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Capítulo 14EL ANÁLISIS DIDÁCTICO Y EL DISEÑO

DE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS EN MATEMÁTICAS

José Ortiz, Martha Iglesias y Zoraida Paredes

la formación inicial de profesores de Matemáticas es el principal objeto de estudio de diversas investigaciones en distintos países, con la intención de caracterizar el cono-cimiento profesional del profesor de Matemáticas así como de diseñar, desarrollar y evaluar propuestas didácticas que permitan a los futuros profesores apropiarse de dicho conocimiento (llinares, 1996; González, 2000; González y lupiañez, 2001; Shulman, 2001; ortiz, 2002; Gómez-Chacón, 2005; Silverman y thompson, 2008).

la problemática relacionada con este tipo de conocimiento profesional permite formular, entre otras, las siguientes interrogantes: ¿Cómo un estudiante para profesor de Matemáticas construye su conocimiento? ¿Cuáles serían los conocimientos que debería tener un profesor de Matemáticas? ¿Cómo se clasificarían? ¿Cuáles son los conocimientos necesarios para realizar una enseñanza que sea coherente con una cierta visión del aprendizaje de los estudiantes? ¿Cuáles conocimientos y capacidades debe poner en juego un profesor de Matemáticas para llevar a cabo el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas con contenido matemático? (González, 2000; Con-treras y Blanco, 2002; García y Sánchez, 2002; Gómez y Rico, 2002).

En este trabajo, se toman en consideración aportes investigativos sobre el conoci-miento necesario para enseñar Matemáticas y el proceso de aprender a enseñarla, cuando se emprende la tarea de diseñar propuestas didácticas dentro de la formación inicial de profesores de Matemáticas. En ese sentido, se asume que el conocimiento profesional del profesor de matemáticas lleva consigo el conocimiento del contenido matemático, el conocimiento curricular y el conocimiento didáctico del contenido matemático (Shul-man, 1986; Flores, 1998).

además del conocimiento necesario para enseñar matemáticas, se enfatiza la dimen-sión referida al proceso de aprender a enseñarla, en la cual se comparte la postura asumida por Flores (1998), Contreras y Blanco (2002), García y Sánchez (2002), Gómez y Rico (2002), peressini, Borko, Romagnano, Knuth y Willis (2004) y Serres (2007), en cuanto a entender el aprendizaje del profesor en formación como un aprendizaje

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situado; en otras palabras, se asume que los estudiantes para profesores aprenden a enseñar Matemáticas a través de la observación y de la práctica, mediante procesos de reflexión en y sobre la acción. además, Contreras y Blanco (2002) destacan que es necesario que los programas de formación docente se basen en las nuevas orientaciones curriculares y en los resultados de las investigaciones sobre formación de profesores en el ámbito de la Educación Matemática.

Este capítulo tiene como propósito, por una parte, presentar la descripción de ciertos referentes teóricos y metodológicos que guían el diseño de unidades didácticas con contenido matemático y las relaciones existentes entre ellos: el modelo didáctico-metodológico propuesto por luengo, Sánchez, Mendoza, Casas, Márquez y Blanco (1997), la noción de análisis didáctico (Rico, 1997c; Gómez, 2007), la noción de orga-nizadores curriculares (Rico, 1997c), el mapa de enseñanza y aprendizaje (orellana, 2002) y el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele (Van Hiele, 1957, 1959) y, por otra, dar a conocer el papel que tales referentes han tenido en la aplicación del análisis didáctico en el diseño de las unidades didácticas que conforman el programa del curso de Geometría i del componente de formación especializada de la especiali-dad de Matemática en la universidad pedagógica Experimental libertador, instituto pedagógico de Maracay.

1. Contexto de Actuación

El plan de estudio en la universidad pedagógica Experimental libertador (upEl), para formar profesores de Matemáticas en Venezuela, comprende cuatro componentes: el componente de formación general (aspectos sociales y humanísticos), el componente de formación docente (cómo enseñar), el componente de práctica profesional (eje de integración y conformación teórico–práctica de la formación docente) y el componente de formación especializada (la materia a enseñar). los cursos correspondientes a los componentes de formación docente y de práctica profesional son administrados por el departamento de Componente docente, mientras que los cursos que forman parte del componente de formación disciplinar son atendidos por el departamento de Matemáti-cas. En los cursos de formación docente se enfatizan aspectos pedagógicos y didácticos generales, sin tener en consideración la naturaleza del conocimiento matemático y lo específico de su enseñanza y aprendizaje, mientras que en los cursos de formación especializada se enfatizan los aspectos formales del conocimiento matemático, igno-rando -en muchas ocasiones- los distintos significados que adquieren las Matemáticas en el ámbito educativo.

