Canal Binario

Simtrico

Capacidad de Canal

En Ingeniera Electrnica y Teora de la Informacin, la capacidad de un canal de comunicacin es la cantidad mxima de informacin que puede transportar dicho canal de forma fiable, es decir, con una probabilidad de error tan pequea como se quiera. Normalmente se expresa en bits/s (bps).

Definicin Matemtica

Existen dos definiciones equivalentes entre s del concepto de capacidad de un canal, una es para canales de tiempo continuo y la otra es para canales de tiempo discreto.

Definicin para canales discretos

Al igual que todos los tipos de comunicacin,

mantener un dilogo con otro sistema necesita un medio fsico para transmitir los datos. En el caso de la Arquitectura de Redes, a ese medio se le denomina canal.

* Comunicacin en un Canal

Definicin para canales discretos

La X representa el espacio entre las seales

que puede ser transmitidas y la Y el espacio de seales recibidas, durante un bloque de tiempo sobre el canal.

Definicin para canales continuos

La definicin de capacidad para canales

continuos es un poco diferente y exige utilizar el Teorema del muestreo y algunos otros conceptos de teora de la seal, adems de los conceptos puramente estadsticos.

Tipos de canales

Canal binario simtrico

Un Canal Binario Simtrico (en ingls Binary Symmetric Channel, BSC en adelante) es un canal tpico de comunicaciones usado habitalmente en la teora de cdigos y teora de la informacin. En este modelo, el transmisor enva un bit (que puede tomar valor cero o uno), y el receptor lo recibe. Este bit se recibir correctamente en la mayora de los casos, pero existe una probabilidad (probabilidad de error) de que se transmita incorrectamente. La importancia de este canal reside en ser uno de los ms simples de analizar, es por ello por lo que es utilizado frecuentemente en la teora de la informacin.

Canal binario simtrico

Canal binario simtrico

Para el caso del canal binario simtrico con probabilidad de error de bit p, su capacidad viene dada por:

La funcin

es una funcin que aparece mucho en teora de la informacin. Se trata de una funcin cncava (y por tanto cumple la desigualdad de Jensen) y alcanza su mximo, igual a 1, cuando p = 0.5, por otro lado, cuando p = 0 o p = 1 vale 0.

Canal binario simtrico

Un canal binario simtrico con probabilidad p de fallo es un canal con una entrada binaria y una salida (tambin binaria), definida con una probabilidad de error p. Esto viene a significar, que si una variable aleatoria X se transmite, y se recibe la variable aleatoria Y, entonces el canal viene determinado por las siguientes probabilidad condicionada

Canal binario simtrico

Pr( Y = 0 | X = 0) = 1-p

Pr( Y = 0 | X = 1) = p

Pr( Y = 1 | X = 0 ) = p

Pr( Y = 1 | X = 1 ) = 1-p

Canal binario simtrico

Donde 0 p 1/2. Si p>1/2 entonces el receptor obtendra los bits contrarios (interpretar un 1 cuando se recibe un 0, y viceversa), obtenindose un canal equivalente con probabilidad de fallo 1-p 1/2.

La capacidad de canal es 1- H(p), donde H(p) es la funcin de entropa.

Canal binario simtrico

Entropa de la informacin en un ensayo de Bernoulli X (experimento aleatorio en que X puede tomar los valores 0 o 1). La entropa depende de la probabilidad P (X=1) de que X tome el valor 1. Cuando P (X=1)=0.5, todos los resultados posibles son igualmente probables, por lo que el resultado es poco predecible y la entropa es mxima.

Canal binario simtrico

Ejemplo:

Canal binario simtrico, la probabilidad de error de bit es p.

Canal binario simtrico

La capacidad C de este canal es cero cuando p = 0.5, esto tiene sentido ya que en este caso el canal confunde los ceros y los unos con igual probabilidad lo que significa que es un canal inservible para enviar informacin, su capacidad es nula.

Note que si un canal tuviese probabilidad de error de bit p = 1 eso no significa que sea un canal malo, todo lo contrario. Bastara con invertir los bits antes de enviarlos para tener un canal ideal (con probabilidad p = 0).

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=0 1-P =

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=0 1-1 = 0 0

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=1 1-P = 0

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=1 1-0 = 1 10

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=1 1-P = 10

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=1 1-0 = 1 110

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=0 1-P = 110

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Se quieren enviar los siguiente 4 bits de manera que la informacin que envi el emisor sea la misma que llegue hacia el receptor.

0110

x=0 1-1 = 0 0110

En este caso se utilizara la formula (1-P) siendo que cuando X=0 P=1 y X=1 P=0

Ejemplo

Como se puede observar los bits X que son los bits enviados llegaron como bits Y idnticos mediante el mtodo de canal binario simtrico.

X=0110

Y=0110