capitulo 2 medidas estadisticas · medidas estadisticas ... consistirá en definir tipos de medidas...

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CAPITULOCAPITULO 22CAPITULO CAPITULO 22MEDIDASMEDIDASMEDIDAS MEDIDAS

ESTADISTICASESTADISTICAS

estadística

Introducción

Ybnias Elí Grijalva Yauri ‐ [email protected] 2

Introducción

• En el capítulo anterior hemos visto cómo se e cap tu o a te o e os sto có o sepueden resumir los datos obtenidos del estudio de una muestra (o una población) enestudio de una muestra (o una población) en una tabla estadística o un gráfico.

• No obstante, tras la elaboración de la tabla y su representación gráfica, en la mayoría de las p g , yocasiones resulta más eficaz “condensar” dicha información en algunos números que ladicha información en algunos números que la expresen de forma clara y concisa.

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Introducción


Introducción

• El siguiente paso y objeto de este capítulo g p y j pconsistirá en definir tipos de medidas (estadísticos o parámetros) que los sintetizan ( p ) qaún más.

• Es decir dado un grupo de datos organizadosEs decir, dado un grupo de datos organizados en una distribución de frecuencias (o bien una serie de observaciones sin ordenar)serie de observaciones sin ordenar), pretendemos describirlos mediante cantidades sintéticascantidades sintéticas.

• En este sentido pueden examinarse varias í i i d l á

‐

características, siendo las más comunes:

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Introducción


Introducción

• En este sentido pueden examinarse varias este se t do puede e a a se a ascaracterísticas, siendo las más comunes:

1. La tendencia central de los datos;

2. La dispersión o variación con respecto a este centro;centro;

3. Los datos que ocupan ciertas posiciones.

4. La simetría de los datos, forma en la que los datos se agrupan‐ datos se agrupan.

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Introducción


Introducción

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Estadísticos de TENDENCIA CENTRAL


Estadísticos de TENDENCIA CENTRAL

• Las tres medidas más usuales de tendencia as t es ed das ás usua es de te de c acentral son:

l di• la media,

• la mediana, ,

• la moda.

E i i dí i• En ciertas ocasiones estos tres estadísticos suelen coincidir, aunque generalmente no es así. Cada uno de ellos presenta ventajas e inconvenientes.‐ inconvenientes.

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Tendencia Central: LA MEDIA



• La media aritmética de una variable a ed a a t ét ca de u a a ab eestadística es la suma de todos sus posibles valores ponderada por las frecuencias de losvalores, ponderada por las frecuencias de los mismos.

• Es decir, si la tabla de valores de una variable Xes:

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L di l l d ibi d l• La media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:

• Si los datos no están ordenados en una tabla, entonces

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Ob ió• Observación

• Hemos supuesto implícitamente en la definición de mediaHemos supuesto implícitamente en la definición de media que tratábamos con una variable X discreta.

• Si la variable es continua tendremos que cambiar los l d l d l divalores de xi por las marcas de clase correspondientes.

• En general, la media aritmética obtenida a partir de las marcas de clase ci, diferirá de la media obtenida con losmarcas de clase ci, diferirá de la media obtenida con los valores reales, xi.

• Es decir, habrá una perdida de precisión que será tanto t l dif i t l lmayor cuanto mayor sea la diferencia entre los valores

reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayores sean las longitudes ai, de los intervalos. ‐

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• Algunos inconvenientes de la media

• Es muy sensible a los valores extremos de la variable: yya que todas las observaciones intervienen en el cálculo de la media, la aparición de una observación t h í l di d lextrema, haría que la media se desplace en esa

dirección. N d bl l di did• No es recomendable usar la media como medida central en las distribuciones muy asimétricas;

• Si consideramos una variable discreta por ejemplo el• Si consideramos una variable discreta, por ejemplo, el número de hijos en las familias el valor de la media puede no pertenecer al conjunto de valores de la‐ puede no pertenecer al conjunto de valores de la variable; Por ejemplo x = 1.2 hijos.

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• La media geométricaa ed a geo ét ca

• , es la media de los logaritmos de los l d l i blvalores de la variable:

L• Luego:

• Si los datos están agrupados en una tabla, g p ,entonces se tiene:

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• La media armónicaa ed a a ó ca

• , se define como el recíproco de la media it éti d l í d iaritmética de los recíprocos, es decir,

P l• Por lo tanto:

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• La media cuadráticaa ed a cuad át ca

• , es la raíz cuadrada de la media aritmética d l d dde los cuadrados:

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Tendencia Central: LA MEDIANA



• Consideramos una variable discreta X cuyas Co s de a os u a a ab e d sc eta cuyasobservaciones en una tabla estadística han sido ordenadas de menor a mayorsido ordenadas de menor a mayor.

