cap 1 logica.pdf

Moiss Villena Muoz Lgica Matemtica

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1.1 PROPOSICIONES 1.2 OPERADORES LGICOS 1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES 1.4 FORMAS PROPOSICIONALES

1.5 BICONDICIONAL. EQUIVALENCIAS LGICAS 1.6 ALGEBRA DE PROPOSICIONES 1.7 RAZONAMIENTOS

Cotidianamente tratamos de pensar y actuar inteligentemente. Nuestras acciones estn dirigidas a que sean o parezcan coherentes. Pero para situaciones formales un tanto complicadas, nuestros argumentos elementales no nos ayudan a resolverlas. Es aqu donde entra la necesidad de considerar mecanismos abstractos para el anlisis formal. La lgica matemtica nos permite hacer estos anlisis, haciendo que todas las verdades de la razn sean reducidas a una especie de clculo.

Con la lgica matemtica podemos precisar la equivalencia entre expresiones abstractas, podemos analizar la validez de argumentos o razonamientos, podemos realizar demostraciones formales,...


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1.1 PROPOSICIONES

OBJETIVOS:

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:

Defina proposicin.

Conozca la notacin para proposiciones.

Reconozca proposiciones.

D ejemplos de proposiciones.

D ejemplos de enunciados que no sean proposiciones.

La Lgica Matemtica, hace uso exclusivo de expresiones que manifiestan o una verdad o una falsedad. A estas expresiones se las

llaman PROPOSICIONES.

Entonces:

PROPOSICIONES son afirmaciones a las que

se les puede asignar o bien un valor de

verdad de VERDADERO o bien un valor de

verdad de FALSO.

Ejemplos

1. "Hoy es Lunes" (suponga que efectivamente estamos en el da lunes de la semana, entonces esta expresin ser una afirmacin VERDADERA).

2. "Estoy en la clase de matemticas" (suponga que la persona que emite esta afirmacin, efectivamente est presenciando la clase de matemticas; en este caso esta expresin ser una

afirmacin tambin VERDADERA).

3. "Estoy en Espaa" (suponga ahora que la persona que emite sta frase se encuentra en Ecuador y no en Espaa, entonces esta afirmacin ser una proposicin FALSA).

Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos o mandatos; no son consideradas como proposiciones por la Lgica

Matemtica.

Ejemplos:

1.Ojal Llueva! 2.Hiciste el deber de Matemticas? 3.Sintate y estate quieto.

1.1.1 NOTACIN

De aqu en adelante adoptaremos los siguientes smbolos para el VALOR DE VERDAD de una proposicin:

VERDADE 1


3

RO

FALSO 0

Los SMBOLOS que se adoptan para las proposiciones suelen ser las PRIMERAS LETRAS DEL ABECEDARIO en minscula.

Ejercicio Propuesto 1.1

Indique cules de los siguientes enunciados son proposiciones y cules no?: a) Esta fruta est verde.

b) Ests contenta? c) Sintate y estate quieto d) 3 +7= 10 e) El ratn trep a la mesa.

f) Maana se acabar el mundo. g) Ramn Ramrez debe pagar sus deudas a menos que quiera ir a la crcel. h) Es feo Juan? i) La edad del universo es de unos 15 mil millones de aos.

j) Mrchate!

Ahora bien en nuestro lenguaje comn usamos frecuentemente proposiciones ms extensas como:

No hice el deber de Matemticas. Estoy en Ecuador y estoy feliz. Estudio juego ftbol. Si estudio entonces sacar buena calificacin en el examen.

Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estas proposiciones, los llamados Conectores u Operadores lgicos.

1.2 OPERADORES (CONECTORES) LGICOS

OBJETIVOS:


Conozca la notacin para los operadores lgicos.

Deduzca, con ejemplos, la esencia de los operadores lgicos y la tabla de verdad para

las operaciones lgicas.

Analice e interprete las condiciones suficientes y las condiciones necesarias en una condicional.

Comprenda e interprete la recproca, la inversa y la contrarecproca de una condicional.

Traduzca del lenguaje comn al lenguaje formal

1.2.1 NEGACIN

La negacin se presenta con los trminos:

El SMBOLO LGICO que se emplea para traducirla es:

No

No es verdad que

No es cierto que


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Aunque tambin se suele emplear: ~

Analicemos lo siguiente.

Ejemplos

1. SUPONGA QUE ESTAMOS EN EL DA LUNES DE LA SEMANA, entonces al decir:

a : "Hoy es Lunes" (ser una proposicin VERDADERA).

a : "Hoy no es Lunes " (en cambio esta proposicin ser FALSA).

2. SUPONGA QUE NO EST LLOVIENDO, entonces al decir:

a : "Est lloviendo" (ser una proposicin FALSA)

a : "No est lloviendo" (en cambio esta proposicin ser VERDADERA)

Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique

todas estas posibilidades formamos la llamada TABLA DE VERDAD.

Que para la negacin sera:

a a

1

0

0

1

Observe que:

El operador NEGACIN CAMBIA EL VALOR DE

VERDAD de una proposicin.

1.2.2 CONJUNCIN

Este operador lo tenemos cuando enlazamos proposiciones con el

trmino y

En lenguaje formal se lo traduce con el SMBOLO: Ejemplo

CONSIDEREMOS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:

a : "Tengo una moneda de 50 centavos en el bolsillo"

b : "Tengo una moneda de 25 centavos en el bolsillo" LA CONJUNCIN DE LAS DOS PROPOSICIONES SERA:

ba : "Tengo una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo"

Entonces al suponer que:

1. En verdad se tiene las dos monedas ( 1;1 ba ) entonces decir "Tengo una moneda de 50 y una de

25 centavos en el bolsillo", ser una VERDAD.

2. Si se tiene la moneda de 50 centavos y no la de 25 centavos ( 0;1 ba ), la proposicin "Tengo una

moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo", ser FALSA.