además, es preciso destacar que los cursos que conforman el componente de for-mación especializada se dividen en cuatro grandes áreas de conocimiento matemático: análisis, álgebra, Geometría y Matemática aplicada. Cada una de estas áreas está conformada por cursos obligatorios y optativos, organizados en tres niveles: fundamen-tación, integración y profundización. los cursos de Geometría i y ii se ubican en el nivel

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de fundamentación del área de Geometría, por lo cual ambos cursos están orientados a proporcionar al participante un conjunto de experiencias que le permitan profundizar -conceptual y procedimentalmente- en los conocimientos geométricos adquiridos en los niveles educativos anteriores, a través del desarrollo axiomático de algunos temas de la Geometría Euclidiana.

no obstante, en función a la experiencia docente de los autores, es habitual que, en la especialidad de Matemáticas de la upEl Maracay, ingresen estudiantes con una escasa formación en Geometría, lo cual incide en su poca capacidad de razonamiento geométrico y, por supuesto, esta situación dificulta el desarrollo de los programas de estudio en ambos cursos, especialmente en el curso de Geometría i. En el contexto de la línea de investigación en pensamiento Geométrico y didáctica de la Geometría (iglesias, 2007), la cual está adscrita al Centro de investigación en Enseñanza de la Mate-mática usando nuevas tecnologías (CEinEM–nt) que funciona en el departamento de Matemáticas de la upEl Maracay, y teniendo en cuenta algunas investigaciones como las realizadas por linares (2008), pérez (2008), Sánchez (2008), pérez (2010) y Báez (2010) se considera que lo antes expuesto es consecuencia de un tratamiento inadecuado de los contenidos geométricos en el ámbito escolar o de su ausencia en los planes de clases elaborados por los profesores de Matemáticas, a pesar que los temas geométricos están presentes en los programas de estudio del área de Matemáticas en los niveles de educación primaria y secundaria. Esto, a su vez, quizá se deba a la ausencia de una buena formación geométrica que, durante casi cincuenta años, ha dificultado a los profesores de Matemáticas la puesta en práctica de propuestas didácticas innovadoras, por no poseer el dominio del conocimiento geométrico, ni las habilidades didácticas requeridas (alsina, Fortuny y pérez, 1997; Veloso y ponte, 1999).

así, pues, puede inferirse que, en el proceso de formación inicial de los profesores de Matemáticas, sus formadores deben propiciar la participación de éstos en situacio-nes de enseñanza y aprendizaje orientadas a la adquisición del conocimiento didáctico debidamente asociado al conocimiento matemático. por consiguiente, los programas de formación docente deben ser un escenario propicio para la reflexión didáctica en torno a las situaciones problemáticas fundamentales del campo de la Educación Matemática y la búsqueda de soluciones efectivas a las mismas.

2. Referentes teóricos y metodológicos en el diseño de una unidad didáctica

las situaciones de enseñanza y aprendizaje, desarrolladas en una clase de Matemá-ticas, tienen que ser debidamente planificadas por el profesor, procurando organizarlas en forma consistente en el seno de una unidad didáctica; entendiendo a esta última como una unidad básica de programación docente que debe dar cuenta de ciertos aspectos: contexto de actuación, fundamentación teórica, objetivos de aprendizaje, contenidos matemáticos a ser estudiados, estrategias didácticas, materiales y recursos didácticos


y estrategias de evaluación de los aprendizajes. la planificación o el diseño de una unidad didáctica con contenido matemático es un proceso que requiere ser sustentado por ciertos referentes teóricos y metodológicos. por ello, a continuación se describirán los referentes puestos en juego al momento de diseñar algunas unidades didácticas con contenido matemático en el contexto del curso de Geometría i que se oferta en la especialidad de Matemáticas de la upEl.

para llevar a cabo el diseño de unidades didácticas con contenido geométrico, se utilizaron tanto el modelo didáctico-metodológico (luengo y otros, 1997) y el análisis didáctico (Rico, 1997c; Gómez, 2007) como herramientas básicas para organizar la enseñanza de las Matemáticas.