• Llamaremos mediana, Med al primer valor de la variable que deja por debajo de sí al 50% de las observaciones.

• Por tanto, si n es el número de observaciones, la mediana corresponderá a la observaciónla mediana corresponderá a la observación [n/2]+1, donde representamos por [] la parte

‐

entera de un número.

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• En el caso de variables continuas, las clases ,vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más (pero p p (pno demasiado):

• Sea (l l ] el intervalo donde hemosSea (li‐1,li] el intervalo donde hemos encontrado que por debajo están el 50% de las observacioneslas observaciones.

• Entonces se obtiene la mediana a partir de las f i b l t l d di tfrecuencias absolutas acumuladas, mediante interpolación lineal (teorema de Thales) como i (fi 2 2)

‐

sigue (figura 2.2):

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• Esto equivale a decir que la mediana divide al sto equ a e a dec que a ed a a d de ahistograma en dos partes de áreas iguales a 1/21/2.

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• Entre las propiedades de la mediana, vamos a t e as p op edades de a ed a a, a os adestacar las siguientes:

Ti l t j d t f t d l• Tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas.

• Es de cálculo rápido y de interpretación• Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla.

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• A diferencia de la media, la mediana de una d e e c a de a ed a, a ed a a de u avariable discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos (ej La mediana devariable que estudiamos (ej. La mediana de una variable número de hijos toma siempre l t )valores enteros).

• Si una población está formada por 2 sub p ppoblaciones de medianas Med1 y Med2, sólo se puede afirmar que la mediana M d de lapuede afirmar que la mediana, Med, de la población está comprendida entre Med1 y Med2

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• Ejemplo • Sea X una variable discreta que ha presentado sobre una muestra las modalidades

• Si cambiamos la última observación por otra anormalmente grande, esto no afecta a la mediana, pero si a la media:

• En este caso la media no es un posible valor de la i bl (di t ) h i t f t dvariable (discreta), y se ha visto muy afectada por

la observación extrema. Este no ha sido el caso para lamediana‐ para la mediana.

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• Ejemplo je p o

• Obtener la media aritmética y la mediana en l di t ib ió dj t D t ila distribución adjunta. Determinar gráficamente cuál de los dos promedios es más significativo.

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• La media aritmética es:

• La primera frecuencia absoluta acumulada que p qsupera el valor n/2=100 es Ni=140. Por ello el intervalo mediano es [10;20). Así:

• Para ver la representatividad de ambos promedios, realizamos el histograma de la figura 2 3 b d d l f d l2.3, y observamos que dada la forma de la distribución, la mediana es más representativa que la media‐ que la media.

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Tendencia Central: LA MODA



• La moda a oda

• Llamaremos moda a cualquier máximo l ti d l di t ib ió d f irelativo de la distribución de frecuencias, es

decir, cualquier valor de la variable que posea una frecuencia mayor que su anterior y su posterior.p

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• Observación

• De la moda destacamos las siguientes propiedades:propiedades:

• Es muy fácil de calcular.

• Puede no ser única.

• Es función de los intervalos elegidos a través deEs función de los intervalos elegidos a través de su amplitud, número y límites de los mismos.

A l i l últi d l i t l• Aunque el primero o el último de los intervalos no posean extremos inferior o superior

‐

respectivamente, la moda puede ser calculada.

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‐ESTAD 02

Resumen de las medidas de posición centrales.


Resumen de las medidas de posición centrales.

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Relación entre Media, Mediana, Moda



• En el caso de distribuciones unimodales, la e caso de d st buc o es u oda es, amediana está con frecuencia comprendida entre la media y la moda (incluso más cercaentre la media y la moda (incluso más cerca de la media).

• En distribuciones que presentan cierta inclinación, es más aconsejable el uso de la , jmediana.

• Sin embargo en estudios relacionados con• Sin embargo en estudios relacionados con propósitos estadísticos y de inferencia suele

‐

ser más apta la media.

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Ej l• Ejemplo • Consideramos una tabla estadística relativa a una variable continua de la que nos dan losvariable continua, de la que nos dan los intervalos, las marcas de clase ci, y las frecuencias absolutas niabsolutas, ni.

