capítulo [7]

Universidad Nacional de Ingeniería

CURSO DE ESTÁTICACURSO DE ESTÁTICAAPUNTES DE CLASEAPUNTES DE CLASE

ING. SERGIO HERRERA RAMÍREZING. SERGIO HERRERA RAMÍREZ

ESFUERZO Y DEFORMACIÓN EN CABLESESFUERZO Y DEFORMACIÓN EN CABLES

Universidad Nacional de IngenieríaCABLESCABLES

Uso:

� Puentes colgantes

� Líneas de Transmisión de energía eléctrica

� Teleféricos

� Alambres tensores para torres elevadas

� Etc (otras aplicaciones de ingeniería)

Clasificación:

→ De acuerdo con la forma de las cargas:

(1) Cables que soportan cargas concentradas

(2) Cables que soportan cargas concentradasCable parabólico

Catenaria


1.- Cables con Cargas Concentradas:

Objetivos:

� Determinar la forma del cable (y1, y2, …….. yn)

� La Tensión (T) en cada porción del cable.

L

A

Cn

BC2

C1Y1

Y2 Yn

d

P1

P2 Pnx1

x2

xn


Nota:

Cable no es sólido rígido ⇒ las ecuaciones de equilibrio representan condiciones necesarias pero no suficientes.

Hipótesis:

� Cable sujeto en dos puntos fijos A y B.

� “n” cargas verticales concentradas: P1, P2, …….. Pn.

� Se desprecia la resistencia a la flexión del cable (Material Flexible).

� Se desprecia el peso del cable.

� Entre dos cargas sucesivas, se considera como un elemento sometido a dos fuerzas y fuerza interna (fuerza de tracción dirigida según el cable).

� Las cargas tienen una dirección vertical conocida (distancia horizontal del apoyo “A” a las cargas) y las distancias verticales y horizontales entre los apoyos.

Universidad Nacional de Ingeniería⇒ Diagrama de Cuerpo Libre del Cable Completo:

0)d(B)L(B)x(P)x(P)x(P

0M0PPPBA:0F

0BA:0F

xynn2211

A

n21YYY

XXX

=−−++

+=∑

=−−−+=∑∑ =+=

⇒ Se requiere una ecuación adicional: para ello debemos conocer las coordenadas de un punto del cable (por ejemplo, punto “D” (x, y)).

⇒ Aplicamos Σ MD = 0 +

AX (y) + AY (x) – P1 (x – x1) = 0

Obtendremos una relación adicional entre los componentes escalares AX e AY.

∴ Determinamos: AX, AYBX, BY

⇒ Diagrama Cuerpo Libre de la Porción AD del Cable:

A

CnBC2

C1

d

P1P2

Pn

By Bx

Ay

Ax

L

x1

x2

xn

C1

A

AyAx

P1T

x

x1


⇒ Conocido Ax y Ay : Se encuentra la distancia vertical del apoyo A a cualquier punto del cable.

- Por ejemplo, si se desea hallar: Y2 (distancia vertical del punto C2)

- Para el cable AC2, por equilibrio: T2n (tensión en la parte del cable a la derecha de C2)

∑ Mc2= 0 +

Ax (y2) + Ay (x2) – P1 (x2 – x1) = 0

⇒

x

2y1212 A

)(xA)x(xPY

−−=

θ : Ángulo de inclinación

C1

A

AyAx

P1

x2

x1

P2 T2n

Y2

θ


∑ Fx = 0 : Ax + T2n cos θ = 0

∑ Fy = 0 : Ay + P1 - P2 - T2n sen θ = 0

⇒θ

=cosAT x

2n

Nota:

⇒ T2n cos θ = - Ax: La componente horizontal de la fuerza de tensiónes la misma en cualquier punto del cable.

⇒ T es máximo cuando “cos θ” es mínimo, entonces la porción de cable cuando “θ” es mayor (adyacente a alguno de los soportes).