5

3. Si no se tiene la moneda de 50 centavos y si la de 25 centavos ( 1;0 ba ), la proposicin "Tengo

una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo", ser tambin FALSA.

4. Si no se tienen las dos monedas ( 0;0 ba ), la proposicin "Tengo una moneda de 50 y una de 25

centavos en el bolsillo", tambin ser FALSA.

Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la conjuncin sera:

a b ba

1 1 0

0

1 0

1 0

1 0

0

0

Observe que:

La CONJUNCIN de dos proposiciones es

VERDADERA siempre y cuando ambas

proposiciones sean verdaderas.

1.2.3 DISYUNCIN INCLUSIVA

La disyuncin inclusiva aparece cuando enlazamos proposiciones

con el trmino: O

Se lo traduce con el SMBOLO LGICO: Ejemplo

Considerando las mismas proposiciones anteriores:

a : "Tengo una moneda de 50 centavos en el bolsillo"

b : "Tengo una moneda de 25 centavos en el bolsillo"

LA DISYUNCION DE LAS DOS PROPOSICIONES SERA:

ba : "Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo"

Entonces al suponer que:

1. En verdad se tenga las dos monedas ( 1;1 ba )entonces decir "Tengo una moneda de 50 o una

de 25 centavos en el bolsillo", ser una VERDAD.

2. Si se tiene la moneda de 50 centavos y no la de 25 centavos ( 0;1 ba ), la proposicin "Tengo una

moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo", ser tambin una VERDAD.

3. Si no se tiene la moneda de 50 centavos y si la de 25 centavos ( 1;0 ba ), la proposicin "Tengo

una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo", ser tambin una VERDAD.

4. Si no se tienen las dos monedas ( 0;0 ba ), la proposicin "Tengo una moneda de 50 o una de 25

centavos en el bolsillo", ser una FALSEDAD.


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Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la disyuncin inclusiva

sera:

a b ba

1 1 0

0

1 0

1 0

1 1

1 0

Note que:

La DISYUNCIN INCLUSIVA de dos

proposiciones es FALSA siempre y cuando

ambas proposiciones sean falsas.

1.2.4 DISYUNCIN EXCLUSIVA

Seguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite, lo uno lo otro pero no ambas cosas.

Ejemplos

1."Daniel est en Espaa o Italia" 2."Jessica tiene una altura de 1.70 m. o 1.65 m." 3."El motivo del crimen fue o bien el robo o bien la venganza"

Estos ejemplos se los puede interpretar como:

"Daniel est en Espaa o est en Italia, pero no puede estar en ambos lugares a la vez" "Jessica tiene una altura de 1.70 m. o una altura de 1.65 m., pero no puede tener ambas

estaturas a la vez" "El motivo del crimen fue slo el robo o slo la venganza"

En el ltimo ejemplo, con el trmino "slo" desechamos la idea de

que el motivo del crimen sea el robo y la venganza a la vez.

Entonces el trmino en lenguaje comn sera: "". Como tambin el trmino "o bieno bien..".

EL SMBOLO LGICO que se emplea para traducirla es: . Aunque

tambin se emplea el smbolo

Sin embargo, la disyuncin exclusiva se la traduce en trmino de

la disyuncin inclusiva de la forma: baba

LA TABLA DE VERDAD para la disyuncin exclusiva sera:

a b ba


7

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

Por lo tanto, se podra decir que:

La DISYUNCIN EXCLUSIVA de dos

proposiciones es FALSA siempre y cuando

ambas proposiciones sean falsas y tambin

cuando ambas sean verdaderas.

1.2.5 ENUNCIACIN HIPOTTICA

Este es el conector lgico ms importante. Llamado tambin condicional o implicacin.

Aparece cuando enlazamos dos proposiciones a y b de la forma:

"Si a entonces b " ,

Se traduce con el SMBOLO LGICO: ba

En este caso a la proposicin " a " se la llama:

y a la proposicin "b " se la llama:

Existen OTROS LENGUAJES RELACIONADOS con la enunciacin hipottica. Estos son:

" a implica b "

"Basta a para que

b "

"a slo si b "

"a solamente si b "

"b si a "

"b cada vez que a "

"b siempre que a

"

Antecedente Hiptesis

Premisa

Consecuente Tesis

Conclusin.


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"b puesto que a "

"b ya que a "

"b cuando a "

"b debido a que a "

"b porque a " Ejemplo

Supngase que un padre le dice a su hijo: "Si apruebas el preuniversitario entonces te regalar un carro".

Bien, ahora piense que:

1. Efectivamente el hijo aprueba el preuniversitario, y que el padre le regala el carro. Entonces el padre ha dicho una VERDAD.

2. Si el hijo aprueba el preuniversitario y el padre no le regala el carro. Entonces el padre ha dicho una MENTIRA (FALSEDAD).

3. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y sin embargo el padre le regala el carro, aunque no est obligado a hacerlo. Entonces el padre NO ha dicho una MENTIRA.

4. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y el padre no le regala el carro. El padre tampoco ha dicho una MENTIRA.

Entonces, LA TABLA DE VERDAD para la enunciacin hipottica sera:

a b ba

1

1 0

0

1

0 1

0

1

0 1

1

Por lo tanto, se podra decir que:

La ENUNCIACIN HIPOTTICA es FALSA slo

cuando el antecedente es verdadero y el

consecuente falso.

Vale la pena recalcar que, no es necesario que exista relacin

causal entre la proposicin "a " y la proposicin "b ". El valor de verdad

de la nueva proposicin depende de los valores de verdad de cada una de las proposiciones.

1.2.5.1 Condiciones necesarias y suficientes


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En ocasiones, una enunciacin hipottica verdadera, en donde

existe relacin causal entre el antecedente a y el consecuente b , se

interpreta como:

"a es condicin suficiente para b "

"b es condicin necesaria para a "

Lo cual nos indica otras dos formas de lenguaje relacionado para la enunciacin hipottica.