El modelo didáctico-metodológico, propuesto por luengo y otros (1997), constituye un modelo curricular abierto y flexible, donde el docente pueda, por una parte, consi-derar todos los elementos que intervienen en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas (profesor, alumno, Matemáticas, estrategias/recursos y entorno) y, por otra, adaptar todos los elementos que intervienen en el proceso de enseñanza y aprendi-zaje, dependiendo de sus circunstancias y realidades, puesto que cada elemento o parte del modelo puede realimentar a los restantes en cualquier punto de éste, igualmente puede sufrir variaciones en cualquiera de sus partes, por añadir, suprimir o modificar elementos del mismo. Este modelo contempla las fases de diseño o planificación, desarrollo o puesta en práctica y evaluación de los resultados (procesos y productos) de una unidad didáctica. En la figura 1, se muestran sus componentes y las relaciones existentes entre ellos. El diseño de una unidad didáctica con contenido matemático se inicia con el diagnóstico de partida y culmina con la evaluación procesual, pasando por el establecimiento de los objetivos de aprendizaje, la selección de materiales y recursos y el diseño de situaciones de enseñanza y aprendizaje.

Figura 1. Componentes del modelo didáctico metodológico

por su parte, Gómez (2007) sostiene que el análisis didáctico «es un procedimiento con el que es posible explorar, profundizar y trabajar con los diferentes y múltiples


significados del contenido matemático escolar, para efectos de diseñar, llevar a la prác-tica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje» (p. 18). En la fase de diseño o planificación de una unidad didáctica, el análisis didáctico contempla tres de sus cuatro componentes: análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de la instrucción. El cuarto componente es el análisis de actuación, el cual se realiza a partir de la puesta en práctica de la unidad didáctica diseñada. Se considera que para avanzar en la compren-sión del análisis didáctico, es necesario revisar lo relacionado con los organizadores curriculares; constructo desarrollado por Rico (1997c), el cual permite develar los distintos significados que poseen las Matemáticas escolares y articularlos en forma apropiada al momento de diseñar unidades didácticas con contenido matemático.

asimismo, se emplearon como herramientas auxiliares otros referentes teóricos y metodológicos, que seguidamente serán presentados, por considerar que los mismos permiten llevar a cabo el análisis didáctico en la fase de diseño de unidades didácticas con contenido matemático y, en particular, con contenido geométrico.

El mapa de enseñanza y aprendizaje (MEA), propuesto por orellana (2002), es una herramienta que facilita el análisis de contenido de un tema matemático en un determinado nivel educativo. a continuación, se describen los aspectos que este autor considera necesarios desarrollar para contestar la siguiente pregunta: ¿Qué enseñar de un tópico o tema matemático?

Fundamento Matemático (Cuadro 1): Se establecen las definiciones a utilizar y los teoremas que serán demostrados para determinar sus consecuencias y plantear ejercicios o problemas.

Otros temas de Matemáticas y el mundo real (Cuadros 2 y 3): En éstos se estable-cen las relaciones del tema o tópico matemático con otros temas matemáticos o cursos y con el mundo real. Se considera que también es necesario establecer relaciones con otras áreas del conocimiento matemático, ya que se observa la tendencia a no relacionar los diferentes contextos matemáticos (analítico, algebraico y geométrico). asimismo, es indispensable dejar ver la utilidad del conocimiento matemático, mediante la pre-sentación de problemas provenientes del mundo real, los cuales, por lo general, son susceptibles de ser abordados con un enfoque de laboratorio: Construir Explorar o Experimentar Conjeturar Validar.

Exploración gráfica y numérica, previa a los conceptos y teoremas y en los pro-blemas (Cuadro 4): Se plantea la exploración gráfica o numérica de los conocimientos matemáticos previa a la presentación formal de definiciones y teoremas. pudiera par-tirse del planteamiento de problemas intra o extramatemáticos, en los cuales, durante el proceso de resolución, comiencen a manejarse ciertas definiciones y propiedades matemáticas.

Dibujo y cálculo (Cuadros 5 y 6): En estos se trabaja con el dibujo a mano alzada o los cálculos realizados manualmente y también con el dibujo y el cálculo asistido tecnológicamente (calculadoras gráficas, software de Cálculo Simbólico o de Geometría dinámica, etc.).


