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1CLCULO DEL CAMPO MAGNTICO EN EL EJE DE UN IMN CILNDRICO CON IMANACIN UNIFORMEAntonio J. BarberoDpto. Fsica Aplicada UCLM1. Cilindro con imanacin uniforme (clculo de B, ley de Biot y Savart)2. Cilindro con imanacin uniforme (clculo de B, potencial escalar magntico)3. Cilindro con imanacin uniforme (clculo de H)4. Arandela con imanacin uniforme (clculo de B, ley de Biot y Savart)21. Determinar el campo magntico en el eje de un cilindro recto imanado, de radio R y altura L, cuya imanacin uniforme es .. Representar grficamente.

(0,0,z)

XYZ

El cilindro imanado se comporta como una lmina cilndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo mdulo es M0 (A/m)

Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magntico.

El campo magntico de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje esAnlogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz esCILINDRO CON IMANACIN UNIFORME

3CILINDRO CON IMANACIN UNIFORME (Continuacin)Representacin grfica del mdulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L

El origen z/L = 0 es el polo sur. El imn es la zona gris 0 < z/L < 1. 2. Determinar el campo magntico en el eje de un cilindro recto imanado uniformemente, de radio R y altura L, usando el concepto de cargas magnticas y densidad de polo magntico para determinar el potencial escalar magntico y a partir de ah el campo B (similitud con el caso electrosttico). Considere como dato el momento magntico del imn m (Am2), siendo la imanacin uniforme M0 (A/m) igual al momento magntico por unidad de volumen.CILINDRO CON IMANACIN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)

Sustituimos el imn por dos polos magnticos, uno en la cara norte (+) y otro en la cara sur (-), cada uno de ellos con el signo correspondiente y de valor

Estos polos magnticos aportan sobre cada una de las superficies superior e inferior una densidad superficial de polo (positiva y negativa, respectivamente) anloga a la densidad superficial de carga en electrosttica. Su valor absoluto es el cociente entre el polo p y el rea circular de radio R.

Observacin: el polo magntico p, definido como el cociente m/L, donde m es el momento magntico del imn, es una magnitud escalar, y representa el anlogo de la carga elctrica en electrosttica.Las densidades superficiales de polo (anlogas a las distribuciones superficiales de carga en electrosttica) se pueden considerar como origen de un potencial magntico escalar que puede calcularse, anlogamente al potencial electrosttico, teniendo en cuenta la simetra circular de las densidades de polo alrededor del eje Z. As puede determinarse el potencial escalar magntico en cualquier punto del eje sumando las contribuciones de ambos polos, y una vez conocido ste, el campo B se calcula como el menos gradiente de ese potencial magntico (persistimos en la analoga electrosttica). 55

Punto P, potencial escalar magntico a calcular

CAMPO MAGNTICO B EN EL EJE DEL DISCO CON DENSIDAD DE POLO UNIFORME s Relacin entre campo B y potencial escalar magntico (en el eje solo depende de z)

Consideraremos que un polo magntico est compuesto por gran nmero de trapecios circulares de rea dS, cada uno de los cuales contiene una fraccin de polo dS, la cual contribuye al potencial escalar magntico con dV.

CILINDRO CON IMANACIN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)Polo magnticoDensidad de polo

(k es aqu la constante magntica)Anlogamente al caso electrosttico:6

CILINDRO CON IMANACIN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)Polo magnticoDensidad de polo

Campo B creado por un polo a la distancia z Campo B creado por el polo (-) a la distancia z

Tomamos como origen el polo (-) situado a la distancia zClculo del campo B en el punto P: suma de las contribuciones de ambos polos magnticosPCampo B creado por el polo (+) a la distancia z-L

Relacin entre la imanacin, el momento magntico y la densidad superficial de polo

La densidad superficial de polo es igual a la componente de la imanacin normal a la superficie. En la parte lateral del imn es nula por ser nula dicha componente normal.Suma de ambos:7Partiendo del resultado anterior para el campo B, determinar el campo magntico H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L (imanacin constante e igual a . Representar grficamente para R/L = 0.25

