Funciones algebraicas y trascendentes1CA

PÍTU

LO

2

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nes C

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lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11Precálculo y funcionesPrecálculo y funciones

Evaluación diagnóstica.Evaluación diagnóstica. Páginas 10 y 11 Páginas 10 y 11 I. 1. Si se escuchan 80 chirridos por minuto, entonces N= 80, por lo que

.

De manera que la temperatura del aire es de 60 ºF.

2. Si se escuchan 40 chirridos por minuto, entonces N= 40, por lo que

.

Luego, la temperatura del aire es de 50 ºF.

3. Si se escuchan 120 chirridos por minuto, entonces N= 120, por lo que

.

Así, la temperatura es de 70 ºF. Para convertir a grados Celsius, debe sustituirse este resultado en la siguiente ecuación:

;

de donde se obtiene.

II. 1.

a) R:

b) R:

c) R: 3

d) R:

2.a)

b)

c)

S1S1

INICIO

3

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CC11d)

3. Dada la expresión algebraica , deben sustituirse los valores b y c de la siguiente manera:

R : 1

4. Si Eva es menor que María pero mayor que Jorge, entonces el orden por edad de me-nor a mayor de estas tres personas es: Jorge, Eva y María. Ahora, si Delia es menor que Jorge, es la menor de todos y la primera de la lista.

R : Delia, Jorge, Eva y María.

5.a)

b)

c)

4

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. V.

CC11d) Dado cualquier trinomio al cubo como , se tiene que su desarrollo es

. Sustituyendo los valores dados en el ejercicio, a=x y b= 2, se tiene que:

R:

6.a)

R:

b) Utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado,

,

se tiene que:

Entonces, y

7. Recuerda que siempre la primera cifra del paréntesis se refiere al valor en el eje x(abscisa) y la segunda entrada al valor en el eje y (ordenada):

y

x

−0.5

0.5

1.5

2.5

1

2

3

−1

−1.5

0

A

B

D

E

C−0.5−1−1.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.51 2 3 4

.

.

.

5

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CC11 III. R:

32

2

3

4

3

2

1

0 1−1−2

y

x

3

4

5

2

0

1

y

x

21−1−2−3−4

1

3

4

5

2

0

1

1

x

−1−2−3−4

y3

EJERCICIO 1. Página 12 Página 12 Clasificar los distintos tipos de números que forman los números reales

I.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

DESARROLLO

6

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CC11EJERCICIO 2. Página 14 Página 14 Hacer uso de las diferentes formas de representar un intervalo

I.

Notaciónconjuntista

Notación de intervalos

Representacióngráfica

1−8

5 10

7−−12

−1 ∞

10−∞

0−12

3−∞

4−∞

3.51.2

EJERCICIO 3. Página 15 Página 15 Diferenciar las propiedades de las desigualdades

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7

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CC11EJERCICIO 4. Página 17 Página 17 Ejecutar los procedimientos para la resolución de las desigualdades condicionales

I. 1.

Entonces es válido para todas las x en el intervalo .

2.

Para resolver la desigualdad, primero resolvemos la ecuación .

de ahí concluimos que las raíces son y .

Por lo que se puede factorizar como .Tendremos dos casos:

En el caso 1, tenemos que Es decir,

En el caso 2, tenemos que Es decir,

De esta manera, la desigualdad es válida para todas las x en el conjunto

.

3.

Por lo que es válido para todas las x en el intervalo .

8

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CC11 4.

Tendremos dos casos:

En el caso 1, tenemos que y , es decir, . En el caso 2, debe satisfacerse que y , esto es, y

.

De esta manera, la desigualdad es válida para todas las x en el conjunto .

5.

Así, es válida para todas las x en el intervalo .

6.

Tenemos dos casos:En el caso 1 debe cumplirse que y , es decir, y , pero

esto no puede pasar.

En el caso 2 tiene que suceder que y , esto es, y .

Por lo tanto, es válido para todas las x en el intervalo .

7.

Entonces,

De esta manera tenemos dos soluciones:

y .

.

9

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CC11Por lo que se puede factorizar como .En el caso 1, tenemos que Es decir, En el caso 2, tenemos que Es decir,

Por lo tanto, es válida para todas las x en el conjunto .

8.

Se tienen dos casos:En el caso 1 debe satisfacerse que y , es decir,

. O bien, en el caso 2 tiene que cumplirse que y ,

esto es y .