Ejemplo

"Si un nmero es divisible para 4 entonces es divisible para 2" Este enunciado puede ser interpretado, parafrasendolo de la siguiente manera: "Es SUFICIENTE que un nmero sea divisible para 4 para que sea divisible para 2" O tambin:

"Es NECESARIO que un nmero sea divisible para 2, para que sea divisible para 4" (tambin: "si un nmero es divisible para 4, necesariamente ser divisible para 2")

Es importante mencionar que si se intercambia el antecedente

con el consecuente la enunciacin hipottica cambia.

Ejemplo

Considerando el ejemplo anterior, al enunciar la proposicin de la siguiente forma: " Si un nmero es divisible para 2 entonces es divisible para 4" es FALSA; porque es indudable que existen nmeros divisibles para 2 que no son divisibles para 4 (6 por ejemplo).

El enunciado anterior tambin puede ser parafraseado de las siguientes formas:

" La divisibilidad para 4 implica la divisibilidad para 2 "

" Un nmero es divisible para 4 slo si es divisible 2"

" Basta que un nmero sea divisible para 4 para que sea divisible para 2".

" Un nmero es divisible para 2 siempre que sea divisible para 4"

" Un nmero es divisible para 2 si es divisible para 4"

" Un nmero es divisible para 2 puesto que es divisible para 4"

" Un nmero es divisible para 2 ya que es divisible para 4"

" Un nmero es divisible para 2 cada vez que sea divisible para 4"

" Un nmero es divisible para 2 cuando es divisible para 4"

" Un nmero es divisible para 2 debido a que es divisible para 4"

" Un nmero es divisible para 2 porque es divisible para 4"

1.2.5.2 VARIACIONES DE LA CONDICIONAL

Para la implicacin ba se define:

LA RECPROCA:: ab

LA INVERSA:: ba


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LA CONTRARRECPROCA::

ab

Ejemplo

Sea la proposicin: Ir el sbado, si me pagan

Primero identifiquemos el antecedente a : Me pagan

y el consecuente b : ir el sbado Luego tenemos:

Si me pagan, entonces ir el sbado De aqu:

RECPROCA: Si voy el sbado, entonces me pagan INVERSA: Si no me pagan, entonces no ir el sbado CONTRARRECPROCA: Si no voy el sbado, entonces no me pagan

Ejercicios Propuestos 1.2

1. En las siguientes proposiciones, identifique el ANTECEDENTE y el CONSECUENTE. a) Si no se ama a primera vista, no se ama como es debido. b) Para ser secretaria se necesita ensear la rodilla. c) El que roba un dolar, roba un milln. d) Pienso, luego existo.

e) Quien siembre vientos, cosecha tempestades. f) Para que un polgono sea rectngulo, es suficiente que sea cuadrado. g) No somos dbiles si hacemos uso apropiado de los medios que el Dios de la Naturaleza ha puesto bajo

nuestro dominio.

h) Tendrs xito solamente si aprecias la opinin de los dems. i) nicamente mediante el error autntico y el trabajo espontneo y creativo puede el ser humano superar

su angustia y soledad.

2. Considerando las proposiciones: a : Yo termin mi deber antes de comer.

b : Yo juego tenis por la tarde.

c : Hoy hace sol.

d : Hoy hay poca humedad.

Escribir en LENGUAJE SIMBLICO :

a) Es necesario que termine de hacer mi deber antes de comer y que haya poca humedad para que si hace sol yo juegue tenis por la tarde.

b) Para m es suficiente que no haya sol y haya poca humedad para que no salga a jugar tenis por la tarde.

3. Sean las proposiciones:

a : Te gustan las matemticas

b : Te gusta este deber

TRADUZCA las siguientes proposiciones al lenguaje comn:

a) ba

b) ba

c) ab

d) baa 4. Dada la proposicin:

"Si un tringulo est circunscrito en un semicrculo, entonces es rectngulo" Escriba la recproca, la inversa y la contrarrecproca.

1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES

OBJETIVOS:


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Defina proposiciones atmicas y moleculares.

Establezca el valor de verdad de una proposicin molecular.

Las PROPOSICIONES MOLECULARES son

expresiones que estn compuestas por varias

proposiciones conectadas por operadores

lgicos. A las proposiciones simples, en las que

no aparecen operadores lgicos, se las

denominan PROPOSICIONES ATMICAS.

Ejemplo

bacba

Las proposiciones atmicas para este ejemplo seran a , b y c .

El valor de verdad de la proposicin molecular depende del valor de verdad de las proposiciones atmicas que la componen.

Suponga que: 1a ; 0b y 1c , entonces la proposicin

molecular anterior es VERDADERA, porque:

1

0

01

0

0

1

1

01

bacba

.


Bajo la suposicin de que los valores de verdad de las proposiciones atmicas a , b , c , d , e , y f son respectivamente 0,0,1,1,0,1; determinar el VALOR DE VERDAD de cada una de las proposiciones

moleculares siguientes:

1. cabba

2. bafdedcaba

3. fafdedcaba

1.4 FORMAS PROPOSICIONALES

OBJETIVOS:


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Defina formas proposicionales.

Defina tautologas, falacias y contradicciones.

Aplique la definicin de tautologa y la de falacia para clasificar formas proposicionales dadas.

Defina formas equivalentes

Determine si formas proposicionales dadas son equivalentes o no

Una FORMA PROPOSICIONAL es una

expresin constituida por smbolos que

representan o conectores lgicos o variables

proposicionales.

Ejemplo

qprqp

Donde rqp ,, son VARIABLES PROPOSICIONALES, que pueden

representar proposiciones atmicas o proposiciones moleculares.

Si reemplazamos a p , q y r por proposiciones falsas y

verdaderas los resultados son proposiciones moleculares.

El nmero de proposiciones moleculares que se generan es igual

a n2 , donde n es el nmero de variables proposicionales.

