sistema de partículas dinámica
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CINTICA DE UN SISTEMA
DE PARTCULAS
DEFINICIONES: 2 Ley de Newton
3 Ley de Newton
Torque
Centro de Masa
Trabajo y Energa
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS
2 Ley de Newton 3 Ley de Newton
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS
1. La 2 Ley de Newton para un Sistema de Partculas
Se supone un sistema de n partculas enumeradas del 1 a la n
(ver Figura).
a. Un sistema de partculas b. Fuerzas internas (fij) y
fuerzas externas (Fi), actuando
sobre una partcula i
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS
1) Usando la 2 Ley
de Newton para
una partcula, se
tiene:
2) Generalizando la
expresin anterior al
sistema de partculas
completo:
3) Si se aplica la 3 Ley de Newton
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PARTCULAS
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisic
a/dinamsist/fintext.html
4) Se reduce a:
En otras palabras:
En la siguiente figura se ha representado un conjunto de dos
partculas de masas m1 y m2. Sobre la masa 1 actan las
fuerzas F1 y F12, y sobre la masa 2 las fuerzasF2 y F21
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS
Dos ejemplos de sistemas de partculas. En la figura (a), el sistema est constituido
por las masas 1 y 2. Sobre l actan dos fuerzas externas (en verde) y dos fuerzas
internas (en rojo). En la figura (b), el sistema est constituido slo por la partcula de
masa m1. Las fuerzas que actan sobre l son todas externas.
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS
Si el sistema cuyo movimiento queremos describir es el conjunto de
las dos masas (a), las fuerzas F12 y F21 son fuerzas internas,
puesto que sobre el sistema acta la fuerza y su reaccin. Las
fuerzas internas representan la interaccin mutua de las partculas
del sistema.
Por el contrario, F1 y F2 son fuerzas externas, ya que sobre el
sistema no acta la reaccin de ninguna de las dos. Las fuerzas
externas representan la interaccin del sistema con el exterior del
mismo.
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS
Si el sistema est constituido nicamente por la masa 1 (parte (b)
de la figura), sobre l actan las fuerzas F12 y F1, y en este
caso ambas son externas, ya que sobre el sistema no acta la
reaccin de ninguna de las dos.
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PARTCULAS
Como ejemplo veamos un sistema constituido por dos bloques
de masas m1 y m2. Entre ambos hay rozamiento, mientras que
entre el suelo y el bloque 1 no hay rozamiento. Sobre el bloque
inferior se ejerce una fuerza F.
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS
Nota: el hecho de que una fuerza sea interna o externa
depende de cmo se defina el sistema objeto de estudio.
Cualquier fuerza puede ser interna o externa.
Cuando se trabaja con un sistema de partculas, lo primero que
hay que determinar es:
Qu partculas constituyen el sistema Si las fuerzas que actan sobre l son internas o
externas
Las fuerzas representadas en verde son
fuerzas externas y las fuerzas
representadas en rojo son fuerzas
internas. Si el sistema se define
tomando solamente uno de los dos
bloques, entonces todas las fuerzas que
actan sobre l seran externas.
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CINTICA DE UN SISTEMA DE
PARTCULAS 2. Torque
Se define por el producto cruz entre el vector posicin del punto
de aplicacin de una fuerza desde un origen O (/) y la fuerza
()
2 Ley de Newton a la ecuacin anterior y aplicndola a un sistema de partculas se tiene;
fuerza que causa rotacin alrededor de un punto O (ver Figura).
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PARTCULAS
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PARTCULAS
3. Centro de masa
A veces es conveniente analizar el movimiento del centro de
masa de un sistema de partculas en vez de la suma de todas las
partculas.
Dos partculas A y B, se
encuentran en un sistema de
referencia en dos puntos
respectivos (A) y (B).
Comienzan a moverse con
velocidades, situmos un
observador en el centro
de masas del sistema
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PARTCULAS
Se debe definir en primeros trminos el centro de masa del
sistema de partculas (G). Su posicin est definida por el vector
(ver Figura). Y que cumple la relacin:
La Ecn anterior se puede escribir:
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PARTCULAS
Derivando con respecto al tiempo y suponiendo que y son constantes:
Sabemos que el momentum lineal de una partcula es:
Luego para un sistema de partculas ser:
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PARTCULAS
Por lo tanto, resumiendo lo anterior:
Si derivamos con respecto al tiempo:
Finalmente encontramos una relacin :
el centro de masa de un sistema de partculas se mueve como una
partcula de masa igual a la del sistema y como si sobre ella acta la
resultante de las fuerzas exteriores.
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Impulso y cantidad de movimiento lineal de un sistema de
partculas:
si es constante.
Si se multiplica ambos lados de la ecuacin anterior por y se integra desde 1 hasta 2, se tiene:
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PARTCULAS
De la misma manera:
NOTA: la aceleracin del centro de masas de un sistema de
partculas es debida nicamente a las fuerzas externas que
actan sobre el sistema.
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4. Trabajo y energa para un sistema de partculas
4.1.1 Energa cintica de un sistema de partculas:
La energa cintica de un sistema de partculas esta expresada
por:
A menudo, es conveniente en el clculo de la energa cintica del
sistema constituido por un gran nmero de partculas, considerar por
separado el movimiento del centro de masa G del sistema y, el
movimiento del sistema de partculas relativa a un sistema de
referencia mvil unido a G (ver Figura).
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PARTCULAS
Figura: El sistema mvil en G
Por lo tanto la energa cintica de un sistema de partcula se
expresar de la siguiente manera:
1 Teora de Koernig
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4.1.2 Trabajo
Se considera el trabajo realizado por las fuerzas exteriores e
interiores que actan sobre el sistema entre el punto 1 y 2.
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4.1.3 Energa potencial gravitacional de un sistema de
partculas
La energa potencial gravitacional para el sistema es:
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Momentum Angular Impulso Angular para un Sistema de Partculas.
1. Momentum angular (Cantidad de movimiento
angular)
Considrese una partcula de masa m que se mueve con
respecto a un sistema de referencia newtoniano (fijo) o,x,y,z.
Como se vio anteriormente la cantidad de movimiento lineal
(momentum, Li) de una partcula est dado por:
Al momento del vector Li respecto del punto O se le llama
momento de la cantidad de movimiento o momento de
momentum (ver Figura).
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PARTCULAS
Figura: momento de un vector Li
Este momento se expresa como el momentum angular Ho
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Derivando con respecto al tiempo la ecuacin anterior:
Substituyendo la 2 Ley de Newton:
Donde Moi es la suma de los momentos de las fuerzas que actan
sobre la partcula alrededor de O.
Ho: Variacin de la cantidad de movimiento angular.
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Por lo tanto podemos decir:
La cantidad de movimiento angular de una partcula se conserva
cuando la sumatoria de momentos actuando sobre ella es cero.
en trminos del centro de masa (Teorema de Koernig), se tendr:
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Y si derivamos con respecto al tiempo la ecn. anterior:
Nota: Si el momentum angular del sistema se conserva con
respecto a O, entonces:
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2. Impulso angular
El impulso angular que acta sobre un sistema de partculas es
igual al cambio de momentum angular del sistema de partculas
entre 1 y 2.
3. Relacin entre impulso angular y momentum angular
Integrando la ecn anterior entre t1 y t2 se tiene:
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