Intervalos c i n i

0 2 1 20 ‐‐ 2 1 22 ‐‐ 4 3 14 6 5 44 ‐‐ 6 5 46 ‐‐ 8 7 38 10 9 2‐ 8 ‐‐ 10 9 2

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• Para calcular la media podemos añadir una columna con las cantidades nici. La suma de los términos de esa columna dividida por n=12 es la media:

Intervalos ci ni Ni nici

0 ‐‐ 2 1 2 2 20 2 1 2 2 22 ‐‐ 4 3 1 3 34 ‐‐ 6 5 4 7 206 ‐‐ 8 7 3 10 21 8 ‐‐ 10 9 2 12 18‐

12 64

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• La mediana es el valor de la variable que deja a ed a a es e a o de a a ab e que dejapor debajo de sí a la mitad de las nobservaciones es decir 6 (n/2)observaciones, es decir 6 (n/2).

• Construimos la tabla de las frecuencias absolutas acumuladas, Ni, y vemos que eso ocurre en la modalidad tercera [Ni (n/2)], es [ ( / )],decir,

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• Para el cálculo de la moda, lo primero es a a e cá cu o de a oda, o p e o esencontrar los intervalos modales, buscando los máximos relativos en la columna de laslos máximos relativos en la columna de las frecuencias absolutas, ni.

• Vemos que hay dos modas, correspondientes a las modalidades i=1, i=3. (cualquier valor de , ( qla variable que posea una frecuencia mayor que su anterior y su posterior)que su anterior y su posterior)

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• En el primer intervalo modal, (l0,1]=(0,2], la e p e te a o oda , ( 0,1] (0, ], amoda se calcula como

• El segundo intervalo modal es (l2,l3]=(4;6], g ( 2, 3] ( ],siendo la moda el punto perteneciente al mismo que se obtiene como:mismo que se obtiene como:

• En este caso, como se ve en la figura 2.5, la moda no toma un valor único, sino el conjunto‐ moda no toma un valor único, sino el conjunto

ESTAD 02

Ybnias Elí Grijalva Yauri ‐ [email protected] 35‐

ESTAD 02

Estadísticos de Posición


Estadísticos de Posición

• Los estadísticos de posición van a ser valores os estad st cos de pos c ó a a se a o esde la variable caracterizados por superar a cierto porcentaje de observaciones en lacierto porcentaje de observaciones en la población (o muestra).

• Como medidas de posición tenemos fundamentalmente a los:– Percentiles,

Cuartiles– Cuartiles,

– Deciles y

‐

– Quintiles.

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Estadísticos de Posición: Percentiles



• Percentiles • Variable Discreta, se define el percentil de orden k, como la observación, Pk, que deja por debajo de si elk% de la población Esta definición nos recuerda a lak% de la población. Esta definición nos recuerda a la mediana, pues como consecuencia de la definición es evidente que q

Med= P50• Variable Continua, el intervalo es donde Pk (li‐1, li], se k i 1 icalcula buscando el que deja debajo de si al de las observaciones. Dentro de él, Pk se obtiene según la relación:relación:

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Por su propia naturaleza, el percentil puede estar situado en cualquier lugar de ‐ gla distribución, por lo que no puede considerársele como una medida de tendencia central.ES

TAD 02

Estadísticos de Posición: Cuartiles



• Los cuartiles, Ql, son un caso particular de los os cua t es, Ql, so u caso pa t cu a de ospercentiles. Hay 3, y se definen como:

Q1 = P251 25

Q2 = P50 = Med

Q PQ3 = P75

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Estadísticos de Posición: Deciles


Estadísticos de Posición: Deciles

• Se definen los deciles como los valores de la Se de e os dec es co o os a o es de avariable que dividen a las observaciones en 10 grupos de igual tamaño Más precisamentegrupos de igual tamaño. Más precisamente, definimos D1,D2, ..., D9 como:

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• Ejemplo

• Dada la siguiente distribución en el número deDada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias, calcular sus cuartiles.