Para el ejemplo anterior, como la forma proposicional tiene 3

variables proposicionales, entonces hay 823 proposiciones

moleculares, cuyos valores de verdad se muestran en la siguiente tabla:

p q r qp r rqp qp qprqp 1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

Observe que con tres variables, para no repetir casos, las dos ltimas variables q y r mantienen las cuatros combinaciones bsicas


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(ambas verdaderas, una de ellas verdadera mientras la otra falsa y

ambas falsas) y la primera variable p es verdadera. Luego, lo mismo

para las dos ltimas variables, pero con la primera falsa.

Si hubiesen 4 variables proposicionales, se hacen las ocho combinaciones anteriores con las ltimas tres variables y la primera

variable verdadera; luego, lo mismo que lo anterior pero con la primera

falsa, es decir:

p

q r s

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Para ms variables repetir el proceso de forma anloga.

Existen formas proposicionales muy singulares y que van a ser de mucho inters para nuestras necesidades.

TAUTOLOGA: Forma proposicional cuya

estructura lgica da lugar a proposiciones

VERDADERAS para todos los casos de valores de

verdad de las variables proposicionales que las

componen.

Cuando una forma proposicional NO ES TAUTOLGICA se la llama FALACIA.

CONTRADICCION: Forma proposicional cuya

estructura lgica da lugar a proposiciones


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FALSAS, sin importar el valor de verdad de sus

variables.

Ejemplo

Al observar la tabla de verdad de la forma proposicional

qpqp

p q p qp qp qpqp

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Notamos que el valor de verdad de las proposiciones que se generan es siempre verdadero, sim importar el

valor de verdad de las variables proposicionales intervinientes. Por tanto es una TAUTOLOGA.

Si al menos, fuese falsa en un caso, entonces sera una FALACIA.

1.4.1 IMPLICACIONES LGICAS

Sean A y B dos formas proposicionales.

Decimos que A implica lgicamente a B si y

slo s BA es una tautologa.

En este caso se escribe BA .

Algunas implicaciones lgicas tpicas son:

qpp Adicin pqp Simplificacin

qqpp Modus Ponens pqqp Modus Tollens qpqp Silogismo Disyuntivo

qpqp rprqqp Silogismo Hipottico rqrpqp rqrpqp rprqqp sqrpsrqp sqrpsrqp

Dilemas constructivos

rpsqsrqp rpsqsrqp

Dilemas constructivos


1. DEMUESTRE las Implicaciones Lgicas anteriores.


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2. Escriba la TABLA DE VERDAD de las siguientes formas proposicionales:

a) )( ppp

b) )()( qpqp

c) qqpqp ))()((

d) ))(()( qppqp

3. Cul de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLGICA?

a) pqp )(

b) pqpp ))((

c) )()( qpqp

d) qqpp ))((

e) )()( qpqp

4. Una de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLGICA, identifquela.

a) qqpp b) ppqp c) qqpp d) rpqprq e) pqqp

5. Sean rqp ,, variables proposicionales, entonces la forma proposicional que NO ES TAUTOLGICA es:

a) pqqp b) pqqp c) rqrprqp d) rprqqp e) rqprqrp

6. La expresin B para que la forma proposicional: Bqqqpp NO SEA TAUTOLGICA es:

a) qp b) qp

c) q

d) p

e) p

7. HALLAR el operador para que la forma proposicional sea tautolgica:

rqsqsrqp

1.5 BICONDICIONAL

Un nuevo operador lgico es la doble implicacin, llamado

tambin BICONDICIONAL.

El smbolo empleado es: . Que enlazando dos proposiciones sera ba . Que significa abba y se lee a s y slo s b .

Su tabla de verdad sera:

a b ba

1 1 1


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1

0

0

0

1

0

0

0

1

Observamos que:

La BICONDICIONAL es VERDADERA cuando

ambas proposiciones son verdaderas o ambas

falsas, es decir cuando tienen el mismo valor

de verdad. Caso contrario es falsa.

1.5.1 EQUIVALENCIAS LGICAS

Sean A y B dos formas proposicionales.

Decimos que A es LGICAMENTE

EQUIVALENTE a B si y slo s BA es una

tautologa.

En este caso se escribe BA . Como tambin BA

Analicemos la tabla de verdad de las siguientes dos formas proposicionales: qp y qp

p q A

qp

p Bqp

BAqpqp

ABqpqp

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

En ambos sentidos la implicacin con estas dos formas proposicionales es tautolgica, lo cual quiere decir que son formas

Lgicamente Equivalentes. Es decir, qp qp

Como conclusin se puede decir que:


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Dos formas proposicionales son LGICAMENTE

EQUIVALENTES si tienen el MISMO VALOR

DE VERDAD bajo iguales condiciones de valores

de verdad de las variables intervinientes.

Aqu se puede observar la importancia de la lgica de smbolos.

Es muy difcil precisar con nuestros sentidos que la expresin Si estudio entonces aprender es Lgicamente Equivalente a No estudio o aprendo.

Ejemplo

Al decir: Una matriz tiene inversa, si y slo si su determinante es diferente de cero.

Se deber entender que es equivalente que una matriz A tenga inversa a que su determinante sea diferente de cero.

Ahora analicemos estas otras dos formas proposicionales qp

y pq

p q p q qp pq

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

Por lo tanto, qp es Lgicamente Equivalente a su

contrarrecproca pq


Investigue si las siguientes EQUIVALENCIAS SON CORRECTAS O NO:

a) rqprqp b) rqprqp c) rqprqp d) rqprqp e) rqprqp f) rqprqp

1.6 ALGEBRA DE PROPOSICIONES

OBJETIVOS:


Traduzca del lenguaje comn al lenguaje formal.

Aplique lEquivalencias Lgicas para encontrar traducciones equivalentes.


