capítulo 7 trabajo y energía

Capítulo 7 Trabajo y energía

219

7. TRABAJO Y ENERGÍA

7.1. Introducción

El problema fundamental de la Mecánica es describir como se

moverán los cuerpos si se conocen las fuerzas aplicadas sobre él.

Una forma de hacerlo es aplicando la segunda Ley de Newton,

cuando las fuerzas son constantes, pero si las fuerzas no son constantes, es decir la aceleración no es constante, entonces se

debe utilizar otra alternativa para determinar la velocidad y la

posición del cuerpo.

La otra alternativa usa los conceptos de trabajo y energía que se fundamentan en las Leyes de Newton, por lo que no se requiere

ningún principio físico nuevo. Ejemplos de fuerzas variables son

aquellas que varían con la posición, comunes en la naturaleza, como

la fuerza gravitacional o las fuerzas elásticas. La importancia fundamental de la energía es que ella se conserva.

El concepto común que se tiene de

trabajo es muy diferente al concepto

del trabajo mecánico, esto es, no coincide con el significado físico de esta

palabra. Es corriente escuchar a una

persona decir: “he realizado mucho

trabajo”, pero desde el punto de vista

físico, puede que no haya realizado ningún trabajo.

En la figura 7.1, la fuerza que aplica la

persona realiza trabajo, ya que vence

la resistencia del carro a permanecer en reposo, y lo hace mover.

En física se dice que una o más fuerzas realizan trabajo mecánico

cuando vencen la resistencia de un cuerpo y lo hacen mover de un

punto a otro.

Las fuerzas que ejercen dos personas no realizan trabajo, cuando

ellas se equilibran (figura 7.2).

7.2. Trabajo mecánico de una fuerza constante

Una fuerza constante genera trabajo cuando, aplicada a un cuerpo, lo desplaza a lo largo de una

determinada distancia. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. Por otra parte,

si una fuerza constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. Por ejemplo, el sostener un

libro con el brazo extendido no implica trabajo alguno sobre el libro, independientemente del esfuerzo

necesario.

Mecánicamente se puede decir que: “El trabajo realizado por una fuerza constante al mover un

objeto de un punto a otro, es igual al producto del módulo del desplazamiento y el módulo

de la componente de la fuerza paralela al desplazamiento”.

7.1. Introducción

7.2. Trabajo mecánico de una fuerza constante

7.3. Gráfico F vs. x 7.4. Trabajo mecánico de una fuerza

variable 7.5. Energía

7.6. Energía cinética 7.7. Energía potencial

7.8. Fuerzas conservativas y no conservativas

7.9. Conservación de la energía mecánica

7.10. Potencia

Objetivos

Definir y calcular el trabajo realizado por fuerzas cuyos

módulos son constantes y variables

Entender la relación entre trabajo realizado y la energía transferida.

Definir y reconocer las energías

cinética y potencial.

Enunciar y utilizar el principio

Trabajo-Energía.

Establecer el principio de

conservación de la energía mecánica

Entender la rapidez con la cual se realiza trabajo.

Resolver problemas usando el principio trabajo-energía

Figura 7.1

Figura 7.2

F v


220

F

cosF

se

nF

θ

F

d

Si la fuerza tiene el sentido del movimiento, entonces:

𝑊 = 𝐹 𝑑 (7.1)

Cabe resaltar que el trabajo es una magnitud escalar.

La unidad de medida del trabajo en base a la ecuación 7.1, en el SI es

[N m] que se llama Joule, simbolizado por [J].

Cuando la fuerza aplicada tiene una inclinación “𝜃” con respecto al sentido del movimiento.

𝑊 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑 (7.2)

En base a la ecuación anterior, se obtienen las siguientes

conclusiones:

a) Si 𝜃 = 0°, es decir, si la fuerza, como en la figura

7.3, es paralela al movimiento,

𝑊𝑥 = 𝐹 𝑑 cos 0° → 𝑊𝑥 = 𝐹 𝑑

b) Si 𝜃 = 90°, es decir, si la fuerza es perpendicular

al movimiento 𝑑 = 0, no se realiza trabajo;

𝑊𝑦 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 90° 𝑑 → 𝑊𝑦 = 0

c) Si la fuerza aplicada sobre el cuerpo no lo mueve, no realiza trabajo ya que el desplazamiento

es cero;

d) Si 0 < 𝜃 < 90°, es decir, si la componente de la fuerza tiene el mismo sentido del

desplazamiento, el trabajo es positivo;

e) Si 90° < 𝜃 < 180°, es decir, si la componente de la fuerza tiene sentido opuesto al del

desplazamiento, el trabajo es negativo.

De estas conclusiones se deduce que el trabajo, para una fuerza constante, se expresa como el

producto escalar del vector fuerza �⃗� por el vector desplazamiento ∆ 𝑑 de la siguiente forma:

𝑊 = �⃗� ∘ ∆ 𝑑 (7.3)

De la expresión anterior, por la definición de producto escalar, queda claro que el trabajo es un escalar

y puede ser positivo, negativo o cero.

7.2.1. Trabajo total o neto

En general, sobre un cuerpo de masa “m” actúan otras fuerzas como el peso, la fuerza de rozamiento,

la normal, etc., por lo que la ecuación anterior se refiere sólo al trabajo de la fuerza �⃗� en particular,

pero también las otras fuerzas también realizan trabajo. En las figuras 7.3 y 7.4, las fuerzas peso y normal no realizan trabajo ya que son perpendiculares al desplazamiento y la fuerza de rozamiento

realiza trabajo negativo, ya que siempre tiene sentido opuesto al desplazamiento. El trabajo total

sobre la partícula es la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas.

𝑊𝑇 = 𝑊1 + 𝑊2 + ⋯ + 𝑊𝑛 (7.4)

Figura 7.3

Figura 7.4

mF

d


221

Ejemplo 7.1

Con una fuerza de 250 [N] que forma un ángulo de 60º con la horizontal se jala

una caja de 50 [kg], en una superficie áspera horizontal (figura 7.5). Si la caja se mueve una distancia de 5 [m] con rapidez constante, calcular:

a) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas

que actuan sobre la caja.

b) El coeficiente de fricción.

Solución

Las fuerzas que actúan sobre la caja son �⃗�, normal, rozamiento y peso,

como se muestran en el diagrama de cuerpo libre 7.1.

a) La definición de trabajo es 𝑤 = �⃗� ∘ �⃗� , que se aplica a cada fuerza

Para F⃗⃗: 𝑊𝐹 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑 = 250 [𝑁] ∗ cos 60° ∗ 5 [𝑚] 𝑊𝐹 = 625 [𝐽]

Para N⃗⃗⃗: 𝑊𝑁 = 𝑁 𝑐𝑜𝑠 90° 𝑑 = 0 [𝐽] 𝑊𝑁 = 0 [𝐽]

Para 𝑚 �⃗⃗⃗�: 𝑊𝑃 = 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 270° 𝑑 = 0 [𝐽] 𝑊𝑃 = 0 [𝐽]

Como no se conoce el valor de la fuerza de rozamiento, se debe calcular, del DCL y aplicando la

primera ley de Newton, ya que la caja se mueve con rapidez constante, es decir:

Eje x: 𝐹 𝑐𝑜𝑠 60° − 𝑓𝑟 = 0 (1)

Eje y: 𝐹 𝑠𝑒𝑛 60° + 𝑁 − 𝑚𝑔 = 0 (2)

De (1) 𝑓𝑟 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° → 𝑓𝑟 = 250 [𝑁] ∗ 𝑐𝑜𝑠 60° = 125 [𝑁], reemplazando en el trabajo,

𝑊𝑅 = 125 [𝑁] ∗ 𝑐𝑜𝑠 180° ∙ 5[𝑚] = − 625 [𝐽] 𝑊𝑅 = − 625 [𝐽]

b) Por definición, 𝑓𝑟 = 𝜇 𝑁, despejando “N” de (2) se tiene 𝑁 = 𝑚𝑔 − 𝐹 𝑠𝑒𝑛 60°, entonces:

𝑓𝑟 = 𝜇 (𝑚𝑔 − 𝐹 𝑠𝑒𝑛 60°) ⇒ 𝜇 = 𝑓𝑟

𝑚 𝑔−𝐹 𝑠𝑒𝑛 60°→ 𝜇 =

125 [𝑁]

50 [𝑘𝑔]∗ 9,8 [𝑚

𝑠2]−250 [𝑁]∗ 𝑠𝑒𝑛 60°→ 𝜇 = 0,457

Ejemplo 7.2

Una fuerza �⃗� = 5𝑖̂ − 2𝑗̂ [𝑁] actúa sobre un cuerpo que se desplaza desde el origen hasta 𝑟 = 4𝑖̂ + 2�̂� [𝑚]. Hallar el trabajo realizado por la fuerza y el ángulo entre ésta y el desplazamiento.

Solución

𝑊 = �⃗� ∘ 𝑟 → 𝑊 = 5 [𝑁] ∗ 4 [𝑚] − 2 [𝑁] ∗ 2 [𝑚] → 𝑊 = 16 [𝐽]

𝑊 = |�⃗⃗⃗�| |�⃗⃗⃗�| cos 𝜃 → 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠− 1 (�⃗⃗⃗�∘�⃗⃗⃗�

|�⃗⃗⃗�| |�⃗⃗⃗�| ) → 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠− 1 (

16

√29 √20 ) → 𝜃 = 48,37°

7.2.2. Unidades de trabajo

Sistema absoluto

Sistema Fuerza Distancia Trabajo

SI – M.K.S Newton N m Joule [J]

C.G.S. Dina cm Ergio [erg]

Ingles Poundal pie Poundal pie

Sistema técnico

SI – M.K.S kgf m kgf m

C.G.S. gf cm gf cm

Ingles lbf pie lbf pie

Figura 7.5

DCL 7.1

m

F

rf

N

F

gm

60

x

y

Cuadro 7.1


222

7.2.3. Otras unidades

1 [BTU] = 1 054 [J]

1 [cal] = 4,186 [J] 1 [eV] = 1,602*10 -19 [J]

7.2.4. Casos en las cuales no se realiza trabajo:

El trabajo W será nulo en tres casos posibles:

i. Cuando la fuerza es nula, por ejemplo cuando un cuerpo desliza por una superficie perfectamente lisa.

ii. Cuando el desplazamiento ∆x⃗⃗⃗ es nulo, por ejemplo cuando se sostiene un peso con la mano,

cuesta trabajo mantenerlo en el sentido ordinario, pero no se realiza trabajo mecánico, pues

si se aplica una fuerza para equilibrar el peso, no existe desplazamiento.

iii. Cuando ∆𝑥 ⃗⃗ ⃗⃗ ⊥ �⃗⃗⃗� (perpendicular). Por ejemplo en el caso (i). el peso del cuerpo es vertical y su

desplazamiento es horizontal.

7.3. Gráfico F vs. x

Considerando la figura 7.6, donde la fuerza (F ⃗⃗⃗ = cte.) aplicada a la masa m es paralela al sentido del

movimiento del cuerpo, entonces el gráfico F vs. X es como el que se muestra en la figura 7.7:

En la figura 7.8 se observa que el área debajo de la curva (recta) es igual a 𝐹 𝑥, que representa el

trabajo realizado por la fuerza �⃗�.

7.4. Trabajo mecánico de una fuerza variable

Si una fuerza de módulo variable �⃗� está moviendo a un objeto a lo largo

del eje x desde una posición inicial a otra final, ya no es adecuado usar la ecuación (7.3) para calcular el trabajo realizado por la fuerza.

En general, el valor del trabajo es numéricamente igual al área debajo la

curva del gráfico “Fx” vs. “x” (figura 7.8), con la respectiva unidad.

Ejemplo 7.3

Hallar el trabajo efectuado por la fuerza variable mostrada en la figura 7.9.

Solución

El área debajo de la curva es:

𝐴 = 𝜋 𝑅2

4+

ℎ 𝑏

2 → 𝐴 =

𝜋 42

4+

4∗2

2= 16,57

𝑊 = 16,57 [𝐽]

mF

X

F

x

áreaF

d Figura 7.6

Figura 7.7

Figura 7.8

Figura 7.9

área

F

0d xfd

][NF

][mx

2

4

2 4 6

h

b


223

7.4.1. Ley de Hooke

Un sistema físico común en el que la fuerza varía con la

posición, es el de un cuerpo conectado a un resorte. Si el resorte, orientado en dirección del eje “x”, se deforma desde

su configuración inicial, es decir se estira o se comprime una

distancia “x”, por efecto de alguna fuerza externa sobre el

resorte, instantáneamente actúa una fuerza �⃗� producida por

el resorte contra el objeto que ejerce la fuerza externa, cuyo módulo es:

𝐹 = 𝑘 𝑥 (7.5)

Donde “x” es el módulo del desplazamiento del resorte desde su posición no deformada en “𝐿” a “ 𝐿 ± 𝑥”, “L” es la longitud

natural del resorte y “k” una constante positiva llamada

constante elástica del resorte, que es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. Esta ecuación se denomina Ley de Hooke,

y es válida para pequeños desplazamientos, ya que si el

resorte se estira demasiado, puede deformarse y no recuperar

su forma original.

