diseñamos, no buscamos que los

estudiantes “apliquen” la derivada y los criterios de optimización para resolver los

problemas, sino que al contrario, a través de intentar resolverlos construyan objetos

matemáticos del cálculo, como la función, la monotonía de la función, los puntos críticos y

relaciones entre éstos y la pendiente de la recta tangente, entre otros.

La segunda componente habla sobre la apertura hacia la innovación didáctica, y su primer

indicador es el siguiente:

1. ¿La propuesta es innovadora y basada en la investigación y la práctica reflexiva?

Aunque ya se han hecho propuestas didácticas diferentes a lo tradicional para la enseñanza

del cálculo, que parten de la resolución de problemas de optimización, como la de Ávila,

Díaz y Vargas (1988) o la de Bravo, Grijalva e Ibarra (2002) de las cuales retomamos

algunas ideas, o la de Andreu y Riestra (2005); consideramos que nuestra propuesta

didáctica es innovadora en el sentido siguiente: incorpora el uso de un software novedoso

con grandes potencialidades tanto gráficas como numéricas y analíticas, y se fundamenta

con una teoría novedosa cada vez más reconocida y utilizada, el EOS.

Para la elaboración de este trabajo también retomamos resultados de trabajos de

investigación y de propuesta didáctica que reportan dificultades presentadas por los

estudiantes para aprender cálculo diferencial; que hablan sobre el estado de la enseñanza

del Cálculo en el nivel medio superior y superior y los aspectos importantes que tal forma

de enseñanza descuida, como el uso y la articulación de distintas formas de lenguaje; y que 102


plantean formas de enseñanza del cálculo alternativas a la tradicional y/o que se apoyan en

herramientas tecnológicas y computacionales, sobre los cuales hablamos en los capítulos

dos y tres.

2. ¿Se integran nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.)?

Nuestra propuesta se apoya en las capacidades dinámicas, geométricas, numéricas y

algebraicas del software GeoGebra, sobre el cual ya hemos hablado en este documento.

La tercera componente de la idoneidad ecológica se refiere a la adaptación socio-

profesional y cultural, para la cual se propone el siguiente indicador:

1. ¿Los significados pretendidos contribuyen a la formación socio-profesional de los

estudiantes?

Con nuestra propuesta buscamos favorecer que los estudiantes construyan significados para

objetos matemáticos del cálculo en un contexto extra matemático y de optimización, y de

esta manera contribuir a la preparación del estudiante en la utilización de tales objetos para

modelar y resolver problemas de ingeniería.

Cuando se explicó la estructura de las actividades didácticas, incluimos señalamientos

metodológicos para el profesor, que incluían realizar un diálogo con los estudiantes para

familiarizarlos con el contexto del problema y guiarlos al planteamiento del mismo.

Consideramos que promover la participación de los estudiantes en el planteamiento de los

problemas de optimización puede favorecer la incorporación a su sistema de prácticas, de

algunas prácticas importantes para su formación profesional como identificar qué

información que se requiere conocer, cuál se puede establecer fácilmente, cuál no es

relevante en ese momento, construir un diagrama que modele el fenómeno (aunque luego se

utilice el la simulación dinámica de GeoGebra), etc.

103


La cuarta componente corresponde a las conexiones intra e interdisciplinares, para la cual

se tiene el siguiente indicador:

1. ¿Los significados se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares?

En este caso hemos buscado identificar cuáles conocimientos matemáticos tienen relación

con otros que se revisarán en cursos posteriores y cuáles se relacionan con cursos y

situaciones propias de la ingeniería.

El desarrollo de nuestras actividades busca promover, en sentido general, el desarrollo de

habilidades y competencias que serán de utilidad a los estudiantes en dichos cursos, no sólo

en cuanto a la relación directa de las nociones matemáticas involucradas, sino también en

otros aspectos fundamentales para la resolución de problemas de la ingeniería.

Por ejemplo, al partir de situaciones problemas de interés, promovemos el desarrollo de

habilidades para la modelación matemática de dichas situaciones, promovemos el trabajo

en equipo para desarrollar habilidades de comunicación de ideas matemáticas y la

contrastación de conjeturas, etc.

4.2.6 Idoneidad interaccional

La Idoneidad interaccional corresponde al grado en que los modos de interacción en un

proceso de enseñanza y aprendizaje permiten identificar y resolver conflictos de significado

y favorecen la autonomía en el aprendizaje.