Por lo tanto, es válida para todas las x en el conjunto .

EJERCICIO 5. Página 19 Página 19 Descubrir las reglas de correspondencia que son funciones

I. 1. Es función. A cada elemento del conjunto A le corresponde solo uno del conjunto B.

2. Es función. A cada elemento del conjunto G le corresponde solo uno del conjunto H.

3. No es función. Al 3 del conjunto C le corresponden dos elementos del conjunto D.

4. Es función. A cada elemento del conjunto I le corresponde solo uno del conjunto J.

5. No es función. Al 0 en el conjunto E no le corresponde elemento alguno del conjunto F.

6. Es función. A cada elemento del conjunto K le corresponde solo uno del conjunto L.

II. 1.

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CC11 2.

3.

EJERCICIO 6. Página 21 Página 21 Diferenciar los tipos de funciones algebraicas para la obtención del dominio

I. 1. Como no tiene variables en el denominador ni radicales de índice par, entonces

2. no tiene variables en el denominador ni radicales de índice par, y sabemos que, entonces . Por lo tanto,

3. Si factorizamos , tendremos que , de manera que= e = , debido a que cualquier número elevado al cuadrado es positi-

vo, por lo tanto, siempre se cumple que .

4. La restricción en este caso es , luego . Para el conjunto imagen debe notarse que para los valores de x en el dominio, la raíz siempre será cero o negativa. Por lo tanto,

.

.

.

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CC11 5. La restricción es , de donde se tiene que . Entonces se des-

prenden dos casos: uno en donde ambos factores son mayores o iguales a cero y el otro en donde son menores o iguales a cero.Del primer caso se tiene que:

Y del segundo caso:

De esta manera se tiene que, para que la raíz sea positiva, x debe ser menor o igual a −3 y mayor o igual a 3.

Para el conjunto imagen debe notarse que para los valores de x en el dominio, la raíz siempre será cero o positiva. Por lo tanto,

6. Al ser una raíz, se tiene que , es decir, . Así, puede obser-varse que la ecuación no tiene restricción para x, por lo que el dominio lo conforman todos los números reales. Ahora, para el conjunto imagen sabemos que un binomio elevado al cuadrado siempre será positivo; por lo tanto,

II. 1. Recordemos que la división entre cero no tiene sentido, por lo tanto, .

2. Se puede notar que el numerador no tiene restricción, pero en el caso del denomina-dor sabemos que . Por lo tanto, .

3. En el caso del denominador concluimos que .

Entonces .

4. Del denominador, podemos notar que , entonces, .

5. En el denominador observamos que, para que el resultado tenga sentido, se necesita que , entonces

.

6. Se puede observar en el numerador que una restricción es . Y en el denomina-dor puede observarse que, y por esto, . De manera que .Por lo tanto,

.

.

.

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CC11PROBLEMA 1. Página 22 Página 22 Modelar matemáticamente problemas de la vida real

I.De la gráfica de la figura 1.10 podemos deducir que la representación tabular es:

Tiempo (min) Volumen (L)

0 20

8 60

20 120

28 160

Y ésta, a su vez, tiene la representación algebraica .

Por último, su representación verbal es:“Para calcular la cantidad de litros que caen en el re-

cipiente por minuto, basta con multiplicar la cantidad de litros por cinco y al resultado sumarle veinte.”

ACTIVIDAD 1. Página 23 Página 23 Estructurar el modelado matemático de problemas de la vida real o teóricos

I. 1. Sabemos que el área de un rectángulo es la base de éste por su altura, por lo que en

este caso se cumple particularmente que . 2.

3.

4.

a)

b)

b

10 1 400

15 2 025

20 2 600

25 3 125

30 3 600

35 4 025

40 4 400

y

400

800

1 200

1 600

2 000

2 400

2 800

3 200

3 600

4 000

4 400

4 800

5 200

5 600

x

10 5030 7020 60400

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CC11EJERCICIO 7. Página 24 Página 24 Aplicar las definiciones de función creciente y decreciente

I. 1. Creciente: .

La función nunca es decreciente.

x

5 10 15 20 25 30 35 40 450

y

5

−5

−10

−15

10

x

y

0

1

2

3

4

−1−2−3−4−5

2. Creciente: , decreciente: .

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CC11 3. Creciente: .