CILINDRO CON IMANACIN UNIFORME

Dentro del imn 0 z/L 1Fuera del imn

Fuera del imn H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

8Una arandela de espesor e = 0.5 mm est uniformemente imanada en la direccin del eje Z, siendo M0 = 104 Am-1. Si los radios interior y exterior son respectivamente R1 = 2 cm y R2 = 5 cm, se pide:

(a) Discutir (sin clculos complicados) si el campo magntico B en el centro de la arandela tendr o no el mismo sentido que el vector imanacin M. Puede considerarse que las corrientes de imanacin en la arandela, al ser de muy pequeo espesor, se comportan como si fuesen corrientes filamentales. (b) Calcular el campo magntico B en cualquier punto del eje Z. (c) Representar grficamente el perfil del campo B a lo largo del eje Z. ARANDELA CON IMANACIN UNIFORME(a) El campo B en cualquier punto del eje vendr dado por la suma de las contribuciones de las corrientes de imanacin . Corrientes volumtricas:

Puesto que la imanacin es constante,

Corrientes superficiales:

donde es el vector unitario normal a la superficie en cada punto (sentido saliente)

Como en las superficies superior e inferior de la arandela la normal y la direccin del eje Z son paralelos, el producto vectorial es nulo, pues la imanacin ser o bien paralela o bien antiparalela a la superficie. Los nicos lugares en donde existirn corrientes superficiales de imanacin sern los bordes interno y externo de la arandela, en donde la direccin del vector superficie forma un ngulo recto con la direccin de la imanacin. En el borde interior el producto vectorial tiene sentido horario visto desde arriba, y en el borde exterior tiene sentido antihorario. Es decir, cada uno de esos dos bordes equivale a una pequea espira que transporta corriente en sentido contrario a la otra: as que la arandela equivale a un sistema de dos espiras concntricas con corrientes de sentidos opuestos, por lo que los campos magnticos producidos en el centro tendrn diferentes sentidos, y uno de ellos ser opuesto al sentido del vector imanacin.

99Las fuentes del campo magntico en un punto genrico (0,0, z) son los elementos de corriente superficial que existen en ambos bordes interior (1) y exterior (2) de la arandela.

interior (1)exterior (2)No existen corrientes volumtricas de imanacin, por ser constante el vector ; tampoco hay corrientes superficiales en las caras superior ni inferior de la arandela, puesto que en esas zonas el producto vectorial de la imanacin por el vector superficie local es igual a cero.

Borde interior (1)El elemento de superficie que transporta la corriente es

Vectores de posicin en coordenadas cilndricas:Punto fuente:

Punto campo:

Ley de Biot y Savart aplicada al borde interior: hay que sumar la contribucin de todas las fuentes del campo en el punto

Extendemos la integral desde 0 hasta 2p para cubrir todos los valores de .

(b) Clculo del campo magntico en un punto genrico del eje verticalARANDELA CON IMANACIN UNIFORME10(b) Clculo del campo magntico en un punto genrico del eje vertical

interior (1)exterior (2)

ARANDELA CON IMANACIN UNIFORME11

(b) Clculo del campo magntico en un punto genrico del eje vertical

interior (1)exterior (2)

Sobre un periodo completo, las integrales del seno y del coseno son iguales a cero:

Borde exterior (2)

Elemento de superficie que transporta la corrienteVectores de posicin en coordenadas cilndricas:Punto fuente:

Punto campo:

Ley de Biot y Savart aplicada al borde exterior: hay que sumar la contribucin de todas las fuentes del campo en el punto

Sentido opuesto al caso anterior!

Integral entre 0 y 2p

ARANDELA CON IMANACIN UNIFORME12(b) Clculo del campo magntico en un punto genrico del eje vertical

Siguiendo los mismos pasos que antes para calcular el campo debido a las corrientes superficiales del borde interior, llegamos al resultado siguiente:

Vase que el signo es opuesto, porque la corriente superficial del borde exterior est orientada en sentido contrario a la del borde interior.

Campo magntico en el punto (0, 0, z):ARANDELA CON IMANACIN UNIFORMEPara resolucin numrica sustityanse los datos13ARANDELA CON IMANACIN UNIFORME

Eje horizontal

(c) Perfil del campo magntico sobre el eje vertical

Zona superiorZona inferiorZ. central

Tabla de valores en hoja Excel