Universidad Nacional de IngenieríaEJEMPLOEJEMPLO: :

� Determinar las alturas de los puntos B ∧ D.

� La pendiente y tensión máxima en el cable.

Cálculo de las Reacciones:

� Equilibrio para el Cable Completo:

∑ME = 0 +

Ax (20) - Ay (60) + 10 (40) + 20 (30) + 5 (15) = 0

⇒ 20 Ax - 60 Ay + 1075 = 0 ......... (I)

10T20T

5T

AyAx

EyExA

E

BC

D20 m

5 m

20 m 10 m 15 m 15 m

60 m


� Equilibrio AC ( Debido que se conoce la distancia entre el punto A y punto C)

∑ MC = 0 +

- Ax (5) - Ay (30) + 10 (10) = 0

⇒ - 5 Ax - 30 Ay + 100 = 0 ......... (II)

Resolviendo (i) y (II):

Ay = 8.194 Ton ⇒ Ay = 8.144 Ton ↑

Ax = - 29.164 Ton ⇒ Ax = 29.164 Ton ←

∑ MB = 0 +

29.06 (4B) - 8.19 (20) = 0 ⇒ 4B = 5.62 m

(por debajo del punto A)

� Altura del Punto B (Equilibrio AB)

Ay Ax

10T20T

AB

C

D

TCD

8.19 T

29.16 T

10T

AB

C

TBC

YB


∑ MD = 0 +

- 29.19 (4D) - 8.19 (45) + 10 (25) +20 (15) = 0

⇒ 4D = 6.22 m (por encima del punto A)

� Altura del Punto D (Equilibrio AD)

� Tensión Máxima en el Cable (Tmáx cuando θ es máximo)

.Ton60.39cos

T16.29TT

.T16.29cosT

:TT

º57.42m15m13.78Tag

máxED

ED

máxED

=θ

==⇒

=θ

=

=θ⇒=θ⇒

10T20T

5T29.16 T

TDE

E

BC

DYD

A

8.19 T

Ey

Ex = 29.16 T

10T20T

5T29.16 T

TEDE

BC

DYD = 6.22 m

A

8.19 T θ20 m

Universidad Nacional de Ingeniería2.- Cables con Cargas Repartidas

Objetivo:

� Determinar la tensión en cualquier punto del cables.

� Determinar la forma del cable para 2 tipos de cargas repartidas.

Hipótesis:

� Cable sujeto en dos puntos fijos A y B.

� Soporta una carga repartida.

� Cable adquiera una forma curva.

� La fuerza interna en un punto cualquiera (Ejem: pto. D) es una fuerza de tracción (T) dirigida a lo largo de la tangente a la curva.

Diagrama de Cuerpo Libre de la Porción CD del Cable:

c: Punto má s bajo de la curva.

d: Punto donde se desea determinar la tensión.

A

B

D

C

D

C

T

To

θ

θ

To

T

W

W

Universidad Nacional de IngenieríaTo: Fuerza de tracción en “C” (fuerza horizontal)

T: Tracción en “D” (tangente al cable en ese punto)

w: Resultante de la carga distribuida de la porción CD.

- Por equilibrio, tenemos el triángulo de fuerzas mostrado:

T cos θ = To (componente horizontal de T es la misma en cualquier punto)

T sen θ = W (componente certical de T es igual al módulo W)

Towtag

WToT 22

=θ

+= (la tensión T es mínima en el punto interior “C” y máxima en uno de los dos puntos del apoyo)

Módulo yDirecciónde “T”


2.a.- Cables con Cargas Repartidas : Cable Parabólico

→ Cable que soporta una carga uniformemente distribuida (horizontal)

Consideraciones:

� Peso de cable pequeño comparado con la plataforma (superestructura) que soporta.

� w : Carga horizontal por unidad de longitud (ton/m) (medida horizontalmente).

� Origen de coordenadas en el punto más bajo del cable (punto C).

