2

Resultados básicos sobre un PVI

para una EDOPO

Con frecuencia ocurre que podemos percibir más horizontes si

nos apoyamos en hombros de gigantes. En el desarrollo de la

matemática existieron algunos gigantes.

20

2.1 Formulación integral equivalente

Consideremos un (PVI) dado por

2

0 0

( , ), ( , )

( )

dyf x y x y

dx

y x y

(2.1)

para la función real incógnita ( )y y x .

0 0( , )x y es un punto interior de la región , tal como se ilustra en la Fig. 1

Fig. 1: Región con el punto interior 0 0( , )x y

Sea I un intervalo alrededor de 0x tal como se ilustra en la Fig. 2 siguiente

Fig. 2: Gráfica del intervalo I

Si el PVI, establecido por (2.1), admite una solución ( )y y x en el intervalo I entonces

( )y y x satisface también la ecuación integral

0

0( ) , ( ) x

xy x y f z y z dz (2.2)

21

Recíprocamente, cualquier ( )y x que satisface (2.2) debe, necesariamente, satisfacer el

(PVI) (2.1) (ser una solución de dicho PVI.

En consecuencia, se sigue que la cuestión de existencia de solución para el PVI (2.1) es

equivalente a la de existencia de solución para la ecuación integral (2.2)

Ejercicio 1

Probar la antes mencionada equivalencia.

2.2 Funciones Lipschitzianas respecto de la variable dependiente

R. Lipschitz (1832-1903), matemático alemán, enunció una condición de la siguiente

manera:

La función real ( , )f f x y de las variables reales x e y , satisface una condición de

Lipschitz respecto de , , ,y x y si 0L tal que

1 2 2 1 1 2, , , , , ,f x y f x y L y y x y x y (2.3)

Observación1: Si ( , )f f x y es continuamente diferenciable respecto de y en una

región cerrada, acotada y convexa de 2 , satisface una condición de Lipschitz allí

pudiéndose tomar:

( , ) x y

fL Max

y

(2.4)

2.3 Espacios Métricos Completos

Nos interesa en el presente texto, trabajar asiduamente con Espacios cuyos elementos

constitutivos son funciones (por ejemplo funciones continuas, con derivadas primeras,

segundas, etc, continuas) definidas en algún intervalo del conjunto de los reales

(eventualmente todos los reales). Estos se denominan Espacios Funcionales (infinito,

dimensionales), siendo clásicamente usada la siguiente notación:

0 1 2 , , I I IC C C (2.5)

para representar a los Espacios de funciones continua, con derivada primera continua,

con derivada segunda continua en el intervalo real cerrado I respectivamente .

Por ejemplo 0

,a bC podría representar al conjunto de funciones continuas en ,a b .

Si a un Espacio Funcional se lo provee de una métrica o distancia (esta noción es

conocida desde los cursos de Cálculo Diferencial de funciones de una y varias variables

reales), se tiene un Espacio Métrico.

22

En este texto, a la vista del tipo de Espacios Funcionales en interés, usamos la así

denominada métrica del supremo. Esto es, si f f x y g g x son dos elementos

(funciones cualesquiera, por ejemplo, de 0 0 , ,I IC f g C la distancia entre f y g se

define como:

( , ) ( ) ( ) ,d f g Max f x g x x I (2.6)

Sucesiones Funcionales

Se expresan, sencillamente, estableciendo una correspondencia entre elementos del

Espacio y el conjunto de los Naturales .

Ejemplo: Sea ( ),nf x n un elemento genérico de la sucesión funcional

( ) x I

i if x con

1( ) , 0,1

1nf x x I

nx

Es claro que cada elemento de la sucesión provista en precedencia pertenece por

ejemplo al espacio 0 IC , con 0,1I , pudiéndose proveer a tal Espacio con la distancia

explicitada por (2.6)

Sucesiones Funcionales Convergentes Puntual y Uniformemente.

La sucesión funcional ( ) x I

i if x se dice que converge puntualmente para 0x x I ,

al límite 0( )f x , si dado 0, existe 0 M M de modo que

0 0 0 0( ), ( ) ( ) ( )i id f x f x Max f x f x con tal de tomar i M (2.7)

Si (2.7) se cumple para cada 0x I , se dice que la convergencia es uniforme hacia la

función límite ( )f f x

Sucesiones Funcionales de Cauchy

La sucesión funcional ( ) x I

i if x se dice que es de Cauchy si dado 0 arbitrario,

existe M natural tal que , , m nd f x f x x I , siempre que , .m n M

Definición

Un espacio funcional métrico es completo si toda sucesión de Cauchy en él es

convergente (podemos en particular considerar la convergencia uniforme)

Aplicaciones

En cursos de álgebra es frecuente trabajar con aplicaciones o transformaciones (en

particular lineales) definidas sobre elementos de espacios vectoriales (de dimensión

23

finita), por ejemplo la definida por las matrices reales cuadradas operando (mediante el

producto matricial) sobre los vectores de n . En Espacios Funcionales se definen

aplicaciones o transformaciones sobre los elementos (funciones) de tales Espacios. Si el

elemento resultante de transformar f , por efecto de aplicar la transformación o

aplicación L pertenece al mismo espacio en que esta f , se dice que la transformación

es cerrada.