Cuando explicamos la estructura de las actividades didácticas de nuestra propuesta, en la

primera parte de este capítulo, señalamos la necesitad de momentos de trabajo individual,

en equipo y grupal, y momentos de discusiones grupales. También mencionamos que es

importante que los estudiantes argumenten para convencer a sus compañeros de que sus

respuestas o ideas son válidas y llegar a consensos sobre los objetos matemáticos puestos 104


en juego. Consideramos que con esto se favorece por un lado, que los estudiantes asuman

una parte de la responsabilidad de su aprendizaje y la validación de sus argumentos; y por

otro lado, la manifestación de conflictos en los significados personales de los estudiantes.

4.3 HOJAS DE TRABAJO

A continuación presentaremos las hojas de trabajo de las actividades didácticas de nuestra

propuesta. Las cuales incluyen las correcciones sugeridas tras la puesta en escena de

algunas de ellas, sobre la que se hablará en el capítulo siguiente. Los ambientes dinámicos

virtuales de cada una de las actividades, están disponibles en la dirección: http://goo.gl/Pfoh

105

Capítulo Cuatro La Propuesta Didáctica 4.3 Hojas de trabajo

ACTIVIDAD 1

LA CAJA SIN TAPA: De un cartón rectangular de 40 X 50 cm se quiere construir

una caja sin tapa; para esto se recortarán cuadrados de igual tamaño en las cuatro

esquinas del cartón y se doblarán las cejas con el fin de formar los lados. Determine

las dimensiones de la caja de volumen máximo.

1. En el archivo “Caja.ggb” está simulado el cartón rectangular, mueve el punto “P” y

observa lo que sucede, luego activa la casilla “Mostrar caja” y observa qué pasa

ahora ¿Crees que cambie el volumen de la caja si cambia la medida del lado de los

cuadrados que se recortan? ¿Cómo lo demostrarías?

2. ¿Cuál será el volumen de la caja si le recortamos cuadrados cuyos lados midan 15

cm?

3. Escribe una expresión algebraica (en dependencia de la longitud x del lado del

cuadrado recortado) para el largo, el ancho y el volumen de la caja. Para referirnos

al volumen, escribiremos V(x).

Largo______________ Ancho________________ V(x)____________________

4. ¿Cuál es el valor más pequeño y cuál es el valor más grande que puede tomar x en el

problema?

5. ¿Qué volumen tendrá la caja si la longitud x de los cuadrados que se recorten es 0,

3, 6, 9, 12, 18 y 20? Colocar tus resultados en la tabla y cuadrícula siguientes.

106


Longitud x

del lado de

los cuadrados

V(x)= Volumen de

la caja

0

3

6

9

12

15

18

20

2. ¿Para qué valor de x de la tabla que llenaste en la pregunta anterior, se obtuvo el

mayor volumen? ¿Será tal valor de x la solución al problema? Explica tu respuesta.

Nota: Puedes comprobar tus resultados de la tabla presionando la pestaña vista y seleccionando la opción vista de hoja de cálculo (observa las columnas B y C). Presiona también la casilla “Mostrar puntos de la tabla” y la casilla “Mostrar gráfica”. Vuelve a mover el punto “P” y observa qué pasa en la gráfica.

3. ¿Crees que haya otro valor de x con el cual se obtenga una caja de volumen mayor?

Si es así ¿Entre qué valores de la tabla estará? Aproxima con 4 cifras decimales el

valor de x que hace máximo el volumen de la caja.

Sugerencia: en la celda A2 de la hoja de cálculo puedes poner el número desde el cual quieres que x tome valores, en la celda A4 puedes poner el número hasta el cual quieres que tome valores x, y en la celda A6 puedes colocar la cantidad que quieras que vaya aumentando x cada vez. Por ejemplo, si quieres obtener valores de x y del volumen correspondiente, para valores de x entre 0 y 20, y quieres que el valor de x vaya aumentando 1 cada vez, coloca el 0 en la celda A2, el 20 en la celda A4, y 1 en la celda A6. Puedes llevar un registro de tus resultados en la tabla siguiente:

107


x desde x hasta Incremento de x

Valor de x que

da el mayor

volumen

Volumen de la caja

V(x)

4. ¿Qué características tiene en la gráfica el punto correspondiente al valor de x que da

el máximo volumen? Sugerencia: Desactiva las casillas “Mostrar caja” y “Mostrar

cartón rectangular”, luego mueve el punto “M”, que se encuentra sobre la gráfica,




sus coordenadas.

5. ¿Qué pasó con la gráfica cuando hiciste zoom para acomodar el punto “M” en la

cima? Presiona la casilla “Tangente” y observa qué sucede, luego quita el aumento

poco a poco (girando hacia delante el scroll de ratón y presionando la tecla SHIFT

al mismo tiempo). Menciona lo que observas.