Si se aplica una fuerza a un resorte a lo largo del eje “x”,

entonces la fuerza estará dada por: 𝐹 = 𝑘 𝑥 desde una

posición inicial a otra final. El trabajo realizado por la fuerza se halla en base al gráfico F vs. x (figura 7.11).

El trabajo realizado por la fuerza “F”, es igual a:

𝑊 = 1

2 𝑘 𝑥2 (7.6)

Ejemplo 7.4

Para un resorte de k = 100 [N/m], que se estira 10 [cm], ¿cuál es el

trabajo que realiza la fuerza del resorte para recuperar su posición inicial no deformada?

Solución

𝑊 = 1

2 𝑘 𝑥2 → 𝑊 =

1

2∗ 100 [

𝑁

𝑚] ∗ (0,1 [𝑚])2 → 𝑊 = 0,5 [𝐽]

7.5. Energía

Cuando la fuerza de rozamiento realiza trabajo, se observa que en la superficie de los cuerpos en

contacto se produce un aumento de temperatura. Es porque se ha producido una transformación de movimiento a calor, es decir que se ha producido una transferencia de energía de movimiento a

energía calórica. En otras transformaciones se produce energía en forma de luz, sonido, electricidad,

nuclear, etc.

En las transformaciones cuando se realiza trabajo, se miden cambios de energía. El concepto de

energía se puede generalizar para incluir distintas formas de energía conocidas como cinética, potencial, calórica, electromagnética, etc. De esta forma, la mecánica de los cuerpos en movimiento

se relaciona con otros fenómenos naturales que no son mecánicos por intermedio del concepto de

energía. El concepto de energía invade toda la ciencia y es una de las ideas unificadoras de la Física.

En base a lo anterior se puede decir que “un cuerpo posee energía cuando es capaz de realizar trabajo”.

Figura 7.10

Figura 7.11

Resorte estirado

F

X

F

X

Resorte no deformado

Resorte comprimido

F

X

xk

x


224

7.6. Energía cinética

La capacidad de producir trabajo cuando un cuerpo está en movimiento se denomina energía cinética,

en otras palabras la energía cinética es energía debido al movimiento.

Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, este se acelera (la fuerza aumenta la velocidad del cuerpo)

durante su desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza para mover al cuerpo una distancia “x”

es:

𝑊 = 𝐹 𝑥

Considerando la segunda ley de Newton,

𝑊 = 𝑚 𝑎 𝑥 → 𝑊 = 𝑚 𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑜2

2 → 𝑊 = 𝑚 (

𝑣𝑓2

2 −

𝑣𝑜2

2)

𝑊 = 𝑚 𝑣𝑓

2

2 − 𝑚

𝑣𝑜2

2

La cantidad 𝑚 𝑣2

2 se denomina energía cinética (𝐸𝐶), es energía que se obtiene por el movimiento, es

siempre positiva mientras que el cambio de energía cinética puede ser positivo o negativo. Luego,

𝑊 = 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶𝑜 (7.7)

Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al cambio de

energía cinética, enunciado que se conoce como el Teorema del Trabajo - Energía. Cuando la rapidez

es constante, no hay variación de energía cinética y el trabajo de la fuerza neta es cero. Considerando

la ecuación 7.7, se deduce que las unidades de la energía son las mismas que las del trabajo.

7.7. Energía potencial

El trabajo realizado por una fuerza, que sólo es función de las

coordenadas, se puede asociar con una variación de energía en

función de la posición. Las fuerzas que son función de la posición

generan energía de posición (con respecto a un nivel de referencia), a la que se llama energía potencial. El trabajo

realizado por la fuerza se almacena como energía potencial.

Los tipos de energía potencial mecánica son:

Energía potencial gravitatoria Energía potencial elástica

7.7.1. Energía potencial gravitatoria

La energía que tiene un cuerpo debido a su posición con respecto a

un nivel de referencia horizontal se denomina energía potencial gravitatoria.

Una piedra colocada a cierta altura del nivel de referencia, tiene energía pero en potencia, es decir

que cuerpos en reposo tienen latente la capacidad de producir trabajo, y por ello se la denomina

energía potencial gravitatoria.

Si un objeto de masa “𝑚” se levanta una distancia ∆ ℎ (figura7.12), se realiza trabajo en contra de la

fuerza de atracción gravitatoria, por lo cual es necesario aplicar una fuerza cuyo módulo sea igual al

módulo del peso del objeto, a fin de levantarlo, 𝐹 = 𝑊 = 𝑚 𝑔. El trabajo realizado al levantarlo es,

entonces su energía potencial gravitatoria, es decir:

𝑊 = − 𝐹 ∆ℎ → 𝑊 = − 𝑚 𝑔 ∆ℎ → 𝑊 = − 𝑚𝑔 (ℎ𝐹 − ℎ0) → 𝑊 = − 𝑚 𝑔 ℎ𝐹 + 𝑚 𝑔 ℎ𝑜 (1)

Además: − ∆𝐸𝑝 = − 𝐸𝑝𝑓 + 𝐸𝑝𝑜 (2)

1h

2h

3h

..RN

..RN

Figura 7.12


225

Finalmente el trabajo realizado por el peso es igual a menos la variación de la energía potencial

gravitatoria.

𝑤 = − ∆𝐸𝑝 → − 𝑚 𝑔 ℎ𝐹 + 𝑚 𝑔 ℎ𝑜 = − 𝐸𝑝𝑓 + 𝐸𝑝𝑜

∆𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ𝐹 − 𝑚 𝑔 ℎ𝑜 (7.8)

7.7.2. Energía potencial elástica

Algo análogo ocurre cuando un cuerpo que está conectado a un resorte y lo comprime una distancia

“x” y se lo mantiene en esa posición en reposo. Mientras el cuerpo no se suelte la energía almacenada por el cuerpo debido al resorte no se manifiesta. Cuando se suelta el cuerpo éste puede vencer una

resistencia. Este tipo de energía debido a un resorte se denomina energía potencial elástica.

Considerando la ecuación 7.6, el trabajo realizado por la fuerza “F”, que ejerce el resorte es igual a la

energía potencial elástica del mismo.

𝐸𝐸 = 1

2 𝑘 𝑥2 (7.9)

7.8. Conservación de la energía

Las leyes de conservación son la base fundamental de la física, tanto teóricamente como en la práctica.

Cuando se dice que algo se conserva se quiere decir que ese algo tiene un valor constante al transcurrir

el tiempo. Debido a que los diferentes procesos físicos del universo está en constante movimiento, las

magnitudes que se conservan bajo condiciones particulares, son una extraordinaria ayuda para comprender y describir el universo.

Una de las leyes de conservación más importantes es la que se refiere a la conservación de la energía.

Una afirmación enunciada hace mucho tiempo dice que la energía total del universo se ha conservado.

Esta afirmación es cierta si se considera al universo como un sistema aislado; lo cual implica que una

partícula puede interactuar con otras del sistema pero no con otras que están fuera de ella. Luego, la cantidad de energía permanece constante cuando no se realiza ningún trabajo mecánico sobre o por

el sistema, y no se transmite ninguna energía hacia o desde el sistema (incluyendo la energía térmica

y la radiación electromagnética).

En consecuencia, la ley de la conservación de la energía total se puede enunciar como:

La energía total de un sistema aislado siempre permanece constante.

Aclarando que, dentro de un sistema aislado, la energía puede transformarse de una forma a otra,

pero la energía total permanece constante.

7.9. Fuerzas conservativas y no conservativas

Se llaman fuerzas conservativas aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para

mover un cuerpo entre dos puntos por cualquier trayectoria arbitraria, no depende de la trayectoria

que une los puntos. Las fuerzas que dependen solamente de la posición son conservativas, por

ejemplo: la gravitacional, elástica, electromagnética, etc.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente

de la trayectoria y de la rapidez con la que se mueve la partícula.

Suponiendo que una partícula se mueve, por la acción de una fuerza,

desde una posición inicial “P” hasta otra posición final “Q”, por

trayectorias arbitrarias “1” y “2”, como se ve en la Figura 7.13. Si la fuerza es conservativa, entonces el trabajo para mover la

partícula desde “P” a “Q” sólo depende de las coordenadas inicial y

final de la partícula, esto es:

𝑊𝑃𝑄 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 1) = 𝑊𝑃𝑄 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 2)

P

Q1

2

Figura 7.13


226

Si ahora la partícula se mueve desde “P” hasta “Q” por la trayectoria 1 y luego regresa desde “Q”

hasta “P” por la trayectoria 2 (Figura 7.14), se observa que en el regreso, entonces:

𝑊𝑃𝑄 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 1) = − 𝑊𝑄𝑃 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 2)

𝑊𝑃𝑄 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 1) + 𝑊𝑄𝑃 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 2) = 0

Entonces, si la partícula se mueve desde una posición inicial, realiza un

circuito donde regresa a la misma posición inicial, el trabajo realizado por

una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es cero.

Por el contrario, las fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas

son aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover una partícula entre dos puntos, depende de la trayectoria que

se realice para unir los puntos.

Para las fuerzas no conservativas se tiene que:

𝑊𝑃𝑄 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 1) ≠ 𝑊𝑄𝑃 (𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 2)

Las fuerzas de rozamiento, que siempre se oponen al desplazamiento, son no conservativas o disipativas, el trabajo de estas fuerzas es negativo y hacen perder energía al sistema, en realidad esa

energía se convierte en energía calorífica.

7.10. Conservación de la energía mecánica

Cuando se consideran únicamente transformaciones de tipo mecánico, es decir, cambios de posición y cambios de velocidad, las relaciones entre trabajo y energía se convierten de hecho en ecuaciones

de conservación, de modo que si un cuerpo no cede ni toma energía mecánica mediante la realización

de trabajo, la suma de la energía cinética y las energías potenciales habrán de mantenerse constante.

De esta forma si todas las fuerzas que actúan sobre un sistema son como las gravitatorias o como las fuerzas elásticas de resortes, ellas producen siempre transferencias de energía, entre energía cinética

y potencial; en cantidades que son iguales y opuestos. En estas condiciones la energía mecánica del

sistema EM, es decir, la suma de todas las energías potenciales y cinética del sistema, es constante

en todo instante. Podemos escribir para ese sistema, la ecuación:

𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 + 𝐸𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (7.10)

Conocida como la conservación de la energía mecánica.

En todas las transformaciones entre un tipo de energía y otro se conserva la energía total, y se conoce

como teorema de la energía mecánica. Por ejemplo, si se ejerce trabajo sobre una pelota de goma para levantarla, se aumenta su energía potencial gravitatoria. Si se deja caer la pelota, esta energía

potencial gravitatoria se convierte en energía cinética. Cuando la pelota choca contra el suelo, se

deforma y se produce fricción entre las moléculas de su material, esta fricción se transforma en calor

o energía térmica.

Cuando una partícula se mueve por la acción de una fuerza conservativa, por el teorema del trabajo

y la energía se tiene que el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de energía cinética

de la partícula:

𝑊 = ∆ 𝐸𝐶

Pero como la fuerza es conservativa, entonces 𝑊 = − ∆ 𝐸𝑃, donde 𝐸𝑃 puede ser la energía potencial

gravitacional, elástica o cualquier otra forma de energía potencial mecánica. Igualando ambas expresiones del trabajo se obtiene:

∆𝐸𝑐 = −∆𝐸𝑝 ⇒ ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 = 0 ⇒ ∆(𝐸𝑐 + 𝐸𝑝) = 0

Esta ecuación se puede escribir también de la siguiente forma:

P

Q1

2

Figura 7.14


227

𝐸𝑐𝑖 + 𝐸𝑝𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 + 𝐸𝑝𝑓

Se puede definir la energía mecánica total como la suma de la energía cinética y la energía potencial:

𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝

Entonces se obtiene la ley de conservación de la energía mecánica, que se escribe como:

𝐸 𝑖 = 𝐸𝑓 ⇒ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (7.11)

La ley de conservación de la energía mecánica establece que la energía mecánica total de un sistema

permanece constante si las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas.