Generalización y problemas abiertos (Cuadro 7): aquí se promueve la generaliza-ción del conocimiento matemático (definiciones y propiedades).

Desarrollo histórico y su utilización para la enseñanza del tema (Cuadro 8): Se recomienda la utilización de la historia como un recurso didáctico para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas.

Utilización de materiales (Cuadro 9): Se enfatiza la utilización de materiales y recursos didácticos, así como de juegos y actividades vinculadas con la llamada Mate-mática Recreativa.

Didáctica del tema en consideración (Cuadro 10): Especialmente en los programas de formación docente, se plantea que es obligatorio tratar lo relacionado con la didáctica del tema o tópico matemático.

Cabe destacar que el profesor de Matemáticas, considerando los distintos factores que condicionan el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, decide en cuáles aspectos se centrará su atención, al momento de diseñar una unidad didáctica y, además, establecerá la secuencia a seguir. El centrarse en ciertos aspectos relacionados con un tema matemático no significa que se ignoren los otros, sino que el estudio del tema se está articulando en torno a los aspectos considerados. la figura 2, constituye una representación del MEa, propuesto por orellana (2002).

Figura 2. Componentes del mapa de enseñanza y aprendizaje


En cuanto al modelo de razonamiento geométrico, propuesto por Van Hiele (1957), éste ha sido aceptado como soporte teórico y metodológico del proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría. dicho modelo ayuda a entender la forma cómo aprenden Geometría los estudiantes en los distintos niveles educativos y, además, cómo propiciar un aprendizaje significativo de los contenidos geométricos (Gutiérrez y Jaime, 1990; Corberán y Gutiérrez, 1994; Gutiérrez, 2000). El modelo de Van Hiele establece que, en el aprendizaje de la Geometría, los estudiantes avanzan a través de una sucesión de cinco niveles de razonamiento, a saber:

nivel 0 (Reconocimiento), nivel 1 (Análisis), nivel 2 (Relaciones, Clasificación u Ordenamiento), nivel 3 (Deducción) y nivel 4 (Comparación de Sistemas Axiomáticos o Rigor Lógico). además, se propone que cualquier estrategia didáctica, que permita conducir a los alumnos de un nivel a otro, debe contemplar las fases de información, orientación guiada, explicitación, orientación libre e integración. por otra parte, Hoffer (1981) propone que la enseñanza de la Geometría debe fomentar el desarrollo de cinco tipos de habilidades prácticas y que tienen una naturaleza claramente geométrica: 1) Habilidad visual: Capacidad de observación, 2) Habilidad verbal: uso apropiado del lenguaje de la Geometría, 3) Habilidad para dibujar: Expresar ideas geométricas en forma gráfica, 4) Habilidad lógica: Capacidad de estructurar argumentaciones lógicas, y, 5) Habilidad para modelar: Capacidad de construir modelos geométricos asociados al medio circundante. tales habilidades están asociadas a cada uno de los niveles de razonamiento geométrico antes mencionados.

3. ¿Cómo diseñar unidades didácticas con contenido geométrico?

Seguidamente, se muestran las relaciones existentes entre los referentes antes mencionados, con el propósito de develar el papel que juegan en el diseño de las uni-dades didácticas que conforman el programa de estudio del curso de Geometría i para la especialidad de Matemática en la upEl Maracay.

En atención al modelo propuesto por luengo y otros (1997), el diseño de una unidad didáctica se inicia con el diagnóstico de partida, mediante el cual se pretende conocer las características del alumnado, en cuanto a su desarrollo cognoscitivo, datos perso-nales y familiares, etc., así como los conocimientos matemáticos obtenidos en etapas anteriores y la actitud que muestran hacia el área. aquí es conveniente también tener en cuenta otros factores que, según orellana (2002), condicionan el proceso de enseñanza y aprendizaje: tiempo disponible para el desarrollo de la unidad didáctica, materiales y recursos didácticos disponibles y el nivel educativo. En la figura 3, se muestran los diferentes aspectos que fueron considerados para la realización del diagnóstico de par-tida, lo cual contribuyó al conocimiento de la situación personal y académica inicial de los participantes en el curso de Geometría i, así como de los diferentes factores que condicionan el proceso de enseñanza y aprendizaje.