6. En la tabla de la pregunta 5, cuando x aumenta de valor (antes de llegar al que da el

mayor volumen) ¿Qué pasa con el volumen de la caja? ¿Cómo es la gráfica en estos

valores? Dibújala.

108


7. Y cuando x aumenta su valor (después del valor en la tabla que da el mayor

volumen) ¿Qué pasa con el volumen de la caja? ¿Cómo es la gráfica en estos

valores? Dibújala.

8. Mueve el punto “M” y observa cómo la recta tangente recorre la gráfica. ¿Qué

diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto más alto y después de

éste?

9. ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde el volumen V(x) está

creciendo? ¿Cómo es en el punto más alto de la gráfica? ¿Cómo es la pendiente de

la recta tangente en los puntos donde el volumen V(x) está decreciendo?

10. ¿Qué pasa con la recta tangente cerca de x=20?

11. Coloca la recta en un punto donde consideres que es tangente y haz zoom varias

veces hasta que la gráfica se vuelva una recta. Luego coloca la recta en un punto

donde consideres que no es tangente y haz zoom varias veces como se te indicó para

el punto anterior ¿Observas que tienen algo en común?

12. Escribe una nueva definición de recta tangente, de manera que la recta que toca al

punto “M” pueda considerarse tangente a la gráfica aún cuando x se aproxima a 20.


máximo el volumen de la caja?

109


ACTIVIDAD 2

LA ESTACIÓN DE BOMBEO: Hacia el mismo lado o margen de un río recto hay dos pueblos, los habitantes desean construir una estación de bombeo que les abastezca agua. La estación de bombeo debe estar en la margen del río y los tubos deben ir directo a los pueblos. Las distancias se muestran en la figura siguiente. ¿Dónde debe estar la estación de bombeo para minimizar la longitud total del tubo?

1. Abre el archivo “Estación de bombeo.ggb”. Mueve el punto “B” que representa a la

bomba y observa lo que sucede. Si colocas la bomba a 1 km del punto A (es decir

x=1 km) ¿Qué cantidad de tubo se requiere para conectar la estación de bombeo

solamente con el pueblo 1? ¿Y con el pueblo 2?

2. Escribe una expresión algebraica, para calcular la cantidad de tubo requerida para

conectar el pueblo 1 con la estación de bombeo, otra para la cantidad de tubo

requerida para conectar el pueblo 2 con la estación de bombeo y otra para la

cantidad total de tubo, todas en dependencia de la distancia x. Le llamaremos T(x) a

la cantidad total de tubo.

110


3. Cuál es el valor más pequeño y el valor más grande que puede tomar x en el

problema?

4. ¿Qué cantidad de tubo se necesitaría en total para conectar los dos pueblos con la

estación de bombeo si x= 0, 4, 6, 8 y 10 km? Puedes colocar tus resultados en la

tabla y cuadrícula siguientes.

x Cantidad total de tubo T(x)

0

1

4

6

8

10

5. ¿Para qué valor de x de la tabla (que llenaste en la pregunta 4) se obtuvo la menor

cantidad de tubería? ¿Será tal valor de x el que nos de la menor cantidad posible de

tubo o habrá otro? Explica tu respuesta.

Nota: Puedes comprobar los resultados presionando, en el archivo “Estación de bombeo.ggb”, la pestaña “vista” y seleccionando la opción “vista de hoja de cálculo” (observa las columnas B y C). Presiona también la casilla “Tabla” y la casilla “Gráfica”.

111


6. ¿Entre qué números de la tabla estará el valor de x que nos dé la menor cantidad

posible de tubo? ¿Cómo le harías para encontrarlo? Aproxima su valor con 4 cifras

decimales. Sugerencia: en la hoja de Cálculo puedes colocar nuevos intervalos de

valores para x y elegir incrementos más pequeños. Por ejemplo, si quieres obtener

valores de x y de la cantidad de tubo correspondiente, para valores de x entre 2 y 7,

y quieres que el valor de x vaya aumentando 0.5 cada vez, coloca el 2 en la celda

A2, el 7 en la celda A4, y 0.5 en la celda A6. Puedes usar la tabla siguiente para

tener control de la información que encuentres:

x desde x hasta Incremento de

x

Valor de x que da la

menor cantidad de

tubo

Cantidad de

tubo T(x)

7. ¿Qué característica tiene en la gráfica el punto correspondiente al valor de x que da

la menor cantidad de tubo, que lo distingue de los otros? Sugerencia: Desactiva la

casilla “Diagrama”, luego mueve el punto “M”, que se encuentra sobre la gráfica,




sus coordenadas.



“Tangente” y observa qué sucede, luego quita el aumento poco a poco girando hacia

delante el scroll de ratón y presionando la tecla SHIFT al mismo tiempo. Menciona

lo que observas.

