5 la propuesta - universidad de sonora
TRANSCRIPT
49
5 LA PROPUESTA 5.1 INTRODUCCIÓN
Hemos especificado a grandes rasgos los temas y el orden de nuestra propuesta
pero estamos conscientes de que el diseño de actividades para la enseñanza de cualquier
tema de alguna disciplina del conocimiento no es un asunto sencillo de abordar, es
necesario tomar en cuenta todos los elementos que resultan pertinentes, algunos de
carácter general y otros específicos del enfoque teórico asumido, en nuestro caso el
EOS.
En general, un punto que debemos respondernos es el referente a para qué
enseñar; una vez que se ha dado respuesta a la pregunta anterior, se puede tratar de
determinar el qué enseñar, es decir, el contenido temático que se abordará.
Cuando se ha establecido el para qué enseñar y qué enseñar, viene la cuestión de
cómo hacerlo. Es claro que la respuesta a todas estas cuestiones estará fuertemente
influenciada por las concepciones que el profesor tenga al respecto, la institución
escolar donde se lleve a cabo la enseñanza, así como por el tipo de estudiantes al que va
dirigida tal acción.
Estos aspectos que hemos señalado son válidos también en el caso de la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática, en particular es muy frecuente encontrar
actividades para la enseñanza del Cálculo. La problemática de la enseñanza de esta área
de las matemáticas ha sido muy estudiada y se pueden encontrar muchas referencias
bibliográficas al respecto. Así, en las revistas de matemática educativa y en las tesis de
maestría o doctorado de diferentes instituciones de nuestro país, es común encontrar
trabajos en el área.
Como ya se dijo, el objetivo de este trabajo es proponer una manera de abordar
la introducción del estudio de un objeto matemático, que forma parte del conocimiento
que un estudiante de cualquier carrera de Ingeniería debe poseer, pues es un tema
incluido en el programa de materia de uno de los cursos de Cálculo del Plan de Estudios
de dichas carreras de Ingeniería.
50
Nos referimos al objeto Serie, cuyo estudio es el tema principal de este trabajo.
Para tratar de promover entre los estudiantes la construcción de significados personales
ricos respecto a este objeto, se hace uso del planteamiento de situaciones problémicas
que involucran el proceso de suma, y luego el proceso de suma infinita. Este es un
elemento de significado nuevo para el estudiante, y por lo tanto, se pretende que a través
del planteamiento y resolución de problemas, construya un conjunto de significados
personales que constituyen los objetos emergentes y que en este caso son un conjunto
de prácticas personales relacionadas con sumas infinitas o Series.
Este sistema de prácticas está constituido por un conjunto de elementos de
significado como son: Presentación de situaciones problema en los que el estudiante
manipule con objetos o analice situaciones de carácter geométrico, o de intereses
monetarios y manejos financieros, de física u otros de carácter estrictamente numérico.
Se requiere la construcción de un lenguaje matemático acerca del objeto Serie,
procedimientos para determinar si la Serie en cuestión es convergente o no,
proposiciones acerca de la validez de los procedimientos empleados en las sumas
infinitas, argumentos que validan procedimientos y proposiciones y resultados que se
enuncian como teoremas, y, por último, definición de conceptos relacionados con el
objeto Serie.
En términos generales, para concretar nuestra propuesta atendiendo a lo descrito
anteriormente, tomamos en consideración los planteamientos del EOS que
identificamos mediante el nombre genérico de “criterios de idoneidad” y que
describimos en el capítulo de las consideraciones teóricas.
Los criterios de idoneidad nos sirven de guía para diseñar y evaluar si una
propuesta cumple con los requerimientos necesarios para clasificarla como “buena”, o
cualquier otra categoría que consideremos pertinente y adecuada. Entre los criterios de
idoneidad tomaremos en cuenta aspectos cognitivos, didácticos y epistemológicos, pero
también factores de diferente índole, relacionados con las actitudes que se promueven
en los estudiantes, la correspondencia con los planes y programas, los medios de
enseñanza empleados, etc.
Siguiendo los criterios de Robles (2010), haremos un análisis a priori y otro a
posteriori de los criterios de idoneidad que se usan. Con estos criterios formulamos, a
51
priori, que nuestra propuesta es de alta idoneidad en cinco de los seis tipos descritos,
clasificando a la idoneidad mediacional como medio-alta. La causa de ello es que si
bien hemos incluido la manipulación de objetos físicos para facilitar el tratamiento del
tema, es posible usar los recursos tecnológicos modernos, como los videos,
computadoras y calculadoras para potenciar el estudio de las sumas infinitas.
Dado que nuestro interés en este trabajo se centra en realizar una propuesta de
desarrollo docente, el análisis a posteriori no tiene el propósito de responder preguntas
formales de investigación, sólo pretendemos tener elementos de evaluación para
mejorar el diseño que hemos realizado.
A continuación, presentamos, a grandes rasgos, los criterios de idoneidad que se
consideran en el EOS y la forma en la cual los vemos reflejados a priori en nuestra
propuesta.
IDONEIDAD EPISTÉMICA
En este caso el propósito más general es que los significados institucionales
pretendidos o implementados se correspondan con los de referencia. En nuestro caso
consideramos que éste se logra, atendiendo a los siguientes elementos:
• Las situaciones-problema fundamentales se presentan en contextos de diferente
tipo, entre ellos problemas de naturaleza geométrica y manipulación de
materiales, de centros de gravedad, de aspectos financieros, etc., que den pie a
problematizaciones sobre la naturaleza de una suma infinita.
• El lenguaje utilizado de inicio y el que se promueve como emergente es
adecuado para los estudiantes, buscando concordancia entre las situaciones
geométricas o de otro carácter y la manipulación numérica y analítica de las
series involucradas.
• Los procedimientos de manipulación y comprensión de las situaciones dan pie a
la generación de propiedades de las sumas infinitas y sus caracterizaciones como
convergentes o divergentes.
• Se promueven discusiones sobre la validez de los procedimientos seguidos en la
resolución de las situaciones y el establecimiento de propiedades generales de
las sumas y los procedimientos para determinar su convergencia o divergencia,
52
en concordancia con el desarrollo esperado de los estudiantes de un segundo
curso de cálculo diferencial e integral.
• Se promueve la coordinación de los significados puestos en juego, haciendo
corresponder las situaciones, con los procedimientos y propiedades que se
presentan en las sumas infinitas.
IDONEIDAD COGNITIVA
Aquí los propósitos contemplados son básicamente dos: que los conocimientos
que se promuevan estén en lo que se conoce como “zona de desarrollo próximo” y, por
otro lado, que los significados personales a lograr por los estudiantes estén cerca de los
significados institucionales pretendidos o implementados.
El primero de los propósitos nos permite guiar las actividades del diseño y el
segundo nos da elementos adicionales de evaluación de la idoneidad de las experiencias
implementadas o desarrolladas.
Con estas consideraciones, las primeras situaciones problémicas que hemos
propuesto tienen como punto de partida conocimientos previos que asumimos tienen los
estudiantes de un segundo curso de cálculo y centramos la discusión en la nueva
situación fundamental, cercana a la zona de desarrollo próximo, consistente en el
cálculo de una suma infinita de términos decrecientes cuyo límite es cero.
Una vez que los estudiantes han trabajado con sumas infinitas, las nuevas
situaciones que se presentan se centran en la determinación de la convergencia o
divergencia de algunas series, partiendo de criterios que se van construyendo
paulatinamente. En casos específicos, como el de las series geométricas, incluso se
establece un procedimiento específico para la determinación de la suma.
Se incluyen también ejercicios que amplíen lo realizado mediante la
introducción de diferentes ejemplos de series y la utilización de los criterios de
convergencia para determinar cada caso que se estudia.
IDONEIDAD MEDIACIONAL
53
En esta parte nos referimos a la adecuación en el uso de los recursos materiales y
las condiciones en las cuales se desarrollarán las actividades didácticas.
Nuestra propuesta considera la manipulación de materiales de cartón (o papel FOMI) en
algunas situaciones y, en otras, la manipulación de bloques de madera. Con la
manipulación de estos materiales se promueve un acercamiento a la comprensión de las
situaciones planteadas y del establecimiento de proposiciones para resolverlas.
Sin embargo, algo que no realizamos es el empleo de computadoras para simular
procesos y potenciar los cálculos que deben realizarse para el trabajo con las series
numéricas. La incorporación de este tipo de actividades, en determinados momentos,
hubiera contribuido a mejorar la idoneidad mediacional y contemplamos, en un futuro
próximo, la inclusión de este tipo de actividades.
Por otra parte, de acuerdo a las políticas generales de la Universidad de Sonora,
nuestras actividades están diseñadas para trabajarse con grupos de un máximo de 40
alumnos, lo cual, si bien no es un número que consideremos apropiado, existen las
condiciones para que se desarrollen en buenas condiciones.
Por último, el tiempo que se debe dedicar a cada parte del diseño se ajusta muy
duramente a los tiempos establecidos en los programas y nos parece que ello es una
limitante a tener en cuenta en su implementación.
IDONEIDAD EMOCIONAL
La selección de situaciones que presentamos tienen el propósito de motivar el
interés de los estudiantes y hacer que se apropien de la situación, se problematicen con
ella y busquen actuar tanto en la comprensión del problema, la manipulación con los
objetos materiales que se plantean y las estrategias de solución que vayan surgiendo.
Si bien las situaciones planteadas no son de aplicación cotidiana en actividades
comunes, la forma de las situaciones y la presencia de objetos materiales que deben
manipularse, acerca a los estudiantes el tratamiento de un tema que en principio resulta
muy abstracto y complejo, que da lugar no sólo a dificultades algorítmicas y
conceptuales, sino también filosóficas, como la historia demuestra siempre que se habla
de procesos infinitos.
IDONEIDAD INTERACCIONAL
54
Como ya se dijo, esta propuesta básicamente trata de introducir el estudio de
series a partir de situaciones-problema. Se les proponen a los estudiantes diferentes
situaciones en cuyo planteamiento y solución está involucrada una serie.
Aquí el objetivo principal es que a través de la solución de problemas, el alumno
vaya construyendo significados personales del objeto matemático Serie. Se pretende que
el estudiante, basado en sus conocimientos anteriores, es decir, en su Sistema de
Prácticas personal, adquiera nuevos conocimientos, es decir nuevos significados, y los
incorpore a su Sistema de Prácticas.
