. Captulo 4: Dinmica de los sistemas de particulas.

A.- Contenidos del captulo.

1.- Sistemas de partculas. 2.- Ecuacin fundamental de la Dinmica de un sistema de partculas. 2.1.- Fuerzas interiores y exteriores. 2.2.- Momento lineal ( cantidad de movimiento) de un sistema de partculas. Definicin 2.3.- Ecuacin fundamental de la Dinmica de un sistema de partculas. 3.- Teorema de conservacin del momento lineal ( cantidad de movimiento) de un sistema de partculas. 4.- Centro de masas de un sistema de partculas. Su utilidad. 3.2.1.- Definicin. 3.2.2.- Clculo de la posicin del centro de masas de un cuerpo. 3.2.3.- Relacin entre el momento lineal de un sistema de partculas y el momento lineal del centro de masas del sistema. 5.- Momento angular o cintico de un sistema de partculas. 5.4.1.- Definicin.. 5.4.2.- Teorema del momento angular o cintico. 5.4.3.- Teorema de conservacin del momento angular o cintico. 6.- Impulso mecnico e impulso angular. 6.1.- Definicin de ambos. 6.2.- Relacin entre el impulso mecnico y el momento lineal o cantidad de movimiento 6.3.- Relacin entre el impulso angular y el momento angular o cintico. 7.- Energa cintica de un sistema de partculas. 7.1.- Definicin. 7.2.- Relacin entre la energa cintica de un sistema de partculas y la energa cintica del sistema respecto de su centro de masas 8.- Teorema del trabajo y de la energa cintica aplicado a un sistema de partculas. 9.- Teorema de conservacin de la energa mecnica. 10.-Choques. Tipos.

B.- Objetivos del captulo:

1.- Definir los conceptos de sistema de partculas. 2.- Definir fuerzas interiores y exteriores. 3.- Definir momento lineal de un sistema de partculas 4.- Deducir la segunda ley de Newton para un sistema de partculas utilizando el principio de superposicin. 5.- Deducir y enunciar el teorema de conservacin del momento lineal ( cantidad de movimiento) de un sistema de partculas. 6.- Definir el concepto de Centro de masas de un sistema de partculas. 7.- Expresar la posicin del Centro de Masas de un sistema de partculas en funcin de la posicin de las partculas del sistema. 8.- Relacionar el momento lineal de un sistema de partculas con el momento lineal de su centro de masas. 9.- Definir momento angular o cintico. 10.- Deducir el Teorema del momento angular o cintico. 11.- Deducir el teorema de conservacin del momento angular o cintico. 12.- Definir impulso mecnico. 13.- Relacionar el impulso mecnico con el momento lineal ( cantidad de movimiento).

14.- Definir impulso angular. 15.- Relacionar el impulso angular con el momento angular o cintico 16.- Definir energa cintica de un sistema. 17.-Relacionar la energa cintica de un sistema de partculas con la energa cintica del sistema respecto del Centro de masas . 18.-Enunciar el Teorema del trabajo y la energa cintica para un sistema de part,iculas. 19.-Enunciar el Teorema de conservacin de la energa mecnica. 20.-Aplicar el teorema de conservacin del momento lineal a los choques de partculas. 21.-Definir choque elstico. 22.-Definir el coeficiente de restitucin de un choque entre dos partculas.

C.- Trabajos asociados al captulo.

1.- Elaborar un vocabulario bsico de trminos y conceptos de la Dinmica de un sistema de partculas. 2.- Realizar un resumen del captulo. Ejercicios propuestos: 3.- Tres cuerpos que cuelgan de un punto se hallan enlazados mediante cuerdas inextensibles y sin peso, siendo sus masas de arriba a abajo de 10, 20 y 30 Kg.. Calcular las tensiones e n los distintos tramos de cuerda del sistema.

4.- Tres cuerpos situados sobre un plano horizontal estn enlazados por cuerdas inextensibles y de masa despreciable, siendo sus ma- sas de 10, 15 y 20 Kg. Sobre el cuerpo de 10 Kg. Se aplica una fuerza de 50 N. Calcular la aceleracin de cada uno de los cuerpos, 20 15 10 as como las tensiones de las cuerdas que los unen. B 5.- El cuerpo A de la figura, con una masa de 1 Kg., est unido A por una cuerda inextensible y sin peso al cuerpo B cuya masa 30 vale 2 Kg. Si los coeficientes dinmicos de rozamiento de los cuerpos A y B con el plano valen respectivamente 0,2 y 0,3, calcular la aceleracin de los cuerpos y la tensin de las cuerdas.