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Clasificando algunas Equivalencias Lgicas, resulta:

CONJUNCIN DISYUNCIN

pqqp Conmutativa pqqp rqprqp Asociativa rqprqp

ppp Idempotencia ppp pp 1 Identidad pp 0 00 p Absorcin 11 p

LEYES DISTRIBUTIVAS NEGACIN

rpqprqp rpqprqp

10 01

pp doble negacin OTRAS:

qpqp

qpqp Leyes de De Morgan

1 pp Ley del tercer excludo 0 pp Ley de la contradiccin pqqp Contrapositiva o Contrarrecproca qpqp Implicacin qpqp qpqp rqprqrp rqprpqp rqprqp Ley de exportacin 0 qpqp Reduccin al absurdo pqqpqp Equivalencia pqqp

No olvide demostrarlas.

Una utilidad de las Equivalencias Lgicas la observamos a

continuacin.

Ejemplo 1

La TRADUCCIN al lenguaje formal de la siguiente proposicin: Si t eres inteligente y no actas con prudencia, eres un ignorante en la

materia Siendo: :m t eres inteligente

:n t actas con prudencia :p t eres un ignorante en la materia

Es: SOLUCIN:

La traduccin sera: pnm . Pero tiene apariencia diferente a las opciones de respuestas, entonces empleando el lgebra de

proposiciones obtenemos: pnm pnm

pnm pnm


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a) pnm b) nmp

c) pnm

d) npm

e) pnm

Ejemplo 2

Dada la proposicin molecular: Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga, entonces no voy a la Politcnica, y las proposiciones atmicas:

a : Hoy es jueves. b : Tengo que dar un examen.

c : Hay huelga. d : Me voy a la Politcnica.

Entonces la TRADUCCIN al lenguaje formal de la proposicin molecular es:

a) dcba b) bacd c) dcba d) dcba e) badc

SOLUCIN:

Analicemos este otro tipo de ejercicio.

Ejemplo 3

Si la proposicin: srpsrqp es VERDADERA, entonces es VERDAD que:

a) 0 qp b) 1 sq c) 0 qsr d) 1q e) 1 rp

Traduciendo tenemos dcba , por la contrarecproca cdba entonces cdba que es lo mismo que bacd

RESPUESTA: Opcin "b".


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SOLUCIN: Debemos ir analizando desde la proposicin molecular hasta llegar a las proposiciones atmicas.

[

1

0

0

10

0

1

1

01

srqp ] [

1

1

1

1

01

srp ] 1

Del anlisis se concluye que:

0

0

1

1

q

r

s

p

Ahora que hemos encontrado los valores de verdad de cada una de las proposiciones, , podemos analizar una a una las opciones proporcionadas:

a) 101 qp mas no 0 como se indica

b) 010 sq mas no 1 como se indica

c) 001010 qsr tal como se indica y por tanto esta sera la respuesta.


1. Seleccione la TRADUCCIN correcta de la siguiente afirmacin: Si retiro el dinero del banco, compro un carro o una casa

Considerando las proposiciones atmicas : :p Retiro el dinero del banco

:q Compro un carro

:r Compro una casa

a) rqp b) rqp c) rqp d) rqp e) rqp

2. La TRADUCCIN al lenguaje formal de la proposicin : "Si me voy a casa, me voy de compras y si no me voy a casa, entonces voy al cine" siendo las proposiciones atmicas:

a : Me voy a casa b : Me voy de compras c : Voy al cine

es:

a) )()( caba c) )()( caba

b) )()( caba d) )()( acab e) )()( acab

3. La TRADUCCIN al lenguaje formal de la proposicin: "Si se es estudioso o dedicado, entonces se

aprueba el Prepolitcnico". Siendo las proposiciones atmicas:

a : Se es estudioso.

b : Se es dedicado.

c : Se aprueba el Prepolitcnico.

es: a) cba b) cbca c) bca d) cba e) cba

4. Dada la proposicin: "Si hay huelgas y paro de transportistas, entonces las prdidas sern cuantiosas"

Entonces es EQUIVALENTE a la siguiente proposicin:


21

a) Si no hay prdidas cuantiosas entonces no hay huelgas o no hay paro de transportistas.

b) Si no hay prdidas cuantiosas entonces no hay huelgas y si hay paro de transportistas. c) Si no hay prdidas cuantiosas entonces hay huelgas y no hay paro de transportistas. d) Si no hay huelgas ni paro de transportistas entonces no hay prdidas cuantiosas. e) Si no hay huelgas entonces no hay paro de transportistas ni prdidas cuantiosas.

5. La proposicin: )()( acba es EQUIVALENTE a:

a) cba )( b) )( cba

c) )( cba d) cba )( e) acba ))((

6. La forma proposicional: pqqpqqppqp es EQUIVALENTE a: a) pq b) p c) q

d) Elija esta opcin si la forma proposicional es siempre falsa.

e) Elija esta opcin si la forma proposicional es siempre verdadera. 7. Sea la proposicin: El autobs llega tarde, siempre que el conductor se haya desviado. Suponiendo

que la proposicin es verdadera. Entonces una proposicin EQUIVALENTE a la anterior, es:

a) Que el autobs llegue tarde es una condicin suficiente para que el conductor se haya desviado. b) Una condicin suficiente para que el autobs llegue tarde es que el conductor se haya desviado. c) Una condicin necesaria para que el autobs llegue tarde es que el conductor se haya desviado. d) Si el autobs llega tarde, el conductor se ha desviado.

e) El autobs no llega tarde o el conductor se ha desviado. 8. La CONTRARRECPROCA de la proposicin:

Si EL NIO es un fenmeno o un desastre natural, entonces no es una simple lluvia o un mal pasajero es: a) Si EL NIO es una simple lluvia y no un mal pasajero, no es un fenmeno ni un desastre natural. b) EL NIO no es un fenmeno ni un desastre natural, porque es un mal pasajero y no una simple lluvia. c) EL NIO es un fenmeno, desastre natural, simple lluvia y un mal pasajero.

d) EL NIO no es un fenmeno ni desastre natural, si es una simple lluvia y un mal pasajero. e) EL NIO no es una simple lluvia o un mal pasajero solo si no es un fenmeno.