Por lo tanto, en correspondencia con lo anterior, el papel del maestro es el de
proponer al estudiante situaciones adecuadas que lleven al estudiante a problematizarse,
es decir, a que el estudiante se apropie del problema y trate de resolverlo, a través de
preguntas o cuestiones adecuadas que promuevan la puesta en práctica de,
primeramente un lenguaje adecuado, definición de conceptos, procedimientos bien
fundamentados por argumentos que el mismo vaya estableciendo, y validación de
resultados basados en la búsqueda y obtención de patrones como resultado de el estudio
y análisis de casos particulares.
Aunque se ha realizado una estimación de los tiempos asignados para el
tratamiento de las diferentes situaciones-problema en el aula, nos parece importante
señalar que se trata simplemente de una estimación, pues dichos tiempos pueden variar
dependiendo de las características de los alumnos.
La dinámica propuesta para el salón de clases consta de tres momentos: el
primero consiste en un acercamiento individual de los estudiantes a las situaciones-
problema; el segundo busca la discusión de las ideas generadas en el primer momento al
interior de grupos o equipos formados con tal objetivo; finalmente, una tercera fase
donde se comparten las ideas generadas anteriormente en el grupo completo.
En esta etapa, el profesor juega un papel básico, pues debe institucionalizar las
construcciones matemáticas surgidas durante el desarrollo de las actividades.
IDONEIDAD ECOLÓGICA
55
En este caso se hace mención al grado de adaptación curricular, socio-
profesional y conexiones intra e interdisciplinares.
Por las características del tema, la mayoría de las situaciones que se abordan en
el tema de series o sumas infinitas corresponden a cuestiones de carácter intra o
interdisciplinar, sin la existencia de muchas aplicaciones directas del tema en la vida
socio-profesional. Sin embargo, debe destacarse que las series juegan un papel
importante en el tratamiento y resolución de problemas de la matemática (como las
ecuaciones diferenciales) que sí resultan de aplicación directa en la vida profesional de
un ingeniero.
Nuestra propuesta cubre los temas del programa de materia, pero se promueven
sistemas de prácticas que se relacionan con la vida cotidiana de los individuos o con
temas de estudio de otros cursos de las carreras de ingeniería, primordialmente aspectos
financieros, geométricos y físicos. También se incluyen situaciones de problemas intra
matemáticos, desde la misma necesidad de caracterizar conceptualmente lo que se
entiende por una suma infinita y la aplicación de diversos criterios de convergencia para
las series.
A continuación hacemos una descripción detallada del contenido de la
propuesta, y después presentamos la propuesta completa.
5.2 DESCRIPCIÓN DE LA PROPUESTA
Sin más preámbulos, diremos que la propuesta está compuesta por nueve
bloques de problemas, y cada bloque representa un tema. Los temas tratados son los
siguientes:
Bloque 1. El Problema de Carlita
Bloque 2. Representación de Números Racionales por medio de Sumas Infinitas
Bloque 3. Series Geométricas
Bloque 4. Una Serie Telescópica
Bloque 5. La Serie Armónica
Bloque 6. Propiedades de las Series Convergentes
56
Bloque 7. Criterios de Convergencia
a) Criterio de Divergencia
b) Criterio de Comparación
c) Criterio de la Integral
d) Criterio del Cociente
Bloque 8. Series-P
Bloque 9. Series Alternantes
Esta propuesta se complementa con un problemario. Se sugiere que se proponga
a los estudiantes, como un reforzamiento de los significados personales construidos en
la aplicación de la propuesta, y puede ser una actividad extra clase o como una tarea. A
continuación se hace una descripción del contenido de cada bloque.
Bloque 1
El objetivo de este primer bloque es el de promover la construcción de
significados personales acerca de sumas infinitas, mediante una situación-problema
extra-matemático, que primeramente estimule a los estudiantes a hacer uso de sus
sistemas de prácticas personales previos como objetos intervinientes, y seguidamente
se pretende la emergencia del objeto matemático suma infinita.
Se les plantea una situación real, incluso se les muestra un objeto físico que
puede ayudarlos a visualizar el problema en cuestión, tratando de que ellos se
problematicen, es decir, que hagan suyo el problema y se estimulen a tratar de encontrar
una solución.
Aparentemente la situación no evoca un proceso infinito de suma, pero
enseguida se les hacen una serie de cuestionamientos que pueden desencadenar dicho
proceso, pretendiendo que los estudiantes vayan más allá de la situación planteada y
construyan significados personales del objeto ya mencionado.
El tiempo estimado para este primer bloque es de una hora, ya que es un primer
acercamiento al objeto pretendido, y se sugiere que sea tratado con la profundidad
57
necesaria. Se sugieren 5 minutos para la lectura y aclaraciones en caso de dudas,
después 15 minutos para la resolución individual, 20 minutos para el intercambio y
discusión de ideas por equipo, y el tiempo restante (20 minutos) para el establecimiento
de resultados consensados.
En esta última etapa, el papel del profesor es indispensable para conducir y en su
caso orientar el establecimiento de resultados, teniendo cuidado de manejar el lenguaje
adecuado, para orientar la construcción de significados personales hacia los significados
institucionales pretendidos.
Este primer problema promueve la emergencia de una serie geométrica
convergente, y por lo tanto puede emerger, además de dicho objeto, otro objeto muy
importante y que también es uno de los objetivos de este trabajo: el concepto de
convergencia, es por ello que sugerimos sea tratado con toda la profundidad necesaria,
sin escatimar tiempos, por lo tanto, se sugiere que se le dedique el tiempo necesario a
este bloque dependiendo del avance que se tenga.
De acuerdo a lo anterior, es posible que emerja un primer significado personal
del objeto principal de este trabajo: el concepto de serie numérica infinita, es por ello
que sugerimos un tratamiento muy cuidadoso por parte del profesor para este bloque,
sin influir en la emergencia de nuevos significados en las primeras etapas, pero si
conduciendo y orientando hacia los significados institucionales pretendidos en la etapa
que le corresponde.
En caso de ser necesario usar una parte del tiempo de la siguiente reunión,
debido al avance mostrado en el grupo, se puede prolongar el tiempo de
compartimiento y discusión de ideas en el grupo y el establecimiento de resultados.
El problema de Carlita fue una situación real. Carlita es una niña de 11 años y
cursa quinto año de primaria. El objeto físico que se mostró es el que construyó Carlita
en ese momento, sólo se le han agregado detalles ficticios para hacerlo más apropiado
en su presentación a los estudiantes de las carreras de Ingeniería de la Universidad de
Sonora. Durante la construcción de dicho objeto, Carlita mostró ideas muy útiles que se
han adaptado a las preguntas que se incluyen en dicha situación.
Bloque 2
58
El bloque 2 contiene 11 problemas. Un primer objetivo de este bloque, es que,
por medio de un sistema de prácticas como es el de la división de enteros, se promueva
en los estudiantes la emergencia de los objetos sumas infinitas. Dicha práctica
representa un objeto interviniente conocido por ellos, la representación decimal de
números racionales y la parte más importante, la expansión decimal infinita periódica
que tiene todo número racional. Se promueve después la práctica de representar dicha
expansión decimal infinita periódica como una suma infinita de decimales, y
posteriormente la representación de estos decimales como cocientes de un entero entre
una potencia de 10. De esta manera, se pretende que los estudiantes construyan un
significado personal del objeto suma infinita.
Un segundo objetivo es que los estudiantes vayan identificando una suma
infinita con el concepto Serie. Esta parte es muy importante, pues es el primer intento de
promover en los estudiantes la emergencia de uno de los objetos más importantes de
este trabajo.
El tercer objetivo de este bloque, y también uno de los más importantes de este
trabajo, es que por medio de esas sumas infinitas, los estudiantes construyan un primer
significado personal del objeto convergencia de una serie. Este será un primer intento de
promover dicho objeto.
Hacemos énfasis, que esto puede darse con más o menos rapidez, dependiendo
del manejo que los estudiantes tengan de las prácticas mencionadas anteriormente. Es
decir, dichos objetos intervinientes, como es el significado de la representación de
números racionales como sumas infinitas, puede o no ser un significado personal global
de los estudiantes, es decir, puede o no estar dentro de sus sistemas de prácticas
anteriores a la aplicación de dicha propuesta. Por lo tanto se deberá tener mucho
cuidado en asegurarse que las actividades sugeridas por la propuesta, se hayan llevado a
cabo totalmente por cada uno de los estudiantes. Esto puede manejarse como una
actividad de compartimiento de ideas, discusión de resultados obtenidos,
establecimiento de procedimientos, manejo de un lenguaje adecuado, enunciado de
definiciones de conceptos lo más claro posible, etc. Esta aclaración se hace, debido a la
diferencia que existe en la forma de enunciar los conceptos en los distintos libros de
cálculo que se consultaron, y de los cuales se hizo una revisión respecto a este tema de
59
Series y su Convergencia. Nos parece que la forma más clara y sencilla de introducir el
concepto de Serie, es la idea de Suma Infinita de números. Más adelante, cuando el
estudiante tenga en su sistema de prácticas un manejo más o menos eficiente del
concepto de Serie y su Convergencia, pueden compararse estas ideas con otras, para
establecer una correspondencia y ver sus equivalencias, sin descuidar una parte muy
importante como es el Lenguaje. Este primer bloque representa en esta propuesta, una
parte muy importante, porque es la puesta en práctica de uno de los objetivos
primordiales de este trabajo, la introducción al estudio de Series en estudiantes de las
carreras de Ingeniería de la Universidad de Sonora. Creemos que del logro de estos
significados por parte de los estudiantes, depende en gran medida la emergencia de
otros significados, que posteriormente son promovidos por parte del profesor. Este
trabajo no abarca el estudio y análisis del logro de dichos significados, ya que tiene
relación con otra parte del marco teórico llamado idoneidad.
Además de los 11 problemas mencionados, este bloque incluye tres definiciones
muy importantes: la definición de Serie, la definición de Serie Convergente y Serie
Divergente y la definición de Sumas Parciales. Incluye también una observación que
destaca el hecho de que hay series que tienen límite y otras que no lo tienen.