Aplicaciones Contractivas

Consideremos dos elementos cualesquiera ( ), ( ), f f x g g x x I de un espacio

funcional genérico IC y una aplicación L cerrada en IC . Además IC está provisto de

una métrica d

Definición

Se dice que tal L es contractiva en IC si:

( ),( ( ) ,d L f L g a d f g , , 0 1x I a (2.8)

2.4 Resultado Local de Existencia y Unicidad de Solución

Teorema 1 (Local)(ver Kolmogorov & Fomin, 1972)

Sea el PVI de la forma expresada por (2.1) esto es

0 0

( , ) , ( , )

( )

dyf x y x y

dx

y x y

donde ( , )f f x y es continua definida en una región y satisface la condición de

Lipschitz (2.3) en , 0 0( , )x y .

Sea R el rectángulo tal que R definido por

0 0, ,R x y x x a y y b (2.9)

Entonces, existe una única solución del PVI (2.1) para 0x x h , con h dado por

min ,b

h aM

, donde M es una constante positiva tal que

,f x y M si ,x y R .

En la Fig. 3 siguiente se ilustra gráficamente lo establecido por el Teorema precedente

24

Fig. 3: Regiones Implicadas en el Teorema1

La curva gráfica de la solución única queda confinada en S∩R (curva integral).

El lector interesado puede intentar la demostración del Teorema 1 precedente haciendo

uso oportuno de lo visto en la sección 2.3, para probar que la ecuación integral dada por

(2.2) posee solución única.

Observación 2: Como se ve el resultado precedente solo asegura existencia y unicidad

de solución en un entorno I de 0x (resultado “local”) que podría ser muy pequeño o

no. Desde el punto de vista práctico interesa poder saber si dicho entorno se puede ir

extendiendo, esto es si se puede prolongar o extender la validez del resultado si fuera

posible hasta tocar el borde de . En tal sentido es oportuno tener presente el siguiente

resultado sobre

Prolongación de la Solución

Teorema 2

Sea el PVI (2.1) con acotada entonces el intervalo I de existencia y unicidad se

puede prolongar a izquierda y derecha hasta que la correspondiente “curva integral”

(gráfica de la solución única del PVI), toque la frontera o borde de .- (ver Roberts,

1980)

2.5 Lema de Gronwall

Sean ( ), ( ), ( )u u x v v x w w x funciones continuas no negativas en un intervalo I

del eje real .

Sea

0

( ) ( ) ( ) ( )x

xu x v x w t u t dt (2.10)

Entonces resulta la siguiente acotación para la función u :

25

0

( ) ( ) ( ) ( )exp ( )x x

x tu x v x w t v t w s ds dt

(2.11)

Prueba. Sea 0

( ) ( ) ( ) x

xV x w t u t dt

Entonces ( ) ( ) dV

w x u xdx

Para 0 ,x x de (2.10) se sigue que

( ) ( ) + V( ) u x v x x (2.12)

y ahora multiplicando (2.12) por ( )w x y restando ( ) ( )w x V x se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w( ) u x w x w x V x v x x

es decir

( ) V( ) ( ) v( )dV

w x x w x xdx

(2.13)

y multiplicando (2.13) por 0

exp ( )x

xw s dt se arriba a

0 0

( )exp ( ) ( ) ( )exp ( ) x x

x x

dV x w s dt w x v x w s dt

dx

en consecuencia

0 0 0

( )exp ( ) ( ) ( )exp ( ) x x x

x x xV x w s ds w t v t w s ds dt

Por consiguiente, para 0x x resulta

0 0

( ) ( ) ( )exp ( ) x x

x xV x w t v t w s ds dt

por lo que de (2.12) se obtiene

0

( ) ( ) + ( ) ( )exp ( ) x x

x tu x v x w t v t w s ds dt

que expresa parcialmente (para 0x x ) el resultado de acotación enunciado

Ejercicio 2

Para 0x x , proceder en forma análoga a lo hecho precedentemente con el fin de

completar la demostración del Lema de Gronwall, estableciendo la desigualdad

0

( ) ( ) + ( ) ( )exp ( ) x t

x xu x v x w t v t w s ds dt

26

2.6 Otros Resultados de Existencia y Unicidad de Solución

Teorema 3

Sea f continua y lipschitziana respecto de y en la faja W de 2 determinada como

2, x W a b (ver figura 4) sea 0 0,x y un punto de W. Entonces el PVI (2.1), posee

solución única en ,a b .