112


9. En tu tabla de la pregunta 3, cuando x aumenta de valor (antes de llegar al valor que

da la menor cantidad de tubo) ¿Qué pasa con la cantidad T(x) de tubo? ¿Cómo es la

gráfica en estos valores? Dibújala.

10. Y cuando x aumenta su valor (después del valor que da la menor cantidad de tubo)

¿Qué pasa con la cantidad T(x) de tubo? ¿Cómo es la gráfica para estos valores?

Dibújala.


diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto más bajo y después de

éste?

12. ¿Cómo son las pendientes de las rectas tangentes donde la cantidad de tubo decrece?

¿Cómo es la recta tangente en el punto más bajo de la gráfica? ¿Cómo son las

pendientes de las rectas tangentes donde la cantidad de tubo crece?


mínima la cantidad de tubo?

113


ACTIVIDAD 3

EL CORRAL: Se desea rodear un terreno rectangular con 60 m de cerca. El terreno se encuentra a la orilla de un río, por lo que un lado no necesita cerca. Determine las dimensiones del terreno de mayor área que pueda rodearse con esa cantidad de cerca.

1. En el archivo “Corral.ggb” mueve el punto “P” y observa cómo cambia la forma del

terreno cercado. Si construimos la cerca de tal manera que el lado paralelo al río

mida 10 m ¿Cuánto metros medirán los otros lados? Y ¿cuál será el área del terreno

cercado?

2. Escribe una expresión algebraica para calcular la longitud del lado “y” en

dependencia de x, y una expresión algebraica para el área A(x) del terreno cercado

también en dependencia de x.

Lado y=_____________________ A(x)=_____________________

3. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar x? ¿Y el mayor?

4. ¿Crees que se pueda cercar un terreno mayor con la misma cantidad de alambre? Si

es así, ¿Cómo encontrarías otra medida para el lado x que permitiera cercar un

terreno mayor? Puedes usar la tabla y cuadrícula siguientes.

114


Longitud x del

lado paralelo al

río

A(x)= Área del

terreno cercado

5. ¿Crees que haya otro valor para x que dé un área aún mayor? ¿Cómo lo

encontrarías? Puedes usar la hoja de cálculo de GeoGebra, activar la casilla “Puntos

de la tabla” y la casilla “Gráfica” para comprobar tus resultados.

6. ¿Qué características tiene en la gráfica el punto correspondiente al área máxima?

7. En la tabla de la pregunta 4 ¿Qué pasa con los valores del área A(x) cuando x

aumenta de valor (antes de llegar al valor que da la mayor área para el terreno)?

¿Cómo es la gráfica de para estos valores? Dibújala.

115


8. Y cuando x aumenta su valor (después del valor que da la mayor área para el

terreno) ¿Qué pasa numéricamente con los valores del área A(x)? ¿Cómo es la

gráfica para estos valores? Dibújala.

9. Activa la casilla “Tangente”. Mueve el punto “M” para que la recta tangente recorra

la gráfica ¿Qué diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto más alto y

después de éste?

10. ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde el área aumenta?

¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto más alto de la gráfica?

¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde el área disminuye?

11. ¿Cómo solucionarías gráficamente el problema de encontrar las dimensiones del

terreno de área máxima que se pueda cercar con 60 m de alambre?

116


ACTIVIDAD 4

LA PÁGINA DE IMPRESIÓN: Una página impresa contiene una región de

impresión de 24 plg², un margen de 2 plg en las partes superior e inferior y margen de

1.5 plg en los lados. Determine las dimensiones de la página más pequeña que satisface

estos requerimientos.

1. Abre el archivo “Página de impresión.ggb”. Puedes mover el punto “P” para

modificar las dimensiones de la hoja. Calcula:

Para x=2

Altura de la región de impresión

_________________________

Base de la hoja_____________

Altura de la hoja____________

Para x =5

Altura de la región de impresión

__________________________

Base de la hoja______________

Altura de la hoja_____________

2. ¿Cuál es la expresión algebraica (en dependencia de x) de la altura de la región de

impresión?

3. Escribe ahora una expresión analítica (en dependencia de x) para:

La altura de la hoja_________________ la base de la hoja ___________________

4. ¿Cuál es la expresión analítica (en dependencia de x) del área de la hoja? Llámale

A(x) a tal área.

117


5. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar x en este problema? Y ¿cuál es el mayor?

¿por qué?

6. Usando la expresión analítica para A(x), llena la tabla siguiente con diferentes

valores de x y construye una gráfica.

x A(x)

7. Usando la hoja de cálculo aproxima con cuatro decimales el valor de x que

minimiza el área A(x). Activa las casillas “Puntos de la tabla” y “Gráfica” para

comprobar tus resultados.