El tiempo estimado para llevar a cabo las actividades que comprende este
bloque, es de aproximadamente una hora, 5 minutos para que los estudiantes lean los
problemas y se hagan aclaraciones de posibles dudas , 20 minutos para que hagan sus
desarrollos, 15 minutos para la discusión y compartimiento de ideas por equipos, y 20
minutos para el establecimiento de resultados.
Bloque 3
El Bloque 3 contiene 15 problemas que se refieren a Series Geométricas.
Contiene además la definición de Serie Geométrica y varias observaciones.
El primer objetivo de este bloque, es que el alumno construya un significado
personal de Serie Geométrica. El sistema de prácticas que desarrolla al representar
números racionales como Series, sirven como objetos intervinientes para la
construcción de dicho significado personal. Los problemas de Series Geométricas
60
promueven la emergencia del Objeto Serie Geométrica, y además se promueve la
emergencia del Objeto Serie Geométrica Convergente.
El segundo objetivo es que construya significados personales de Series
Geométricas Convergentes y Divergentes.
El tercer objetivo es que su sistema de prácticas se vaya ampliando y abarque
procedimientos para determinar si una Serie es Geométrica o no, y si es una Serie
Geométrica, si es convergente o no lo es. Si es una serie Geométrica Convergente
entonces cuál es su suma.
Otro de los objetivos es que pueda reconocer en un problema si la Serie referida
es Geométrica o no.
Este bloque es importante en el sentido que el alumno se familiariza con un tipo
de Series muy útil. Es el tipo de series más usado y socorrido para plantear problemas.
Entonces es muy importante que el alumno construya significados personales acerca de
este objeto, que le permitan plantear y resolver problemas de Series Geométricas, sobre
todo con Series Geométricas Convergentes.
También en este bloque se promueve un sistema de prácticas, por medio de
observaciones, donde el estudiante vea la operatividad de un tipo de Series. Este sistema
de prácticas, incluye uso de lenguaje adecuado relativo a Series, procedimientos
adecuados que le permitan obtener la suma de la Serie, procedimientos para determinar
si la Serie es convergente o no, y el planteamiento de otros problemas observando los
patrones obtenidos con los problemas de la propuesta.
Se pretende que el tiempo para este bloque sea de 2 horas; en la primera hora,
los estudiantes leerán los problemas, harán sus desarrollos, y se llevará a cabo el
compartimiento de ideas por equipos. Se espera que le dediquen al menos una hora
extra clase a la revisión y estudio del material que se les proporcione. Al día siguiente,
en la siguiente clase, le dedicarán otra hora, para la discusión de las ideas en el grupo y
el establecimiento de resultados.
Bloque 4
61
El bloque 4 contiene dos problemas, el primer problema promueve la
emergencia del objeto serie telescópica, mediante una situación-problema que plantea la
obtención de suma de áreas entre dos curvas. El objeto interviniente en este problema es
el cálculo del área entre dos curvas, y por lo tanto, el estudiante puede usar como
herramienta para ello, la interpretación geométrica de la integral definida. Si el
estudiante no está familiarizado con este sistema de prácticas, el profesor puede
promover alguna situación-problema sencilla que involucre el cálculo de áreas bajo
curvas y de área entre dos curvas, antes de abordar el problema mencionado.
Se presenta el problema y una figura relativa a la situación que se plantea, se le
cuestiona al alumno mediante una serie de preguntas respecto a casos particulares,
tratando de estimularlo a obtener un patrón. A partir de la experiencia que ya tiene con
los casos tratados anteriormente, y que pueden ser entendidos como objetos
intervinientes, se promueve la emergencia de nuevos objetos. Entre estos objetos está un
procedimiento para sumar series telescópicas. El profesor puede conducir, después de
que los estudiantes hayan desarrollado resultados propios, discusiones y compartimiento
de ideas, tendiendo a promover la emergencia de resultados.
El segundo problema, promueve el uso de objetos intervinientes, que emergieron
anteriormente, para mostrar un resultado, respecto a la misma serie telescópica. A partir
de una figura, se le plantea al estudiante la situación-problema, que consiste en
determinar la longitud del diámetro de varias circunferencias y después obtener un
patrón para dichos diámetros y posteriormente, calcule las sumas de los diámetros, y
que finalmente se avoque a la búsqueda de un patrón para dichas sumas.
Con base en todo lo anterior, y observando la figura, se pretende que el
estudiante pueda concluir respecto a la convergencia de la serie y por lo tanto a su suma.
El tiempo estimado para este bloque es de 1 hora, 5 minutos para la presentación
y lectura de los problemas, 20 minutos para la actividad individual, 15 minutos para el
intercambio y discusión de resultados por equipo y 20 minutos para el establecimiento
de resultados.
Bloque 5
62
El bloque 5 se refiere a la Serie Armónica y consta de un solo problema; el
problema involucra el objeto físico Centro de Gravedad y es por ello que después de
presentar la situación-problema, se le presenta al estudiante un pequeño resumen donde
se explica lo que es el centro de gravedad, su relación con otro objeto físico Centro de
Masa y con el objeto geométrico Centroide o Baricentro. Además se le explica cómo
calcular la posición del centro de masas de un sistema de masas.
La situación-problema que se presenta en este bloque, es el de La Torre
Inclinada, que consta de un conjunto de tabiques apilados sobre la orilla de una mesa, y
se van colocando de manera que el tabique que está sobre la mesa, tenga su centro de
gravedad lo más cercano posible a la orilla de la mesa, luego el siguiente tabique que
queda sobre el anterior, se recorre lo más posible hacia afuera de la mesa, y su centro de
gravedad debe quedar sobre el tabique anterior, y así sucesivamente. Lo que se le
cuestiona al estudiante, es la posición del centro de gravedad del sistema de masas, es
decir, de los tabiques, y por lo tanto de cuál es la máxima distancia posible entre la
orilla del tabique que queda más afuera, es decir del tabique que queda más arriba en la
torre y la orilla de la mesa.
Este bloque es importante ya que involucra un objeto fundamental en el estudio
de Series: la Serie Armónica. Esta Serie es un punto de referencia en la cuestión de la
Convergencia o Divergencia de Series. La determinación de su divergencia es un asunto
obligado en el estudio de Series.
El objetivo de este bloque es el de promover la emergencia de la Serie
Armónica; la demostración de su divergencia, se promueve en el bloque 6. La solución
del problema promueve la emergencia de sumas finitas que representan las primeras
sumas parciales de la Serie Armónica.
Bloque 6
El bloque 6 presenta dos situaciones-problema que promueven la emergencia de
las propiedades de Series Convergentes, la primera pretende que el estudiante reconozca
63
la propiedad que tiene una suma de series convergentes, de ser una serie convergente, a
partir de sumar series convergentes particulares, y se pretende que trate de generalizar el
resultado con base en los objetos intervinientes que se han ido estudiando
anteriormente, y la segunda, la propiedad de convergencia de la multiplicación de una
serie convergente por una constante.
El objetivo de este bloque es promover la emergencia de propiedades de las
Series, involucrando al estudiante en la generalización de resultados particulares, a
través de la observación y el análisis de dichos resultados.
El significado pretendido es el de tener un primer acercamiento con estas
propiedades, porque no es fácil la generalización, ya que establecer una propiedad
general usando solo unos cuantos casos particulares, no es algo sencillo, así que por lo
mismo, al menos se pretende que el estudiante vaya familiarizándose con dichas
propiedades.
La idea es que a través de los casos particulares estudiados, el estudiante tenga
intuitivamente la idea de que se cumplen en todos los casos, observando las
características importantes de la situación y a la vez que vaya construyendo significados
personales que representan procedimientos, resultados y argumentos que los respaldan,
para después poder hacer una generalización mas formal de tales propiedades.
Bloque 7
En este bloque se presentan 13 problemas. El primer problema se refiere al
criterio de divergencia que dice que si una serie es convergente entonces la sucesión
correspondiente debe converger a cero. Si no es así, entonces la serie es divergente. Se
promueve la emergencia de un procedimiento muy sencillo para determinar la
divergencia de una serie, cuando su término n-ésimo no converge a cero. La
demostración o los argumentos que soportan este resultado, son muy sencillos e
intuitivos. El profesor puede guiar una discusión al respecto, después de que los
estudiantes, obtengan resultados del problema en cuestión.
Los siguientes dos problemas, promueven la emergencia de criterios de
comparación de series. Uno para determinar la convergencia de una serie que es más
pequeña que otra que es convergente, y el otro para determinar la divergencia de una
64
serie que es mayor que otra que es divergente. Dichos criterios de comparación son muy
intuitivos, y por tanto, el maestro puede incentivar la construcción de estos significados
en los estudiantes, con el compartimiento y análisis de resultados obtenidos por ellos.
Ya que dichos criterios son de mucha utilidad para la determinación de convergencia o
divergencia de series, es recomendable que el profesor haga énfasis en estos problemas.
Enseguida se trabaja con el criterio de la Integral. El primer problema de esta
parte del bloque 6, promueve la demostración de la divergencia de la Serie Armónica.
Además, promueve el procedimiento para determinar la convergencia o divergencia de
una serie que se basa en la Integral de una función continua f(x), generada a partir de la
sucesión f(n) con n=1, 2,3,…, como un objeto que emerge en este Sistema de Prácticas.
El siguiente problema promueve el uso de este criterio para la determinación de
la convergencia o divergencia de una serie, como un procedimiento ya establecido, es
decir como un objeto interviniente.
En la siguiente parte de este bloque se tienen 7 problemas. Los primeros
problemas promueven la emergencia de un criterio intuitivo, es decir un procedimiento
que puede verse como algo natural, después de toda la construcción de significados
anteriores. Luego, los siguientes problemas de esta parte de este bloque, promueven el
uso de este criterio, como un procedimiento interviniente.
Bloque 8
Este bloque consta de 10 problemas y su objetivo es el de promover la
emergencia de un tipo de series llamado Series-p, que también constituyen un conjunto
de series muy importante, al igual que las Series Geométricas, pues son muy útiles para
hacer comparaciones a partir de ellas y determinar si otra serie es Convergente o
Divergente.