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• Primer cuartil: e cua t

• Segundo cuartil:Segundo cuartil:

• Tercer cuartil:Tercer cuartil:

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• Ejemplo je p o

• Calcular los cuartiles en la siguiente di t ib ió d i bl tidistribución de una variable continua:

l l n Nl i 1 l i n i N i

0 ‐ 1 10 101 2 12 221 ‐ 2 12 222 ‐ 3 12 343 4 10 44

‐

3 ‐ 4 10 444 ‐ 5 7 51

n =51

ESTAD 02 n =51




1. Primer cuartil:

2. Segundo cuartil:

3. Segundo cuartil:

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Ej l H id d d l d 21• Ejemplo : Han sido ordenados los pesos de 21 personas en la siguiente tabla:

I t l fIntervalos f.a.

l i ‐1 ‐‐ l i n i

38 45 338 ‐‐ 45 345 ‐‐ 52 252 ‐‐ 59 752 59 759 ‐‐ 66 366 ‐‐ 73 6

Encontrar aquellos valores que dividen a los datos en 4

‐

21

partes con el mismo número de observaciones.

ESTAD 02




• Solución: Las cantidades que buscamos son So uc ó : as ca t dades que busca os solos tres cuartiles: Q1, Q2, y Q3. Para calcularlos, le añadimos a la tabla las columnas con lasle añadimos a la tabla las columnas con las frecuencias acumuladas, para localizar qué i t l l ti l tilintervalos son los que contienen a los cuartilesbuscados: l i 1 l i n i N i

38 ‐‐ 45 3 345 ‐‐ 52 2 552 ‐‐ 59 7 12

‐

52 59 7 1259 ‐‐ 66 3 1566 ‐‐ 73 6 21

ESTAD 02 21




• Q1 y Q2 se encuentran en el intervalo (52—Q1 y Q2 se e cue t a e e te a o (559), ya que N3=12 es la primera f.a.a. que supera a (1/4 * 21) y (2/4 * 21)supera a (1/4 21) y (2/4 21).

• Q3 está en (66—73), pues N5=21 es el primer Ni mayor que (2/4 * 21)Ni mayor que (2/4 21).

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• Obsérvese que Q2 = Med. Esto es lógico, ya que Obsé ese que Q2 ed sto es óg co, ya quela mediana divide a la distribución en dos partes con el mismo número departes con el mismo número de observaciones, y Q2, hace lo mismo, pues es d j d t d l d t ibdeja a dos cuartos de los datos por arriba y otros dos cuartos por abajo.

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Estadísticos de Variabilidad o Dispersión


Estadísticos de Variabilidad o Dispersión

• Los estadísticos de tendencia central o posición nos indican donde se sitúa un grupo de puntuaciones. p

• Los de variabilidad o dispersión nos indican si esas puntuaciones o valores están próximasesas puntuaciones o valores están próximas entre sí o si por el contrario están o muy dispersasdispersas. – Rango o AmplitudV i– Varianza

– Desviación Típica o Estándar

‐

– Coeficiente de Variación

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Estadísticos de Dispersión: Rango ‐ Amplitud


Estadísticos de Dispersión: Rango Amplitud

• Una medida razonable de la variabilidad U a ed da a o ab e de a a ab dadpodría ser la amplitud o rango, que se obtiene restando el valor más bajo de un conjunto derestando el valor más bajo de un conjunto de observaciones del valor más alto.

R = X – X i = AR Xmax Xmin A

• Es fácil de calcular y sus unidades son las mismas que las de la variable.‐ mismas que las de la variable.

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Estadísticos de Dispersión: Rango ‐ Amplitud


Estadísticos de Dispersión: Rango Amplitud

Propiedades del Rango: p g• Es fácil de calcular y sus unidades son las mismas que las de la variablemismas que las de la variable.

• No utiliza todas las observaciones (sólo dos de ellas)ellas);

• Se puede ver muy afectada por alguna observación extrema;

• El rango aumenta con el número de gobservaciones, o bien se queda igual. En cualquier caso nunca disminuye.‐ cualquier caso nunca disminuye.

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Estadísticos de Dispersión: Varianza



• La varianza, S2, se define como la media de las d f d á ddiferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmética, es decir:

• Para datos agrupados en tablas usando las• Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establecidas en los capítulos anteriores, la varianza se puede escribir comola varianza se puede escribir como

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• Una fórmula equivalente para el cálculo de la U a ó u a equ a e te pa a e cá cu o de avarianza está basada en lo siguiente:

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• Con lo cual se tiene:

• Si los datos están agrupados en tablas es• Si los datos están agrupados en tablas, es evidente que:

• Esta medida es siempre una cantidad positiva, con propiedades interesante para la realización de inferencia estadística. Como sus unidades son las del cuadrado de la variable es más sencillo usar su raíz cuadrada que es la que‐ variable, es más sencillo usar su raíz cuadrada, que es la que vemos en la siguiente sección.