6.- En el tablero de una mesa de billar dos bolas idnticas se encuentran en reposo y en con- tacto. Se lanza una tercera bola, idntica a las anteriores, en la direccin de la tangente a las dos bolas en su punto de contacto de forma que se produce un choque elstico. La tercera bola en el momento del impacto tiene una velocidad de 5 m/s y despus del impacto las bolas que estaban en reposo se desplazan manteniendo la simetra respecto de la recta tangente citada. Calcular las velocidades de las tres bolas despus del choque.

7.- Entre las superficies de las masas m2 y m3 de la figura 1, as como entre la masa m2 y la super- ficie horizontal existe rozamiento siendo esu coeficiente dinmico. Se supone que las masas de las poleas son nulas. Calcular: a) el valor de dicho coeficiente para que todas las masas del sistema se muevan con velocidad constante.

b) la relacin existente entre las velocidades de los cuerpos. c) Si el cuerpo m1 se desplazase con una velocidad constante de 2 m/s. cunto valdra la velocidad del centro de masas del sistema. Tmese g = 10 m/s2. m1 = m2 = 2m y m3 = 4m m3

m2

m1

P 8.- Una bala de masa m posee una velocidad v0 en el instante en el que choca con la masa M, que est sujeta al extremo inferior de una cuerda de longitud R y masa despreciable que cuelga del punto O. La bala queda empotrada en la masa M O Despus del choque la masa resultante riza el rizo de la figura y llega al punto P con una velocidad de valor vP = 4g. R Calcular: m v0 a) el valor de la velocidad v0 de la masa m antes del choque M b) La tensin de la cuerda en P, el punto ms alto de la trayectoria. c) La velocidad del CDM del sistema antes y despus del choque Tmese como valor del radio R el valor de aceleracin de la gravedad g y que la masa M es 4 veces mayor que la masa m.

9.- Una bala de masa m y velocidad v pasa a travs de la lenteja de un pndulo de masa M. La bala sale con una velocidad v/2. La lenteja del pndulo est suspendida de una varilla rgida de longitud O R y masa despreciable. Calcular: a) El valor mnimo de v para que la lenteja del v R pndulo oscile describiendo un crculo vertical completo. v/2

b) La tensin que soporta la varilla en el punto ms alto de la trayectoria. c) La velocidad del Centro de Masas del sistema formado por las dos partculas antes del

choque y despus del choque.

M

10.- Paralelamente a un plano inclinado 30 respecto de la horizontal, representado en la figura 2, colocamos un muelle sin estirar, sujeto por uno de sus extremos en la parte superior del plano, cuya constante elstica vale k = 25M. En esas condiciones colgamos del extremo libre del muelle un cuerpo de masa M, a consecuencia de lo cual se produce un estiramiento x1 del muelle respecto de su punto de equilibrio y la masa M se queda en reposo. Paralelamente al plano se lanza desde la parte inferior de este un cuerpo de masa m = M/2 que posee una velocidad v1 cuando choca inelsticamente con la masa M. Si el coeficiente de restitucin del choque vale , se pide: a) Cunto se alarga el muelle? b) Cunta energa gana o pierde el cuerpo M como consecuencia de su descenso al estirarse el muelle? c) Cal es el valor de la velocidad v1 cuando el cuerpo m choca con la masa M si esta despus del choque asciende por el plano una longitud l = x1/2 hasta que se detiene. m1

m2

11.- El sistema de masas de la figura de la derecha parte del reposo en el instante t = 0 s. y al cabo de 2 segundos el cuerpo m2 ha descendido 10 cm., calcular: a) las velocidades de los cuerpos en el instante t = 2 s b) la velocidad del centro de masas del sistema. Tmese m1 = 6 kg = 2 m1

12.- La figura representa 2 pndulos A y B de masas de 90 gr y 150 gr. respectivamente. Inicialmente soltamos el cuerpo A desde la posicin en la que su cuerda forma 45 45 con la vertical y en ese instante el pndulo B se encuentra en A reposo en la posicin vertical.. Ambos pndulos chocan siendo el coeficiente de restitucin B del choque 0,8. Calcular el valor de las alturas mximas a las que ascienden las masas A y B despus del primer choque.