Los primeros cuatro problemas promueven la emergencia de una serie-p, con
p=2, cuyos términos corresponden a los cuadrados de los términos de la Serie
Armónica, y pueden representar el área de un cuadrado de lado 1/n para n=1,2,3,…El
objetivo de estos problemas es el de promover en los estudiantes la reflexión acerca de
la convergencia de esta serie y a partir de eso, que los estudiantes construyan
significados personales como prácticas operativas para mostrar la convergencia de dicha
65
serie. Se le muestran al estudiante figuras geométricas que pueden ayudarle a visualizar
el tamaño de la Serie, y que a partir de ello el estudiante haga sus propias conclusiones
acerca de su convergencia.
En esta etapa, la visualización de los términos de la serie a través de figuras
geométricas juega un papel muy importante, ya que dichas figuras representan los
objetos ostensivos asociados y por lo tanto muestran físicamente una representación
palpable de dichos objetos.
Al final de esta parte del bloque 8, se le muestra al estudiante una representación
numérica de la Serie, con el objeto de promover otra representación de la Serie, y que el
estudiante tenga más elementos de juicio para determinar si la Serie es convergente o
no.
Los siguientes 3 problemas promueven la emergencia de la Serie P, con p=3,
cuyos términos son el cubo de los términos de la serie armónica, y pueden representar el
volumen de un cubo de lado 1/n, para n=1, 2,3,…A partir de los resultados obtenidos en
los 4 problemas anteriores, se hacen reflexiones sobre la convergencia de esta serie
observando su semejanza con la serie anterior. También el criterio de comparación
puede ayudar a determinar la convergencia de esta serie, comparándola con la serie
anterior.
Aunque en esta parte del bloque no se le muestra una figura física del problema,
si hace referencia a un objeto ostensivo asociado a la serie, los cubos cuyos volúmenes
están representados por los términos de la serie. Nos parece importante resaltar las
representaciones ostensivas de estos objetos, porque así se promueve en el estudiante
una representación mas completa de los objetos de estudio.
Aquí también se le muestra al estudiante una representación numérica de la
Serie, con el objeto de promover significados numéricos o representaciones numéricas
de las series, y con ello sensibilizar al estudiante respecto al tamaño numérico de dichas
series.
Al final de este bloque se hace referencia a la forma general de las series en
cuestión, las Series-p. Con este último problema se promueve la emergencia de un
objeto más general. Se promueve también un elemento de significado: el uso del
66
Criterio de la Integral, para mostrar para qué valores de p, converge una serie-p y para
qué valores de p diverge.
Bloque 9
En este último bloque se tienen 2 problemas, el primer problema promueve la
emergencia de una Serie Alternante, a partir de la Serie Armónica, llamada Serie
Armónica Alternante. Se le pide al estudiante llenar una tabla con los términos de la
Serie y las Sumas Parciales respectivas, promoviendo la sensibilización numérica de la
serie. Se le cuestiona sobre las observaciones que puede hacer respecto del
comportamiento de la Serie, promoviendo el establecimiento de resultados respecto a
las series alternantes. En este tipo de series la sensibilidad numérica respecto del tamaño
de las sumas parciales, es muy importante, pues con base en ello que se promueve la
construcción de significados personales respecto de las condiciones que debe cumplir la
serie para ser convergente.
Enseguida se hacen sugerencias del tipo de observaciones a las que el profesor
puede ir guiando a los estudiantes en el momento de la discusión posterior a la
presentación del problema y su resolución por parte de los estudiantes, tanto en la fase
individual como por equipos.
En la parte final de este bloque, se presentan tres series, con el objetivo de poner
en práctica los resultados a los que se hayan llegado anteriormente, promoviendo entre
los estudiantes el establecimiento de procedimientos con base en los resultados que se
hallan consensado en la etapa de la discusión.
5.3 DESARROLLO DE LA PROPUESTA
5.3.1 BLOQUE 1
67
EL PROBLEMA DE CARLITA
Carlita es una niña de 11 años y cursa quinto año de primaria. Ella quiere hacerle un regalo sorpresa a su papá el día del padre, y para ello ha pensado construir un porta-retrato usando cuadrados de fomi de diferentes colores y colocar en él una foto de ella misma sabiendo que a su padre le encantaría tener una foto de ella.
Carlita recortará un cuadrado cuyo lado mide 1 dm. Luego pegará encima de ese cuadrado, otro cuadrado de diferente color, cuyos vértices quedarán en los puntos medios del primer cuadrado. Enseguida recortará otro cuadrado de diferente color al anterior, y hará lo correspondiente. Sucesivamente irá colocando cuadrados hasta que ella lo considere conveniente. El último cuadrado será la foto que ella quiere colocar en dicho porta-retrato.
Pero Carlita está indecisa en cual será esa foto, pues tiene muchas fotos de distintos tamaños que podría usar para dicho regalo.
Ella quiere estar segura de que el material que compre sea suficiente para construir su porta-retrato, así que quiere tener una idea de cuanta cantidad de material ocupará a lo máximo independientemente del tamaño de la fotografía que coloque en su porta-retrato. Su amiga Estefanía le ha dicho que compre muchos cuadrados de fomi de distintos colores que tengan de lado 1 dm para que no le falte material.
Inteligentemente, Carlita piensa que debe haber una manera de saber cual sería la suma de las áreas de todos los cuadrados que se necesiten, independientemente del número de ellos.
Carlita le pregunta a su maestro respecto del problema que enfrenta. Su maestro le dice que cursó 2 años en la escuela de Ingeniería Civil de la Unisón y recuerda que en su curso de Cálculo II, le hablaron de cómo sumar muchos números, que en este caso serían las áreas de todos los cuadrados que Carlita quiere poner en su porta-retrato.
Carlita le dice a su papá que la lleve a la Universidad de Sonora con algún alumno de Ingeniería Civil para preguntarle al respecto. Carlita no quiere que su padre se entere de cuál es el motivo de dicha pregunta, así que sólo le dice que quiere entrevistar a algún alumno de Ingeniería Civil para una tarea de investigación de su escuela.
Supongamos que Carlita viene con usted y le pregunta cómo puede resolver dicho problema. ¿Podría usted ayudarle?
La idea de Carlita está plasmada en la figura 3:
68
Figura 3
1. ¿Cuál es el área del primer cuadrado?
2. ¿Cuál es el área del segundo cuadrado? Sugerencia: Observe la figura 4:
Figura 4
¿Encuentra usted alguna relación entre el área del segundo cuadrado y la del primero?
3. ¿Cuál es el área del tercer cuadrado? Sugerencia: Observe la figura 5:
69
Figura 5
¿Puede usted hallar una relación entre el área del tercer cuadrado y la
del segundo?
4. ¿Cuál es el área del cuarto cuadrado?
5. ¿Podría usted dar una regla para obtener el área de cualquier cuadrado?
Sugerencia: Llámele A1 al área del primer cuadrado, A2 a la del segundo, A3 a la del tercero, y así sucesivamente, es decir An sería la del n-ésimo cuadrado. ¿Puede usted dar una expresión para calcular el área de An?
6. Si observamos tenemos una sucesión de números A1, A2, A3, A4,…, An,…. Y nuestro problema consiste en sumar dichos números, es decir, obtener la suma A1+A2+A3+A4+…+An+… ¿Qué podría usted decir acerca de dicha suma?
7. Vamos a llamarle Sn a la suma de las áreas de los primeros n cuadrados.
¿Cuánto vale S2?
8. ¿Cuánto vale S3?
9. ¿Cuánto vale S4?
10. ¿Cuánto vale S5?
11. ¿Cuánto vale S6?
12. ¿Cuánto vale S7?
70
13. ¿Es posible dar una expresión para calcular dichas sumas en términos de n?
14. ¿Podría usted expresarla?
15. Si ya tiene usted una manera de calcular la suma de las áreas de cualquier
número n de cuadrados, ¿podría usted darle ya una respuesta a Carlita? Si su respuesta es sí, ¿cuál sería su respuesta y porqué?
16. Si su respuesta fue no, ¿por qué?
5.3.2 BLOQUE 2 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES POR MEDIO DE SUMAS INFINITAS
PROBLEMA 1
Encuentre la representación decimal del número racional .
PROBLEMA 2
Desarrolle la representación decimal del problema 1 como una suma infinita de decimales.
PROBLEMA 3
Represente cada decimal de la suma infinita anterior como un cociente de un entero entre una potencia de 10.
PROBLEMA 4
¿La suma infinita representada en el problema anterior tiene como límite el número racional ?
PROBLEMA 5
Observando los desarrollos hechos en los problemas anteriores, ¿Podría demostrar que 0.999999…=1? Explique.
PROBLEMA 6
Obtenga el número racional (cociente de enteros), que corresponde al decimal 0.222…
PROBLEMA 7
71
¿Se podrán representar cada uno de los números racionales, a partir de su forma decimal, como una suma infinita?
PROBLEMA 8
Trate de representar como una suma infinita el decimal 0.474747…
DEFINICIÓN
Una suma infinita de números de la forma
, donde representa una Sucesión de números, le llamaremos Serie.
PROBLEMA 9
También podemos decir que la siguiente expresión
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…
es una Serie. ¿Existirá un número (único) que la represente?
PROBLEMA 10
Otra Serie es la que genera la Sucesión de números naturales 1+2+3+4+… ¿Existirá un número que la represente?
OBSERVACIÓN
Entonces hay Series que pueden ser representadas por números y otras que no. Es decir, hay sumas infinitas que tienen límite y otras que no.
DEFINICIÓN
Ya conocemos la Serie que está asociada al número 0.333… Si vamos tomando sumas de un término, dos términos, tres términos, y así sucesivamente, entonces obtendremos lo que llamamos Sumas Parciales de dicha Serie. En este caso, serían:
S1 =
S2 =
S3 =
. . .
Sn =
Llamémosle a Sn, la n-ésima Suma Parcial de la Serie.
72
Entonces cada n-ésima suma parcial Sn es una aproximación cada vez mejor del número racional que representan, es decir entre más grande es el número de términos de dicha suma parcial, dicha suma se acerca más al número racional.
PROBLEMA 11
¿Podemos decir entonces que la Sucesión de Sumas Parciales Sn
Sn =
tiene como límite al número racional cuando n tiende a infinito?
DEFINICIÓN
Una serie se dice convergente si la sucesión de sumas parciales de la serie es convergente. Si la sucesión de sumas parciales de la serie no es convergente, entonces la serie se dice divergente o no convergente.
5.3.3 BLOQUE 3 SERIES GEOMÉTRICAS
DEFINICIÓN
Una serie de la forma ∑∞ = 1+r+r2+r3+…. donde r es un número real, se llama Serie Geométrica.