118


8. ¿Qué característica tiene en la gráfica el punto correspondiente al valor de x que

minimiza el área? Sugerencia: Desactiva la casilla “Hoja”, luego mueve el punto

“M”, que se encuentra sobre la gráfica, para que sus coordenadas coincidan con el

valor de x que encontraste, para esto puedes hacer zoom (presionando la tecla

SHIFT y girando hacia atrás el scroll del ratón simultáneamente) varias veces sobre

el punto para aproximar mejor sus coordenadas.

9. ¿Qué pasó con la gráfica cuando hiciste zoom sobre el punto “M”? Presiona la

casilla “Tangente” y observa qué sucede, luego quita el aumento poco a poco

girando hacia delante el scroll de ratón y presionando la tecla SHIFT al mismo

tiempo. Menciona lo que observas.

10. En tu tabla de la pregunta 7, cuando x aumenta de valor (antes de llegar al valor que

da la menor área) ¿Qué pasa con los valores de A(x)? ¿Cómo es la gráfica en estos

valores? Dibújala.

119


11. Y cuando x aumenta su valor (después del valor que da la menor área) ¿Qué pasa

con los valores de A(x)? ¿Cómo es la gráfica para estos valores? Dibújala.


diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto más bajo y después de

éste?

13. ¿Cómo son las pendientes de las rectas tangentes donde el área decrece? ¿Cómo es

la recta tangente en el punto más bajo de la gráfica? ¿Cómo son las pendientes de

las rectas tangentes donde el área crece?

14. ¿Cómo solucionarías gráficamente el problema?

120


ACTIVIDAD 5

LA VIGA MÁS RESISTENTE: La resistencia de una viga rectangular es

directamente proporcional al producto del ancho y el cuadrado de la altura de su

sección transversal. Determine las dimensiones de la viga más resistente que se pueda

obtener de un tronco circular de 30 cm de radio.

1. Abre el archivo “Viga.ggb”. Mueve el punto “P” y observa lo que pasa. ¿Puedes

calcular el alto de la viga, para un valor específico del ancho? ¿Cómo?

2. Escribe una expresión analítica para calcular el alto y la resistencia de la viga en

dependencia de x. Podemos llamarle “y” al alto de la viga y R(x) a la resistencia.

3. ¿Cuál es el valor más pequeño y el valor más grande que puede tomar x en el

problema?

4. Calcula la resistencia de la viga cuando su ancho x es igual a 0, 10, 20, 30, 40, 50 y

60 usando la expresión analítica. Puedes usar la tabla y la cuadrícula siguientes para

colocar tus resultados.

121


x=ancho y²=(alto)2 Resistencia R(x)

de la viga 0

10

20

5. ¿Para qué valor de x de la tabla (que llenaste en la pregunta 4) se obtuvo la mayor

resistencia? ¿Será tal valor de x el que nos de la mayor resistencia posible o habrá

otro? Explica tu respuesta.

Nota: Puedes comprobar los resultados presionando, en el archivo “Viga.ggb”, la pestaña

vista y seleccionando la opción vista de hoja de cálculo (observa las columnas B y C).

Presiona también la casilla “Tabla” y la casilla “Mostrar gráfica”.

6. ¿Entre qué números estará el valor del ancho que nos daría la viga de máxima

resistencia? ¿Cómo le harías para encontrarlo? Aproxima su valor con 4 cifras.

Sugerencia: en la hoja de Cálculo puedes colocar nuevos intervalos de valores para

el ancho y elegir incrementos más pequeños para x. Por ejemplo, si quieres obtener

valores de x y de la resistencia correspondiente, para valores de x entre 0 y 60, y

quieres que el valor de x vaya aumentando 5 cada vez, coloca el 0 en la celda A2, el

60 en la celda A4, y 5 en la celda A6. Puedes usar la tabla siguiente:

122


x desde x hasta Incremento

de x

Valor de x que da la

mayor resistencia

Resistencia R(x)

7. ¿Qué características tiene en la gráfica el punto correspondiente al valor de x que da

la mayor resistencia, que lo distingue de los otros? Sugerencia: desactiva la casilla

“Imagen”, luego mueve el punto “M”, que se encuentra sobre la gráfica, con el

cursor para que sus coordenadas coincidan con el valor de x que encontraste, para

esto puedes hacer zoom (presionando la tecla SHIFT y girando hacia atrás el scroll

del ratón simultáneamente) varias veces sobre el punto para aproximar mejor sus

coordenadas.