ESTAD 02

Estadísticos de Dispersión: Desviación Típica o Estándar


p p

• La varianza no tiene la misma magnitud que a a a a o t e e a s a ag tud quelas observaciones (ej. si las observaciones se miden en metros la varianza lo hace enmiden en metros, la varianza lo hace en metros cuadrados). Si queremos que la

did d di ió d l imedida de dispersión sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastará con tomar su raíz cuadrada. Por ello se define la desviación típica, S, como:p , ,

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p p

• Ejemplo: Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros: 3, 3, 4, 4, 5.

• Solución: Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media:

• La varianza es:

• siendo la desviación típica su raíz cuadrada:

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p p

• Ambas son sensibles a la variación de cada una de las t i d i i t ió bipuntuaciones, es decir, si una puntuación cambia,

cambia con ella la varianza. La razón es que si miramos su definición, la varianza es función de cada una de las ,puntuaciones.

• Si se calculan a través de los datos agrupados en una bl d d d l i l l id E d itabla, dependen de los intervalos elegidos. Es decir,

cometemos cierto error en el cálculo de la varianza cuando los datos han sido resumidos en una tablacuando los datos han sido resumidos en una tabla estadística mediante intervalos, en lugar de haber sido calculados directamente como datos no agrupados. Este error no será importante si la elección del númeroEste error no será importante si la elección del número de intervalos, amplitud y límites de los mismos ha sido adecuada. ‐

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p p

• La desviación típica tiene la propiedad de que p p p qen el intervalo

• se encuentra, al menos, el 75% de las observaciones Incluso si tenemos muchosobservaciones. Incluso si tenemos muchos datos y estos provienen de una distribución

l ( d fi i á t t ánormal (se definirá este concepto más adelante), podremos llegar al 95%.

• No es recomendable el uso de ellas, cuando tampoco lo sea el de la media como medida

‐

de tendencia central.

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Estadísticos de Dispersión: Coeficiente de variación


p

• ¿Pero qué ocurre si lo que comparamos es la ¿ e o qué ocu e s o que co pa a os es aaltura de unos elefantes con respecto a su peso? Comparar una desviación (con respectopeso? Comparar una desviación (con respecto a la media) medida en metros con otra en kil ti i ú tidkilogramos no tiene ningún sentido.

• El problema no deriva sólo de que una de las p qmedidas sea de longitud y la otra sea de masa. El mismo problema se plantea si medimosEl mismo problema se plantea si medimos cierta cantidad, por ejemplo la masa, de dos

bl i di ti t id d‐ poblaciones, pero con distintas unidades.

ESTAD 02



p

• El problema no se resuelve tomando las mismas pescalas para ambas poblaciones. Por ejemplo, se nos puede ocurrir medir a las hormigas con lasnos puede ocurrir medir a las hormigas con las mismas unidades que los elefantes (toneladas). Lo lógico es que la dispersión de la variable pesoLo lógico es que la dispersión de la variable peso de las hormigas sea prácticamente nula.

E l d i i d• En los dos primeros casos mencionados anteriormente, el problema viene de la dimensionalidad de las variables, y en el tercero de la diferencia enorme entre las medias de

‐

ambas poblaciones.

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p

• El coeficiente de variación es lo que nos coef c e te de a ac ó es o que ospermite evitar estos problemas, pues elimina la dimensionalidad de las variables y tiene enla dimensionalidad de las variables y tiene en cuenta la proporción existente entre medias y d i ió tí i S d fi d l i i tdesviación típica. Se define del siguiente modo:

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p

• Propiedades • Sólo se debe calcular para variables con todos los valores positivos. Todo índice de variabilidad es esencialmente no negativo Las observaciones puedenesencialmente no negativo. Las observaciones pueden ser positivas o nulas, pero su variabilidad debe ser siempre positiva. De ahí que sólo debemos trabajar

i bl i i lcon variables positivas, para la que tenemos con seguridad que la media es mayor que cero.

• No es invariante ante cambios de origen Es decir si a• No es invariante ante cambios de origen. Es decir, si a los resultados de una medida le sumamos una cantidad positiva, b>0, para tener Y=X+b, entonces CVY CVX,

• Es invariante a cambios de escala. Así por ejemplo el coeficiente de variación de una variable medida en metros es una cantidad adimensional que no cambia si‐ metros es una cantidad adimensional que no cambia si la medición se realiza en centímetros.