Figura 3. Aspectos considerados para la realización del diagnóstico de partida

El análisis de contenido está orientado a develar la estructura conceptual y los distintos significados del tema matemático seleccionado (Gómez, 2007). El análisis de contenido de un tema matemático se facilita mediante la elaboración de su mapa de enseñanza y aprendizaje (MEa), el cual permite desarrollar estrategias de enseñanza y aprendizaje en relación con cuáles aspectos enseñar de algún tema matemático y, además, establecer la secuencia didáctica a seguir en cuanto a la presentación de los contenidos; en este punto, se considera necesario que el docente tome en cuenta los contenidos matemáticos y los objetivos de aprendizaje planteados en los programas de estudio del área de Matemáticas, debido a que hay que dar respuestas a las exigencias establecidas en el currículo vigente.


Figura 4. Organizadores curriculares y su relación con el MEA.

una vez descritos los cuadros que conforman un MEa, es natural establecer rela-ciones entre ellos y los organizadores curriculares, porque, en la medida que el profesor de Matemáticas elabora un MEa sobre un tema matemático considera sus distintos significados. En la figura 4, se ha tratado de mostrar las relaciones existentes entre los aspectos a ser contemplados en un MEa y los distintos organizadores curriculares. obsérvese que, en el MEa no se contempla el significado cognitivo del conocimiento matemático (errores y dificultades), pero sí se considera la didáctica de las Matemáticas, especialmente en las clases de Matemáticas para profesores en formación.

En atención a lo antes dicho, se revisó el programa oficial del curso de Geometría i, observándose que los bloques de contenidos fueron estructurados siguiendo la secuencia presentada por Moise y downs (1986), según se muestra a continuación: i. Historia de la Geometría. Sistema axiomático. ii. Conjuntos, números Rea1es y Rectas. iii. Rectas, planos y Separación. iV. ángulos y triángulos. V. Congruencias y Cuadriláteros. Vi. desigualdades Geométricas. Vii. Rectas y planos perpendiculares en el Espacio. por ello, se ha rediseñado el programa del curso de Geometría i, considerando que, en vez de los siete bloques de contenidos antes mencionado, se trabaje con las siguientes cinco unidades didácticas: i. Evolución Histórica de la Geometría. Sistema axiomático: la


Geometría en su contexto histórico. Método y Sistema axiomático. ii. puntos, Rectas y planos. axiomas de orden y axiomas de incidencia. iii. ángulos. iV. triángulos. V. paralelismo y Cuadriláteros.

Figura 5. Aspectos a considerar en el análisis de contenido de un tema geométrico.

En la figura 5, se ilustran los temas geométricos contemplados en el programa del curso de Geometría i, el cual está centrado en el estudio de la Geometría plana, partiendo de los conceptos no definidos de punto, recta y plano, procurando enfatizar en las relaciones existentes entre ellos, las cuales se expresan a través de los axiomas de incidencia y de orden. de esta manera, es posible presentar e interpretar las defi-niciones de semirrecta, semirrectas opuestas, segmento de recta, punto medio de un segmento, etc. Seguidamente, se estudian las definiciones y propiedades básicas de ángulos, triángulos y cuadriláteros. previo al estudio de los cuadriláteros, se estudian las definiciones y propiedades vinculadas con la relación de paralelismo. atendiendo a los aspectos que conforman un mapa de enseñanza y aprendizaje, iglesias (2008) considera que es relevante partir de la exploración gráfica de ideas geométricas, para lo cual es importante trabajar el dibujo a mano alzada y construcciones geométricas realizadas con diferentes materiales (geoplano, plantillas, papel para plegar, juego geométrico y soft-ware de Geometría dinámica). para ello es necesario plantear problemas, posiblemente vinculados con la evolución histórica de la Geometría, que propicien la formalización del conocimiento geométrico en el contexto de una teoría axiomática.


El análisis cognitivo está orientado a identificar las competencias matemáticas que se espera sean desarrolladas o puestas en práctica por los estudiantes, los posibles errores en que puedan incurrir y las posibles dificultades que puedan llegar a confrontar, cuando se enfrenten a las situaciones de enseñanza y aprendizaje diseñadas por el profesor y orientadas al estudio de un tema matemático específico (Gómez, 2007).