“Tangente” y observa qué sucede, luego quita el aumento poco a poco girando hacia

delante el scroll de ratón y presionando la tecla SHIFT al mismo tiempo. Menciona

lo que observas.

9. En la tabla de tu hoja de trabajo, cuando x aumenta de valor (antes de llegar al valor

que da la mayor resistencia) ¿Qué pasa con la resistencia de la viga? ¿Cómo es la


123


10. Y cuando x aumenta su valor (después del valor que da la mayor resistencia) ¿Qué

pasa con la resistencia de la viga? ¿Cómo es la gráfica para estos valores? Dibújala.


diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto más alto y después de

éste?

12. ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde la resistencia crece?

¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto más alto de la gráfica?

¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde la resistencia

decrece?


máxima la resistencia de la viga?

124


ACTIVIDAD 6

LA LATA DE ACEITE: Se va a diseñar una lata de aceite con forma de cilindro circular recto, de modo que ésta contenga 60 cm³ de aceite. Determine las dimensiones de la lata que requiera la mínima cantidad de material para su manufactura.

1. ¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro circular recto? Escribe su expresión

algebraica.

2. En nuestro problema el valor del volumen de la lata de aceite debe ser 60 cm3.

Sustituyendo este valor en la expresión algebraica del volumen V. ¿Cuál es la

nueva expresión?

3. Si despejas la altura h de la expresión anterior ¿de quién depende ahora el valor de

h?

4. Abre el archivo “Lata.ggb”. Puedes cambiar el radio de la lata moviendo el punto

“P” ¿Cómo habrá de cortarse la lámina para construir la lata? Sugerencia: puedes

activar la casilla “Mostrar lámina” en el archivo “Lata.ggb”.

5. ¿Cómo calcularías la cantidad de material empleado para construir la lata?

6. Escribe una expresión algebraica (en dependencia solamente del radio r) para: la

base, la altura y el área del rectángulo que sirve de cara lateral del cilindro.

125


7. Escribe también una expresión algebraica para el área de la tapa y del fondo de la

lata en dependencia del radio r.

8. Con base en los resultados de los incisos 5, 6 y 7, escribe una expresión algebraica

para calcular el área de la superficie del cilindro en dependencia solamente de r. Le

llamaremos M(r).

9. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar el radio r en nuestro problema? ¿Y el

mayor?

10. Si mueves el punto “P” para modificar el radio de la lata ¿qué pasa con la altura de

la lata a medida que tomamos un radio cada vez más pequeño? ¿y qué pasa con la

altura a medida que el radio es cada vez más grande?

11. Para que observes qué pasa con la cantidad de material, calcúlalo cuando r=1, 2, 3,

4 y 5. Construye también una gráfica en los ejes coordenados.

126


r M(r)

1

2

3

4

5

12. Puedes comprobar tus resultados presionando las casillas “Puntos de la tabla” y

“Gráfica”. Utilizando la hoja de cálculo, aproxima con varias cifras decimales el

valor de r que minimiza el material.

13. ¿Qué características tiene en la gráfica el punto correspondiente a la cantidad

mínima de material? Sugerencia: Puedes colocar el punto “M” obre la gráfica, de

modo que sus coordenadas coincidan con los valores encontrados en la hoja de

cálculo, haciendo zoom varias veces sobre el punto.

14. Activar la casilla “Tangente” ¿Qué observas?

127


15. En la tabla de la pregunta 11, cuando r aumenta de valor (antes de llegar al valor

que da la menor cantidad de material) ¿Qué pasa con el material? ¿Cómo es la


16. Y cuando x aumenta su valor (después del valor que da la mayor cantidad de

material) ¿Qué pasa con el material? ¿Cómo es la gráfica para estos valores?

Dibújala.

17. Mueve el punto “M” y observa cómo la recta tangente recorre la gráfica ¿Cómo es

la pendiente de la recta tangente en los puntos donde la cantidad de material

disminuye? ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto más alto de la

gráfica? ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde la cantidad

de material aumenta?

18. ¿Cómo solucionarías gráficamente el problema de encontrar el valor de r que hace

mínima la cantidad de material?

128


ACTIVIDAD 7

LOS AUTOS: Un automóvil viaja a una velocidad de 60 km/hr, y se aproxima a un

crucero. Cuando el automóvil está a 10 km del crucero, otro automóvil que viaja a

una velocidad de 90 km/hr en una carretera perpendicular a la otra, pasa por el

crucero. Determine en qué tiempo, después de que el segundo auto pasa el crucero, los

dos autos están más cercanos.

1. ¿Cuántos km recorre el auto #1 (al que llamaremos A1) por minuto? ¿Y el auto #2

(al que llamaremos A2)?