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Estadísticos de Dispersión: Tipificación



• Se conoce por tipificación al proceso de restar Se co oce po t p cac ó a p oceso de estala media y dividir por su desviación típica a una variable X De este modo se obtiene unauna variable X. De este modo se obtiene una nueva variable :

• de media de z = 0 y desviación típica SZ = 1, que denominamos variable tipificada.‐ que denominamos variable tipificada.

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• Esta nueva variable carece de unidades y permite hacer comparables dos medidas que en un principio no lo son por aludircomparables dos medidas que en un principio no lo son, por aludir a conceptos diferentes.

• Así por ejemplo nos podemos preguntar si un elefante es más grueso que una hormiga determinada cada uno en relación a sugrueso que una hormiga determinada, cada uno en relación a su población.

• También es aplicable al caso en que se quieran comparar individuos semejantes de poblaciones diferentes Por ejemplo si deseamossemejantes de poblaciones diferentes. Por ejemplo si deseamos comparar el nivel académico de dos estudiantes de diferentes Universidades para la concesión de una beca de estudios, en principio sería injusto concederla directamente al que posea unaprincipio sería injusto concederla directamente al que posea una nota media más elevada, ya que la dificultad para conseguir una buena calificación puede ser mucho mayor en un centro que en el otro, lo que limita las posibilidades de uno de los estudiante yotro, lo que limita las posibilidades de uno de los estudiante y favorece al otro. En este caso, lo más correcto es comparar las calificaciones de ambos estudiantes, pero tipificadas cada una de ellas por las medias y desviaciones típicas respectivas de las notas ‐ p y p pde los alumnos de cada Universidad.

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• Es importante destacar que:s po ta te destaca que

• Los coeficientes de variación sirven para l i bilid d d d j tcomparar las variabilidades de dos conjuntos

de valores (muestras o poblaciones),

• mientras que si deseamos comparar a dos individuos de cada uno de esos conjuntos esindividuos de cada uno de esos conjuntos, es necesario usar los valores tipificados.

‐ESTAD 02

Estadísticos de Dispersión: Coeficiente de variación y Tipificación


p y p

Ej l• Ejemplo • Dada la distribución de

d d ( did ñ ) H N edades (medidas en años) en un colectivo de 100 personas obtener:

Horas trabajadas

Num. empleados

0 4 47personas, obtener: • 1. La variable tipificada Z. • 2 Valores de la media y

0 ‐‐ 4 474 ‐‐ 10 3210 ‐‐ 20 17• 2. Valores de la media y

varianza de Z. • 3 Coeficiente de variación

10 ‐‐ 20 1720 ‐‐ 40 4

1003. Coeficiente de variación de Z.

‐

100

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p y p

• Solución:• Para calcular la variable tipificada • partimos de los datos del enunciado Serápartimos de los datos del enunciado. Será necesario calcular en primer lugar la media y desviación típica de la variable original (X= años)desviación típica de la variable original (X años).

l l 2 li1 li xi ni xi ni xi2 ni

0 ‐‐ 4 2 47 94 1884 ‐‐ 10 7 32 224 1.568

‐

10 ‐‐ 20 15 17 255 3.82520 ‐‐ 40 30 4 120 3.6

n=100 693 9.181

ESTAD 02



p y p

• A partir de estos valores podremos calcular los valores tipificados para las marcas de clase de cada intervalo y construir su distribución de frecuencias:

zi ni zi ni zi2 ni

‐0,745 47 ‐35,015 26,0860,745 47 35,015 26,0860,011 32 0,352 0,0041,220 17 20,720 25,3033,486 4 13,944 48,609

n=100 0,021 100,002

‐ESTAD 02



p y p

• A pesar de que no se debe calcular el pesa de que o se debe ca cu a ecoeficiente de variación sobre variables que presenten valores negativos (y Z los presenta)presenten valores negativos (y Z los presenta), lo calculamos con objeto de ilustrar el porqué:

• Es decir, el coeficiente de variación no debe usarse nunca con variables tipificadas.‐ usarse nunca con variables tipificadas.

ESTAD 02

Estadísticos de Asimetría y Apuntamiento


Estadísticos de Asimetría y Apuntamiento

• Nos proponemos dar un paso más allá en el ál d l bl lanálisis de la variable. En primer lugar, nos vamos

a plantear el saber si los datos se distribuyen de forma simétrica con respecto a un valor central oforma simétrica con respecto a un valor central, o si bien la gráfica que representa la distribución de frecuencias es de una forma diferente del ladofrecuencias es de una forma diferente del lado derecho que del lado izquierdo.