Figura 6. Aspectos a considerar en el análisis cognitivo y relaciones existentes

por ello, el análisis cognitivo se centra en el estudiante y tiene como punto de par-tida al análisis de contenido. para llevar a cabo el análisis cognitivo en el proceso de diseño de una unidad didáctica con contenido geométrico, es recomendable tomar en consideración el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele. así, en atención a los niveles de razonamiento geométrico propuestos en el modelo de Van Hiele, entre las habilidades vinculadas con el proceso de resolución de problemas geométricos y el proceso de demostración en Geometría destacan las siguientes:

Nivel 0 (Reconocimiento): (1) identificar en objetos del entorno, dibujos y construc-ciones, las figuras y los cuerpos geométricos. (2) utilizar adecuadamente las palabras: cono, paralelepípedo, cubo, esfera, pirámide, círculo, circular, rectángulo, rectangular, triángulo, triangular, en diversas situaciones. (3) Reconocer figuras poligonales, circun-ferencia y círculo. (4) Realizar construcciones de cuerpos geométricos usando plantillas,


plastilina, arcilla, etc. (5) Realizar trazados de triángulos y cuadriláteros usando juego geométrico, plantillas, geoplano, etc.

Nivel 1 (Análisis): (1) Expresar en un dibujo la información verbal dada. (2) uti-lizar las propiedades dadas de una figura para dibujarla o construirla. (3) Reconocer propiedades geométricas de objetos físicos.

Nivel 2 (Relaciones, Clasificación u Ordenamiento): (1) Reconocer interrelaciones entre diferentes tipos de figuras. (2) Reconocer las propiedades comunes de diferentes tipos de figura. (3) definir con palabras adecuadas y consistentes. (4) Formular frases que muestren relaciones entre figuras.

Nivel 3 (Deducción): (1) utilizar información de otra figura para deducir más infor-mación. (2) Comprender las distinciones entre definiciones, postulados y teoremas. (3) Reconocer cómo y cuándo usar elementos auxiliares en una figura. (4) deducir a partir de la información dada cómo dibujar una figura específica. (5) utilizar las reglas de la lógica para desarrollar demostraciones. (6) poder deducir consecuencias a partir de la información dada. (7) poder deducir propiedades de los objetos geométricos a partir de la información dada. (8) poder resolver problemas que establezcan relaciones entre objetos físicos y objetos geométricos.

de modo que, a pesar de que la habilidad para demostrar proposiciones matemá-ticas se consolida en el nivel de deducción, se observa que en los niveles previos se desarrollan ciertas habilidades geométricas que permiten abordar la demostración; esta situación debe ser tomada en consideración a la hora de diseñar una propuesta didáctica centrada en la resolución de problemas geométricos que incorpore el uso de materiales y recursos manipulables y la aplicación del Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele, así como al momento de describir y analizar las habilidades geométricas de los futuros profesores de Matemáticas que estén relacionadas con la demostración matemática en los cursos disciplinares de Geometría.

además hay que tener en cuenta el papel que juegan las representaciones gráficas en el estudio de la Geometría y, por ello, es necesario revisar lo relacionado con la visualización matemática (Guzmán, 1993), teniendo como referencia los dibujos a mano alzada, las construcciones geométricas con regla y compás y las construcciones en ambientes de Geometría dinámica.

asimismo, según Socas (1997), en el proceso de aprendizaje de las Matemáticas se confrontan dificultades de diversa naturaleza, las cuales están asociadas a la propia disciplina, el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, los procesos cognitivos de los alumnos y la actitud hacia el estudio de las Matemáticas.

En cuanto a los errores que pudieran cometer los alumnos al abordar el estudio de un tema geométrico (Franchi y Hernández, 2004), es importante puntualizar lo siguiente: (1) éstos se asumen como organizadores del currículo, ya que, al diseñar una unidad didáctica, el profesor debe proponer actividades dirigidas a evitarlos o superarlos, (2) por lo tanto, se debe evitar el tratamiento punitivo de los mismos y, más bien, procurar


que los alumnos se percaten de los errores que cometen y sus posibles causas, y (3) conocer distintas tipologías de errores (Segovia y Rico, 2001).