La función no es decreciente en todo su dominio.

x

y

1

2

3

0−1 1 2 3 4−2−3

−1

−2

−3

4. Creciente: , decreciente: .

x

y

10

20

30

40

0−1−2−3 1 2 3

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CC11ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO. Página 25 Página 25 Aplicar las definiciones de función creciente y decreciente

I.Del primer mes al segundo, el precio se mantuvo constante; del segundo al cuarto mes, el precio disminuyó; del cuarto al quinto mes, el precio aumentó un poco; del quinto al sexto mes, el precio se mantuvo constante; del sexto al noveno mes, el precio aumentó hasta volver al valor inicial; del noveno al décimo mes, el precio volvió a disminuir; del décimo al décimo primer mes, el precio se mantuvo constante; y por último, del décimo primero al décimo segundo mes, disminuyó el precio de nuevo.

ACTIVIDAD TIC 1. Página 25 Página 25 Aplicar las definiciones de función creciente y decreciente

I.

Creciente: y .Decreciente: y .

x

y

00.5−0.5−1.5 1 1 2 3 41.5 2.5 3.5

−0.5

−1

−1.5

−2.5

−3.5

−4.5

−2

−3

−4

EJERCICIO 8. Página 26 Página 26 Aplicar las definiciones de las operaciones básicas con funciones

I. 1.

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CC11 2.

3.

4.

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CC11EJERCICIO 9. Página 28 Página 28 Computar la composición de funciones

I.

II. 1.

2.

EJERCICIO 10. Página 30 Página 30 Computar la razón de cambio promedio

I. 1. Primero, con los puntos dados, se calcula :

.

Después, calculamos y :

.

Así, concluimos que la razón de cambio promedio es

.

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CC11 2. Primero, con los puntos dados, se calcula .

Después, calculamos y :

Entonces, concluimos que la razón de cambio promedio es

.

3. Primero, con los puntos dados, se calcula .

Calculamos y :

.

Luego, concluimos que la razón de cambio promedio es

.

4. Primero, con los puntos dados, se calcula .Calculamos y :

Luego tenemos que

Así, concluimos que la razón de cambio promedio es

.

.

.

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CC11EJERCICIO 11. Página 31 Página 31 Computar los términos de una sucesión

I. 1.

n

an

0 1 2 3 4 5

1

2(1,2)

(2,4)

(3,6)

(4,8)

3

4

5

4

7

8

2. Para determinar si 403 pertenece a la sucesión basta con igualar y ver si el resultado es un número en , que es el dominio de toda sucesión:

.

Por lo tanto, 403 es el término número 134 de la sucesión , es decir, .

3.

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CC11EJERCICIO 12. Página 32 Página 32 Ejecutar un procedimiento para saber si una función es creciente o decreciente

I. 1. Decreciente.

n

an

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2

n an

1 1/1 =1

2 1/2 ≈ 0.50

3 1/3 ≈ 0.33

4 1/4 ≈ 0.25

5 1/5 ≈ 0.20

6 1/6 ≈ 0.17

7 1/7 ≈ 0.14

8 1/8 ≈ 0.13

9 1/9 ≈ 0.11

10 1/10 ≈ 0.10

11 1/11 ≈ 0.09

n cn

1 3 − (1/1) = 2

2 3 − (1/2) = 2.50

3 3 − (1/3) ≈ 2.67

4 3 − (1/4) = 2.75

5 3 − (1/5) = 2.80

6 3 − (1/6) ≈ 2.83

7 3 − (1/7) ≈ 2.86

8 3 − (1/8) ≈ 2.88

9 3 − (1/9) ≈ 2.89

10 3 − (1/10) = 2.90 n

cn

1 3 75 92 4 86 100

1

2

3

4

2. Creciente.

3. Decreciente.n bn

1 (1/1) + 1 = 2

2 (1/2) + 1 = 1.50

3 (1/3) + 1 ≈ 1.33

4 (1/4) + 1 = 1.25

5 (1/5) + 1 = 1.20

6 (1/6) + 1 ≈ 1.17

7 (1/7) + 1 ≈ 1.14

8 (1/8) + 1 ≈ 1.13

9 (1/9) + 1 ≈ 1.11

10 (1/10) + 1 = 1.10

n

bn

01 2 3 4 5 6 7 98 10

1

2

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CC11 4. Decreciente.