Cuando una cantidad física no cambia, decimos que se conserva. Decir que la energía se conserva significa que la cantidad total de energía de un sistema natural no cambia, no se puede crear ni

destruir energía, sólo se puede convertir de una forma a otra. Es una de las leyes fundamentales de

la Física, deducida a partir de una de las leyes fundamentales de la mecánica, la segunda ley de

Newton.

Si las fuerzas presentes en un sistema mecánico son no conservativas, como ocurre en los sistemas

reales, la energía aparentemente no se conserva, porque parte o el total de la energía mecánica se

transforma en otro tipo de energía. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento se dice que es disipativa

porque disipa energía, que se transforma en calor en la superficie de contacto entre los cuerpos. En

efecto, se puede aplicar el teorema del trabajo y la energía tomando en cuenta la existencia de las fuerzas no conservativas. Si 𝑊𝑁𝐶 es el trabajo sobre una partícula de todas las fuerzas no conservativas

y 𝑊𝐶 el trabajo de todas las fuerzas conservativas, entonces:

𝑊 𝑁𝐶 + 𝑊 𝐶 = ∆𝐸𝑐

Como 𝑊𝐶 = − ∆ 𝐸𝑃 entonces:

𝑊 𝑁𝐶 = ∆𝐸𝐶 + ∆𝐸𝑃𝑓

𝑊𝑁𝐶 = (𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝐶𝑖) + (𝐸𝑃𝑓 − 𝐸𝑃𝑖)

𝑊𝑁𝐶 = (𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝑓) − (𝐸𝐶𝑖 + 𝐸𝑃𝑖)

𝑊𝑁𝐶 = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖

Es decir, el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio de energía mecánica total del sistema.

Ejemplo 7.5

En la figura 7.15, se observa una esfera de 30 [𝑁] de peso que cae una altura ℎ = 0,6 [𝑚] a partir del reposo y golpea el extremo superior de un resorte

vertical cuya constante de rigidez es 2 000 [𝑁/𝑚]. Determine la compresión

máxima del resorte hasta que el cuerpo quede momentáneamente en reposo.

Solución

Como no existe fricción, se puede aplicar la conservación de la energía mecánica (figura 7.16), luego:

𝑚 𝑔 (ℎ + 𝑥) = 1

2 𝑘 𝑥2 →

1

2 𝑘 𝑥2 − 𝑚 𝑔 𝑥 − 𝑚 𝑔 ℎ = 0

Reemplazando datos: 1

2∗ 2 000 [

𝑁

𝑚] 𝑥2 − 30 [𝑁]𝑥 − 30 [𝑁] ∗ 0,6 [𝑚] = 0

1 000 𝑥2 − 30 𝑥 − 18 = 0 → 𝑥 = 0,15 [𝑚]

h

Figura 7.15

h

x..RN

Figura 7.16


228

Ejemplo 7.6

En la figura 7.17, se tiene un resorte de longitud natural 𝐿 = 29 [𝑐𝑚] y constante de rigidez 𝑘 = 300 [𝑁 𝑚⁄ ] que jala desde el reposo

(desde el punto “A”) a un collarín de 4 [𝑘𝑔] de masa. Determinar la

velocidad del collarín cuando pasa por el punto “B”.

Solución

Datos: 𝐿 = 0,29 [𝑚]; 𝑘 = 300 [𝑁 𝑚⁄ ]; 𝑚 = 4 [𝑘𝑔]

Como no existe fricción, se puede aplicar la conservación de la

energía mecánica, luego:

𝐸𝐸𝐴

= 𝐸𝐸𝐵 + 𝐸𝐶𝐵

1

2 𝑘 𝑥𝐴

2 = 1

2 𝑘 𝑥𝐵

2 + 1

2 𝑚 𝑣𝐵

2 → 𝑘 𝑥𝐴2 = 𝑘 𝑥𝐵

2 + 𝑚 𝑣𝐵2

𝑘 (𝑥𝐴2 − 𝑥𝐵

2) = 𝑚 𝑣𝐵2 → 𝑣𝐵 = √

𝑘 (𝑥𝐴2 − 𝑥𝐵

2 )

𝑚 (1)

De la figura 7.20

En “A” En “B”

𝑠𝑒𝑛 45° = 𝐿

𝑑𝐴 → 𝑑𝐴 =

𝐿

𝑠𝑒𝑛 45° 𝑐𝑜𝑠 30° =

𝐿

𝑑𝐵 → 𝑑𝐵 =

𝐿

𝑐𝑜𝑠 30°

𝑑𝐴 = 0,29

𝑠𝑒𝑛 45° = 0,41 [𝑚] 𝑑𝐵 =

0,29 [𝑚]

𝑐𝑜𝑠 30° = = 0,33 [𝑚]

𝑑𝐴 = 𝐿 + 𝑥𝐴 → 𝑥𝐴 = 𝑑𝐴 − 𝐿 𝑑𝐵 = 𝐿 + 𝑥𝐵 → 𝑥𝐵 = 𝑑𝐵 − 𝐿

𝑥𝐴 = 0,41 [𝑚] − 0,29 [𝑚] = 0,12 [𝑚] 𝑥𝐵 = 0,33 [𝑚] − 0,29[𝑚] = 0,04 [𝑚]

Reemplazando en (1) 𝑣𝐵 = √ 300 [

𝑁

𝑚] ((0,12 [𝑚])2− (0,04[𝑚])2)

4 [𝑘𝑔]

𝑣𝐵 = 0,98 [𝑚

𝑠]

Ejemplo 7.7

En la figura 7,21 se ilustra una superficie rugosa (con un coeficiente

de rozamiento cinético 𝜇 = 0,4) que termina en un tubo semicircular

de radio 𝑅 = 1 [𝑚] y que tiene roce despreciable. Un pequeño cubo

es lanzado desde el punto “A” sobre la superficie, penetra el tubo y emerge desde su extremo superior para caer en el punto original

“A”. Suponiendo que la distancia recorrida por el tubo en el tramo

rugoso “AB” es d = 4 R, determinar la velocidad inicial de dicho cubo

para que lo anteriormente descrito sea posible.

Solución

Datos: 𝜇 = 0,4; 𝑅 = 1 [𝑚]; 𝑑 = 4 𝑅

Utilizando balance de energías entre los puntos “A” y “C”,

𝐸𝐶𝐴 = 𝐸𝑃𝐶 + 𝐸𝐶𝐶 + 𝑊𝑅

1

2 𝑚 𝑣2 =

1

2 𝑚 𝑣𝑃

2 + 𝑚 𝑔 2 𝑅 + 𝜇 𝑚 𝑔 𝑑

45°

29

[cm

]

B

30°

A

Figura 7.17

45°

B

30°

A

AdBd

L

..RN

29

[cm

]

Figura 7.18

Figura 7.19

0vR

d

A

g

B

C


229

𝑣2 = 𝑣𝑃2 + 4 𝑔 𝑅 + 2 𝜇 𝑔 𝑑 (1)

Para la trayectoria parabólica entre “C” y “A”,

En “x” 𝑑 = 𝑣𝑃 𝑡 → 𝑡 = 𝑑

𝑣𝑃 → 𝑡2 = (

𝑑

𝑣𝑃 )

2 (2)

En “y” 2 𝑅 = 1

2 𝑔 𝑡2 (3)

Reemplazando (2) en (3), 2 𝑅 = 1

2 𝑔 (

𝑑

𝑣𝑃 )

2

2 𝑅 = 1

2 𝑔

𝑑2

𝑣𝑃2

→ 2 𝑅 = 1

2 𝑔

(4 𝑅)2

𝑣𝑃2

2 = 1

2 𝑔

16 𝑅

𝑣𝑃2

→ 𝑣𝑃2 = 4 𝑔 𝑅 (4)

Reemplazando (4) en (1), 𝑣2 = 4 𝑔 𝑅 + 4 𝑔 𝑅 + 2 𝜇 𝑔 (4 𝑅)

𝑣2 = 8 𝑔 𝑅 (1 + 𝜇) → 𝑣 = √ 8 𝑔 𝑅 (1 + 𝜇)

𝑣 = √8 ∗ 9,8 [𝑚

𝑠2] ∗ 1 [𝑚](1 + 0,4))

𝑣 = 10,5 [𝑚 𝑠⁄ ]

Ejemplo 7.8

Un bloque de masa “m” se encuentra en la parte superior de un

montículo hemisférico de hielo tal como indica la figura 7.20. Si el radio

del montículo es R = 0,9 [m] y al bloque se le da un pequeño empujón, éste comienza a deslizarse hacia abajo por el hielo. a) ¿A qué altura

respecto del suelo el bloque pierde contacto con la superficie del

montículo? b) Si existe fricción entre el bloque y el hielo, ¿se

desprenderá de la superficie en un punto superior o inferior que el encontrado en a)?

Solución

a) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica entre

los puntos “A” y “B”:

𝐸𝑃𝐴 = 𝐸𝐶𝐵 + 𝐸𝑃𝐵

𝑚 𝑔 𝑅 = 1

2 𝑚 𝑣2 + 𝑚 𝑔 ℎ ∕∕∗ (2)

2 𝑔 𝑅 = 𝑣2 + 2 𝑔 ℎ (1)

Aplicando dinámica circular, ∑ 𝐹𝐶 = 0: 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑁 = 𝑚 𝑣2

𝑅

Cuando el bloque se desprende de la superficie, N = 0,

𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 𝑣2

𝑅 → 𝑣2 = 𝑅 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (2)

Reemplazando (2) en (1), 2 𝑔 𝑅 = 𝑅 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2 𝑔 ℎ

2 𝑅 = 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2 ℎ (3)

De la figura 7.24, 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = ℎ

𝑅 (4)

Reemplazando (4) en (3), 2 𝑅 = 𝑅 ℎ

𝑅+ 2 ℎ

θ

R

Figura 7.20

DCL 7.2

v

..RN

N

Ca

cos

gm

sen

gm

R

h

A

B


230

2 𝑅 = 3 ℎ → ℎ = 2 𝑅

3 → ℎ =

2×0,9 [𝑚]

3 → ℎ = 0,6 [𝑚]

b) Debido al predominio de las fuerzas de atracción en el rozamiento el bloque se desprende más

abajo del punto calculado en el inciso a).

Ejemplo 7.9

La figura 7.21, muestra una pequeña esfera de masa “m” unida a una cuerda

ideal de 50 [cm] de longitud, de manera que constituye un péndulo que oscila

desviándose un ángulo máximo de φ = 40°, respecto de la vertical. ¿Cuál será

el valor del ángulo “ ” cuando la velocidad de la esfera sea 0,99 [m/s]?

Solución

Aplicando la conservación de la energía,

𝐸𝑃1 = 𝐸𝑃2 + 𝐸𝐶2

𝑚 𝑔 𝑦1 = 𝑚 𝑔 𝑦2 + 1

2 𝑚 𝑣2 ∕∕∗ (2)

2 𝑔 𝑦1 = 2 𝑔 𝑦2 + 𝑣2 (1)

De la figura, cos 𝜑 = 𝐿 − 𝑦1

𝐿

𝑦1 = 𝐿 (1 − cos 𝜑) (2)

También, cos 𝜃 = 𝐿 − 𝑦2

𝐿

𝑦2 = 𝐿 (1 − cos 𝜃) (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1),

2 𝑔 𝐿 (1 − cos 𝜑) = 2 𝑔 𝐿 (1 − cos 𝜃) + 𝑣2

2 𝑔 𝐿 − 2 𝑔 𝐿 cos 𝜑 = 2 𝑔 𝐿 − 2 𝑔 𝐿 cos 𝜃 + 𝑣2

2 𝑔 𝐿 cos 𝜃 = 2 𝑔 𝐿 cos 𝜑 + 𝑣2

Entonces, cos 𝜃 = 2 𝑔 𝐿 cos 𝜑 + 𝑣2

2 𝑔 𝐿 → cos 𝜃 =

2∗9,8 [𝑚

𝑠2]∗0,5 [𝑚]∗cos 40° + (0,99 [𝑚

𝑠])

2

2∗9,8 [𝑚

𝑠2]∗0,5 [𝑚] → 𝜃 = 30°

Ejemplo 7.10

El bloque de 0,5 [kg] de masa inicia su movimiento desde el reposo y se desliza por un plano inclinado rugoso y luego por

un plano horizontal también rugoso, hasta chocar con un

resorte de constante elástica k = 50 [N/m] (figura 7.23). Si el

resorte se comprime 20 [cm], determine el coeficiente de rozamiento µ entre el bloque y las superficies.