Caso:

cables de suspensión de puentes colgantes.

Plataforma


⇒W = carga total de la porción del cable CD.

⇒ Módulo y dirección de “T” (fuerza de tracción en D)

222o xwTT += T

wxtago

=

ω (Ton/m)

A BY

X

D (X,Y)

C

DY

X

y

θ

W = ωx

To

T

x/2 x/2

C


Si : ∑ Md = 0 + : wx (x/2) - To (y) = 0 ⇒

⇒

xTo2wy 2=

Ecuación de una Parábola

[origen en punto C y eje vertical (Eje Y)]

“La curva formada por cables cargados uniformemente a lo largo de la horiontal, es una parábola”.

Universidad Nacional de Ingeniería→→→→ Cable que soporta sólo su peso propio

Consideraciones:

1.- Los cables que cuelgan bajo su peso no están cargados uniformente a lo largo de la horizontal y no forman una parábola.

2.- Al suponer que tienen una forma parábolica se introduce un error, que es pequeño, si el cable estásuficientemente tirante.

3.- Bajo estas consideraciones, se presentan dos casos:

CASO I: Cuando los apoyos Ay B del cable están a la misma altura

L: Luz o tramo del cable (distancia entre apoyos).

h: Flecha de cable (distancia vertical de los apoyos al punto inferior del cable).

w: Peso por unidad de longitud de cable.

C

B

Y

X

h

L

A


L

� Considerando datos h , entonces: x = L/2 en las formulas de cable parabólico

w x = h

∴

Tensión mínima

� Para cualquier punto del cable; la tensión, su pendiente, así como la forma del cable esta dado por:

Ecuación del cable (ecuación parabólica)

h8wLoT

2=

2222

xwh8

wLT +

=

22 xLh4y =

xLh8tag 2=

Universidad Nacional de IngenieríaCASO II: Cuando los apoyos están a diferente altura

1. No reconoce la posición del punto inferior del cable.

2. Deben determinarse las coordenadas de los apoyos del cable: A (XA, YA)

B (XB, YB)

� Para ello considerar que:

XB - XA = L: Distancia horizontal entre apoyos

YB - YA = d: Distancia vertical entre apoyos

Además, debe satisfacer la ecuación genérica de la parábola:

towx

dd

To2wxy

x

y

2

=⇒

=

B

Y

X

A

C XA XB

YA

YB

d

L

Y

YB

dA

C

B

YA

XA < 0 XB X

L

Universidad Nacional de IngenieríaLongitud del Cable: SB (Desde el punto más bajo C al apoyo B)

� Usando el teorema del binomio, para para desarrollar el radical en una serie infinita:

� Como: ⟨cumple con la ecuación genérica de la parábola)

dxtxw1dx

dxdy1S 2

o

22xo

2xoB

BB ∫ +∫

+=

+−+=∫

+−+= ..........

T40xw

T6xw1Xdx..........

T2xw

T2xw1S 4

o

4B

4

2o

2B

2

B4o

44

2o

22xoB

B

2B

oB X

T2wY =

+

−

+= ........

XY

52

XY

321XS

4

B

B2

B

BBB


� La serie converge para valores:

21

XYB

B <

Nota:

En la mayoria de los casos esta relación es mucho menor, y sólo se necesitan calclar los dos primeros términos de la serie.

Universidad Nacional de IngenieríaEJEMPLO:EJEMPLO:

Para el sistema de cable mostrado, si este pesa 80 kg. y la flecha es de 1.00 m, determinar:

a) La carga P.

b) La pendiente del cable en el apoyo B.

c) Longitud total del cable AB.

Nota:

Despreciar el peso de la porción del cable B a P, como la relación de la flecha a la luz es pequeña, entonces se puede suponer que el cable es parábolo (h/l = 1/8).