n an

1 1/(1 + 5) ≈ 0.167

2 1/(2 + 5) ≈ 0.143

3 1/(3 + 5) = 0.125

4 1/(4 + 5) ≈ 0.111

5 1/(5 + 5) = 0.10

6 1/(6 + 5) ≈ 0.091

7 1/(7 + 5) ≈ 0.083

8 1/(8 + 5) ≈ 0.077

9 1/(9 + 5) ≈ 0.071

10 1/(10 + 5) ≈ 0.067

an

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.50

0.5

5. Ni creciente ni decreciente.n bn

1 (−1/3)1 ≈ −0.333

2 (−1/3)2 ≈ 0.111

3 (−1/3)3 ≈ −0.0370

4 (−1/3)4 ≈ 0.0123

5 (−1/3)5 ≈ −0.00412

6 (−1/3)6 ≈ 0.00137

7 (−1/3)7 ≈ −0.000457

8 (−1/3)8 ≈ 0.000152

9 (−1/3)9 ≈ −0.0000508

10 (−1/3)10≈ −0.0000169

n

bn

1 2 3 4 5 6 7 98 100

1

6. Creciente.n an

1 4(1) + 1 = 5

2 4(2) + 1 = 9

3 4(3) + 1 = 13

4 4(4) + 1 = 17

5 4(5) + 1 = 21

6 4(6) + 1 = 25

7 4(7) + 1 = 29

8 4(8) + 1 = 33

9 4(9) + 1 = 37

10 4(10) + 1 = 41

n

an

5 100

5

10

15

20

25

30

35

40

22

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CC11 7. Creciente.

n cn

1 12= 1

2 22= 4

3 32= 9

4 42= 16

5 52= 25

6 62= 36

7 72= 49

8 82= 64

9 92= 81

10 102= 100

n

cn

100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

8. Decreciente.

n

cn

1 53 7 92 64 8 100

1

2

3

4

5

6

n cn

1 5 + (1/(12)) = 6

2 5 + (1/(22)) = 5.25

3 5 + (1/(32)) ≈ 5.111

4 5 + (1/(42)) ≈ 5.063

5 5 + (1/(52)) = 5.04

6 5 + (1/(62)) ≈ 5.028

7 5 + (1/(72)) ≈ 5.02

8 5 + (1/(82)) ≈ 5.016

9 5 + (1/(92)) ≈ 5.012

10 5 + (1/(102)) = 5.01

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CC11EJERCICIO 13. Página 33 Página 33 Reafirmar la definición de convergencia o divergencia de una función

I. 1. Converge a 0. La tabla es una respuesta modelo.

n an

1 5

10 0.50

100 0.050

1 000 0.0050

10 000 0.00050

n cn

1 6.5

10 6.95

100 6.995

1 000 6.9995

10 000 6.99995

100 000 6.999995

1 000 000 6.9999995

2. Converge a 7. La tabla es una respuesta modelo.

3. Converge a 3. La tabla es una respuesta modelo.

n bn

1 2

10 2.9

100 2.99

1 000 2.999

10 000 2.9999

100 000 2.99999

1 000 000 2.999999

10 000 000 2.9999999

n an

1 0.5

10 0.009901

100 0.000099

1 000 0.000001

10 000 0.00000001

100 000 0.0000000001

4. Converge a 0. La tabla es una respuesta modelo.

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CC11 5. Converge a 0. La tabla es una respuesta modelo.

n bn

1 −0.50

2 0.25

3 −0.125

4 0.0625

5 −003125

6 0.015625

7 −0.0078125

n an

1 1

10 28

100 298

1 000 2 998

10 000 29 998

100 000 299 998

1 000 000 2 999 998

6. Diverge. La tabla es una respuesta modelo.

7. Diverge. La tabla y la gráfica son una respuesta modelo.

n cn

1 2

2 16

3 81

4 256

5 625

6 1 296

7 2 401

n

cn

0 1 2 3 4 5 6 7

200

400

600

800

1000

1200

25

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. V.

CC11

n bn

1 5

10 1.04

100 1.0004

1 000 1.000004

10 000 1.00000004

8. Converge a 1. La tabla es una respuesta modelo.

Repaso.Repaso. Páginas 34 y 35 Páginas 34 y 35

1.a) Correcta.

b) Incorrecta.

c) Correcta, ya que .

d) Correcta, debido a que .

2.a)

b)

c)

d)

e)

f)

3.a)

−2−∞

b) 3−3

c) −14

+∞

d) −∞ +∞

CIERRE

26

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11 4.

a) −8 −3

b) 1−∞

c) −2 2

d) 3−∞ +∞

e) 0 +∞

5.a)

Como intervalo: .

b)

Como intervalo: .

c)

Como intervalo: .