2. Abre el archivo “Autos.ggb” Mueve el punto “P” ubicado en el carro deportivo y

observa lo que sucede. ¿A qué distancia se encuentra A1 del crucero un minuto

después (t=1) de que el A2 pasó el crucero? ¿Y a qué distancia está A2 del crucero

en ese momento? ¿Cuál es la distancia entre los autos en ese momento?

3. ¿A qué distancia se encuentra A1 del crucero dos minutos después (t=2) de que el

A2 pasó el crucero? ¿Y a qué distancia está A2 del crucero en ese momento? ¿Cuál

es la distancia entre los autos en ese momento?

4. Escribe una expresión algebraica, en dependencia del tiempo (medido en minutos),

para calcular la distancia a la que se encuentra A1 del crucero (puedes llamarle

d1(t)), otra expresión algebraica para la distancia recorrida por A2 desde el crucero

(puedes llamarle d2(t)), y otra para la distancia entre los dos autos (puedes llamarle

D(t)).

129


5. ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar t? ¿y el más grande? Explica tu

respuesta.

6. Usando la expresión que construiste en la pregunta 4, calcula a qué distancia se

encuentran los autos cuando t=4, 6 y 8 segundos. Coloca tus resultados en la tabla

siguiente y construye una gráfica.

t minutos D(t) Distancia entre

A1 y A2

1

2

4

6

8

Nota: Puedes activar las casillas “Mostrar tabla” y “Mostrar gráfica” para comprobar tus resultados.

7. ¿Encontraste un momento en que los carros estuvieran más cerca? ¿Crees que haya

otro valor de t en que puedan estar todavía más cerca? Usando la hoja de cálculo

aproxima con al menos 4 decimales el valor de t que hace mínima la distancia entre

los carros.

En la tabla siguiente registra tus resultados.

130


t desde t hasta Incremento de t Valor de t que da

la menor distancia

Distancia D(t)

encontrada

8. ¿Qué características tiene en la gráfica el punto correspondiente al valor de t que da

la menor distancia? Sugerencia: Desactiva la casilla “Imagen” para que puedas

mover el punto “M” en la gráfica y hacer que coincidan sus coordenadas con los

valores que aproximaste en la tabla anterior, para esto puedes hacer zoom varias

veces sobre el punto para aproximarte mejor a sus coordenadas.


parte más baja? Presiona la casilla “Tangente” y ahora quita poco a poco el aumento

con la herramienta de alejamiento. Menciona lo que observas.

10. En la tabla, cuando t aumenta de valor (antes de llegar al valor que da la menor

distancia entre los autos) ¿Qué pasa con distancia D(t)? ¿Cómo es la gráfica para

estos valores?

131


11. Y cuando t aumenta su valor (después del valor en la tabla de GeoGebra que da la

menor distancia entre los autos) ¿Qué pasa con la distancia D(t)? ¿Cómo es la

gráfica para estos valores?

12. Mueve el punto “M” sobre la gráfica y observa cómo la recta tangente la recorre.

¿Qué diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto más bajo y después

de éste?

13. ¿Cómo son las pendientes de las rectas tangentes en los puntos donde la distancia

disminuye? ¿Cómo es la recta tangente en el punto más bajo de la gráfica? ¿Cómo

son las pendientes de las rectas tangentes en los puntos donde la distancia aumenta?

14. ¿Cómo solucionarías gráficamente el problema de encontrar el momento t en el que

la distancia entre los autos sea mínima?

132


ACTIVIDAD 8

EL CANAL: Se va a construir un canal para agua mediante una banda larga de metal de 45 cm de ancho, doblando con un ángulo α una tira de 15 cm a cada lado. ¿Cuál ángulo maximiza la capacidad del canal?

En el archivo “Canal.ggb” puedes mover el punto “P” para hacer más abierto o más cerrado el canal.

1. ¿De qué dimensiones depende el área de la sección transversal del canal? Escribe

una expresión algebraica para su área.

2. Escribe una expresión algebraica, en dependencia del ángulo α, para la altura del

trapecio. Sugerencia: la altura coincide con el cateto opuesto al ángulo α.

3. Escribe una expresión algebraica, en dependencia del ángulo α, para el cateto

adyacente a tal ángulo.

4. Escribe una expresión algebraica para el área del trapecio, en dependencia

solamente del ángulo α.

133


5. ¿Cuál es el valor más pequeño, y cuál el más grande, que puede tomar α?

6. ¿Cuál es el área de la sección transversal del canal cuando α tiene los valores de la

tabla siguiente? Construye una gráfica en los ejes coordenados, tomando a α en

radianes.

α A( α)

0.27 radianes (30°)




Activa las casillas “Puntos de la tabla” y “Gráfica” y la hoja de cálculo para comprobar tus respuestas.

