Sistema Binario

Introducción

El sistema de numeración binario y los códigos digitales son fundamentales en las computadoras y, en general, en la electrónica digital.

●Esta unidad está enfocada principalmente al sistema de numeración binario y sus relaciones con otros sistemas de numeración tales como el decimal, hexadecimal y octal.

●Se cubren las operaciones aritméticas con números binarios con el fin de proporcionar una base para entender cómo trabajan las computadoras y muchos otros tipos de sistemas digitales.

●También se abordan códigos digitales como el código decimal binario (BCD, Binary Code Decimal), el código Gray y el ASCII.

●Se presenta el método de paridad para la detección de errores en los códigos y se describe un método para corregir dichos errores.

Números Binarios

●El sistema de numeración binario es simplemente otra forma de representar magnitudes.

●El sistema binario es menos complicado que el decimal ya que solo tiene dos dígitos. Al principio puede parecer complicado por no ser familiar.

●El sistema decimal con sus diez dígitos es un sistema en base diez, el sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos.

●Los dos dígitos binarios (bits) son 1 y 0. La posición de un 1 o un 0 indica su peso o valor en un número de la misma manera que en el sistema decimal.

Números Binarios

●Para los sistemas digitales, se utiliza el sistema de numeración binario. El sistema binario tiene un radix de 2 y utiliza los dígitos 0 y 1 para representar cantidades.

●Los pesos de columna para números binarios son potencias de 2 que aumentan de derecha a izquierda empezando por 20 =1.

…25 24 23 22 21 20.

●Para números binarios fraccionales, los pesos de las columnas son potencias negativas de 2 que disminuyen de izquierda a derecha.

22 21 20. 2-1 2-2 2-3 2-4 …

Números Binarios● A la derecha se muestra una secuencia de conteo

binario para los números decimales de 0 a 15.

● Observe los patrones de ceros y unos de cada columna.

● Los Contadores Digitales tienen comúnmente el

mismo patrón de dígitos.

Conversión Binaria a Decimal

●El equivalente decimal de un número binario se puede determinar sumando los valores de las columnas de todos los bits que son 1 y descartando todos los bits que son 0.

Convertir el número binario 100101.01 a decimal.

Comience por escribir la columna de pesos; luego sumar los pesos que corresponden a cada 1 en el número.

25 24 23 22 21 20. 2-1 2-2

32 16 8 4 2 1 . ½ ¼

1 0 0 1 0 1. 0 1

32 +4 +1 +¼ = 37¼

Conversión Decimal a Binario

●En la diapositiva anterior vimos cómo convertir un número binario en el número decimal equivalente. Ahora vamos a aprender dos métodos para convertir un número decimal en un número binario.

1.Método de la suma de pesos: Se puede convertir un número entero decimal en uno binario revirtiendo el procedimiento. Para ello:

Escribir el peso decimal de cada columna y poner 1’s en las columnas que suman el número decimal.

Convertir el número decimal 49 a binario.

Poner 1s en las posiciones de pesos adecuadas de tal manera que la suma corresponda al número decimal.

26 25 24 23 22 21 20.

64 32 16 8 4 2 1.

0 1 1 0 0 0 1.

Aritmética Binaria

●La aritmética binaria es esencial en todas las computadoras digitales y en muchos otros tipos de sistemas digitales.

●Para entender los sistemas digitales, debe conocer los principios básicos de la suma, resta, multiplicación y división binarias. En lo sucesivo se introducen estos temas.

Suma Binaria

●Las reglas básicas para la suma binaria son:

0 + 0 = 0 Suma = 0, acarreo = 0

0 + 1 = 1 Suma = 1, acarreo = 0

1 + 0 = 1 Suma = 1, acarreo = 0

1 + 1 = 10 Suma = 0, acarreo = 1

●Cuando hay un acarreo de entrada = 1 debido a un resultado previo, las reglas son:

1 + 0 + 0 = 01 Suma = 1, acarreo = 0

1 + 0 + 1 = 10 Suma = 0, acarreo = 1

1 + 1 + 0 = 10 Suma = 0, acarreo = 1

1 + 1 + 1 = 11 Suma = 1, acarreo = 1

Resta Binaria

●Las reglas básicas para la resta binaria son:

0 - 0 = 0

1 - 1 = 0

1 - 0 = 1

10 - 1 = 1 con un adeudo de 1

Multiplicación Binaria

●Las reglas básicas para la multiplicación binaria son:

0 0 = 0

0 1 = 0

1 0 = 0

1 1 = 1

●La multiplicación con números binarios se realiza de la misma forma que con números decimales. Se realizan los productos parciales, desplazando cada producto parcial sucesivo una posición a la izquierda, y sumando luego todos los productos parciales.

División Binaria●Estudiar del libro base …

Complemento a 1y2 Binarios

●El complemento a 1 y el complemento a 2 de un número binario son importantes porque permiten la representación de números negativos.