OBSERVACIÓN
La serie que corresponde a , es decir la Serie 310
se puede escribir como
3 ∑∞ ,
es decir, se puede escribir en términos de una serie geométrica con r= .
PROBLEMA 1
¿Es convergente la serie ∑∞ ?
73
PROBLEMA 2
¿A que número racional representa la serie del problema anterior?
PROBLEMA 3
¿Cuál es el área de un cuadrado que se construye a partir de otro cuadrado, uniendo los puntos medios de sus lados?
Observe la figura 6.
Figura 6
Si supusiéramos que tenemos un cuadrado de un material moldeable, y dobláramos las esquinas como lo muestra la figura 1, ¿Qué puede deducir al respecto?
PROBLEMA 4
Si hacemos lo correspondiente con el segundo cuadrado de la figura 1, es decir, algo como lo que muestra la figura 7, ¿Qué puede concluir?
Figura 7
74
PROBLEMA 5
Ahora observe las figuras 8, 9, 10, 11,12 y 13:
Figura 8 A(1)=1
Figura 9 A(2)=1/2
75
Figura 10 A(3)=1/4
Figura 11 A(4)=1/8
76
Figura 12 A(2)+A(3)=1/2+1/4
Figura 13 A(2)+A(3)+A(4)=1/2+1/4+1/8
¿Qué podemos concluir al respecto?
PROBLEMA 6
Se tiene un primer cuadrado cuyo lado mide 1 metro. Se construye un segundo cuadrado a partir del primero, uniendo los puntos medios de sus lados. A partir del segundo cuadrado se construye un tercer cuadrado uniendo los puntos medios de sus lados. Y así sucesivamente se siguen construyendo una infinidad de cuadrados. Hallar la suma de las áreas de todos los cuadrados.
77
Figura 14
La figura 14 muestra los primeros once cuadrados de la sucesión infinita de cuadrados a los que se refiere el problema 1.
PREGUNTAS
1.- ¿Cuánto es el área del primer cuadrado? 2.- ¿Cuánto es el área del segundo cuadrado? 3.- ¿Cuánto es el área del tercer cuadrado? 4.- ¿Cuánto es el área del cuarto cuadrado? 5.- Llene la tabla 18, donde n es el ordinal que corresponde al cuadrado cuya área es A(n).
Tabla 18 Área A(n) del cuadrado n
N A(n) 1 2 3 4 10 20
6.- Haga una gráfica con los datos de la Tabla 1. Sugerencia: coloque los valores de n en un eje horizontal y los valores de A(n) en un eje vertical.
7.- ¿Que observa en dicha gráfica respecto al valor del área de los cuadrados?
78
8.- ¿Identifica algún patrón para calcular el área de dichos cuadrados? ¿Cuál es? 9.- A partir del patrón que encontró, determine el área del vigésimo y del centésimo cuadrado.
10.- ¿Cuánto vale la suma de las áreas de los primeros 2 cuadrados? 11.- ¿Cuánto vale la suma de las áreas de los primeros 3 cuadrados? 12.- ¿Cuánto vale la suma de las áreas de los primeros 4 cuadrados? 13.- ¿Cuánto vale la suma de las áreas de los primeros 5 cuadrados?
14.- Organice en la Tabla 19 los resultados obtenidos para dichas sumas
Tabla 19 Sumas de áreas, S(n) es la suma de las áreas de los primeros n cuadrados
N S(n) 2 3 4 5 20 100
15.- ¿Identifica algún patrón S(n) para calcular la suma de las áreas de los primeros n cuadrados? ¿Cuál es?
16.- Haga una gráfica con los datos de la tabla 2.
17.- ¿Qué observa en dicha gráfica respecto al valor de la suma de las áreas de los cuadrados?
18.- A partir del patrón que encontró, determine la suma de los primeros 20 cuadrados. 19.- Determine la suma de los primeros 100 cuadrados.
20.- Ahora organice en la Tabla 20 toda la información disponible.
79
Tabla 20 Áreas y Sumas de áreas
n A(n) S(n) 1 2 3 4 5 20 100
21.- Si el número n de cuadrados va creciendo, ¿Qué pasa con el área de los cuadrados? ¿Qué pasa con la suma de las áreas de los cuadrados? Explique.
OBSERVACIONES
1.- De acuerdo a los resultados del problema anterior, la sucesión de cuadrados que se construyó es una sucesión infinita, y por lo tanto la suma de las áreas de todos esos cuadrados, también es una suma infinita, de la cual podríamos escribir sus primeros términos como sigue: 1 (1)
Ó 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 (2)
pues se observó que cada cuadrado tenía de área la mitad del área del cuadrado anterior.
2.- Al tratar de dar una regla para obtener el área de cualquiera de los cuadrados, digamos del n-ésimo cuadrado, resulta más fácil hacerlo a partir de la expresión (1), pues si observamos la tabla 18, que construyeron los alumnos, donde n representa al cuadrado en cuestión y A(n) a su respectiva área, podemos escribirla de la siguiente manera:
Tabla 21 Otra manera de escribir el área de cada cuadrado
Cuadrado Área 1 1 1/20
2 ½ 1/21
3 ¼ 1/22
4 1/8 1/23
5 1/16 1/24
80
Entonces nuestra regla para calcular el área del n-ésimo cuadrado es A(n)=1/2n-1
Entonces la respuesta a la pregunta 9 es:
A(20) = 1/219 = 1.907 X 10-6 y A(100) = 1/299 = 1.577 X 10-30
Es claro entonces, que la sucesión de valores que corresponden a las áreas de los cuadrados es una sucesión decreciente, que decrece rápidamente y converge a cero.
3.- Ahora observemos qué pasa con la suma de las áreas de los cuadrados. Si le llamamos S(n) a la suma de las áreas de los primeros n cuadrados, entonces la tabla 5 nos muestra como se puede escribir S(n):
Tabla 22 Otra manera de escribir las sumas
Cantidad de Cuadrados Suma de Áreas 1 1 {2(1)-1}/1 2 3/2 {2(2)-1}/2 3 7/4 {2(4)-1}/4 4 15/8 {2(8)-1}/8 5 31/16 {2(16)-1}/16 6 63/32 {2(32)-1}/32 7 127/64 {2(64)-1}/64
De donde podemos inducir una regla para la suma S(n) = {2(2n-1)-1}/2n-1 a partir de la cual podemos calcular la suma para n=20 y n=100, que quedarían como:
S(20) = {2(219)-1}/219 = 1.999998 y S(100) = {2(299)-1}/299 = 2 – 1.57X10-30
Es claro que S(20) es un número muy cercano a 2 pero S(100) es mucho más cercano a 2.
PROBLEMA 7
Observe la figura 15:
81
Figura 15
Es un triángulo equilátero, y se han unido los puntos medios de sus lados, luego en el triángulo de arriba se ha hecho lo mismo, y así sucesivamente.
¿Qué puede decir de la suma de las áreas de todos los triángulos sombreados?
PROBLEMA 8
Figura 16
Considere ahora la figura 16. Suponga que el triángulo más grande tiene un área de 1 metro cuadrado, y el siguiente triángulo se ha construido uniendo los puntos medios de los lados del triángulo anterior, y así sucesivamente. Calcule la suma de las áreas de todos los triángulos.
PREGUNTAS:
1.- ¿Cuánto es el área del segundo triángulo? 2.- ¿Cuánto es el área del tercer triángulo? 3.- ¿Cuánto es el área del cuarto triángulo?
82
4.- ¿Cuánto es el área del quinto triángulo?
5.- Llene la Tabla 23 con los resultados obtenidos.
Tabla 23 A(n) es el área del n-ésimo triángulo
n A(n) 2 3 4 5
6.- Determine un patrón para obtener el área del n-ésimo triángulo. 7.- Ahora determine la suma de las áreas de los primeros dos triángulos. 8.- Determine la suma de las áreas de los primeros tres triángulos.
9.- Determine la suma de las áreas de los primeros cuatro triángulos. 10.- Determine la suma de las áreas de los primeros cinco triángulos. 11.- Determine un patrón para obtener la suma de las áreas de los primeros n triángulos. Use dicho patrón para calcular la suma de las áreas de los primeros 20 triángulos y después úsela para obtener la suma de las áreas de los primeros 100 triángulos. 12.- Llámele S(n) a dichas sumas y llene la Tabla 24 con los datos obtenidos:
Tabla 24 Suma de áreas, S(n) es la suma de las áreas de los primeros n triángulos
n S(n) 1 2 3 4 5 20 100
13.- Escriba la Serie que representa al problema.
14.- ¿Es convergente?
83
15.- ¿A qué número converge?
OBSERVACIONES
1.- En el caso del problema anterior tenemos una serie geométrica con r=1/4, es decir, tenemos la serie geométrica: ∑∞ =1+1/4+1/42+…
2.- La Regla para obtener la n-ésima suma parcial S(n) es:{4(4n)-1}/{3(4n)}, con n=0,1,2,3,4,…Que es una sucesión convergente, y converge a 4/3.
PROBLEMA 9
Considere la Serie ∑∞ =1+1/3+1/32+1/33+…
PREGUNTAS:
1. Calcule S(0), S(1), S(2), S(3) y S(4) y muéstrelos en la Tabla 25:
Tabla 25 Primeras sumas parciales, S(n) es la n-ésima suma parcial
n S(n) 1 2 3 4
2. Trate de encontrar un patrón para dichos términos.
3. Exprese S(n) en términos de n.
4. Diga si la serie es convergente o no es convergente.
5. Si es convergente, ¿cuál es su suma S? PROBLEMA 10
Una pelota se deja caer desde una altura H (metros) y rebota a una altura Rh, donde 0<r<1. La pelota sigue rebotando indefinidamente y cada vez que lo hace rebota a una altura que es r veces la altura a la que rebotó en la vez anterior.
PREGUNTAS
1. ¿Cuánto es la altura a la que rebota la segunda vez?
84
2. ¿Cuánto es la altura a la que rebota la tercera vez?
3. ¿Cuánto es la altura a la que rebota la cuarta vez?
4. ¿Cuánto es la altura a la que rebota la quinta vez?
5. ¿Cuánto es la altura a la que rebota la 20ª. vez?
6. ¿Cuánto es la altura a la que rebota la 100ª. vez?