27

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11d)

Como queremos que el producto sea mayor o igual a cero consideramos dos casos:

Caso 1. Caso 2. .

Entonces, como intervalo se expresa: .

e) Las siguientes desigualdades son equivalentes:

Analicemos qué sucede cuando .Resolvamos para encontrar sus raíces con la fórmula

Observamos que el discriminante es negativo, esto quiere decir que la ecuación no tiene raíces en los reales, y por lo tanto, no cruza al eje x.

Por otro lado, el coeficiente del término cuadrático es positivo, es decir, se tra-ta de una parábola que abre hacia arriba, lo que nos permite concluir que la des-igualdad no se satisface.

Otra manera de probar lo anterior consiste en encontrar el vértice de la pará-bola, esto lo hacemos completando cuadrados:

Por lo tanto, el vértice de la parábola es y como el coeficiente de es positivo, esta abre hacia arriba. Así, afirmamos que la desigualdad es falsa.

.

.

28

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11La gráfica de dicha parábola es la siguiente:

0

x

y

25

15

20

5

105 357,V 6 36

−0.5−1.5 0.5 2.51.5 3.51 32−1

6.a) El máximo y el mínimo puntaje que pueden obtenerse al lanzar un dado son 6 y

1 y eso se multiplica por el número de veces x. Entonces la ecuación que hay que plantear es

,de esta manera,

Entonces, como queremos que el resultado sea negativo, se desprenden dos casos:

Caso 1: Caso 2:

Del primer caso tenemos que .

Y del segundo caso, se tiene.

De aquí, podemos argumentar que como x no puede ser menor que cero en nues-tro problema, el segundo resultado queda descartado. De esta manera, del primer resultado, podemos decir que , y el número más grande que cumple con esta condición es 3. Por lo tanto, x= 3.

b)

.

29

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11Por lo tanto, el peso máximo de la carga no debe ser mayor que 580 kg. Si se van a subir 4 bultos, basta con dividir los 580 kg entre 4 para saber el peso máximo de

cada bulto, es decir, .

Por lo tanto, el peso de cada bulto no debe ser mayor que 145 kg.

7. R.M.

a) b)

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

3

8.

a)

b)

c)

d)

9.a)

30

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11b)

c)

10.a) b) No hay restricciones en el numerador pero en el denominador vemos que .

Entonces, .

c)

d)

e)

f)

g) De la raíz sabemos que , entonces . En este dominio la imagen queda definida en el conjunto .

11. es la función que describe los datos que muestra la tabla. Para expresarla así, solo se tienen que dividir los valores de la columna derecha entre los de la izquier-da, excepto en la primera fila.

La expresión verbal sería: Para calcular la distancia que recorrió Mariana en un tiempo dado, basta con multiplicar el número de horas que pasan por 74.

0

x

y

900

500

700

300

800

400

600

100

200

121084 62

31

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11 12.

a) Creciente en .Decreciente en .

b) Creciente en y .Decreciente en y .

13.a)

b)

c)

14.a)

b)

c)

d)

32

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11e)

f)

15.

a)

Podemos observar que lo que está en el argumento de g es el recíproco de ,

entonces .

b)

16. Primero calculamos :.

Para :

Entonces,

17.a) Creciente. Converge a 2. La tabla es una respuesta modelo.

n an

1 1

10 1.9

100 1.99

1 000 1.999

10 000 1.9999

100 000 1.99999

1 000 000 1.999999

.

.

33

© To

dos l

os d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C

. V.

CC11

n bn

1 2

10 1.1818

100 1.019801

1 000 1.0019980

10 000 1.00019998

100 000 1.000019999

b) Decreciente. Converge a 1. La tabla es una respuesta modelo.

c) Creciente. Diverge. La tabla es una respuesta modelo.

n cn

1 1

10 14.5

100 149.5

1 000 1499.5

10 000 15 000

100 000 150 000

d) Decreciente. Converge a 0.5. La tabla es una respuesta modelo.

n dn

1 1

10 0.55

100 0.505

1 000 0.5005

10 000 0.50005

100 000 0.50001

1 000 000 0.5

10 000 000 0.5

e) Decreciente. Converge a 1. La tabla es una respuesta modelo.

n dn

1 3

10 1.1053

100 1.0101

1 000 1.0010

10 000 1.0001

100 000 1

1 000 000 1

10 000 000 1