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CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN IMÁN CILÍNDRICO CON IMANACIÓN UNIFORME

Antonio J. BarberoDpto. Física Aplicada UCLM

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1. Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado, de radio R y altura L, cuya imanación uniforme es .. Representar gráficamente.zuMM

0

'z

zuMM

0

L

R

(0,0,z)

'dz

X

Y

Z

ru

zu u

ru

zu

u

rs uMJ

rz uuM 0 uM

0

2/322

02

0

)'(2

'

Rzz

udzMRBd z

zuRz

IRB

2/322

20

2

El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m)

sJ

Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético.

22)'( Rzz

El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es

Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME

L

z

Rzz

udzMRBdB

0

2/3 22

02

0

)'(2

'

zuRLz

Lz

Rz

zM

222200

)(2

22222

0

2/3 22

1

)'(

'

RLz

Lz

Rz

z

RRzz

dzL

3

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Continuación)

Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L

222200

)(2 RLz

Lz

Rz

zMB

2222

00

1

1

2

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (

un

ida

de

s 0M

0)

z/L

1L

R

5.0L

R

2L

R

10L

R

El origen z/L = 0 es el polo sur. El imán es la zona gris 0 < z/L < 1.

2. Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado uniformemente, de radio R y altura L, usando el concepto de cargas magnéticas y densidad de polo magnético para determinar el potencial escalar magnético y a partir de ahí el campo B (similitud con el caso electrostático). Considere como dato el momento magnético del imán m (A·m2), siendo la imanación uniforme M0 (A/m) igual al momento magnético por unidad de volumen.

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)

m

L

R2

L

ZuMM

0

A·m L

mp

p magnético Polo

p magnético Polo

Sustituimos el imán por dos polos magnéticos, uno en la cara norte (+) y otro en la cara sur (-), cada uno de ellos con el signo correspondiente y de valor

Estos polos magnéticos aportan sobre cada una de las superficies superior e inferior una “densidad superficial de polo” (positiva y negativa, respectivamente) análoga a la densidad superficial de carga en electrostática. Su valor absoluto es el cociente entre el polo p y el área circular de radio R.

A/m 2R

p

Observación: el polo magnético p, definido como el cociente m/L, donde m es el momento magnético del imán, es una magnitud escalar, y representa el análogo de la carga eléctrica en electrostática.

Las densidades superficiales de polo (análogas a las distribuciones superficiales de carga en electrostática) se pueden considerar como origen de un potencial magnético escalar que puede calcularse, análogamente al potencial electrostático, teniendo en cuenta la simetría circular de las densidades de polo alrededor del eje Z. Así puede determinarse el potencial escalar magnético en cualquier punto del eje sumando las contribuciones de ambos polos, y una vez conocido éste, el campo B se calcula como el menos gradiente de ese potencial magnético (persistimos en la analogía electrostática).

55

d

z a

dr

dS

Rr

rd

ddrrdS

dV

a

ddrrkdV

a

dSk

22

rz

ddrrk

A/m

Punto P, potencial escalar

magnético a calcular

22 rz

zRzkV 22 2

CAMPO MAGNÉTICO B EN EL EJE DEL DISCO CON DENSIDAD DE POLO UNIFORME s

Relación entre campo B y potencial escalar magnético (en el eje solo depende de z)

VB ZuzRz

zk

2 22

ZuRzz

zkB

11

222

ZuRz

zzkB

2

22

Zu

Consideraremos que un polo magnético está compuesto por gran número de trapecios circulares de área dS, cada uno de los cuales contiene una fracción de polo ·dS, la cual contribuye al potencial escalar magnético con dV.

A·m L

mp A/m

2R

p

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)

Polo magnético Densidad de polo

2

0 0

22

2

0 0

22

d

rz

drrk

rz

ddrrkV

RR

2

0

0 22 drzk

R

(k es aquí la constante magnética)

Análogamente al caso electrostático:

6

A·m L

mp A/m

2R

p

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)

Polo magnético Densidad de polo

L

p magnético Polo

p magnético Polo

z

ZuRzz

zkB

11

222

Campo B creado por

un polo a la distancia z

Campo B creado por el polo (-) a la distancia z

ZuRzz

zkB

11

222

Tomamos como origen el polo (-) situado a la distancia z

Cálculo del campo B en el punto P: suma de las contribuciones de ambos polos magnéticos

P

Campo B creado por el polo (+) a la distancia z-L

Zu

RLzLzLzkB

11 2

22

ZuRz

zk

1 2

22

ZuRLz

LzkB

1 2

22

Zu

RLz

Lz

Rz

zkBBB

2

2222

ZuRLz

Lz

Rz

zMB

2

2222

00

LR

m

V

mM

20

m

Relación entre la imanación, el momento magnético y la densidad superficial de polo

24 2 2 00

00 M

Mk

LR

m

R

p22

La densidad superficial de polo es igual a la componente de la imanación normal a la superficie. En la parte lateral del

imán es nula por ser nula dicha componente normal.

Suma de ambos:

7

Partiendo del resultado anterior para el campo B, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L (imanación constante e igual a . Representar gráficamente para R/L = 0.25zuMM

0

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME

zuRLz

Lz

Rz

zMB

2222

00

)(2

zu

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

1

1

2 2222

00

MH

B

0

MB

H

0

1

1

1

2

1

22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

uM z

Dentro del imán 0 z/L 1

Fuera del imán

0B

H

zu

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

1

1

2 2222

0

-0.50 -0.30 -0.10 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30 1.50

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6 H

B

Lz /

25.0/ LR

Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

0 unidades M