Solución

De la figura 7.24 cos 𝜃 = ℎ

𝑑 → 𝑑 =

ℎ

cos 𝜃 → 𝑑 =

0,6 [𝑚]

cos 30𝑜 = 0,8 [𝑚]

𝑚 𝑔 ℎ = 1

2 𝑘 𝑥2 + 𝜇 𝑚 𝑔 𝑑 cos 𝜃 + 𝜇 𝑚 𝑔 ( 𝑒 + 𝑥 )

2 𝑚 𝑔 ℎ = 𝑘 𝑥2 + 2 𝜇 𝑚𝑔 ( 𝑑 cos 𝜃 + 𝑒 + 𝑥 )

2 𝑚 𝑔 ℎ − 𝑘 𝑥2 = 2 𝜇 𝑚 𝑔 ( 𝑑 cos 𝜃 + 𝑒 + 𝑥 )

𝜇 = 2 𝑚 𝑔 ℎ − 𝑘 𝑥2

2 𝑚 𝑔 ( 𝑑 cos 𝜃 + 𝑒 + 𝑥 )

L

Figura 7.21

1y2y

L

..RN

Figura 7.22

0,6

[m

]

0,3 [m]

d

30°

x

0,6

[m

]

0,3 [m]

d

30°

Figura 7.23

Figura 7.24


231

𝜇 = 2∗0,5 [𝑘𝑔]∗9,8 [

𝑚

𝑠2]∗0,6 [𝑚] – 50 [𝑁

𝑚]∗(0,2 [𝑚])2

2∗0,5 [𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚

𝑠2](0,8 [𝑚]∗cos 30𝑜+ 0,3 [𝑚]+0,2[𝑚]) → 𝜇 = 0,4

Ejemplo 7.11

Un bloque de 0,5 [kg] de masa comprime un resorte de constante de rigidez k = 100 [N/m] como

muestra la figura 7.25. Si se suelta el bloque, este es impulsado por el resorte y se desliza por el

tramo “ABCDE” (dando una vuelta por la pista circular) y comprimiendo el otro resorte, y luego a su

regreso sólo llega hasta el punto “P”. Considerando que el tramo “DE” es rugoso (μ = 0,3) y que R = 0,3 [m], ¿cuál será el valor del ángulo “θ”?

Solución

Aplicando el principio trabajo – energía para el viaje de ida y vuelta

1

2 𝑘 𝑥2 = 2 𝜇 𝑚 𝑔 𝑑 + 𝑚 𝑔 ℎ ∕∕∗ (2)

𝑘 𝑥2 = 4 𝜇 𝑚 𝑔 𝑑 + 2 𝑚 𝑔 ℎ → 𝑘 𝑥2 − 4 𝜇 𝑚 𝑔 𝑑 = 2 𝑚 𝑔 ℎ

ℎ = 𝑘 𝑥2− 4 𝜇 𝑚 𝑔 𝑑

2 𝑚 𝑔

ℎ = 100 [

𝑁

𝑚]∗ (0,2 [𝑚])2− 4∗ 0,3∗ 0,5 [𝑘𝑔]∗9,8 [

𝑚

𝑠2]∗0,4 [𝑚]

2∗0,5 [𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚

𝑠2]= 0,17 [𝑚]

De la figura 7,26:

cos 𝜃 = 𝑅−ℎ

𝑅 → cos 𝜃 =

0,3 [𝑚] −0,17 [𝑚]

0,3 [𝑚] → 𝜃 = 63,9°

Ejemplo 7.12

El bloque mostrado en la figura 7.27 pesa 100 [N] y la constante del resorte

es de 100 [N/m]; éste tiene su longitud natural cuando el bloque se libera del

reposo. Encuentre el coeficiente mínimo de fricción µ para que el bloque no rebote después de detenerse. Por su estrecha diferencia considere iguales a

los coeficientes de rozamiento estático y cinético.

Solución

Aplicando el principio Trabajo - Energía

AB

C

DE

0,4 [m]

p

AB

C

DE

0,4 [m]

p

h

60º

Figura 7.25

Figura 7.27

Figura 7.26


232

𝑚 𝑔 ℎ = 1

2 𝑘 𝑥2 + 𝑓𝑟 𝑥 ∕∕∗ (2)

2 𝑚 𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑘 𝑥2 + (𝜇 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑥

𝑘 𝑥 = 2 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (1)

Ecuación de Equilibrio final:

𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑓𝑟 + 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑘 𝑥 = 𝜇 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (2)

Igualando (1) y (2), se obtiene:

2 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝜇 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 3 𝜇 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 𝜇 = 𝑡𝑔 𝜃

3→ 𝜇 = 0,58

7.11. Potencia

Para fines prácticos es útil conocer la rapidez con la cual se realiza trabajo. Esta información la entrega la potencia, que se define como la rapidez de transferencia de energía. Si se aplica una fuerza externa

a un cuerpo y se realiza trabajo “W” en un intervalo de tiempo “t”, la potencia instantánea P (cuidado

de no confundir con el peso de un cuerpo) se define como:

𝑃 =𝑊

𝑡 (7.12)

La unidad de medida de la potencia en el SI es [J/s], que se denomina watt, símbolo [W] (cuidado de

no confundir con el trabajo).

Si el cuerpo sobre el cual se aplica una fuerza se mueve con rapidez constante y considerando que

𝑊 = �⃗� ∘ 𝑑 = 𝐹 𝑑 cos 𝜃, la potencia se puede escribir como:

𝑃 = 𝐹 𝑑 cos 𝜃

𝑡

𝑃 = 𝐹 𝑣 cos 𝜃 (7.13)

Se puede definir una nueva unidad de energía en términos de la unidad de potencia, llamada kilowatt-hora. Un kilowatt-hora [kWh] es la energía utilizada durante una hora con una potencia constante de

1 [kW]. El valor de un [kWh] es:

1 [𝑘𝑊ℎ] = 1 000 [𝑊] ∗ 3 600 [𝑠] → 1 [𝑘𝑊ℎ] = 3,6 ∗ 10 6 [𝐽]

El [kWh] es unidad de energía, no de potencia. Por ejemplo, para encender una ampolleta de 100 [W] de potencia se requieren entregarle 3,6*10 5 [J] de energía durante una hora, equivalente a 0,1

[kWh]. Se nota que esta es una unidad de medida que indica que la energía es una magnitud física

que aunque abstracta, tiene valor comercial, se puede vender y comprar, ya que por ejemplo, todos

los meses se paga por una determinada cantidad de [kWh] o energía eléctrica para los hogares, en

cambio no se pueden comprar 50 [km/h] de rapidez, pero si se compra energía en forma de gasolina para hacer que el motor del vehículo funcione.

7.11.1. Eficiencia o rendimiento

La eficiencia es aquel factor que indica el máximo rendimiento de una máquina. También se puede

decir que es aquel índice o grado de perfección alcanzada por una máquina.

Es sabido que la potencia generada por una máquina no es transformada en su totalidad, sino que

una parte del total se utiliza dentro de la máquina, generalmente se comprueba mediante el calor

disipado.

60º

xh

x

Figura 7.28


233

El valor de la eficiencia relativa se determina mediante la relación de la potencia útil o aprovechable

y la potencia entregada.

𝜂 = 𝑃ú𝑡𝑖𝑙

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 (7.14)

o también utilizando la eficiencia porcentual, dada por:

𝜂𝑝 = 𝜂 𝑥 100% = 𝑃ú𝑡𝑖𝑙

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑥 100% (7.15)

7.11.2. Caballo de fuerza (potencia de un caballo)

Una unidad bastante utilizada para la potencia mecánica especialmente cuando se habla de motores,

es decir, el trabajo mecánico que puede realizar un motor por unidad de tiempo; suele abreviarse por [Hp]. La equivalencia entre el caballo de fuerza y el watt es:

1 [𝐻𝑝] = 746 [𝑊]

7.11.3. Caballo de vapor

Unidad que en el pasado era bastante utilizada para expresar la potencia mecánica, suele abreviarse por “CV” denominado caballo de vapor. La equivalencia entre el caballo de vapor y el watt es:

1 [𝐻𝑝] = 735,5 [𝑊]

Ejemplo 7.13

En la Figura 7.29, el motor traslada al bloque de peso 900 [N] con velocidad constante de 2 [m/s]. El coeficiente de rozamiento es 0,6.

Calcular la potencia desarrollada por el motor en [Hp].

Datos: 𝑚 𝑔 = 900 [𝑁]; 𝑣 = 2 [𝑚

𝑠] ; 𝜇 = 0,6

𝑃 = 𝐹 𝑣𝐹 = 𝑓𝑅 = 𝜇 𝑚 𝑔

} → 𝑃 = 𝜇 𝑚 𝑔 𝑣 → 𝑃 = 0,6 ∗ 900 [𝑁] ∗ 2 [𝑚

𝑠]

𝑃 = 1 080 [𝑊]; 𝑃 = 1,45 [𝐻𝑝]

Ejemplo 7.14

Un bloque de 750 [N] de peso es desplazado con rapidez constante

de 5 [m/s] por un plano inclinado, mediante un motor que se

encuentra en la parte superior del plano como se observa en la figura. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es 0,5

calcule la potencia entregada por el motor si éste tiene una eficiencia

del 40%.

Solución

Inicialmente se debe conocer la fuerza �⃗� que ejerce el motor, para

ello se utiliza el diagrama de cuerpo libre.

Eje y: 𝑁 = 𝑚 𝑔 cos 𝜃 → 𝑓𝑟 = 𝜇 𝑁 = 𝜇 𝑚 𝑔 cos 𝜃

Eje x: 𝐹 = 𝑓𝑟 + 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 → 𝐹 = 𝜇 𝑚 𝑔 cos 𝜃 + 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝐹 = 𝑚 𝑔 (𝜇 cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃) → 𝐹 = 𝑊 (𝜇 cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

𝐹 = 750 [𝑁] ∗ [0,5 ∗ cos 30° + 𝑠𝑒𝑛 30°] = 670 [𝑁]

Luego, como la rapidez es constante la potencia útil será:

𝑃 = 𝐹 𝑣 → 𝑃 = 670 [𝑁] ∗ 5 [𝑚

𝑠] = 3 350 [𝑊]

30°W

motor

Rf

F

N

gm 30°

v

Figura 7.30

DCL 7.3

Figura 7.29


234

Entonces la potencia entregada es:

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 = 𝑃ú𝑡𝑖𝑙

𝜂𝑝∗ 100%

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 = 3 350 [𝑊]

40%∗ 100% → 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 = 8 375 [𝑊]

Ejemplo 7.15

Un elevador de 1 500 [kg] de masa acelera hacia arriba a razón de 0,5 [m/s2]. ¿Qué potencia útil se

desarrolla durante el tiempo en que la rapidez del elevador cambia de 0,25 [m/s] a 0,75 [m/s]?

Solución

Inicialmente se debe conocer la fuerza �⃗� que ejerce el motor, para ello se

utiliza el diagrama de cuerpo libre.

Eje y: 𝐹 − 𝑚 𝑔 = 𝑚 𝑎 → 𝐹 = 𝑚 (𝑎 + 𝑔)

𝐹 = 1 500 [𝑘𝑔] ∗ (0,5 [𝑚

𝑠2] + 9,8 [

𝑚

𝑠2]) = 15 450 [𝑁]

Luego, como el elevador tiene aceleración, entonces la potencia será:

𝑃 = 𝐹 𝑣𝑜 + 𝑣

2 → 𝑃 = 15 450 [𝑁] ∗

0,25 [𝑚𝑠 ] + 0,75 [

𝑚𝑠 ]

2 → 𝑃 = 7 725 [𝑊]

Ejemplo 7.16

Un obrero levanta cajas de 3 [kg] de masa cada uno, sobre una plataforma de 2 [m] de altura, respecto del piso, a razón de 10 cajas por minuto. Calcular la potencia útil desarrollada por el obrero.

Para resolver este problema se debe considerar que el obrero sube las cajas a velocidad constante.

Además, se debe obtener la masa por unidad de tiempo.

𝑚

𝑡 = 10

[𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 ]

[𝑚𝑖𝑛]∗

3 [𝑘𝑔]

1 [𝑐𝑎𝑗𝑎] ∗

1 [𝑚𝑖𝑛]

60 [𝑠]= 0,5

[𝑘𝑔]

[𝑠]

Luego, la potencia estará dada por: 𝑃 = 𝐹 ℎ

𝑡

Considerando que la fuerza mínima para levantar un cuerpo es igual a su peso:

𝑃 = 𝑚 𝑔 ℎ

𝑡 → 𝑃 = 𝑔 (

𝑚

𝑡) ℎ

Entonces, 𝑃 = (9,8 [𝑚 𝑠2⁄ ]) ∗ (0,5 [𝑘𝑔]

[𝑠]) ∗ 2 [𝑚] → 𝑃 = 9,8 [𝑊]

Ejemplo 7.17

Un carro que transporta obreros a una mina debe ser trasladado a la parte más alta de un cerro como se observa en la figura 7.31.