8. Si se da la proposicin:

"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no dar un mal examen o mis padres estarn contentos

Entonces su proposicin CONTRARRECPROCA es: a) Si no doy un mal examen y mis padres no estn contentos, no he estudiado ni me he preparado lo

suficiente. b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no dar un mal examen y mis padres estarn

contentos. c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarn contentos y

dar un mal examen. d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres estn

contentos. e) No dar un mal examen o mis padres estarn contentos slo si he estudiado mucho.

10. Dadas las proposiciones atmicas: :p Me estoy baando. :q Me voy a una fiesta.

:r Quiero dormir. :s Estoy cansado. Entonces, la CONTRARRECPROCA de la proposicin sqrp es: a) Si me estoy baando y no quiero dormir, entonces, me voy a una fiesta y no estoy cansado. b) No es verdad que me voy a una fiesta y estoy cansado y no me estoy baando o quiero dormir.

c) Si no me voy a una fiesta y estoy cansado, entonces no me estoy baando o quiero dormir. d) Si no me estoy baando o quiero dormir, entonces me voy a una fiesta o estoy cansado. e) Si me voy a una fiesta o no estoy cansado, entonces me estoy baando y no quiero dormir.

11. Si la proposicin: eddba es FALSA, entonces es VERDAD que: a) 0 ab b) 0 de c) 0 ad d) 0 ba e) 0 ae

12. Si la proposicin qrqp es FALSA, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifquela:

a) 0 qrqp b) 0 qprq c) 1 qrpr d) 1 rqrp


22

e) 0 prqr

13. Si la proposicin qrrqp es FALSA, entonces es VERDAD que: a) El valor de verdad de p es verdadero.

b) El valor de verdad de q es verdadero.

c) El valor de verdad de p es falso.

d) El valor de verdad de r es falso. e) El valor de verdad de p no puede ser definido.

1.7. RAZONAMIENTOS OBJETIVOS:


Defiina razonamiento. Defina razonamiento vlido. Determine la validez de un razonamiento suponiendo que ste es falso. Infiriera una conclusin vlida para un razonamiento, dadas las hiptesis. Justifique la validez de un razonamiento. Replantee un razonamiento cambiando la conclusin para que sea vlido en el caso de que no lo sea.

Bien ya podemos dedicarnos a una estructura lgica muy

importante, que es el objetivo que nos habamos propuesto.

El tipo de razonamiento que vamos a considerar estar

constituido por una enunciacin hipottica que tiene como antecedente una conjuncin de hiptesis o premisas. Es decir, su estructura lgica

ser de la forma:

CONCLUSIN

PRINCIPALOPERADOR

HIPOTESISOPREMISAS

n CHHHH 321

Estamos interesados en saber si un razonamiento es vlido o no,

es decir si la conclusin es lgicamente inferida de las hiptesis.

1.7.1. VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO

Un razonamiento es VLIDO cuando la forma

proposicional que se obtiene de la proposicin

molecular que lo define, es TAUTOLGICA. Es

decir una Implicacin Lgica.

Como la estructura lgica de los razonamientos presenta la forma

CH , entonces podemos dedicarnos a determinar si se produce el

siguiente caso 1H y 0C que es el nico caso cuando la implicacin

sera falsa, entonces no sera una tautologa y por tanto el razonamiento

no es vlido.


23

Ejemplo 1

Determine si el siguiente razonamiento es vlido o no: "Si soy estudioso , aprobar el curso ; si soy bailarn, no aprobar el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso y bailarn al mismo tiempo"

SOLUCIN: Considerando las proposiciones atmicas:

:a Soy estudioso

:b Aprobar el curso.

:c Soy bailarn.

El razonamiento se traduce al lenguaje formal por la proposicin molecular:

cabcba .

Entonces la forma proposicional correspondiente sera rpqrqp Que debera ser tautolgica para que el razonamiento sea vlido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitar tal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.

0

0

1

11

1

?1

1

11

rpqrqp

Para que la enunciacin hipottica sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mientras que el

consecuente es falso, para lo cual 0 rp entonces 1 rp ; esto significa que 1p y 1r . Ahora examinando el antecedente, observamos que para que la primera hiptesis sea verdadera se

requiera que 1q , pero la segunda hiptesis se hace falsa porque 0q . Esto nos hace pensar que no

va a existir por lo menos una proposicin falsa, por lo tanto el razonamiento es VALIDO.

Ejemplo 2

Dadas las siguientes hiptesis:

1H : La Lgica es difcil o no les gusta a muchos estudiantes.

2H : Si la Matemtica es fcil, entonces la Lgica no es difcil.

Entonces una CONCLUSIN VLIDA es: a) La Lgica es difcil. b) La Matemtica es fcil. c) Si la Matemtica no es fcil, a muchos estudiantes no les gusta la lgica. d) Si a muchos estudiantes les gusta la lgica, la Matemtica no es fcil. e) La Matemtica no es fcil o la lgica es difcil.

SOLUCIN:

Definamos las proposiciones: :a La lgica es difcil.

:b La lgica les gusta a muchos estudiantes.

:c La Matemtica es fcil.

Entonces la traduccin de las hiptesis dadas seran: baH :1

acH :2

Cada opcin dada sera una posible conclusin, analicemos con cada una:

a) [(

1

1

00

qp ) (

1

1

01

pr )] 0

p No vlido


24

b) (

0

1

1

0

10

1

1

01

rprqp

) No vlido

c) [(

1

0

11

qp ) (

1

0

10

pr )] [

0

1

1

0

qr ] No vlido

d) [(

1

0

11

qp ) (

0

0

11

pr )] [

0

0

11

rq ] VLIDO (Respuesta)

e) [(

1

1

00

qp ) (

1

1

01

pr )] [

0

0

0

1

pr ] No vlido


1. Con las proposiciones: m : Yo gano las elecciones.

n : Guayaquil tiene autobuses articulados

p : Ustedes tienen transporte.