7. Usando la hoja de cálculo aproxima con 3 decimales el valor de α que hace mínima

la distancia entre los carros. En la tabla siguiente registra tus resultados.

134


α desde α hasta Incremento de

α

Valor de α que

da el área mayor

Área A(α)

encontrada

8. ¿Qué características tiene en la gráfica el punto correspondiente al valor de α que da

la mayor área? Sugerencia: Desactiva la casilla “Diagrama” para que puedas mover

el punto “M” en la gráfica y hacer que coincidan sus coordenadas con los valores

que aproximaste en la tabla anterior, para esto puedes hacer zoom varias veces sobre

el punto para aproximarte mejor a sus coordenadas.


parte más baja? Presiona la casilla “Tangente” y ahora quita poco a poco el aumento

con la herramienta de alejamiento. Menciona lo que observas.

10. En la tabla, cuando α aumenta de valor (antes de llegar al valor que da el área

mayor) ¿Qué pasa con el área A(α)? ¿Cómo es la gráfica para estos valores?

135


11. Y cuando α aumenta su valor (después del valor que da el área mayor) ¿Qué pasa

con los valores del área A(α)? ¿Cómo es la gráfica para estos valores?

12. Mueve el punto “M” sobre la gráfica y observa cómo la recta tangente la recorre

¿Qué diferencia encuentras en la recta tangente antes del punto más bajo y después

de éste?

13. ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde el área aumenta?

¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto más bajo de la gráfica?

¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en los puntos donde el área disminuye?

14. ¿Cómo solucionarías gráficamente el problema de encontrar el valor del ángulo α en

el que la capacidad del canal sea máxima?

136


ACTIVIDAD 9

EL TRIANGULO ISÓSCELES: Los vértices de un triángulo isósceles se colocan

sobre lados adyacentes de un cuadrado de lado 4 cm como se muestra en las figuras

siguientes. Realiza lo que se te solicita a continuación.

9. Abre el archivo “Triángulo.ggb”. Mueve el punto “P” y observa lo que sucede. Si x

representa la longitud del lado AB del triángulo, determina la expresión analítica, en

dependencia de x, para:

c) El área del triángulo, cuando B se encuentra sobre la base del cuadrado.

d) El área del triángulo, cuando B se encuentra sobre el lado perpendicular a la

base.

137


10. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar x en la primera expresión? ¿y el mayor?

11. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar x en la segunda expresión? ¿y el mayor?

12. Usando la expresión analítica para el área del triángulo, a la que llamaremos A(x),

completa la tabla siguiente y luego construye la gráfica correspondiente.

x A(x)

1

2

3

4

4.5

5

13. Activa la casilla “Gráfica” ¿Observas algo diferente en la gráfica, con respecto a las

gráficas de los problemas anteriores?

138


14. ¿Cómo identificas en la gráfica al punto correspondiente al área máxima del

triángulo?

15. Desactiva la casilla “Cuadrado”, coloca el punto “M” en la cima de la gráfica y haz

zoom varias veces ¿pasa algo diferente a lo que sucedía en los problemas anteriores?

16. Activa la casilla “Tangente” ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente antes del

punto más ato? ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto más alto?

¿Cómo es la pendiente de la recta tangente después del punto más alto?

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ACTIVIDAD 10

LA CAJA DE BASE CUADRADA: Con una lámina cuadrada de 13 cm de lado se

quiere construir una caja de base cuadrada sin tapa, donde la base esté formada por

una esquina de la lámina, como se muestra en las figuras siguientes. Contesta lo

siguiente:

8. Abre el archivo “Caja de base cuadrada.ggb” y mueve el punto “P”. Si la longitud

del lado de la base de la caja fuera 2 cm ¿Cuál sería su volumen?

9. Si x representa la longitud del lado de la base ¿cómo expresarías la altura de la caja

en dependencia de x? Y ¿cómo expresarías su volumen (al que llamaremos V(x))?

10. ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar x? ¿cuál es el más grande?

140


11. Usando la expresión algebraica para V(x) completa la tabla siguiente y dibuja una

gráfica en los ejes que se te proporcionan.

x V(x)

12. ¿Observas algo diferente en la gráfica y la tabla, con respecto a las gráficas de los

problemas anteriores? Desactiva las casillas “Hoja” y “Caja” y activa la casilla

“Gráfica”.

13. ¿Cómo identificas gráficamente al punto correspondiente al valor máximo del

volumen?

14. Activa la casilla “Tangente” ¿La recta tangente tiene pendiente igual a cero en el

punto más alto?

141

capÍtulo cuatro la propuesta ... - universidad de sonora

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