Para ello se utiliza un motor cuya eficiencia es 0,4 y el carro tiene

una masa de 400 [kg] y se mueve a una velocidad de v = 1,1

[m/s]. La potencia que entrega el motor es capaz de suministrar

20 [HP]. Sabiendo que un obrero en promedio tiene una masa de

65 [kg], ¿cuántos obreros pueden subir al carro?

F

W

a

DCL 7.4

30°

Figura 7.31


235

Solución

Como el movimiento del carro es uniforme entonces:

𝑃 = 𝐹 𝑣 (1)

Además 𝑃𝑔𝑒𝑛. = 20 [𝐻𝑃] ∗ 746 [𝑊]

1 [𝐻𝑃]= 14 920 [𝑊]

𝑃 = 𝑃𝑢𝑡𝑖𝑙 = 0,4 𝑃𝑔𝑒𝑛. = 0,4 ∗ 14 920 [𝑊] = 5 968 [𝑊]

De la figura 7.30 𝐹 = 𝑚𝐶 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑛 𝑚𝑃 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (2)

Reemplazando (2) en (1)

𝑃 = (𝑚𝐶 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑛 𝑚𝑃 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑣

𝑃

𝑣 = 𝑚𝐶 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑛 𝑚𝑃 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑃

𝑣 − 𝑚𝐶 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑛 𝑚𝑃 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑛 = 𝑃

𝑣 − 𝑚𝐶 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑚𝑃 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑛 = 5 968 [𝑊]

1,2 [𝑚𝑠⁄ ]

– 400 [𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚 𝑠2⁄ ]∗𝑠𝑒𝑛 30°

65 [𝑘𝑔]∗9,8 [𝑚 𝑠2⁄ ]∗𝑠𝑒𝑛 30° → 𝑛 = 10 [𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜]

Entonces sólo pueden subir 10 obreros, ya que el redondeo no puede realizarse hacia arriba como

indican las reglas del redondeo.

Ejemplo 7.18

Fluye agua de la cataratas del Velo de la Novia (camino a Yungas) a razón de 1,2*102 [kg/s] y cae 50

[m]. ¿Cuántos focos de 18 [W] pueden encenderse con esta potencia si se tiene un 70% de eficiencia?

Solución

Datos: 𝑄𝑀 =𝑚

𝑡= 1,2 ∗ 10 2 [

𝑘𝑔

𝑠] ; ℎ = 50 [𝑚]; 𝑃𝐹 = 18 [

𝑊

𝑓𝑜𝑐𝑜] ; 𝜂 = 0,7

𝑃 =𝑚 𝑔 ℎ

𝑡𝜂 → 𝑃 = 𝑄𝑀 𝑔 ℎ 𝜂 → 𝑃 = 1,2 ∗ 10 2 [

𝑘𝑔

𝑠] ∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 50 [𝑚] ∗ 0,7

𝑃 = 41 160 [𝑊]

𝑛 =41 160 [𝑊]

18 [𝑊

𝑓𝑜𝑐𝑜] → 𝒏 = 𝟐 𝟐𝟖𝟔 [𝒇𝒐𝒄𝒐]

F

N

CW

30°

v

PWn

DCL 7.5


236

TRABAJO Y ENERGÍA

7.1. La energía potencial es:

a) La que tienen los cuerpos debido a su movimiento.

b) La energía debida a la posición que tiene un objeto.

c) La energía debida al movimiento de los electrones. d) La energía que se produce cuando se queman objetos.

7.2. La energía cinética aumenta al:

a) Aumentar la altura a la que se encuentra un cuerpo.

b) Aumentar la masa de un cuerpo.

c) Disminuir la velocidad de un cuerpo. d) Disminuir la altura a la que se encuentra un cuerpo.

7.3. La energía potencial disminuye al:

a) Aumentar la altura de un cuerpo.

b) Aumentar la masa de un cuerpo. c) Disminuir la velocidad de un cuerpo.

d) Disminuir la masa de un cuerpo.

7.4. La forma de medir la rapidez de la transferencia de energía es:

a) Por los cambios de energía cinética. b) Por los cambios de energía potencial.

c) Estudiando el trabajo.

d) Mediante la potencia.

7.5. El trabajo realizado por las fuerzas conservativas:

a) Es nulo. b) Sólo depende de la posición inicial y de la posición final.

c) En una trayectoria cerrada es siempre positivo.

d) En una trayectoria cerrada es siempre negativo.

7.6. Cuando sobre un bloque no actúa ninguna fuerza de rozamiento:

a) La energía potencial y la cinética de la partícula coinciden.

b) La energía cinética se anula.

c) La energía potencial es máxima.

d) La energía mecánica se conserva.

7.7. La rapidez con la que se realiza el trabajo se llama:

a) Fuerza b) Eficiencia c) Aceleración d) Potencia e) Ninguna

7.8. Una persona sube un tramo de una escalera con velocidad constante, realizando un trabajo

T, con una potencia P. Si la misma persona subiese el mismo tramo en el doble de tiempo, el trabajo y la potencia serían:

a) T, P b) 2T, 2P c) T/2, P d) T/2, P/2 e) T, P/2 e) Ninguna

7.9. Dos alpinistas de igual masa, escalan una montaña siguiendo caminos diferentes; el primero

recorre un camino corto y empinado y el segundo un trayecto largo y suave. Los puntos

inicial y final son los mismos para ambos alpinistas. Comparar el trabajo realizado contra la fuerza de atracción gravitatoria en los dos caminos:

a) W1 > W2 b) W1 < W2 c) W1 = W2 ≠ 0 d) W1 = W2 = 0 e) Ninguna


237

7.10. Cuando decimos que una máquina “A” tiene más potencia que otra máquina “B”, se concluye

que:

a) La máquina “A” puede realizar más trabajo que la “B”. b) La máquina “A” tarda menos tiempo que la “B” en realizar el mismo trabajo.

c) En el mismo tiempo la máquina “B” efectuará menos trabajo que la “A”.

d) La máquina “A” es más robusta que la “B”.

7.11. El trabajo realizado por una fuerza para trasladar una partícula desde un punto “A” a otro “B”:

a) Es un vector tangente a la trayectoria en cada punto

b) Es una magnitud escalar

c) Es nulo

7.12. Si una partícula que es proyectada hacia arriba por un plano inclinado sin rozamiento se

mueve hasta pararse, para posteriormente deslizarse hacia abajo hasta alcanzar su punto

de partida: (señale la opción verdadera)

a) La energía en el punto más alto es la mitad del valor de la energía cinética en el punto

más bajo. b) La energía potencial en el punto más alto es distinta a la cinética del punto más bajo.

c) La energía potencial en el punto más alto es igual a la energía cinética en el punto más

bajo.

d) La energía potencial en el punto más alto es la mitad del valor de la del punto más bajo.

7.13. Si un vehículo se mueve sobre una línea horizontal con rapidez constante, y luego sube en

línea recta a través de una pendiente de 30° con respecto a la horizontal también con rapidez

constante, entonces se puede afirmar que los trabajos realizados por las fuerzas netas en

ambos tramos:

a) Nunca es nulo.

b) Siempre es nulo.

c) Es nulo en la horizontal, pero no en la pendiente.

d) Es nulo en la pendiente, pero no en la horizontal. e) Ninguna de las anteriores.

7.14. En cuál de los siguientes casos es mayor el trabajo realizado.

7.15. Cuando un hombre sube por una escalera de “a” metros de largo, hasta una terraza ubicada

a “b” metros del suelo, con una caja de “c” kilogramos, el trabajo en unidades del SI,

realizado para subir la caja hasta la terraza es igual a:

a) 9,8 𝑏 𝑐 b) 9,8 𝑎 𝑐 c) 9,8 𝑎 𝑏 d) 9,8 𝑎 𝑏 𝑐 e) 9,8 (𝑎 + 𝑏)

7.16. Con respecto a la energía cinética de un cuerpo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es

incorrecta?

a) La energía cinética de un cuerpo depende de su masa y rapidez.

b) La energía cinética no puede ser negativa.

c) Si duplicamos la rapidez de un cuerpo, su energía cinética se cuadruplica.

)A][NF

][md

10

20

)B][NF

][md

10

20

)C][NF

][md

10

20

)D][NF

][md

10

20

)E][NF

][md

10

20

Gráfico 7.1


238

d) El grafico de energía cinética de un cuerpo en función de su rapidez es una parábola.

e) La energía cinética de un cuerpo es proporcional a su rapidez.

7.17. Al caer libremente un cuerpo desde una altura “h”, se deduce que en la mitad de la altura:

a) Disminuyen “EP” y “EC” a la mitad.

b) Se mantienen “EP” y “EC”.

c) Duplican sus valores “EP” y “EC”.

d) Se duplica “EP” y disminuye “EC”. e) Aumenta “EC” y “EP” disminuye a la mitad.

7.18. Si la masa de un cuerpo disminuye a la mitad y su rapidez se cuadruplica entonces su

energía cinética se:

a) Duplica. b) Cuadruplica.

c) Hace 32 veces mayor.

d) Hace 16 veces mayor.

e) Octuplica.

7.19. Un carrito se deja deslizar por un plano inclinado partiendo desde el reposo. Despreciando la fuerza de fricción, el grafico que mejor representa la Energía Potencial “EP” del carrito en

función de su Energía Cinética “EC” es:

7.20. La figura 7.32 muestra un hombre subiendo un barril desde el suelo hasta una altura de 2

metros. Lo hace utilizando tres rampas lisas diferentes. Señalar, razonando el porqué, la

respuesta que sea correcta.

a) La energía que gasta para subir el cilindro por la rampa “A” es la menor.

b) Gasta menos energía si sube el cilindro por la rampa “B”.

c) El mínimo gasto de energía lo consigue utilizando la tercera rampa.

d) La energía utilizada es independiente de la rampa que use.

7.21. Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba. Si “EP”, “EC”, “E” son respectivamente la

energía potencial, cinética y mecánica podemos afirmar que sus valores son tales que

“EP” “EC” E

a) Aumenta. Aumenta. Aumenta.

b) Aumenta. Disminuye. Constante c) Disminuye. Disminuye. Disminuye.

d) Aumenta. Constante. Aumenta.

e) Constante. Constante. Constante.

)A

CE

)B )C )D )EPE

CE CE CE CE

PE PE PE PE

)C)A )B

Gráfico 7.2

Figura 7.32


239

7.22. Un cuerpo de masa “M” desliza sobre una superficie horizontal una distancia “d” y con un

coeficiente de rozamiento “μ”. ¿Cuánto trabajo ha realizado la fuerza peso?

a) – μ M g d b) – M g d

c) Cero

d) M g d

7.23. Cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo el trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. Indicar el signo del trabajo en las siguientes situaciones:

a) Una persona apoyada en una pared.

b) El peso de una persona mientras da un paseo por una carretera horizontal.

c) El peso de una persona cuando sube una montaña. d) El peso de una persona cuando baja una montaña.

e) La fuerza para arrastrar un piano en la dirección del movimiento.

f) La fuerza de rozamiento en el movimiento del piano.

7.24. ¿Qué indica el principio de conservación de la energía mecánica?

7.25. ¿Cuál es la utilidad en Física de los conceptos de trabajo y energía?

7.26. ¿En qué casos una fuerza realiza trabajo y cuando no?

7.27. ¿Puede ser negativa la variación de la energía cinética que experimenta un cuerpo? ¿Por

qué?

7.28. Un objeto de masa “m” cae libremente de cierta altura. ¿En qué lugares de la trayectoria serán máximas y mínimas las energías cinética, potencial y total?

7.29. Un cuerpo sube por un plano inclinado con rozamiento por la acción de una fuerza externa.

Razonar si es positivo, negativo o nulo el trabajo hecho por las fuerzas siguientes:

a) El peso b) La normal c) El rozamiento.

7.30. Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, el trabajo puede ser positivo, negativo o nulo.

Indicar el signo del trabajo en cada una de las siguientes:

a) Una persona empujando una pared.

b) El peso de una persona mientras camina por una carretera horizontal. c) La fuerza ejercida al arrastrar un objeto.

7.31. ¿Puede que dos objetos de la misma masa tengan diferente energía cinética?

7.32. ¿Es posible que dos cuerpos que tengan igual velocidad tengan energía mecánica diferente?