• Si la simetría ha sido determinada, podemos , ppreguntarnos si la curva es más o menos apuntada (larga y estrecha). Este apuntamiento h b á di l d i thabrá que medirlo comparado a cierta distribución de frecuencias que consideramos normal (no por casualidad es éste el nombre que‐ normal (no por casualidad es éste el nombre que recibe la distribución de referencia).

ESTAD 02

Estadísticos de Asimetría



• Para saber si una distribución de frecuencias es simétrica, hay que precisar con respecto a qué. q

• Un buen candidato es la mediana, ya que para variables continuas divide al histograma devariables continuas, divide al histograma de frecuencias en dos partes de igual área. P d b ll d f• Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir que una distribución de f i i ét i i l l d d h dfrecuencias es simétrica si el lado derecho de la gráfica (a partir de la mediana) es la imagen

j d l l d i i d

‐

por un espejo del lado izquierdo .

ESTAD 02


Estadísticos de AsimetríaEstadísticos de Asimetría

Simétrica Asimétrica

‐ESTAD 02




• Cuando la variable es discreta, decimos que es , qsimétrica, si lo es con respecto a la media.

• Dentro de los tipos de asimetría posibleDentro de los tipos de asimetría posible, vamos a destacar los dos fundamentales:

• Asimetría positiva:• Asimetría positiva:Si las frecuencias más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientras que en derecho hay frecuencias más pequeñas (cola).

• Asimetría negativa:Cuando la cola está en el lado izquierdo‐ Cuando la cola está en el lado izquierdo.

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• Cuando realizamos un estudio descriptivo es altamente i b bl l di t ib ió d f iimprobable que la distribución de frecuencias sea totalmente simétrica. En la práctica diremos que la distribución de frecuencias es simétrica si lo es de un modo

daproximado. • Por otro lado, aún observando cuidadosamente la gráfica,

podemos no ver claro de qué lado están las frecuenciaspodemos no ver claro de qué lado están las frecuencias más altas.

• Conviene definir entonces unos estadísticos que ayuden a i t t l i t í l ll í di dinterpretar la asimetría, a los que llamaremos índices de asimetría.

• Vamos a definir a continuación algunos de los índices de Vamos a definir a continuación algunos de los índices de asimetría más usuales como son el índice basado en los tres cuartiles, el momento de tercer orden y la distancia entre la moda y la media o la media y la mediana‐ entre la moda y la media o la media y la mediana.

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• momento central de tercer orden o e to ce t a de te ce o de

• Sea X una variable cuantitativa y p N. Ll t d dLlamamos momento de orden p a:

• Se denomina momento central de orden p a la cantidad

• Si los datos están agrupados en una tabla, mpd it t ió i l t‐ admite otra expresión equivalente:

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Índice de Yule – Bowley (basado en los tres cuartiles) • Si una distribución es simétrica, es claro que deben haber tantas observaciones entre la que deja por debajo de sí las tres cuartas partes de la distribución ydebajo de sí las tres cuartas partes de la distribución y la mediana, como entre la mediana y la que deja por debajo de sí un quarto de todas las observaciones. De f b i dforma abreviada esto es,

Q3 – Q2 = Q2 – Q1U i t b i di t ib ió d f i• Una pista para saber si una distribución de frecuencias es asimétrica positiva :

Q3 – Q2 Q2 – Q1Q3 Q2 Q2 Q1• Por analogía, si es asimétrica negativa, se tendrá

Q3 – Q2 Q2 – Q1‐ Q3 Q2 Q2 Q1

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Índice de Yule – Bowley (basado en los tres cuartiles) • Para quitar dimensionalidad al problema, utilizamos como índice de asimetría la cantidad:

E lEs claro que •El ú bt idEl número obtenido,

• es invariante ante cambios de origen de referencia y de escala‐ escala.

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‐ESTAD 02 Uso de los cuartiles para medir la asimetría




Otros índices de asimetría • Basándonos en que si una distribución de frecuencias es simétrica y unimodal entoncesfrecuencias es simétrica y unimodal, entonces la media, la mediana y la moda coinciden, podemos definir otras medidas de asimetríapodemos definir otras medidas de asimetría, como son:

• o bien, • Diremos que hay asimetría positiva si As 0, y negativa si As 0.‐ negativa si As 0.

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‐ Diferencias entre las medidas de tendencia central, o bien entre las distancias

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,entre cuartiles consecutivos indican asimetría.