L = 80 m

P

A

C

Bh = 1 m


a) Carga P = ??

kgr.801Pkgr801(40)(800)wTT

kgr.800T0(1)T(20)(40):0M

2222oB

ooB

=⇒=+=+=∴

=⇒=−=∑+

� Como la tensión en cada lado de la polea es la misma ⇒ P = TB , por lo tanto hay que determinar TB (tensión del cable en el apoyo B).

� El diagrama del sólido rígido de la porción CB, si se supone que la carga esta uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, tenemos:

C

BY

X

1.0 m

θ

W = 40 kgr.

To

TB

20 m 20 m

YB

XB

θ

To

TB

W

Universidad Nacional de Ingenieríab) Pendiente del Cable el B : θθθθ =??

2.86º0.0580040

Twtago

=⇒===

c) Longitud del Cable : ?? LAB = 2 SB

m.80.033(40.017)2S2L

m.40.017........401

32140........

XY

321XS

BBA

22

B

BBB

===∴

=

−

+=

−

+=


Para el sistema de cable mostrado, determinar los valores máximos y mínimos de la tensión en el cable.

� Como la carga esta distribuida uniformemente a lo largo de la horizontal ⇒ el cable es parábolico; por tanto, la ecuación del cables será:

<−=⇒=−

==

=

Negativo0)(X80XXm80XX

m15Y,m5Y

XT2wy

ABAAB

BA

2

o

A

B10 m

5 m

80 m

1 Ton / m

Y

15 m = YB

A

C

B

YA = 5 m

XA XB X


� Reemplazando en la ecuación del cable:

(II)............XT2w15X

T2wY:BPunto

(I)............80)(XT2w5X

T2wY:APunto

2B

o

2B

oB

2B

o

2A

oA

=⇒=

−=⇒=

� Dividiendo (I) / (II) para obtener XB = ??:

m29.28Xm50.72X:tantoloporm,80demayorserpuedeNoX

X50.72

X189.28

09600X240-XX80)-(X

155

A

BB

B

B

B2B2

B

B

=⇒=

=

=

=+⇒=


� Tensión Mínima, To , se produce en “C” ⇒ sustituyendo coordenadas ya calculadas del apoyo “B” en la ecuación del cable:

Ton.85.75T(50.72)T2115X

T2wy o

2

o

2

o=∴=⇒=

� Tensión Máxima, se produce donde la pendiente es máxima; en este caso apoyo “B”, por tanto:

Ton.99.63T

Ton.99.63(50.72)(1)(85.75)XwTT

máx

2222B

22omáx

=

=+=+=

Universidad Nacional de Ingeniería2.b.- Cables con Cargas Repartidas : Cable Catenaria

→ Cable que soporta una carga uniformemente repartida a lo largo del mismo

Consideraciones:

1.- Sólo cuando el cable esta lo bastante tenso, (carga puede suponerse uniformemente repartida a lo largo de la horizontal), se puede utilizar las ecuaciones de la parábola. De no ser así, debe emplearse las ecuaciones de catenaria.

A (XA, YA)

(XB, YB) B

D (X, Y)

Y

Xo

Cc

s

To C

D

s

dyds

θ

T

dx

W = ωsθ

To

T

Universidad Nacional de Ingeniería2.- Si los apoyos A y B del cable están a la misma altura:

L = Luz del cable (Distancia horizontal entre apoyos)

h = YA - c : Flecha de cable (Distancia vertical desde los apoyos al punto más bajo del cable c)

3.- Si los apoyos Ay B del cable no tienen la misma altura:

L = XB -XA : Distancia horizontal entre los apoyos

d = YB -YA : Distancia vertical entre los apoyos

En estos casos, no se conoce la posición del punto C y la resolución es similar al método de cables parabolicos.

Ecuaciones:

� En rigor cuando un cable cuelga debido a su propio peso, la carga estáuniformemente repartida a lo largo del mismo; si:

w : Carga por unidad de longitud (medida a lo largo del cable)

s : Longitud del cable desde el punto C hasta el punto D genérico.