7.33. Si una muchacha que levanta una maleta del suelo y se pone en caminar. Encuentra un

amigo y se ponen a charlar un rato. Al cabo de unos minutos deja la maleta en el suelo para no cansarse. En qué momentos se ha realizado trabajo.

7.34. Una conductora de automóvil aplica los frenos para no chocar con un ciervo que cruza. ¿Qué

pasa con la energía cinética del automóvil cuando llega al reposo?

7.35. Al levantar lentamente una mochila desde el piso hasta la mesa. Sobre la mochila actúan dos fuerzas, su peso y la fuerza que se realizó para levantarla. Como ambas fuerzas se

cancelan, ¿no se ha realizado trabajo alguno sobre la mochila?

7.36. Como se ve en la figura 7.33 una esfera está apoyada sobre un

resorte comprimido. Indicar que transformaciones energéticas se producen cuando se libera el resorte.

Figura 7.33


240

7.37. Dos jóvenes del mismo peso suben por una escalera hasta el cuarto piso de un edificio. Si

tardan 50 y 40 [s] respectivamente.

a) ¿Cuál de los dos realiza más trabajo? b) ¿Cuál de los dos desarrolla mayor potencia?

7.38. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones relacionadas con la energía mecánica y el trabajo

mecánico, es correcta? (Verdadero o falso)

( ) La fuerza de reacción de una superficie sobre un bloque no realiza trabajo. ( ) La fuerza de rozamiento estático siempre realiza trabajo.

( ) Se conserva cuando sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas.

( ) Su variación es igual al trabajo total desarrollado por las fuerzas conservativas que

actúan sobre el cuerpo. ( ) Depende solo de la posición del cuerpo.

( ) No se conserva si solo actúan fuerzas elásticas.

( ) La energía se suele medir en kilowatts – hora (kWh).

( ) La fuerza es una forma de energía.

( ) El trabajo es siempre una magnitud vectorial. ( ) El Teorema de trabajo y energía cinética, es el que dice que el trabajo neto realizado

en cualquier intervalo, es igual a la variación de energía cinética en el mismo

intervalo.

( ) La definición de potencia media es la rapidez con la que se efectúa un trabajo. ( ) El trabajo realizado sobre un objeto por las fuerzas de rozamiento es siempre

negativo.

( ) Sí varias fuerzas actúan sobre una misma partícula en una misma dirección, el

trabajo total realizado por todas ellas, es el mismo trabajo realizado por la fuerza resultante.

( ) Sí se duplica la velocidad de una partícula, su energía cinética se incrementa en un

factor de cuatro.

( ) La energía adquirida por un bloque que resbala hacia la parte inferior de un plano inclinado sin rozamiento es la misma que si el bloque hubiera caído libremente

desde la misma altura.

( ) Si se realiza trabajo positivo sobre un objeto, siempre aumentará su energía

mecánica.

( ) Tanto la fuerza de atracción gravitatoria como la fuerza ejercida por un resorte son conservativas.

( ) Un resorte ideal comprimido entre dos masas “m” hace que cada una de las masas

tenga asociada una energía potencial elástica igual a 𝑘 𝑥2

2, donde “x” es la

deformación. ( ) El trabajo realizado por una fuerza conservativa cambia la energía cinética.

( ) El trabajo realizado por una fuerza conservativa cambia la energía potencial.

( ) El trabajo realizado por una fuerza conservativa cambia la energía mecánica.

7.39. Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 [m] de su posición inicial mediante una fuerza de 10 [N].

7.40. Indicar el trabajo mecánico realizado, en cada caso, por una fuerza de 15 [N] para recorrer

3 [m] si forman un ángulo de: 0º; 60º; 90º; 120º; 180º; 240º; 300º. Explicar físicamente

lo que indican estos resultados.

7.41. Un bloque de 15 [kg] es arrastrado sobre una superficie horizontal rugosa por una fuerza

de 70 [N] que actúa a 20º sobre la horizontal. Cuando el bloque se ha desplazado 5 [m] y

el coeficiente de fricción cinético es 0,3. Determinar el trabajo:

a) Realizado por la fuerza de 70 [N].


241

b) Realizado por la fuerza normal.

c) Realizado por la fuerza peso.

d) Realizado por la fuerza de rozamiento e) El trabajo neto.

7.42. Una vagoneta de 200 [kg] se encuentra sobre una vía horizontal y recta. Calcular el trabajo

realizado en los siguientes casos:

a) Se empuja con una fuerza de 100 [N] sin que la vagoneta se mueva. b) Se empuja haciendo 200 [N] de fuerza en la dirección de la vía y la vagoneta se

mueve 10 metros.

c) Se jala por el lado de la vía, formando un ángulo de 30 grados con la dirección de la

vía, haciendo una fuerza de 200 [N] y la vagoneta recorre 20 metros.

7.43. Dos personas tiran de un carro con dos sogas que forman un ángulo de 60º haciéndolo

recorrer 25 [m]. en 4,5 [s] partiendo del reposo. Hallar la fuerza resultante, la masa del

carro y el trabajo que realizan, si cada uno hace una fuerza de 450 [N] y 490 [N]

respectivamente.

7.44. Indicar el trabajo mecánico realizado por un bombero que arrastra a partir del reposo y con una fuerza constante, durante 3 [min] el cuerpo de una persona herida de 70 [kg], con un

ángulo de 20º, en un pasillo en llamas cuya longitud es de 15 [m].

7.45. Una fuerza �⃗� = 6 𝑖̂ + 2 𝑗̂ N] actúa sobre una partícula que experimenta un desplazamiento

𝑑 = 3 𝑖̂ + 𝑗̂ [m]. Encontrar:

a) El trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula.

b) El ángulo entre F⃗⃗ y d⃗⃗.

7.46. Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 4 [kg] a una altura de 1,5 [m].

7.47. Una bola de 500 [g] que se deja caer desde una altura de 3 [m] sobre una superficie de

arena, penetra 15 [cm] en ella antes de detenerse. Determinar la fuerza, supuesta

constante, de la arena sobre la bola.

7.48. Una señora levanta una cartera de 2,5 [kg] a 0,80 [m] del suelo y camina con ella 185 [m] hacia adelante. Indicar el trabajo que realiza el brazo, al levantar la cartera y al desplazarse.

7.49. Una grúa levanta 1 000 [kg] de cemento a una altura de 40 [m] en un edificio en

construcción, y después desplaza la carga horizontalmente 20 [m]. ¿Qué trabajo mecánico

realiza?

7.50. Una bola de boliche de 7 [kg] se mueve a 3 [m/s]. ¿Qué tan rápido se debe mover una bola de golf de 46 [g] de manera que las dos tengan la misma energía cinética?

7.51. Sobre un cuerpo cuya masa es de 200 [kg] actúa una fuerza de 500 [N] durante 2 minutos.

¿Cuál es la energía cinética alcanzada?

7.52. Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 [cm] de espesor y que opone una resistencia constante de F = 1 800 [N]. La velocidad inicial de la

bala es de 450 [m/s] y su masa es de 15 [g].

7.53. Una fuerza constante actúa durante un minuto sobre un cuerpo de 3 [kg] comunicándole

una velocidad de 2 [m/s]. Hallar la energía cinética adquirida por el cuerpo y el valor de la fuerza.


242

7.54. Un mecánico empuja un auto de 2 500 [kg] desde el reposo hasta

una velocidad “v”, efectuando 5 000 [J] en el proceso. Durante este

tiempo el auto se mueve 25 [m]. Ignorando la fricción entre el auto y el camino, encontrar:

a) La velocidad final “v” del auto.

b) El valor de la fuerza horizontal ejercida sobre el auto.

7.55. Un niño de 40 [kg] de 1,2 [m] de altura, está en el tercer piso de un edificio. Si cada piso tiene 3 [m] de altura. Determinar la energía potencial del niño respecto al suelo del:

a) Primer piso.

b) Segundo piso.

c) Tercer piso. d) Cuarto piso.

7.56. Un embalse contiene 80 [hm3] de agua a una altura media de 60 [m]. Calcular la energía

potencial gravitatoria que posee el agua del embalse en [kWh].

7.57. Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 [kg] y realiza 6 000 [J] de trabajo, ¿cuál

es la profundidad del pozo? (30,6 [m])

7.58. Una bola de acero de 5 [kg] se deja caer sobre una placa de cobre desde una altura de 10

[m]. Si la bola deja una abolladura de 0,32 [cm] de profundidad, ¿cuál es la fuerza promedio

ejercida sobre la bola por la placa durante el impacto?

7.59. Una persona se ducha y sin darse cuenta deja goteando la llave que está a 2 [m] de altura. Caen gotas a intervalos de 0,16 [s]. Si cada gota tiene una masa 0,02 [g], determinar la

energía cinética de cada gota que cae, en el momento que la primera en caer está llegando

al suelo.

7.60. ¿Cuánto se debe estirar un resorte de constante de elasticidad 450 [N/m] para que una masa sujeta horizontalmente posea una energía potencial elástica de 820 [J]?

7.61. Un muelle necesita 160 [N] para comprimirse 1 [cm]. Calcular la energía potencial elástica

que tiene cuando está comprimida 6 [cm].

7.62. Un arquero jala la cuerda de su arco 0,4 [m] ejerciendo una fuerza que aumenta de manera uniforme de 0 a 230 [N].

a) ¿Cuál es la constante de resorte equivalente del arco?,

b) ¿cuánto trabajo se efectúa al jalar el arco?

7.63. Si se necesitan 4 [J] de trabajo para alargar 10 [cm] un resorte que cumple la ley de Hooke

a partir de su longitud no deformada, determinar el trabajo extra necesario para extenderlo 10 [cm] adicionales.

7.64. Un mono, de 10 [kg] de masa, se deja caer de una rama situada a cierta altura. Si llega al

suelo con una energía cinética de 720 [J]. Determinar:

a) La velocidad con que llega al suelo. b) La altura desde la que cae.

7.65. Una bala de 15 [g] se acelera en el cañón de un rifle de 72 [cm] de largo hasta una velocidad

de 780 [m/s]. Emplear el teorema del trabajo y la energía para encontrar la fuerza ejercida

sobre la bala mientras se acelera.

7.66. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez desconocida “v0”, en su

trayectoria, la piedra pasa por un punto “A” con una rapidez “vA”, luego tres metros más

arriba, pasa por un punto “B” a una rapidez de “vA /2” ¿Calcular el valor de la rapidez “vA”?

F

Figura 7.34


243

7.67. Se lanza una pelota con un ángulo “” respecto a la horizontal, desde una altura “h”, con

una rapidez inicial “v0”. Usar el método de la energía para calcular la velocidad de la pelota

cuando su altura es “h/2”.

7.68. Un cuerpo de masa “m” se suelta desde un punto “A”, situado a una altura “h” sobre el

suelo. Considerar al cuerpo al pasar por el punto “B”, a una altura “h/4” sobre el suelo, en su caída vertical. Despreciando la resistencia del aire.

a) ¿En cuánto disminuye la energía potencial del cuerpo al pasar de “A” a “B”?,

b) ¿Cuál es la energía cinética del cuerpo en “B”?,

c) ¿Cuál es el valor de la energía mecánica total del cuerpo durante el movimiento?

7.69. Se coloca un bloque de masa 0,25 [kg] sobre un resorte vertical de constante k = 5 000

[N/m] y se empuja hacia abajo, comprimiendo el resorte una distancia de 0,1 [m]. Cuando

el bloque se suelta, deja el resorte y es impulsado hacia arriba. ¿A qué altura máxima por

encima del punto de liberación llega el bloque?

7.70. Sobre una superficie horizontal se dispone de un muelle de constante elástica 3 [N/m].

Desde un punto situado a 3 [m] del muelle se lanza un cuerpo de 1 [kg] de masa con una

velocidad de 4 [m/s]. Calcular la máxima compresión del muelle si el coeficiente de

rozamiento entre el cuerpo y el suelo es = 0,1.

7.71. Se deja caer desde 3,4 [m] de altura un objeto de 100 gramos de masa

sobre un muelle vertical de un metro de longitud y 75 [N/m] de

constante elástica, tal y como se ve en la figura 7.35. Calcular la máxima compresión “x” del muelle.

7.72. Desde la base de un plano inclinado 30º respecto a la horizontal, se lanza en subida un

cuerpo de 1 [kg]. El cuerpo recorre 0,5 [m] y después comprime 0,1 [m] un resorte de

constante 100 [N/m] ubicado en la parte superior del plano antes de detenerse.

a) Si el plano es liso, determinar la rapidez inicial del cuerpo.

b) Si la rapidez con la que el cuerpo inicia la subida del plano fuera el doble de la

calculada en a) y el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano fuera de 0,2,

¿cuánto se comprimirá el resorte? c) ¿y si la rapidez se reduce a la mitad?