Es de destacar que f no necesariamente debe estar acotada en W .

Fig. 4:Región del Lipschitzianidad de f

Teorema 4

Sea f continua en la faja W de 2 definida por a x (un semiplano abierto a la

derecha de a ). Supongamos además de que f es lipschitziana respecto de y en toda

subfaja cerrada de W de la forma 1 2 a x x x ver figura 5. Entonces el PVI

0 0 0 0

( , )

( ) , ( , )

dyf x y

dx

y x y x y W

(2.14)

posee solución única en ( , )a

27

Fig. 5:Gráfica de la subfaja cerrada de W

Teorema 5

Sea ( , )f f x y definida y continuamente diferenciable en una región R abierta de 2

Entonces, cualquiera sea 0 0( , )x y R , el PVI

0 0

( , )

( )

dyf x y

dx

y x y

(2.15)

posee solución única definida en el intervalo 0 x x d con d de modo que, si

d , ó ( )y x se aproxima al borde o frontera de R o ( )y x se vuelve no acotada

conforme x d .

2.7 Blow–up (escape) de la solución para un valor finito de la variable

independiente.

Ejemplo 2

Sea el PVI

2 2

0 0

, ( , ) y

0 0,

dyy R x y k

dx

y y y k

2( , )f x y y es definida y de clase 1C en R , claramente Lipschitziana con por ejemplo

2L k (nótese que R es no acotada, ver figura 6).

28

Fig. 6: Gráfica de la región R

Por otro lado, se obtiene fácilmente que 0

0

( ) 1

yy x

y x

es solución del PVI propuesto,

y en consecuencia, se ve que tal solución escapa en el valor finito 0

1ex

y (ver figura

6).

Se verifica un comportamiento de la solución de acuerdo a lo previsto por el Teorema 5

precedente. Con relación a la cuestión de posibilidad de escape de la solución de un PVI

para un valor finito de la variable independiente, es oportuno establecer el siguiente

resultado:

Sea el PVI denotado como (2.15), con f Lipschitziana respecto de y en todo 2 y

además verifica ( ,0) 0 , f x x , entonces la solución de (2.15) no puede escapar

para ningún x finito.

En efecto:

Como ( , ( )) ( )f z y z L y z resulta inmediato que 0

0( ) ( )x

xy x y L y z dz y aplicando

el Lema de Gronwall a la última desigualdad se obtiene

00( )

( )L x x

y x y e

lo que concluye el resultado.

29

2.8 Dependencia continua de la solución del PVI (2.1) con el Dato inicial, el valor

inicial de la variable independiente, parámetros y con la función del segundo

miembro de la EDOPO

(a) Con el dato inicial 0y

Cambiamos el dato inicial 0y en (2.1) de modo que el nuevo punto inicial 0 0( , )x y sea

interior a la región de existencia y unicidad de solución para el PVI en cuestión.

En virtud de (2.2) podemos poner

00( ) ( , ( ))

x

xy x y f z y z dz

0x x

00( ) ( , ( ))

x

xy x y f z y z dz

En consecuencia:

00 0( ) ( ) ( , ( )) ( , ( ))

x

xy x y x y y f z y z f z y z dz (2.16)

Teniendo presente (2.3) de (2.16) se sigue

00 0( ) ( ) ( ) ( )

x

xy x y x y y L y z y z dz (2.17)

aplicando el Lema de Gronwall a (2.17) se concluye que:

0 00( )

( ) ( )L x x

y x y x y y e

(2.18)

lo que expresa la dependencia continua de la solución con el dato inicial .-

(b) Con el valor inicial 0x

Se mueve ahora 0x como nuevo punto inicial de la región de existencia y unicidad de la

solución. Análogamente que en (1) a) podemos poner

0

0 ( , ( ))x

xy x y f z y z dz

0x x d

00( ) ( , ( ))

x

xy x y f z y z dz

Entonces

0 0

( ) ( , ) ( , ( ))x x

x xy x y x f z y dz f z y z dz

30

Caso 0 0x x :

0

0 0 0

( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))x x x

x x xf z y z dz f z y z dz f z y z dz

Luego, de (2.18) se sigue que

0 0

0 0

( ) ( ) ( , ( )) ( , ( ) ( , ( )x x

x xy x y x f z y z dz f z y z f z y z dz

y usando la acotación y lipschitzianidad de f resulta:

0

00 0( ) ( ) ( ) ( )

x

xy x y x M x x L y z y z dz

aplicando el Lema de Gronwall a esta última desigualdad se concluye que

0 00( )

( ) ( )L x x

y x y x M x x e

(2.19)

lo que provee la dependencia continua de la solución con 0x , en el caso 0 0x x .