Se construye los siguientes razonamientos. Determine cual de ellos NO es vlido.

a) pmpnnm b) nppnnm c) nmnm d) nmnm e) mppnnm

2. Dadas las siguientes premisas: 1H : Si veo mucha TV, entonces no tengo que estudiar.

2H : Veo mucha TV.

considerando las proposiciones: p : Veo mucha TV y q : Tengo tiempo para estudiar.

Entonces una conclusin para un RAZONAMIENTO VLIDO es: a) p

b) q

c) qp

d) qp

e) qp

3. Dado el razonamiento CPPPP 4321 ; donde: 1P : Si estudio, aprender.

2P : Si aprendo, aprobar el curso.

3P : O practico tenis o no practico tenis.

4P : No apruebo el curso.

Entonces una conclusin C que hace el RAZONAMIENTO VLIDO es:

a) Estudio b) No estudio c) Apruebo el curso d) Aprendo e) N.A. 4. Analice la VALIDEZ de los siguientes razonamientos:


25

a) Si t muestras la verdad, revelars lo ridculo de las pretensiones del hombre. Si el hombre es

prepotente, es porque no se ha revelado lo ridculo de sus pretensiones. El hombre es prepotente. Por consiguiente, t no muestras la verdad.

b) Si Genaro tom el tren especial, entonces estuvo en el accidente, y si estuvo en el accidente, entonces no asisti a la reunin. Genaro tom el tren especial o no asisti a la reunin. Luego, Genaro estuvo en

el accidente. c) O Caldern tiene enemigos en la administracin o, si excede su cuota, recibir un ascenso. Caldern no

recibir un ascenso. Luego, Caldern tiene enemigos en la administracin o no exceder su cuota. d) Si pago al sastre no me quedar dinero. Solamente puedo llevar a mi novia al baile si tengo dinero. Si

no la llevo al baile, se sentir desdichada. Pero si le pago al sastre, no me entregar el traje, y sin el traje no puedo llevar a mi novia al baile. O le pago al sastre o no le pago. Luego, mi novia tendr que sentirse desdichada.

5. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:

1H : Si el freno falla o el camino est helado, entonces el coche no parar

2H : Si el coche se revis, entonces no falla el freno.

3H : Pero el coche no se revis.

Una conclusin que lo hace VLIDO es:

a) El coche no parar. b) El freno falla y el camino no est helado. c) Si no falla el freno y el camino no est helado, el coche parar. d) El coche no parar o el camino no est helado.

e) Ninguna de las conclusiones es vlida. 6. Considere las siguientes hiptesis:

1H : El Banco del Progreso cerr sus puertas y sus clientes recuperarn su dinero.

2H : Si los clientes del Banco del Progreso recuperarn su dinero entonces no existe intranquilidad.

3H : El Banco del Progreso no cerr sus puertas o no existe intranquilidad.

Entonces una CONCLUSIN VLIDA para un razonamiento, es: a) Si no existe intranquilidad entonces los clientes del Banco del Progreso no recuperarn su dinero. b) El Banco del Progreso no cerr sus puertas. c) No existe intranquilidad y los clientes del Banco del Progreso recuperarn su dinero.

d) Ni el Banco del Progreso cerr sus puertas, ni sus clientes recuperarn su dinero. e) Ninguna de las conclusiones anteriores es vlida.

7. Considere las siguientes hiptesis:

1H : Ecuador adopt el sistema de sistema de dolarizacin y pretende mejorar su economa.

2H : Si Ecuador pretende mejorar su economa entonces no habr descontento social.

3H : Ecuador no adopt el sistema de dolarizacin o no habr descontento social

Entonces, una CONCLUSION VALIDA para un razonamiento es: a) No habr descontento social y Ecuador pretende mejorar su Economa. b) Ni Ecuador adopt el sistema de dolarizacin, ni pretende mejorar su Economa.

c) Ecuador no adopt el sistema de dolarizacin. d) Si no hay descontento social entonces Ecuador no pretende mejorar su Economa. e) Ninguna de las conclusiones anteriores es vlida.

Miscelneos

1. Si la forma proposicional qrrqp es FALSA, entonces es VERDAD que: a) p es verdadera.

b) p es falsa y r es verdadera.

c) r es falsa. d) El valor de verdad de p no puede ser definido.

e) q es verdadera.

2. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifquela.

a) rqp rqp b) rqp rqp c) rqp rqp d) qp qp e). pq qp

3. Sean las proposiciones:

:p Todos los alumnos cumplen con sus obligaciones.


26

:q Todos los alumnos aprueban el examen.

:r El profesor recompensa a los alumnos con una semana de vacaciones.

Entonces la TRADUCCIN al lenguaje simblico de la proposicin: Si todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el examen, el profesor los recompensar con una semana de vacaciones; pero, si algn alumno resultara reprobado, el profesor no adoptar esa medida;

es:

a) rqrrq b) rqrpq c) rqprq d) rqpqr e) qrrqp

4. La NEGACIN de la proposicin: qp es:

a) qp

b) pq

c) qp

d) qp

e) qp

5. La TRADUCCIN al lenguaje formal de la proposicin: Si resuelvo bien el examen y no est difcil,

mis padres me felicitarn. Siendo las proposiciones:

a: Yo resuelvo bien el examen. b: El examen est difcil. c: Mis padres me felicitarn.

Es:

a) cba b) ca c) cba d) cba e) cba

6. La proposicin:

Junior es dbil, siempre que no coma pescado es EQUIVALENTE a: a) Junior es fuerte o come pescado. b) Junior es dbil y come pescado. c) Junior es dbil cuando come pescado.

d) Junior es fuerte o no come pescado. e) Junior es dbil o come pescado.