●La aritmética en complemento a 2 se usa comúnmente en las computadoras para manipular números negativos.

Complemento a 1

● El complemento a 1 de un número binario es solo la inversión de los

dígitos. Para formar el complemento a 1, cambiar todos los 0’s a 1’s y

todos los 1’s a 0’s.

Por ejemplo, el complemento a 1 de 11001010 es

00110101

1 1 0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 1 0 1

● En circuitos digitales, el complemento a 1 se forma utilizando inversores:

Complemento a 2● El complemento a 2 de un número binario se obtiene sumando 1 al LSB del

complemento a 1.

Recordamos que el complemento a 1 de 11001010 es

00110101 (complemento a 1)

Para formar el complemento a 2, sumar 1: + 1

00110110 (complemento a 2)

Números con Signo

●Los sistemas digitales, tales como las computadoras, deben ser capaces de manejar números positivos y negativos.

●Un número binario con signo queda determinado por su magnitud y su signo. El signo indica si un número es positivo o negativo, y la magnitud el valor del número.

●Existen tres formatos binarios para representar los números enteros con signo: signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2.

●Los números no enteros y muy grandes o muy pequeños pueden expresarse en formato de coma flotante.

Bit y Formato de SignoBIT DE SIGNO

●El bit más a la izquierda de un número binario con signo es el bit de signo, que indica si el número es positivo o negativo. “Un bit se signo 0 indica que es un número positivo y un bit de signo igual a 1 indica que es un número negativo”.

FORMATO SIGNO Y MAGNITUD

●Cuando un número binario con signo se representa en este formato, el bit más a la izquierda es el bit de signo y los restantes bits son de magnitud.

Formato de Complemento a 1

●Los números positivos en formato de complemento a 1 se representan igual que los números positivos del formato signo-magnitud. Sin embargo, los números negativos son el complemento a 1 del correspondiente número positivo.

Por ejemplo, con ocho bits, el número decimal -25 se expresa como el complemento a 1 de +25 (00011001) como 11100110.

“En formato complemento a 1, un número negativo es el complemento a 1 del correspondiente número positivo”

Formato de Complemento a 2

●Los números positivos en formato de complemento a 2 se representan igual que los números positivos del formato signo-magnitud y complemento a 1. Sin embargo, los números negativos son el complemento a 2 del correspondiente número positivo.

Por ejemplo, con ocho bits, el número decimal -25 se expresa como el complemento a 2 de +25 (00011001) como 11100111.

“En formato complemento a 2, un número negativo es el complemento a 2 del correspondiente número positivo”

Código Decimal Binario (BCD)

●El código decimal binario (BCD) es un código ponderado que se utiliza

comúnmente en sistemas digitales cuando se necesita mostrar números

decimales tal como un display de reloj.

●La tabla ilustra la diferencia entre binario directo y BCD. BCD

representa cada dígito decimal con un código de 4-bit. Observe

que los códigos desde el 1010 al 1111 no se utilizan en BCD

, es decir, son códigos no válidos.

Código BCD

●Aquí se muestra un experimento de laboratorio en el cual el código BCD se convierte a decimal.

Conversión Decimal a BCD

●Para expresar cualquier número decimal en BCD, simplemente reemplazar cada dígito decimal por el apropiado código de 4 bits.

Conversión de BCD a Decimal

●Para expresar cualquier número BCD en decimal, simplemente se comienza por el bit más a la derecha y se divide el código en grupos de a cuatro. Luego, se escribe el dígito decimal representado por cada grupo.

Suma en BCD

●BCD es un código numérico y puede utilizarse en operaciones aritméticas.

●Veremos sólo la suma en BCD ya que las otras tres operaciones pueden llevarse a cabo utilizando la suma. Los pasos son los siguientes:

1.Paso 1. Sumar los dos números BCD utilizando las reglas de la suma binaria vistas en las clases anteriores.

2.Paso 2. Si una suma de 4 bits es igual o menor que 9, es un número BCD válido.

3.Paso 3. Si una suma de 4 bits es mayor que 9, o si genera un acarreo en el grupo de 4 bits, el resultado no es válido. En este caso, se suma 6 (0110) al grupo de 4 bits para saltar así los seis estados no válidos y pasar al código BCD. Si se genera un acarreo al sumar 6, este se suma al grupo de 4 bits siguientes.

Código Gray●El código Gray es un código sin ponderación que cambia

sólo un bit entre una palabra de código y la siguiente en

una secuencia.

●El código Gray se utiliza para evitar problemas en

sistemas donde un error puede ocurrir si más de un

bit cambia en una transición en secuencia.

Bibliografía

Libro base: “Fundamentos de Sistemas Digitales”. Autor: Tomas L. Floyd.

Libro complemento: “Principios de Diseño Digital”. Autor: Daniel D. Gaski.