Ejercicio 3

Completar el resultado sobre dependencia continua con 0x , considerando 0 0x x .

En consecuencia, se obtiene la desigualdad

0

0 0

( ) ( )

L x xy x y x M x x e

(2.20)

(c) Con parámetros

Supongamos que la f en (2.1 )contiene, además, el parámetro p , esto es, se tendría el

PVI.

0 0

0 0

, , ,*

dyf x y p x y D

dx

y x y

Se destaca que, la respectiva constante de Lipschitz L no depende de p y, por otra

parte, que f es continua de p , para 0 1p p p .

Entonces, se tiene

Teorema6

La solución ,y x p de (*) depende en forma continua del parámetro p .

d) Con la función ( , )f f x y

Sea el PVI (2.1) con f que satisface las hipótesis ya explicitadas de modo que se puede

asegurar existencia y unicidad de solución en el intervalo 0:I x x x d . Sea

Q Q x tal solución única.

31

Sea ( , )g g x u continua en D . Supóngase que además 0 tal que

, ,f x y g x u para , ,x y x u D

Veremos que si 0 0 ( )x satisface el PVI:

0 0 0

( , )

( )

dug x u

dx

u x u y

(2.21)

para , , 0x I x ( )x D

Entonces, para x I se tiene

0 ( ) ( ) . , x Q X d x I (2.22)

En efecto en virtud de (2.2) se puede poner

0

0 ( , ( ))x

xy x y f z y z dz

0

0 ( , ( ))x

xu x y g z u z dz

es decir

00

0

( , ( ))

( , 0

x

xQ x y f z Q z dz

Q x y g z

0

( ))

0

x

xz dz

Q x

0

( ) ( , ( ))x

xx f z Q z dz

usando ahora la suposición sobre la proximidad entre f y g se sigue que

( ) 0Q x 0

0 0( ) ( ) .x

xx dz x x x x d

que es el resultado anunciado

Observación3

Si al puesto de (2.21) se considera

1 0 0 1 0

( , )

( ) ,

dug x u

dx

u x u y x x

(2.23)

con 1x I ( 1 x interior), 1 0( , )x u D , es posible resumir en una sola desigualdad los

resultados precedentes sobre dependencia de la solución del PVI (2.1) con 0x , 0y y con

f . En tal sentido se plantea el siguiente ejercicio:

32

Ejercicio 4

Bajo las hipótesis oportunamente establecidas, obtener la siguiente desigualdad

0

0 0 1 00

( ) ( ) 1L x x

x Q x u y N x x d e

donde , ( )N Max g x u x 0 1sobre , intervalo de extremos y , con J x x x J .

Ejercicio 5

Considérese el siguiente PVI:

0

0 0 0 ,

( ) , ,

( ) , ( , ), b c

duP x y p p cte b x C

dx

y x y x b c P C

Analizar el comportamiento de la solución de tal PVI:

(i) A la luz de lo establecido por el Teorema 6

(ii) Resolviendo el PVI.

2.9 Resultados de comparación de soluciones

Lema 1

Sea ( )u u x una función diferenciable que satisface la desigualdad:

( ), du

k u x a x bdx

siendo k una constante. Entonces

( )( ) ( ) , ,k x au x u a e x a b

Prueba: Multiplicando ambos miembros de la desigualdad dada por ( )k x ae , se puede

expresar

( ) ( ) 0k x k xdu dk u x e u x e

dx dx

En consecuencia debe ser

( ) ( )k x k au x e u a e

que es el resultado anunciado

33

Teorema 7

Sea ( , )F F x y Lipschitziana para 0x x Si la función u satisface la desigualdad

diferencial

, ( ) , du

F x u x x adx

y si ( )v v x es una solución del PVI

0 0 0

, ( )

( ) ( )

dvF x v x

dx

v x v u x

Entonces se tiene

0,u x v x x x

Prueba: Supongamos que 1 1u x v x para algún 1x en el intervalo considerado.

Denotemos con x al mayor x en el intervalo 0 1x x x tal que ( )u x v x .