Seguidamente dicho modelo plantea la necesidad de establecer las pretensiones, las cuales expresan la intencionalidad didáctica del docente en cuanto al desarrollo de actitu-des, habilidades, destrezas y conocimientos matemáticos que permiten a los estudiantes alcanzar su desarrollo integral. tales pretensiones se declaran en los objetivos generales del programa de Geometría i: (1) aplicar los conceptos, principios y técnicas propias de la Geometría plana en la resolución de problemas. (2) Complementar el desarrollo de la capacidad de razonamiento lógico-deductivo del estudiante, a fin de lograr una formación integral del mismo. (3) proporcionarle los conocimientos fundamentales que le permitan abordar eficazmente en el curso de Geometría ii.

El análisis de la instrucción está orientado al diseño de las actividades de enseñanza y aprendizaje por parte del profesor de Matemáticas, teniendo como base el análisis de contenido y el análisis cognitivo previamente realizados. también, en el análisis de la instrucción, el docente seleccionará o elaborará los materiales y recursos didácticos a ser utilizados durante la puesta en práctica de la unidad didáctica. al respecto, Gómez (2007) señala que, el profesor de Matemáticas –en su rol de planificador– pone en juego sus conocimientos sobre resolución de problemas, modelización matemática y materiales y recursos como organizadores del currículo.

En este trabajo, se ha decidido utilizar la expresión materiales y recursos didácticos para designar a todos los objetos usados tanto por el profesor como por los alumnos durante el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, con la finalidad de estudiar el contenido matemático correspondiente y alcanzar los objetivos previstos; es decir, se entiende por materiales y recursos didácticos a todos aquellos obje-tos usados por un profesor y sus alumnos con una intencionalidad didáctica específica.

Entre los materiales y recursos didácticos utilizables en la enseñanza y el aprendi-zaje de la Geometría destacan:

1. Juego geométrico: conformado por instrumentos de dibujo y medición como la regla, el cartabón, la escuadra, el transportador y el compás. En el curso de Geometría i, las construcciones con regla y compás permiten construir obje-tos geométricos dadas ciertas condiciones, facilitando así el establecimiento de relaciones entre los objetos geométricos libres y los objetos geométricos dependientes; así como el uso de ciertas construcciones auxiliares al momento de abordar una demostración (iglesias, 2000).

2. Geoplano: es un modelo discreto del plano geométrico. Consiste en un tablero cuadrado (generalmente de madera) que se ha cuadriculado y que a cierta dis-tancia se han colocado clavos formando cuadriculas. Con la ayuda de gomas elásticas (preferiblemente de diferentes colores), se forman desde segmen-tos de recta hasta polígonos. también puede construirse un geoplano circular (Báez, 2010).


3. Plantillas: hechas sobre papel con la ayuda de instrumentos de dibujo, pueden presentar diferentes tramas: cuadrada, triangular y circular. Si las plantillas se plastifican, las mismas son reutilizables haciendo uso de marcadores punta fina para pizarra acrílica.

4. Plegado de papel: a partir de un pliego de papel, mediante dobleces adecua-dos, se pueden construir figuras planas y cuerpos geométricos (arrieche e iglesias, 2010).

5. Tangram Chino: consiste en la descomposición de un cuadrado en siete pie-zas: cinco triángulos isorrectángulos, un paralelogramo y un cuadrado; por lo general, se utiliza como un rompecabezas geométrico para formar figuras equivalentes al cuadrado original (iglesias, 2009).

6. Software de Geometría Dinámica (SGD): Con su utilización, las construc-ciones geométricas adquieren una condición dinámica, superando así la condición estática de una construcción realizada con lápiz y papel, lo cual posibilita contar con múltiples representaciones gráficas de una misma cons-trucción geométrica y visualizar, en forma continua y en tiempo real, cómo se produce el cambio de un estado a otro en dicha construcción. así, se logra introducir la experimentación en las clases de Geometría y, con ello, se logra crear un ambiente donde los estudiantes aprenden a conceptuar y a conjeturar y, además, sienten la necesidad de validar o rechazar tales conjeturas (de Villiers, 1999; iglesias, 2000; González, 2001; Kadunz, 2002; Sträßer, 2002). En el curso de Geometría i, se ha utilizado el Cabri Géomètre ii plus, aunque recientemente también se ha considerado viable trabajar con el Geogebra. Cabe señalar que, cuando los estudiantes no tienen acceso al laboratorio de informática, el Cabri ha sido empleado como pizarra electrónica para realizar construcciones geométricas.

a continuación, en la figura 7, se presenta un resumen gráfico del proceso de diseño de una unidad didáctica con contenido geométrico, en función de los referentes teóricos y metodológicos antes mencionados.