7. Escriba una regla para hallar la altura a la que rebota la n-ésima vez.
8. Si suponemos que la pelota sigue rebotando indefinidamente, ¿Cuánto es la distancia total recorrida por la pelota?
9. ¿Es finita? Explique su respuesta. 10. Si su respuesta fue sí, ¿Cuánto es el valor de dicha distancia?
OBSERVACIONES:
1. En este problema, estamos midiendo las distancias en forma vertical, considerando primero que la distancia recorrida por la pelota es, como se suelta desde una altura H metros, pues entonces:
La primera vez es H
La segunda vez es dos veces Rh
La tercera vez es dos veces r(Rh)=r2H
La cuarta vez es dos veces r(r2H)=r3H
Y así sucesivamente. Entonces se está generando una suma infinita de la forma:
H + 2rH + 2r2H + 2r3H +…
Que también podemos representar como:
H + 2 ∑∞
Notemos que H no depende de n y que por lo tanto es un factor común de la suma, y que podríamos extraer de dicha sumatoria.
2. Veamos que sucede en general con una Serie de la forma:
∞
85
De dichas series ya hemos visto que sus sumas parciales dependen del valor de r, exclusivamente, y en este caso sería:
Cuando r=1/2…………………………………………………… S(n) =
Cuando r=1/3…………………………………………………….. S(n)=
Cuando r=1/4…………………………………………………….. S(n)=
Por lo tanto para cualquier r………………………………. S(n)=/
Que es igual a……………………………………………………………
PROBLEMA 11
Verifique que la regla anterior se cumple para r=1/2, r=1/3, r=1/4, encontrando la equivalencia entre ambos resultados.
3. Entonces nuestro resultado respecto a Series Geométricas, es decir, Series de la
forma ∑∞ = 1+r+r2+r3+…. es que la Sucesión de Sumas Parciales S(n) =
4. Observemos que r tiene que ser distinta de 1 porque el denominador valdría cero cuando r vale 1. Si observamos la Serie Geométrica con r=1, nos daría la Serie No-Convergente igual a una suma infinita de unos y que ya habíamos comentado que dicha Serie No-Converge.
PROBLEMA 12
¿Que pasaría si r fuera mayor que 1? Trate de explicar porqué dichas Series Geométricas son No-Convergentes.
PROBLEMA 13
¿Qué pasa cuando r=-1?
PROBLEMA 14
¿Por qué hay un error en este cálculo?
0 = 0 + 0 + 0 + …
= (1-1)+(1-1)+(1-1)+…
=1-1+1-1+1-1+…
=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…
86
=1+0+0+0+…=1
(Guido Ubaldo creía que con ello se demostraba la existencia de Dios, porque “algo se ha creado de la nada”)
OBSERVACIONES
1. El problema anterior nos muestra dos resultados para la misma serie, la serie: ∑ 1∞ =1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …
2. Como ya habíamos comentado cuando una serie converge se acerca a un resultado único, por lo tanto la serie anterior no converge.
Pero, entonces, ¿cual es el error en el problema anterior?
3. Si nos fijamos las dos maneras de asociar los términos de la misma serie nos producen resultados diferentes. Si recordamos un poco, la sucesión de sumas parciales de una serie es convergente si y sólo si la serie es convergente. Entonces una serie cuya sucesión de sumas parciales no es convergente tampoco es convergente. Lo cual nos lleva a concluir que si la serie no es convergente, entonces las diferentes asociaciones que yo pueda hacer, pueden producir resultados diferentes.
4. Si ahora consideramos valores de r menores que -1 en las series geométricas, pues obtenemos resultados parecidos a los obtenidos con r=-1, es decir, Sucesiones de sumas parciales que no convergen.
PROBLEMA 15
¿Cuándo son convergentes y cuando son divergentes las Series Geométricas? Es decir, ¿Para qué valores de r son convergentes y para qué valores de r son divergentes?
87
5.3.4 BLOQUE 4 SERIES TELESCOPICAS
PROBLEMA 1: Observe la figura 17:
Figura 17
La figura 17 muestra las gráficas de las funciones y=1,y= soy= x2,y= x3, y=x4, y=x5, y=x6, y=x7, y=x8, y=x9, y=x10 en el intervalo 0,1 .
PREGUNTAS
1. ¿Cuánto es el área entre las gráficas de y=1 y y=x, en el intervalo 0,1 ?
2. ¿Cuánto es el área entre las gráficas de y=x y y=x2, en el intervalo 0,1 ?
3. ¿Cuánto es el área entre las gráficas de y=x2 y y=x3, en el intervalo 0,1 ?
4. ¿Cuánto es el área entre las gráficas de y=x3 y y=x4, en el intervalo 0,1 ?
5. ¿Observa algún patrón en la sucesión de números obtenidos?
6. ¿Puede decir cuál es el patrón?
−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
−0.3
−0.2
−0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
x
y
88
7. Ahora calcule el área entre las gráficas de y=xn y y=xn+1 .
8. Si este proceso se continúa indefinidamente, entonces se obtiene una sucesión
infinita de números que representan el área entre las curvas y=xn y y=xn+1 para n=0,1,2,3,…Representa la suma de todas las áreas como una serie.
9. ¿Geométricamente, si juntamos todas esas áreas, ¿qué es lo que se obtiene?
10. Entonces, la serie anterior debe converger al valor obtenido geométricamente.
Explique.
PROBLEMA 2
En la figura 18 vemos dos círculos, C y D, de radio 1, que se tocan en P, y T es una recta tangente común. C1 es el círculo que toca a C, D y T; C2, es el que toca a C, D y C1; C3 es el que toca a C, D y C2. Este proceso puede continuar de manera indefinida y producir una sucesión infinita de círculos . Halle una expresión para el diámetro de Cn y a partir de eso, proporcione una demostración de 1 1∞ 1
Figura 18
1. ¿Cuánto es el radio de C1?
2. ¿Cuánto es el diámetro de C1?
3. ¿Cuánto es el radio de C2?
CD
T
1 1
C1
C2C3
P
89
4. ¿Cuánto es el diámetro de C2?
5. ¿Cuánto es el radio de C3?
6. ¿Cuánto es el diámetro de C3?
7. Ahora dé una regla para determinar el diámetro de cualquiera de los círculos C1,
C2, C3,….
8. A partir de esta regla represente la sucesión de sumas parciales correspondiente.
9. ¿Podría dar una explicación, con base en los resultados obtenidos geométricamente, de lo que se pide demostrar en el problema?
5.3.5 BLOQUE 5 LA SERIE ARMÓNICA
PROBLEMA 1
Se apilan bloques idénticos de una unidad de longitud sobre el borde de una mesa. El centro de gravedad del bloque superior debe quedar sobre el bloque debajo de él, el centro de gravedad de los dos bloques superiores debe quedar sobre el bloque debajo de ellos, y así sucesivamente (Ver figura 19).
Figura 19
90
1. El Centro de gravedad es el punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo, y que es siempre el mismo, sea cual sea la posición del cuerpo. Para determinar el centro de gravedad hay que tener en cuenta que toda partícula de un cuerpo situada cerca de la superficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza, dirigida verticalmente hacia el centro de la Tierra, llamada fuerza gravitatoria. Cuando se trata de cuerpos de dimensiones muy pequeñas frente a la Tierra, se puede admitir que las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las distintas partículas del cuerpo son paralelas y de módulo constante. Por tanto, se puede calcular la posición del centro de gravedad hallando la recta de acción de la resultante de esas fuerzas. Si el cuerpo es homogéneo, el centro de gravedad coincide con su centro geométrico. Si un cuerpo es tan pequeño que la aceleración de la gravedad es la misma para todas las partículas, entonces el centro de masa y el de gravedad coinciden.
2. El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM.
3. En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X. En el caso de los bloques, que son paralelepípedos, su centroide se localiza en la intersección de sus diagonales.
4. En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.
5. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema.
91
6. La posición x del Centro de Masa de dos partículas una de masa m1
posicionada en x1 y otra de masa m2 posicionada en x2, se calcula con la fórmula
Donde x, x1 y x2 son las posiciones respecto de un eje de referencia.
PREGUNTAS:
1. Si la pila de bloques sólo consta de un solo bloque, ¿Cuánto sería su desplazamiento x1 a partir del borde izquierdo de la mesa?
2. Si la pila de bloques consta de dos bloques, ¿Cuánto sería el desplazamiento x1 del bloque inferior? ¿Cuál sería el desplazamiento x2 del bloque superior?
3. Si la pila de bloques consta de tres bloques, ¿Cuánto valen los desplazamientos x1, x2 y x3?
4. Si la pila de bloques consta de n bloques, ¿Cuánto valen los desplazamientos x1, x2, x3, …, xn?
5.3.6 BLOQUE 6 PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES
PROBLEMA 1
Ya sabemos que las series ∑∞ y ∑∞ son convergentes.
Construyamos una serie con la suma de los términos de las dos series: ∑∞ + ∑∞ . El resultado es una Serie. ¿Es convergente?
PROBLEMA 2
Ahora tomemos la Serie ∑∞ que ya sabemos que representa al racional
1/3 = 0.333… Si multiplicamos por 3 dicho número, obtendríamos el número 0.999…
Pero como serie obtendríamos la serie 3∑∞ . Muestre que dicha serie también es
convergente. ¿A qué número representa?
92
OBSERVACIÓN
La suma de series convergentes es una serie convergente. El producto de un número por una serie convergente también da como resultado una serie convergente.
5.3.7 BLOQUE 7 CRITERIOS DE CONVERGENCIA
a) CRITERIO DE DIVERGENCIA
PROBLEMA 1
Hemos visto que para que una serie sea convergente es necesario y suficiente que la sucesión de sumas parciales sea convergente. Esto quiere decir que la diferencia entre una suma parcial y su anterior tiene que ser cada vez menor y tiene que acercarse a cero. Es decir, Si Sn = a1 + a2 + a3 + … + an y Sn-1 = a1 + a2 + a3 + … + an-1 entonces Sn – Sn-1 = an y debe converger a cero.
¿Qué pasa entonces si la sucesión an no converge a cero?
¿Puede dar un ejemplo de una serie donde an no converge a cero? ¿Es convergente o divergente?
