capítulo 5: deformación elástica de los laminados · (matriz de rigidez) es de cuarto orden y...

MATERIALES COMPUESTOS

Capítulo 5: Deformación elástica de Capítulo 5: Deformación elástica de los laminadoslos laminados• Deformación elástica de materiales anisótropos

– Ley de Hooke– Efecto de la simetría

• Constantes elásticas no axiales de las capas– Procedimiento de cálculo– Constantes ingenieriles

• Deformación elástica de los laminados– Cargando un laminado– Comportamiento esperado

• Tensiones y distorsiones– Laminados compensados– Tensiones en capas individuales de un laminado– Tensiones entre capas y laminados simétricos


Ley deLey de HookeHooke• Tensor de tensión: [σij], tiene 3 x 3 = 9 componentes

– σii ⇒ σi (tensión normal)– σij ⇒ τij (tensión tangencial); además, τij = τji

• Tensor de deformación: [εij], idem– Atención: γij = eij + eji = 2 εij

• Relación entre ambos: ley de Hooke generalizada:

[σij] = [Cijkl] [εkl]

o bien: [εij] = [Sijkl] [σkl]

– La matriz C (matriz de rigidez) es de cuarto orden y tiene 34 = ¡81 componentes!– La matriz S (matriz de flexibilidad) es la inversa de la matriz C


Efecto de la simetría (I)Efecto de la simetría (I)• Por simetría intrínseca de los tensores de tensión (σij = σji) y

deformación (εij = εji), el número de constantes elásticas se reduce a 36:

ó

• Además, por consideraciones termodinámicas:Cij = Cji & Sij = Sji

Con lo que quedan 21 constantes elásticas• Además, el material puede ser:

– Ortótropo (3 planos de simetría perpendiculares) ⇒ 9 constantes (el caso de una capa)– Isótropo ⇒ sólo 2 constantes: E; G y ν; con la relación entre ellas:

σσστττ

εεεγγγ

31

12

31

12

1

2

3

23

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

1

2

3

23

=

C C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C

εεεγγγ

σσστττ

31

12

31

12

1

2

3

23

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

1

2

3

23

=

S S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S S

( )ν+=

12EG


Efecto de la simetría (II)Efecto de la simetría (II)• Forma de las matrices Sij y Cij para diversas simetrías del material

+000000*000000*

cc

baba

*0*00*000*000**000***

*********************

Anisótropo Ortótropo Transversalmente ortótropo21 constantes 9 constantes 5 constantes

+ = 2(S11-S12)

++

+

cc

cababba

000000000000

Isótropo, 2 constantes

ES

ES

ν−=

=

12

111

( )ν+=

12EG


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:Procedimiento de cálculo (I)Procedimiento de cálculo (I)

• Las capas, por su geomería, son ortótropas

• Una primera aproximación: suponemos tensión plana en la capa⇒ σ3 = τ23 = τ31 = 0

con: εεγ

σστ

1

2

12

11 12

12 22

66

1

2

12

00

0 0

=

S SS S

S

[ ]S

S S SS S SS S S

SS

S

=

11 12 13

12 22 23

13 23 33

44

55

66

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

SE

SE E

SE

SG

111

121 2

222

6612

1

1

1

=

= − = −

=

=

ν ν 12 21


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:Procedimiento de cálculo (II)Procedimiento de cálculo (II)

• Pero la capa puede ser cargada en una dirección arbitraria:

• Con lo que estamos rotando los ejes:

y

φ

1

2

3

zz

y (=2’)

x (=1’)τ12

σ1σ2

φ

σx (= σ’11)

σy (= σ’22)

τxy (= σ’12)

[ ] [ ]σστ

σστ

y

; con: 1

2

12

2 2

2 2

2 2

22

=

= −− −

T Tc s css c cscs cs c s

x

y

x

[ ] [ ]εεγ

εεγ

y

; con: 1

2

12

2 2

2 2

2 22 2

=

= −− −

T Tc s css c cscs cs c s

x

y

x

' '


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:Procedimiento de cálculo (III)Procedimiento de cálculo (III)

• Despejando, queda:

con[ ] [ ] [ ] [ ]

• Donde:

• Y analogamente, se obtendría la matriz de rigidez girada

[ ]ε ε σ σ

= x x x

T T S T S =

=

− −' '11

1 [ ]SS S SS S SS S S

=

11 12 16

12 22 26

16 26 66

ε

γ

ε

γ

σ

τ

σ

τ

y

y

y

y

x

y

x

y

x

2

12

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

S S c S s S S c s

S S c s S S S c s

S S s S c S S c s

S S S S c s S S S s c

S S S S s c S S S c s

S S S S S c s

11 114

224

12 662 2

12 124 4

11 22 662 2

22 114

224

12 662 2

16 11 12 663

22 12 663

26 11 12 663

22 12 663

66 11 22 12 662 2

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 4 8 2

= + + +

= + + + −

= + + +

= − − − − −

= − − − − −

= + − − ( )+ +S c s664 4


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (I)(I)