7.73. Un bloque de 1 [kg] que cuelga por el costado de una

mesa se conecta por una cuerda que pasa por una polea

ideal a un resorte de constante 100 [N/m], ubicado

horizontalmente sobre la mesa fija en el otro extremo. Se sostiene inicialmente al bloque en reposo manteniendo al

resorte sin estirar y luego se suelta. Calcular:

a) El estiramiento máximo del resorte.

b) La rapidez del bloque cuando el resorte se ha estirado la mitad del alargamiento máximo.

X

K L

h

m

Figura 7.35

Figura 7.36


244

7.74. Una pelota describe una circunferencia vertical en el extremo de una cuerda. Si la energía

mecánica total de la pelota permanece constante, demuestre que la tensión en la cuerda en

la parte más baja es mayor que la tensión en el punto más alto en seis veces el peso de la pelota.

7.75. Tarzán de masa “M”, para impresionar a Jane, se balancea de una liana de longitud “L”

(como un péndulo) alcanzando una rapidez “v0” en su posición más baja, esto es cuando la

liana se encuentra vertical. Luego, cuando la liana forma un ángulo “θ” con la vertical, calcular en función de los valores conocidos “M”, “L”, “v0”, “θ” y “g”:

a) La rapidez de Tarzán.

b) La tensión en la liana cuando forma un ángulo “θ” con la horizontal.

c) Altura máxima alcanzada por Tarzán desde su posición más baja.

7.76. Un proyectil de 1 [kg] se lanza desde tierra con una rapidez inicial de 180 [km/h] en un

ángulo de 30º sobre el suelo. Calcular:

a) El trabajo para que alcance su altura máxima.

b) Su energía cinética cuando se encuentra en su altura máxima.

c) La potencia entre la superficie y su altura máxima.

7.77. A la masa de 1 [kg] de un péndulo de 1 [m] de longitud, se la impulsa con una rapidez

inicial de 2 [m/s] en su posición más baja. Cuando la cuerda forma un ángulo de 30º con la

vertical, calcular:

a) La variación de energía potencial gravitatoria de la masa. b) La rapidez de la masa.

c) La altura máxima alcanzada por la masa por sobre su posición más baja.

7.78. Un autito de masa 2 [kg] se mueve a lo largo

de un riel cuyo perfil está representado en la figura pasando por el punto “P” con rapidez

“v”. ¿Cuál debe ser el valor mínimo de “v” en

[m/s] para que el autito logre llegar a “Q”? (El

rozamiento entre el automóvil y la riel es nulo)

7.79. Se lanza un balón de 2 [kg] con una velocidad inicial de 10 [m/s]. Sube por la rampa de la

figura y al final lo para el muelle.

a) ¿Cuál es la velocidad cuando está a un metro de altura?

b) ¿Y cuál tendrá cuando ya esté en la superficie horizontal de arriba?

c) ¿Cuál será la máxima compresión del muelle si su constante es de 100 [N/m]? d) ¿Cuál es la máxima fuerza que debe hacer el muelle?

7.80. Una masa m = 500 [g] cuelga de un hilo de longitud L = 2

[m]. Se deja ir la masa cuando el hilo forma un ángulo

con la vertical, y cuando pasa por el punto más bajo su

velocidad es v = 3 [m/s]. En este instante se rompe la

cuerda y la masa m continúa moviéndose sobre el plano horizontal liso hasta chocar con un muelle. La compresión

máxima del muelle debida al choque con la masa m es de

40 [cm]. Calcular:

2 [m]v

X

L

m

2 [m]

5 [m]

P Q

v

Figura 7.37

Figura 7.38

Figura 7.39


245

a) La tensión de la cuerda inmediatamente antes de romperse.

b) El valor del ángulo “”.

c) La constante elástica “k” del muelle.

7.81. El resorte de un lanzador de esferas de laboratorio parabólico tiene una constante elástica

“k”. Cuando el lanzador está inclinado un ángulo de elevación, dispara una esfera de masa

m a una altura “H” sobre la boca del cañón.

a) Calcular la expresión para la velocidad inicial de la bola. b) Calcular la expresión para calcular cuánto se comprimió el resorte inicialmente.

7.82. Un balón, de 400 gramos de masa, circula por una

pista de la forma y dimensiones indicadas en la

figura 7.40.

a) Calcular la energía potencial del balón cuando

está parado en la parte superior.

b) ¿Cuál es la aceleración con el que baja por la

pendiente? c) ¿Qué velocidad tendrá cuando esté en la

parte superior del looping (la circunferencia)?

d) ¿Cuál tendría que ser la constante del muelle

que amortigüe el choque final si queremos

que se comprima 5 [cm]? e) ¿Cuál será su velocidad un instante antes de chocar con el muelle?

f) ¿Cuál es la velocidad del balón cuando el muelle está comprimido 2 [cm]?

7.83. Con una fuerza horizontal de 150 [N] se empuja una caja de 50 [kg] sobre una superficie

horizontal rugosa de 6 [m]. Si la caja se mueve a velocidad constante, encontrar:

a) El trabajo realizado por la fuerza de 150 [N].

b) La energía cinética perdida debido a la fricción.

c) El coeficiente de fricción cinético.

7.84. El bloque de 50 [kg] asciende por el plano inclinado de la figura 7.41, y recorre 2 [m] sobre el mismo, con la fuerza horizontal

constante F1 aplicada, de 600 [N]. También actúa una fuerza de

rozamiento de 100 [N]. Hallar:

a) El trabajo que realiza �⃗�1.

b) El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento.

c) El trabajo que realiza el peso del bloque.

d) El que realiza la normal. e) La fuerza resultante que actúa sobre el bloque, y su trabajo.

f) La velocidad del bloque luego de ascender los 2 [m], si al comienzo tenía una

velocidad de 0,6 [m/s].

g) Las energías cinéticas inicial y final del bloque.

7.85. Sobre un cuerpo de 2 [kg] que se movía inicialmente con una rapidez de 5 [m/s] hacia la

derecha, en una superficie horizontal, se aplica una fuerza de 10 [N] inclinada 30º respecto

a la horizontal. El desplazamiento mientras se ejerce la fuerza fue de 5 [m], y el coeficiente

de roce es 0,25. Calcular

a) El trabajo realizado por cada fuerza sobre el cuerpo,

b) La variación de energía cinética,

c) La velocidad final del cuerpo.

0,2 [m]60°

1,2

[m

]

37°1F

Figura 7.40

Figura 7.41


246

7.86. Un bloque de 5 [kg] se pone en movimiento subiendo por un plano inclinado en un ángulo

de 30° respecto a la horizontal, con una rapidez inicial de 8 [m/s]. El bloque alcanza el

reposo después de recorrer 3 [m] a lo largo del plano inclinado rugoso. Determinar:

a) El cambio en la energía cinética.

b) El cambio en la energía potencial.

c) La fuerza de fricción sobre el bloque.

d) El coeficiente de fricción cinético.

7.87. Una partícula de 0,6 [kg] tiene una velocidad de 2 [m/s] en el punto “A” y una energía

cinética de 7,5 [J] en “B”. ¿Cuál es?

a) Su energía cinética en “A”.

b) Su velocidad en “B”. c) El trabajo total realizado sobre la partícula cuando se mueve de “A” a “B”.

7.88. Jorge recibe un servicio del Luis con una pelota de tenis de 50 [g], la cual al llegar a la

raqueta del Jorge con una rapidez de 200 [km/h], la hunde 2 [cm], se detiene y sale

nuevamente disparada (todo eso ocurre en un intervalo de tiempo muy pequeño). Calcular:

a) La energía cinética de la pelota antes que golpee la raqueta, b) El trabajo realizado sobre la pelota durante el golpe,

c) La fuerza media sobre la pelota.

7.89. El bloque de la figura 7.42, de masa 4 [kg], está sometido a una

fuerza de rozamiento constante en todo su recorrido, de 10 [N]. El bloque parte de la parte superior del plano con una velocidad de 2

[m/s]. Al llegar al punto “B” comprime al resorte 20 [cm]. Se

detiene momentáneamente y sale rebotado. Calcular la constante

recuperadora del resorte y la altura respecto al punto “B” que alcanza después de rebotar.

7.90. El cable que sostiene a un ascensor de masa m = 2 000 [kg], lleva

a éste desde la planta baja hasta una altura de 10 [m] donde se

rompe el cable, en este punto el ascensor tiene una velocidad de 2 [m/s]. Entre los rieles y el ascensor existe una fuerza de

rozamiento constante, fr = 2 000 [N], y en el piso se encuentra un

resorte de seguridad con constante elástica k. El extremo libre del

resorte sin deformar se encuentra justo a nivel de la planta baja.

¿Calcular la distancia total recorrida por el ascensor desde que se rompe el cable hasta que finalmente se detiene?

7.91. Una bloque de masa “m”, apoyada sobre una superficie rugosa

horizontal de coeficiente de rozamiento “”, está unida a un resorte de

constante elástica “k” y largo natural “L”, cuyo otro extremo está fijo a

una altura “L”. Inicialmente se le da al bloque una velocidad “v” hacia la

derecha. Dibujar el grafico de la situación inicial y el punto donde se detiene momentáneamente el bloque y plantear el balance de energías

en función de las variables dadas.

10 m

v2 m/s

fr

45° B

v 4,8 [m

]

Figura 7.42

Figura 7.43

Figura 7.44

m v

L


247

7.92. Un grupo de perros arrastra un trineo de 100 [kg] en un tramo de 2 [km] sobre una

superficie horizontal a velocidad constante. Si el coeficiente de fricción entre el trineo y la

nieve es 0,15, determinar:

a) El trabajo efectuado por los perros.

b) La energía perdida debido a la fricción.

7.93. Una esfera de 0,5 [kg] desliza por un riel curvo a partir del

reposo en el punto A de la figura 7.45. El tramo de “A” a “B” no tiene rozamiento y el de “B” a “C” si tiene rozamiento.

a) Calcular la rapidez de la esfera en “B”.

b) Si la esfera llega al reposo en “C”, calcular el trabajo

por la fuerza de rozamiento en el tramo BC.

7.94. Un bloque de masa “m” comienza a moverse desde una altura “H” sobre un plano inclinado

en 30°. Al llegar a la parte inferior del plano, el bloque se desliza por una superficie

horizontal. Si el coeficiente de fricción en ambas superficies es “μ”, calcular la distancia

horizontal que deslizará el bloque antes de llegar al reposo.

7.95. Un objeto en lo alto de un plano inclinado tiene una energía mecánica de 2 000 [J]. Al llegar al final del plano, su energía mecánica es 1 750 [J]. ¿En qué se habrá transformado el resto

de la energía? Si la longitud del plano es de 5 metros, ¿cuánto valdrá la fuerza de

rozamiento?

7.96. Un cuerpo se deja deslizar en el punto “A”, recorre un tramo horizontal con rozamiento

y llega al punto “B”. Calcular la fuerza de

rozamiento.

7.97. Desde el extremo superior de un plano inclinado a 30° respecto a la horizontal, de coeficiente de rozamiento de 0,1, desliza desde el reposo, un bloque de masa 3 [kg]. El bloque se

mueve una longitud de 1 [m] antes de comprimir a un resorte de constante 400 [N/m]

ubicado en la parte inferior del plano.

a) Calcular, la rapidez del bloque justo antes de tocar al resorte. b) Calcular la máxima compresión del resorte.

7.98. Un paracaidista de 50 [kg] de masa salta desde un avión a una altura de 1 000 [m] y llega

al suelo con una velocidad de 5 [m/s]. ¿Cuánta energía perdió por la fricción del aire durante

este salto?

7.99. Un niño de 30 [kg] se deja caer por un tobogán de 2 [m] de altura y llega al suelo con una velocidad de 4 [m/s]. ¿Qué trabajo hizo la fuerza de rozamiento?

7.100. Un ascensor de 2 [TM] de masa se eleva desde la planta baja y cuando pasa por el cuarto

piso, situado a una altura de 20 [m], su velocidad es de 3 [m/s]. Suponiendo que la fuerza

de rozamiento es constante e igual a 490 [N], calcular el trabajo realizado por el mecanismo de elevación.

1 [m]

0,5 [m]

A

B

C

200 [m] 100 [m]

50 [m]

4 [kg]

B

A

Figura 7.45

Figura 7.46


248

7.101. Un cuerpo de 2 [kg], inicialmente en reposo, baja

por un plano inclinado 42º respecto la horizontal.