Entonces debe ser u x v x

Sea ahora ( ) ( )w x u x definida como ( ) ( ) ( )w x u x v x siendo en consecuencia

( ) 0w x para 1x x x

y también

'( ) '( ) '( ) ( , ( ) ( , ( ) ( ) ( ) ( )w x u x v x F x u x F x v x L u x v x Lw x

En dicho intervalo. [L es la constante de Lipschitz de F].

Luego, la función w satisface

1( ), dw

Lw x x x xdx

y consecuentemente, a tal función, cabe aplicarle el resultado del Lema 1 precedente lo

que da

( ) 0

L x xw x w x e

es decir

10 ( ) 0 w x x x x

lo que esta en contradicción con lo supuesto 1 0w x y entonces se debe tener

0, u x v x x x que es el resultado anunciado

34

Teorema 8

Sean ( ), ( )u u x v v x soluciones de los PVI:

0 0

0 0 0 0 0

( , ), ( , ), y

( ) ( )

du dvf x u x x a g x u x x a

dx dx

u x u v x v u

donde f y /o g se suponen lipschitzianas en la banda 0x x a . Además

, ,f x u g x v en 0x x a ; entonces se tiene

0( ) ,0u x v x x x

Prueba: supongamos que g es Lipschitz. Dado que ( , ), ( , )du

f x u g x udx

, las

funciones u y v satisfacen las condiciones del Teorema 7 precedente. En consecuencia,

la desigualdad (comparación)

0( ) ( ) u x v x x x

se concluye inmediatamente. Si se supiera que f es Lipschitz se arriba también al

resultado.

2.10 PVI Autónomo para una EDOPO. Análisis Cualitativo

Se entiende por tal a un caso especial del PVI (2.1) cuando la función f no depende

explícitamente de la variable x . Para tal PVI denotaremos con t a la variable

independiente en atención al hecho de que una gran cantidad de problemas de

aplicaciones en interés tienen al tiempo como variable (problemas dinámicos).

Entonces, un PVI autónomo se formula de la siguiente manera:

0

0 0

( ),

( )

dyF y t t

dt

y t y

(2.24)

donde, sin perder generalidad, 0t se puede considerar como cero.

Más allá de los resultados comentados hasta ahora para el PVI (2.24), se estima

oportuno analizar la resolución del mismo.

Cuestión nº 1: Dado el PVI:

(0) 0

dyy

dt

y

se puede rápidamente obtener que las funciones ( ) 0y t e 21

4y t satisfacen tal PVI.

35

Comentar la razón de la falta de unicidad de solución.

Ejercicio 6

Considérese el siguiente PVI:

21 ( + + ), 0

(0) 0

dyp y ay by c t

dt

y

donde se imponen, a priori, las siguientes restricciones

(i) 0, 0, 0, 0p a b c

(ii) 2 14 , , b ac c b a p

a b c

(iii) 1 0y

Entonces, analizar el comportamiento de la solución del PVI dado. Exhibir gráficamente

el comportamiento de F vs y y de la solución y vs t en el contexto del resultado

establecido por el siguiente Teorema (ver Villa, 1996)

Análisis Cualitativo

Teorema 9

Sea F en (2.24) una función diferenciable con ceros simples. Entonces tal PVI posee

una única solución. Además:

(i) si 0 0,F y la solución tiende al mayor cero de F , el cual es menor que

0y , cuando t .

(ii) Si 0 0,F y la solución tiende al menor cero de F , el cual es mayor que

0y , cuando t .

(iii) Si 0 0,F y la solución es 0 0y y t t (solución estacionaria)

Observación 4

Como podrá apreciarse, oportunamente al analizarse problemas de aplicación, con

bastante frecuencia es posible obtener un panorama amplio sobre el comportamiento de

la solución de (2.24) basándose en lo establecido por el Teorema precedente.

En la elaboración del presenta capítulo también se ha consultado obras de los autores

Hurewicz, 1958;Kolmogorov, & Fomin 1972 y Roberts,1980.

36

Referencias

[1] Birkhoff, G. & Rotta, G. C. (1969) Ordinary Differential Equations. Edit. Blaisdell

Publishing Company

[2] Hurewicz, W. (1958) Lectures on Ordinary Differential Equations. Edit. The M.I.T.

[3] Kolmogorov,A.N. &FominS. V. (1972) Elementos de la Teoría de Funciones y del

Análisis Funcional. Edit MIR.

[4] Roberts, E. CH. (1980) Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Un enfoque al cálculo

numérico).Edit. Dossat. S.A.

[5] Villa, L.T. (1996). Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden.

Problemas de valores iniciales y de contorno.