Figura 7. Pasos en el diseño de una unidad didáctica con contenido geométrico

4. Consideraciones finales

los programas de formación inicial de profesores de Matemáticas son considerados como los escenarios idóneos para la investigación e innovación curricular, debido a la influencia que ejercen los profesores en los institutos de formación docente sobre el análisis y la concreción del currículo a nivel escolar. los formadores de futuros profe-sores de Matemáticas tienen la responsabilidad de brindarle a éstos la oportunidad de participar en cursos y experiencias que incorporen de manera sistemática e integrada elementos que son considerados innovadores en el ámbito de la Educación Matemá-tica, tales como ciertas tendencias emergentes en la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas y la inserción de herramientas tecnológicas en las aulas de Matemáticas.

En cuanto al estudio de las Matemáticas, en el contexto de la formación inicial de los profesores de Matemáticas, se considera necesario tener en cuenta los siguientes aspectos: (1) Vinculación de las Matemáticas con el mundo real. (2) organización del conocimiento geométrico en el seno de una teoría axiomática. (3) papel que juega la visualización matemática en la comprensión del conocimiento geométrico. (4) Vin-culación de la Geometría con otras áreas del conocimiento matemático y con otras disciplinas.


En efecto, no se debe olvidar que en sus inicios las Matemáticas se destacaron por su carácter empírico-práctico; es decir, el conocimiento matemático surgió a partir de la observación de fenómenos del entorno y el reconocimiento de relaciones entre ellos. ade-más, ciertos problemas provenientes del mundo real permitieron desarrollar conocimientos específicos. de modo que, en muchos casos, la resolución de problemas extramatemáticos contribuyó al enunciado y demostración de propiedades matemáticas (teoremas).

asimismo, desde que Euclides -unos 300 años a.C.- introdujo el método axiomá-tico para la sistematización del conocimiento matemático existente para su época, la llamada Geometría Euclidiana se ha convertido en un modelo de lo que es una teoría axiomática. no obstante, en el ámbito escolar, se recomienda evitar una presentación rigurosamente sostenida de una Geometría axiomática ya que, se considera que la exploración gráfica y numérica de las ideas matemáticas debe ser el punto de partida para el estudio de la Geometría.

también se considera que la realización de dibujos a mano alzada y construcciones con diferentes materiales y recursos manipulables (regla y compás, plegado de papel, plantillas con diferentes tramas, software de Geometría dinámica, etc.) propicia, por una parte, el reconocimiento de figuras y sus elementos así como la identificación de propiedades existentes entre ellos que requieren ser validadas y, por otra, conocidas ciertas definiciones y propiedades geométricas se deberían construir figuras planas o cuerpos geométricos que satisfagan tales propiedades. de esta manera, se establece una relación bidireccional entre objeto geométrico y representación grafica; relación mediada por la manipulación de materiales y recursos didácticos. asimismo, el uso de calculadoras científicas y gráficas y software de Cálculo Simbólico facilitan los cálculos numéricos, las manipulaciones algebraicas y las representaciones gráficas de funciones o curvas en el plano cartesiano, permitiendo centrar la atención en las definiciones y propiedades y no sólo en cálculos (en muchas ocasiones tediosos).

además, resulta útil revisar la evolución histórica de la Geometría y conseguir situaciones problema surgidas en el contexto geométrico que permitieron el desarrollo de conceptos y propiedades en otros contextos matemáticos (algebraicos o analíticos), tales como el cálculo del área bajo una curva o del volumen de un cuerpo geométrico o la pendiente de la recta tangente a una curva dada en un punto dado o el surgimiento de la Geometría analítica. Esto debería reflejarse en las actividades didácticas propuestas por el formador de futuros profesores de Matemáticas.

los aspectos antes mencionados guardan relación con la noción de organizadores curriculares y, por ello, se hace necesario que los profesores en formación, en la medida que avanzan en el estudio de las Matemáticas, tengan la oportunidad de desarrollar su conocimiento profesional, especialmente lo relacionado con el conocimiento didáctico del contenido matemático.

Finalmente, en este capítulo se ha mostrado una aplicación de la utilidad del análisis didáctico para diseñar unidades didácticas de contenido geométrico, en el caso particular de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas.

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