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8/17/2019 Campo Escalar

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EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5 - CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

C5. 1 Hallar el momento del vector v respecto al punto M (2, 1, 1), siendo v = - grad en

el punto P (1, 3, 0) y siendo = .

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C5. 2 Dado un campo escalar f = x2

y exp(-xyz), responda a las siguientes cuestiones:

a - A partir del punto P(1, 2, 0), ¿ En qué dirección varía más rápidamente?.¿Cuánto valela derivada de en esa dirección?

b - ¿Cuánto vale la derivada de f en la dirección definida por el vector u = i + j +k ?

a)

y sustituyendo x, y, z por los valores del punto P nos queda:

Ejercicios capítulo 5. Página 1


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; o sea:

y por lo tanto la dirección es la de este vector. El valor de la derivada en esta direcciónserá el módulo del vector:

b)

,

; Þ

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C5. 3 Comprobar que el campo vectorial E es conservativo y determinar el potencial U delque deriva.

E = 6xy i + (3x2 -3y2) j + 7 k

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, luego efectivamente el E es conservativo.

; luego

; luego finalmente

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C5.4 Dado un vector E = x2i - 2yz j + xz2k y el escalar a = 2x2y - 3z2, calcular en el punto A(1,0,2) las siguientes expresiones:



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∇

(a E); E .∇ a; E x ∇ x E

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a) a E es el producto de un escalar por un vector y su resultado es un vector.∇ (a E) es ladivergencia del vector anterior que es un escalar:

:

y sustituyendo las variables por los valores del punto A(1, 0, 2):

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b) ∇ a es el gradiente de un escalar, es decir, un vector:

E.∇ a es el producto escalar de 2 vectores, es decir, un escalar, y sustituyendo lasvariables por los valores del punto A(1, 0, 2):

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c) ∇ x E es el rotacional de un vector, es decir, un vector:

E x∇ x E es el producto vectorial de 2 vectores, es decir, un vector, y sustituyendo lasvariables por los valores del punto A(1, 0, 2):



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C5. 5 Calcular la derivada del campo escalar U = x2 + 3xy - 5y2 en el puto P(1, 2, 3) y enla dirección del vector

r = 2i - j + 2k.

Resp.: 34/3

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C5. 6 Calcular el flujo del vector F = 2y j a través de la superficie cilíndrica de radio unidadde la figura.

Resp.: 12π

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CAMPO GRAVITATORIO Y CAMPOS NO CONSERVATIVOS

C5. 7 Suponiendo que la Tierra es esférica y R=6400 km, ¿Cuánto pesará un hombre enel ecuador y en el polo?

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C5. 8 Un tren parte del reposo desde la cima de un tramo de vía que tiene una pendientedel 1 % y recorre una distancia de 1500 m bajo la acción exclusiva de la gravedad,continuando después por un tramo horizontal. Se supone que la fuerza de rozamiento esconstante e igual a 60 N por tonelada. Calcular:

1. La velocidad al final del tramo en pendiente.

2. El espacio que recorre el tren por el tramo horizontal hasta detenerse.

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C5. 9 Un hombre de masa 80 kg sube por un plano inclinado 15º respecto de la horizontalcon una velocidad de 7 km/h. Calcular la potencia que desarrolla.

Respuesta: 394.8 W



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C5. 10 Una fuerza F = 6t N actúa sobre una partícula de 2 kg de masa. Si la partículaparte del reposo, hallar el trabajo efectuado por la fuerza durante los dos primeros 2segundos.

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C5. 11 Un cuerpo de 0,10 kg de masa cae de una altura de 3 m sobre un montón dearena. Si el cuerpo penetra 3 cm antes de detenerse, ¿qué fuerza (supuesta constante)ejerció la arena sobre él?

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C5. 12 Supongamos que la fuerza ejercida por un imán sobre un pequeño cuerpo deacero varía en razón inversa del cuadrado de la distancia que los separa. A una distanciade 25 cm la fuerza atractiva del imán vale 1,372 N. Si el cuerpo se abandona en laposición indicada (a 25 cm ), calcular su velocidad cuando se encuentra a 10 cm del imán

a. Si se prescinde del rozamiento

b. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es de 0,5. Dato : elcuerpo pesa 55 g

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C5.13 Una masa de 20 kg se mueve bajo la influencia de la fuerza: F = 100 t i. Si parat =2, v = 3 i ms-1. Determinar:

1. El impulso dado a la partícula durante el intervalo 2s < t < 10s.

2. La cantidad de movimiento de la masa cuando t = 10 s.

3. Comprobar que el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento.

4. El trabajo efectuado sobre la partícula.

5. Su energía cinética cuando t =10 s.

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C5. 14 Un ascensor está parado en lo alto de un edificio. Su masa más la de la carga esde 500 kg. Si se rompe la polea, actúa un sistema de emergencia que aplica una fuerzaen contra de la caída proporcional a la velocidad, de manera que la velocidad tienda aestabilizarse al valor de 4 km/h. Calcular el tiempo que tardará en estabilizarse lavelocidad de caída a dicho valor de 4 km/h.

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Como las fuerzas van todas en dirección vertical, podemos prescindir del caráctervectorial de las mismas:

;



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y llamando para abreviar , nos queda la ecuación: .

La solución de esta última es:

A se denomina constante de tiempo (tiene dimensiones de tiempo). Para t → ∞, laderivada de v se hace cero y v → v∞ . Por lo tanto k.v∞ = mg , o sea, k = mg/v∞ y A=v∞ /g. Finalmente nos queda:

, o bien


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