OBSERVACIÓN
Si la sucesión que genera a una serie no converge a cero, entonces la serie es divergente.
b) CRITERIO DE COMPARACIÓN
PROBLEMA 1
Compare la Serie ∑∞ , para tratar de determinar si es convergente o
divergente, con la Serie ∑∞ que ya sabemos que es convergente. Es decir, haga
una comparación término a término de las dos series. ¿Qué concluye al respecto? ¿Cuáles términos son más grandes?¿Qué puede decir de la convergencia de la primer serie?
OBSERVACIÓN
Si tenemos una serie convergente que es mayor o igual, término a término, que otra serie, entonces la segunda también es convergente.
93
PROBLEMA 2
Compare la Serie Geométrica divergente ∑ 1.1∞ con la Serie ∑∞ . ¿Cuál es mayor? ¿Qué concluye respecto a la convergencia de la segunda serie?
OBSERVACIÓN
Si tenemos una serie divergente que es menor o igual, término a término, que otra serie, entonces la segunda también es divergente.
c) CRITERIO DE LA INTEGRAL
OBSERVACIÓN
Podemos utilizar el objeto matemático Integral Definida para auxiliarnos en la solución de los problemas.
PROBLEMA 1
Demostrar que la serie armónica ∑∞ es divergente. La figura 20 muestra una gráfica de la función f(x)=1/x, para x>0, y se muestran algunos rectángulos cuya base mide 1 y su altura esta dada por f(1), f(2), f(3), …., etc.
Figura 20
1.- ¿Qué área tiene cada uno de los rectángulos dibujados? 2.- Si continuamos la sucesión de áreas de los rectángulos, su suma representa una serie, ¿Cuál es? Escríbala.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
1
2
3
4
5
x
y
94
3.- Calcule la integral definida de la función f(x)=1/x, desde x=1 hasta x=∞ 4.- Es claro que el área bajo f desde x=1 hasta x=∞, es menor que la suma de las áreas de los rectángulos. ¿Es finita? 5.- Entonces, ¿puede concluir algo respecto a la convergencia de la serie armónica tomando en cuenta las observaciones anteriores?
PROBLEMA 2
Si usamos un argumento similar al anterior (el de la Integral), para determinar si la serie ∑∞ es convergente o divergente, ¿A qué conclusión se llega?
d) CRITERIO DEL COCIENTE
PROBLEMA 1
Recordemos que la serie ∑∞ es convergente. ¿Qué sucede con el límite de
los cocientes an+1/an para la serie ∑∞ ?
PROBLEMA 2
¿Qué sucede con la serie ∑ 2∞ respecto a la pregunta del problema anterior?
PROBLEMA 3
Recordemos que las series geométricas ∑∞ resultaron convergentes para r<1 y divergentes para r≥1. Si tratamos de responder a la pregunta anterior, entonces obtenemos como respuesta r, y en el caso de series geométricas convergentes el límite de dicho cociente es menor que 1 y en el caso de series geométricas divergentes dicho límite es mayor que 1. ¿Podría concluir algo respecto a dicha observación?
PROBLEMA 4
En el caso de la serie armónica ¿Cuánto es dicho límite?
PROBLEMA 5
En el caso de la serie ∑∞ , que es convergente, ¿Cuánto es dicho límite?
PROBLEMA 6
Muestre que la serie ∑ !∞ diverge.
1.- Calcule algunos términos de la sucesión correspondiente tal como lo sugiere la tabla 26:
95
Tabla 26 Términos de la sucesión An
N An 1 2 3 4 10 20 50 100 120
2.- Ahora calcule los primeros diez términos de la Sucesión de Sumas Parciales y muéstrelos en la tabla 27:
Tabla 27 Sumas parciales
N Sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.- ¿Puede deducir algo respecto a la convergencia o divergencia de la serie? 4.- Aplique el Criterio del Cociente para tratar de corroborar la respuesta de la pregunta anterior.
5.- ¿Coinciden? PROBLEMA 7
¿Qué sucede si aplicamos el criterio anterior a la serie ∑∞ ?
OBSERVACIÓN
Entonces necesitamos otro criterio para determinar si la serie converge o diverge.
96
5.3.8 BLOQUE 8 SERIES P
PROBLEMA 1
Un cuadrado tiene de lado 1m, un segundo cuadrado tiene de lado 1/2m, un tercer cuadrado tiene de lado 1/3m, y así sucesivamente se va construyendo una sucesión de cuadrados con esas características. Vea la figura 21.
Figura 21
1.- ¿Cuál es el área del primer cuadrado?
2.- ¿Cuál es el área del segundo cuadrado?
3.- ¿Cuál es el área del tercer cuadrado?
4.- ¿Cuál es la regla para obtener el área del n-ésimo cuadrado?
PROBLEMA 2
Ahora vamos a sumar las áreas de los cuadrados del problema anterior.
1.- ¿Cuál es la suma de las áreas de los primeros 2 cuadrados?
2.- ¿Cuál es la suma de las áreas de los primeros 3 cuadrados?
3.- ¿Cuál es la suma de las áreas de los primeros 4 cuadrados?
11/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1/7
1/8
97
4.- ¿Cuál es la suma de las áreas de los primeros 5 cuadrados?
5.- ¿Cuál es la suma de las áreas de los primeros 10 cuadrados?
6.- ¿Cuál es la suma de las áreas de los primeros 20 cuadrados?
PROBLEMA 3
La tabla 28 muestra los valores de n, de 1/n2 y la suma de las áreas de los primeros n cuadrados desde n=1 hasta n=10:
Tabla 28 Valores de An y Sn desde n=1 hasta n=10 n 1/n2 ∑
1 1 1 2 0,25 1,25 3 0,11111111 1,361111114 0,0625 1,423611115 0,04 1,463611116 0,02777778 1,491388897 0,02040816 1,511797058 0,015625 1,527422059 0,01234568 1,5397677310 0,01 1,54976773
Enseguida se muestran los valores de las mismas columnas para algunos valores de n mayores que 10 hasta 1000, al final se escriben dos términos consecutivos:
98
Tabla 29 An y Sn para valores mayores de 10 y hasta 1000
20 0.0025 1.5961 30 0.0011 1.6121
40 0.000625 1.6202 50 0.0004 1.6251 100 0.001 1.6349 150 0.000044 1.6382 200 0.000025 1.6399 250 0.000016 1.6409 300 0.0000111 1.6416 400 0.00000625 1.6425 500 0.000004 1.6429 600 2.7778X10-6 1.6432 700 2.0408 X10-6 1.6435 800 1.5625 X10-6 1.6436 900 1.2346 X10-6 1.6438 999 1.002 X10-6 1.64393357 1000 1 X10-6 1.64393457
1.- ¿Podría concluir algo respecto a la convergencia o divergencia de la serie? 2.- ¿Podría concluir algo respecto a la suma de la serie? PROBLEMA 4
Ahora observe la figura 22:
Figura 22
99
1.- ¿Podría dar una cota superior para la suma de las áreas de los primeros 3 cuadrados?
2.- ¿Podría dar una cota superior para la suma de las áreas de los primeros 7 cuadrados?
3.- ¿Podría dar una cota superior para la suma de las áreas de los primeros 15 cuadrados?
4.- ¿Podría dar una cota superior para la suma de las áreas de los primeros 31 cuadrados?
5.- ¿Podría dar una cota superior para la suma de las áreas de los primeros 63 cuadrados?
6.- ¿Podría dar una cota superior para la suma de las áreas de los primeros (2n-1) cuadrados, donde n=1,2,3,…?
7.- ¿Podría dar una cota superior para la suma de las áreas de todos los cuadrados de la sucesión de cuadrados construida?
PROBLEMA 5
Supongamos que ahora tenemos cubos de lado 1, , , , , …
1.- ¿Cuál es el volumen del primer cubo?
2.- ¿Cuál es el volumen del segundo cubo?
3.- ¿Cuál es el volumen de tercer cubo?
4.- ¿Cuál es el volumen del decimo cubo?
5.- ¿Cuál es el volumen del centésimo cubo?
6.- ¿Cuál es la regla para obtener el volumen de todos los cubos?
PROBLEMA 6
Vamos a sumar los volúmenes de los cubos del problema anterior. 1.- ¿Cuál es la suma de los volúmenes de los dos primeros cubos? 2.- ¿Cuál es la suma de los volúmenes de los tres primeros cubos? 3.- ¿Cuál es la suma de los volúmenes de los cuatro primeros cubos? 4.- ¿Cuál es la suma de los volúmenes de los 10 primeros cubos? 5.- ¿Cuál es la suma de los volúmenes de los 20 primeros cubos?
100
PROBLEMA 7
Ahora se muestra en la tabla 30 los valores de , , y la sumatoria de los valores desde n=1 hasta n=10:
Enseguida se muestran las mismas columnas de la tabla anterior con valores de n mayores que 10 hasta 500:
Tabla 31 An y Sn para valores de n mayores a 10
20 0.000125 1.20086784 30 3.7037X10-5 1.20151956 40 1.5625 X10-5 1.20175212 50 0.000008 1.20186086 60 4.6296 X10-6 1.20192031 70 2.9155 X10-6 1.20195631 80 1.9531 X10-6 1.20197975 90 1.3717 X10-6 1.20199586 100 0.000001 1.2020074 200 1.25 X10-7 1.20204447 300 3.7037 X10-8 1.20205137 400 1.5625 X10-8 1.20205379 500 8 X10-9 1.20205491
1.- ¿Qué puede concluir respecto a la convergencia o divergencia de la Serie?
2.- ¿Qué puede concluir respecto a la suma de la Serie?
Tabla 30 An y Sn para n=1 hasta n=10
n An Sn 1 1 12 0,125 1,1253 0,03703704 1,162037044 0,015625 1,177662045 0,008 1,185662046 0,00462963 1,190291677 0,00291545 1,193207128 0,00195313 1,195160249 0,00137174 1,19653199
10 0,001 1,19753199
101
PROBLEMA 8
Ahora use el criterio de la integral para mostrar que la serie ∑∞ es convergente.
PROBLEMA 9
Pruebe que la serie ∑∞ es convergente, usando el criterio de la integral
PROBLEMA 10
Una serie de la forma ∑∞ , donde p es un número real positivo, se llama Serie-p.
1.- ¿Para qué valores de p converge?
2.- ¿Para qué valores de p diverge?
3.- ¿Qué serie se obtiene cuando p=1?