W : Peso del cable desde el punto C hasta el punto D genérico (= ws).


222o swTT +=

wTC o=

22o scwTcwT +=∴=⇒

Nota 1:

No se puede tomar directamente esa ecuación debido a que se desconoce la distancia horizontal del punto D (x,y) a la línea de acción de la resultante W de la carga (peso).

� Como: dx = ds cos θ : protección horizontal de la longitud ds

2

e22

co

o

cs1

dsscw

dswdsTTcosdsdx

TTcos

+

=+

===⇒

=∧

� Del diagrama de sólido libre de la porción del cable CD:

Para simplificar las ecuaciones, designamos una constante:


� Integrando desde C (o,c) hasta D (x,y):

cxhsencs

cshsenarcc

cshsenarcc

cs1

dsxdxs

o2

2so

xo

=∴

∫ =

=∫

+

==

Ecuación que relaciona la longitud s del cable con la distancia horizontal x.

dxcxhsendx

csdx

wcwsd

Twtagdd

Twtagtagdxd:Como-

xo

xy

oy

=====⇒

=∧=


cxhcoscy

dx1cxhcosc

cxhcoscdx

cxhsencydy

x

o

xo

yc

=∴

∫

−=

=∫=−=

� Integrando desde C (o,c) hasta D (x,y):

Ecuación de una catenaria con su eje vertical

c: parámetro de la catenaria

( “c” punto más bajo de C)

� Elevado al cuadrado las dos últimas ecuaciones, y restándolas miembro a miembro se tiene:

y2 - s2 = c2


� Reemplazando: s2 = y2 - c2 en la ecuación:

tenemos:

T = wyLa tensión en cualquier punto D del cable es proporcional a la distancia vertical desde D a la línea horizontal que representa el eje x.

Nota 2:

Se puede verificar, que para el punto c (o,c), punto más bajo del cable, se tiene:

asumido.habíase

queConstante

wTc:decires,wcT o

o ==

Universidad Nacional de IngenieríaNota 3:

En funciones hiperbólicas se tiene: z = arc sen h u

(z: argumento del seno hiperbólico de u) es la función inversa de u = sen h z (seno hiperbólico de z).

1zhsenzhcos

10cos,00sen

zhsenzhcosdzd

zhcoczhsendzd:recordareConvenient

)e(e21zhcosu

)e(e21zhsenu:definenSe

22

zz

zz

=−

==

=

=−

−==

−==−

−

−


Para el cable uniforme mostrado, si w = 5 kgr/m de peso determinar los valores máximos y mínimos de la tensión en el cable; así mismo, la longitud del eje.

� Se traza las coordenadas X e Y, a una distancia “c” por debajo del punto más bajo del cable se establece el origen de coordenadas.

⇒ La ecuación del cable será:cxhcoscY=

100 m

A B

20 m

(XA, YA) A B (XB, YB)

Y

X

c

C

oXB = 50 m

YB = 20 + c

Universidad Nacional de Ingeniería� Sustituyendo las coordenadas del apoyo B, tenemos:

c50hcos1

c20ó

c50hcoscc20 =+=+

� Donde c = 66.7 m (por aproximaciones sucesivas)

⇒ YB = 20 + c = 20 + 66.7 = 86.7 m.

∴ Valores máximos y mínimos de la tensión serán: T = wy

Tmín = To = w c = (5 kgr/m) (66.7 m) = 333.50 kgr.

Tmáx = TB = w YB = (5 kgr/m) (86.7 m) = 433.50 kgr.

∴La longitud de la mitad del cable esta dada por: Scb , de la ecuación:

Y2 – S2 = C2

∴ La longitud total del cable será: SAB = 2 SCB = 2 (55.39 m)

∴ SAB = 110.8 m

m55.39S(66.7)(86.7)SCSY CB222

CB22

CB2B =⇒−=⇒=−⇒

capítulo [7]

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