Después de recorrer una distancia de 3 [m] sobre el plano inclinado, alcanza el suelo horizontal y,

finalmente, sube por otro plano inclinado 30º

respecto a 'horizontal (observa el dibujo).

Suponiendo que los efectos del rozamiento son despreciables, calcular:

a) El tiempo que tarda en llegar al pie del primer plano inclinado y la velocidad del

cuerpo en este momento.

b) La máxima longitud recorrida por el cuerpo en el plano inclinado de la derecha.

Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el primer plano inclinado fuese μ = 0,4,

c) ¿Cuánta energía se liberaría en forma de calor desde el instante inicial hasta llegar

al pie del primer plano inclinado?

7.102. Un cuerpo de 5 [kg] de masa está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. El

coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la superficie es = 0,3. Se aplica al

cuerpo una fuerza constante horizontal F = 40 [N] que deja de actuar cuando el cuerpo ha

recorrido 6 [m]. Calcular:

a) La velocidad del cuerpo en el instante en el que “�⃗�” deja de actuar.

b) La distancia recorrida por el cuerpo desde el instante en el que “�⃗�” deja de actuar

hasta que el cuerpo se para.

c) El trabajo total hecho por la fuerza de rozamiento y por la fuerza “�⃗�”.

7.103. Un bloque de 20 [kg] se lanza hacia arriba a lo largo de un plano

inclinado 30º, con una velocidad de 12 [m/s]. Si el bloque vuelve al punto de partida con la mitad de la velocidad con que se lanzó, calcular

el coeficiente de rozamiento.

7.104. La pelota de la figura 7.49, de 0,6 [kg] de masa, se soltó desde una

altura de 4 [m]. En cada rebote, la pelota pierde la cuarta parte de

su energía. Despreciando el rozamiento con el aire indicar:

a) Cuáles eran las energías potencial, cinética y mecánica antes de

ser soltada.

b) Cuánto valían estas energías justo antes de chocar contra el

suelo por primera vez. c) Cuánta energía, en joule, perdió en el primer pique.

d) Altura máxima que alcanza después de picar una vez.

7.105. Una masa de peso “P” se amarra a un hilo de pesca que puede soportar hasta un peso de

“2 P”. Si la masa se suelta desde el reposo con el hilo en posición horizontal, calcular el ángulo respecto a la vertical al cual se rompe el hilo.

42° 30°

3 [m]

30°v

Figura 7.47

Figura 7.48

Figura 7.49


249

7.106. Un avión de masa “M” hace un rizo (loop) de manera que sigue una

trayectoria circular y vertical de radio “R”. ¿Qué trabajo hace la fuerza

peso cuando el avión va del punto más alto “A” al punto más bajo “B” de la trayectoria? ¿Qué trabajo hace esta fuerza al hacer una vuelta

completa de “A” a “A”?

7.107. Un collarín de 25 [kg] descansa sobre una barra horizontal adosada a

otra vertical que gira con una velocidad angular de 60 [rpm] como se muestra en la figura 7.51. El resorte tiene una constante de rigidez

K = 40 [kgf/cm] y el coeficiente de fricción entre el collarín y la barra

es µ = 0,2. Si la longitud natural del resorte es de 68 [cm], determinar

el alargamiento del resorte.

7.108. Se está diseñando una montaña rusa y se quiere

dar una vuelta vertical completa de 10 [m] de

radio. La vagoneta tiene un masa de 80 [kg].

a) ¿Desde qué altura mínima se debe que

soltarla para que dé la vuelta vertical completa sin problema alguno?

b) ¿Cuál será la fuerza que hará este caso el

carril circular en el punto más bajo?

7.109. Un bloque de 2 [kg] sobre un plano áspero inclinado en 37º, se conecta a un resorte ligero de constante 100 [N/m]. El bloque se

suelta del reposo cuando el resorte no está estirado y se mueve

20 cm hacia abajo del plano antes de detenerse. Calcular el

coeficiente de roce.

7.110. Suponer que el plano inclinado del sistema descrito en el problema anterior es liso. El bloque

se libera a partir del reposo con el resorte inicialmente no estirado.

a) ¿Cuánto se desplaza hacia abajo del plano antes de quedar en reposo?

b) ¿Cuál es la aceleración del bloque al llegar a su punto más bajo? ¿Su aceleración es constante?

c) Describir las transformaciones de energía que ocurren durante el descenso del

bloque.

A

B

R

RH

L0+x

37°

Figura 7.50

Figura 7.51

Figura 7.52

Figura 7.53


250

7.111. Un vagón de carga de 6 000 [kg] rueda a lo largo de rieles

con una fricción despreciable. El vagón se lleva al reposo

por medio de una combinación de dos resortes, como se muestra en la figura 7.54. Ambos resortes obedecen a la

Ley de Hooke, con k1 = 1 600 [N/m] y k2 = 3 400 [N/m].

Después de que el primer resorte se comprime una distancia de 30 [cm], el segundo resorte

(que actúa con el primero) aumenta la fuerza de modo que hay una compresión adicional. Si el vagón se lleva al reposo 50 [cm] más allá del primer contacto con el sistema de dos

resortes, encontrar la velocidad inicial del vagón.

7.112. Si un caballo puede mantener 1 [Hp] de salida durante 2 [h], ¿cuántos bultos de porotos de

70 [kg] puede levantar hasta el techo de una casa de 8 [m] de altura, suponiendo una eficiencia de 70 %?

7.113. Un motor jala una caja de 200 [kg] por una superficie plana. Si el coeficiente de fricción

entre la caja y la superficie es 0,4.

a) ¿Cuánta potencia debe entregar el motor para mover la caja a 5 [m/s]?

b) ¿Cuánto trabajo efectúa el motor en 3 [min]?

7.114. Un camión de 60 toneladas lleva una velocidad de 72 [km/h] cuando comienza a frenar. Si

se para 10 segundos después, ¿cuál ha sido la potencia media de la frenada?

7.115. Un dispositivo consume 1 000 [W] realizando un trabajo de 3 200 [J] en 4[s]. Encontrar su

rendimiento.

7.116. Calcular la potencia de una máquina que eleva 20 ladrillos de 500 [g] cada uno a una altura

de 2 [m] desde el suelo en 1 [min]. Se considera que no hay cambio de velocidad al levantar

los ladrillos.

7.117. Hallar la potencia necesaria para elevar, por medio de un sistema de poleas cuyo rendimiento es del 75%, una masa de 300 [kg] a una altura de 6 [m] en 30 [s]. Expresar

el resultado en caballos de vapor.

7.118. Si se empuja una caja de 40 [kg] a una velocidad constante de 1,4

[m/s] a lo largo de un piso horizontal de coeficiente de fricción 0,25, ¿a qué tasa?

a) Efectúa trabajo sobre la caja.

b) La energía es disipada por la fuerza de fricción.

7.119. Un marino de 700 [N] en un entrenamiento básico sube por una cuerda vertical de 10 [m]

a una velocidad constante en 8 [s]. ¿Qué potencia desarrolla?

7.120. Un elevador de 650 [kg] empieza a moverse desde el reposo. Si se desplaza hacia arriba

durante 3 [s] con aceleración constante hasta que alcanza una velocidad de 1,75 [m/s]:

a) ¿Cuál es la potencia del motor del elevador durante este periodo?

b) ¿Cómo se compara esta potencia con la potencia ejercida mientras se mueve a su velocidad de crucero?

7.121. Un auto de 1 500 [kg] acelera uniformemente desde el reposo hasta 10 [m/s] en 3 [s].

Encontrar:

a) El trabajo efectuado sobre el auto en este tiempo. b) La potencia entregada por el motor en los primeros 3 [s].

k1k2

Figura 7.54

Figura 7.55


251

7.122. Un carro de 2 500 [N] de peso que opera a una tasa de 130 [kW] desarrolla una velocidad

máxima de 31 [m/s] sobre un camino horizontal plano. Si se considera que la fuerza de

rozamiento permanece constante:

a) ¿Cuál es la máxima velocidad del carro sobre una pendiente de 1 en 20 (sen =1/20)?

b) ¿Cuál es la potencia sobre una pendiente de 1 en 10 si el auto viaja a 10 [m/s]?

7.123. Un esquiador de 70 [kg] de masa sube una pendiente nevada de 30º

de inclinación con una velocidad constante v = 2 [m/s] mediante un

cable, tal y como se ve en la figura 7.56. El coeficiente de rozamiento

entre el esquiador y la nieve vale µ = 0,02. Calcular La potencia que desarrolla el motor del cable.

7.124. Calcular la potencia que requiere un automóvil de 1 200 [kg] para las siguientes situaciones:

a) El automóvil sube una pendiente de 8º a una velocidad constante de 12 [m/s].

b) El automóvil acelera de 14 [m/s] a 18 [m/s] en 10 [s] para adelantar otro vehículo, en una carretera horizontal. Suponga que la fuerza de rozamiento es constante e

igual a F = 500 [N].

7.125. ¿Cuánto peso puede mover un motor de 2,00 [Hp] por un camino horizontal con velocidad

constante de 5,00 [m/s], si el coeficiente de rozamiento cinético entre el peso y el camino

es de 0,80?

7.126. Un camión de 30 [TM] está parado al inicio de una cuesta. Arranca y cuando se ha elevado

una altura vertical de 50 [m] sobre el punto de partida alcanza una velocidad de 72 [km/h],

tras permanecer 3 minutos en movimiento. Calcular:

a) La energía mecánica adquirida por el camión. b) La potencia mecánica del motor necesaria para suministrar esa energía.

7.127. Se quiere subir un ascensor de 700 [kg] a velocidad constante hasta 20 metros de altura.

a) Calcular el trabajo necesario para hacerlo.

b) ¿Cuál será la potencia del motor si se sabe que tarda 28 segundos en hacer el recorrido?

7.128. Una bomba hidráulica sube un metro cúbico de agua a 12 [m] de altura.

a) ¿Cuál será el trabajo que habrá realizado?

b) ¿Cuál será la potencia de la bomba si sube 200 litros por minuto?

7.129. Una grúa levanta un objeto de 200 [kg] a una altura de 30 metros en 12 segundos. Calcular:

a) El trabajo que realiza sobre el cuerpo.

b) La potencia efectiva desarrollada.

c) El rendimiento del motor, sabiendo que éste tiene una potencia de 10 [CV].

7.130. Un coche de 800 [kg] arranca del reposo y alcanza una velocidad de 100 [km/h] en 8 segundos. Suponiendo despreciable el rozamiento, determinar el trabajo y la potencia

desarrollada por el motor.

7.131. Un motor con un rendimiento del 90% está instalado en una grúa de rendimiento igual al

40%. Sabiendo que la potencia suministrada al motor es de 5 [kW], calcular la velocidad con la que subirá la grúa una masa de 450 [kg].

30°Figura 7.56


252

7.132. Un ciclista sube por una pendiente del 6% a una velocidad de 12 [km/h]. Si la masa del

ciclista más la bicicleta son 80 [kg], calcular la potencia que está desarrollando. Si se supone

un rendimiento del 20% sobre la energía consumida, calcular la energía consumida para superar un desnivel de 50 metros.

7.133. Se somete a un cuerpo de 320 [g] de peso a la acción de dos fuerzas de 350 [N] y 450 [N],

que forman un ángulo de 73º, durante 5 [s]. Calcular el trabajo y la potencia desarrolladas.

7.134. Un motor genera una potencia de 1,4 [kW]. Independientemente de ello, el motor invierte 15 [s] en elevar un bloque de 100 [kg] hasta una altura de 16 [m]. ¿Cuál es su rendimiento?

7.135. El motor de una lavadora genera una potencia de 1500 [W]. Si su rendimiento es del 70 %.

(a) ¿Cuál es su potencia útil? (b) ¿Qué trabajo habrá realizado si ha estado en

funcionamiento durante 30 min?

7.136. Un coche compacto, tiene una masa de 800 [kg] y su eficiencia es del 18%. Encontrar la

cantidad de gasolina empleada para acelerarlo desde el reposo hasta 27 [m/s]. Usar el hecho

de que la energía equivalente a 1 galón de gasolina es 1,34*108 [J]. Si demora 10 [s] en

alcanzar la velocidad, ¿qué distancia se desplaza?

7.137. Una máquina eleva verticalmente una carga de 200 [kg] mediante una cuerda que se arrolla en un tambor de 20 [cm] de radio. Determinar la

potencia desarrollada por la fuerza que ejerce el cable, cuando el tambor

gira a 300 [rpm], con velocidad angular constante.

R

Figura 7.57

capítulo 7 trabajo y energía

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