5.3.9 BLOQUE 9 SERIES ALTERNANTES
PROBLEMA 1
Si alternamos los signos de los términos de la serie armónica ∑∞ obtenemos
la Serie Armónica Alternante ∑ 1∞ .
1. Enliste los primeros 10 términos de la serie. 2. Llene la siguiente tabla:
Tabla 32 Sn para valores desde n=1 hasta n=10
N Sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
102
3. Con base en la tabla anterior, ¿Qué observaciones acerca del comportamiento de la serie puede hacer?
4. ¿Es convergente? 5. Si la serie converge, ¿Podría dar un intervalo que contenga al valor numérico S
de la serie? 6. Si la serie es convergente, ¿podría aproximar el valor de S, usando la tabla 32?
OBSERVACIONES:
1. Si le llamamos Rn a la diferencia S – Sn, es decir el resto o residuo de Sn respecto de S, podemos decir que | | | | .
2. Entonces en general, si tenemos una serie alternante, y la sucesión de términos positivos tiende a cero, y es decreciente, entonces la serie converge.
3. Si en una serie alternante, se toman los valores absolutos de sus términos y la serie resultante es convergente, entonces con más razón será convergente la serie original.
PROBLEMA 2
Determine la convergencia o divergencia de las siguientes series: ∑ 1 !∞ ∑ 1∞ ∑ 1 ∞
PREGUNTAS:
1. Determine los primeros 5 términos de cada serie.
2. Determine S1, S2, S3, S4 y S5 para cada serie.
3. Aplique las observaciones anteriores para determinar si la serie es convergente o divergente.
5.4 PROBLEMARIO
1.- EL PROBLEMA DE LOS CÍRCULOS EN EL TRIÁNGULO
La figura 23 representa una cantidad infinita de círculos que se aproximan a los vértices de un triángulo equilátero. Cada círculo toca otros círculos y los lados del triángulo. Si los lados del triángulo miden 1, calcule el área total que ocupan los círculos.
103
Figura 23
1. ¿Cuál es el radio del primer círculo? 2. ¿Cuál es el radio del segundo círculo? 3. ¿Cuál es el radio del tercer círculo? 4. ¿Cuál es el radio del cuarto círculo? 5. ¿Cuál es el radio del vigésimo círculo? 6. ¿Cuál es el radio del centésimo círculo? 7. ¿Cuál es la regla para calcular el radio del n-ésimo círculo? 8. ¿Cuál es el área del primer círculo? 9. ¿Cuál es el área del segundo círculo? 10. ¿Cuál es el área del tercer círculo? 11. ¿Cuál es el área del cuarto círculo? 12. ¿Cuál es el área del vigésimo círculo? 13. ¿Cuál es el área del centésimo círculo? 14. ¿Cuál es la regla para calcular el área del n-ésimo círculo? 15. ¿Cuál es la suma de las áreas de todos los círculos?
2.- EL PROBLEMA DEL DINERO
Cuando se gastan dinero en bienes y servicios, quienes lo reciben también gastan una parte. Quienes reciben algo del dinero ya gastado dos veces, gastarán también parte y así sucesivamente. Los economistas llaman a esta reacción en cadena efecto multiplicador. En una comunidad hipotéticamente aislada, el gobierno local inicia el proceso de gastar D dólares. Suponga que cada uno de los receptores del dinero gasta 100c%, y ahorra 100s% del dinero que recibe. Los valores de c y s se llaman
104
propensión marginal por consumir y propensión marginal por ahorrar; naturalmente, c+s=1.
a) Sea Sn el gasto total generado después de n transacciones. Determine una ecuación para calcular Sn
b) Demuestre que lim ∞ , donde k=1/s. El número k se llama multiplicador. ¿Cuál es el multiplicador si la propensión marginal a consumir es 80%?
Nota: El gobierno federal de Estados Unidos usa este principio para justificar el gasto deficitario; los bancos lo utilizan a fin de justificar el préstamo de un gran porcentaje del dinero que reciben en calidad de depósitos.
3.- EL PROBLEMA DEL CONJUNTO DE CANTOR
El conjunto de Cantor, llamado así en honor de George Cantor, matemático alemán (1845-1918), se forma como sigue: Se comienza con el intervalo cerrado 0,1 y se elimina el intervalo abierto , . Con ello quedan dos intervalos 0, y , 1 . A continuación se quita el tercio medio abierto de ambos. Quedan cuatro intervalos y, de nuevo se suprime el tercio medio abierto de cada uno de ellos. El proceso continua indefinidamente quitando en cada paso el tercio medio abierto de cada intervalo que queda del paso anterior. El conjunto de Cantor consta de todos los números que quedan en 0,1 , después de quitar todos esos intervalos. a) Demuestre que la longitud total de los intervalos que se quitaron es 1. A pesar de ello, el conjunto de Cantor contiene una cantidad infinita de números. Dé ejemplos de algunos números del conjunto de Cantor. b) La Carpeta de Sierpinski es un análogo bidimensional del conjunto de Cantor. Se forma quitando la novena parte central de un cuadrado de lado 1. Después se suprimen las partes centrales de los ocho cuadrados restantes, que son más pequeños, y así sucesivamente. (La figura 24 muestra los dos primeros pasos de este procedimiento). Demuestre que la suma de las áreas de los cuadrados que se quitaron es 1. Esto significa que la carpeta de Sierpinski tiene un área igual a 0.
Figura 24
105
4.- EL PROBLEMA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo rectángulo ABC está dado por y | | , CD se traza perpendicular a AB, DE se traza perpendicular a BC, EF perpendicular a AB, y se continua este proceso de manera indefinida, como se muestra en la figura 25. Encuentre la longitud total de todas las perpendiculares: | | | | | | | | en términos de b y .
Figura 25
5.- EL PROBLEMA DE LA DIGITOXINA
A los pacientes con ciertos problemas cardíacos generalmente se les trata con digitoxina, un derivado de la planta digitalis. La tasa a la cual el cuerpo de una persona elimina la digitoxina es proporcional a la cantidad de digitoxina presente. En un día alrededor del 10% de cualquier cantidad de droga dada será eliminada. Supongamos que diariamente se le da al paciente una “dosis de mantenimiento” de 0.05 mg. ¿Qué cantidad de digitoxina se encuentra presente en el paciente después de varios meses de tratamiento?
6.- Los lados de un cuadrado son de 16 pulgadas de longitud. Un nuevo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado original, y dos de los triángulos fuera del segundo cuadrado están sombreados (vea la figura 26). Determine el área de las regiones sombreadas: a) Si este proceso se repite cinco veces más. b) Si este patrón de sombreado se repite infinitamente.
A
b
C
D
E
F
G
H
B
teta
106
Figura 26
7.- Un fabricante de juegos electrónicos que produce un nuevo producto estima que las ventas anuales serán 8,000 unidades. Cada año 10% de las unidades que se han vendido dejan de funcionar. Así pues, 8000 unidades estarán en uso después de un año, 8,000+0.9(8,000) unidades estarán en uso después de 2 años, así sucesivamente. ¿Cuántas unidades estarán en uso después de n años?
8.- Una compañía compra una máquina por $225,000, la cual se deprecia a un ritmo o velocidad de 30% por año. Encontrar una fórmula para el valor de la maquina después de n años. ¿Cuál es su valor después de 5 años?
9.- El ingreso anual por turismo en una ciudad es de $100 millones. Aproximadamente 75% de ese ingreso se reinvierte en la ciudad, y de esa cantidad aproximadamente 75% se reinvierte en la misma ciudad, y así sucesivamente. Escriba la serie geométrica que da la cantidad total de gasto generado por los $100 millones y encuentre la suma de la serie.
10.- El ganador de un millón de pesos de la lotería nacional se le pagará cincuenta mil pesos por año durante 20 años. El dinero gana 6% de interés por año. El valor presente de las ganancias es:
50,0001
1.06
�20
� 1
Calcular el valor presente e interpretar su significado.
11.- Un copo esférico (mostrado en la figura 27) es un fractal generado por computadora por Eric Haines. El radio de la esfera grande es 1. A la esfera grande se unen nueve esferas de radio 1/3. A cada una de éstas esferas se unen nueve esferas de radio 1/9. Este proceso es infinitamente continuo. Demuestre que el copo esférico tiene una superficie de área infinita.
107
Figura 27
12.- La figura 28 representa una manera informal de demostrar que: ∑ 1�2 2∞
� 1 .
Explique cómo la figura implica esta conclusión.
Figura 28
108
13.- Usted va a trabajar en una compañía que paga 0.01 de dólar el primer día, 0.02 el segundo, 0.04 el tercero, y así sucesivamente. Si el salario se mantiene así, doblándose cada día, ¿cuánto habrá cobrado en total por trabajar:
a) 29 días b) 30 días c) 31 días
14.- Al recibir a fin de mes su paga, un empleado invierte una cantidad P en un plan de pensiones. Los depósitos se hacen cada mes durante t años y la cuenta gana intereses a un ritmo o tasa porcentual anual r. a) A un interés compuesto capitalizable mensualmente, la cantidad final A en la cuenta al final de t años es: b) A un interés compuesto continuo, la cantidad final A en cuenta después de t años sería:
15.- Las ventas anuales an (en millones de dólares) de los productos Avon de 1993 a 2002 se dan enseguida como pares ordenados de la forma (n, an ), donde n representa el año, n=3 corresponde a 1993. (Fuente: 2002 Avon Products, Inc. Annual Report): (3, 3844), (4, 4267), (5, 4492), (6, 4814), (7, 5079), (8, 5213), (9, 5289), (10,5682), (11, 5958), (12, 6171) a) Usar la función de regresión de una calculadora para encontrar un modelo de la forma an = cekn , n=3,4,5,…,12 para los datos. Gráficamente compare los puntos y el modelo. b) Usar los datos para encontrar las ventas totales en un período de 10 años.
c) Aproximar las ventas totales en un período de 10 años usando la fórmula para la suma de una serie geométrica. Compare el resultado con el apartado (b).
16.- Usted acepta un trabajo que paga un sueldo de $40,000 por el primer año. Durante los próximos 39 años usted recibe un 4% de aumento cada año. ¿Cuál será su compensación total sobre un período de 40 años?
17.- Demuestre que 0.75 es equivalente (es decir representan al mismo número) a 0.749999…