Ej lEjemplo • Las edades de un grupo de

personas se reflejan en la Intervalos n ipersonas se reflejan en la tabla siguiente:

i

7 ‐‐ 9 49 ‐‐ 11 18

• Determinar la variabilidad de la edad mediante los estadísticos varianza

11 ‐‐ 12 1412 ‐‐ 13 2713 ‐‐ 14 42estadísticos varianza,

desviación típica, coeficiente de variación y rango intercuartílico Estudie la

13 14 4214 ‐‐ 15 3115 ‐‐ 17 20

intercuartílico. Estudie la simetría de la variable.

‐

17 ‐‐ 19 1

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• Solución:So uc ó :

• En primer lugar realizamos los cálculos i ti d l t bl d f inecesarios a partir de la tabla de frecuencias:

l 2Intervalos n i x i N i x i n i x i2 n i

7 ‐‐ 9 4.0 8.0 4.0 32.0 256.09 ‐‐ 11 18.0 10.0 22.0 180.0 1,800.0,11 ‐‐ 12 14.0 11.5 36.0 161.0 1,851.512 ‐‐ 13 27.0 12.5 63.0 337.5 4,218.813 ‐‐ 14 42.0 13.5 105.0 567.0 7,654.5

‐

13 14 42.0 13.5 105.0 567.0 7,654.514 ‐‐ 15 31.0 14.5 136.0 449.5 6,517.815 ‐‐ 17 20.0 16.0 156.0 320.0 5,120.017 ‐‐ 19 1 0 18 0 157 0 18 0 324 0

ESTAD 02 17 ‐‐ 19 1.0 18.0 157.0 18.0 324.0

157.0 2,065.0 27,742.5




• La media es x = 2,065/157 = 13.15 años. , /

• La varianza la calculamos a partir de la• La varianza la calculamos a partir de la columna de la xi2 ni como sigue: 2 / 2 2S2 = 27,742.25/157 – 13.152 = 3.78 años2; S = √3.78 = 1.94 años

• El coeficiente de variación no posee unidadesEl coeficiente de variación no posee unidades y es:CV 1 94/13 15 0 15 15% d i bilid d‐ CV = 1.94/13.15 = 0.15 = 15% de variabilidad

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• En lo que concierne a la simetría podemos o que co c e e a a s et a pode osutilizar el coeficiente de asimetría de Yule‐Bowley para el cual es preciso el cálculo deBowley, para el cual es preciso el cálculo de los cuartiles:

‐ESTAD 02




• Lo que nos dice que aproximadamente en un o que os d ce que ap o ada e te e urango de Q3 – Q1 = 2.29 años se encuentra el 50% central del total de observaciones50% central del total de observaciones.

• Además:

‐ESTAD 02




• Este resultado nos indica que existe una ligera ste esu tado os d ca que e ste u a ge aasimetría a la izquierda (negativa). Un resultado similar se obtiene si observamosresultado similar se obtiene si observamos que la distribución de frecuencias es

i d l i d l dunimodal, siendo la moda:

l• en cuyo caso podemos usar como medida del sesgo:

‐ESTAD 02




La distribución de frecuencias de la edad presenta una ligera asimetría negativa.

‐ESTAD 02

Estadísticos de Apuntamiento



• Se define el coeficiente de aplastamiento de Fisher como:

• donde m4 es el momento empírico de cuarto orden. Es éste un coeficiente adimensional, invariante ante cambios de escala y de origen. Sirve para medir si una distribución de frecuencias es muy apuntada o no. Para decir si la distribución es larga y estrecha hay que tener un patrón de referencia Eles larga y estrecha, hay que tener un patrón de referencia. El patrón de referencia es la distribución normal o gaussianapara la que se tienep q

‐ESTAD 02




• De este modo, atendiendo a 2, se clasifican las 2distribuciones de frecuencias en

• Leptocúrtica:p• Cuando 2 0, o sea, si la distribución de frecuencias es más apuntada que la normal;frecuencias es más apuntada que la normal;

• Mesocúrtica:C d 0 d i d l di t ib ió d• Cuando 2 = 0, es decir, cuando la distribución de frecuencias es tan apuntada como la normal; l i ú i• Platicúrtica:

• Cuando 2 0, o sea, si la distribución de

‐

frecuencias es menos apuntada que la normal;

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‐

Apuntamiento de distribuciones de frecuencias

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[email protected] 9209

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[email protected] 9309

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capitulo 2 medidas estadisticas · medidas estadisticas ... consistirá en definir tipos de medidas...

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