7. La CONTRARRECPROCA de la proposicin:

Si estudio y apruebo el Prepolitcnico, entonces estar alegre, es: a) Si estoy alegre, entonces estudi y aprob el Prepolitcnico. b) Estudio y estoy alegre, entonces aprobar el Prepolitcnico. c) Si no estoy alegre, entonces no estudi o no aprob el Prepolitcnico.

d) Apruebo el Prepolitcnico y estoy alegre, porque estudi. e) Si no he estudiado, entonces no aprobar el Prepolitcnico.

8. Considerando la forma proposicional srqp . Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifquela.

a) La recproca es qpsr . b) La contrarrecproca es qpsr . c) La inversa es srqp . d) La inversa es equivalente a srqp . e) La forma proposicional dada es equivalente a srqp .

9. Una de las siguientes proposiciones NO ES TAUTOLGICA, identifquela.

a) rprqqp b) rqrpqp c) prqprq d) pqqp e) qrrqp


27

10. Considerando las siguientes proposiciones:

:p Daniel es feliz

:q Daniel estudia todos los das.

:r Daniel aprueba el prepolitcnico

Entonces la TRADUCCIN al lenguaje formal de: Daniel es feliz slo si estudia todos los das y aprueba el prepolitcnico Es:

a) qpr b) prq c) prq d) prq e) rqp

11. La siguiente proposicin: La empresa no hace publicidad y no cambia su produccin siempre que la

demanda aumente es EQUIVALENTE a: a) Si la empresa no hace publicidad y no cambia su produccin, entonces la demanda aumenta. b) Si la empresa hace publicidad o cambia su produccin, entonces la demanda no aumenta. c) Si la demanda no aumenta, entonces la empresa hace publicidad y cambia su produccin. d) La empresa hace publicidad y cambia su produccin, o la demanda aumenta.

e) La empresa hace publicidad o, si cambia su produccin entonces la demanda no aumenta. 12. Dadas las siguientes premisas:

:1P Si se paga el rescate, entonces los tcnicos petroleros aparecern vivos y retornarn a sus pases

de origen.

:2P Si la polica interviene, entonces los tcnicos petroleros no retornarn a sus pases de origen.

:3P Se paga el rescate.

Entonces una CONCLUSIN VLIDA para un razonamiento es: a) Los tcnicos petroleros no aparecen vivos.

b) No se paga el rescate. c) Si los tcnicos petroleros no retornan a sus pases de origen, entonces la polica interviene. d) La polica interviene. e) Los tcnicos petroleros no retornan a sus pases de origen.

13. Dadas las proposiciones atmicas:

:p Voy a rendir el examen.

:q Me presento al examen.

:r Reprobar.

La TRADUCCIN al lenguaje formal de la proposicin "Voy a rendir el examen porque si no me presento al examen entonces reprobar"

es:

a) prq b) prq c) rqp d) qpr e) qpr

14. Dada la proposicin: "Juan asiste a clases de Matemticas siempre y cuando no tenga otras ocupaciones" Entonces, su proposicin CONTRARECPROCA es: a) Si Juan asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.

b) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces asiste a clases. c) Si Juan no asiste a clases, entonces tiene otras ocupaciones. d) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces no asiste a clases. e) Si Juan no asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.

15. Dadas las siguientes premisas:

:1H Si estudio mucha Lgica, entonces no reprobar el curso.

:2H Estudio mucha Lgica.

Entonces, la CONCLUSIN para un razonamiento vlido, es: a) No estudio mucha Lgica. b) Reprobar el curso. c) Estudio mucha Lgica no reprobar el curso.

d) No estudio mucha lgica y estudio mucha Lgica. e) No estudio mucha Lgica reprobar el curso.


28

16. Si la forma proposicional tsprqp es FALSA. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifquela.

a) 01 p b) 1 ts c) 0 pr d) 1 stp e) 1 ts

17. Considere las proposiciones:

a: La dolarizacin es un proceso adecuado para el pas. b: El pas debe salir de la crisis econmica.

c: Las personas mantienen una mentalidad positiva. La TRADUCCION al lenguaje formal de la siguiente proposicin: "La dolarizacin es un proceso adecuado para el pas si las personas mantienen una mentalidad

positiva, pero si las personas no mantienen una mentalidad positiva, el pas no sale de la crisis

econmica." Es:

a) baac b) caac c) bca d) bcac e) cba

18. Considere la proposicin molecular:

" Es suficiente que Lul no quiera a Andrs para que si Lul termina con Juan entonces a ella no le gustan los hombres feos". Entonces una proposicin EQUIVALENTE es: a) Es necesario que Lul termine con Juan o que le gusten los hombres feos para que no quiera a Andrs.

b) Lul quiere a Andrs pero no es verdad que termin con Juan o le gusten los hombres feos. c) Es suficiente que Lul termine con Juan y le gusten los hombres feos para que quiera a Andrs. d) Es suficiente que a Lul le gusten los hombres feos para que termine con Juan y quiera a Andrs. e) Es necesario que Lul termine con Juan para que a Lul le gusten los hombres feos y quiera a Andrs.

19. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:

H1:La dolarizacin es difcil o no les gusta a muchas personas. H2:Si las medidas econmicas son viables, entonces la dolarizacin no es difcil.

Una CONCLUSION que lo hace vlido, es: a) La dolarizacin es difcil. b) Las medidas econmicas son viables. c) Si las medidas econmicas no son viables, a muchas personas no les gusta la dolarizacin.

d) Si a muchas personas les gusta la dolarizacin, las medidas econmicas no son viables. e) Las medidas econmicas no son viables o la dolarizacin es difcil.

20. Si se da la proposicin:

"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no dar un mal examen o mis padres estarn contentos

Entonces su proposicin CONTRARECIPROCA es: a) Si no doy un mal examen y mis padres no estn contentos, no he estudiado ni me he preparado lo

suficiente. b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no dar un mal examen y mis padres estarn

contentos. c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarn contentos y

dar un mal examen. d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres estn

contentos. e) No dar un mal examen o mis padres estarn contentos slo si he estudiado mucho.

cap 1 logica.pdf

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