• A partir de la matriz de flexibilidad:

• Y dos constantes nuevas:

los coeficientes de interacción, que indican la interacción tensión normal /tensión cortante

ES

ES

GSE SE S

x

y

xy

xy x

y y

=

=

=

= −= −

1

1

1

11

22

66

12

12

νν

x

ηγε

ηγε

= y =xyx

xy

xx xyy

xy

yyE S E S= =16 26


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (II)(II)

• Variación de E y G en función del ángulo φ , para un epoxi / 50% vidrio

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo (º)

Mód

ulo

(GPa

)

Módulo elástico, ExMódulo de cortante, Gxy


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (III)(III)

• Variación de E y G en función del ángulo φ , para un Ti / 50% SiC

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo (º)

Mód

ulo

(GPa

)

Módulo elástico, ExMódulo de cortante, Gxy


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (IV)(IV)

• Variación de η xyx en función del ángulo φ , para un epoxi / 50% vidrio

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo (º)

Coe

ficie

nte

de in

tera

cció

n, η

xyx


Constantes elásticas no axiales de las láminas:Constantes elásticas no axiales de las láminas:ConstantesConstantes ingenierilesingenieriles (V)(V)

• Variación de ν xy en función del ángulo φ , para un epoxi / 50% vidrio

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo (º)

Coe

ficie

nte

de P

oiss

on, ν

xy


Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Cargando un laminado (I)Cargando un laminado (I)

• Suposiciones de Kirchoff:– El laminado es plano y fino– No existen tensiones en la dirección del espesor– Se desprecian los efectos de borde (laminado infinito)

• Entonces, la tensión global en la dirección x (σxg) será (modelo de bloques):

como:

queda: y, análogamente, las demás Cijg

( )σ

σε ε γxg

xk kk

n

kk

n g xg g yg g xyg

t

tC C C= = + +=

=

∑

∑1

1

11 12 16

( )C

C t

tg

k kk

n

kk

n11

111

1

= =

=

∑

∑

xygkygkxgkxk CCC γεεσ 161211 ++=


Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Cargando un laminado (II)Cargando un laminado (II)

• Si necesitamos las componentes de la matriz de flexibilidad:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

SC C C

SC C C

SC C C C

SC C C

SC C C C

SC C C C

C C C C C C C C C C C C

1122 66 26

2

2211 66 16

2

1216 26 12 66

6611 22 12

2

1612 26 22 16

2612 16 11 26

11 22 66 12 16 26 22 162

66 122

11 2622

=−

=−

=−

=−

=−

=−

= + − − −

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆ con


Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Comportamiento previsible (I)Comportamiento previsible (I)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo (º)

Mód

ulo

elás

tico

(GPa

)

Unidireccional0/900/45/90/135Linear (0/45/90/135)


Deformación elástica de laminados:Deformación elástica de laminados:Comportamiento previsible (II)Comportamiento previsible (II)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo (º)

Mód

ulo

de P

oiss

on ( ν

xy)

Unidireccional0/900/45/90/135Linear (0/45/90/135)


Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Laminados equilibradosLaminados equilibrados

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo (º)

Coe

ficie

nte

de in

tera

cció

n ( η

xyx)

Unidireccional +30/-300/900/60/1200/30/60/90/120/150Linear (0/30/60/90/120/150)


Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Tensiones en una capa (I)Tensiones en una capa (I)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Ángulo (º)

Rel

ació

n σ 0

º/ σc

0/900/45/90/135


Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Tensiones en una capa (II)Tensiones en una capa (II)

σx

σx

1'6 σx0'4 σx

-0’07 σx

0’07 σx

• Para el Epoxi / 50% vidrio:la mayoría de la carga axial la transmite la capa a 0º

• Aparece tensión normal en la dirección transversal


Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Efecto del pegado de las capasEfecto del pegado de las capas

Calentamiento ∆T

Dilatación de las capas

Distorsión debida a la uniónentre capas

Carga externa

Efecto de Poisson

Distorsión debida a la uniónentre capas


Tensiones y distorsiones:Tensiones y distorsiones:Laminados simétricosLaminados simétricos

• Grandes ventajas: – No aparecen alabeos– Los planos permanecen planos– Mayor número de capas más finas ⇒ reducción de las tensiones interlaminares

• Aún mejor: laminados simétricos y equilibrados• Sin embargo, existen otras consideraciones

– Estado de tensiones concreto al que será sometido– Probable modo de fractura– Tipo y magnitud de las distorsiones admisibles

• Conclusión: se necesita una información muy detallada de las características requeridas ⇒ gran importancia del diseño del material

capítulo 5: deformación elástica de los laminados · (matriz de rigidez) es de cuarto orden y...

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